CN103414477B - 一种构造量子卷积码状态转移图和网格图的方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于量子纠错编码领域，具体涉及一种构造量子卷积码状态转移图及网格图的方法。构造量子卷积码的状态转移图和网格图是分析量子卷积码的Viterbi译码算法最有力的工具。在量子卷积码的编码方案中，每一个编码电路对应唯一一个幺正编码操作，通过该编码操作将k位的信息编码成n位长的码字。我们对编码操作进行相应的数学变换，由此得到对应的编码矩阵，该编码矩阵给出了量子比特与编码算子的一一对应关系。通过分析作用于卷积位上的编码算子发生的状态转移过程来得到量子卷积码的状态转移图。状态转移图仅仅描述了不同状态之间的转移过程，若考虑到状态变化与时间的关系，我们可以画出其对应的网格图。

Description

一种构造量子卷积码状态转移图和网格图的方法

技术领域

本发明一般应用于量子纠错编码理论中，具体应用到量子卷积码的Viterbi译码算法中。

背景技术

随着量子信息科学研究的不断进行，量子通信和量子计算的优越性越来越多地凸现出来，例如大数因子分解，如果用现在的超级计算机来分解一个几百位的数字，需要用和宇宙的寿命相当的时间(几百亿年)，而用具有同样时钟频率的量子计算机则在几分钟的时间内就可以完成。量子理论一旦应用于实践，很多领域将会发生根本性变化。然而，在实际环境中，量子通信和量子计算中的量子比特不是孤立的，它时刻与外部环境发生相互作用，从而使量子比特相干性遭到破坏，导致量子消相干。在量子通信中，待传送的量子消息也会在信道中受到量子噪声的影响，导致量子态发生不可避免的错误。因此，要使量子计算机成为现实，实现可靠的量子通信，一个核心问题就是克服由消相干带来的量子噪声。研究表明，量子信道编码技术是克服消相干以纠正量子错误的一种有效方法，它不仅能使量子计算机在有噪声的环境中进行有效的计算，也能使量子信息在带噪声的量子信道上实现可靠的通信。而量子卷积码正是量子信道编码技术的一种。

在现有的经典信道编码技术中，卷积码是一种与分组码完全不同的码，每个码比特不仅与当前输入有关，还与相邻的比特有关，由于比特之间具有相干性，在编码器复杂度相同的情况下，卷积码的性能优于分组码。Viterbi算法是卷积码的最优译码算法，由于其实现简单，被广泛应用于深空通信、卫星通信和移动通信中。而经典状态转移图和网格图是分析Viterbi算法最得力的工具。

像经典信道编码理论中许多被量子稳定子码所借鉴的基本思想和描述方式一样，我们希望在经典编码理论中发挥重要作用的状态转移图和网格图也能被扩展到量子稳定子码中来，使其成为分析量子Viterbi译码算法的运算基础。

发明内容

本发明的主要目的是说明构造量子卷积码的状态转移图和网格图的方法，为分析量子卷积码的最优译码算法奠定基础。

本发明描述了一种量子卷积码的状态转移图的绘制方法。已知码参数为[[n，k，m]]的量子卷积码，k位信息通过编码操作被编码成n位长的码字，m指编码存储，定义其编码操作为U，其对应的编码矩阵为V，我们称作用于m位卷积位上的编码算子发生的状态转移过程(M_j-1→M_j)为该编码操作U所对应的状态转移图。该状态转移图能够遍历卷积位上编码算子的所有可能，每一种可能在图中被表示为一个状态节点，这样的节点共有4^m个。每两个节点用一条有向边连接，代表相邻编码时间单元内卷积位上编码算子的转移过程，每条边上有一组标注，标注中左边数据代表当前时刻输入的k位编码算子，右边数据代表当前时刻输出的n位编码算子；每个节点伸出4^k×2^(n-k)条边进入其他节点，同时进入每个节点的边有4^k×2^(n-k)条。

本发明描述了一种量子卷积码的网格图的绘制方法。已知码参数为[[n，k，m]]的量子卷积码，k位信息通过编码操作被编码成，n位长的码字，m指编码存储，若一共进行N+t次编码，其中前N次用于输入信息，后t次用于编码电路归零，节点集分为N+t+1个子集D_J，其中|D₀|=1，|D_J|=2^m，1≤j≤N+t；每两个节点用一条有向边连接，所有从节点D_J-1出发到达节点D_J的有向边集合称为E_j，E_j称为网格图的第j节，每条边上有一组标注，标注中左边数据代表当前时刻输入的k位编码算子，右边数据代表当前时刻输出的n位编码算子；在每个编码时刻内，每个节点伸出4^k×2^(n-k)条边进入其他节点，同时进入每个节点的边有4^k×2^(n-k)条。

当编码电路确定时，所述的编码操作U唯一确定。

所述的编码矩阵V与编码操作U的关系为其中指pauli群算子，通过编码操作U可以计算出一一对应的编码矩阵V，为一2(n+m)×2(n+m)阶矩阵。

通过编码操作U计算得到编码矩阵V，我们关注的焦点从待编码的量子比特转移到了作用于待编码比特上的编码算子。

状态转移图描述的是作用于卷积位上的编码算子发生的状态转移过程(M_J-1→M_J)，M_J指第j次编码时作用于卷积位上的编码算子状态。

若需要传输N段待编码的信息，量子卷积码的编码过程分为N+t个编码时间单元，前N段用于输入信息，后t段使编码电路的输出回到全|0>比特。

附图说明

图1[[n，k，m]]量子卷积码的稳定子表示。

图2前N步卷积码编码电路。

图3后t步卷积码编码电路。

图4编码算子转移图。

图5[[2，1，1]]量子卷积码编码电路。

图6[[2，1，1]]量子卷积码状态转移图。

图7[[2，1，1]]量子卷积码网格图。

具体实施方式

图1中，M_j,i为n+m位的Pauli算子，j代表当前时间单元，1≤i≤n-k。量子卷积码的稳定子在相邻时刻相互重叠m位，这m位称为卷积位。

图2中，称为逻辑位，用于输入当前时间单元内的k位信息，经过编码操作U后变为n位长的码字同时剩余的m位|P_j>用于下一时刻编码，初始状态|P₀>为m位的全|0>态。

图3中，在逻辑位上输入全|0>比特，其余部分不变。其作用是使编码电路的输出回到全|0>比特。

图4中，M_j-1表示第j-1个时间单元内作用于m位卷积位上编码算子的状态，M_J表示第j个时间单元内m位卷积位上编码算子的状态，定义初始状态 表示第j个时间单元内k位逻辑位上编码算子的状态；表示第j个时间单元内作用于m位卷积位上编码算子的状态。

图5中，|a>初始状态为|0>，|b>输入信息位，|c>每次输入|0>态，根据编码电路得到编码操作U为 $|a\⟩\⊗|b\⟩\⊗|c\⟩\→|a\⟩\⊗|a+b\⟩\⊗|b+c\⟩,$ a，b，c∈{0，1}。

1 量子卷积码

在量子信息理论中，1个量子比特对应一个复数域上的二维Hilbert空间，设单量子比特对应的量子态为其中α和β为复数，并满足|α|²+|β|²=1，|0>和|1>代表该Hilbert空间的一组正交基。我们用单量子比特的Hilbert空问。以此类推，n个量子比特对应n个二维Hilbert空间的张量积对应的空间表示为

一个码参数为[[n，k]]的量子纠错码是2ⁿ维Hilbert空间中的一个2^k维子空间，该子空间表示为C_n，其编码过程可以描述为k比特信息进行编码操作U后被编码为n比特的码字编码操作U满足么正变换。在本发明中，我们只考虑满足clifford变换的编码操作。

量子卷积码：码参数为[[n，k，m]]的量子卷积码，可以用图1来表示其稳定子生成元。

2 量子卷积码的状态转移图

假设需要传输N段待编码的信息，量子卷积码的编码过程分为N+t步进行，前N步编码过程由图2所示，后t步编码过程由图3所示。针对每个量子卷积码，若其编码电路确定，则其编码操作U也唯一确定。通过公式可计算得到该量子卷积码所对应的编码矩阵V，现在我们来考虑编码矩阵如何对卷积码的编码算子进行操作，由此得到所需的状态转移图。

码参数为[[n，k，m]]的量子卷积码，在N+t个编码时间单元内，通过编码矩阵V，作用于每个编码比特上的编码算子有如下转移过程：1≤j≤N+t，具体到每个编码时间单元，可用图4表示。

量子卷积码的状态转移图：已知码参数为[[n，k，m]]的量子卷积码，其编码操作为U，其对应的编码矩阵为V，我们称作用于m位卷积位上编码算子发生的状态转移过程(M_j-1→M_j)为该编码操作U所对应的状态转移图，并满足：

1 该状态转移图能够遍历卷积位上编码算子的所有可能，每一种可能在图中被表示为一个状态节点，这样的节点共有4^m个；

2 每两个节点用一条有向边连接，代表相邻编码时间单元内卷积位上编码算子的转移过程，每条边上有一组标注，标注中左边数据代表当前时刻输入的k位编码算子，右边数据代表当前时刻输出的n位编码算子，从Y状态到I状态的边上标注(Z，XY)代表(Y∶Z∶I)V=XY∶I；

3 每个节点伸出4^k×2^(n-k)条边进入其他节点，同时进入每个节点的边有4^k×2^(n-k)条。

对于一个n=2，k=1，m=1量子卷积码，其编码电路如图5所示，通过编码操作U计算得到一个6×6的编码矩阵V：

$V=\left(\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 1& 1& 0& 0& 0& 0\\ 1& 1& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

该量子卷积码的状态转移图如图6所示。

3 量子卷积码的网格图

虽然状态转移图能表示在不同输入的信息序列下，m位卷积位上编码算子发生的状态转移过程，但并不能表示出该状态转移图与时间的关系，为了表示每个状态与时间的关系，我们可以用网格图来表示。

量子卷积码的网格图：已知码参数为[[n，k，m]]的量子卷积码，共有N+t个编码时间单元，根据其状态转移图，可以得到对应的网格图，该网格图是满足如下条件的一个有向图：

1 节点集可分为N+t+1个子集D_J，其中|D₀|=1，|D_J|=2^m，1≤j≤N+t；

2 每两个节点用一条有向边连接，所有从节点D_j-1出发到达节点D_J的有向边集合称为E_J，E_j称为网格图的第j节，每条边上有一组标注，标注中左边数据代表当前时刻输入的k位编码算子，右边数据代表当前时刻输出的n位编码算子；

3 在每个编码时刻内，每个节点伸出4^k×2(^n-k)条边进入其他节点，同时进入每个节点的边有4^k×2^(n-k)条。

对于n=2，k=1，m=1的量子卷积码，其网格图如图7所示。

Claims (2)

1.一种构造量子卷积码状态转移图的方法，其特征是：码参数为[[n，k，m]]的量子卷积码，k位信息通过编码操作被编码成n位长的码字，m指编码存储，其编码操作满足幺正变换，对其编码操作进行clifford变换可以计算得到一对应的2(n+m)×2(n+m)阶编码矩阵，在该矩阵的作用下，分析作用于m位卷积位上编码算子的状态变化过程，并用图来概括，该图由状态节点、有向边，输入编码算子和输出编码算子组成，并能够遍历卷积位上编码算子的所有可能，每一种可能在图中被表示为一个状态节点，这样的节点共有4^m个；每两个节点用一条有向边连接，代表相邻编码时间单元内卷积位上编码算子的转移过程，每条边上有一组标注，标注中左边数据代表当前时刻输入的k位编码算子，右边数据代表当前时刻输出的n位编码算子；每个节点伸出4^k×2^(n-k)条边进入其他节点，同时进入每个节点的边有4^k×2^(n-k)条；

根据已知的编码电路，绘制状态转移图，为网格图的绘制奠定基础。

2.一种构造量子卷积码网格图的方法，其特征是：能够描述每个编码时间单元内的状态转移图，码参数为[[n，k，m]]的量子卷积码，k位信息通过编码操作被编码成n位长的码字，m指编码存储，若一共进行N+t次编码，其中前N次用于输入信息，后t次用于编码电路归零，该图由状态节点集、有向边集，输入编码算子和输出编码算子组成，其中节点集可分为N+t+1个子集，每个子集定义为D_j，|D₀|＝1，|D_J|＝2^m，1≤j≤N+t；每两个节点用一条有向边连接，所有从节点D_j-1出发到达节点D_j的有向边集合称为E_J，每条边上有一组标注，标注中左边数据代表当前时刻输入的k位编码算子，右边数据代表当前时刻输出的n位编码算子；在每个编码时刻内，每个节点伸出4^k×2^(n-k)条边进入其他节点，同时进入每个节点的边有4^k×2(^n-k)条。