CN103488881B - 一种不确定退化测量数据下的设备剩余寿命预测方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于可靠性工程技术领域，涉及一种不确定退化测量数据下的设备剩余寿命预测方法。该方法包括以下步骤：建立不确定退化测量数据下的设备性能退化模型；估计模型参数；估计设备潜在性能退化状态；预测剩余寿命。本发明给出了一种不确定退化测量数据下的预测设备剩余寿命的方法，同时考虑了退化状态不确定性和测量不确定性，不仅可以对设备的个体寿命和总体可靠性寿命特征量进行预测分析，还可以作为预测设备剩余寿命的一种有效分析工具，为设备基于状态的维修保障提供有力的理论依据和技术支撑，从而节约经费开支，避免不必要的经济损失，有很好的工程应用价值。

Description

一种不确定退化测量数据下的设备剩余寿命预测方法

技术领域

本发明属于可靠性工程技术领域，涉及一种不确定退化测量数据下的对高可靠性设备进行剩余寿命预测的方法。

背景技术

现有的剩余寿命预测方法，主要分为两大类：基于模型的方法和基于数据的方法。基于模型的方法包括基于机理模型的方法和基于统计模型的方法。其中，基于机理模型的方法由于***的复杂性和随机性，难以得到***准确的机理模型，使得该方法的应用受到限制：基于统计模型的方法综合利用了***机理知识和状态监测数据，可以充分利用已有信息对剩余寿命进行预测。基于数据的方法充分利用了设备的有效测试数据，不需要建立***性能退化过程的机理模型，然而，由于测量得到的数据会受到各种干扰以及噪声的影响，使测量数据存在一定的不确定性，这将降低对设备剩余寿命的预测的准确性。

在工程实践中，基于设备的测量退化数据进行剩余寿命预测得到了很大的关注.由于***随机退化过程和测量误差的影响，测量数据中不可避免包含退化随机性和测量不确定性.然而，现有基于观测数据的剩余寿命估计研究中，没有将退化随机性和测量不确定性对估计的剩余寿命分布的影响同时考虑，因此基于数据的剩余寿命预测方法在解决实际问题上的应用受到了很大的限制，至今没有见到相关的报道。

发明内容

针对上述现有技术状况，本发明的目的是：提供一种充分利用设备在性能退化过程中得到的测量数据，科学预测高可靠性设备个体寿命和总体寿命特征量，以解决不确定测量数据下设备的剩余寿命预测问题。

现将本发明构思及技术解决方案叙述如下：

本发明的基本构思是，对于潜在性能退化过程可以采用带漂移的维纳模型近似地描述，而不确定测量的影响可以在性能退化状态的基础上通过引入加性噪声的方式考虑；然后利用滤波技术，实现了潜在退化状态的实时估计；在退化状态估计的基础上，实现同时考虑退化状态不确定性和测量不确定性的剩余寿命预测，以提高剩余寿命预测的准确性。

根据上述发明构思，本发明一种不确定退化测量数据下的设备剩余寿命预测方法，其特征在于：包括以下步骤：

步骤1：建立不确定退化测量数据下的设备性能退化模型：

步骤1.1：潜在性能退化过程，将性能退化过程{X(t)，t≥0}选取为基于维纳过程的性能退化模型：

X(t)＝X(0)+θt+σB(t) (1)

其中，θ是漂移系数，σ(σ＞0)是扩散系数；{B(t)，t≥0}是标准布朗运动，且有σB(t)□N(0，σ²t)，用来刻画退化过程的随机动态及退化过程随时间变化的不确定性.令X(0)＝x₀表示初始退化状态.不失一般性，令x₀＝0；

步骤1.2：不确定测量数据，令{Y(t)，t≥0}表示对应的测量过程，通过测量过程建立潜在的退化状态与不确定测量数据之间的关系。采用以下退化领域最常用的测量模型，即t时刻的潜在退化状态与测量之间的关系为：

Y(t)＝X(t)+ε (2)

其中，ε是随机测量误差，假设在任一时刻t测量误差是独立同分布的，且有ε□N(0，γ²).进一步假设ε与B(t)是相互独立的；

步骤1.3：基于以上的模型描述，一旦随机退化过程{X(t)，t≥0}首次达到预先给定的失效阈值ω，则认为设备失效，根据首达时间的概念，设备的寿命T可以定义为

T＝inf{t：X(t)≥ω|X(0)＜ω}， (3)

其中，ω为预先给定的失效阈值；

步骤1.4：在以上的框架下，基于实时测量的退化数据实现对服役设备剩余寿命的预测，并在新的退化测量数据获取后可以实现剩余寿命分布的更新；假设获取退化测量数据的离散监测时间点为0＝t₀＜t₁＜...＜t_k，令y_k＝Y(t_k)表示t_k时刻的退化测量.因此，到时刻t_k的所有退化测量数据的集合可以表示为Y_1∶k＝{y₁，y₂，...，y_k}，对应的退化状态的集合为X_1：k＝{x₁，x₂，...，x_k}，其中x_k＝X(t_k).由式(2)，进一步可以将t_k时刻的测量方程描述为y_k＝x_k+ε_k，其中ε_k是ε的独立同分布实现；

步骤2：估计模型参数：

步骤2.1：令Θ＝(σ²，γ²，θ)′表示未知参数向量.假设有N个测量设备，且第i个设备的测量时间为t₁，...，t_M，对应的测量数据为{Y_i(t_j)＝y_i，j，i＝1，...，N，j＝1，...，M}，其中表示每个设备的测量数据的个数.由式(2)知，第i个设备的在时刻t_j的测量可以表示为

Y_i(t_j)＝θt_j+σB(t_j)+ε_ij， (4)

其中，ε_ij是测量误差，且有ε_ij□N(0，γ²)；

步骤2.2：令t＝(t₁，...，t_M)′，y_i＝(y_i，1，...，y_i，M)′.根据独立性假设和布朗运动的独立增量性质，可知y_i是多变量正态分布的，其均值和方差特征如下：

y_i□N(μ，Ω)，μ＝θt (5)

Ω＝σ²Q+γ²I_M，Q＝[min{t_i，t_j}]_{1≤i，j≤M} (6)

其中，I_M是M阶单位阵；

步骤2.3：对于第i个设备的测量数据，有

y_i□N(θt,σ²Q+γ²I_M). (7)

步骤2.4：令Y＝(y₁，y₂，...，y_N)′表示N个设备所有的测量数据.根据不同设备测量数据之间的独立性假设，关于对应所有测量数据Y的似然函数为

因此，σ²，γ²，θ的极大似然估计可以通过最大化式(8)得到；

步骤3：估计设备潜在性能退化状态：

步骤3.1：将性能退化状态方程和测量方程在监测时刻转换为离散时间方程.然后在离散时间点t_k，k＝1，2，...上可以得到变换后的退化模型：

其中v_k＝σ[B(t_k)-B(t_k-1)]，ε_k是ε在t_k时刻的实现.{v_k}_k≥1和{ε_k}_k≥1是独立同分布的噪声序列，且有v_k□N(0，σ²(t_k-t_k-1))和ε_k□N(0，γ²)：

步骤3.2：定义和P_k|k＝var(x_k|Y_1：k)分别为通过测量Y_1：k对退化状态x_k估计的期望和方差；定义和P_k|k-1＝var(x_k|Y_1：k-1)分别为一步预测的期望和方差：

步骤3.3：在时间t_k，基于卡尔曼滤波的潜在退化状态估计和更新过程如下：

步骤3.3.1：状态估计：

K(k)=P_k|k-1(P_k|k-1+γ²)^-1

P_k|k-1＝P_k-1|k-1+σ²(t_k-t_k-1)

步骤3.3.2：方差更新：

P_k|k=(1-K(k))P_k|k-1.

步骤3.4-应用以上的Kalman滤波算法，基于到t_k时刻所有测量Y_1：k的状态x_k的后验估计是高斯分布的，且可以解析显式表示，即

步骤4：预测剩余寿命：

步骤4.1：通过首达时间，t_k时刻的剩余寿命L_k可以定义为

L_k=inf{l_k>0：X(l_k+t_k)≥ω}. (10)

步骤4.2：对应剩余寿命L_k的概率密度函数和累积分布函数分别为和且有

其中，Y_1：k是到时刻t_k的所有退化测量数据的集合；

步骤4.3：基于前面的模型、测量数据、参数估计、潜在性能退化状态估计，t_k时刻预测的剩条寿命的概率密度函数累积分布函数分别及对应的剩余寿命的期望和方差如下：

其中，Φ(·)为标准正态分布的累积分布函数；基于以上过程，即可实现不确定测量数据下预测设备的剩余寿命；

步骤4.4：基于以上过程，即可实现不确定测量数据下预测设备的剩余寿命。

本发明给出了在设备性能退化测量数据不确定的情况下复杂设备的剩余寿命预测方法。可以对设备的个体寿命和总体可靠性寿命特征量进行预测分析，为设备基于状态的维修保障提供有力的理论依据和技术支撑，从而节约经费开支，避免不必要的经济损失，有很好的工程应用价值。

附图说明

图1：本发明实施例陀螺漂移的监测数据曲线图

图2：本发明的方法基于不确定测量数据的潜在退化状态估计曲线图

图3：本发明的方法不同测量点的剩余寿命概率密度曲线图

具体实施方式

现结合附图对本发明的具体实施方式作进一步说明

实施例

下面就通过本实施例测试得到一组陀螺仪漂移监测数据来验证发明提出的方法。该数据包括三个陀螺仪在实际使用过程中记录的在210个不同状态监测时间点上的漂移系数数据。在实验中，按照该陀螺仪的技术指标，选择失效阈值为w=0.36(°／hour)。按照通电时间来记，监测时间间隔为2.5小时。在测试中，一个运行到超过失效阈值，对应的寿命为528小时，其余两个在完成测试后仍满足技术指标的要求。对应陀螺漂移监测全寿命周期的测量数据如图1所示。本实施例不确定退化测量数据下的设备剩余寿命预测方法，包括以下步骤：

步骤1：建立不确定退化测量数据下的设备性能退化模型：

基于观测数据进行剩余寿命预测时，需要将退化随机性和测量不确定性对预测的剩余寿命分布的影响同时考虑，当潜在性能退化过程超过失效阈值ω时，即认为设备失效；

1)潜在性能退化过程：潜在性能退化过程{X(t)，t≥0}可以描述为：

X(t)=X(0)+θt+σB(t) (1)

其中，θ是漂移系数：σ(σ>0)是扩散系数；{B(t)，t≥0}是标准布朗运动，令X(0)=x₀表示初始退化状态。不失一般性，令x₀=0；

2)不确定测量数据：令{Y(t)，t≥0}表示对应的测量过程，t时刻的潜在退化状态与测量之间的关系为：

Y(t)=X(t)+ε (2)

其中，ε是随机测量误差，且有ε□N(0，γ²)。进一步假设ε与B(t)是相互独立的。

设获取退化测量数据的离散监测时间点为0=t₀<t₁<...<t_k，令y_k＝Y(t_k)表示t_k时刻的退化测量。因此，到时刻t_k的所有退化测量数据的集合可以表示为Y_1：k={y₁，y₂，...，y_k}，对应的退化状态的集合为X_1：k={x₁，x₂，...，x_k)，其中x_k=X(t_k)。由式(29)，进一步可以将t_k时刻的测量方程描述为y_k=x_k+ε_k，其中ε_k是ε的独立同分布实现；

步骤2：估计模型参数

令Θ＝(σ²，γ²，θ)′表示未知参数向量。假设有N个测量设备，且第i个设备的测量时间为t₁，...，t_M，对应的测量数据为{Y_i(t_j)=y_i，j，i=1，...，N，j=1，...，M}，其中表示每个设备的测量数据的个数。由式(29)知，第i个设备的在时刻t_j的测量可以表示为

Y_i(t_j)=θt_j+σB(t_j)+ε_ij， (4)

其中，ε_ij是测量误差，且有ε_ij□N(0，γ²)；

令t=(t₁，...，t_M)′，y_i=(y_i，1，...，y_i，M)′。根据独立性假设和布朗运动的独立增量性质，可知y_i是多变量正态分布的，其均值和方差特征如下：

y_i□N(μ，Ω)，μ=θt (5)

Ω=σ²Q+γ²I_M，Q=[min{t_i，t_j}]_{1≤i，j≤M} (6)

其中，I_M是M阶单位阵：

因此，对于第i个设备的测量数据，有

y_t□N(θt，σ²Q+γ²I_M). (7)

令Y=(y₁，y₂，...，y_N)′表示N个设备所有的测量数据。根据不同设备测量数据之间的独立性假设，关于Θ对应所有测量数据Y的似然函数为

因此，σ²，γ²，θ的极大似然估计可以通过最大化式(34)得到。并利用AIC准则和对数似然函数值进行模型比较。表1给出了在考虑不确定测量和不考虑不确定测量时的参数估计结果。

表1.退化模型参数估计结果

通过表1可以看出，考虑不确定测量时模型对数据的拟合结果较不考虑不确定测量的结果有较大的提高，因为考虑测量不确定性的结果对应更大的似然函数值和更小的AIC值。

步骤3：估计设备潜在性能退化状态

为了估计设备的潜在性能退化状态，将性能退化状态方程和测量方程在监测时刻转换为离散时间方程.然后在离散时间点t_k，k=1，2，...上可以得到变换后的退化模型：

x_k＝x_k-1+θ(t_k-t_k-1)+v_k (9)

y_k=x_k+ε_k

其中v_k=σ[B(t_k)-B(t_k-1)]，且有v_k□N(0，σ²(t_k-t_k-1))和ε_k□N(0，γ²).

根据模型(22)，可以利用卡尔曼滤波技术实现潜在退化状态的估计.；首先，定义和P_k|k＝var(x_k|Y_1：k)分别为通过测量Y_1：k对退化状态x_k估计的期望和方差.此外，定义和P_k|k-1=var(x_k|Y_1：k-1)分别为一步预测的期望和方差。在时间t_k，基于卡尔曼滤波的潜在退化状态估计和更新过程如下：

状态估计：

K(k)=P_k|k-1(P_k|k-1+γ²)^-1

P_k|k-1=P_k-1|k-1+σ²(t_k-t_k-1)

方差更新：

P_k|k=(1-K(k))P_k|k-1.

应用以上的Kalman滤波算法，基于到t_k时刻所有测量Y_1：k的状态x_k的后验估计是高斯分布的，且可以解析显式表示，即

基于表1给出的模型参数，利用图1中的全周期数据就可以实现本文提出剩余寿命估计方法。首先给出本文方法基于测量数据估计的潜在退化状态的结果，如图2所示。

步骤4：预测剩余寿命

通过首达时间，t_k时刻的剩余寿命L_k可以定义为

L_k=inf{l_k>0：X(l_k+t_k)≥ω}. (10)

对应剩余寿命L_k的概率密度函数和累积分布函数分别为和且有

其中，Y_1：k是到时刻t_k的所有退化测量数据的集合；

基于前面的模型、测量数据、参数估计、潜在性能退化状态估计，t_k时刻预测的剩余寿命的概率密度函数累积分布函数分别及对应的剩余寿命的期望和方差如下：

估计出式(25)-(27)中的参数以后，就能够得到不确定测量数据下的设备剩余寿命分布。由式(25)-(27)可以看出，预测的剩余寿命同时考虑了退化过程本身的随机性和测量不确定性引起的潜在退化状态估计的不确定性，且在γ²＝0时，仅考虑退化过程本身的随机性的结果是以上结果的特例。

在退化状态估计的基础上，可以通过式(25)计算在不同测量数据点时的剩余寿命的概率密度函数。图3给出了几个不同测量点对应的剩余寿命估计的概率密度曲线。

从图2和图3可以看出本发明方法可以实现基于不确定测量的潜在退化状态和剩余寿命分布的估计。为了验证本发明方法可以提高剩余寿命估计的准确性，在寿命的30％、50％、70％、90％点上分别给出了考虑不确定测量和不考虑不确定测量时估计的平均剩余寿命以及对应的估计相对误差，如表2所示。

表2.在不同寿命分位点估计的平均剩余寿命和相对误差

通过表2中的结果可以看出，本文提出的方法可以提高剩余寿命估计的准确性，而且考虑不确定测量的影响可以减少剩余寿命估计的相对误差，进而验证了本发明方法的有效性。

Claims (6)

1.一种不确定退化测量数据下的设备剩余寿命预测方法，其特征在于：对于潜在性能退化过程用带漂移的维纳模型近似地描述，不确定测量的影响在性能退化状态的基础上通过引入加性噪声的方式考虑；利用滤波技术，实现潜在退化状态的实时估计；在退化状态估计的基础上，实现退化状态不确定性和测量不确定性的剩余寿命预测，提高剩余寿命预测的准确性；包括以下步骤：

步骤1：建立不确定退化测量数据下的设备性能退化模型，

步骤2：估计模型参数，

步骤3：估计设备潜在性能退化状态，

步骤4：预测剩余寿命。

2.根据权利要求1所述的一种不确定退化测量数据下的设备剩余寿命预测方法，其特征在于：步骤1中所述的“建立不确定退化测量数据下的设备性能退化模型”的具体步骤如下：

步骤1.1：潜在性能退化过程，将性能退化过程{X(t),t≥0}选取为基于维纳过程的性能退化模型：

X(t)＝X(0)+θt+σB(t) (1)

其中，θ是漂移系数，σ是扩散系数；{B(t),t≥0}是标准布朗运动，且有σB(t)～N(0,σ²t)，用来刻画退化过程的随机动态及退化过程随时间变化的不确定性，令X(0)＝x₀表示初始退化状态，不失一般性，令x₀＝0；

步骤1.2：不确定测量数据，令{Y(t),t≥0}表示对应的测量过程，通过测量过程建立潜在的退化状态与不确定测量数据之间的关系，采用以下退化领域最常用的测量模型，即t时刻的潜在退化状态与测量之间的关系为：

Y(t)＝X(t)+ε (2)

其中，ε是随机测量误差，假设在任一时刻t测量误差是独立同分布的，且有ε～N(0,γ²)，进一步假设ε与B(t)是相互独立的；

步骤1.3：基于以上的模型描述，一旦随机退化过程{X(t),t≥0}首次达到预先给定的失效阈值ω,则认为设备失效，根据首达时间的概念，设备的寿命T定义为

T＝inf{t:X(t)≥ω|X(0)＜ω}, (3)

其中，ω为预先给定的失效阈值；

步骤1.4：在以上的框架下，基于实时测量的退化数据实现对服役设备剩余寿命的预测，并在新的退化测量数据获取后实现剩余寿命分布的更新；假设获取退化测量数据的离散监测时间点为0＝t₀＜t₁＜...＜t_k，令y_k＝Y(t_k)表示t_k时刻的退化测量，因此，到时刻t_k的所有退化测量数据的集合表示为Y_1:k＝{y₁,y₂,...,y_k}，对应的退化状态的集合为X_1:k＝{x₁,x₂,...,x_k},其中x_k＝X(t_k)，由式(2),进一步将t_k时刻的测量方程描述为y_k＝x_k+ε_k,其中ε_k是ε的独立同分布实现。

3.根据权利要求1所述的一种不确定退化测量数据下的设备剩余寿命预测方法，其特征在于：步骤2中所述的“估计模型参数”的具体步骤如下：

步骤2.1：令Θ＝(σ²,γ²,θ)′表示未知参数向量.假设有N个测量设备,且第i个设备的测量时间为t₁,...,t_M,对应的测量数据为{Y_i(t_j)＝y_i,j,i＝1,...,N,j＝1,...,M}，其中表示每个设备的测量数据的个数.由式(2)知,第i个设备的在时刻t_j的测量表示为

Y_i(t_j)＝θt_j+σB(t_j)+ε_ij, (4)

其中，ε_ij是测量误差，且有ε_ij～N(0,γ²)；

步骤2.2：令t＝(t₁,...,t_M)′,y_i＝(y_i,1,...,y_i,M)′.根据独立性假设和布朗运动的独立增量性质，可知y_i是多变量正态分布的，其均值和方差特征如下:

y_i～N(μ,Ω),μ＝θt (5)

Ω＝σ²Q+γ²I_M,Q＝[min{t_i,t_j}]_1≤i,j≤M (6)

其中，I_M是M阶单位阵；

步骤2.3：对于第i个设备的测量数据，有

y_i～N(θt,σ²Q+γ²I_M) (7)

步骤2.4：令Y＝(y₁,y₂,...,y_N)′表示N个设备所有的测量数据.根据不同设备测量数据之间的独立性假设，关于Θ对应所有测量数据Y的似然函数为

因此，σ²,γ²,θ的极大似然估计通过最大化式(8)得到。

4.根据权利要求1所述的一种不确定退化测量数据下的设备剩余寿命预测方法，其特征在于：步骤3中所述的“估计设备潜在性能退化状态”的具体步骤如下：

步骤3.1：将性能退化状态方程和测量方程在监测时刻转换为离散时间方程，然后在离散时间点t_k,k＝1,2,...,k为自然数，得到变换后的退化模型：

$\begin{array}{c}{x}_k=x_{k-1}+\mathrm{\&theta;}(t_k-t_{k-1})+v_k\\ y_k=x_k+{\mathrm{\&epsiv;}}_k\end{array}---\left(9\right)$

其中v_k＝σ[B(t_k)-B(t_k-1)]，ε_k是ε在t_k时刻的实现，{v_k}_k≥1和{ε_k}_k≥1是独立同分布的噪声序列，且有v_k～N(0,σ²(t_k-t_k-1))和ε_k～N(0,γ²)；

步骤3.2：定义和P_k|k＝var(x_k|Y_1:k)分别为通过测量Y_1:k对退化状态x_k估计的期望和方差；定义和P_k|k-1＝var(x_k|Y_1:k-1)分别为一步预测的期望和方差；

步骤3.3：在时间t_k，基于卡尔曼滤波的潜在退化状态估计和更新过程：

步骤3.4：应用以上的卡尔曼滤波算法，基于到t_k时刻所有测量Y_1:k的状态x_k的后验估计是高斯分布的，且解析显式表示，即

5.根据权利要求4所述的一种不确定退化测量数据下的设备剩余寿命预测方法，其特征在于：步骤3.3：中所述的“在时间t_k，基于卡尔曼滤波的潜在退化状态估计和更新过程”的具体步骤如下：

步骤3.3.1：状态估计:

${\hat{x}}_{k|k-1}={\hat{x}}_{k-1|k-1}+\mathrm{\&theta;}(t_k-t_{k-1})$

${\hat{x}}_{k|k}={\hat{x}}_{k|k-1}+K\left(k\right)(y_k-{\hat{x}}_{k|k-1})$

K(k)＝P_k|k-1(P_k|k-1+γ²)^-1

P_k|k-1＝P_k-1|k-1+σ²(t_k-t_k-1)

步骤3.3.2：方差更新:

P_k|k＝(1-K(k))P_k|k-1。

6.根据权利要求1所述的一种不确定退化测量数据下的设备剩余寿命预测方法，其特征在于：步骤4中所述的“预测剩余寿命”的具体步骤如下：

步骤4.1：通过首达时间,t_k时刻的剩余寿命L_k定义为

L_k＝inf{l_k＞0:X(l_k+t_k)≥ω} (10)

步骤4.2：对应剩余寿命L_k的概率密度函数和累积分布函数分别为和且有

$F_{L_k|Y_{1:k}}\left(l_k\right|Y_{1:k})=\mathrm{Pr}\left(\underset{l_k>0}{sup}X\right(t_k+l_k)\&GreaterEqual;\mathrm{\&omega;}|Y_{1:k}),---\left(11\right)$

其中，Y_1:k是到时刻t_k的所有退化测量数据的集合；

步骤4.3：基于前面的模型、测量数据、参数估计、潜在性能退化状态估计，t_k时刻预测的剩余寿命的概率密度函数累积分布函数及对应的剩余寿命的期望和方差如下：

$f_{L_k|Y_{1:k}}\left(l_k\right|Y_{1:k})=\frac{(\mathrm{\&omega;}-{\hat{x}}_{k|k}){\mathrm{\&sigma;}}^2+P_{k|k}\mathrm{\&theta;}}{\sqrt{2\mathrm{\&pi;}{(P_{k|k}+{\mathrm{\&sigma;}}^2{l}_k)}^3}}\exp (-\frac{{(\mathrm{\&omega;}-{\hat{x}}_{k|k}-{\mathrm{\&theta;l}}_k)}^2}{2(P_{k|k}+{\mathrm{\&sigma;}}^2{l}_k)})---\left(12\right)$

$F_{L_k|Y_{1:k}}\left(l_k\right|Y_{1:k})=1-\mathrm{\&Phi;}\left(\frac{\mathrm{\&omega;}-{\hat{x}}_{k|k}-{\mathrm{\&theta;l}}_k}{\sqrt{P_{k|k}+{\mathrm{\&sigma;}}^2{l}_k}}\right)+\exp (\frac{2\mathrm{\&theta;}(\mathrm{\&omega;}-{\hat{x}}_{k|k})}{{\mathrm{\&sigma;}}^2}+\frac{2{\mathrm{\&theta;}}^2{P}_{k|k}}{{\mathrm{\&sigma;}}^4})\mathrm{\&Phi;}\left(\frac{-\mathrm{\&omega;}+{\hat{x}}_{k|k}-{\mathrm{\&theta;l}}_k-2{\mathrm{\&theta;P}}_{k|k}/{\mathrm{\&sigma;}}^2}{\sqrt{P_{k|k}+{\mathrm{\&sigma;}}^2{l}_k}}\right),---\left(13\right)$

$E\left(L_k\right|Y_{1:k})=\frac{\mathrm{\&omega;}-{\hat{x}}_{k|k}}{\mathrm{\&theta;}},\mathrm{var}\left(L_k\right|Y_{1:k})=\frac{(\mathrm{\&omega;}-{\hat{x}}_{k|k}){\mathrm{\&sigma;}}^2+{\mathrm{\&theta;P}}_{k|k}}{{\mathrm{\&theta;}}^3}---\left(14\right)$

其中，Φ(·)为标准正态分布的累积分布函数；基于以上过程，即可实现不确定测量数据下预测设备的剩余寿命；

步骤4.4：基于以上过程，即可实现不确定测量数据下预测设备的剩余寿命。