发明内容
本发明为解决目前设计卫星指向跟踪控制器所用到的运动学参数设计不合理,不能保证卫星的运动路径最短,并且没有统一的适用于指向跟踪控制的运动学方程的问题,从而提供一种基于拟四元数与拟四元数运动学方程的卫星指向跟踪控制方法。
一种基于拟四元数与拟四元数运动学方程的卫星指向跟踪控制方法,它包括如下步骤:
步骤一、根据指向跟踪控制的要求定义目标系oxtytzt,并保证本体系相对于目标系oxtytzt的欧拉角最小;
步骤二、确定卫星本体系相对于目标系的欧拉轴ebt与欧拉角Φ,表达式为:
Φ=acos(zt·zb)
式中,zt为目标系ozt轴方向单位矢量,zb为本体系的偏航轴方向单位矢量,ebt为本体系相对于目标系的欧拉轴矢量,Φ为本体系相对于目标系的欧拉角;
步骤三、确定欧拉轴ebt与欧拉角Φ在本体系表示的运动学方程,表达式为:
式中,
表示
相对于本体系的导数在本体系的分量列阵,
为本体系相对于目标系的姿态角速度在本体系的分量列阵,
表示本体系相对于目标系的欧拉轴矢量在本体系的分量列阵,z
tz
b表示矢量z
t与矢量z
b的并矢,
为3×3的矩阵,表示并矢z
tz
b在本体系的分量形式,
为欧拉角变化率;
步骤四、根据欧拉轴ebt与欧拉角Φ定义拟四元数ρ:
步骤五、根据欧拉轴ebt与欧拉角Φ的运动学方程确定拟四元数的运动学方程在本体系的表达式为:
式中,运算符号⊙定义为:
式中,ρb=[ρ0ρ1ρ20]T;
步骤六、根据步骤四定义的拟四元数ρ与步骤五得到的运动学方程设计控制器使卫星姿态能够跟踪目标姿态。
本发明实现了一种基于拟四元数为姿态参数的指向跟踪控制,能够保证卫星的运动路径最短。本发明提出的拟四元数是路径最短的姿态参数,实际应用中拟四元数容易获取。以拟四元数为姿态参数设计的指向跟踪控制器的形式简单,便于设计分析。由于拟四元数的运动学方程形式简单,以拟四元数为姿态参数设计的控制器的稳定性、鲁棒性的分析比较简单。
具体实施方式一、结合图1说明本具体实施方式。一种基于拟四元数与拟四元数运动学方程的卫星指向跟踪控制方法,它包括如下步骤:
步骤一、根据指向跟踪控制的要求定义目标系oxtytzt,并保证本体系相对于目标坐标系oxtytzt的欧拉角最小;
步骤二、确定卫星本体系相对于目标系的欧拉轴ebt与欧拉角Φ,表达式为:
Φ=acos(zt·zb)
式中,zt为目标系ozt轴方向单位矢量,zb为本体系的偏航轴方向单位矢量,ebt为本体系相对于目标系的欧拉轴矢量,Φ为本体系相对于目标系的欧拉角;
步骤三、确定欧拉轴ebt与欧拉角Φ在本体系表示的运动学方程,表达式为:
式中,
表示
相对于本体系的导数在本体系的分量列阵,
为本体系相对于目标系的姿态角速度在本体系的分量列阵,
表示本体系相对于目标系的欧拉轴矢量在本体系的分量列阵,z
tz
b表示矢量z
t与矢量z
b的并失,
为3×3的矩阵,表示并矢z
tz
b在本体系的分量形式,
为欧拉角变化率;
步骤四、根据欧拉轴ebt与欧拉角Φ定义拟四元数ρ:
步骤五、根据欧拉轴ebt与欧拉角Φ的运动学方程确定拟四元数的运动学方程在本体系的表达式为:
式中,运算符号⊙定义为
式中,ρb=[ρ0ρ1ρ20]T;
步骤六、根据步骤四定义的拟四元数ρ与步骤五得到的运动学方程设计控制器使卫星姿态能够跟踪目标姿态。
结合图1-图6进行说明本发明的详细步骤:
一种基于拟四元数与拟四元数运动学方程的卫星指向跟踪控制方法,它包括如下步骤:
步骤一、根据指向跟踪控制的要求定义目标系oxtytzt,并保证本体系相对于目标坐标系oxtytzt的欧拉角最小;
指向跟踪控制的要求为:要求卫星的敏感轴指向目标点,而卫星绕敏感轴的转角不进行限制。为了方便说明并且不失一般性,通常将偏航轴看作敏感轴。卫星控制的目的是:控制卫星姿态使得卫星本体系与目标系重合。由于卫星绕偏航轴的转角不受限制,因此存在无穷多个目标系能够满足指向跟踪控制的要求。而实际应用中定义的目标坐标系需要满足条件:在卫星运动过程中的任意时刻,本体系与目标系之间的欧拉转角最小。因此目标坐标系定义如下:
目标坐标系oxtytzt的原点o在卫星的质心,目标系oxtytzt的ozt轴为目标点与卫星质心连线指向目标点方向的单位矢量,记为zt;目标系的oxt、oyt轴分别由本体系的滚动轴、俯仰轴绕着zt×zb方向转过Φ角得到;
其中,zb为卫星本体系偏航轴方向单位矢量,Φ为zt与zb的夹角。
步骤二、确定卫星本体系相对于目标系的欧拉轴ebt与欧拉角Φ,表达式为:
Φ=acos(zt·zb)
式中,zt为目标系ozt轴方向单位矢量,zb为本体系的偏航轴方向单位矢量,ebt为本体系相对于目标系的欧拉轴矢量,Φ为本体系相对于目标系的欧拉角;
步骤三、确定欧拉轴ebt与欧拉角Φ在本体系表示的运动学方程,表达式为:
式中,
表示
相对于本体系的导数在本体系的分量列阵,
为本体系相对于目标系的姿态角速度在本体系的分量列阵,
表示本体系相对于目标系的欧拉轴矢量在本体系的分量列阵,z
tz
b表示矢量z
t与矢量z
b的并失,
为3×3的矩阵,表示并矢z
tz
b在本体系的分量形式,
为欧拉角变化率;
所述步骤三、确定欧拉轴ebt在本体系表示的运动学方程的过程为:
首先,对欧拉轴ebt在本体系下求导得到:
式中,
表示矢量&相对于本体系的导数,ω
tb为目标系相对于本体系的姿态角速度矢量;
由于对于任意矢量a、b、c有下面的关系式成立
(a×b)×c=-c×(a×b)=-(c×b)×a
则有
利用公式a×(b×c)=(a·c)·b-(ca)·b,得到:
式中,ztzb为矢量zt与矢量zb的并矢。带入zt·zb=cosΦ,最终得到关于欧拉轴的姿态运动学方程如下:
将上式写成本体系下的分量形式可以表示为
所述步骤三、确定欧拉角Φ在本体系表示的运动学方程的过程为:
首先,将Φ表达成zt与zb的函数的形式:
cosΦ=zt·zb
对方程两边同时求导(由于Φ是标量,可以再任意坐标系下求导,为了方便,在本体系下进行求导)得:
经过矢量变换,得到:
由于ebtsinΦ=zt×zb,带入上式得到关于欧拉角Φ的运动学方程:
将上式写成本体系下的分量形式为:
步骤四、根据欧拉轴ebt与欧拉角Φ定义拟四元数ρ:
步骤五、根据欧拉轴ebt与欧拉角Φ的运动学方程确定拟四元数的运动学方程在本体系的表达式为:
式中,运算符号⊙定义为:
式中,ρb=[ρ0ρ1ρ20]T;
所述步骤五、根据欧拉轴ebt与欧拉角Φ的运动学方程确定拟四元数的运动学方程的过程为:
定义ρ0=cosΦ,ρv=ebtsinΦ,对拟四元数在本体系下进行求导,分别对ρ0与ρv进行求导,首先ρ0在本体系求导得到:
对ρv在本体系求导进行求导得到:
化简得到:
将上式在本体下进行分解,由并矢的定义可知ztzb在本体系的分量为:
式中,03表示所有元素都为0的3维列阵;由于矢量zt在本体系下zb轴的分量为:
式中,
是一个标量,表示矢量z
t在本体系的z
b轴的分量;z
t在另外两轴的分量由坐标系几何关系获得,表示为:
式中,
表示矢量a
$在坐标系&的#轴的分量,b表示本体系;
由上述计算获得得到方程:
步骤六、根据步骤四定义的拟四元数ρ与步骤五得到的运动学方程设计控制器使卫星姿态能够跟踪目标姿态。
利用拟四元数参数可以得到类似于PD控制器的稳定的指向跟踪控制器,具体形式为
式中,T
c为控制卫星姿态所需的三轴指令力矩,
K
p为3×3的对角阵,对角阵的元素代表控制器比例系数的大小,K
d为3×3的对角阵,对角阵的元素代表控制器微分系数的大小,K
p与K
d元素取值大小与经典控制理论的PD控制器参数设计方法相同。根据步骤五得到的运动学方程,可以得到该控制器是稳定的。
具体控制的实现:在每一个控制周期内,利用卫星姿态确定***得到姿态参数ρ
b与卫星相对于本体系的姿态角速度
结合K
p与K
d计算出指令力矩T
c的数值,将计算得到的数值T
c发送到执行机构,驱动执行机构动作,控制卫星能够准确的跟踪目标姿态。
具体对比实施例:结合图3-图6说明本具体实施例。
下面设计根据卫星的姿态跟踪控制***的仿真,验证基于拟四元数描述的卫星相对于目标系的欧拉角最小,即拟四元数运动学方程是路径最短的。给定卫星本体系相对于目标系的姿态角速度变化曲线
根据已知的姿态角速度
在初始姿态相同的前提下,分别对姿态四元数运动学方程与基于拟四元数的运动学方程积分,可以得到两组本体系相对于目标系的欧拉角Φ
Q与Φ
P,姿态四元数积分得到欧拉角与新姿态参数得到的欧拉角的差值ΔΦ,其中ΔΦ=Φ
Q-Φ
P基于拟四元数的运动学方程积分得到的欧拉角一直小于姿态四元数积分得到欧拉角,说明拟四元数描述的姿态是路径最短的。具体仿真结果为图3至图6。