CN103886625B - 一种基于压缩感知的点云数据稀疏表示方法 - Google Patents

Abstract

本申请公开一种基于压缩感知的点云数据稀疏表示方法，其在保证一定精度的前提下对海量点云数据进行压缩，使得点云数据的稀疏度大幅提高，为基于压缩感知的点云数据压缩与重建奠定良好基础。包括步骤：（1）点云数据规格化；（2）基于K‑SVD算法的过完备字典稀疏表示；（3）规格化点云数据观测，传输并存储；（4）基于l1范数最小化的点云数据重建；（5）规格化点云数据恢复。

Description

一种基于压缩感知的点云数据稀疏表示方法

技术领域

本发明属于三维点云数据压缩编码的技术领域，具体地涉及一种基于压缩感知的点云数据稀疏表示方法。

背景技术

随着三维扫描技术迅速发展，点云数据渐渐成为多媒体数据中非常重要的一类数据。如今的扫描设备能够高效获得离散的、散乱分布的海量点云数据来表示物体，因此点云数据高效压缩、编码逐渐成为研究热点之一。点云数据压缩的主要研究目标是在尽可能保留原有模型几何特征的情况下，降低数据文件的大小，使得点云数据在有限带宽下能够更加快速的存储和传播。虽然许多学者都致力于复杂点云数据的压缩与重建，如何在不降低点云模型几何特征的情况下，对点云数据进行压缩是一项更具挑战性的工作。

目前散乱点云数据压缩方法主要有两种：基于网格的压缩方法和基于点的压缩方法。前者要先建立点云数据的三角网格，然后将相同顶点的三角面片的最大法矢夹角、压缩后点数和最大边界误差等，与相应的自定义阈值相比较，进行取舍，对网格进行简化。基于网格的压缩方法压缩效果比较好，但是构建网格，尤其是构建海量数据网格是一项复杂耗时的工作，效率低，而且没有固定的阈值选取准则，压缩效果具有一定的随意性。基于点的压缩方法是根据点云的空间拓扑关系计算对应的离散几何信息，如平均点距值、包围盒点数、均匀网格中心、曲率等，根据信息量对点云进行精简处理。基于点的压缩方法直接简化点云，效率较高，但是压缩数据在细节和特征上的损失难以避免甚至难以控制。

近年来Donoho、Candès等人提出了一种新的信息获取指导理论，即压缩感知(Compressive Sensing，CS)，该理论指出：对于变换域下稀疏的信号，可以利用优化方法由与变换基非一致关系的观测矩阵生成少量的数据来精确重建。该理论利用信号的稀疏特性将基于Shannon/Nyquist定理的采样过程转化为观测矩阵的观测过程，从而数据的采样速率不取决于信号带宽，而是信号的结构和内容，而信号稀疏性的好坏是利用压缩感知对信号进行压缩重构质量优劣的关键因素之一。因此，该理论为点云数据的压缩提供了一种崭新的思路和方向。

考虑到点云数据离散分布的特性，基于过完备字典的稀疏表示方法可以使得散乱点云数据在一定程度上可以稀疏化。基于过完备字典的信号稀疏表示理论可以认为是在尽可能重构原始信号的条件下，利用过完备冗余基来取代传统的正交基，这个过完备冗余函数集合通常用学习的方法来选取。因此，信号的稀疏表示主要涵盖两方面内容，一个是信号的稀疏编码，另一个是过完备字典的训练。

如何寻找一个合适的字典D是近年来在在基于过完备字典进行稀疏表示的热门研究问题。关于过完备字典的选取也有多种方案：一种是直接利用已经构造好的字典，比如steerable小波，curvelets小波等。另一种方法是选择可通过参数调整的字典，即在参数约束下生成字典.

字典训练方法作为一种字典设计的方法出现较晚，学习字典带来的主要好处在于经过训练的字典能够在训练过程中自适应许多实际的信号，并且国内外学者也已经提出许多比较有效的字典训练算法。Engan等人在2000年提出的最优方向法(MOD,Method ofOptimal Directions)最早用于稀疏表示，MOD算法的主要贡献在于其简单的字典更新策略。一般情况下，MOD只需要少量次数的迭代就可以收敛，总体上比较有效，但是这种方法在求解过程中需要计算矩阵的逆，其复杂度比较高，因此，之后的学者的研究主要目的是为了减少时间复杂度引入了一些更加实用的方法。

在K-Means算法的基础上，Michal Aharon等人又提出了K-SVD过完备字典训练算法，K-SVD算法非常灵活，可以和常见的稀疏分解的最优原子搜索算法，如MP，OMP，BP，FOCUSS，结合使用，并且其作为一个字典训练算法，收敛性是其获得新能优良字典的保证。K-SVD算法通过不断的训练更新得到最适合于样本集合的冗余字典，由于是通过训练更新自适应得到的，信号在冗余字典上可以根据自己特优的结构特征进行分解，即训练更新得到的冗余字典可以更好的发掘信号的稀疏性。因此本方法采取K-SVD算法来进行对点云数据进行稀疏表示，从而达到压缩感知的先验条件。

发明内容

本发明的技术解决问题是：克服现有技术的不足，提供一种基于压缩感知的点云数据稀疏表示方法，其在保证一定精度的前提下对海量点云数据进行压缩、使得点云数据的稀疏度大幅提高、为基于压缩感知的点云数据压缩与重建奠定的良好基础。

本发明的技术解决方案是：这种基于压缩感知的点云数据稀疏表示方法，包括以下步骤：

（1）点云数据规格化；

（2）基于K-SVD算法的过完备字典稀疏表示；

（3）规格化点云数据观测，传输并存储；

（4）基于l1范数最小化的点云数据重建；

（5）规格化点云数据恢复。

由于本方法在对点云数据做稀疏求解之前，先对点云数据做预处理操作，即点云数据的规格化，而基于稀疏表示的过完备字典训练方法，与传统的完备字典（如FFT、DCT、小波、Gabor字典）相比是自适应地根据训练信号提取其特征，因而具有更强的稀疏表示能力，从而在保证一定精度的前提下对海量点云数据进行压缩、使得点云数据的稀疏度大幅提高、为基于压缩感知的点云数据压缩与重建奠定的良好基础。

具体实施方式

这种基于压缩感知的点云数据稀疏表示方法，包括以下步骤：

（1）点云数据规格化；

（2）基于K-SVD算法的过完备字典稀疏表示；

（3）规格化点云数据观测，传输并存储；

（4）基于l1范数最小化的点云数据重建；

（5）规格化点云数据恢复。

由于本方法在对点云数据做稀疏求解之前，先对点云数据做预处理操作，即点云数据的规格化，而基于稀疏表示的过完备字典训练方法，与传统的完备字典（如FFT、DCT、小波、Gabor字典）相比是自适应地根据训练信号提取其特征，因而具有更强的稀疏表示能力，从而在保证一定精度的前提下对海量点云数据进行压缩、使得点云数据的稀疏度大幅提高、为基于压缩感知的点云数据压缩与重建奠定的良好基础。

步骤（1）中采用最小二乘算法对片元进行平面方程拟合，用平面法向对片元法向进行估计，以便后续的点云数据规格化；对片元中的点云进行几何变换，使得具有相似几何特性的片元在数值上同样具有一定的相似性。

通过公式（1）、（2）计算点云数据的片元：

点云集合为片元质心为点p_j的K近邻分片S_j为：

由质心指向K近邻片元的中心点的方向向量为与拟合平面的夹角为β，与拟合出的法向夹角为α，与的内积为：

当ρ＞0时，表示拟合出的法向n指向模型外部，不对拟合出的法向进行调整，当＜0时，表示拟合出的法向n指向模型内部，对法向n进行调整,对法向进行取反操作；

点云数据片元的规则化变换矩阵为：

normMat_j=T_j*R_j (2)

其中T_j为根据质心坐标构建平移变换矩阵，R_j为旋转矩阵。

优选地，步骤（4）包括以下分步骤：

（1）设D∈R^n×K，y∈Rⁿ，x∈R^K，其中，D为原过完备原子库，y表示训练信号，x为训练信号的稀疏表示系数向量，Y为M个训练信号集合，X为Y的解向量集合，Rⁿ表示n维信号集，通过公式（3）计算：

其中，T₀为稀疏表示系数中非零分量个数的上限；

（2）对D进行迭代训练，设d_k为要更新的原子库D的第k列向量，此时信号集的分解形式为公式（4）：

通过奇异值分解，逐列更新字典，产生新的字典然后根据新的字典得出新的稀疏系数，并迭代更新，直到收敛。

优选地，步骤（5）通过公式（9）、（10）重建点云数据：

其中为规格化点云数据在字典D下的稀疏系数重建结果，

然后对重建的规格化点云数据做反变换来获得重建的点云数据

下面详细说明本发明的实施方案。

1)点云数据规格化方法

点云数据由于其空间散落分布的特性，并不具备明显的稀疏性，并不能直接利用压缩感知相关理论来进行压缩、重建。因此，本发明利用K-SVD过完备字典的方法对点云数据进行稀疏表示。但是，原始的散乱点云数据并不具备良好的相似性，直接利用K-SVD过完备字典训练算法并不能得到良好的稀疏表示结果。因此，为了使点云数据在过完备字典下能有更好的稀疏度，本发明首先对散乱点云数据进行规格化处理，使得不同部位，但具有相似几何性质的点云数据能够在数值上具有更高的相似度，从而达到提高点云数据内部相似性的目的，进而提高点云数据的稀疏表示效果。

通过K近邻聚类，使得每块的点的数量能够一致，但是不能保证具有几何相似性的片元在数值上也具有相似性。

为了解决上述问题，考虑到K近邻聚类算法是将具有相似几何特性的散乱点云进行聚类，根据点云K近邻聚类结果的性质，片元内部点的法向具有极高相似性，因此本发明采用最小二乘算法对片元进行平面方程拟合，用平面法向对片元法向进行估计，以便后续的点云数据规格化。

设散乱点集分割后的散乱点集可以表示为S_j为第j个子集，集合中的元素都是根据元素与聚类中心的距离有序分类。对于子集S_j中的法向n，通过最小二乘求得的法向会因为具体的数值不同导致朝向不同。对于同一个模型，相邻片元的法向不一致会导致曲面梯度变化在法向方向投影的不一致，因此，需要对点云法向的方向进行一致性调整，使得相邻片元间的法向朝向能够相同。

通常没有数学方法能解决法线的正负向问题，通过主成分分析法来计算法向方向也具有二义性，无法对整个点云数据集的法线方向进行一致性调整。本发明采用一种针对质心在点云数据内部的点云法向调整方法。

设点云集合为则，片元质心为点p_j的K近邻分片S_j为：

设由质心指向K近邻片元的中心点的方向向量为设与拟合平面的夹角为β，与拟合出的法向夹角为α，记与的内积为：由于质心在点云模型内部，方向向量始终指向模型外部，且质心与拟合平面的夹角β范围在0＜β＜180°，因此，当ρ＞0时，表示拟合出的法向n指向模型外部，无需对拟合出的法向进行调整，当ρ＜0时，表示拟合出的法向n指向模型内部，则需要对法向n进行调整,对法向进行取反操作。

对片元进行法向估计之后，本发明对片元中的点云进行几何变换，使得具有相似几何特性的片元在数值上同样具有一定的相似性，为后续的点云数据稀疏表示做准备。

首先根据质心坐标构建平移变换矩阵T_j，通过平移变换矩阵将片元S_j的点移至坐标原点附近。通过上述操作，点云数据中相邻若干片元的数据相似性会有所提高，对于均匀的点云模型，甚至会出现所有数据点完全重合的情况，这会使得在进行稀疏表示时极大的提高数据之间的相似性。事实上，仅通过平移操作并不能最大化片元之间数值的相似性，由于相距较远的片元法向朝向的不同，导致虽然具有相似的几何特性，但是在具体的数据值上存在较大差异，因此为了消除这方面的差异，在通过平移变换后，K近邻片元S_j的质心位于坐标原点，其近似估计的法向n,为了使每个K近邻片元的朝向相同，对片元做旋转变换使得所有片元的朝向均与z轴同向，设旋转矩阵分别为R_j，则点云数据片元的规则化变换矩阵为：

normMat_j=T_j*R_j (2)

通过上述变换矩阵可以使得K近邻分片结果的所有片元分布在坐标原点附近，并且每个分片的法向均朝向z轴，这将使得在几何特征上具有相似性的片元能够在点云坐标数值上也具有一定的相似性，这为后续的点云数据稀疏化表示提供了良好的基础。

2)点云数据的稀疏表示方法

2006年，Michal Aharon等人在总结K均值聚类算法的基础上提出了K-SVD算法。它通过迭代过程中实现原有过完备字典在样本下的训练，通过稀疏分解系数不断调整原子库中的原子，最终获得更加能有效反应信号特征的过完备原子库。K-SVD算法通过不断的训练更新得到最适合于样本集合的冗余字典，由于是通过训练更新自适应得到的，信号在冗余字典上可以根据自己特优的结构特征进行分解可以更好的发掘信号的稀疏性。信号在冗余字典上可以根据自己特优的结构特征进行分解，即训练更新得到的冗余字典可以更好的发掘信号的稀疏性。

对于本发明所解决的问题是对规格化的点云数据求得其过完备字典，从而得到其稀疏表示。通过1）中所述的点云数据规格化算法，已经使得点云数据分片均匀，并且每一片的维度均相同，并且具有相似的几何特性。

设散乱点集规格化点云数据为P’，分割后的散乱点集可以表示为S_j为第j个子集，集合中的元素都是根据元素与聚类中心的距离有序分类，通过规格化之后，使得在几何上具有相似性的片元能够在数值上具有极高的相似性，因此将规格化后的点云数据集合S作为过完备字典的训练集来训练更新得到冗余字典，从而更好的挖掘点云数据的稀疏性,也为基于压缩感知的点云数据压缩奠定了基础。

基于K-SVD的点云数据过完备字典训练算法可分两步来实现。首先，设D∈R^n×K，y∈Rⁿ，x∈R^K，其中，D为原过完备原子库，y表示训练信号，x为训练信号的稀疏表示系数向量，Y为M个训练信号集合，X为Y的解向量集合，Rⁿ表示n维信号集。K-SVD算法的第一步要达到的目标是：

其中，T₀为稀疏表示系数中非零分量个数的上限，接下来对原子库D进行迭代训练。设d_k为要更新的原子库D的第k列向量，此时信号集的分解形式可以表示为：

通过奇异值分解，逐列更新字典，最终产生新的字典然后根据新的字典得出新的稀疏系数，并迭代更新，直到收敛。

3）点云数据稀疏表示的应用

考虑到原始散乱点云数据P在数值上几乎不具备任何稀疏性，采用本发明所述方法，对原始点云P进行规格化得到其规格化后的结果P’，对于点云数据本发明获得了点云数据的过完备字典，信号稀疏表示的理论指出，自然信号可以通过某种变换来进行稀疏表示，因此，点云数据可以在过完备变换基下进行稀疏表示，即P’=Dx,x为该信号在过完备字典变换域下的稀疏表示，考虑到测量公式y=ΦP’，并且P’是可以稀疏表示的，即P’=Dx,则有

其中为M×N的矩阵，被称为传感矩阵，y可以看作是稀疏信号x关于测量矩阵的测量值。这时如果满足约束等距条件，可以通过求解最小l0范数问题(5-4)来重构稀疏信号x。对于点云数据的压缩重建，实际上是对如下问题的求解：

其中，测量矩阵Φ利用高斯随机矩阵来进行观测，通过对(7)问题的求解可以得到点云数据P’的稀疏表示可以进一步由过完备字典D通过下式精确重构原始点云

但是，对于(7)的问题求解本质上是一个NP-hard问题，需要穷举x中非零值的所有种排列可能，因而无法求解[9]。鉴于此，研究人员对于该问题的求解提出了求得次最优解的算法，主要是指l₁范数最小化，通常的解法是利用l₁范数替代l₀范数。因此本发明对于(7)问题的求解转为如下问题的求解:

考虑到重构误差，最终将上述问题转换为如下最小l₁范数问题的求解：

通过对问题(9)的求解，可以获得规格化点云数据在字典D下的稀疏系数重建结果因此重建的规格化点云数据可由下式获得：

由于本发明的规格化方法引入了几何变换，因此对于重建的规格化点云数据需要做反变换来获得重建的点云数据

考虑到基于欧氏距离的K近邻聚类算法在聚类后期会因为周围未聚类点数量稀少，导致产生一些半径过大的片元，因此，我们忽略K近邻聚结果中部分半径过大的片元，以避免此类片元对结果的影响。在后续工作中，我们会对点云数据的聚类算法做相关优化，避免产生类似片元。

本发明的方法使得压缩感知理论能够应用到点云数据的压缩与重建过程当中，并且具有良好的重建结果。

以上所述，仅是本发明的较佳实施例，并非对本发明作任何形式上的限制，凡是依据本发明的技术实质对以上实施例所作的任何简单修改、等同变化与修饰，均仍属本发明技术方案的保护范围。

Claims (1)

1.一种基于压缩感知的点云数据稀疏表示方法，其特征在于：包括以下步骤：

(1)点云数据规格化；

(2)基于K-SVD算法的过完备字典稀疏表示；

(3)规格化点云数据观测，传输并存储；

(4)基于l1范数最小化的点云数据重建；

(5)规格化点云数据恢复；

步骤(1)中采用最小二乘算法对片元进行平面方程拟合，用平面法向对片元法向进行估计，以便后续的点云数据规格化；对片元中的点云进行几何变换，使得具有相似几何特性的片元在数值上同样具有一定的相似性；

通过公式(1)、(2)计算点云数据的片元：

点云集合为片元质心为点p_j的K近邻分片S_j为：

$S_j=\left\{p_{j_k}\right|p_{j_k}\∈P,\left|\right|p_{j_k}-{\stackrel{\‾}{P}}_j|{|}_2^2\≤\mathrm{\δ}\}---\left(1\right)$

由质心指向K近邻片元的中心点的方向向量为与拟合平面的夹角为β，与拟合出的法向夹角为α，与的内积为：当ρ＞0时，表示拟合出的法向n指向模型外部，不对拟合出的法向进行调整，当＜0时，表示拟合出的法向n指向模型内部，对法向n进行调整,对法向进行取反操作；

点云数据片元的规则化变换矩阵为：

normMat_j＝T_j*R_j (2)

其中T_j为根据质心坐标构建平移变换矩阵，R_j为旋转矩阵；

步骤(2)包括以下分步骤：

(1)设D∈R^n×K，y∈Rⁿ，x∈R^K，其中，D为原过完备原子库，y表示训练信号，x为训练信号的稀疏表示系数向量，Y为M个训练信号集合，X为Y的解向量集合，Rⁿ表示n维信号集，通过公式(3)计算：

$\begin{array}{ccc}\min \left\{\left|\right|y_i-{\mathrm{Dx}}_i|{|}_2^2\right\}& s.t.& \∀i,\left|\right|x_i|{|}_0\≤T_0,i=1,2,...,M\end{array}---\left(3\right)$

其中，T₀为稀疏表示系数中非零分量个数的上限；

(2)对D进行迭代训练，设d_k为要更新的原子库D的第k列向量，此时信号集的分解形式为公式(4)：

$\begin{array}{c}\left|\right|Y-DX|{|}_F^2=||\left(Y-{\mathrm{\Σ}}_{j\≠k}{d}_j{x}_T^j\right)-d_k{x}_T^k|{|}_F^2\\ =\left|\right|E_k-d_k{x}_T^k|{|}_F^2\end{array}---\left(4\right)$

通过奇异值分解，逐列更新字典，产生新的字典然后根据新的字典得出新的稀疏系数，并迭代更新，直到收敛；

步骤(5)通过公式(9)、(10)重建点云数据：

$\begin{array}{ccc}\hat{x}=\arg min\left|\right|x|{|}_1& s.t.& \left|\right|\widetilde{\mathrm{\Φ}}x-y|{|}_2\≤\∈\end{array}---\left(9\right)$

$\widehat{P^{,}}=D\hat{x}---\left(10\right)$

其中为规格化点云数据在字典D下的稀疏系数重建结果，

然后对重建的规格化点云数据做反变换来获得重建的点云数据