CN111832582B - 一种利用点云密度与旋转信息对稀疏点云进行分类与分割的方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开一种利用点云密度与旋转信息对稀疏点云进行分类与分割的方法，包括如下步骤：预处理点云；对稀疏点云的坐标信息进行分析；对稀疏点云的空间和密度信息进行分析；结合点云空间坐标特征与密度及旋转特征进行点云分类与分割。本发明通过对点云的预处理方式以及对稀疏点云空间信息和旋转信息的挖掘与利用，从而提升点云分类与分割的工作模式，采用本算法对不同密度的点云(稀疏点云，密集点云)的分类和分割进行对比，效率提高十倍以上；用本方法对稀疏点云的分类和分割与传统机器学习方法(滤波)的分类和分割进行对比，精度提升7％，由87％提升至93％；与PoineNet算法和3DCNN算法相比，精度提高4％。

Description

一种利用点云密度与旋转信息对稀疏点云进行分类与分割的 方法

技术领域

本发明涉及点云的分类和分割技术领域。具体地说是一种利用点云密度与旋转信息对稀疏点云进行分类与分割的方法。

背景技术

激光雷达以其对地表信息实时、准确获取的空前优势，在测绘工程中得到了广泛的应用。点云是激光雷达传感器最直接的输出，是对传感器视觉所看到的所有物体的客观、详尽的表达。然而，详尽意味着大量的数据和长期的计算。大多数研究人员不需要详尽的数据，只需要关注感兴趣区域的点云。以矿区检测为例，复垦研究者关注矿区植被的生长状态，变形监测研究者关注开采过程中地表形态的变化。分类和分割任务是点云在地理信息工程应用中不可或缺的一部分。因此，如何高效、准确地识别和分割点云是激光雷达研究的一个关键问题。

近年来，深度学习是点云分类和分割最有效的方法之一。通过深度学习，将视觉输入(点云)划分为不同的语义可解释类别标签，使得每个点都有自己的特征标签属性。这样，研究人员就可以根据自己的需要高效地提取点云。然而，由于点云数据特殊的数据结构，很难获得高性能的分类和分割方法。

点云的深度卷积神经网络(CNNs)的发展在语义分割方面取得了重大进展。以前，由于点云具有不规则的数据结构，许多研究者不得不采用间接的方法来训练数据。例如将点云转换为常规的3D体素网格或将点云投影到2D视图。然而，使用这种方法会产生大量不必要的数据和计算内存。此外，高维、密集的卷积核会产生一些不可预测的误差，模糊数据的自然不变性。

对于大地测量来说，高分辨率激光雷达传感器获得的稀疏点云具有更小的数据量，更实用。由于在矿区进行点云等大地测量，需要长距离(>100m)和大型高分辨率激光雷达仪器。而密集的点云具有分辨率高、规模大、数据量大的特点，对于计算机来说，深度学习中庞大的参数缓存和内存都是一个沉重的负担。因此，将密集点云进行采样稀释成稀疏点云是大地测量中高效利用高分辨率数据集的必然趋势。

数据中的属性使信息独立，但相互影响又称为空间结构相关性。空间局部相关是数据中不同相关特征的一般属性，是一种独立于数据表示的属性信息。它在各种类型的数据中无处不在，正是卷积算子有效地提取了这种相关性质，使CNN在各种任务中都能表现出优异的性能。但是，所有这些的前提是需要在常规域(如图像)中表示输入。对于点云，空间局部相关是指点对点之间的依赖关系，如点之间密度的变化、局部区域的范围或点之间的相对角度等。然而，对于稀疏点云，通过逐步稀释操作，空间局部相关性被掩盖。丰富数据内部结构的空间局部相关性对于稀疏点云的深度学习模型至关重要。这对大地测量中的稀疏点云是一个挑战。

1、与本发明相关的现有技术一—PoineNet算法

1.1、现有技术一的特征

Charles R.Qi,Hao Su等创新性地提出了深度学习模型-PointNet，它可以直接以点云作为输入。在PointNet中，利用Max-pooling的对称函数巧妙地解决了无序点集的问题，从而将点云直接应用到CNNs的卷积算子中。另外，在后来的PointNet++中对网络进行了改进，并通过在PointNet++中进行多尺度提取，解决了PointNet在精细尺度分割方面性能较差的问题。

1.2、现有技术一的缺点

PointNet算法侧重于分析密集的近距离扫描点云(ModelNet40、ScanNet)，对稀疏点云的研究还不够。这样，研究人员就可以根据自己的需要高效地提取点云。然而，由于点云数据特殊的数据结构，很难获得高性能的分类和分割方法。

2、与本发明相关的现有技术二—3DCNN算法

2.1、现有技术二的特征

Tatebe Y等在VoxNet的基础上提出了3DCNN方法，该方法可以映射输入稀疏点云的可能性，并成功地利用该稀疏点云进行行人检测。然而，将稀疏点云和直接消耗点云的优点结合起来是很困难的。因此，需要一个深度学习模型，对大范围测量区域的稀疏点云进行同等甚至更好的语义分析。

2.2现有技术二的缺点

3DCNN算法是基于体素特征搜索的一种方式，间接的将点云转换到体素网格内储存，再进行计算，这种方式不仅增加了大量不必要的数据量与计算成本，并且是计算精度不高，不适合矿区点云的使用。

发明内容

为此，本发明所要解决的技术问题在于：

A.测站点云具有散射性：大地测量多采用高分辨率传感器的远程陆基激光雷达仪器，以站中心为扫描圆中心获取信息，并在其周围发射脉冲信号。因此，点的分布以站点为中心，并向四周扩散。由于这一原理，传感器的扫描距离越远，点的散射越高；换句话说，每个站点的点云分布是分散的。坐标误差和密度差会随着扫描距离的增加而逐渐增大。

B.同一地物区域，密度不均匀:通过对每个站点点云进行去噪和配准，得到原始数据集。但是在这个过程中，每一站中点的散射程度不同，导致同一区域甚至同一主题上的点密度不均匀。

C.松散的边缘结构:聚焦于各站点稀疏点云的边缘，该区域的目标结构几乎是随机分布的，因为最远的扫描半径和最大的测量误差都集中在这里。另外，由于遥感扫描测量，相邻站点间的点云重叠区域相对较少。低重叠配准产生较大的***误差。这在稀疏点云中更加明显，点云的松散结构模糊了对象的特征。这种现象使得稀疏点云的空间局部相关提取在深度学习中更加困难。

本发明为解决上述技术问题，提供了一种通过利用点云数据的密度和旋转特征，丰富点云内部的空间结构相关性，以达到高效、精确的完成稀疏点云的分类与分割任务的目的利用点云密度与旋转信息对稀疏点云进行分类与分割的方法。

为解决上述技术问题，本发明提供如下技术方案：

一种利用点云密度与旋转信息对稀疏点云进行分类与分割的方法，包括如下步骤：

(1)预处理点云：运用KD-TREE遍历方式将点云分成同等规格的样本输入块；

(2)对稀疏点云的坐标信息进行分析：通过深度学习方式得到样本块的全局特征和局部特征；

(3)对稀疏点云的空间和密度信息进行分析：丰富稀疏点云的空间局部相关性，从输入点云的旋转和密度信息中挖掘出点云的结构特征；

(4)结合点云空间坐标特征与密度及旋转特征进行点云分类与分割。

上述利用点云密度与旋转信息对稀疏点云进行分类与分割的方法，在步骤(1)中，采用邻近算法KNN采样预处理方法，通过定义网格步距搜索中心点的方式，避免点云分组时，产生过多的重叠，具体包括如下步骤：

(1-1)构建矩体网格遍历：

首先，根据点云尺寸定义一个的单位矩体，单位矩体的长和宽设为原始点云覆盖边界矩体的长和宽的百分之一，高为原始点云高差的五分之一；即将原始点云平均分成50000个样本块；

然后，将点云坐标零点(0,0,0)定为原点，用单位矩体依次从点云的三个维度方向x,y,z进行遍历，从小到大，编码分区，直到覆盖整个点云为止；通过这种方式，将待采样的点云限制在规则的单位矩体中，卷积算子可以有规则地对代表点进行次采样；

(1-2)构建K-query索引：根据样本块的编号，对点云进行遍历，选择每个块的中心作为圆心，根据基于KNN的中心点准则K-query进行搜索；最后，得到每个示例块都有相同的数量，但不同形状的样本块。

上述利用点云密度与旋转信息对稀疏点云进行分类与分割的方法，在步骤(2)中，以Max-Pooling为对称函数，将无序点集转换成具有规则排列的向量，如公式(Ⅰ)和公式(Ⅱ)所示：

g(x₁,x₂...x_n)＝max(x₁,x₂...x_n) (Ⅰ)

f({x₁,...,x_n})≈g(h(x₁),...,h(x_n)) (Ⅱ)

其中，x₁，x₂…x_n表示输入的点云坐标，n指点云个数；

g表示Max-Pooling函数，max表示取最大值函数，f表示网络对点云的拟合方程；h表示线性线性整流函数，如下式定义：

h_i＝ReLU(w_ix_i+b_i)

h_i为对第i个点云的线性线性整流函数，w_i为第i个点云的网络的权重，b_i为第i个点云的偏置，x_i为第i个点云坐标，x为输入的点云坐标，ReLU为线性整流函数；

表示网络对点云的拟合方程；h:R^N→R^K表示多层感知器MLP，/>是Max-pooling对称函数；

其中：R表示自然数集；N，K指向量维度，即从N维的自然数集映射到了K维的自然数集；k指每个点的维度。

上述利用点云密度与旋转信息对稀疏点云进行分类与分割的方法，步骤(3)由三层组成，包括旋转和密度层、卷积层和最大池层，其中旋转和密度层由旋转单元和密度单元组成；步骤(3)包括如下：

(3-1)旋转单元以特定角度旋转输入样本块，特定角度由相邻地面激光雷达站之间垂直方向的相对角度来确定，所述特定角度为大于0度且小于180度，如式(Ⅲ)所示：

其中θ为特定角度，R_z(θ)为旋转单元变量；

(3-2)密度单元计算每个点的密度，这取决于搜索区域的大小；首先，密度被添加了一个特殊的卷积层，所述特殊的卷积层具有独立的权重和偏置反向传播反演参数，使密度的权重对变量的变化变得更为敏感，密度信息可以独立计算，并且与坐标信息具有相同的作用；其次，坐标信息和密度信息作为两个独立变量放入卷积层中，如式(Ⅳ)所示：

P′＝MLP(mlp(p_(x,y,z)),mlp(p_d)) (Ⅳ)；

其中P_(x，y,z)为坐标信息，P_d为密度信息，P’为密度单元变量；mlp表示多层感知器；

(3-3)将步骤(3-1)旋转单元变量和步骤(3-2)密度单元变量相乘，得到旋转的密度信息，如式(Ⅴ)所示：

D＝P′·R_z (Ⅳ)；

(3-4)将步骤(3-3)中的旋转单元变量和密度单元向量乘积，通过卷积层和最大池层，输出D成为规则结构特征。

上述利用点云密度与旋转信息对稀疏点云进行分类与分割的方法，在步骤(4)中，将步骤(2)获得的全局特征和局部特征和步骤(3)中获得的结构特征，将这三种特征连接成一个矩阵，形成一个新的特性向量，即：特征连接向量；然后以特征连接向量作为分类和分割任务的输入；

点云分类：对每个样本块的整体形状进行识别，判断该块点云属于哪一类，最终再将所有样本块进行整合，按不同类别输出点云；

点云分割：以输入样本块的每个点为单位，对每个点进行识别，判断该块点云中每个点的所属类别，最终需要将所有点进行整合，按不同类别输出点云。

本发明的技术方案取得了如下有益的技术效果：

本发明通过对点云的预处理方式以及对稀疏点云空间信息和旋转信息的挖掘与利用，从而提升稀疏点云分类与分割的工作模式。

本发明是在步骤1点云预处理过程中，建立规则的矩体网状KD-TREE遍历模式；步骤2用于处理空间坐标信息；在步骤3中的矩阵旋转与密度分析，设计了一个独特的深度学习框架，对稀疏点云的密度及旋转信息进行挖掘点云的结构特征的算法结构，丰富稀疏点云的空间结构相关性，使点云运算成本大幅度降低，从而利用它来提升分类和分割任务的精度和效率展开，采用本算法对不同密度的点云(稀疏点云，密集点云)的分类和分割进行对比，效率提高十倍以上，即密集点云分类和分割用时约36小时(120秒训练一个样本块)，稀疏点云分类和分割用时2小时(12s训练一个样本块)；用本方法对稀疏点云的分类和分割与传统机器学习方法(滤波)的分类和分割进行对比，精度提升7％，由87％提升至93％【由于滤波方法与分类算法不同，滤波方法是将点云数据的地面点与非地面点分离的过程，无法用同一种精度评定方法来进行对比。所以我们选择以最终的应用效果来作为评价指标。即:对滤波算法来说，我们用分离后的地面点比上真实地面点；对本方法来说，我们用分类后的点云块与真值的比】；与PoineNet算法和3DCNN算法相比，精度提高4％。因此本发明提供了一种准确、高效的稀疏点云分类与分割方法。

步骤2与步骤3相互独立，点云处理时可以互换顺序，不影响点云分类和分割的精度。

附图说明

图1现有技术中稀疏点云分类与分割任务存在的技术问题的传感器扫描图，其中A为测站点云具有散射性，B为同一地物区域，密度不均匀；C为松散的边缘结构，***误差大；

图2本发明利用点云密度与旋转信息对稀疏点云进行分类与分割的方法的算法信息流示意图；

图3本发明利用点云密度与旋转信息对稀疏点云进行分类与分割的方法的步骤1中预处理方法中规则矩体遍历示意图；

图4本发明利用点云密度与旋转信息对稀疏点云进行分类与分割的方法的步骤2的结构框架图；

图5本发明利用点云密度与旋转信息对稀疏点云进行分类与分割的方法的步骤3的结构框架图；

图6本发明利用点云密度与旋转信息对稀疏点云进行分类与分割的方法的步骤4的分类与分割结构框架图。

具体实施方式

本方法思路紧紧围绕着丰富稀疏点云的空间结构相关性，从而利用它来提升分类和分割任务的精度和效率展开。针对密度和旋转信息，本方法设计了一个独特的深度学习框架(步骤3)，有效地丰富了稀疏点云的空间局部相关性，大大提高了分类和分割的性能，如图5所示。

本方法共分为四个步骤，图2是整个网络过程的概述。其中，步骤2用于处理空间坐标信息；步骤3用于处理点云的密度和旋转信息。考虑到这类信息的差异，在步骤3中设计了一个创新的深度学习网络来提供这类信息，如图5所示，其中步骤2与步骤3相互独立，点云处理时可以互换顺序。

步骤1：预处理点云：运用KD-TREE遍历方式将点云分成同等规格的样本输入块。

本发明提出了一个全新的邻近算法KNN采样预处理方法，通过定义网格步距搜索中心点的方式，避免点云分组时，产生过多的重叠。它由两部分组成：

(1-1)构建矩体网格遍历：

首先，根据点云尺寸定义一个比例合适的单位矩体，单位矩体的长和宽设为原始点云覆盖边界矩体的长和宽的百分之一，高为原始点云高差的五分之一；即将原始点云平均分成50000个样本块；

然后，将点云坐标零点(0,0,0)定为原点，用单位矩体依次从点云的三个维度方向x,y,z进行遍历，从小到大，编码分区，直到覆盖整个点云为止；通过这种方式，将待采样的点云限制在规则的单位矩体中，卷积算子可以有规则地对代表点进行次采样；子空间中的点代表了前一层中所有点，因此它们承载着更多的信息，并且彼此之间具有更强的相关性。

(1-2)构建K-query索引：根据样本块的编号，对点云进行遍历，选择每个块的中心作为圆心，根据基于KNN的中心点准则K-query进行搜索；最后，得到每个示例块都有相同的数量，但不同形状的样本块，如图3右侧所示。

通过这种方法，KD-TREE抽样方法使得样本具有相同的大小，并且易于被卷积核识别。同时，对每个样本块内各点的性质进行了关联。然后采用矩体网格遍历方法，保证了采样的完整性，避免了大量重叠数据的产生。

步骤2：对稀疏点云的坐标信息进行分析。

基于PointNet++中的mini-PointNet的设计进行改进和调整。本发明通过直接的方式得到样本块的全局特征和各点的局部区域特征，如图4所示。

步骤2中最大池化层是关键。

以Max-Pooling为对称函数，将无序点集转换成具有规则排列的向量，如公式(Ⅰ)和公式(Ⅱ)所示：

g(x₁,x₂...x_n)＝max(x₁,x₂...x_n) (Ⅰ)

f({x₁,...,x_n})≈g(h(x₁),...,h(x_n)) (Ⅱ)

其中，其中，x₁，x₂…x_n表示输入的点云坐标，n指点云个数；

g表示Max-Pooling函数，max表示取最大值函数，f表示网络对点云的拟合方程；h表示线性线性整流函数，如下式定义：

h_i＝ReLU(w_ix_i+b_i)

h_i为对第i个点云的线性线性整流函数，w_i为第i个点云的网络的权重，b_i为第i个点云的偏置，x_i为第i个点云坐标，x为输入的点云坐标，ReLU为线性整流函数；

表示网络对点云的拟合方程；h:R^N→R^K表示多层感知器MLP，/>是Max-pooling对称函数；

其中：R表示自然数集；N，K指向量维度，即从N维的自然数集映射到了K维的自然数集；k指每个点的维度。

空间结构相关性是对(点之间距离、局部区域范围、点与点之间的依附关系等)之类性质的一个概括。而对于稀疏点云来说，空间结构相关性被低分辨率的点云大大减弱。所以，丰富其内部空间结构相关性，对稀疏点云的深度学习至关重要。

步骤3：对稀疏点云的空间和密度信息进行分析。

丰富稀疏点云的空间局部相关是本申请的关键。步骤3从输入点云的旋转和密度信息中挖掘出点云的结构特征，如图5所示。

步骤(3)由三层组成，包括旋转和密度层、卷积层和最大池层，其中旋转和密度层由旋转单元和密度单元组成；步骤(3)包括如下：

(3-1)旋转单元以特定角度旋转输入样本块，特定角度由相邻地面激光雷达站之间垂直方向的相对角度来确定，所述特定角度为大于0度且小于180度，如式(Ⅲ)所示：

其中θ为特定角度，R_z(θ)为旋转单元变量；

(3-2)密度单元计算每个点的密度，这取决于搜索区域的大小；首先，密度被添加了一个特殊的卷积层，所述特殊的卷积层具有独立的权重和偏置反向传播反演参数，使密度的权重对变量的变化变得更为敏感，密度信息可以独立计算，并且与坐标信息具有相同的作用；其次，坐标信息和密度信息作为两个独立变量放入卷积层中，如式(Ⅳ)所示：

P′＝MLP(mlp(p_(x,y,z)),mlp(p_d)) (Ⅳ)；

其中P_(x，y,z)为坐标信息，P_d为密度信息，P’为密度单元变量；

(3-3)将步骤(3-1)旋转单元变量和步骤(3-2)密度单元变量相乘，得到旋转的密度信息，如式(Ⅴ)所示：

D＝P′·R_z (Ⅳ)；

(3-4)将步骤(3-3)中的旋转单元变量和密度单元向量乘积，通过卷积层和最大池层，输出D成为规则结构特征。

步骤4：结合点云空间坐标特征与密度及旋转特征进行点云分类与分割

通过步骤2获得的全局特征和局部特征和步骤3获得的结构特征，将这三种特征连接成一个矩阵，形成一个新的特性向量，即：特征连接向量，如图6所示。然后以特征连接向量作为分类和分割任务的输入。

点云分类：对每个样本块的整体形状进行识别，判断该块点云属于哪一类，比如地表，植被，建筑物等，最终再将所有样本块进行整合，按不同类别输出点云；分类任务是评价算法性能最直接手段，因为只有具备足够强大的特征分析能力的算法才能在分类任务中稳定地执行；

点云分割：以输入样本块的每个点为单位，对每个点进行识别，判断该块点云中每个点的所属类别，最终需要将所有点进行整合，按不同类别输出点云。如，某一样本块内包含地表，植被，建筑物三类，点云分割会依次输出以上三类，而点云分类只能判断出该快占据大多数的一类。

点云分割需要对被扫描对象的特征变化更敏感，对传播过程更细致；因此，所有细分中的每个细节都需要认真考虑。

显然，上述实施例仅仅是为清楚地说明所作的举例，而并非对实施方式的限定。对于所属领域的普通技术人员来说，在上述说明的基础上还可以做出其它不同形式的变化或变动。这里无需也无法对所有的实施方式予以穷举。而由此所引伸出的显而易见的变化或变动仍处于本专利申请权利要求的保护范围之中。

Claims (3)

1.一种利用点云密度与旋转信息对稀疏点云进行分类与分割的方法，其特征在于，包括如下步骤：

(1)预处理点云：运用KD-TREE遍历方式将点云分成同等规格的样本输入块；

(2)对稀疏点云的坐标信息进行分析：通过深度学习方式得到样本块的全局特征和局部特征；

(3)对稀疏点云的空间和密度信息进行分析：丰富稀疏点云的空间局部相关性，从输入点云的旋转和密度信息中挖掘出点云的结构特征；

(4)结合点云空间坐标特征与密度及旋转特征进行点云分类与分割；

步骤(3)中处理模块由三层组成，包括旋转和密度层、卷积层和最大池层，其中旋转和密度层由旋转单元和密度单元组成；步骤(3)包括如下：

(3-1)旋转单元以特定角度旋转输入样本块，特定角度由相邻地面激光雷达站之间垂直方向的相对角度来确定，所述特定角度为大于0度且小于180度，如式(Ⅲ)所示：

其中θ为特定角度，R_z(θ)为旋转单元变量；

(3-2)密度单元计算每个点的密度，这取决于搜索区域的大小；首先，密度被添加了一个特殊的卷积层，所述特殊的卷积层具有独立的权重和偏置反向传播反演参数，使密度的权重对变量的变化变得更为敏感，密度信息独立计算，并且与坐标信息具有相同的作用；其次，坐标信息和密度信息作为两个独立变量放入卷积层中，如式(Ⅳ)所示：

P’＝MLP(MLP(p_(x,y,z)),MLP(p_d)) (Ⅳ)；

其中P_(x，y,z)为坐标信息，P_d为密度信息，P’为密度单元变量；MLP表示多层感知器；

(3-3)将步骤(3-1)旋转单元变量和步骤(3-2)密度单元变量相乘，得到旋转的密度信息，如式(Ⅴ)所示：

D＝P′·R_z (Ⅳ)；

(3-4)将步骤(3-3)中的旋转单元变量和密度单元向量乘积，通过卷积层和最大池层，输出D成为规则结构特征；

在步骤(4)中，将步骤(2)获得的全局特征和局部特征和步骤(3)中获得的结构特征，将这三种特征连接成一个矩阵，形成一个新的特性向量，即：特征连接向量；然后以特征连接向量作为分类和分割任务的输入；

点云分类：对每个样本块的整体形状进行识别，判断该块点云属于哪一类，最终再将所有样本块进行整合，按不同类别输出点云；

点云分割：以输入样本块的每个点为单位，对每个点进行识别，判断该块点云中每个点的所属类别，最终需要将所有点进行整合，按不同类别输出点云。

2.根据权利要求1所述的利用点云密度与旋转信息对稀疏点云进行分类与分割的方法，其特征在于，在步骤(1)中，采用邻近算法KNN采样预处理方法，通过定义网格步距搜索中心点的方式，避免点云分组时，产生过多的重叠，具体包括如下步骤：

(1-1)构建矩体网格遍历：

首先，根据点云尺寸定义一个的单位矩体，单位矩体的长和宽设为原始点云覆盖边界矩体的长和宽的百分之一，高为原始点云高差的五分之一；即将原始点云平均分成50000个样本块；

然后，将点云坐标零点(0,0,0)定为原点，用单位矩体依次从点云的三个维度方向x,y,z进行遍历，从小到大，编码分区，直到覆盖整个点云为止；通过这种方式，将待采样的点云限制在规则的单位矩体中，卷积算子有规则地对代表点进行次采样；

(1-2)构建K-query索引：根据样本块的编号，对点云进行遍历，选择每个块的中心作为圆心，根据基于KNN的中心点准则K-query进行搜索；最后，得到每个示例块都有相同的数量，但不同形状的样本块。

3.根据权利要求2所述的利用点云密度与旋转信息对稀疏点云进行分类与分割的方法，其特征在于，在步骤(2)中，以Max-Pooling为对称函数，将无序点集转换成具有规则排列的向量，如公式(Ⅰ)和公式(Ⅱ)所示：

g(x₁,x₂...x_n)＝max(x₁,x₂...x_n) (Ⅰ)

f({x₁,...,x_n})≈g(h(x₁),...,h(x_n)) (Ⅱ)

其中，x₁，x₂…x_n表示输入的点云坐标，n指点云个数；

g表示Max-Pooling函数，max表示取最大值函数，f表示网络对点云的拟合方程；h表示线性整流函数，如下式定义：

h_i＝ReLU(w_ix_i+b_i)

h_i为对第i个点云的线性整流函数，w_i为第i个点云的网络的权重，b_i为第i个点云的偏置，x_i为第i个点云坐标，x为输入的点云坐标，ReLU为线性整流函数；

f:表示网络对点云的拟合方程；h:R^N→R^K表示多层感知器MLP，g:是Max-pooling对称函数；

其中：R表示自然数集；N，K指向量维度，即从N维的自然数集映射到了K维的自然数集；k指每个点的维度。