CN104201941A - 一种基于非线性扩张状态观测器的永磁同步电机混沌控制方法 - Google Patents

Abstract

基于非线性扩张状态观测器的永磁同步电机混沌控制方法，包括:建立永磁同步电机***的混沌模型，初始化***状态以及相关控制参数；通过坐标变换，将永磁同步电机混沌模型转变为更适宜非线性扩张状态观测器设计的Brunovsky标准形式；设计非线性扩张状态观测器，用于估计不可测***状态和参数扰动；根据非线性扩张状态观测器估计的***状态和参数扰动，设计自适应滑模变结构控制器，改善滑模控制中的抖振问题，并保证***的混沌状态快速稳定收敛至零点。

Description

一种基于非线性扩张状态观测器的永磁同步电机混沌控制方法

技术领域

本发明涉及一种基于非线性扩张状态观测器的永磁同步电机混沌控制方法，特别是***部分状态不可测的永磁同步电机自适应混沌控制方法。 

背景技术

永磁同步电机(permanent magnet synchronous motor,PMSM)是一种典型的多变量、强耦合非线性***，在诸如机器人、航空飞行器以及伺服转台控制等高性能***中得到了广泛的应用。然而，近年来的研究表明，永磁同步电机在一定条件下会呈现出混沌特性，混沌行为的存在将会产生不规则的电流噪声，严重影响了***的稳定运行，对PMSM的应用造成不便。因此，如何有效控制和消除永磁同步电机***中的混沌行为已成为电机控制中亟待解决的关键问题之一。 

滑模变结构控制(Sliding Mode Control,SMC)由于对***数学模型要求不高，且对***参数摄动、外部扰动具有较强的鲁棒性，被广泛应用于混沌控制研究中。但传统的滑模控制方法中由于控制增益的过高以及符号函数的存在，导致其存在一定的抖振问题，影响了实际应用。为降低滑模控制中的抖振现象，很多改进的滑模控制方法被提出，例如：高阶滑模、终端滑模、模糊滑模、神经网络滑模等。以上控制方法虽然能够在不同程度上降低抖振，提高被控***的鲁棒性，但均要求***的所有状态是完全可测的。因此，当***部分状态无法被精确测量时，上述控制方法将会失效。 

发明内容

本发明要克服永磁同步电机在一定参数条件下呈现出混沌特性且部分混沌状态不易精确测量等问题，提供一种基于非线性扩张状态观测器的永磁同步电机自适应混沌控制方法，取消***所有状态完全可测的限制。采用扩张状态观测器(Extended State Observer,ESO)估计***的未知状态及不确定项，同时设计自适应滑模控制律(Adaptive Sliding Mode Control,ASMC)降低控制增益，改善滑模控制中的抖振问题，并保证***的混沌状态快速稳定收敛至零点。 

本发明的具体实现步骤如下： 

基于非线性扩张状态观测器的永磁同步电机混沌控制方法，包括以下步骤： 

步骤1，建立如式(1)所示的永磁同步电机***的混沌模型，初始化***状态以及相关控制参数； 

$\left\{\begin{array}{c}\frac{d{\tilde{i}}_d}{\mathrm{dt}}=-{\tilde{i}}_d+\widetilde{\mathrm{\ω}}{\tilde{i}}_q+{\tilde{u}}_d\\ \frac{d{\tilde{i}}_q}{\mathrm{dt}}=-{\tilde{i}}_q-\widetilde{\mathrm{\ω}}{\tilde{i}}_d+\mathrm{\γ}\widetilde{\mathrm{\ω}}+{\tilde{u}}_q\\ \frac{d\widetilde{\mathrm{\ω}}}{\mathrm{dt}}=\mathrm{\σ}({\tilde{i}}_q-\widetilde{\mathrm{\ω}})-{\tilde{T}}_L\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中，为状态变量，分别表示直轴和交轴定子电流以及转子角频率；和表示直轴和交轴的定子电压；为外部扭矩；σ和γ为常值参数； 

步骤2，通过坐标变换，将永磁同步电机混沌模型转变为更适宜非线性扩张状态观测器设计的Brunovsky标准形式，具体是： 

2.1，令则式(1)可以等效为 

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1=\mathrm{\σ}(x_2-x_1)\\ {\stackrel{\·}{x}}_2=-x_2-x_1{x}_3+\mathrm{\γ}{x}_1+u\\ {\stackrel{\·}{x}}_3=-x_3+x_1{x}_2\end{array}\right.---\left(2\right)$

其中，x₁,x₂,x₃为***状态且x₂,x₃不可测，σ和γ为未知参数，u为控制信号， 

${\tilde{u}}_d={\tilde{u}}_q=T_L=0;$

2.2，为便于控制器设计，将式(1)分解为如下两个子***： 

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1=\mathrm{\σ}(x_2-x_1)\\ {\stackrel{\·}{x}}_2=-x_2-x_1{x}_3+\mathrm{\γ}{x}_1+u\end{array}\right.---\left(3\right)$

和 

${\stackrel{\·}{x}}_3=-x_3+x_1{x}_2---\left(4\right)$

其中，式(4)可以认为是式(2)的内动态方程，即：当x₁,x₂收敛至零点时，有成立，从而x₃也可以渐近收敛至零点；因此，本发明的控制目的为：设计控制器u，使得式(3)中的两个状态x₁和x₂收敛至零点； 

2.3，设 

$\left\{\begin{array}{c}{y}_1=x_1\\ y_2=\mathrm{\σ}(x_2-x_1)\end{array}\right.---\left(5\right)$

则式(3)可转变为如下所示的Brunovsky标准形式： 

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{y}}_1=y_2\\ {\stackrel{\·}{y}}_2=a\left(x\right)+\mathrm{bu}\end{array}\right.---\left(6\right)$

其中，a(x)＝σ[-x₂-x₁x₃+γx₁-σ(x₂-x₁)]，b＝σ； 

2.4，令a₀＝a(x)+Δbu，Δb＝b-b₀，其中b₀为b的估计值，可根据经验给定；基于扩张状态观测器的设计思想，通过定义扩展状态y₃＝a₀，则式(6)可以改写为以下等效形式： 

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{y}}_1=y_2\\ {\stackrel{\·}{y}}_2=y_3+b_{0}u\\ {\stackrel{\·}{y}}_3=h\end{array}\right.---\left(7\right)$

其中， $h={\stackrel{\·}{a}}_0;$

步骤3，设计非线性扩张状态观测器，用于估计不可测***状态和参数扰动； 

令z_i,i＝1,2,3,分别为式(7)中状态变量y_i的观测值，定义观测误差为e_oi＝z_i-y_i，则设计非线性扩张状态观测器表达式为： 

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{z}}_1=z_2-{\mathrm{\β}}_1{e}_{o1}\\ {\stackrel{\·}{z}}_2=z_3-{\mathrm{\β}}_2\mathrm{fal}(e_{o1},{\mathrm{\α}}_1,\mathrm{\δ})+b_{0}u\\ {\stackrel{\·}{z}}_3=-{\mathrm{\β}}_3\mathrm{fal}(e_{o1},{\mathrm{\α}}_2,\mathrm{\δ})\end{array}\right.---\left(8\right)$

其中，β₁,β₂,β₃>0为观测器增益；fal(·)为原点附近具有线性段的连续幂次函数，表达式为： 

$\mathrm{fal}(e_{o1},{\mathrm{\α}}_i,\mathrm{\δ})=\left\{\begin{array}{cc}\frac{e_{o1}}{{\mathrm{\δ}}^{1-{\mathrm{\α}}_i}}& \left|e_{o1}\right|\≤\mathrm{\δ}\\ {\left|e_{o1}\right|}^{{\mathrm{\α}}_i}\mathrm{sign}\left(e_{o1}\right)& \left|e_{o1}\right|>\mathrm{\δ}\end{array}\right.,i=\mathrm{1,2,3}---\left(9\right)$

其中，δ>0表示线性段的区间长度，0<α_i<1； 

通过选择合适的参数β_i，fal(·)函数可以保证z_i→y_i，i＝1,2,3.即：观测误差可以收敛到|y_i-z_i|≤d_i，其中d_i>0为很小的正数. 

步骤4，根据非线性扩张状态观测器估计的***状态和参数扰动，设计自适应滑模变结构控制器；。 

4.1，为将***状态x₁和x₂稳定到原点，设计基于滑模变结构方法设计自适应控制器u，其中滑模面设计如式(10)所示： 

s＝y₂+λ₁y₁.        (10) 

s的一阶导数为： 

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{s}={\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_2+{\mathrm{\&lambda;}}_1{\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_1\\ =y_3{+b}_{0}u+{\mathrm{\&lambda;}}_1{y}_2\end{array}---\left(11\right)$

其中，λ₁>0为控制参数； 

4.2，由式(11)，基于扩张状态观测器(8)的普通滑模控制器(SMC+ESO)设计为 

$u^{*}=\frac{1}{b_0}(-z_3-{\mathrm{\&lambda;}}_1{z}_2-k^{*}\mathrm{sign}\left(s\right))---\left(12\right)$

其中，k^*>0满足k^*≥d₃+λ₁d₂； 

4.3，由于式(12)中观测误差上界d₂和d₃难以准确获得，因此，k^*往往无法精确得到；为解决上述问题，设计基于扩张状态观测器的自适应滑模控制器(ASMC+ESO)，其具体表达形式为： 

$u=\frac{1}{b_0}(-z_3-{\mathrm{\&lambda;}}_1{z}_2-\mathrm{ksign}\left(s\right))---\left(13\right)$

其中，k＝k(t)为控制器参数，其参数自适应律如下所示： 

$\stackrel{\&CenterDot;}{k}=\left\{\begin{array}{cc}{k}_m\left|s\right|\mathrm{sign}\left(\right|s|-\&Element;),& k>\mathrm{\&mu;}\\ \mathrm{\&mu;},& k\&le;\mathrm{\&mu;}\end{array}\right.---\left(14\right)$

其中，k_m>0，μ>0为很小的正常数，用于保证k>0； 

4.4，设计李雅普诺夫函数则可以证明式(6)中的所有信号均是一致有界的；同时，***跟踪误差e可以在有限时间内收敛至平衡点e＝0。 

本发明的技术构思为：永磁同步电机在一定参数条件下呈现出混沌特性。针对部分状态不可测的永磁同步电机混沌***，结合自适应滑模控制和扩张状态观测器理论，设计一种基于扩张状态观测器的永磁同步电机自适应混沌控制方法，取消了***所有状态完全可测的限制。通过坐标变换，将永磁同步电机混沌模型变为更适宜控制器设计的Brunovsky标准形式。在***部分状态和非线性不确定项上界均未知的情况下，基于扩张状态观测器估计***未知状态及不确定项，并设计自适应滑模控制器保证***状态快速稳定收敛至零点。本发明提供一种能够改善滑模控制抖振问题并提高***控制精度及鲁棒性的永磁同步电机混沌***自适应控制方法。确保在***部分状态不可测的情况下,实现永磁同步电机混沌状态的快速稳定控制。 

本发明的优点为：算法效率高，取消***所有状态完全可测的限制，提高控制精度和鲁棒性。 

附图说明

图1为永磁同步电机混沌吸引子； 

图2为ASMC+ESO算法的基本流程； 

图3为ASMC+ESO控制***响应曲线(t＝3s控制器起作用)； 

图4为SMC+ESO控制***响应曲线(t＝3s控制器起作用)； 

图5为参数自适应曲线(t＝3s控制器起作用)。 

具体实施方式

参照附图1-5，基于非线性扩张状态观测器的永磁同步电机混沌控制方法，包括以下步骤： 

步骤1，建立如式(1)所示的永磁同步电机***的混沌模型，初始化***状态以及相关控制参数； 

$\left\{\begin{array}{c}\frac{d{\tilde{i}}_d}{\mathrm{dt}}=-{\tilde{i}}_d+\widetilde{\mathrm{\&omega;}}{\tilde{i}}_q+{\tilde{u}}_d\\ \frac{d{\tilde{i}}_q}{\mathrm{dt}}=-{\tilde{i}}_q-\widetilde{\mathrm{\&omega;}}{\tilde{i}}_d+\mathrm{\&gamma;}\widetilde{\mathrm{\&omega;}}+{\tilde{u}}_q\\ \frac{d\widetilde{\mathrm{\&omega;}}}{\mathrm{dt}}=\mathrm{\&sigma;}({\tilde{i}}_q-\widetilde{\mathrm{\&omega;}})-{\tilde{T}}_L\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中，为状态变量，分别表示直轴和交轴定子电流以及转子角频率；和表示直轴和交轴的定子电压；为外部扭矩；σ和γ为常值参数； 

步骤2，通过坐标变换，将永磁同步电机混沌模型转变为更适宜非线性扩张状态观测器设计的Brunovsky标准形式，具体是： 

2.1，令则式(1)可以等效为 

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1=\mathrm{\&sigma;}(x_2-x_1)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2=-x_2-x_1{x}_3+\mathrm{\&gamma;}{x}_1+u\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_3=-x_3+x_1{x}_2\end{array}\right.---\left(2\right)$

其中，x₁,x₂,x₃为***状态且x₂,x₃不可测，σ和γ为未知参数，u为控制信号，  ${\tilde{u}}_d={\tilde{u}}_q=T_L=0;$

2.2，为便于控制器设计，将式(1)分解为如下两个子***： 

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1=\mathrm{\&sigma;}(x_2-x_1)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2=-x_2-x_1{x}_3+\mathrm{\&gamma;}{x}_1+u\end{array}\right.---\left(3\right)$

和 

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_3=-x_3+x_1{x}_2---\left(4\right)$

其中，式(4)可以认为是式(2)的内动态方程，即：当x₁,x₂收敛至零点时，有成立，从而x₃也可以渐近收敛至零点；因此，本发明的控制目的为：设计控制器u，使得式(3)中的两个状态x₁和x₂收敛至零点； 

2.3，设 

$\left\{\begin{array}{c}{y}_1=x_1\\ y_2=\mathrm{\&sigma;}(x_2-x_1)\end{array}\right.---\left(5\right)$

则式(3)可转变为如下所示的Brunovsky标准形式： 

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_1=y_2\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_2=a\left(x\right)+\mathrm{bu}\end{array}\right.---\left(6\right)$

其中，a(x)＝σ[-x₂-x₁x₃+γx₁-σ(x₂-x₁)]，b＝σ； 

2.4，令a₀＝a(x)+Δbu，Δb＝b-b₀，其中b₀为b的估计值，可根据经验给定；基于扩张状态观测器的设计思想，通过定义扩展状态y₃＝a₀，则式(6)可以改写为以下等效形式： 

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_1=y_2\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_2=y_3+b_{0}u\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_3=h\end{array}\right.---\left(7\right)$

其中， $h={\stackrel{\&CenterDot;}{a}}_0;$

步骤3，设计非线性扩张状态观测器，用于估计不可测***状态和参数扰动； 

令z_i,i＝1,2,3,分别为式(7)中状态变量y_i的观测值，定义观测误差为e_oi＝z_i-y_i，则设计非线性扩张状态观测器表达式为： 

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_1=z_2-{\mathrm{\&beta;}}_1{e}_{o1}\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_2=z_3-{\mathrm{\&beta;}}_2\mathrm{fal}(e_{o1},{\mathrm{\&alpha;}}_1,\mathrm{\&delta;})+b_{0}u\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_3=-{\mathrm{\&beta;}}_3\mathrm{fal}(e_{o1},{\mathrm{\&alpha;}}_2,\mathrm{\&delta;})\end{array}\right.---\left(8\right)$

其中，β₁,β₂,β₃>0为观测器增益；fal(·)为原点附近具有线性段的连续幂次函数，表达式为： 

$\mathrm{fal}(e_{o1},{\mathrm{\&alpha;}}_i,\mathrm{\&delta;})=\left\{\begin{array}{cc}\frac{e_{o1}}{{\mathrm{\&delta;}}^{1-{\mathrm{\&alpha;}}_i}}& \left|e_{o1}\right|\&le;\mathrm{\&delta;}\\ {\left|e_{o1}\right|}^{{\mathrm{\&alpha;}}_i}\mathrm{sign}\left(e_{o1}\right)& \left|e_{o1}\right|>\mathrm{\&delta;}\end{array}\right.,i=\mathrm{1,2,3}---\left(9\right)$

其中，δ>0表示线性段的区间长度，0<α_i<1； 

通过选择合适的参数β_i，fal(·)函数可以保证z_i→y_i，i＝1,2,3.即：观测误差可以收敛到|y_i-z_i|≤d_i，其中d_i>0为很小的正数. 

步骤4，根据非线性扩张状态观测器估计的***状态和参数扰动，设计自适应滑模变结构控制器；。 

4.1，为将***状态x₁和x₂稳定到原点，设计基于滑模变结构方法设计自适应控制器u，其中滑模面设计如式(10)所示： 

s＝y₂+λ₁y₁.        (10) 

s的一阶导数为： 

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{s}={\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_2+{\mathrm{\&lambda;}}_1{\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_1\\ =y_3{+b}_{0}u+{\mathrm{\&lambda;}}_1{y}_2\end{array}---\left(11\right)$

其中，λ₁>0为控制参数； 

4.2，由式(11)，基于扩张状态观测器(8)的普通滑模控制器(SMC+ESO)设计为 

$u^{*}=\frac{1}{b_0}(-z_3-{\mathrm{\&lambda;}}_1{z}_2-k^{*}\mathrm{sign}\left(s\right))---\left(12\right)$

其中，k^*>0满足k^*≥d₃+λ₁d₂； 

4.3，由于式(12)中观测误差上界d₂和d₃难以准确获得，因此，k^*往往无法精确得到；为解决上述问题，设计基于扩张状态观测器的自适应滑模控制器(ASMC+ESO)，其具体表达形式为： 

$u=\frac{1}{b_0}(-z_3-{\mathrm{\&lambda;}}_1{z}_2-\mathrm{ksign}\left(s\right))---\left(13\right)$

其中，k＝k(t)为控制器参数，其参数自适应律如下所示： 

$\stackrel{\&CenterDot;}{k}=\left\{\begin{array}{cc}{k}_m\left|s\right|\mathrm{sign}\left(\right|s|-\&Element;),& k>\mathrm{\&mu;}\\ \mathrm{\&mu;},& k\&le;\mathrm{\&mu;}\end{array}\right.---\left(14\right)$

其中，k_m>0，μ>0为很小的正常数，用于保证k>0； 

4.4，设计李雅普诺夫函数则可以证明式(6)中的所有信号均是一致有界的；同时，***跟踪误差e可以在有限时间内收敛至平衡点e＝0。 

为验证所提方法的有效性和优越性，本方面分别给对由式(13)表示的基于扩张观测器的自适应滑模控制(ASMC+ESO)以及由式(12)表示的基于扩张观测器 的普通滑模控制(SMC+ESO)的控制效果进行实验对比。为便于比较，仿真中的初始条件与部分参数设置保持一致，即：采样时间T_s＝0.01s，初始条件为(x₁(0),x₂(0),x₃(0))＝(-5,0.01,20)，滑模与扩张观测器的参数设置为：λ₁＝10，b₀＝5，β₁＝100，β₂＝150，β₃＝0.1，α₁＝0.5，α₂＝0.25，α₃＝0.125，δ＝0.01.此外，SMC+ESO方法中的控制参数k^*＝10，而ASMC+ESO方法中的控制参数k_m＝0.15，ε＝0.01，μ＝0.001。 

本发明提出的ASMC+ESO方法优越性体现在：对比SMC+ESO方法，在SMC+ESO方法中，控制参数k^*的设定依赖于人的先验知识，控制器信号幅值较大，导致控制器产生的抖振比较大；而在ASMC+ESO方法中，由于控制参数k(t)是自适应进行调节的，控制器信号幅值要小一些，由此产生的抖振也较小。 

从图3和图4的实验结果对比可以看出：若控制器信号被设定为t＝3s时开始起作用，此时SMC+ESO方法已经不能够很好地进行混沌控制，而ASMC+ESO方法在***状态振荡几秒以后仍然能够起到稳定控制混沌状态的效果。这主要是由于在SMC+ESO方法中，控制参数k^*是固定值，一旦扩张观测器估计误差d₃+λ₁d₂≥k^*时，控制器便无法达到满意的效果；而在ASMC+ESO方法中，由于控制参数k(t)是自适应进行调节的，因此，控制器经过一段时间的调整后仍然能够有效控制混沌。 

以上阐述的是本发明给出的一个实施例表现出的优良优化效果，显然本发明不只是限于上述实施例，在不偏离本发明基本精神及不超出本发明实质内容所涉及范围的前提下对其可作种种变形加以实施。 

Claims (1)

1.基于非线性扩张状态观测器的永磁同步电机混沌控制方法，包括以下步骤：

步骤1，建立如式(1)所示的永磁同步电机***的混沌模型，初始化***状态以及相关控制参数；

$\left\{\begin{array}{c}\frac{d{\tilde{i}}_d}{\mathrm{dt}}=-{\tilde{i}}_d+\widetilde{\mathrm{\&omega;}}{\tilde{i}}_q+{\tilde{u}}_d\\ \frac{d{\tilde{i}}_q}{\mathrm{dt}}=-{\tilde{i}}_q-\widetilde{\mathrm{\&omega;}}{\tilde{i}}_d+\mathrm{\&gamma;}\widetilde{\mathrm{\&omega;}}+{\tilde{u}}_q\\ \frac{d\widetilde{\mathrm{\&omega;}}}{\mathrm{dt}}=\mathrm{\&sigma;}({\tilde{i}}_q-\widetilde{\mathrm{\&omega;}})-{\tilde{T}}_L\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中，为状态变量，分别表示直轴和交轴定子电流以及转子角频率；和表示直轴和交轴的定子电压；为外部扭矩；σ和γ为常值参数；

步骤2，通过坐标变换，将永磁同步电机混沌模型转变为更适宜非线性扩张状态观测器设计的Brunovsky标准形式，具体是：

2.1，令则式(1)可以等效为

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1=\mathrm{\&sigma;}(x_2-x_1)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2=-x_2-x_1{x}_3+\mathrm{\&gamma;}{x}_1+u\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_3=-x_3+x_1{x}_2\end{array}\right.---\left(2\right)$

其中，x₁,x₂,x₃为***状态且x₂,x₃不可测，σ和γ为未知参数，u为控制信号，

${\tilde{u}}_d={\tilde{u}}_q=T_L=0;$

2.2，为便于控制器设计，将式(1)分解为如下两个子***：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1=\mathrm{\&sigma;}(x_2-x_1)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2=-x_2-x_1{x}_3+\mathrm{\&gamma;}{x}_1+u\end{array}\right.---\left(3\right)$

和

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_3=-x_3+x_1{x}_2---\left(4\right)$

其中，式(4)可以认为是式(2)的内动态方程，即：当x₁,x₂收敛至零点时，有成立，从而x₃也可以渐近收敛至零点；因此，本发明的控制目的为：设计控制器u，使得式(3)中的两个状态x₁和x₂收敛至零点；

2.3，设

$\left\{\begin{array}{c}{y}_1=x_1\\ y_2=\mathrm{\&sigma;}(x_2-x_1)\end{array}\right.---\left(5\right)$

则式(3)可转变为如下所示的Brunovsky标准形式：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_1=y_2\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_2=a\left(x\right)+\mathrm{bu}\end{array}\right.---\left(6\right)$

其中，a(x)＝σ[-x₂-x₁x₃+γx₁-σ(x₂-x₁)]，b＝σ；

2.4，令a₀＝a(x)+Δbu，Δb＝b-b₀，其中b₀为b的估计值，可根据经验给定；基于扩张状态观测器的设计思想，通过定义扩展状态y₃＝a₀，则式(6)可以改写为以下等效形式：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_1=y_2\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_2=y_3+b_{0}u\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_3=h\end{array}\right.---\left(7\right)$

其中， $h={\stackrel{\&CenterDot;}{a}}_0;$

步骤3，设计非线性扩张状态观测器，用于估计不可测***状态和参数扰动；

令z_i,i＝1,2,3,分别为式(7)中状态变量y_i的观测值，定义观测误差为e_oi＝z_i-y_i，则设计非线性扩张状态观测器表达式为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_1=z_2-{\mathrm{\&beta;}}_1{e}_{o1}\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_2=z_3-{\mathrm{\&beta;}}_2\mathrm{fal}(e_{o1},{\mathrm{\&alpha;}}_1,\mathrm{\&delta;})+b_{0}u\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_3=-{\mathrm{\&beta;}}_3\mathrm{fal}(e_{o1},{\mathrm{\&alpha;}}_2,\mathrm{\&delta;})\end{array}\right.---\left(8\right)$

其中，β₁,β₂,β₃>0为观测器增益；fal(·)为原点附近具有线性段的连续幂次函数，表达式为：

$\mathrm{fal}(e_{o1},{\mathrm{\&alpha;}}_i,\mathrm{\&delta;})=\left\{\begin{array}{cc}\frac{e_{o1}}{{\mathrm{\&delta;}}^{1-{\mathrm{\&alpha;}}_i}}& \left|e_{o1}\right|\&le;\mathrm{\&delta;}\\ {\left|e_{o1}\right|}^{{\mathrm{\&alpha;}}_i}\mathrm{sign}\left(e_{o1}\right)& \left|e_{o1}\right|>\mathrm{\&delta;}\end{array}\right.,i=\mathrm{1,2,3}---\left(9\right)$

其中，δ>0表示线性段的区间长度，0<α_i<1；

通过选择合适的参数β_i，fal(·)函数可以保证z_i→y_i，i＝1,2,3.即：观测误差可以收敛到|y_i-z_i|≤d_i，其中d_i>0为很小的正数.

步骤4，根据非线性扩张状态观测器估计的***状态和参数扰动，设计自适应滑模变结构控制器；。

4.1，为将***状态x₁和x₂稳定到原点，设计基于滑模变结构方法设计自适应控制器u，其中滑模面设计如式(10)所示：

s＝y₂+λ₁y₁.        (10)

s的一阶导数为：

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{s}={\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_2+{\mathrm{\&lambda;}}_1{\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_1\\ =y_3{+b}_{0}u+{\mathrm{\&lambda;}}_1{y}_2\end{array}---\left(11\right)$

其中，λ₁>0为控制参数；

4.2，由式(11)，基于扩张状态观测器(8)的普通滑模控制器(SMC+ESO)设计为

$u^{*}=\frac{1}{b_0}(-z_3-{\mathrm{\&lambda;}}_1{z}_2-k^{*}\mathrm{sign}\left(s\right))---\left(12\right)$

其中，k^*>0满足k^*≥d₃+λ₁d₂；

4.3，由于式(12)中观测误差上界d₂和d₃难以准确获得，因此，k^*往往无法精确得到；为解决上述问题，设计基于扩张状态观测器的自适应滑模控制器(ASMC+ESO)，其具体表达形式为：

$u=\frac{1}{b_0}(-z_3-{\mathrm{\&lambda;}}_1{z}_2-\mathrm{ksign}\left(s\right))---\left(13\right)$

其中，k＝k(t)为控制器参数，其参数自适应律如下所示：

$\stackrel{\&CenterDot;}{k}=\left\{\begin{array}{cc}{k}_m\left|s\right|\mathrm{sign}\left(\right|s|-\&Element;),& k>\mathrm{\&mu;}\\ \mathrm{\&mu;},& k\&le;\mathrm{\&mu;}\end{array}\right.---\left(14\right)$

其中，k_m>0，μ>0为很小的正常数，用于保证k>0；

4.4，设计李雅普诺夫函数则可以证明式(6)中的所有信号均是一致有界的；同时，***跟踪误差e可以在有限时间内收敛至平衡点e＝0。