CN102880174B - 基于预测模型的高超声速飞行器克里格控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于预测模型的高超声速飞行器克里格控制方法，用于解决现有的高超声速飞行器离散自适应控制难以工程实现技术问题。该方法首先通过合理假设得到高度子***的严格反馈形式，进一步通过欧拉法建立原有***的离散形式；通过不断的向前预测，建立原***的四步预测模型，该模型只包含一个等式；根据预测模型计算***的集中不确定项的历史信息，通过高斯随机分布假设，采用克里格方法对未来不确定性进行构造性估计；进一步结合集总标称信息和误差反馈，设计控制器；本发明无需设计虚拟控制量，克里格估计将***不确定性由确定性推广到随机分布，更加符合实际情形，并且不需在线调整参数，得到的控制器设计简单实用，适于工程应用。

Description

基于预测模型的高超声速飞行器克里格控制方法

技术领域

本发明涉及一种高超声飞行器控制方法，特别是涉及一种基于预测模型的高超声速飞行器克里格控制方法，属于飞行器控制领域。

背景技术

高超声速飞行器由于其突出的飞行能力，使得全球实时打击成为可能，因此受到国内外的广泛关注；NASA X-43A试飞成功证实了这项技术的可行性；受自身复杂动力学特性的影响以及机体发动机一体化设计，高超声速飞行器弹性机体、推进***以及结构动态之间的耦合更强，模型的非线性度也更高；此外，受飞行高度、马赫数和飞行条件影响，飞行器对外界条件非常敏感。

针对高超声速飞行器的控制大都集中在连续域内；随着计算机技术的发展，未来高超声速飞行器的控制***需要使用计算机完成，因此研究高超声速飞行器的离散自适应控制具有重要的意义；离散控制器的设计通常可采用两种方法：1)根据连续控制对象设计控制器，然后将连续的控制器离散化；2)直接根据离散化的控制对象设计离散控制器；第1种方法需要较快的采样速率，对***的硬件提出了很高的要求。

《Adaptive Kriging Controller Design for Hypersonic Flight Vehicle viaBack-stepping》（Xu Bin，Sun Fuchun，Liu Huaping，Ren Jianxin，《IET Control Theory &Applications》，2012年第6卷第4期）一文采用第二种方法通过设计虚拟控制量（航迹角，俯仰角以及俯仰角速度）实现高度控制器设计；采用克里格***对***的不确定部分进行估计；克里格估计源自地质统计学，通过将Y看做随机函数，得到相应的均值m(x)和协方差函数δ_Y(x，x′)，具体表达如下

m(x)=E[Y(x)]，δ_Y(x，x′)=E[(Y(x)-m(x))(Y(x′)-m(x′))]

如果已经观察到高斯随机函数Y在N个不同的点{x¹，…，x^N}的观察值，并且为零均值分布，则克里格估计值为

其中Y(x)=[Y(xⁱ)]∈R^N，σ=[δ_Y(xⁱ，x)]∈R^N，∑=[δ_Y(xⁱ，x^j)]∈R^N×N；

该方法仅利用当前时刻与下一时刻的信息，由于***动力学参数存在不确定性，因而无法准确计算虚拟控制量的未来时刻信息，存在非因果问题；并且其需要反复设计虚拟控制量，控制器设计复杂，难以工程实现。

发明内容

为克服现有技术在高超声速飞行器离散自适应控制难以工程实现的不足，本发明提出了一种基于预测模型的高超声速飞行器克里格控制方法，该方法通过对已有的高超声速飞行器离散欧拉模型进行变换，得到预测模型，仅包含一个等式；控制器采用标称方法，同时考虑***的集总不确定性，通过预测模型计算历史不确定部分的数值，进一步通过高斯假设按照克里格方法进行构造性预测，整个控制器无需进行自适应参数估计，设计简单便于工程实现。

本发明解决其技术问题采用的技术方案是：一种基于预测模型的高超声速飞行器克里格控制方法，通过以下步骤实现：

（a）考虑高超声速飞行器纵向通道动力学模型：

$\stackrel{\·}{V}=\frac{T\cos \mathrm{\α}-D}{m}-\frac{\mathrm{\μ}\sin \mathrm{\γ}}{r^2}---\left(1\right)$

$\stackrel{\·}{h}=V\sin \mathrm{\γ}---\left(2\right)$

$\stackrel{\·}{\mathrm{\γ}}=\frac{L+T\sin \mathrm{\α}}{\mathrm{mV}}-\frac{\mathrm{\μ}-V^{2}r\cos \mathrm{\γ}}{{\mathrm{Vr}}^2}---\left(3\right)$

$\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}=q-\stackrel{\·}{\mathrm{\γ}}---\left(4\right)$

$\stackrel{\·}{q}=\frac{M_{\mathrm{yy}}}{I_{\mathrm{yy}}}---\left(5\right)$

该模型由五个状态变量X_s=[V，h，α，γ，q]^T和两个控制输入U_c=[δ_e，β]^T组成；其中，V表示速度，γ表示航迹倾角，h表示高度，α表示攻角，q表示俯仰角速度，δ_e是舵偏角，β为节流阀开度；T、D、L和M_yy分别代表推力、阻力、升力和俯仰转动力矩；m、I_yy、μ和r代表质量、俯仰轴的转动惯量、引力系数以及距地心的距离；

（b）定义X=[x₁，x₂，x₃，x₄]^T，其中x₁=h，x₂=γ，x₃=θ，x₄=q，θ=α+γ；因为γ非常小，取sinγ≈γ；考虑到T sinα远小于L，在控制器设计过程中近似忽略；

高度子***(2)-(5)写成以下严格反馈形式：

${\stackrel{\·}{x}}_1=v\sin x_2\≈{\mathrm{Vx}}_2=f_1\left(x_1\right)+g_1\left(x_1\right)x_2$

${\stackrel{\·}{x}}_2=f_2(x_1,x_2)+g_2(x_1,x_2)x_3$

${\stackrel{\·}{x}}_3=f_3(x_1,x_2,x_3)+g_3(x_1,x_2,x_3)x_4$

${\stackrel{\·}{x}}_4=f_4(x_1,x_2,x_3,x_4)+g_4(x_1,x_2,x_3,x_4)u_A$

u_A=δ_e

速度子***(1)写为如下形式：

$\stackrel{\·}{V}=f_V+g_V{u}_V$

u_V=β

其中f_i，g_i，i＝1，2，3，4，V是根据(1)-(5)得到的未知项，分为标称值f_iN，g_iN与不确定性Δf_i，Δg_i；

（c）考虑采样时间T_s非常小，通过欧拉近似法得到高度子***离散模型：

x_i(k+1)=x_i(k)+T_s[f_i(k)+g_i(k)x_i+1(k)]

                                        (6)

x₄(k+1)=x₄(k)+T_s[f₄(k)+g₄(k)u_A(k)]

其中i＝1，2，3；

通过欧拉近似法得到速度子***的一步预测模型：

V(k+1)=V(k)+T_s[f_V(k)+g_V(k)u_V(k)]

进一步建立***(6)的预测模型(7)：

x₁(k+4)=f_A(k)+g_A(k)u_A(k)                (7)

其中

$f_A\left(k\right)=x_1(k+3)+T_s{f}_1(k+2)+T_s{g}_1(k+3)x_2(k+2)$

$+T_s^2{g}_1(k+3)f_2(k+2)+T_s^2{g}_1(k+3)g_2(k+2)x_3(k+1)$

$+T_s^3{g}_1(k+3)g_2(k+2)f_3(k+1)+T_s^3{g}_1(k+3)g_2(k+2)g_3(k+1)x_4\left(k\right)$

$+T_s^4{g}_1(k+3)g_2(k+2)g_3(k+1)f_4\left(k\right)$

$g_A\left(k\right)=T_s^4{g}_1(k+3)g_2(k+2)g_3(k+1)g_4\left(k\right)$

相应的标称值记为：f_AN(k)和g_AN(k)；

（d）考虑动力学参数未知，采用标称值进行设计，将***不确定部分看作是满足随机高斯分布的未知项，采用克里格方法进行估计；

定义误差z₁(k)=x₁(k)-x_1d(k)，设计虚拟控制量

$u_A\left(k\right)=\frac{x_{1d}(k+4)-f_{\mathrm{AN}}\left(k\right)+C_A{z}_A\left(k\right)}{g_{\mathrm{AN}}\left(k\right)}-z_{\mathrm{uA}}\left(k_A\right)-{\hat{d}}_A\left({\mathrm{\θ}}_A\left(k\right)\right)$

这里θ_A(k)=[X^T(k₁)，x_1d(k+4)]^T，x_1d(k+4)为高度参考指令在k+4时刻的值，0<C_A<1为误差比例系数，为克里格估计值，k_A=k-4；

当k>4， $z_{\mathrm{uA}}\left(k_A\right)=\frac{x_1\left(k\right)-f_{\mathrm{AN}}\left(k_A\right)-g_{\mathrm{AN}}\left(k_A\right)u_A\left(k_A\right)}{g_{\mathrm{AN}}\left(k_A\right)};$ 否则取为零；

针对速度子***，定义θ_V(k)=[V(k)，X^T(k)，V_d(k+1)]^T，z_V(k)=V(k)-V_d(k)， $F_V^C\left(X_s\left(k\right)\right)=V\left(k\right)+T_s{f}_V\left(k\right),$ $G_V^C\left(X_s\left(k\right)\right)=T_s{g}_V\left(k\right),$ 相应的标称值记为：和

设计控制器

$u_A\left(k\right)=\frac{V_d(k+1)-F_{\mathrm{VN}}^C\left(X_s\left(k\right)\right)+C_V{z}_V\left(k\right)}{G_{\mathrm{VN}}^C\left(X_s\left(k\right)\right)}-z_{\mathrm{uV}}\left(k_V\right)-{\hat{d}}_V\left({\mathrm{\&theta;}}_V\left(k\right)\right)$

其中0<C_V<1为误差比例系数，为克里格估计值，k_V=k-1；

当k>1， $z_{\mathrm{uV}}\left(k_V\right)=\frac{V\left(k\right)-F_{\mathrm{VN}}^C\left(X\left(k_V\right)\right)-G_{\mathrm{VN}}^C\left(X\left(k_V\right)\right)u_V\left(k_V\right)}{G_{\mathrm{VN}}^C\left(X\left(k_V\right)\right)};$ 否则取为零；

（e）根据得到的舵偏角u_A(k)和节流阀开度u_V(k)，返回到高超声速飞行器的动力学模型(1)-(5)，对高度和速度进行跟踪控制。

本发明与现有技术相比有益效果为：

（1）本发明利用高超声速飞行器高度子***的分层递阶特点，将原有模型进行转换得到预测模型，解决了非因果问题，所采取的离散化设计方法便于计算机实现；

（2）预测模型形式简单，仅包含一个等式，但包含***所有的结构信息，便于分析***的集总不确定性并计算其历史信息，易于工程实现；

（3）高度子***控制器设计根据预测模型直接设计，无需设计虚拟控制量，控制器设计简单直接；

（4）克里格方法将***不确定部分由确定性推广为随机高斯随机分布，更符合实际情形，并且该估计方法是构造性进行，无需参数在线自适应更新，便于工程实现；

下面结合附图和实施例对本发明作详细说明。

附图说明

图1是本发明基于预测模型的高超声速飞行器克里格控制方法的流程图。

具体实施方式

参照图1，本发明基于预测模型的高超声速飞行器克里格控制方法通过以下步骤实现：

（a）考虑公式组(1)-(5)的高超声速飞行器纵向通道动力学模型

$\stackrel{\&CenterDot;}{V}=\frac{T\cos \mathrm{\&alpha;}-D}{m}-\frac{\mathrm{\&mu;}\sin \mathrm{\&gamma;}}{r^2}---\left(1\right)$

$\stackrel{\&CenterDot;}{h}=V\sin \mathrm{\&gamma;}---\left(2\right)$

$\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&gamma;}}=\frac{L+T\sin \mathrm{\&alpha;}}{\mathrm{mV}}-\frac{\mathrm{\&mu;}-V^{2}r\cos \mathrm{\&gamma;}}{{\mathrm{Vr}}^2}---\left(3\right)$

$\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}=q-\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&gamma;}}---\left(4\right)$

$\stackrel{\&CenterDot;}{q}=\frac{M_{\mathrm{yy}}}{I_{\mathrm{yy}}}---\left(5\right)$

该模型由五个状态变量X_s=[V，h，α，γ，q]^T和两个控制输入U_c=[δ_e，β]^T组成；其中，V表示速度，γ表示航迹倾角，h表示高度，α表示攻角，q表示俯仰角速度，δ_e是舵偏角，β为节流阀开度；T、D、L和M_yy分别代表推力、阻力、升力和俯仰转动力矩；m、I_yy、μ和r代表质量、俯仰轴的转动惯量、引力系数以及距地心的距离；

相关的力矩及参数定义如下：

$\stackrel{\&OverBar;}{q}=\frac{1}{2}\mathrm{\&rho;}{V}^2,$ $L=\stackrel{\&OverBar;}{q}S{C}_L,$ $D=\stackrel{\&OverBar;}{q}{\mathrm{SC}}_D,$ $T=\stackrel{\&OverBar;}{q}{\mathrm{SC}}_T,$

$M_{\mathrm{yy}}=\stackrel{\&OverBar;}{q}S\stackrel{\&OverBar;}{c}(C_M\left(\mathrm{\&alpha;}\right)+C_M\left(q\right)+C_M\left({\mathrm{\&delta;}}_e\right)),$ C_L=0.6203α，

C_D=0.6450α²+0.0043378α+0.003772，

C_M(α)=-0.035α²+0.036617α+5.3261×10^-6，

$C_M\left(q\right)=(q\stackrel{\&OverBar;}{c}/2V)\&times;(-{6.796\mathrm{\&alpha;}}^2+0.3015\mathrm{\&alpha;}-0.2289)$

C_M(δ_e)=0.0292(δ_e-α)

其中表示动压，ρ表示空气密度，C_i(j)，i＝D，L，M，T，j=α，β，q，δ_e表示j对i的系数，表示平均气动弦长，S表示气动参考面积；

（b）为便于设计，定义X=[x₁，x₂，x₃，x₄]^T，其中x₁=h，x₂=γ，x₃=θ，x₄=q，θ=α+γ；因为γ非常小，取sinγ≈γ；考虑到T sinα远小于L，在控制器设计过程中近似忽略；

高度子***(2)-(5)写成以下严格反馈形式：

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1=V\sin x_2\&ap;{\mathrm{Vx}}_2=f_1\left(x_1\right)+g_1\left(x_1\right)x_2$

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2=f_2(x_1,x_2)+g_2(x_1,x_2)x_3$

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_3=f_3(x_1,x_2,x_3)+g_3(x_1,x_2,x_3)x_4$

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_4=f_4(x_1,x_2,x_3,x_4)+g_4(x_1,x_2,x_3,x_4)u_A$

u_A=δ_e

其中f_l=0，g₁=V， $f_2=-(\mathrm{\&mu;}-V^{2}r)\cos \mathrm{\&gamma;}/\left({\mathrm{Vr}}^2\right)-0.6203\stackrel{\&OverBar;}{q}\mathrm{S\&gamma;}/\left(\mathrm{mV}\right),$ $g_2=0.6203\stackrel{\&OverBar;}{q}S\left(\mathrm{mV}\right),$

f₃=0，g₃=1， $f_4=\stackrel{\&OverBar;}{q}S\stackrel{\&OverBar;}{c}[C_M\left(\mathrm{\&alpha;}\right)+C_M\left(q\right)-0.0292\mathrm{\&alpha;}]/I_{\mathrm{yy}},$ $g_4=0.0292\stackrel{\&OverBar;}{q}S\stackrel{\&OverBar;}{c}/I_{\mathrm{yy}};$

速度子***(1)写成如下形式：

$\stackrel{\&CenterDot;}{V}=f_V+g_V{u}_V$

u_V=β

其中 $f_V=\left\{\begin{array}{cc}-(\frac{D}{m}+\frac{\mathrm{\&mu;}\sin \mathrm{\&gamma;}}{r^2})& \mathrm{\&beta;}<1\\ -(\frac{D}{m}+\frac{\mathrm{\&mu;}\sin \mathrm{\&gamma;}}{r^2})+\frac{0.0224\stackrel{\&OverBar;}{q}S\cos \mathrm{\&alpha;}}{m}& \mathrm{\&beta;}\&GreaterEqual;1\end{array}\right.,$ $g_V=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\stackrel{\&OverBar;}{q}S\&times;0.02576\cos \mathrm{\&alpha;}}{m}& \mathrm{\&beta;}<1\\ \frac{\stackrel{\&OverBar;}{q}S\&times;0.00336\cos \mathrm{\&alpha;}}{m}& \mathrm{\&beta;}\&GreaterEqual;1\end{array}\right.;$

这里f_i，g_i，i＝1，2，3，4，V是根据(1)-(5)得到的未知项，分为标称值f_iN，g_iN与不确定性Δf_i，Δg_i；

（c）考虑采样时间T_s非常小，通过欧拉近似法得到速度子***的一步预测模型模型：

V(k+1)=V(k)+T_s[f_V(k)+g_V(k)u_V(k)]

通过欧拉近似法建立高度子***的离散模型：

x_i(k+1)＝x_i(k)+T_s[f_i(k)+g_i(k)x_i+1(k)]，i=1，2，3        (6)

x₄(k+1)=x₄(k)+T_s[f₄(k)+g₄(k)u_A(k)]

对i＝1，2，3，进行两步预测得到

x_i(k+2)=x_i(k+1)+T_s[f_i(k+1)+g_i(k+1)x_i+1(k+1)]

对i＝1，2，进行三步预测得到

x_i(k+3)=x_i(k+2)+T_s[f_i(k+2)+g_i(k+2)x_i+1(k+2)]

对i＝1，进行四步预测得到

x_i(k+4)=x_i(k+3)+T_s[f_i(k+3)+g_i(k+3)x_i+1(k+3)]

仅x₄(k+1)、x₃(k+2)、x₂(k+3)和x₁(k+4)依赖于u_A(k)和当前的***状态X(k)；

至此得到新的高度子***离散化形式

x₁(k+4)=x₁(k+3)+T_s[f₁(k+3)+g₁(k+3)x₂(k+3)]

x₂(k+3)=x₂(k+2)+T_s[f₂(k+2)+g₂(k+2)x₃(k+2)]

x₃(k+2)=x₃(k+1)+T_s[f₃(k+1)+g₃(k+1)x₄(k+1)]

x₄(k+1)=x₄(k)+T_s[f₄(k)+g₄(k)u_A(k)]

进一步将x_i(k+1)，i＝1，2，3，4；x_j(k+2)，j=1，2，3；x_l(k+3)，l=1，2的表达代入下式

x₁(k+4)=x₁(k+3)+T_s[f₁(k+3)+g₁(k+3)x₂(k+3)]

得到高度子***的四步预测模型(7)：

x₁(k+4)=f_A(k)+g_A(k)u_A(k)            (7)

其中

$f_A\left(k\right)=x_1(k+3)+T_s{f}_1(k+3)+T_s{g}_1(k+3)x_2(k+2)$

$+T_s^2{g}_1(k+3)f_2(k+2)+T_s^2{g}_1(k+3)g_2(k+2)x_3(k+1)$ $\left(8\right)$

$+T_s^3{g}_1(k+3)g_2(k+2)f_3(k+1)+T_s^3{g}_1(k+3)g_2(k+2)g_3(k+1)x_4\left(k\right)$

$+T_s^4{g}_1(k+3)g_2(k+2)g_3(k+1)f_4\left(k\right)$

$g_A\left(k\right)=T_s^4{g}_1(k+3)g_2(k+2)g_3(k+1)g_4\left(k\right)---\left(9\right)$

根据标称值f_iN(k)和g_iN(k)，i＝1，2，3，4结合式(8)和(9)可得四步预测模型中f_A(k)和g_A(k)的标称值，记为：f_AN(k)和g_AN(k)；

（d）考虑动力学参数未知，采用标称值进行设计，将***不确定部分看作是满足随机高斯分布的未知项，采用克里格方法进行估计；

定义误差z₁(k)=x₁(k)-x_1d(k)，设计虚拟控制量

$u_A\left(k\right)=\frac{x_{1d}(k+4)-f_{\mathrm{AN}}\left(k\right)+C_A{z}_A\left(k\right)}{g_{\mathrm{AN}}\left(k\right)}-z_{\mathrm{uA}}\left(k_A\right)-{\hat{d}}_A\left({\mathrm{\&theta;}}_A\left(k\right)\right)$

这里θ_A(k)=[X^T(k₁)，x₁d(k+4)]^T，x₁d(k+4)为高度参考指令在k+4时刻的值，0<C_A<1为误差比例系数，为克里格估计值，k_A=k-4；

当k>4， $z_{\mathrm{uA}}\left(k_A\right)=\frac{x_1\left(k\right)-f_{\mathrm{AN}}\left(k_A\right)-g_{\mathrm{AN}}\left(k_A\right)u_A\left(k_A\right)}{g_{\mathrm{AN}}\left(k_A\right)};$ 否则取为零；

针对速度子***，定义θ_V(k)=[V(k)，X^T(k)，V_d(k+1)]^T，z_V(k)=V(k)-V_d(k)， $F_V^C\left(X_s\left(k\right)\right)=V\left(k\right)+T_s{f}_V\left(k\right),$ $G_V^C\left(X_s\left(k\right)\right)=T_s{g}_V\left(k\right),$ 相应的标称值记为：和

设计控制器

$u_V\left(k\right)=\frac{V_d(k+1)-F_{\mathrm{VN}}^C\left(X_s\left(k\right)\right)+C_V{z}_V\left(k\right)}{G_{\mathrm{VN}}^C\left(X_s\left(k\right)\right)}-z_{\mathrm{uV}}\left(k_V\right)-{\hat{d}}_V\left({\mathrm{\&theta;}}_V\left(k\right)\right)$

其中0<C_V<1为误差比例系数，为克里格估计值，k_V=k-1；

当k>1， $z_{\mathrm{uV}}\left(k_V\right)=\frac{V\left(k\right)-F_{\mathrm{VN}}^C\left(X\left(k_V\right)\right)-G_{\mathrm{VN}}^C\left(X\left(k_V\right)\right)u_V\left(k_V\right)}{G_{\mathrm{VN}}^C\left(X\left(k_V\right)\right)};$ 否则取为零；

（e）根据得到的舵偏角u_A(k)和节流阀开度u_V(k)，返回到高超声速飞行器的动力学模型(1)-(5)，对高度和速度进行跟踪控制。

本发明未详细说明部分属于领域技术人员公知常识。

Claims (1)

1.一种基于预测模型的高超声速飞行器克里格控制方法，通过以下步骤实现：

(a)考虑高超声速飞行器纵向通道动力学模型:

$\stackrel{\&CenterDot;}{V}=\frac{T\cos \mathrm{\&alpha;}-D}{m}-\frac{\mathrm{\&mu;}\sin \mathrm{\&gamma;}}{r^2}---\left(1\right)$

$\stackrel{\&CenterDot;}{h}=V\sin \mathrm{\&gamma;}---\left(2\right)$

$\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&gamma;}}=\frac{L+T\sin \mathrm{\&alpha;}}{\mathrm{mV}}-\frac{\mathrm{\&mu;}{-V}^{2}r\cos \mathrm{\&gamma;}}{V{r}^2}---\left(3\right)$

$\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}=q-\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&gamma;}}---\left(4\right)$

$\stackrel{\&CenterDot;}{q}=\frac{M_{\mathrm{yy}}}{I_{\mathrm{yy}}}---\left(5\right)$

该模型由五个状态变量X_s＝[V,h,α,γ,q]^T和两个控制输入U_c＝[δ_e,β]^T组成；其中，V表示速度，γ表示航迹倾角，h表示高度，α表示攻角，q表示俯仰角速度，δ_e是舵偏角，β为节流阀开度；T、D、L和M_yy分别代表推力、阻力、升力和俯仰转动力矩；m、I_yy、μ和r代表质量、俯仰轴的转动惯量、引力系数以及距地心的距离；

(b)定义X＝[x₁,x₂,x₃,x₄]^T，其中x₁＝h，x₂＝γ，x₃＝θ，x₄＝q，θ＝α+γ；因为γ非常小，取sinγ≈γ；考虑到Tsinα远小于L，在控制器设计过程中近似忽略；

高度子***(2)-(5)写成以下严格反馈形式：

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1=V\sin x_2\&ap;{\mathrm{Vx}}_2=f_1\left(x_1\right)+g_1\left(x_1\right)x_2$

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2=f_2(x_1,x_2)+g_2(x_1,x_2)x_3$

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_3=f_3(x_1,x_2,x_3)+g_3(x_1,x_2,x_3)x_4$

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_4=f_4(x_1,x_2,x_3,x_4)+g_4(x_1,x_2,x_3,x_4)u_A$

u_A＝δ_e

速度子***(1)写为如下形式：

$\stackrel{\&CenterDot;}{V}=f_V+g_V{u}_V$

u_V＝β

其中 $f_V=\left\{\begin{array}{cc}-(\frac{D}{m}+\frac{\mathrm{\&mu;}\sin \mathrm{\&gamma;}}{r^2})& \mathrm{\&beta;}<1\\ -(\frac{D}{m}+\frac{\mathrm{\&mu;}\sin \mathrm{\&gamma;}}{r^2})+\frac{0.0224\stackrel{\&OverBar;}{q}S\cos \mathrm{\&alpha;}}{m}& \mathrm{\&beta;}\&GreaterEqual;1\end{array}\right.,$ $g_V=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\stackrel{\&OverBar;}{q}S\&times;0.02576\cos \mathrm{\&alpha;}}{m}& \mathrm{\&beta;}<1\\ \frac{\stackrel{\&OverBar;}{q}S\&times;0.00336\cos \mathrm{\&alpha;}}{m}& \mathrm{\&beta;}\&GreaterEqual;1\end{array}\right.;$

这里f_i,g_i,i＝1,2,3,4,V是根据(1)-(5)得到的未知项，分为标称值f_iN,g_iN与不确定性△f_i,△g_i；

(c)考虑采样时间T_s非常小，通过欧拉近似法得到高度子***离散模型：

$\begin{array}{c}{x}_i(k+1)=x_i\left(k\right)+T_s[f_i\left(k\right)+g_i\left(k\right)x_{i+1}\left(k\right)]\\ x_4(k+1)=x_4\left(k\right)+T_s\left[f_4\left(k\right){+}_{}{g}_4\left(k\right)u_A\left(k\right)\right]\end{array}---\left(6\right)$

其中i＝1,2,3；

通过欧拉近似法得到速度子***的一步预测模型：

V(k+1)＝V(k)+T_s[f_V(k)+g_V(k)u_V(k)]

进一步建立***(6)的预测模型(7):

x₁(k+4)＝f_A(k)+g_A(k)u_A(k)   (7)

其中

$\begin{array}{c}{f}_A\left(k\right)=x_1(k+3)+T_s{f}_1(k+3)+T_s{g}_1(k+3)x_2(k+2)\\ +{T_s}^2{g}_1(k+3)f_2(k+2)+{T_s}^2{g}_1(k+3)g_2(k+2)x_3(k+1)\\ +{T_s}^3{g}_1(k+3)g_2(k+2)f_3(k+1)+{T_s}^3{g}_1(k+3)g_2(k+2)g_3(k+1)x_4\left(k\right)\\ +{T_s}^4{g}_1(k+3)g_2(k+2)g_3(k+1)f_4\left(k\right)\end{array}$

g_A(k)＝T_s ⁴g₁(k+3)g₂(k+2)g₃(k+1)g₄(k)

根据标称值f_iN(k)和g_iN(k)，i＝1,2,3,4结合上式得到四步预测模型中f_A(k)和g_A(k)的标称值，记为：f_AN(k)和g_AN(k)；

(d)考虑动力学参数未知，采用标称值进行设计，将***不确定部分看作是满足随机高斯分布的未知项，采用克里格方法进行估计；

定义误差z₁(k)＝x₁(k)-x_1d(k)，设计虚拟控制量

$u_A\left(k\right)=\frac{x_{1d}(k+4)-f_{\mathrm{AN}}\left(k\right)+C_A{z}_A\left(k\right)}{g_{\mathrm{AN}}\left(k\right)}-z_{\mathrm{uA}}\left(k_A\right)-{\hat{d}}_A\left({\mathrm{\&theta;}}_A\left(k\right)\right)$

这里θ_A(k)＝[X^T(k₁),x_1d(k+4)]^T，x_1d(k+4)为高度参考指令在k+4时刻的值，0<C_A<1为误差比例系数，为克里格估计值，k_A＝k-4；

当k>4， $z_{\mathrm{uV}}\left(k_A\right)=\frac{x_1\left(k\right)-f_{\mathrm{AN}}\left(k_A\right)-g_{\mathrm{AN}}\left(k_A\right)u_A\left(k_A\right)}{g_{\mathrm{AN}}\left(k_A\right)};$ 否则取为零；

针对速度子***，定义θ_V(k)＝[V(k),X^T(k),V_d(k+1)]^T，z_V(k)＝V(k)-V_d(k)， $F_V^C\left(X_s\left(k\right)\right)=V\left(k\right)+T_s{f}_V\left(k\right),$ $G_V^C\left(X_s\left(k\right)\right)=T_s{g}_V\left(k\right),$ 相应的标称值记为：和 $G_{\mathrm{VN}}^C\left(X_s\left(k\right)\right);$

设计控制器

$u_V\left(k\right)=\frac{V_d(k+1)-F_{\mathrm{VN}}^C\left(X_s\left(k\right)\right)+C_V{z}_V\left(k\right)}{G_{\mathrm{VN}}^C\left(X_s\left(k\right)\right)}-z_{\mathrm{uV}}\left(k_V\right)-{\hat{d}}_V\left({\mathrm{\&theta;}}_V\left(k\right)\right)$

其中0<C_V<1为误差比例系数，为克里格估计值，k_V＝k-1；

当k>1， $z_{\mathrm{uV}}\left(k_V\right)=\frac{V\left(k\right)-F_{\mathrm{VN}}^C\left(X\left(k_V\right)\right)-G_{\mathrm{VN}}^C\left(X\left(k_V\right)\right)u_V\left(k_V\right)}{G_{\mathrm{VN}}^C\left(X\left(k_V\right)\right)}\text{;}$ 否则取为零；

(e)根据得到的舵偏角u_A(k)和节流阀开度u_V(k)，返回到高超声速飞行器的动力学模型(1)-(5)，对高度和速度进行跟踪控制。