CN103389472A - 一种基于nd-ar模型的锂离子电池循环寿命的预测方法 - Google Patents

Abstract

一种基于ND-AR模型的锂离子电池循环寿命的预测方法，涉及锂离子电池循环寿命的预测方法，它为解决AR模型没有包含容量退化数据的非线性特征，对非线性数据预测的失配问题。一、选取预测起始点，得到容量数据并进行建模，二、建立AR模型，并对AR模型预测容量；三、获取非线性退化因子的真实值；四、获得离线ND-AR模型：五、进行容量前期退化特征相似度分析：六、在线预测电池ND-AR模型参数加权估计：七、对AR模型预测结果的非线性修正：八、完成锂离子电池容量长期退化趋势的预测。它可广泛适用于对锂离子电池循环寿命进行预测。

Description

一种基于ND-AR模型的锂离子电池循环寿命的预测方法

技术领域

本发明涉及锂离子电池循环寿命的预测方法，属于电池寿命预测领域。

背景技术

现有电池循环寿命预测一般均采用线性AR模型，但是现有的线性AR模型无法直接对随时间呈现非线性退化特征的电池容量退化曲线进行准确预测。由于AR模型没有包含容量退化数据的非线性特征，也就是说对于加速退化趋势或未来将要出现的退化趋势变化没有预测能力导致个别样本的预测效果可能较差的现象，为解决AR线性模型对非线性数据预测的失配问题，提出本申请改进AR模型下的预测框架的研究。

发明内容

本发明目的是为了解决AR模型没有包含容量退化数据的非线性特征，对非线性数据预测的失配问题，提供了一种基于ND-AR模型的锂离子电池循环寿命的预测方法。

一种基于ND-AR模型的锂离子电池循环寿命的预测方法，实现该方法的步骤为：

步骤一、通过锂离子电池测试平台对与待预测电池样本同型号的离线测试电池样本进行充放电循环实验，获取与待预测电池样本同型号的离线测试电池样本的离线测试容量数据Capacity，Capacity为非负实数，并从获得的离线测试容量数据Capacity中选取预测起始点T，并将预测起始点T之前的电池容量数据作为容量数据F进行建模，F为有理数集合；将预测起始点T之后的电池容量数据定义为Capreal；

所述预测起始点T的选取是根据待测电池样本的容量数据F’占整体寿命的容量数据的百分比来确定的；；

步骤二、根据步骤一所获得的容量数据F建立AR模型，并通过建立的AR模型获取容量数据F对应于电池容量数据Capreal的AR模型预测容量ARpredict；

步骤三、将步骤二所获得的容量数据F对应于电池容量数据Capreal的AR模型预测容量ARpredict与步骤一得到的电池容量数据Capreal比对，获取该AR模型预测容量退化特征与实际电池容量退化特征的比例误差，即非线性退化因子的真实值K_T,real；

步骤四、将步骤三所得到的非线性退化因子的真实值K_T,real以具体的函数表达式进行表征，引入非线性退化因子K_T的公式（10）获得离线ND-AR模型：

其中参数K_T为包含电池退化特征信息的非线性退化因子；

为AR模型的自回归系数，x_t为当前时刻***状态，即离线电池样本当前时刻的容量值，x_t-i(i=1,2,...,p)为***t-1时刻至t-p时刻的状态，即离线电池样本在相应时刻的容量值，a_t为噪声，服从均值为0，方差为W的正态分布，即a_t～N(0,W)，其中W为实数；

通过采用指数型因子来描述电池容量的非线性退化信息，将公式（11）所示因子与公式（12）所示因子同时进行对比实验，比较不同表示形式的因子对预测效果的影响，获得一种包含更多退化信息的非线性退化因子：

K_T＝a·e^b·k+e^d·k                         (11)；

$K_T=\frac{1}{1+a\·(k+b)}---\left(12\right);$

式中参数k表示的是预测步长，k的取值范围从1到n，其中n为离线测试容量数据Capacity的总长度，参数a、b、c、d代表待确定参数；通过上述两种形式，从不同的角度出发，由于非线性退化因子的真实值K_T,real是一个在1附近微小变化的值，而公式（12）表示的因子数值在1附近变化，且为随着预测步长增加而呈现不同退化速率的因子形式；因此公式12所示非线性退化因子K_T更接近非线性退化因子的真实值K_T,real；

建立所述离线ND-AR模型的具体方法如下：

步骤四一、提取预测起始点T之后的电池容量数据Capreal；所述电池容量数据Capreal是指真实容量退化特征信息；

步骤四二、采用下式计算非线性退化因子K_T的真实值K_T,real：

$K_{T,\mathrm{real}}=\frac{\mathrm{Capreal}}{\mathrm{ARpredict}}---\left(13\right);$

步骤四三、基于EKF算法对得到的非线性退化因子K_T的真实值K_T,real的未知参数进行状态跟踪，同时进行步骤四三一和步骤四三二；以获取每一次放电循环所对应的非线性退化因子K_T的具体因子参数：

步骤四三一：将公式（11）的因子参数a、b、c和d进行参数估计后代入式（11）中，获取相应的非线性退化因子K_T的表达式，并将此非线性退化因子K_T代入式（10），完成该电池样本基于真实退化信息的ND-AR模型建模；

步骤四三二、将公式（12）的因子参数a和b，进行参数估计后，代入式（12）中获取相应的非线性退化因子K_T的表达式，并将此非线性退化因子K_T代入式（10），完成该电池样本基于真实退化信息的ND-AR模型建模；

步骤五、进行离线电池样本与在线待预测电池容量前期退化特征相似度分析：

首先对离线基于真实退化信息进行ND-AR模型建模的电池样本和在线寿命待预测电池样本的容量退化趋势进行关联性分析：采用灰色关联分析方法得到离线建模容量序列与在线待预测容量序列的前期历史容量数据变化趋势之间的关联度，关联度越大说明退化趋势越相近，非线性退化因子K_T的参数越接近，对应的加权权重越大；

使用基于关联度的加权方法计算并获取待测电池样本的非线性退化因子K_T参数的估计值：

所述灰色关联分析为：

首先，确定分析数列：

确定反映***行为特征的参考数列和影响***行为的比较数列；其中，反映***行为特征的数据序列，称为参考数列；影响***行为的因素组成的数据序列，称为比较数列；设参考数列为Y={Y(k)|k=1,2,…,n}；比较数列为X_i={X_i(k)|k=1,2,…,n},i=1,2,…,m；

为消除观测数据中包含的噪声，对数据样本进行多项式拟合，拟合次数根据数据特征来确定，并且从连续的拟合曲线中等间隔采集相同个数的数据点；获取参考数列Y为对在线待预测电池在线采集容量数据拟合并采样后的数据集，比较数列为离线测试电池样本经相同处理后获取的数据集；

计算关联系数：

X₀(k)与X_i(k)的关联系数为：

${\mathrm{\ζ}}_i\left(k\right)=\frac{\underset{i}{\min }\underset{k}{\min }|y\left(k\right)-x_i\left(k\right)|+\mathrm{\ρ}\underset{i}{\max }\underset{k}{\max }|y\left(k\right)-x_i\left(k\right)|}{|y\left(k\right)-x_i\left(k\right)|+\mathrm{\ρ}\underset{i}{\max }\underset{k}{\max }|y\left(k\right)-x_i\left(k\right)|}---\left(43\right);$

式中y(k)为经确定分析数列处理后的待预测电池样本数据，x_i(k)为经确定分析数列处理后的第i个离线测试电池样本数据；ρ∈（0,∞），称为分辨系数；ρ越小，分辨力越大，

将各个时刻关联系数集中为一个值，求其平均值，并作为比较数列与参考数列间关联程度的数量表示，第i个离线测试电池样本x_i(k)与在线待预测电池样本y(k)的关联度r_i公式如下：

$r_i=\frac{1}{n}\underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ξ}}_i\left(k\right)$ (k＝1，2，...，n)     (44)；

由此获得离线ND-AR建模电池样本容量数据与在线待预测电池容量数据退化趋势间的关联度r_i，用于后期非线性退化因子参数的估计；

步骤六、在线预测电池ND-AR模型参数加权估计：

选用两个电池样本模拟离线建模电池样本，两组拟合参数分别记为m¹和m²，m代表了参数，对于式（11）的因子，m可以为a、b、c或者d，对于式（12）的因子，m可以为a或者b，1、2作为组别的区分而不是指数；通过获得的两组离线建模电池与在线待预测电池容量退化趋势的关联度r₁和r₂，通过式（45）即可得到待预测电池ND-AR模型参数估计结果：

$m=\frac{r_1}{r_1+r_2}{m}^1+\frac{r_2}{r_1+r_2}{m}^2---\left(45\right);$

步骤七、对AR模型预测结果的非线性修正：

通过步骤六获得的模型参数加权估计结果后，直接利用AR模型对在线待预测电池的容量退化数据进行预测，预测完成后按公式（10）进行容量预测结果的非线性校正，完成基于ND-AR模型的锂离子电池循环寿命的预测；

步骤八、通过上述过程完成锂离子电池容量长期退化趋势的预测。

本发明的优点：通过选取某类电池中的一部分电池样本在锂离子电池测试平台上进行充放电循环实验，获取其真实容量信息，并且利用AR模型进行建模获取相应AR模型预测容量，通过预测容量与真实容量比对获取AR模型预测容量退化特征与实际电池容量退化特征的比例误差，将此误差以某一种具体的函数表达式进行表征，且利用EKF算法获取表达式中的具体参数，也就是说构建一个包含此误差信息或者说包含电池非线性退化特征信息的非线性退化因子K_T，通过多组重复试验获取所有测试电池样本的相应退化因子表达式，完成基于真实退化信息的各自独立ND-AR模型构建。随后，在线对待预测电池样本进行容量信息采集，通过对比待预测电池数据样本与离线测试电池相对应数据样本的相似程度（比如这类电池的寿命大约也就是100个循环，在线已经采集了50个循环的数据，大概也就是占整个寿命的50%，那么也对离线测试电池样本提取各自前50%的数据，分析这些数据与在线测得数据间的相似度），根据此相似程度估计在线待测电池可能的非线性退化特性，即估计其非线性退化因子的参数，并将此估计的非线性退化因子应用于AR直接预测输出的校正，即进行在线ND-AR模型推广预测，最终达到非线性退化趋势预测效果的提升。

具体实施方式

具体实施方式一：本实施方式所述一种基于ND-AR模型的锂离子电池循环寿命的预测方法，实现该方法的步骤为：

步骤一、通过锂离子电池测试平台对与待预测电池样本同型号的离线电池样本进行充放电循环实验，获取与待预测电池样本同型号的离线电池样本的离线测试容量数据Capacity，Capacity为非负实数，并从获得的离线测试容量数据Capacity中选取预测起始点T，并将预测起始点T之前的电池容量数据作为容量数据F进行建模，F为有理数；将预测起始点T之后的电池容量数据定义为Capreal；

所述预测起始点T的选取是根据在线待预测电池样本已采集的容量数据F’占整体寿命的容量数据的百分比来确定的；；

步骤二、根据步骤一所获得的容量数据F建立离线电池样本的AR模型，并通过建立的AR模型获取容量数据Capacity中对应于电池容量数据Capreal的AR模型预测容量ARpredict；

步骤三、将步骤二所获得的容量数据Capacity中对应于电池容量数据Capreal的AR模型预测容量ARpredict与步骤一得到的电池容量数据Capreal比对，获取该AR模型预测容量退化特征与实际电池容量退化特征的比例误差，即非线性退化因子的真实值K_T,real；

步骤四、将步骤三所得到的非线性退化因子的真实值K_T,real以具体的函数表达式进行表征，引入非线性退化因子K_T的公式（10）获得离线ND-AR模型：

其中参数K_T为包含电池退化特征信息的非线性退化因子；

为AR模型的自回归系数，x_t为当前时刻***状态，即离线电池样本当前时刻的容量值，x_t-i(i=1,2,...,p)为***t-1时刻至t-p时刻的状态，即离线电池样本在相应时刻的容量值，a_t为噪声，服从均值为0，方差为W的正态分布，即a_t～N(0,W)，其中W为实数；

通过采用指数型因子来描述电池容量的非线性退化信息，将公式（11）所示因子与公式（12）所示因子同时进行对比实验，比较不同表示形式的因子对预测效果的影响，获得一种包含更多退化信息的非线性退化因子：

K_T=a·e^b·k+c·e^d·k                          （11）；

$K_T=\frac{1}{1+a\·(k+b)}---\left(12\right);$

式中参数k表示的是预测步长，k的取值范围从1到n，其中n为离线测试容量数据Capacity的总长度，参数a、b、c、d代表待确定参数；通过上述两种形式，从不同的角度出发，由于非线性退化因子的真实值K_T,real是一个在1附近微小变化的值，而公式（12）表示的因子数值在1附近变化，且为随着预测步长增加而呈现不同退化速率的因子形式；因此公式12所示非线性退化因子K_T更接近非线性退化因子的真实值K_T,real；

建立所述离线ND-AR模型的具体方法如下：

步骤四一、提取预测起始点T之后的电池容量数据Capreal；所述电池容量数据Capreal是指真实容量退化特征信息；

步骤四二、采用下式计算非线性退化因子K_T的真实值K_T,real：

$K_{T,\mathrm{real}}=\frac{\mathrm{Capreal}}{\mathrm{ARpredict}}---\left(13\right);$

步骤四三、基于EKF算法对得到的非线性退化因子K_T的真实值K_T,real的未知参数进行状态跟踪，同时进行步骤四三一和步骤四三二；以获取每一次放电循环所对应的非线性退化因子K_T的具体因子参数：

步骤四三一：将公式（11）的因子参数a、b、c和d进行参数估计后代入式（11）中，获取相应的非线性退化因子K_T的表达式，并将此非线性退化因子K_T代入式（10），完成该电池样本基于真实退化信息的ND-AR模型建模；

步骤四三二、将公式（12）的因子参数a和b，进行参数估计后，代入式（12）中获取相应的非线性退化因子K_T的表达式，并将此非线性退化因子K_T代入式（10），完成该电池样本基于真实退化信息的ND-AR模型建模；

步骤五、进行离线电池样本与在线待预测电池容量前期退化特征相似度分析：

首先对离线基于真实退化信息进行ND-AR模型建模的电池样本和在线寿命待预测电池样本的容量退化趋势进行关联性分析：采用灰色关联分析方法得到离线建模容量序列与在线待预测容量序列的前期历史容量数据变化趋势之间的关联度，关联度越大说明退化趋势越相近，非线性退化因子K_T的参数越接近，对应的加权权重越大；

使用基于关联度的加权方法计算并获取待测电池样本的非线性退化因子K_T参数的估计值：

所述灰色关联分析为：

首先，确定分析数列：

确定反映***行为特征的参考数列和影响***行为的比较数列；其中，反映***行为特征的数据序列，称为参考数列；影响***行为的因素组成的数据序列，称为比较数列；设参考数列为Y={Y(k)|k=1,2,…,n}；比较数列为X_i={X_i(k)|k=1,2,…,n},i=1,2,…,m；

为消除观测数据中包含的噪声，对数据样本进行多项式拟合，拟合次数根据数据特征来确定，并且从连续的拟合曲线中等间隔采集相同个数的数据点；获取参考数列Y为对在线待预测电池在线采集容量数据拟合并采样后的数据集，比较数列为离线测试电池样本经相同处理后获取的数据集；

计算关联系数：

X₀(k)与X_i(k)的关联系数为：

${\mathrm{\ζ}}_i\left(k\right)=\frac{\underset{i}{\min }\underset{k}{\min }|y\left(k\right)-x_i\left(k\right)|+\mathrm{\ρ}\underset{i}{\max }\underset{k}{\max }|y\left(k\right)-x_i\left(k\right)|}{|y\left(k\right)-x_i\left(k\right)|+\mathrm{\ρ}\underset{i}{\max }\underset{k}{\max }|y\left(k\right)-x_i\left(k\right)|}---\left(43\right);$

式中y(k)为经确定分析数列处理后的待预测电池样本数据，x_i(k)为经确定分析数列处理后的第i个离线测试电池样本数据；ρ∈（0,∞），称为分辨系数；ρ越小，分辨力越大，

将各个时刻关联系数集中为一个值，求其平均值，并作为比较数列与参考数列间关联程度的数量表示，第i个离线测试电池样本x_i(k)与在线待预测电池样本y(k)的关联度r_i公式如下：

$r_i=\frac{1}{n}\underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ξ}}_i\left(k\right)$ (k＝1，2，...，n)     (44)；

由此获得离线ND-AR建模电池样本容量数据与在线待预测电池容量数据退化趋势间的关联度r_i，用于后期非线性退化因子参数的估计；

步骤六、在线预测电池ND-AR模型参数加权估计：

选用两个电池样本模拟离线建模电池样本，两组拟合参数分别记为m¹和m²，m代表了参数，对于式（11）的因子，m可以为a、b、c或者d，对于式（12）的因子，m可以为a或者b，1、2作为组别的区分而不是指数；通过获得的两组离线建模电池与在线待预测电池容量退化趋势的关联度r₁和r₂，通过式（45）即可得到待预测电池ND-AR模型参数估计结果：

$m=\frac{r_1}{r_1+r_2}{m}^1+\frac{r_2}{r_1+r_2}{m}^2---\left(45\right);$

步骤七、对AR模型预测结果的非线性修正：

通过步骤六获得的模型参数加权估计结果后，直接利用AR模型对在线待预测电池的容量退化数据进行预测，预测完成后按公式（10）进行容量预测结果的非线性校正，完成基于ND-AR模型的锂离子电池循环寿命的预测；

步骤八、通过上述过程完成锂离子电池容量长期退化趋势的预测。

具体实施方式二：本实施方式对实施方式一作进一步说明，所述步骤一中利用AR模型进行建模获取相应AR模型预测容量的具体方法为：首先，是AR模型的建模过程，模型阶次p的求取和自回归系数

的求取：

步骤A：首先将容量数据F作为阶次判断的原始数据输入，对容量数据F进行零均值化和方差标准化处理；

所述零均值化处理是指求取容量数据F的均值Fmean，从而得到零均值化的序列f=F-Fmean；

所述方差标准化处理是指求取零均值化序列f的标准差σ_f，得到标准化的建模数据Y=f/σ_f；Y为非负有理数集合；

步骤B：判断标准化后的建模数据Y是否适合建立AR模型：

0步自协方差： $R_0=\underset{i=1}{\overset{L1}{\mathrm{\Σ}}}\frac{Y^2\left(i\right)}{L1}---\left(1\right)$

其中，R₀为0步自协方差；L1为容量数据F数据集的长度；

1～20步自协方差： $R\left(k\right)=\underset{i=k+1}{\overset{L1}{\mathrm{\Σ}}}\frac{Y\left(i\right)\·Y(i-k)}{L1}(k=\mathrm{1,2},...,20)---\left(2\right)$

其中，R（k）为k步自协方差；

自相关系数： $x\left(k\right)=\frac{R\left(k\right)}{R_0}---\left(3\right)$

根据计算结果，绘制自相关系数曲线，判断截尾特性即随着k的增加自相关系数是否逐步趋向于0，若表现截尾特征则适合建立时间序列分析模型MA模型，由于MA模型可由高阶AR模型进行近似，因此，若呈现截尾特性则表明同样适合AR模型建模；

偏相关系数：求解Yule-Wallker方程，根据求解结果绘制偏相关系数曲线，判断截

尾特性，若截尾则适合AR建模；

步骤C：AIC计算：

通过自协方差计算得到：S=[R₀,R(1),R(2),R(3)]             （4）；

其中，S为由0至3步自协方差构成的向量；

计算托普利茨矩阵Toeplitz矩阵：           G=toeplitz(S)    （5）；

其中，G为通过Matlab自带函数计算获得的向量S的托普利茨矩阵；

计算参数：              W=G^-1·[R(1),R(2),R(3),R(4)]^T      （6）；

其中W为计算过程中的中间向量

模型残差方差计算： ${\mathrm{\σ}}_p^2=\frac{1}{L1-p}\underset{t=p+1}{\overset{L1}{\mathrm{\Σ}}}{[Y\left(t\right)-\underset{i=1}{\overset{p}{\mathrm{\Σ}}}W\left(i\right)\·Y(t-i)]}^2---\left(7\right);$

其中，Y（t）是指t时刻对应的标准化后的建模数据即第t个建模数据；P为模型阶次；

由此，AIC计算公式为：

$\mathrm{AIC}\left(p\right)=N\ln {\mathrm{\σ}}_p^2+2p---\left(8\right);$

其中，N为序列元素个数，

为p阶预报误差方差，p为模型阶次；

步骤D：将AIC最小值所对应的模型阶次p作为最优阶次；

步骤E：对离线建模的各个电池样本分别进行上述步骤所述的建模数据的提取和AIC准则下的最佳模型阶次的求取，用于后续建模；

步骤F：分别使用Burg法和Yule-Wallker法，利用相同的历史建模数据Y计算模型自回归系数

得到独立的系数求取结果

和

其中，和

分别为Burg法获取的自回归系数结果和Yule-Wallker法获取的自回归系数结果；

步骤H：设置初始融合系数P₁和P₂；

步骤I：随着预测步长的增加，动态调整融合系数：P₁＝P₁-f(i)，P₂＝P₂+f(i)，其中i为预测步长；f(i)为融合系数动态调整因子，用于随预测步长的增加动态调整融合系数结果；

步骤J：融合系数计算：

将此系数作为最终用以容量长期退化趋势预测的AR模型的系数；

步骤K：利用上述步骤建立获得AR模型，如公式（9）所示：

其中

是待确定的自回归系数，p为模型的阶次；a_t,t=0,±1,…为相互独立的白噪声序列，且服从均值为0，方差为

的正态分布；

获取相应AR模型预测容量，得到每一时刻的电池容量预测结果，所述每一时刻的电池容量预测结果组成容量退化长期预测输出数据集ARpredict。

具体实施方式三：本实施方式对实施方式一作进一步说明，步骤四基于EKF算法对得到的非线性退化因子K_T的真实值K_T,real的未知参数进行状态跟踪还包括下述步骤：

步骤a、利用EKF算法对未知参数进行状态跟踪，首先要建立相应状态空间模型，寻求状态转移方程和观测方程，将待确定参数作为***状态向量，构造的状态空间模型如公式（14）所示：

$\left\{\begin{array}{cc}{a}_k=a_{k-1}+w_a& w_a~N(0,Q_a)\\ b_k=b_{k-1}+w_b& w_b~N(0,Q_b)\\ c_k=c_{k-1}+w_c& w_c~N(0,Q_c)\\ d_k=d_{k-1}+w_d& w_c~N(0,Q_d)\\ K_{T,k}=a_k\·e^{b_k\·k}+c_k\·e^{d_k\·k}& \end{array}\right.---\left(14\right);$

其中方程 $\left\{\begin{array}{cc}{a}_k=a_{k-1}+w_a& w_a~N(0,Q_a)\\ b_k=b_{k-1}+w_b& w_b~N(0,Q_b)\\ c_k=c_{k-1}+w_c& w_c~N(0,Q_c)\\ d_k=d_{k-1}+w_d& w_c~N(0,Q_d)\end{array}\right.$ 为参数估计的状态转移方程，用于描述上一时刻和下一时刻之间状态关系，a、b、c和d是式（11）中的因子参数，构成***状态向量[a；b；c；d]，w_a、w_b、w_c和w_d为高斯白噪声，描述***过程噪声，分别服从均值为0，方差为Q_a、Q_b、Q_c和Q_d的高斯分布；

方程

为***观测方程，将估计获得的参数带入此方程获取一个非线性退化因子的估计值；

对状态空间模型公式（14）进行线性化处理，由于状态转移方程是典型的线性方程，因此不需要进行线性化展开，只需要直接输入状态转移矩阵（15）即可：

$F_k=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]---\left(15\right);$

观测方程为指数形式K_T,k=f(a_k,b_k,c_k,d_k)，对其进行Taylor展开并利用其一阶部分进行非线性方程的线性化近似如式（16）至（19）：

$\frac{{\∂K}_{T,k}}{{\∂a}_k}=e^{b_k\·k}---\left(16\right);$

$\frac{{\∂K}_{T,k}}{{\∂b}_k}=a_k\·k\·e^{b_k\·k}---\left(17\right);$

$\frac{{\∂K}_{T,k}}{{\∂c}_k}=e^{d_k\·k}---\left(18\right);$

$\frac{{\∂K}_{T,k}}{{\∂d}_k}=c_k\·k\·e^{d_k\·k}---\left(19\right);$

得到线性化后的观测矩阵H_k如式（20）所示：

$H_k=[e^{b_k\·k},a_k\·k\·e^{b_k\·k},e^{d_k\·k},c_k\·k\·e^{d_k\·k}]---\left(20\right);$

***过程噪声及观测噪声均为线性叠加噪声，故有线性化过程噪声及观测噪声系数矩阵如式（21）、（22）所示：

$W_k=\left[\begin{array}{cccc}\frac{{\∂f}_a}{{\∂w}_a}& \frac{{\∂f}_a}{{\∂w}_b}& \frac{{\∂f}_a}{{\∂w}_c}& \frac{{\∂f}_a}{{\∂w}_d}\\ \frac{{\∂f}_b}{{\∂w}_a}& \frac{{\∂f}_b}{{\∂w}_b}& \frac{{\∂f}_b}{{\∂w}_c}& \frac{{\∂f}_b}{{\∂w}_d}\\ \frac{{\∂f}_c}{{\∂w}_a}& \frac{{\∂f}_c}{{\∂w}_b}& \frac{{\∂f}_c}{{\∂w}_c}& \frac{{\∂f}_c}{{\∂w}_d}\\ \frac{{\∂f}_d}{{\∂w}_a}& \frac{{\∂f}_d}{{\∂w}_b}& \frac{{\∂f}_d}{{\∂w}_c}& \frac{{\∂f}_d}{{\∂w}_d}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]---\left(21\right);$

$V_k=\frac{\∂h}{\∂v}=1---\left(22\right);$

由于各噪声互相独立，则有***过程噪声协方差矩阵Q如式（23）：

$Q=\left[\begin{array}{cccc}{Q}_{a,a}& Q_{a,b}& Q_{a,c}& Q_{a,d}\\ Q_{b,a}& Q_{b,b}& Q_{b,c}& Q_{b,d}\\ Q_{c,a}& Q_{c,b}& Q_{c,c}& Q_{c,d}\\ Q_{d,a}& Q_{d,b}& Q_{d,c}& Q_{d,d}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{Q}_a& 0& 0& 0\\ 0& Q_b& 0& 0\\ 0& 0& Q_c& 0\\ 0& 0& 0& Q_d\end{array}\right]---\left(23\right);$

***状态空间模型进行线性化处理后，进行状态的估计及更新过程，即对每一时刻模型的参数进行估计与更新：

所述参数估计是通过状态转移方程 $\left\{\begin{array}{cc}{a}_k=a_{k-1}+w_a& w_a~N(0,Q_a)\\ b_k=b_{k-1}+w_b& w_b~N(0,Q_b)\\ c_k=c_{k-1}+w_c& w_c~N(0,Q_c)\\ d_k=d_{k-1}+w_d& w_c~N(0,Q_d)\end{array}\right.$ 对模型参数进行估计：

$[a_k^{-};b_k^{-};c_k^{-};d_k^{-}]=[a_{k-1}^{+};b_{k-1}^{+};c_{k-1}^{+};d_{k-1}^{+}]---\left(24\right);$

$P_k^{-}=F_k{P}_{k-1}^{+}{F}_k^T+W_k{Q}_k{W}_k^T---\left(25\right);$

式中

和

分别代表k时刻状态的估计值，和

分别代表k-1时刻状态更新值，

为k时刻***状态协方差矩阵的估计值，

为k-1时刻***状态协方差矩阵的更新值，F_k为***状态转移矩阵，W_k为线性化***过程噪声系数矩阵，Q_k为过程噪声方差；

所述参数更新是通过状态估计后，得到当前时刻参数的先验估计值，将先验估计值带入***观测方程 $K_{T,k}=a_k\·e^{b_k\·k}+c_k\·e^{d_k\·k},$ 得到观测值的估计值；

步骤b：将观测值的估计值与观测值真值进行比较得到测量余差，对状态估计值进行基于最小方差原则下的状态更新，得到最终的状态预测结果；具体更新步骤如下：

因子估计值： $K_{T,k}^{~}=a_k^{-}\·e^{b_k^{-}\·k}+c_k^{-}\·e^{d_k^{-}\·k}---\left(26\right);$

测量余差协方差： $S_k=H_k{P}_k^{-}{H}_k^T+V_k{R}_k{V}_k^T---\left(27\right);$

卡尔曼增益： $K_k=P_{k|}^{-}{H}_k^T{S}_k^{-1}---\left(28\right);$

状态更新： $[a_k^{+};b_k^{+};c_k^{+};d_k^{+}]=[a_k^{-};b_k^{-};c_k^{-};d_k^{-}]+K_k(K_{T,k}-K_{T,k}^{~})---\left(29\right);$

$P_k^{+}=(I-K_k{H}_k)P_k^{-}---\left(30\right);$

以上各式中，

是基于估计参数所计算得到的第k个周期的非线性退化因子估计结果，K_T,k是k个周期的真实非线性退化因子值K_T,real(k)，S_k是测量余差的协方差矩阵，

是状态协方差矩阵的估计值，H_k为观测矩阵，V_k为观测噪声系数矩阵，R_k为观测噪声方差，K_k即为当前最优卡尔曼增益，a_k ⁺、b_k ⁺、c_k ⁺和

更新后的状态值，为更新后的协方差矩阵；

由此得到每一个时刻的参数估计值；

得到每一时刻的参数估计值后，需要通过这些估计值综合出一组统一的参数a_s、b_s、c_s和d_s，以明确非线性退化因子最终的表达式；通过多元高斯分布概率密度计算获得在当前观测值估计值

及相应测量余差协方差S_k的条件下得到测量真值的概率P，即当前的参数估计值为参数真值的概率为P；基于此概率进行加权平均，P值越大，说明相应的参数预测结果更为接近真实的参数值，因此应具有更高的权重，即其可信度更高；模型参数的确定按照式（31）进行；

$m\_s=\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}m\left(k\right)\·\frac{P\left(k\right)}{\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}P\left(k\right)}$ m＝a，b，c或d              (31)；

其中，N即为参数估计序列的长度，P(k)为估计获取的参数即为真实参数的概率，m代表模型中的参数a、b、c或d。

具体实施方式四：本实施方式对实施方式一作进一步说明，基于公式（12）的因子参数a和b，进行参数估计，获得建模电池样本最终的参数a和b之后，代入式（12）中获取相应的非线性退化因子K_T的表达式，并将此因子代入式（10），完成该电池样本基于真实退化信息的ND-AR模型建模；对不同离线测试电池个体，重复上述步骤，获得每个电池样本各自基于真实退化信息的ND-AR模型；

对应式（14）的位置，换为

$\left\{\begin{array}{cc}{a}_k=a_{k-1}+w_a& w_a~N(0,Q_a)\\ b_k=b_{k-1}+w_b& w_b~N(0,Q_b)\\ K_{T,k}=a_k\·e^{b_k\·k}+c_k\·e^{d_k\·k}& \end{array}\right.---\left(32\right);$

对应式（15）的位置，换为

$F_k=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]---\left(33\right);$

式（16）～（19）的非线性模型线性化过程，替换为：

$\frac{{\∂K}_{T,k}}{{\∂a}_k}=\frac{-(k+b_k)}{{[1+a_k\·(k+b_k)]}^2}---\left(34\right);$

$\frac{{\∂K}_{T,k}}{{\∂b}_k}=\frac{{-a}_k}{{[1+a_k\·(k+b_k)]}^2}---\left(35\right);$

对应式（20）位置，换为

$H_k=[\frac{-(k+b_k)}{{[1+a_k\·(k+b_k)]}^2};\frac{{-a}_k}{{[1+a_k\·(k+b_k)]}^2}]---\left(36\right);$

对应式（21）位置，换为

$W_k=\left[\begin{array}{cc}\frac{{\∂f}_a}{{\∂w}_a}& \frac{{\∂f}_a}{{\∂w}_b}\\ \frac{{\∂f}_b}{{\∂w}_a}& \frac{{\∂f}_b}{{\∂w}_b}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]---\left(37\right);$

对应式（23）位置，换为

$Q=\left[\begin{array}{cc}{Q}_{a,a}& Q_{a,b}\\ Q_{b,a}& Q_{b,b}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{Q}_a& 0\\ 0& Q_b\end{array}\right]---\left(38\right);$

对应式（24）位置，换为

$[a_k^{-};b_k^{-}]=[a_{k-1}^{+};b_{k-1}^{+}]---\left(39\right);$

对应式（26）位置，换为

$K_{T,k}^{~}=\frac{1}{1+a_k^{-}(k+b_k^{-})}---\left(40\right);$

对应式（29）位置，换为

$[a_k^{+};b_k^{+}]=[a_k^{-};b_k^{-}]+K_k(K_{T,k}-K_{T,k}^{~})---\left(41\right);$

对应式（31）位置，换为

$m\_s=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}m\left(i\right)\·\frac{P\left(i\right)}{\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}P\left(i\right)}$ m＝a，b，c或d              (42)；

未提及的公式保持不变，通过相同的流程获取式（12）形式下的因子具体表达形式。

Claims (4)

1.一种基于ND-AR模型的锂离子电池循环寿命的预测方法，其特征在于，实现该方法的步骤为：

步骤一、通过锂离子电池测试平台对与在线待预测电池样本同型号的若干离线电池样本进行充放电循环实验，获取与在线待预测电池样本同型号的若干离线电池样本的离线测试容量数据Capacity，Capacity为非负实数，并从获得的离线测试容量数据Capacity中选取预测起始点T，并将预测起始点T之前的电池容量数据作为容量数据F进行建模，F为有理数集合；将预测起始点T之后的电池容量数据定义为Capreal；

所述预测起始点T的选取是根据在线待预测电池样本已采集的容量数据F’占整体寿命的容量数据的百分比来确定的；；

步骤二、根据步骤一所获得的容量数据F建立离线电池样本的AR模型，并通过建立的AR模型获取容量数据Capacity对应于电池容量数据Capreal的AR模型预测容量ARpredict；

步骤三、将步骤二所获得的容量数据Capacity对应于电池容量数据Capreal的AR模型预测容量ARpredict与步骤一得到的电池容量数据Capreal比对，获取该AR模型预测容量退化特征与实际电池容量退化特征的比例误差，即非线性退化因子的真实值K_T,real；

步骤四、将步骤三所得到的非线性退化因子的真实值K_T,real以具体的函数表达式进行表征，引入非线性退化因子K_T的公式（10）获得离线ND-AR模型：

其中参数K_T为包含电池退化特征信息的非线性退化因子；

为AR模型的自回归系数，x_t为当前时刻***状态，即离线电池样本当前时刻的容量值，x_t-i(i=1,2,...,p)为***t-1时刻至t-p时刻的状态，即离线电池样本在相应时刻的容量值，a_t为噪声，服从均值为0，方差为W的正态分布，即a_t～N(0,W)，其中W为实数；

通过采用指数型因子来描述电池容量的非线性退化信息，将公式（11）所示因子与公式（12）所示因子同时进行对比实验，比较不同表示形式的因子对预测效果的影响，获得一种包含更多退化信息的非线性退化因子：

K_T=a·e^b·k+c·e^d·k                          （11）；

$K_T=\frac{1}{1+a\·(k+b)}---\left(12\right);$

式中参数k表示的是预测步长，k的取值范围从1到n，其中n为离线测试容量数据Capacity的总长度，参数a、b、c、d代表待确定参数；通过上述两种形式，从不同的角度出发，由于非线性退化因子的真实值K_T,real是一个在1附近微小变化的值，而公式（12）表示的因子数值在1附近变化，且为随着预测步长增加而呈现不同退化速率的因子形式；因此公式12所示非线性退化因子K_T更接近非线性退化因子的真实值K_T,real；

建立所述离线ND-AR模型的具体方法如下：

步骤四一、提取预测起始点T之后的电池容量数据Capreal；所述电池容量数据Capreal是指真实容量退化特征信息；

步骤四二、采用下式计算非线性退化因子K_T的真实值K_T,real：

$K_{T,\mathrm{real}}=\frac{\mathrm{Capreal}}{\mathrm{ARpredict}}---\left(13\right);$

步骤四三、基于EKF算法对得到的非线性退化因子K_T的真实值K_T,real的未知参数进行状态跟踪，同时进行步骤四三一和步骤四三二；以获取每一次放电循环所对应的非线性退化因子K_T的具体因子参数：

步骤四三一：将公式（11）的因子参数a、b、c和d进行参数估计后代入式（11）中，获取相应的非线性退化因子K_T的表达式，并将此非线性退化因子K_T代入式（10），完成该电池样本基于真实退化信息的ND-AR模型建模；

步骤四三二、将公式（12）的因子参数a和b，进行参数估计后，代入式（12）中获取相应的非线性退化因子K_T的表达式，并将此非线性退化因子K_T代入式（10），完成该电池样本基于真实退化信息的ND-AR模型建模；

步骤五、进行离线电池样本与在线待预测电池容量前期退化特征相似度分析：

首先对离线基于真实退化信息进行ND-AR模型建模的电池样本和在线寿命待预测电池样本的容量退化趋势进行关联性分析：采用灰色关联分析方法得到离线建模容量序列与在线待预测容量序列的前期历史容量数据变化趋势之间的关联度，关联度越大说明退化趋势越相近，非线性退化因子K_T的参数越接近，对应的加权权重越大；

使用基于关联度的加权方法计算并获取待测电池样本的非线性退化因子K_T参数的估计值：

所述灰色关联分析为：

首先，确定分析数列：

确定反映***行为特征的参考数列和影响***行为的比较数列；其中，反映***行为特征的数据序列，称为参考数列；影响***行为的因素组成的数据序列，称为比较数列；设参考数列为Y={Y(k)|k=1,2,…,n}；比较数列为X_i={X_i(k)|k=1,2,…,n},i=1,2,…,m；

为消除观测数据中包含的噪声，对数据样本进行多项式拟合，拟合次数根据数据特征来确定，并且从连续的拟合曲线中等间隔采集相同个数的数据点；获取参考数列Y为对在线待预测电池在线采集容量数据拟合并采样后的数据集，比较数列为离线测试电池样本经相同处理后获取的数据集；

计算关联系数：

X₀(k)与X_i(k)的关联系数为：

${\mathrm{\ζ}}_i\left(k\right)=\frac{\underset{i}{\min }\underset{k}{\min }|y\left(k\right)-x_i\left(k\right)|+\mathrm{\ρ}\underset{i}{\max }\underset{k}{\max }|y\left(k\right)-x_i\left(k\right)|}{|y\left(k\right)-x_i\left(k\right)|+\mathrm{\ρ}\underset{i}{\max }\underset{k}{\max }|y\left(k\right)-x_i\left(k\right)|}---\left(43\right);$

式中y(k)为经确定分析数列处理后的待预测电池样本数据，x_i(k)为经确定分析数列处理后的第i个离线测试电池样本数据；ρ∈（0,∞），称为分辨系数；ρ越小，分辨力越大，

将各个时刻关联系数集中为一个值，求其平均值，并作为比较数列与参考数列间关联程度的数量表示，第i个离线测试电池样本x_i(k)与在线待预测电池样本y(k)的关联度r_i公式如下：

$r_i=\frac{1}{n}\underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ξ}}_i\left(k\right)$ (k=1,2,...,n)                        （44）；

由此获得离线ND-AR建模电池样本容量数据与在线待预测电池容量数据退化趋势间的关联度r_i，用于后期非线性退化因子参数的估计；

步骤六、在线预测电池ND-AR模型参数加权估计：

选用两个电池样本模拟离线建模电池样本，两组拟合参数分别记为m¹和m²，m代表了参数，对于式（11）的因子，m可以为a、b、c或者d，对于式（12）的因子，m可以为a或者b，1、2作为组别的区分而不是指数；通过获得的两组离线建模电池与在线待预测电池容量退化趋势的关联度r₁和r₂，通过式（45）即可得到待预测电池ND-AR模型参数估计结果：

$m=\frac{r_1}{r_1+r_2}{m}^1+\frac{r_2}{r_1+r_2}{m}^2---\left(45\right);$

步骤七、对AR模型预测结果的非线性修正：

通过步骤六获得的模型参数加权估计结果后，直接利用AR模型对在线待预测电池的容量退化数据进行预测，预测完成后按公式（10）进行容量预测结果的非线性校正，完成基于ND-AR模型的锂离子电池循环寿命的预测；

步骤八、通过上述过程完成锂离子电池容量长期退化趋势的预测。

2.根据权利要求1所述一种基于ND-AR模型的锂离子电池循环寿命的预测方法，其特征在于所述步骤一中利用AR模型进行建模获取相应AR模型预测容量的具体方法为：首先，是AR模型的建模过程，模型阶次p的求取和自回归系数

的求取：

步骤A：首先将容量数据F作为阶次判断的原始数据输入，对容量数据F进行零均值化和方差标准化处理；

所述零均值化处理是指求取容量数据F的均值Fmean，从而得到零均值化的序列f=F-Fmean；

所述方差标准化处理是指求取零均值化序列f的标准差

得到标准化的建模数据Y=f/σ_f；Y为非负有理数集合；

步骤B：判断标准化后的建模数据Y是否适合建立AR模型：

0步自协方差： $R_0=\underset{i=1}{\overset{L1}{\mathrm{\Σ}}}\frac{Y^2\left(i\right)}{L1}---\left(1\right)$

其中，R0为0步自协方差；L1为容量数据F数据集的长度；

1～20步自协方差： $R\left(k\right)=\underset{i=k+1}{\overset{L1}{\mathrm{\Σ}}}\frac{Y\left(i\right)\·Y(i-k)}{L1}(k=\mathrm{1,2},...,20)---\left(2\right)$

其中，R（k）为k步自协方差；

自相关系数： $x\left(k\right)=\frac{R\left(k\right)}{R_0}---\left(3\right)$

根据计算结果，绘制自相关系数曲线，判断截尾特性即随着k的增加自相关系数是否逐步趋向于0，若表现截尾特征则适合建立时间序列分析模型MA模型，由于MA模型可由高阶AR模型进行近似，因此，若呈现截尾特性则表明同样适合AR模型建模；

偏相关系数：求解Yule-Wallker方程，根据求解结果绘制偏相关系数曲线，判断截尾

特性，若截尾则适合AR建模；

步骤C：AIC计算：

通过自协方差计算得到：S=[R₀,R(1),R(2),R(3)]               （4）；

其中，S为由0至3步自协方差构成的向量；

计算托普利茨矩阵Toeplitz矩阵：G=toeplitz(S)          （5）；

其中，G为通过Matlab自带函数计算获得的向量S的托普利茨矩阵；

计算参数：W=G^-1·[R(1),R(2),R(3),R(4)]^T             （6）；

其中W为计算过程中的中间向量

模型残差方差计算： ${\mathrm{\σ}}_p^2=\frac{1}{L1-p}\underset{t=p+1}{\overset{L1}{\mathrm{\Σ}}}{[Y\left(t\right)-\underset{i=1}{\overset{p}{\mathrm{\Σ}}}W\left(i\right)\·Y(t-i)]}^2---\left(7\right);$

其中，Y（t）是指t时刻对应的标准化后的建模数据即第t个建模数据；p为模型阶次；

由此，AIC计算公式为：

$\mathrm{AIC}\left(p\right)=N\ln {\mathrm{\σ}}_p^2+2p---\left(8\right);$

其中，N为序列元素个数，

为p阶预报误差方差，p为模型阶次；

步骤D：将AIC最小值所对应的模型阶次p作为最优阶次；

步骤E：对离线建模的各个电池样本分别进行上述步骤所述的建模数据的提取和AIC准则下的最佳模型阶次的求取，用于后续建模；

步骤F：分别使用Burg法和Yule-Wallker法，利用相同的历史建模数据Y计算模型自回归系数

得到独立的系数求取结果

和其中，

和

分别为Burg法获取的自回归系数结果和Yule-Wallker法获取的自回归系数结果；

步骤H：设置初始融合系数P₁和P₂；

步骤I：随着预测步长的增加，动态调整融合系数：P₁＝P₁-f(i)，P₂＝P₂+f(i)，其中i为预测步长；f(i)为融合系数动态调整因子，用于随预测步长的增加动态调整融合系数结果；

步骤J：融合系数计算：

将此系数作为最终用以容量长期退化趋势预测的AR模型的系数；

步骤K：利用上述步骤建立获得AR模型，如公式（9）所示：

其中

是待确定的自回归系数，p为模型的阶次；a_t,t=0,±1,…为相互独立的白噪声序列，且服从均值为0，方差为

的正态分布；

获取相应AR模型预测容量，得到每一时刻的电池容量预测结果，所述每一时刻的电池容量预测结果组成容量退化长期预测输出数据集ARpredict。

3.根据权利要求1所述一种基于ND-AR模型的锂离子电池循环寿命的预测方法，其特征在于步骤四基于EKF算法对得到的非线性退化因子K_T的真实值K_T,real的未知参数进行状态跟踪还包括下述步骤：

步骤a、利用EKF算法对未知参数进行状态跟踪，首先要建立相应状态空间模型，寻求状态转移方程和观测方程，将待确定参数作为***状态向量，构造的状态空间模型如公式（14）所示：

$\left\{\begin{array}{cc}{a}_k=a_{k-1}+w_a& w_a~N(0,Q_a)\\ b_k=b_{k-1}+w_b& w_b~N(0,Q_b)\\ c_k=c_{k-1}+w_c& w_c~N(0,Q_c)\\ d_k=d_{k-1}+w_d& w_c~N(0,Q_d)\\ K_{T,k}=a_k\·e^{b_k\·k}+c_k\·e^{d_k\·k}& \end{array}\right.----\left(14\right);$

其中方程 $\left\{\begin{array}{cc}{a}_k=a_{k-1}+w_a& w_a~N(0,Q_a)\\ b_k=b_{k-1}+w_b& w_b~N(0,Q_b)\\ c_k=c_{k-1}+w_c& w_c~N(0,Q_c)\\ d_k=d_{k-1}+w_d& w_c~N(0,Q_d)\end{array}\right.$ 为参数估计的状态转移方程，用于描述上一时刻和下一时刻之间状态关系，a、b、c和d是式（11）中的因子参数，构成***状态向量[a；b；c；d]，w_a、w_b、w_c和w_d为高斯白噪声，描述***过程噪声，分别服从均值为0，方差为Q_a、Q_b、Q_c和Q_d的高斯分布；

方程

为***观测方程，将估计获得的参数带入此方程获取一个非线性退化因子的估计值；

对状态空间模型公式（14）进行线性化处理，由于状态转移方程是典型的线性方程，因此不需要进行线性化展开，只需要直接输入状态转移矩阵（15）即可：

$F_k=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]---\left(15\right);$

观测方程为指数形式K_T,k=f(a_k,b_k,c_k,d_k)，对其进行Taylor展开并利用其一阶部分进行非线性方程的线性化近似如式（16）至（19）：

$\frac{{\∂K}_{T,k}}{{\∂a}_k}=e^{b_k\·k}---\left(16\right);$

$\frac{{\∂K}_{T,k}}{{\∂b}_k}=a_k\·k\·e^{b_k\·k}---\left(17\right);$

$\frac{{\∂K}_{T,k}}{{\∂c}_k}=e^{d_k\·k}---\left(18\right);$

$\frac{{\∂K}_{T,k}}{{\∂d}_k}=c_k\·k\·e^{d_k\·k}---\left(19\right);$

得到线性化后的观测矩阵H_k如式（20）所示：

$H_k=[e^{b_k\·k},a_k\·k\·e^{b_k\·k},e^{d_k\·k},c_k\·k\·e^{d_k\·k}]---\left(20\right);$

***过程噪声及观测噪声均为线性叠加噪声，故有线性化过程噪声及观测噪声系数矩阵如式（21）、（22）所示：

$W_k=\left[\begin{array}{cccc}\frac{{\∂f}_a}{{\∂w}_a}& \frac{{\∂f}_a}{{\∂w}_b}& \frac{{\∂f}_a}{{\∂w}_c}& \frac{{\∂f}_a}{{\∂w}_d}\\ \frac{{\∂f}_b}{{\∂w}_a}& \frac{{\∂f}_b}{{\∂w}_b}& \frac{{\∂f}_b}{{\∂w}_c}& \frac{{\∂f}_b}{{\∂w}_d}\\ \frac{{\∂f}_c}{{\∂w}_a}& \frac{{\∂f}_c}{{\∂w}_b}& \frac{{\∂f}_c}{{\∂w}_c}& \frac{{\∂f}_c}{{\∂w}_d}\\ \frac{{\∂f}_d}{{\∂w}_a}& \frac{{\∂f}_d}{{\∂w}_b}& \frac{{\∂f}_d}{{\∂w}_c}& \frac{{\∂f}_d}{{\∂w}_d}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]---\left(21\right);$

$V_k=\frac{\∂h}{\∂v}=1---\left(22\right);$

由于各噪声互相独立，则有***过程噪声协方差矩阵Q如式（23）：

$Q=\left[\begin{array}{cccc}{Q}_{a,a}& Q_{a,b}& Q_{a,c}& Q_{a,d}\\ Q_{b,a}& Q_{b,b}& Q_{b,c}& Q_{b,d}\\ Q_{c,a}& Q_{c,b}& Q_{c,c}& Q_{c,d}\\ Q_{d,a}& Q_{d,b}& Q_{d,c}& Q_{d,d}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{Q}_a& 0& 0& 0\\ 0& Q_b& 0& 0\\ 0& 0& Q_c& 0\\ 0& 0& 0& Q_d\end{array}\right]---\left(23\right);$

***状态空间模型进行线性化处理后，进行状态的估计及更新过程，即对每一时刻模型的参数进行估计与更新：

所述参数估计是通过状态转移方程 $\left\{\begin{array}{cc}{a}_k=a_{k-1}+w_a& w_a~N(0,Q_a)\\ b_k=b_{k-1}+w_b& w_b~N(0,Q_b)\\ c_k=c_{k-1}+w_c& w_c~N(0,Q_c)\\ d_k=d_{k-1}+w_d& w_c~N(0,Q_d)\end{array}\right.$ 对模型参数进行估计：

$[a_k^{-};b_k^{-};c_k^{-};d_k^{-}]=[a_{k-1}^{+};b_{k-1}^{+};c_{k-1}^{+};d_{k-1}^{+}]---\left(24\right);$

$P_k^{-}=F_k{P}_{k-1}^{+}{F}_k^T+W_k{Q}_k{W}_k^T---\left(25\right);$

式中

和

分别代表k时刻状态的估计值，

和

分别代表k-1时刻状态更新值，为k时刻***状态协方差矩阵的估计值，

为k-1时刻***状态协方差矩阵的更新值，F_k为***状态转移矩阵，W_k为线性化***过程噪声系数矩阵，Q_k为过程噪声方差；

所述参数更新是通过状态估计后，得到当前时刻参数的先验估计值，将先验估计值带入***观测方程 $K_{T,k}=a_k\·e^{b_k\·k}+c_k\·e^{d_k\·k},$ 得到观测值的估计值；

步骤b：将观测值的估计值与观测值真值进行比较得到测量余差，对状态估计值进行基于最小方差原则下的状态更新，得到最终的状态预测结果；具体更新步骤如下：

因子估计值： $K_{T,k}^{~}=a_k^{-}\·e^{b_k^{-}\·k}+c_k^{-}\·e^{d_k^{-}\·k}---\left(26\right);$

测量余差协方差： $S_k=H_k{P}_k^{-}{H}_k^T+V_k+R_k{V}_k^T---\left(27\right);$

卡尔曼增益： $K_k=P_{k|}^{-}{H}_k^T{S}_k^{-1}---\left(28\right);$

状态更新： $[a_k^{+};b_k^{+};c_k^{+};d_k^{+}]=[a_k^{-};b_k^{-};c_k^{-};d_k^{-}]+K_k(K_{T,k}-K_{T,k}^{~})---\left(29\right);$

$P_k^{+}=(I-K_k{H}_k)P_k^{-}---\left(30\right);$

以上各式中，是基于估计参数所计算得到的第k个周期的非线性退化因子估计结果，K_T,k是k个周期的真实非线性退化因子值K_T,real(k)，S_k是测量余差的协方差矩阵，

是状态协方差矩阵的估计值，H_k为观测矩阵，V_k为观测噪声系数矩阵，R_k为观测噪声方差，K_k即为当前最优卡尔曼增益，和更新后的状态值，

为更新后的协方差矩阵；

由此得到每一个时刻的参数估计值；

得到每一时刻的参数估计值后，需要通过这些估计值综合出一组统一的参数a_s、b_s、c_s和d_s，以明确非线性退化因子最终的表达式；通过多元高斯分布概率密度计算获得在当前观测值估计值

及相应测量余差协方差S_k的条件下得到测量真值的概率P，即当前的参数估计值为参数真值的概率为P；基于此概率进行加权平均，P值越大，说明相应的参数预测结果更为接近真实的参数值，因此应具有更高的权重，即其可信度更高；模型参数的确定按照式（31）进行；

$m\_s=\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}m\left(k\right)\·\frac{P\left(k\right)}{\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}P\left(k\right)}$ m=a,b,c或d                   （31）；

其中，N即为参数估计序列的长度，P(k)为估计获取的参数即为真实参数的概率，m代表模型中的参数a、b、c或d。

4.根据权利要求1所述一种基于ND-AR模型的锂离子电池循环寿命的预测方法，其特征在于，基于公式（12）的因子参数a和b，进行参数估计，获得建模电池样本最终的参数a和b之后，代入式（12）中获取相应的非线性退化因子K_T的表达式，并将此因子代入式（10），完成该电池样本基于真实退化信息的ND-AR模型建模；对不同离线测试电池个体，重复上述步骤，获得每个电池样本各自基于真实退化信息的ND-AR模型；

对应式（14）的位置，换为

$\left\{\begin{array}{cc}{a}_k=a_{k-1}+w_a& w_a~N(0,Q_a)\\ b_k=b_{k-1}+w_b& w_b~N(0,Q_b)\\ K_{T,k}=a_k\·e^{b_k\·k}+c_k\·e^{d_k\·k}& \end{array}\right.---\left(32\right);$

对应式（15）的位置，换为

$F_k=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]---\left(33\right);$

式（16）～（19）的非线性模型线性化过程，替换为：

$\frac{{\∂K}_{T,k}}{{\∂a}_k}=\frac{-(k+b_k)}{{[1+a_k\·(k+b_k)]}^2}---\left(34\right);$

$\frac{\∂K_{T,k}}{\∂b_k}=\frac{-a_k}{{[1+a_k\·(k+b_k)]}^2}---\left(35\right);$

对应式（20）位置，换为

$H_k=[\frac{-(k+b_k)}{{[1+a_k\·(k+b_k)]}^2};\frac{{-a}_k}{{[1+a_k\·(k+b_k)]}^2}]---\left(36\right);$

对应式（21）位置，换为

$W_k=\left[\begin{array}{cc}\frac{{\∂f}_a}{{\∂w}_a}& \frac{{\∂f}_a}{{\∂w}_b}\\ \frac{{\∂f}_b}{{\∂w}_a}& \frac{{\∂f}_b}{{\∂w}_b}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]---\left(37\right);$

对应式（23）位置，换为

$Q=\left[\begin{array}{cc}{Q}_{a,a}& Q_{a,b}\\ Q_{b,a}& Q_{b,b}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{Q}_a& 0\\ 0& Q_b\end{array}\right]---\left(38\right);$

对应式（24）位置，换为

$[a_k^{-};b_k^{-}]=[a_{k-1}^{+};b_{k-1}^{+}]---\left(39\right);$

对应式（26）位置，换为

$K_{T,k}^{~}=\frac{1}{1+a_k^{-}(k+b_k^{-})}---\left(40\right);$

对应式（29）位置，换为

$[a_k^{+};b_k^{+}]=[a_k^{-};b_k^{-}]+K_k(K_{T,k}-K_{T,k}^{~})---\left(41\right);$

对应式（31）位置，换为

$m\_s=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}m\left(i\right)\·\frac{P\left(i\right)}{\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}P\left(i\right)}$ m=a或b            （42）；

未提及的公式保持不变，通过相同的流程获取式（12）形式下的因子具体表达形式。