CN102621928A - 一种快速生成五轴刀具姿角可行域的方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种快速生成五轴刀具姿角可行域的方法，包括如下步骤：输入待加工零件曲面，在所述待加工零件曲面上均匀设置刀触点；选择加工刀具，根据指定的刀具类型和刀具参数建立刀具半径方程以及刀具位置姿角方程；采用离散点云法确定刀触点刀具姿角可行域；判断刀触点刀具姿角可行域是否存在，若不存在则更换一把半径更小的刀具；对刀触点的刀具姿角可行域进行3次B样条拟合，从而得到刀具姿角可行域表达式，并快速规划出无干涉刀具路径。本发明选择较少的刀触点，并通过离散点云法判断刀具干涉，可以快速生成无干涉刀具路径。

Description

一种快速生成五轴刀具姿角可行域的方法

技术领域

本发明涉及五轴数控机床刀具路径规划领域，尤其涉及一种快速生成五轴刀具姿角可行域的方法。

背景技术

数控机床正朝着高速化、高精化、复合化的方向发展。为适应多面体和曲面零件加工，国外数控镗铣床、加工中心均采用多轴加工技术，包括五轴联动功能，五轴机床通过增加两个转动轴，使得刀头可以进入工件内部。五轴加工的一个主要优点是仅需经过一次装夹即可完成复杂形状零件的加工，和多次装夹相比，它可极大地提高加工和生产能力，显著缩短产品加工周期及加工成本。五轴加工中，由于刀具方向朝向工件表面，因此可使用短刀具加工，从而提高刀具寿命，减少刀具损坏。然而，多变的刀具姿角也给五轴机床的控制和编程带来了极大地困难，特别是干涉的检测与避免问题。

五轴加工中干涉问题可以分为局部干涉和全局干涉两类。从微观角度看，当刀头在和曲面接触点的曲率半径大于曲面的曲率半径时就会发生局部干涉。局部干涉会导致零件表面过切，影响零件表面加工精度。全局干涉是刀具除了切削点之外的其他部分，如刀柄、刀夹等部位和曲面发生碰撞。全局干涉不仅会破坏待加工零件表面，还可能会损坏刀具。局部干涉通常采用在刀触点构建曲面杜邦标形的方法解决。全局干涉通常采用以下一些方法来避免：1.偏置法；2.离散法；3.硬件法。方法1是在待加工零件曲面的偏置曲面上规划刀具路径，这样可以自然而然的消除干涉，难点主要在于生成待加工零件曲面的无自相交的偏置曲面；其次方法1只适用在三轴机床并且是球头刀上，很难推广到五轴机床及其他形式刀具上，比如平底刀、环形刀等。方法2避免用复杂的数学解析式来计算两张曲面的相交情况，基本思想是先将工件、刀具以及机床各自离散成微小单元，然后每组微元两两遍历求交；虽然用包围盒、八叉树等方法可以减少计算量，但对曲面上每一个刀触点都要进行一次遍历求交，其计算量不容忽视。方法3将繁琐的干涉计算交给硬件***，比如计算机显卡，依靠图形渲染时刀具、工件等深度测试来检测干涉，依靠其强大的并行计算能力快速检测干涉，但依然无法避免对每个刀触点遍历计算。

中国专利申请号为200710045183.9的发明专利公开了一种五轴数控加工光滑无干涉刀具路径的规划方法，该方法就是采用计算机显卡，依靠图形渲染时刀具、工件等深度测试来检测干涉，无法避免对每个刀触点遍历计算。

发明内容

为了防止自由曲面五轴精加工过程中刀具与设计曲面局部以及全局干涉，避免损坏待加工零件曲面或刀具，本发明提供一种快速生成自由曲面五轴路径规划中刀具姿角无干涉区域的方法。本方法可以同时避免局部干涉和全局干涉。

一种快速生成五轴刀具姿角可行域的方法，包括如下步骤：

步骤1、输入待加工零件曲面，在所述待加工零件曲面上均匀设置刀触点；

步骤2、选择加工刀具，根据指定的刀具类型和刀具参数建立刀具半径方程以及刀具位置姿角方程；

步骤3、确定刀触点刀具姿角可行域；

步骤4、若任意一个刀触点刀具姿角可行域不存在，则更换一把半径更小的刀具，返回步骤2；

步骤5、对刀触点的刀具姿角可行域进行3次B样条拟合，从而得到刀具姿角可行域表达式；

步骤6、对待加工零件曲面上所有刀触点快速规划出无干涉刀具路径。

所述待加工零件曲面包括u，v两个参数变量，在待加工零件曲面上，沿着v向上均匀取r条等u参数曲线，在每条等u参数线上，沿着v方向上均匀取s个刀触点，共取出r×s个刀触点。

进一步地，所述步骤2建立刀具位置姿角方程的步骤包括：

步骤2.1、对于任意刀触点Q，建立局部坐标系，所述局部坐标系的原点为Q，X轴沿着曲面在该点处的第一主方向，Z轴沿着曲面在该点处的法向，Y轴按照右手法则确定；

步骤2.2、所述刀轴与Z轴夹角为倾斜角β，刀轴在XQY平面内的投影与X轴夹角为旋转角θ，建立刀轴矢量单位矢量T表达式与刀具刀具中心点表达式。

进一步地，所述步骤3包括步骤：

步骤3.1、对于刀触点Q判断刀具是否和曲面干涉，由此来确定旋转角为θ时无干涉情况下β的上限φ和下限ψ；

步骤3.2、将旋转角θ∈[0，2π)等分成n份，对于每一个细分θ确定每个θ下β的上下限，得到该样点刀具姿角可行域上下限分别为：

Φ＝(φ₁，φ₂，φ₃，...，φ_n)

Ψ＝(ψ₁，ψ₂，ψ₃，...，ψ_n)

步骤3.3、遍历每一个刀触点，得到每一个刀触点刀具姿角可行域。

进一步地，所述步骤3.1包括：

步骤3.1.1、将待加工零件曲面离散成点云模型；

步骤3.1.2、判断离散点云中所有点和刀具是否干涉，若干涉则调整刀具倾斜角，直至不干涉，并记录不干涉情况下倾斜角的范围。

进一步地，所述步骤5包括：

对刀触点的刀具姿角可行域进行3次B样条拟合，对可行域上限，取u向v向节点矢量分别为：

U＝{0，0，0，0，1/(r-1)，2/(r-1)，...，(r-2)/(r-1)，1，1，1，1}

V＝{0，0，0，0，1/(s-1)，2/(s-1)，...，(s-2)/(s-1)，1，1，1，1}

进行三次B样条拟合，用追赶法计算得到一系列控制顶点d_i，j，其中1≤i≤r+1，1≤j≤s+1，进而可以得到可行域上限表达式：

${\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{up}}(u,v)={\mathrm{\Σ}}_{i=0}^{r+1}{\mathrm{\Σ}}_{j=0}^{s+1}{d}_{i,j}{N}_{i,3}\left(u\right)N_{j,3}\left(v\right)$

式中N_i，3(u)，N_j，3(v)分别为u和v向的3次B样条基；

同理对可行域下限，取u向v向节点矢量并进行三次B样条拟合得到一系列控制顶点d′_i，j，其中1≤i≤r+1，1≤j≤s+1，进而可以得到可行域下限表达式：

${\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{low}}(u,v)={\mathrm{\Σ}}_{i=1}^{r+1}{\mathrm{\Σ}}_{j=0}^{s+1}{d}_{i,j}^{\′}{N}_{i,3}\left(u\right)N_{j,3}\left(v\right)$

式中N_i，3(u)，N_j，3(v)分别为u和v向的3次B样条基；

从而可得可行域表达式：

所述的加工刀具为环形刀，其刀底半径为R₁，圆角半径为R₂，刀轴长度为L，刀具中心点为O，从刀具中心O开始，沿着刀轴方向距离为λ处，刀具半径为：

$r\left(\mathrm{\&lambda;}\right)=\left\{\begin{array}{cc}{R}_1+R_2,& 0<\mathrm{\&lambda;}<L\\ R_1+\sqrt{R_2^2-{\mathrm{\&lambda;}}^2},& -R_2<\mathrm{\&lambda;}\&le;0\end{array}\right.$

所述步骤3.1中，对于任意离散点云中一点P，P′为P在刀具刀轴上的投影，当λ＞L或λ＜-R₂，则点P不会和刀具干涉；当-R₂≤λ≤L，仅当|PP′|＜r(λ)，点P和刀具干涉，其中|PP′|为P到P′的距离。

本发明一种快速生成五轴刀具姿角可行域的方法，具有的有益的效果是：

通过均匀选择曲面上的刀触点，采用离散点云的方法计算刀具姿角可行域，较现有技术中逐点计算可行域的方法可以大大的减少计算量，能够在五轴路径规划过程中直接检测和避免刀具和待加工零件曲面的干涉，提出换刀策略，较常规的借助仿真软件来检测干涉然后局部修改NC代码来避免干涉更为简便、高效。

同时能够以统一的方式检测局部干涉和全局干涉，避免五轴加工过程中曲面局部过切以及刀轴和曲面相撞。能够推广到任意形式的刀具。

附图说明

图1为本发明快速生成五轴刀具姿角可行域的方法流程图；

图2为本发明环形刀几何模型；

图3为曲面局部坐标系和刀具姿角方程建立模型图；

图4为刀轴和局部坐标系示意图；

图5为空间点和刀具干涉模型；

图6为刀具姿角可行域示意图；

图7为离散曲面和刀具模型；

图8为用表达式Ω(u，v)计算得到可行域(方形)和实际可行域(菱形)对比。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明技术方案做进一步详细说明，以下实施例不构成对本发明的限定。

本发明快速生成五轴刀具姿角可行域的方法的流程图如图1所示，具体实施步骤如下：

步骤101、输入待加工零件曲面，在所述待加工零件曲面上均匀设置刀触点。

一般待加工零件曲面为自由曲面，如B样条曲面或NURBS曲面，可以用表达式S(u，v)来表示，其中0≤u，v≤1。

对曲面S(u，v)上，沿着v方向上均匀取r条等u参数曲线，每条曲线的u参数值为：

u＝0，1/(r-1)，2/(r-1)，...，(r-2)/(r-1)，1   (1)

在每条等u参数线上，沿着v方向上均匀取s个点，每个点v参数值为：

v＝0，1/(s-1)，2/(s-1)，...，(s-2)/(s-1)，1   (2)

共取出r×s样点，记作Q_ij，其中1≤i≤r，1≤j≤s。

步骤102、选择加工刀具，根据指定的刀具类型和刀具参数建立刀具半径方程和刀具位置姿角方程。

以环形刀为例，如图2所示，刀底半径为R₁，圆角半径为R₂，刀轴长度为L，刀具中心点为O，刀轴方向单位矢量为T。从刀具中心O开始，沿着刀轴方向距离为λ处，刀具半径为：

$r\left(\mathrm{\&lambda;}\right)=\left\{\begin{array}{cc}{R}_1+R_2,& 0<\mathrm{\&lambda;}<L\\ R_1+\sqrt{R_2^2-{\mathrm{\&lambda;}}^2},& -R_2<\mathrm{\&lambda;}\&le;0\end{array}\right.---\left(3\right)$

对任意一刀触点Q，建立其局部坐标系，如图3所示，该坐标系的X轴沿着曲面在Q处的第一主方向，Z轴沿着曲面在Q处的法向，Y轴按照右手法则确定。该坐标系下，记X，Y，Z轴方向的单位法向量分别为a，b，c。初始状态下，刀轴位于XQZ平面内，与Z轴夹角为β(倾斜角)；刀轴绕着Z轴旋转θ(旋转角)角度后，刀轴位于EQZ平面内，刀轴矢量单位矢量T可以表示成：

T＝ccosβ+(acosθ+bsinθ)sinβ     (4)

继而，可以推导出刀具中心点O：

O＝Q+c·(R₂+R₁/sinβ)-T·R₁/tanβ  (5)

由(4)，(5)两式，可以确定刀具在空间中的位置及姿角。

步骤103、计算刀触点刀具姿角可行域。

以刀触点样点Q为例，按照步骤102中方法建立其局部坐标系，将旋转角θ∈[0，2π)等分成n份，对于每一个细分θ_k＝2πk/n，1≤k≤n，将倾斜角β∈[0，π/2)用二分法迭代m次，对于每次迭代β_l，1≤l≤m，按公式(4)、(5)确定刀轴矢量T和刀具中心点O，判断该姿角下刀具是否和曲面干涉，如图4所示。

所述判断刀具和曲面是否干涉的方法如下：

将曲面S(u，v)离散成点云模型，方便起见，可对自由曲面进行等参数离散，如u，v两向步距同时取0.02，则离散的点云总共有51×51＝2601个点。也可按照现有文献对自由曲面进行自适应离散。

判断曲面点云中所有点和刀具是否干涉，若干涉则调整刀具倾斜角，直至不干涉并记录刀具姿角。

对待加工零件曲面点云模型里任意一点P，P′为P在刀轴上的投影，如图5所示，P′可以表示成点向式：P′＝O+λT，其中λ为参数，表示P′到O的距离。

则OP′＝λ·T，进而PP′＝PO+λ·T，由PP′⊥T，即PP′·T＝0，可以推导出：

λ＝OP·T    (6)

当λ＞L或λ＜-R₂，则点P不会和刀具干涉；当-R₂≤λ≤L，由公式(1)，仅当|PP′|＜r(λ)，点P和刀具干涉。

曲面点云中所有点按照上述方法判断和刀具是否干涉，如果检测到至少有一个点和刀具干涉，则曲面和刀具干涉；否则曲面和刀具不干涉。

由此来确定旋转角为θ_k时无干涉情况下β的上限φ_k和下限ψ_k。计算每个θ_k(1≤k≤n)下β的上下限，得到该样点刀具姿角可行域上下限分别为：

Φ＝(φ₁，φ₂，φ₃，...，φ_n)   (7)

Ψ＝(ψ₁，ψ₂，ψ₃，...，ψ_n)   (8)

将刀具姿角可行域上下限以θ为参数画在平面上如图6所示。

遍历每一个刀触点，计算每一个刀触点刀具姿角可行域。

步骤104、若任意一个刀触点刀具姿角可行域不存在，则更换一把半径更小的刀具，重复步骤102-103，继续计算各个样点的刀具姿角可行域。

步骤105、对刀触点采样点Q_ij(其中1≤i≤r，1≤j≤s)的姿角可行域进行3次B样条拟合。

对于刀触点Q_ij，以可行域上限为例，取u向v向节点矢量分别为：

U＝{0，0，0，0，1/(r-1)，2/(r-1)，...，(r-2)/(r-1)，1，1，1，1} (9)

V＝{0，0，0，0，1/(s-1)，2/(s-1)，...，(s-2)/(s-1)，1，1，1，1} (10)

进行三次B样条拟合，用追赶法计算得到一系列控制顶点d_i，j，其中1≤i≤r+1，1≤j≤s+1，进而可以得到可行域上限表达式：

${\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{up}}(u,v)={\mathrm{\&Sigma;}}_{i=0}^{r+1}{\mathrm{\&Sigma;}}_{j=0}^{s+1}{d}_{i,j}{N}_{i,3}\left(u\right)N_{j,3}\left(v\right)---\left(11\right)$

式中N_i，3(u)，N_j，3(v)分别为u和v向的3次B样条基，节点按公式(9)、(10)取。

同理对可行域下限，u向v向节点矢量分别取公式(9)、(10)，进行三次B样条拟合得到一系列控制顶点d′_i，j，其中1≤i≤r+1，1≤j≤s+1，进而可以得到可行域下限表达式：

${\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{low}}(u,v)={\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^{r+1}{\mathrm{\&Sigma;}}_{j=0}^{s+1}{d}_{i,j}^{\&prime;}{N}_{i,3}\left(u\right)N_{j,3}\left(v\right)---\left(12\right)$

从而可得可行域表达式：

步骤106、对于待加工零件曲面上的任意一刀触点，如果其参数坐标为(u₀，v₀)，代入Ω(u，v)便可快速计算出该点可行域Ω(u₀，v₀)。对待加工零件曲面上所有刀触点可以快速规划出无干涉刀具路径。

本发明的一个典型实施实例如下：

1.本例中选择的待加工零件曲面为一张3次B样条曲面，如图7所示，其控制顶点为：

${\left\{G_{\mathrm{ij}}\right\}}_{7\&times;7}=\left\{\begin{array}{ccccccc}\left(\mathrm{0,0,0}\right)& \left(\mathrm{0,10,10}\right)& \left(\mathrm{0,20,20}\right)& \left(\mathrm{0,30,10}\right)& \left(\mathrm{0,40,0}\right)& \left(\mathrm{0,50,10}\right)& \left(\mathrm{0,60,20}\right)\\ \left(\mathrm{10,0,10}\right)& \left(\mathrm{10,10,20}\right)& \left(\mathrm{10,20,30}\right)& \left(\mathrm{10,30,20}\right)& \left(\mathrm{10,40,10}\right)& \left(\mathrm{10,50,0}\right)& \left(\mathrm{10,60,10}\right)\\ \left(\mathrm{20,0,0}\right)& \left(\mathrm{20,10,10}\right)& \left(\mathrm{20,20,30}\right)& \left(\mathrm{20,30,20}\right)& \left(\mathrm{20,40,10}\right)& \left(\mathrm{20,50,20}\right)& \left(\mathrm{20,60,10}\right)\\ \left(\mathrm{30,0,30}\right)& \left(\mathrm{30,10,20}\right)& \left(\mathrm{30,20,10}\right)& \left(\mathrm{30,30,0}\right)& \left(\mathrm{30,40,20}\right)& \left(\mathrm{30,50,30}\right)& \left(\mathrm{30,60,10}\right)\\ \left(\mathrm{40,0,30}\right)& \left(\mathrm{40,10,10}\right)& \left(\mathrm{40,20,0}\right)& \left(\mathrm{40,30,20}\right)& \left(\mathrm{40,40,10}\right)& \left(\mathrm{40,50,30}\right)& \left(\mathrm{40,60,20}\right)\\ \left(\mathrm{50,0,20}\right)& \left(\mathrm{50,10,30}\right)& \left(\mathrm{50,20,10}\right)& \left(\mathrm{50,30,0}\right)& \left(\mathrm{50,40,20}\right)& \left(\mathrm{50,50,30}\right)& \left(\mathrm{50,60,10}\right)\\ \left(\mathrm{60,0,30}\right)& \left(\mathrm{60,10,10}\right)& \left(\mathrm{60,20,20}\right)& \left(\mathrm{60,30,0}\right)& \left(\mathrm{60,40,40}\right)& \left(\mathrm{60,50,20}\right)& \left(\mathrm{60,60,10}\right)\end{array}\right\}$

其节点矢量：

U＝{0，0，0，0，0.3，0.5，0.7，1，1，1，1}

V＝{0，0，0，0，0.3，0.5，0.7，1，1，1，1}

自由曲面按等参数离散的方法离散得到的点云有2601个点。

2.选用的刀具为环形刀，刀底半径为R₁＝1，圆角半径为R₂＝1，刀轴长度为L＝25。

3.刀触点采样参数r＝s＝21，旋转角度θ细分成n＝20份，与Z轴夹角β迭代次数m＝8。

在酷睿双核CPU2.80GHz，2GB内存的的电脑平台上，从采样、可行域计算到曲面拟合得到表达式Ω(u，v)的总时间为2.88s。如图7所示，取曲面上任取一刀触点u＝0.31，v＝0.74，将代入Ω(u，v)计算的可行域和按步骤3实际计算的可行域进行比较，如图8所示。

以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的一般技术人员来说，本发明还可以有各种更改和变化。在不脱离本发明原理的前提下，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (8)

1.一种快速生成五轴刀具姿角可行域的方法，其特征在于包括如下步骤：

步骤1、输入待加工零件曲面，在所述待加工零件曲面上均匀设置刀触点；

步骤2、选择加工刀具，根据指定的刀具类型和刀具参数建立刀具半径方程以及刀具位置姿角方程；

步骤3、确定刀触点刀具姿角可行域；

步骤4、若任意一个刀触点刀具姿角可行域不存在，则更换一把半径更小的刀具，返回步骤2；

步骤5、对刀触点的刀具姿角可行域进行3次B样条拟合，从而得到刀具姿角可行域表达式；

步骤6、对待加工零件曲面上所有刀触点快速规划出无干涉刀具路径。

2.根据权利要求1所述的快速生成五轴刀具姿角可行域的方法，其特征在于，所述待加工零件曲面包括u，v两个参数变量，在待加工零件曲面上，沿着v向上均匀取r条等u参数曲线，在每条等u参数线上，沿着v方向上均匀取s个刀触点，共取出r×s个刀触点。

3.根据权利要求1所述的快速生成五轴刀具姿角可行域的方法，其特征在于，所述步骤2建立刀具位置姿角方程的步骤包括：

步骤2.1、对于任意刀触点Q，建立局部坐标系，所述局部坐标系的原点为Q，X轴沿着曲面在该点处的第一主方向，Z轴沿着曲面在该点处的法向，Y轴按照右手法则确定；

步骤2.2、所述刀轴与Z轴夹角为倾斜角β，刀轴在XQY平面内的投影与X轴夹角为旋转角θ，建立刀轴矢量单位矢量T表达式与刀具中心点表达式。

4.根据权利要求3所述的快速生成五轴刀具姿角可行域的方法，其特征在于，所述步骤3包括步骤：

步骤3.1、对于刀触点Q判断刀具是否和曲面干涉，由此来确定旋转角为θ时无干涉情况下β的上限φ和下限ψ；

步骤3.2、将旋转角θ∈[0，2π)等分成n份，对于每一个细分θ确定每个θ下β的上下限，得到该刀触点刀具姿角可行域上下限分别为：

Φ＝(φ₁，φ₂，φ₃，...，φ_n)

Ψ＝(ψ₁，ψ₂，ψ₃，...，ψ_n)

步骤3.3、遍历每一个刀触点，得到每一个刀触点刀具姿角可行域。

5.根据权利要求4所述的快速生成五轴刀具姿角可行域的方法，其特征在于，所述步骤3.1包括：

步骤3.1.1、将待加工零件曲面离散成点云模型；

步骤3.1.2、判断离散点云中所有点和刀具是否干涉，若干涉则调整刀具倾斜角，直至不干涉，并记录不干涉情况下倾斜角的范围。

6.根据权利要求4所述的快速生成五轴刀具姿角可行域的方法，其特征在于，所述步骤5包括：

对刀触点的刀具姿角可行域进行3次B样条拟合，对可行域上限，取u向v向节点矢量分别为：

U＝{0，0，0，0，1/(r-1)，2/(r-1)，...，(r-2)/(r-1)，1，1，1，1}

V＝{0，0，0，0，1/(s-1)，2/(s-1)，...，(s-2)/(s-1)，1，1，1，1}

进行三次B样条拟合，用追赶法计算得到一系列控制顶点d_i，j，其中1≤i≤r+1，1≤j≤s+1，进而可以得到可行域上限表达式：

${\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{up}}(u,v)={\mathrm{\&Sigma;}}_{i=0}^{r+1}{\mathrm{\&Sigma;}}_{j=0}^{s+1}{d}_{i,j}{N}_{i,3}\left(u\right)N_{j,3}\left(v\right)$

式中N_i，3(u)，N_j，3(v)分别为u和v向的3次B样条基；

同理对可行域下限，取u向v向节点矢量并进行三次B样条拟合得到一系列控制顶点d′_i，j，其中1≤i≤r+1，1≤j≤s+1，进而可以得到可行域下限表达式：

${\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{low}}(u,v)={\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^{r+1}{\mathrm{\&Sigma;}}_{j=0}^{s+1}{d}_{i,j}^{\&prime;}{N}_{i,3}\left(u\right)N_{j,3}\left(v\right)$

式中N_i，3(u)，N_i，3(v)分别为u和v向的3次B样条基；

从而可得可行域表达式：

7.根据权利要求1-6任一项权利要求所述的快速生成五轴刀具姿角可行域的方法，其特征在于，所述的加工刀具为环形刀，其刀底半径为R₁，圆角半径为R₂，刀轴长度为L，刀具中心点为O。

8.根据权利要求7所述的快速生成五轴刀具姿角可行域的方法，其特征在于，从刀具中心O开始，沿着刀轴方向距离为λ处，刀具半径为：

$r\left(\mathrm{\&lambda;}\right)=\left\{\begin{array}{cc}{R}_1+R_2,& 0<\mathrm{\&lambda;}<L\\ R_1+\sqrt{R_2^2-{\mathrm{\&lambda;}}^2},& -R_2<\mathrm{\&lambda;}\&le;0\end{array}\right.$

步骤3.1中，对于任意离散点云中一点P，P′为P在刀具刀轴上的投影，当λ＞L或λ＜-R₂，则点P不会和刀具干涉；当-R₂≤λ≤L，仅当|PP′|＜r(λ)，点P和刀具干涉，其中|PP′|为P到P′的距离。

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