CN103762958A - 一种改进的仿射组合自适应滤波方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供了一种改进的仿射组合自适应滤波方法，基于仿射组合自适应滤波***实现，所述仿射组合自适应滤波***由已知期望滤波器和组合自适应滤波器两部分构成，所述组合自适应滤波器包括两个子滤波器。本发明通过已知期望滤波器产生子滤波器及组合自适应滤波器的期望信号，由两个子滤波器的输出通过组合参数组合获得整个组合自适应滤波器的输出，并利用组合参数控制两个子滤波器的运行；两个子滤波器的权向量由最小均方误差方法进行更新，组合参数由两个子滤波器的输出进行更新；实时跟踪子滤波器性能强、收敛速度快、稳态偏差低。本发明还通过对组合参数的进一步改进，避免了噪声信号及两个子滤波器的相关性引起的误差干扰。

Description

一种改进的仿射组合自适应滤波方法

技术领域

本发明属于数字自适应滤波技术领域，尤其是涉及一种改进的仿射组合自适应滤波方法。

背景技术

在自适应算法的设计中，收敛速度和稳态误差是两个重要的指标，然而在一般的自适应***中，这两个指标往往不能同时达到最佳值，即快的收敛速度引起高的稳态误差，慢的收敛速度降低稳态误差。为了解决这个矛盾，研究人员尝试地给出了一种自适应滤波算法的凸组合方案，在这种方案中，采用了sigmoid函数对凸组合的子自适应滤波器进行控制，虽然在一定程度上缓解了收敛速度和稳态误差之间的矛盾，但是这种组合在复杂多变环境下受到梯度噪声干扰而导致性能下降，难以在复杂多变环境下发挥其优越性，出现这种缺陷根本原因在于组合参数不能跟随子滤波器的输出信号变化，进而不能有效的对子滤波器进行及时的切换。

发明内容

针对现有技术中的上述缺陷，本发明公开了一种改进的仿射组合自适应滤波方法，通过在仿射组合自适应滤波***中提供有效的组合参数，解决了仿射自适应滤波***收敛速度与稳态误差之间的矛盾。

为了达到上述目的，本发明提供如下技术方案：

一种改进的仿射组合自适应滤波方法，基于仿射组合自适应滤波***实现，所述仿射组合自适应滤波***由已知期望滤波器和组合自适应滤波器两部分构成；所述已知期望滤波器用于产生子滤波器及组合自适应滤波器的期望信号，所述组合自适应滤波器包括两个子滤波器，所述改进的仿射组合自适应滤波方法包括如下步骤：

步骤A，发射信号U(n)经已知期望滤波器W_o(n)和噪声信号e_o(n)产生改进仿射组合自适应滤波器的期望信号d(n)：

其中n为时间序列，上标T表示转置操作；U(n)为广义平稳输入信号，e_o(n)是均值为0，方差为

的噪声信号；

步骤B，发射信号U(n)经过子滤波器W₁(n)得到其输出y₁(n)：y₁(n)=W₁ ^T(n)U(n)；发射信号U(n)经过子滤波器W₂(n)得到其输出y₂(n)：y₂(n)=W₂ ^T(n)U(n)；

所述子滤波器W₁(n)和子滤波器W₂(n)采用最小均方误差方法LMS进行更新，更新公式为：W_i(n+1)=W_i(n)+μ_ie_i(n)U(n)；

式中，i=1,2，μ₁为W₁(n)的更新步长，μ₂为W₂(n)的更新步长，且μ₂=δμ₁,0<δ<1， $e_i\left(n\right)=e_o\left(n\right)+[W_o^T\left(n\right)-{W_i}^T\left(n\right)]U\left(n\right)$ 为子滤波器W_i(n)的输出误差信号；

步骤C，子滤波器W₁(n)输出信号y₁(n)和子滤波器W₂(n)输出信号y₂(n)通过组合参数λ(n)，得到组合自适应滤波器的输出信号：y(n)=λ(n)y₁(n)+[1-λ(n)]y₂(n)；

所述组合参数λ(n)通过下式进行更新：

λ(n+1)=λ(n)+μe(n)(y₁(n)-y₂(n))，

其中,e(n)是组合自适应滤波器的误差信号，e(n)=d(n)-y(n)； $y_1\left(n\right)-y_2\left(n\right)={W_1}^T\left(n\right)U\left(n\right)-W_2^T\left(n\right)U\left(n\right)=({W_1}^T\left(n\right)-W_2^T\left(n\right))U\left(n\right)=W_{12}^T\left(n\right)U\left(n\right),$ μ为组合参数λ(n)的迭代步长，为常数；W₁₂(n)=W₁(n)-W₂(n)为子滤波器权向量差。

进一步的，令

将μ(n)代入组合参数λ(n)的更新公式中，得到新的更新公式为：

其中，p(n)是信号y₁(n)-y₂(n)的低通滤波功率估计值；

为常数，且

0<ε<<1；

p(n)的更新公式为：

p(n+1)=αp(n)+β[y₁(n)-y₂(n)]²；

其中α,β为遗忘因子，是常数，0<α,β<1。

进一步的，所述α近似为1。

进一步的，所述组合参数λ(n)通过如下步骤获取：

步骤C-1，由y₁(n)和y₂(n)得到的组合输出信号y(n)为：

y(n)=λ(n)y₁(n)+[1-λ(n)]y₂(n)={λ(n)W₁₂(n)+W₂(n)}^TU(n)

其中，W₁₂(n)=W₁(n)-W₂(n)，其更新公式为：

W₁₂(n+1)=[I-μ₁U(n)U^T(n)]W₁₂(n)+(μ₁-μ₂)e₂(n)U(n)

其中，I为单位矩阵；

步骤C-2，由y(n)，d(n)计算***误差e(n)，即

e(n)=d(n)-y(n)=e_o(n)+[W_o2(n)-λ(n)W₁₂(n)]^TU(n)

其中，W_o2(n)=W_o(n)-W₂(n)；

由条件均方误差E[e²(n)|W₂(n),W₁₂(n)]对λ(n)求导数，得到组合参数λ(n)的更新公式：

λ(n+1)=λ(n)+μe(n)(y₁(n)-y₂(n))

其中，E[X|Y]表示在Y给定条件下X的数学期望。

与现有技术相比，本发明提供的改进的放射组合自适应滤波方法，通过已知期望滤波器产生期望信号，由两个子滤波器的输出通过组合参数组合获得整个组合自适应滤波器的输出，并利用组合参数控制两个子滤波器的运行；两个子滤波器的权向量由最小均方误差方法进行更新，组合参数由两个子滤波器的输出进行更新，从而使组合参数能够跟随子滤波器的输出信号变化；实时跟踪子滤波器性能强、收敛速度快、稳态偏差低。本发明还通过对组合参数的进一步改进，避免了噪声信号及两个子滤波器的相关性引起的误差干扰。

附图说明

图1为实现本提供的改进的仿射组合自适应滤波方法的***结构原理框图；

图2为迭代函数μ(n)的曲线图；

图3为组合参数λ(n)的特性曲线图；

图4为实施本发明方法的均方偏差性能曲线图，图(a)中μ₁=0.1，μ₂=0.02，δ=0.2；图(b)中，μ₁=0.1,μ₂=0.03，δ=0.2。

具体实施方式

以下将结合具体实施例对本发明提供的技术方案进行详细说明，应理解下述具体实施方式仅用于说明本发明而不用于限制本发明的范围。

图1为实现本发明提供的改进的仿射组合自适应滤波方法的***结构原理框图。其中，改进的仿射组合自适应滤波***由已知期望滤波器和组合自适应滤波器两部分构成；已知期望滤波器用于产生子滤波器及组合自适应滤波器的期望信号，组合自适应滤波器包括子滤波器1和子滤波器2。

具体地说，本发明包括如下步骤：

步骤A，发射信号U(n)经已知期望滤波器W_o(n)和噪声信号e_o(n)产生改进仿射组合自适应滤波器的期望信号d(n)：

$d\left(n\right)=e_o\left(n\right)+W_o^T\left(n\right)U\left(n\right)---\left(1\right)$

其中n为时间序列，上标T表示转置操作；U(n)为广义平稳输入信号；W_o(n)是已知滤波器的权向量；e_o(n)是均值为0，方差为的噪声信号，与其它信号统计独立；

步骤B，发射信号U(n)经过子滤波器W₁(n)得到其输出y₁(n)：

y₁(n)＝W₁ ^T(n)U(n)                                              (2)

W₁(n)为子滤波器1的权向量；

发射信号U(n)经过子滤波器W₂(n)得到其输出y₂(n)：

$y_2\left(n\right)=W_2^T\left(n\right)U\left(n\right)---\left(3\right)$

W₂(n)为子滤波器2的权向量

子滤波器1的误差信号e₁(n)为：

e₁(n)＝d(n)-W₁ ^T(n)U(n)                                            (4)

子滤波器2的误差信号e₂(n)为：

$e_2\left(n\right)=d\left(n\right)-W_2^T\left(n\right)U\left(n\right)---\left(5\right)$

子滤波器1的权向量W₁(n)和子滤波器2的权向量W₂(n)由最小均方算法LMS更新。按照最小均方算法LMS，子滤波器i的权向量W_i(n)的更新公式为

W₁(n+1)=W₁(n)+μ₁e₁(n)U(n)                                  (6)

W₂(n+1)=W₂(n)+μ₂e₂(n)U(n)                                  (7)

式中，i=1,2，μ₁为W₁(n)的更新步长，μ₂为W₂(n)的步长，且μ₂=δμ₁,0<δ<1， $e_i\left(n\right)=e_o\left(n\right)+[W_o^T\left(n\right)-{W_i}^T\left(n\right)]U\left(n\right)$ 为子滤波器W_i(n)的输出误差信号；

步骤C，子滤波器W₁(n)输出信号y₁(n)和子滤波器W₂(n)输出信号y₂(n)通过组合参数λ(n)，得到组合自适应滤波器的输出信号：

y(n)=λ(n)y₁(n)+[1-λ(n)]y₂(n)                                 (8)

由改进仿射组合自适应滤波器的期望信号d(n)和组合自适应滤波器的输出信号y(n)得到组合自适应滤波器的误差信号e(n)：

e(n)=d(n)-y(n)                                                     (9)

式（8）表明，组合参数λ(n)影响仿射组合自适应滤波***的输出，是本发明需要解决的核心参数。组合参数λ(n)的获得过程如下：

步骤C-1，计算权向量差W₁₂(n)=W₁(n)-W₂(n)

将式（2）和式(3)代入式（8）中，得

$\begin{array}{c}y\left(n\right)=\mathrm{\&lambda;}\left(n\right){W_1}^T\left(n\right)U\left(n\right)+[1-\mathrm{\&lambda;}\left(n\right)]W_2^T\left(n\right)U\left(n\right)\\ ={\left\{\mathrm{\&lambda;}\left(n\right)\right[W_1\left(n\right)-W_2\left(n\right)]+W_2\left(n\right)\}}^{T}U\left(n\right)\\ ={\{\mathrm{\&lambda;}\left(n\right)W_{12}\left(n\right)+W_2\left(n\right)\}}^{T}U\left(n\right)\end{array}---\left(10\right)$

式（10）表明，y(n)是由子滤波器2的权向量W₂(n)和权向量差W₁₂(n)的组合；且

W₁₂(n)=W₁(n)-W₂(n)                                  (11)

称式（10）中的λ(n)W₁₂(n)+W₂(n)为子滤波器1的权向量W₁(n)与子滤波器2的权向量W₂(n)通过组合参数λ(n)组合得到的等效权向量，记为W_eq(n)，即

W_eq(n)=λ(n)W₁₂(n)+W₂(n)                                  (12)

由式（6）、（7）、（4）、（5）及（11），得W₁₂(n)的更新公式为

$\begin{array}{c}{W}_{12}(n+1)=W_{12}\left(n\right)+{\mathrm{\&mu;}}_1{e}_1\left(n\right)U\left(n\right)-{\mathrm{\&mu;}}_2{e}_2\left(n\right)U\left(n\right)\\ =W_{12}\left(n\right)+{\mathrm{\&mu;}}_1(d\left(n\right)-{W_1}^T\left(n\right)U\left(n\right))U\left(n\right)-{\mathrm{\&mu;}}_2{e}_2\left(n\right)U\left(n\right)\\ =W_{12}\left(n\right)+{\mathrm{\&mu;}}_1(d\left(n\right)-(W_{12}^T\left(n\right)+W_2^T\left(n\right)U\left(n\right))U\left(n\right)-{\mathrm{\&mu;}}_2{e}_2\left(n\right)U\left(n\right)\\ =W_{12}\left(n\right)+{\mathrm{\&mu;}}_1(d\left(n\right)-W_2^T\left(n\right)U\left(n\right))U\left(n\right)-{\mathrm{\&mu;}}_{1}U\left(n\right)U^T\left(n\right)W_{12}^T\left(n\right)-{\mathrm{\&mu;}}_2{e}_2\left(n\right)U\left(n\right)\\ =W_{12}\left(n\right)+{\mathrm{\&mu;}}_1{e}_2\left(n\right)U\left(n\right)-{\mathrm{\&mu;}}_{1}U\left(n\right)U^T\left(n\right)W_{12}^T\left(n\right)-{\mathrm{\&mu;}}_2{e}_2\left(n\right)U\left(n\right)\\ =[I-{\mathrm{\&mu;}}_{1}U\left(n\right)U^T\left(n\right)]W_{12}\left(n\right)+({\mathrm{\&mu;}}_1-{\mathrm{\&mu;}}_2)e_2\left(n\right)U\left(n\right)\end{array}---\left(13\right)$

式中，μ₂=δμ₁,0<δ<1。

步骤C-2，由条件均方误差E[e²(n)|W₂(n),W₁₂(n)]的瞬时梯度得组合参数λ(n)的更新公式：

由式(9)、(1)及式(10)，得

$\begin{array}{c}e\left(n\right)=d\left(n\right)-y\left(n\right)\\ =e_o\left(n\right)+W_o^{T}U\left(n\right)-\left\{\mathrm{\&lambda;}(n){W_1}^T\left(n\right)+[1-\mathrm{\&lambda;}\left(n\right)]W_2^T\left(n\right)\right\}\\ =e_o\left(n\right)+{[W_{o2}\left(n\right)-\mathrm{\&lambda;}\left(n\right)W_{12}\left(n\right)]}^{T}U\left(n\right)\end{array}U\left(n\right)---\left(14\right)$

式中，W_o2(n)=W_o(n)-W₂(n)；该式表明，***误差e(n)是λ(n)、W₂(n)及W₁₂(n)的函数，当获得W₂(n)与W₁₂(n)时，e(n)仅是λ(n)的函数，由条件均方误差E[e²(n)|W₂(n),W₁₂(n)]对λ(n)求导数得梯度

$\frac{\&PartialD;E\left[e^2\left(n\right)\right|W_2\left(n\right),W_{12}\left(n\right)]}{\&PartialD;\mathrm{\&lambda;}\left(n\right)}=-2E\left[e\left(n\right)W_{12}^T\left(n\right)U\left(n\right)\right|W_2\left(n\right),W_{12}\left(n\right)]---\left(15\right)$

式(15)中，E[X|Y]表示在Y给定条件下X的数学期望，称为条件数学期望；还表明，在权向量W₁₂(n)和W₂(n)给定的条件下，条件均方误差E[e²(n)|W₂(n),W₁₂(n)]的瞬时梯度与

成正比，且

$e\left(n\right)W_{12}^T\left(n\right)U\left(n\right)=e\left(n\right)(y_1\left(n\right)-y_2\left(n\right))---\left(16\right)$

由此得组合参数λ(n)的更新公式为

λ(n+1)=λ(n)+μe(n)(y₁(n)-y₂(n))                                    (17)

式中， $y_1\left(n\right)-y_2\left(n\right)={W_1}^T\left(n\right)U\left(n\right)-W_2^T\left(n\right)U\left(n\right)=({W_1}^T\left(n\right)-W_2^T\left(n\right))U\left(n\right)=W_{12}^T\left(n\right)U\left(n\right);$ μ为步长因子，为固定常数，跟踪子滤波器的性能较差；若μ>1时，***的跟踪性能较好，但是容易导致式(17)的初始阶段调整的不稳定。

步骤C-3，得到组合参数λ(n)的改进更新公式

为了克服式(17)中μ为固定步长因子的缺陷，本发明采用功率归一化方案将固定步长因子μ修改为时变步长μ(k)，使μ(k)在初始阶段小于1，以保持***的稳定性；在过渡阶段及稳态阶段使μ(k)大于1，以保证***对子滤波器具有较好的跟踪性能。为此，令

式中，p(n)是信号y₁(n)-y₂(n)的低通滤波功率估计值，p(n+1)=αp(n)+β[y₁(n)-y₂(n)]²为p(n)的更新公式；

为常数，且0<ε<<1是保证μ(n)的分母不会出现零的参数；α和β为遗忘因子，为常数，且0<α,β<1，通常选取α为接近1的值（例如α取值为0.999）以使μ(n)与组合参数λ(n)有很小的相关性。这时式(17)可改写为

***运行时，由组合参数λ(n)进行控制。在起始阶段，λ(n)>1使子滤波器1的权向量W₁(n)向稳态趋近的速度比子滤波器2的权向量W₂(n)快，子滤波器1起主导作用；在过渡阶段，0<λ(n)<1，***接近稳态，由子滤波器1起主导作用向子滤波器2起主导作用过渡；当λ(n)<0时，***达到稳态，子滤波器1起主导作用，完成了过渡，这时避免了噪声信号及两个子滤波器的相关性引起的误差干扰。

我们利用均方偏差MSD(Mean-square deviation)参数来评价本发明方法的有效性，***的均方偏差为

$\begin{array}{c}{\mathrm{MSD}}_c\left(n\right)=E\left\{{[W_o\left(n\right)-W_{\mathrm{eq}}\left(n\right)]}^T\right[W_o\left(n\right)-W_{\mathrm{eq}}\left(n\right)\left]\right\}\\ =E\left\{{[W_{o2}\left(n\right)-\mathrm{\&lambda;}\left(n\right)W_{12}\left(n\right)]}^T\right[W_{o2}\left(n\right)-\mathrm{\&lambda;}\left(n\right)W_{12}\left(n\right)\left]\right\}\\ =E\left[W_{o2}^T\left(n\right)W_{o2}\left(n\right)\right]-2E[\mathrm{\&lambda;}\left(n\right)W_{o2}^T\left(n\right)W_{12}\left(n\right)+E[{\mathrm{\&lambda;}}^2\left(n\right)W_{12}^T\left(n\right)W_{12}\left(n\right)]\end{array}---\left(20\right)$

式中，W_eq(n)为两个子滤波器经组合后的等效滤波器权向量。

假设已知滤波器、子滤波器1和子滤波器2均为7阶，U(n)为均值为0，方差为1的高斯白噪声向量；W_o(n)=[0.01,0.03,0.12,0.17,0.11,0.08,0.02]，W₁(0)=W₂(0)=0，α=0.99，β=0.01，ε=0.8×10^-3，p(0)=0。基于上述参数，分别获得如图2所示的时变步长μ(n)曲线和如图3所示的组合参数λ(n)的迭代曲线。

由图3可以看出，***运行时，由组合参数λ(n)进行控制。在起始阶段，λ(n)>1使子滤波器1的权向量W₁(n)向稳态趋近的速度比子滤波器2的权向量W₂(n)快，子滤波器1起主导作用；在过渡阶段，0<λ(n)<1，***接近稳态，由子滤波器1起主导作用向子滤波器2起主导作用过渡；当λ(n)<0时，***达到稳态，子滤波器1起主导作用，完成了过渡，这时避免了噪声信号及两个子滤波器的相关性引起的误差干扰。

图4(a)和图4(b)是稳态偏差的迭代曲线。在图4(a)中，子滤波器1的步长μ₁=0.1；子滤波器2的步长μ₂=0.02，δ=0.2；在图4(b)中，μ₁=0.1,μ₂=0.03，δ=0.2。图4表明，本发明一种改进仿射组合自适应滤波方法的均方偏差MSD_c随着子滤波器1和子滤波器2的均方偏差变化而变化：在起始阶段，本发明方法的性能跟踪子滤波器1的性能；在过渡阶段，本发明方法的性能逐渐由跟踪子滤波器1过渡到跟踪子滤波器2；稳态阶段，本发明方法的性能跟踪子滤波器2的性能。组合参数λ(n)的变化显示了本发明方法的良好跟踪性。

本发明方案所公开的技术手段不仅限于上述实施方式所公开的技术手段，还包括由以上技术特征任意组合所组成的技术方案。应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也视为本发明的保护范围。

Claims (4)

1.一种改进的仿射组合自适应滤波方法，其特征在于：基于仿射组合自适应滤波***实现，所述仿射组合自适应滤波***由已知期望滤波器和组合自适应滤波器两部分构成；所述已知期望滤波器用于产生子滤波器及组合自适应滤波器的期望信号，所述组合自适应滤波器包括两个子滤波器，所述改进的仿射组合自适应滤波方法包括如下步骤：

步骤A，发射信号U(n)经已知期望滤波器W_o(n)和噪声信号e_o(n)产生改进仿射组合自适应滤波器的期望信号d(n)：

其中n为时间序列，上标T表示转置操作；U(n)为广义平稳输入信号，e_o(n)是均值为0，方差为

的噪声信号；

步骤B，发射信号U(n)经过子滤波器W₁(n)得到其输出y₁(n)：y₁(n)=W₁ ^T(n)U(n)；发射信号U(n)经过子滤波器W₂(n)得到其输出y₂(n)：y₂(n)=W₂ ^T(n)U(n)；

所述子滤波器W₁(n)和子滤波器W₂(n)采用最小均方误差方法LMS进行更新，更新公式为：W_i(n+1)=W_i(n)+μ_ie_i(n)U(n)；

式中，i=1,2，μ₁为W₁(n)的更新步长，μ₂为W₂(n)的更新步长，且μ₂=δμ₁,0<δ<1， $e_i\left(n\right)=e_o\left(n\right)+[W_o^T\left(n\right)-{W_i}^T\left(n\right)]U\left(n\right)$ 为子滤波器W_i(n)的输出误差信号；

步骤C，子滤波器W₁(n)输出信号y₁(n)和子滤波器W₂(n)输出信号y₂(n)通过组合参数λ(n)，得到组合自适应滤波器的输出信号：y(n)=λ(n)y₁(n)+[1-λ(n)]y₂(n)；

所述组合参数λ(n)通过下式进行更新：

λ(n+1)=λ(n)+μe(n)(y₁(n)-y₂(n))，

其中,e(n)是组合自适应滤波器的误差信号，e(n)=d(n)-y(n)； $y_1\left(n\right)-y_2\left(n\right)={W_1}^T\left(n\right)U\left(n\right)-W_2^T\left(n\right)U\left(n\right)=({W_1}^T\left(n\right)-W_2^T\left(n\right))U\left(n\right)=W_{12}^T\left(n\right)U\left(n\right),$ μ为组合参数λ(n)的迭代步长，为常数；W₁₂(n)=W₁(n)-W₂(n)为子滤波器权向量差。

2.根据权利要求1所述的改进的仿射组合自适应滤波方法，其特征在于：令

将μ(n)代入组合参数λ(n)的更新公式中，得到新的更新公式：

其中，p(n)是信号y₁(n)-y₂(n)的低通滤波功率估计值；

为常数，且0<ε<<1；

p(n)的更新公式为：

p(n+1)=αp(n)+β[y₁(n)-y₂(n)]²；

其中，α和β为遗忘因子，是常数，0<α,β<1。

3.根据权利要求2所述的改进的仿射组合自适应滤波方法，其特征在于：所述α近似为1。

4.根据权利要求1～3中任意一项所述的改进的仿射组合自适应滤波方法，其特征在于：所述组合参数λ(n)通过如下步骤获取：

步骤C-1，由y₁(n)和y₂(n)得到的组合输出信号y(n)为：

y(n)=λ(n)y₁(n)+[1-λ(n)]y₂(n)={λ(n)W₁₂(n)+W₂(n)}^TU(n)

其中，W₁₂(n)=W₁(n)-W₂(n)，其更新公式为：

W₁₂(n+1)=[I-μ₁U(n)U^T(n)]W₁₂(n)+(μ₁-μ₂)e₂(n)U(n)

其中，I为单位矩阵；

步骤C-2，由y(n)，d(n)计算***误差e(n)，即

e(n)=d(n)-y(n)=e_o(n)+[W_o2(n)-λ(n)W₁₂(n)]^TU(n)

其中，W_o2(n)=W_o(n)-W₂(n)；

由条件均方误差E[e²(n)|W₂(n),W₁₂(n)]对λ(n)求导数，得到组合参数λ(n)的更新公式：

λ(n+1)=λ(n)+μe(n)(y₁(n)-y₂(n))，

其中，E[X|Y]表示在Y给定条件下X的数学期望。

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