CN102581384B - 一种基于等切削面积的插齿加工方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于等切削面积的插齿加工方法，其特征是：对齿轮的插齿加工为是通过等切削面积插齿来实现等切削力加工。优点是：本发明无需改变机床主体结构，只需添加相应数控代码即可使用。采用该方法可在粗加工阶段充分利用机床主驱动力，减缓机床不平稳振动，缩短加工时间，降低加工成本，提高加工效率。

Description

一种基于等切削面积的插齿加工方法

技术领域

本发明属于齿轮加工技术领域，特别是涉及一种基于等切削面积的插齿加工方法。

背景技术

目前，齿轮是机械制造业中的关键传动零部件，其中又以圆柱齿轮应用最为广泛。插齿是圆柱齿轮加工的主要方式之一。插齿加工时，插齿刀和工件轴线平行，插齿刀与工件以固定的滚比做展成运动，同时插齿刀做往复切削运动，从而在工件上加工出与插齿刀齿形共轭的齿槽。

常规的插齿加工中，插齿刀与工件各自以恒定转速做展成运动，致使齿槽的加工过程中，单位时间内插齿切削面积随齿槽的加工位置变化而不断变化，导致切削力周期性波动。在一个切齿周期中，插齿机只有很短的时段可工作在额定负荷，大部分时段的工作负荷远低于额定值。这种常规的插齿加工方式不能充分利用插齿机负荷能力，加工效率低下。此外，切削力的周期性波动还可能激发插齿机多频段振动，对工件加工质量和插齿机产生不良效果。

发明内容

本发明为解决公知技术中存在的技术问题而提供一种基于等切削面积的插齿加工方法，该方法不改变插齿机主体结构，只需在插齿机数控***中添加相应数控代码即可充分利用插齿机的负荷能力，提高圆柱齿轮加工效率，降低生产成本。

本发明为解决公知技术中存在的技术问题所采取的技术方案是：

一种基于等切削面积的插齿加工方法，其特征是：对齿轮的插齿加工为等切削力加工。

所述等切削力加工是通过等切削面积加工实现的。

该基于等切削面积的插齿加工方法，包括以下步骤：

A：设定初始参数，建立插齿刀齿廓数学模型，并计算被加工的两个齿的数学模型；

B：计算常规方法中插齿刀加工轨迹，并提取加工轨迹离散数据点。

C：编制计算机辅助设计软件二次开发程序，对常规加工方法加工过程进行重构，并模拟加工过程中的布尔运算，进而求得所需时刻的切削面积，绘制常规加工方法中切削面积变化规律。

D：对C步骤中的上述切削面积变化规律曲线进行自适应分析。

E：将D步骤中的分析结果转换为刀具转速变化规律。

F：所得刀具转速变化规律即为实现等切削力自适应进给时对应的刀具转速变化规律。

G：结合机床数控***的响应速度，从刀具转速变化规律曲线中选取若干关键转速点，并根据机床冲程时间确定每个转速持续的时间，使数控程序重复执行所要求的转速，同时需要构建测试***实时测量主轴切削力，对所选转速点进行适当调整。

本发明具有的优点和积极效果是：

本发明采用了以上技术方案后，利用自适应的方法将等速加工改为等切削力加工，无需改变机床主体结构，只需添加相应数控代码即可使用。采用该方法可在粗加工阶段充分利用机床主驱动力，减缓机床不平稳振动，缩短加工时间，降低加工成本，提高加工效率。

附图说明

图1采用传统方法插齿加工时第n次的切削面积示意图；

图2采用传统方法插齿加工时第n+1次的切削面积示意图；

图3采用本发明的方法插齿加工第n次的切削面积示意图；

图4采用本发明的方法插齿加工第n+1次的切削面积示意图；

图5本发明方法的流程图；

图6齿轮副坐标系示意图；

图7插齿刀齿廓曲线图；

图8插齿加工过程中各轴运动关系示意图；

图9渐开线齿廓齿轮齿槽形成过程示意图；

图10模拟布尔运算求解切削面积过程示意图；

图11常规基于等切削面积的插齿加工方法的切削面积柱状图；

图12常规基于等切削面积的插齿加工方法的切削面积变化规律曲线；

图13叠加后的总切削面积变化规律曲线；

图14经过等切削力自适应分析后的切削面积变化规律；

图15满足等切削力自适应进给的刀具转速变化规律；

具体实施方式

为能进一步了解本发明的发明内容、特点及功效，兹例举以下实施例，并配合附图详细说明如下：

请参阅图1至图15，一种基于等切削面积的插齿加工方法，等切削力自适应的算法框图如图5所示。图5中A为切削面积，A_m为最大切削面积，X为根据机床负载能力确定的切削面积波动系数。

为便于说明，建立如图6所示的齿轮副坐标系。其中，(O-x,y)为惯性坐标系；(O₁-x₁,y₁)为刀具坐标系，与插齿刀固联；(O₂-x₂,y₂)为轮坯坐标系，与被加工齿轮固联；α为分度圆压力角；α_k为任意圆压力角；i为齿轮副传动比；r_a1为插齿刀齿顶圆半径；r_a2为被加工齿轮齿顶圆半径；r_b2为被加工齿轮基圆半径；z₁为刀具齿数；z₂为被加工齿轮齿数；

为刀具齿顶圆弧对应圆心角；n₁为刀具转速；n₂为被加工齿轮转速。

（1）建立插齿刀齿廓数学模型

根据齿轮啮合理论对插齿刀齿廓曲线进行数学建模，齿廓曲线由两段渐开线，两段外摆线，一段圆弧组成，如图7所示。

刀具坐标系下的渐开线方程如下：

$\left\{\begin{array}{c}{x_1}^{\left(1\right)}=\frac{r_{b2}\sin (i(\mathrm{\α}-\tan {\mathrm{\α}}_k)+\mathrm{\α}-{\mathrm{\α}}_k)}{\cos {\mathrm{\α}}_k}-a\sin \left(i(\mathrm{\α}-\tan {\mathrm{\α}}_k)\right)\\ {y_1}^{\left(1\right)}=\frac{r_{b2}\cos (i(\mathrm{\α}-\tan {\mathrm{\α}}_k)+\mathrm{\α}-{\mathrm{\α}}_k)}{\cos {\mathrm{\α}}_k}-a\cos \left(i(\mathrm{\α}-\tan {\mathrm{\α}}_k)\right)\end{array}\right.---\left(1\right)$

$\left\{\begin{array}{c}{x_2}^{\left(1\right)}=\frac{r_{b2}}{\cos {\mathrm{\α}}_k}\sin (i(\mathrm{\α}-2\tan \mathrm{\α}+\tan {\mathrm{\α}}_k+\frac{\mathrm{\π}}{z_2})+{\mathrm{\α}}_k-\mathrm{\α})-a\sin \left(i(\mathrm{\α}-2\tan \mathrm{\α}+\tan {\mathrm{\α}}_k+\frac{\mathrm{\π}}{z_2})\right)\\ {y_2}^{\left(1\right)}=\frac{r_{b2}}{\cos {\mathrm{\α}}_k}\cos (i(\mathrm{\α}-2\tan \mathrm{\α}+\tan {\mathrm{\α}}_k+\frac{\mathrm{\π}}{z_2})+{\mathrm{\α}}_k-\mathrm{\α})-a\cos \left(i(\mathrm{\α}-2\tan \mathrm{\α}+\tan {\mathrm{\α}}_k+\frac{\mathrm{\π}}{z_2})\right)\end{array}\right.---\left(2\right)$

刀具坐标系下的外摆线方程如下：

$\left\{\begin{array}{c}{x_3}^{\left(1\right)}=r_{a2}\sin (i(\mathrm{\α}-\tan \left(\arccos \frac{r_{b2}}{r_{a2}}\right))+\mathrm{\α}-{\mathrm{\α}}_k)-a\sin \left(i(\mathrm{\α}-\tan \left(\arccos \frac{r_{b2}}{r_{a2}}\right))\right)\\ {y_3}^{\left(1\right)}=r_{a2}\cos (i(\mathrm{\α}-\tan \left(\arccos \frac{r_{b2}}{r_{a2}}\right))+\mathrm{\α}-{\mathrm{\α}}_k)-a\cos \left(i(\mathrm{\α}-\tan \left(\arccos \frac{r_{b2}}{r_{a2}}\right))\right)\end{array}\right.---\left(3\right)$

$\left\{\begin{array}{c}{x_4}^{\left(1\right)}=r_{a2}\sin (i(\mathrm{\α}-2\tan \mathrm{\α}+\tan (\arccos \frac{r_{b2}}{r_{a2}})+\frac{\mathrm{\π}}{z_2})+\left(\arccos \frac{r_{b2}}{r_{a2}}\right)-\mathrm{\α})\\ -a\sin \left(i(\mathrm{\α}-2\tan \mathrm{\α}+\tan \left(\arccos \frac{r_{b2}}{r_{a2}}\right)+\frac{\mathrm{\π}}{z_2})\right)\\ {y_4}^{\left(1\right)}=r_{a2}\cos (i(\mathrm{\α}-2\tan \mathrm{\α}+\tan (\arccos \frac{r_{b2}}{r_{a2}})+\frac{\mathrm{\π}}{z_2})+\left(\arccos \frac{r_{b2}}{r_{a2}}\right)-\mathrm{\α})\\ -a\cos \left(i(\mathrm{\α}-2\tan \mathrm{\α}+\tan \left(\arccos \frac{r_{b2}}{r_{a2}}\right)+\frac{\mathrm{\π}}{z_2})\right)\end{array}\right.---\left(4\right)$

刀具坐标系下的圆弧方程如下：

在建立刀具数学模型时需要确定计算刀齿的最小个数n₁，依据原则为在刀具加工轨迹分析中确保至少可以切出两个完整的齿形，并结合重合度ε根据式（6）选取：

$n_1=\left\{\begin{array}{cc}2& 1\&le;\mathrm{\&epsiv;}\&le;2\\ 3& 2\&le;\mathrm{\&epsiv;}<3\end{array}\right.---\left(6\right)$

根据式（1）-（5）可建立其中一个齿的数学模型 $\left[\begin{array}{ccc}{x}_m& y_m& 1\end{array}\right]$ ：

$\left[\begin{array}{ccc}{x}_m& y_m& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{x}_1^{\left(1\right)}& y_1^{\left(1\right)}& 1\\ x_2^{\left(1\right)}& y_2^{\left(1\right)}& 1\\ x_3^{\left(1\right)}& y_3^{\left(1\right)}& 1\\ x_4^{\left(1\right)}& y_4^{\left(1\right)}& 1\\ x_5^{\left(1\right)}& y_5^{\left(1\right)}& 1\end{array}\right]---\left(7\right)$

左边的齿数学模型为 $\left[\begin{array}{ccc}{x}_L& y_L& 1\end{array}\right]$ ：

$\left[\begin{array}{ccc}{x}_L& y_L& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{x}_m& y_m& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\cos (2\mathrm{\&pi;}-\frac{2\mathrm{\&pi;}}{z_1})& \sin (2\mathrm{\&pi;}-\frac{2\mathrm{\&pi;}}{z_1})& 0\\ -\sin (2\mathrm{\&pi;}-\frac{2\mathrm{\&pi;}}{z_1})& \cos (2\mathrm{\&pi;}-\frac{2\mathrm{\&pi;}}{z_1})& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]---\left(8\right)$

右边的齿数学模型为 $\left[\begin{array}{ccc}{x}_R& y_R& 1\end{array}\right]$ ：

$\left[\begin{array}{ccc}{x}_R& y_R& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{x}_m& y_m& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\cos (2\mathrm{\&pi;}+\frac{2\mathrm{\&pi;}}{z_1})& \sin (2\mathrm{\&pi;}+\frac{2\mathrm{\&pi;}}{z_1})& 0\\ -\sin (2\mathrm{\&pi;}+\frac{2\mathrm{\&pi;}}{z_1})& \cos (2\mathrm{\&pi;}+\frac{2\mathrm{\&pi;}}{z_1})& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]---\left(9\right)$

（2）计算常规加工方法中插齿刀加工轨迹

数控插齿机加工过程由3个轴的运动实现，分别为Z轴的直线往复运动，刀具轴Z₁轴以角速度ω₁进行恒速旋转，工作台Z₂以角速度ω₂进行恒速旋转，各轴之间的运动关系如图8所示。

假设被加工齿轮转过一个齿距角所需时间T₁＝0，故在[T₁,T₂]时间段中计算加工轨迹，加工过程时刻指标如式（10）所示：

$t=T_1+(T_2-T_1)\frac{j-1}{59},t\&Element;\&lsqb;T_1,T_2\&rsqb;---\left(10\right)$

其中j=1，2，…，60。

在每个时刻t均需要将刀具从刀具坐标系变换到工件坐标系，实现该变换的坐标变换式如式（11）所示：

$\left[\begin{array}{c}{x}^{\left(2\right)}\\ y^{\left(2\right)}\\ 1\end{array}\right]=M_{21}\left[\begin{array}{c}{x}^{\left(1\right)}\\ y^{\left(1\right)}\\ 1\end{array}\right]---\left(11\right)$

由刀具坐标系(O₁-x₁,y₁)变换到工件坐标系(O₂-x₂,y₂)的变换矩阵为M₂₁：

$M_{21}={\left(M_{02}\right)}^{-1}\&CenterDot;M_{01}=\left[\begin{array}{ccc}\cos (\frac{t\&CenterDot;n_1}{i}+t\&CenterDot;n_1)& -\sin \frac{t\&CenterDot;n_1}{i}+t\&CenterDot;n_1& -a\sin \frac{t\&CenterDot;n_1}{i}\\ \sin (\frac{t\&CenterDot;n_1}{i}+t\&CenterDot;n_1)& \cos (\frac{t\&CenterDot;n_2}{i}+t\&CenterDot;n_1)& a\cos \frac{t\&CenterDot;n_1}{i}\\ 0& 0& 1\end{array}\right]---\left(12\right)$

其中由刀具坐标系(O₁-x₁,y₁)变换到惯性坐标系(O-x,y)的变换矩阵为M₀₁：

$M_{01}=\left[\begin{array}{ccc}\cos t\&CenterDot;n_1& -\sin t\&CenterDot;n_1& 0\\ \sin t\&CenterDot;n_1& \cos t\&CenterDot;n_1& a\\ 0& 0& 1\end{array}\right]---\left(13\right)$

由轮坯坐标系(O₂-x₂,y₂)变换到惯性坐标系(O-x,y)的变换矩阵为M₀₂：

$M_{02}=\left[\begin{array}{ccc}\cos \frac{t\&CenterDot;n_1}{i}& \sin \frac{t\&CenterDot;n_1}{i}& 0\\ -\sin \frac{t\&CenterDot;n_1}{i}& \cos \frac{t\&CenterDot;n_1}{i}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]---\left(14\right)$

按式（11），在t∈[T₁,T₂]内每个时刻，可将插齿刀齿廓曲线由刀具坐标系变换到轮坯坐标系，即得到插齿刀齿廓在轮坯坐标系中的一系列位置，即加工轨迹，由此位置形成的包络线即为齿轮的齿槽——渐开线齿廓，如图9所示。

（3）分析常规插齿加工过程中插齿刀的切削面积变化规律

数控插齿机在加工过程中插齿刀不仅有恒速回转，也有轴向往复切削，所以本方法只在任意一个齿坯截面中进行推导。插齿加工过程从几何角度来看为刀具和轮坯所作的一系列布尔运算，最终由插齿刀齿廓在轮坯坐标系中的所获得的一系列位置的包络线即为所切成的渐开线齿廓。选取一个刀齿对切削面积求解进行说明，首先将该刀齿加工轨迹中的每一条齿廓曲线分别离散为若干个点，然后利用计算机辅助设计软件二次开发程序调用前述离散数据点，对加工轨迹进行重构，进而通过二次程序模拟布尔运算过程，可求得当前插齿刀插削的切削面积，模拟求解过程如图10所示。利用该方法重复求解，便可求得所有切削面积，切削面积柱状图如图11所示。

对所得切削面积变化规律曲线进行拟合，即可发现插齿过程中切削面积呈周期性变化规律（如图12所示）。

（4）对常规基于等切削面积的插齿加工方法切削面积变化规律进行自适应分析，并推导实现等切削力自适应进给的刀具转速规律曲线

第（3）步得出的切削面积规律曲线反映的是每一次插削的面积变化规律，所以要把该曲线转换为从初始时刻到每一次插削时的总切削面积的变化规律（如图13所示）。转换完成后将规律曲线进行拟合，之后利用式（15）进行分析，设A_m为最大切削面积，a₁Tⁿ+a₂T^n-1+…+a_nT+a_n+1为规律曲线的拟合方程，a₁,…a_n为拟合方程中变量的系数：

$\left\{\begin{array}{c}{A}_m\&CenterDot;1=\&Integral;\left(\mathrm{\&Sigma;aT}\right)\mathrm{dt}=a_1{T}_1^n+a_2{T}_1^{n-1}+...+a_n{T}_1+a_{n+1}\\ A_m\&CenterDot;2=\&Integral;\left(\mathrm{\&Sigma;aT}\right)\mathrm{dt}=a_1{T}_2^n+a_2{T}_2^{n-1}+...+a_n{T}_2+a_{n+1}\\ .\\ .\\ .\\ A_m\&CenterDot;n=\&Integral;\left(\mathrm{\&Sigma;aT}\right)\mathrm{dt}=a_1{T}_n^n+a_2{T}_n^{n-1}+...+a_n{T}_n+a_{n+1}\end{array}\right.---\left(15\right)$

解式（15）可得到T₁,…,T_n一系列点，重复步骤（2）、（3）可求出各点对应切削面积，验证是否位于A_m±5%之内，若有超出偏差的数据点，需进行局部修正。即如果该点对应切削面积大于A_m±5%，说明该点数值偏大，需要适当减小；如果该点对应切削面积小于A_m±5%，说明该点数值偏小，需要适当增大。局部修正之后再次重复步骤（2）、（3），如此反复直至所有T点对应切削面积均位于A_m±5%之内（如图14所示）。

将修正后的T点由式(T_i-T_i-1)·n₁转换为刀具转速，继而得到刀具转速变化规律曲线，即为满足等切削力自适应进给的插齿刀转速变化规律（如图15所示）。

（5）生成新的数控代码

在得到满足等切削力自适应进给的插齿刀转速变化规律之后，即可编写新的数控代码。数控代码编写的关键在于如何使插齿刀变转速切削，首先从图15所示的转速变化规律曲线中选取若干关键转速点，选取的原则是兼顾机床控制***的响应速度和最大限度的提高加工效率；然后确定所有关键转速点的执行时间，确定的原则是兼顾每个冲程的时间和实际应用的效果。

尽管上面结合附图对本发明的优选实施例进行了描述，但是本发明并不局限于上述的具体实施方式，上述的具体实施方式仅仅是示意性的，并不是限制性的，本领域的普通技术人员在本发明的启示下，在不脱离本发明宗旨和权利要求所保护的范围情况下，还可以作出很多形式，这些均属于本发明的保护范围之内。

Claims (5)

1.一种基于等切削面积的插齿加工方法，其特征是：对齿轮的插齿加工为等切削力加工；所述等切削力加工是通过等切削面积加工实现的；

包括以下步骤：

A：设定初始参数，建立插齿刀齿廓数学模型，并计算被加工的两个齿的数学模型；

B：计算常规方法中插齿刀加工轨迹，并提取加工轨迹离散数据点；

C：编制计算机辅助设计软件二次开发程序，对常规加工方法加工过程进行重构，并模拟加工过程中的布尔运算，进而求得所需时刻的切削面积，绘制常规加工方法中切削面积变化规律；

D：对C步骤中的上述切削面积变化规律曲线进行自适应分析；

E：将D步骤中的分析结果转换为刀具转速变化规律；

F：所得刀具转速变化规律即为实现等切削力自适应进给时对应的刀具转速变化规律；

G：结合机床数控***的响应速度，从刀具转速变化规律曲线中选取若干关键转速点，并根据机床冲程时间确定每个转速持续的时间，使数控程序重复执行所要求的转速，同时需要构建测试***实时测量主轴切削力，对所选转速点进行适当调整。

2.根据权利要求1所述的一种基于等切削面积的插齿加工方法，(O-x,y)为惯性坐标系；(O₁-x₁,y₁)为刀具坐标系，与插齿刀固联；(O₂-x₂,y₂)为轮坯坐标系，与被加工齿轮固联；α为分度圆压力角；α_k为任意圆压力角；i为齿轮副传动比；r_a1为插齿刀齿顶圆半径；r_a2为被加工齿轮齿顶圆半径；r_b2为被加工齿轮基圆半径；z₁为刀具齿数；z₂为被加工齿轮齿数；

为刀具齿顶圆弧对应圆心角；n₁为刀具转速；n₂为被加工齿轮转速；

其中A步骤中，建立插齿刀齿廓的数学模型为：

刀具坐标系的渐开线方程如下：

$\left\{\begin{array}{c}{x_1}^{\left(1\right)}=\frac{r_{b2}\sin (i(\mathrm{\&alpha;}-\tan {\mathrm{\&alpha;}}_k)+\mathrm{\&alpha;}-{\mathrm{\&alpha;}}_k)}{\cos {\mathrm{\&alpha;}}_k}-a\sin \left(i(\mathrm{\&alpha;}-\tan {\mathrm{\&alpha;}}_k)\right)\\ {y_1}^{\left(1\right)}=\frac{r_{b2}\cos (i(\mathrm{\&alpha;}-\tan {\mathrm{\&alpha;}}_k)+\mathrm{\&alpha;}-{\mathrm{\&alpha;}}_k)}{\cos {\mathrm{\&alpha;}}_k}-a\cos \left(i(\mathrm{\&alpha;}-\tan {\mathrm{\&alpha;}}_k)\right)\end{array}\right.---\left(1\right)$

$\left\{\begin{array}{c}{x_2}^{\left(1\right)}=\frac{r_{b2}}{\cos {\mathrm{\&alpha;}}_k}\sin (i(\mathrm{\&alpha;}-2\tan \mathrm{\&alpha;}+\tan {\mathrm{\&alpha;}}_k+\frac{\mathrm{\&pi;}}{z_2})+{\mathrm{\&alpha;}}_k-\mathrm{\&alpha;})-a\sin \left(i(\mathrm{\&alpha;}-2\tan \mathrm{\&alpha;}+\tan {\mathrm{\&alpha;}}_k+\frac{\mathrm{\&pi;}}{z_2})\right)\\ {y_2}^{\left(1\right)}=\frac{r_{b2}}{\cos {\mathrm{\&alpha;}}_k}\cos (i(\mathrm{\&alpha;}-2\tan \mathrm{\&alpha;}+\tan {\mathrm{\&alpha;}}_k+\frac{\mathrm{\&pi;}}{z_2})+{\mathrm{\&alpha;}}_k-\mathrm{\&alpha;})-a\cos \left(i(\mathrm{\&alpha;}-2\tan \mathrm{\&alpha;}+\tan {\mathrm{\&alpha;}}_k+\frac{\mathrm{\&pi;}}{z_2})\right)\end{array}\right.---\left(2\right)$

刀具坐标系下的外摆线方程如下：

$\left\{\begin{array}{c}{x_3}^{\left(1\right)}=r_{a2}\sin (i(\mathrm{\&alpha;}-\tan \left(\arccos \frac{r_{b2}}{r_{a2}}\right))+\mathrm{\&alpha;}-{\mathrm{\&alpha;}}_k)-a\sin \left(i(\mathrm{\&alpha;}-\tan \left(\arccos \frac{r_{b2}}{r_{a2}}\right))\right)\\ {y_3}^{\left(1\right)}=r_{a2}\cos (i(\mathrm{\&alpha;}-\tan \left(\arccos \frac{r_{b2}}{r_{a2}}\right))+\mathrm{\&alpha;}-{\mathrm{\&alpha;}}_k)-a\cos \left(i(\mathrm{\&alpha;}-\tan \left(\arccos \frac{r_{b2}}{r_{a2}}\right))\right)\end{array}\right.---\left(3\right)$

$\left\{\begin{array}{c}{x_4}^{\left(1\right)}=r_{a2}\sin (i(\mathrm{\&alpha;}-2\tan \mathrm{\&alpha;}+\tan (\arccos \frac{r_{b2}}{r_{a2}})+\frac{\mathrm{\&pi;}}{z_2})+\left(\arccos \frac{r_{b2}}{r_{a2}}\right)-\mathrm{\&alpha;})\\ -a\sin \left(i(\mathrm{\&alpha;}-2\tan \mathrm{\&alpha;}+\tan \left(\arccos \frac{r_{b2}}{r_{a2}}\right)+\frac{\mathrm{\&pi;}}{z_2})\right)\\ {y_4}^{\left(1\right)}=r_{a2}\cos (i(\mathrm{\&alpha;}-2\tan \mathrm{\&alpha;}+\tan (\arccos \frac{r_{b2}}{r_{a2}})+\frac{\mathrm{\&pi;}}{z_2})+\left(\arccos \frac{r_{b2}}{r_{a2}}\right)-\mathrm{\&alpha;})\\ -a\cos \left(i(\mathrm{\&alpha;}-2\tan \mathrm{\&alpha;}+\tan \left(\arccos \frac{r_{b2}}{r_{a2}}\right)+\frac{\mathrm{\&pi;}}{z_2})\right)\end{array}\right.---\left(4\right)$

刀具坐标系下的圆弧方程如下：

结合重合度ε根据式（6）选取确定计算刀齿的最小个数n1

$n_1=\left\{\begin{array}{cc}2& 1\&le;\mathrm{\&epsiv;}\&le;2\\ 3& 2\&le;\mathrm{\&epsiv;}<3\end{array}\right.---\left(6\right)$

根据以上公式（1）～（5）建立被加工的一个齿的模型 $\left[\begin{array}{ccc}{x}_m& y_m& 1\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{ccc}{x}_m& y_m& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{x}_1^{\left(1\right)}& y_1^{\left(1\right)}& 1\\ x_2^{\left(1\right)}& y_2^{\left(1\right)}& 1\\ x_3^{\left(1\right)}& y_3^{\left(1\right)}& 1\\ x_4^{\left(1\right)}& y_4^{\left(1\right)}& 1\\ x_5^{\left(1\right)}& y_5^{\left(1\right)}& 1\end{array}\right]---\left(7\right)$

左边的一个齿的模型为 $\left[\begin{array}{ccc}{x}_L& y_L& 1\end{array}\right]$ ，

$\left[\begin{array}{ccc}{x}_L& y_L& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{x}_m& y_m& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\cos (2\mathrm{\&pi;}-\frac{2\mathrm{\&pi;}}{z_1})& \sin (2\mathrm{\&pi;}-\frac{2\mathrm{\&pi;}}{z_1})& 0\\ -\sin (2\mathrm{\&pi;}-\frac{2\mathrm{\&pi;}}{z_1})& \cos (2\mathrm{\&pi;}-\frac{2\mathrm{\&pi;}}{z_1})& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]---\left(8\right)$

右边的齿数学模型为 $\left[\begin{array}{ccc}{x}_R& y_R& 1\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{ccc}{x}_R& y_R& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{x}_m& y_m& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\cos (2\mathrm{\&pi;}+\frac{2\mathrm{\&pi;}}{z_1})& \sin (2\mathrm{\&pi;}+\frac{2\mathrm{\&pi;}}{z_1})& 0\\ -\sin (2\mathrm{\&pi;}+\frac{2\mathrm{\&pi;}}{z_1})& \cos (2\mathrm{\&pi;}+\frac{2\mathrm{\&pi;}}{z_1})& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]---\left(9\right)$

。

3.根据权利要求2所述的一种基于等切削面积的插齿加工方法，B步骤中所述计算常规方法中插齿刀加工轨迹中，定义刀具轴Z₁轴以角速度ω₁进行旋转，工作台Z₂以角速度ω₂进行旋转，加工过程时刻指标如下式所示：

$t=T_1+(T_2-T_1)\frac{j-1}{59},t\&Element;\&lsqb;T_1,T_2\&rsqb;---\left(10\right)$

其中j=1，2，…，60；

在每个时刻t均需要将刀具从刀具坐标系变换到工件坐标系，实现该变换的坐标变换式如式（11）所示：

$\left[\begin{array}{c}{x}^{\left(2\right)}\\ y^{\left(2\right)}\\ 1\end{array}\right]=M_{21}\left[\begin{array}{c}{x}^{\left(1\right)}\\ y^{\left(1\right)}\\ 1\end{array}\right]---\left(11\right)$

由刀具坐标系(O₁-x₁,y₁)变换到工件坐标系(O₂-x₂,y₂)的变换矩阵为M₂₁

$M_{21}={\left(M_{02}\right)}^{-1}\&CenterDot;M_{01}=\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{COS}(\frac{t\&CenterDot;n_1}{i}+t\&CenterDot;n_1)& -\sin \frac{t\&CenterDot;n_1}{i}+t\&CenterDot;n_1& -a\sin \frac{t\&CenterDot;n_1}{i}\\ \sin (\frac{t\&CenterDot;n_1}{i}+t\&CenterDot;n_1)& \cos (\frac{t\&CenterDot;n_1}{i}+t\&CenterDot;n_1)& a\cos \frac{t\&CenterDot;n_1}{i}\\ 0& 0& 1\end{array}\right]---\left(12\right)$

其中由刀具坐标系(O₁-x₁,y₁)变换到惯性坐标系(O-x,y)的变换矩阵为M₀₁

$M_{01}=\left[\begin{array}{ccc}\cos t\&CenterDot;n_1& -\sin t\&CenterDot;n_1& 0\\ \sin t\&CenterDot;n_1& \cos t\&CenterDot;n_1& a\\ 0& 0& 1\end{array}\right]---\left(13\right)$

由轮坯坐标系(O₂-x₂,y₂)变换到惯性坐标系(O-x,y)的变换矩阵为M₀₂

$M_{02}=\left[\begin{array}{ccc}\cos \frac{t\&CenterDot;n_1}{i}& \sin \frac{t\&CenterDot;n_1}{i}& 0\\ -\sin \frac{t\&CenterDot;n_1}{i}& \cos \frac{t\&CenterDot;n_1}{i}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]---\left(14\right)$

按式（11），在t∈[T₁,T₂]内每个时刻，可将插齿刀齿廓曲线由刀具坐标系变换到轮坯坐标系，即得到插齿刀齿廓在轮坯坐标系中的一系列位置，即加工轨迹，由此位置形成的包络线即为齿轮的齿槽，即渐开线齿廓。

4.根据权利要求3所述的一种基于等切削面积的插齿加工方法，所述C步骤是通过以下方法完成的：选定一个刀齿，

首先将该刀齿加工轨迹中的每一条齿廓曲线分别离散为若干个点，然后调用前述离散数据点，对加工轨迹进行重构，进而通过模拟布尔运算过程，求得当前插齿刀插削的切削面积；将上述过程重复求解，求得所有切削面积；

并对所得切削面积变化规律曲线进行拟合。

5.根据权利要求4所述的一种基于等切削面积的插齿加工方法，将C步骤所得的常规加工方法中切削面积变化规律从初始时刻到每一次插削时的总切削面积的变化规律，转换完成后将规律曲线进行拟合，并利用下式进行分析，其中，设A_m为最大切削面积，a₁Tⁿ+a₂T^n-1+…+a_nT+a_n+1为规律曲线的拟合方程，a₁,…a_n为拟合方程中变量的系数：

$\left\{\begin{array}{c}{A}_m\&CenterDot;1=\&Integral;\left(\mathrm{\&Sigma;aT}\right)\mathrm{dt}=a_1{T}_1^n+a_2{T}_1^{n-1}+...{+a}_n{T}_1+a_{n+1}\\ A_m\&CenterDot;2=\&Integral;\left(\mathrm{\&Sigma;aT}\right)\mathrm{dt}=a_1{T}_2^n+a_2{T}_2^{n-1}+...+a_n{T}_2+a_{n+1}\\ .\\ .\\ .\\ A_m\&CenterDot;n=\&Integral;\left(\mathrm{\&Sigma;aT}\right)\mathrm{dt}=a_1{T}_n^n+a_2{T}_n^{n-1}+...+a_n{T}_n+a_{n+1}\end{array}\right.---\left(15\right)$

解式（15）可得到T₁,…,T_n一系列点，重复步骤（2）、（3）可求出各点对应切削面积，验证是否位于A_m±5%之内，若有超出偏差的数据点，需进行局部修正；即如果该点对应切削面积大于A_m±5%，说明该点数值偏大，需要适当减小；如果该点对应切削面积小于A_m±5%，说明该点数值偏小，需要适当增大；局部修正之后再次重复步骤（2）、（3），如此反复直至所有T点对应切削面积均位于A_m±5%之内；

将修正后的T点由式(T_i-T_i-1)·n₁转换为刀具转速，继而得到刀具转速变化规律曲线，即为满足等切削力自适应进给的插齿刀转速变化规律。

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