CN102096084A - 基于星间组合差分的精密单点定位方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于星间组合差分的精密单点定位（PPP）的方法，首先利用同一历元不同卫星之间的观测方程求差，组成星间一次差观测方程；然后在星间一次差的基础上，在相邻历元间的观测方程再求差，组成星间历元间二次差观测方程；最后以二次差方程求解的测站坐标与权阵作为卡尔曼滤波器的初始值，以星间一次差为函数求解模型，用自适应卡尔曼滤波的方法求解测站坐标和模糊度等参数，实现基于星间组合差分精密单点定位。本发明提出的方法可在短时间实现精密单点定位的解算，快速、稳定而且易于工程实现，试验表明，使用新模型进行定位能达到厘米级精度，且收敛时间比常规模型提高30%。

Description

基于星间组合差分的精密单点定位方法

技术领域

本发明涉及GPS精密单点定位中函数模型的选取，尤其涉及精密单点定位(PPP)差分模型解算定位方法，属于GPS精密单点定位领域。

背景技术

GPS精密单点定位技术是目前卫星定位领域的热门技术，是继GPS网络差分定位技术之后又一项研究热门，具有广阔的应用前景。

精密单点定位技术只需要一台接收机就可以在全球范围内进行静态或动态的独立作业，达到精密定位的目的，低成本、高效率等特点使其在区域高精度坐标框架维持、高精度导航与定位等方面都具有不可限量的应用前景。相对于网络差分定位技术需要建立覆盖全球的大规模连续运行基准站才能实现全球定位，精密单点定位技术一旦取得技术突破即可进行大规模应用，是中国定位服务赶超国际水平的契机。

GPS精密单点定位技术中，由于定位解算的方程和未知数较多、运算量大，选择一个合适的数学解算模型可以大大简化计算，提高定位速度和精度。因此，精密单点定位技术的一个关键性的难点即函数模型的选取问题。国内外许多专家学者对精密单点定位的函数模型的选取问题开展了许多研究工作，主要有以下几种方法：

1、Zumberge采用码和相位的消电离层组合作为观测量，每颗卫星列出两个观测方程。这是精密单点定位最常用的函数模型，优点是容易实现，收敛后比较稳定，消除了电离层改正的一阶项的影响，但是该模型不能消除高阶电离层影响；此外该模型中的模糊度是由L1、L2载波相位模糊度组成的非线性未知值，这种组合不能保留载波相位模糊度的整周特性，只能得到一个浮点解且测量噪声是原始噪声的3倍，因此，其最大缺点就是计算收敛较慢，一般需要30分钟以上才能达到厘米级的定位精度；

2、在传统模型的基础上，加拿大Calgary大学的Gao Yang于2002年提出了Uofc模型。UofC模型是采用L1和L2波段的码和相位观测值的平均值作为对无电离层折射延迟的载波相位组合值的补充。UofC模型的优点是降低了噪声误差和残留误差，模型中的消电离层组合保留了两个频率模糊度的整数特性，减少了未知参数的个数；缺点是模型复杂，且在定位解算的过程中有波动存在，其收敛速度也需30分钟左右。

发明内容

技术问题：本发明针对现有技术之不足，提出了一种快速且易于工程实现的精密单点定位函数模型，即基于星间组合差分的精密单点定位方法。

技术方案：本发明首先利用同一历元不同卫星之间的观测方程求差，组成星间一次差观测方程；然后在星间一次差的基础上，在相邻历元间的观测方程再求差，组成星间历元间二次差观测方程；最后以二次差方程求解的测站坐标与权阵作为卡尔曼滤波器的初始值，以星间一次差为函数解算模型，用自适应卡尔曼滤波的方法求解测站坐标和模糊度等参数，实现基于星间组合差分精密单点定位。

具体按以下步骤：

1)根据GPS接收机得到的观测文件，列出消电离层组合的GPS精密单点定位的观测方程：

①对于双频GPS接收机的观测值主要有C1、L1、L2、P2四类；其中L1、L2分别表示GPS卫星信号调制波L1、L2载波上的相位观测值，C1表示L1载波上的粗捕获码伪距观测值，P2分别表示L2载波上的精密测距码伪距观测值，GPS精密单点定位的观测方程为：

$L_i^s\left({\mathrm{\Φ}}_j\right)={\mathrm{\ρ}}^s\left(i\right)-\mathrm{cd}{T}^s\left(i\right)+{\mathrm{\λ}}_j{N}_j^s\left(i\right)+d_{\mathrm{ion}}^s\left(i\right)+d_{\mathrm{trop}}^s\left(i\right)+d_{\mathrm{Relativity}}^s\left(i\right)+d_e^s\left(i\right)+{\mathrm{\ϵ}}^s\left(i\right)$

上式中，

表示第i历元卫星s在Lj载波上的载波相位观测值，j＝1，2；

ρ^s(i)表示第i历元测站与卫星s间的几何距离，即为信号发射时刻卫星在惯性系中的坐标与信号接收时刻测站在惯性系中的坐标间的距离；

dT^s(i)表示第i历元卫星s的卫星钟差与接收机钟差之差；

c表示光速，为常数；λ_j表示Lj载波的波长；

表示第i历元，卫星s的在Lj载波上的载波相位观测值的整周模糊度；

表示第i历元卫星s的对流层延迟改正，可以按有关公式进行改正或者作为未知参数；

表示第i历元卫星s的电离层延迟改正，可用无电离层模型改正；

表示第i历元卫星s的相对论效应改正，可按有关公式进行改正；

表示第i历元卫星s的地球自转影响改正，可按有关公式进行改正；

ε^s(i)表示第i历元卫星s的多路径效应及观测噪声等未模型化的误差影响；

②利用双频组合方法消除电离层误差影响，组合后的消电离层观测方程：

$L_i^s\left({\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{IF}}\right)=\frac{f_1^2\·L_i^s\left({\mathrm{\Φ}}_1\right)-f_1\·f_2\·L_i^s\left({\mathrm{\Φ}}_2\right)}{f_1^2-f_2^2}$

$={\mathrm{\ρ}}^s\left(i\right)-{\mathrm{cdT}}^s\left(i\right)+{\mathrm{\λ}}_{\mathrm{IF}}{N}^s\left(i\right)+d_{\mathrm{trop}}^s\left(i\right)+d_{\mathrm{Relativity}}^s\left(i\right)+d_e^s\left(i\right)+{\mathrm{\ϵ}}^s\left(i\right)$

其中，f₁、f₂分别表示GPS卫星信号调制波L1、L2载波的频率，λ_IF和N^s(i)分别表示双频组合后的波长与整周模糊度，公式中消除了电离层误差改正项；

(2)组成星间一次差观测方程

选取历元中高度角最大的卫星作为参考卫星，通过卫星与参考卫星之间求差得到星间一次差分的观测方程，其形式如下：

$L_i^{\▿s}\left(P_{\mathrm{IF}}\right)=L_i^s\left(P_{\mathrm{IF}}\right)-L_i^r\left(P_{\mathrm{IF}}\right)$

$L_i^{\▿s}\left({\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{IF}}\right)=L_i^s\left({\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{IF}}\right)-L_i^r\left({\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{IF}}\right)$

表示第i历元卫星s相对于参考卫星的无电离层伪距星间差分观测值；

表示第i历元中高度角最大的卫星r的无电离层伪距星间差分观测值；

表示第i历元卫星s相对于参考卫星的无电离层载波相位星间差分观测值；

表示第i历元中高度角最大的卫星r的无电离层载波相位星间差分观测值；

(3)组成星间历元间二次差观测方程

在基于星间一次差分的基础上再进行历元间求差。其观测方程如下：

$L_{\mathrm{\Δi}}^{\▿s}\left({\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{IF}}\right)=L_i^{\▿s}\left({\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{IF}}\right)-L_{i-1}^{\▿s}\left({\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{IF}}\right)$

其中，

表示第i历元卫星s的无电离层载波相位历元间差分观测值；

利用星间历元间二次差观测方程，不必考虑接收机钟差和模糊度的影响，运算量小，线性化后即可快速求解各个未知参数，包括测站坐标和观测量之间的权阵，由于二次差存在较强的相关性，不能作为最终解算结果，但可以作为一次差观测方程中的初始值，这样即可达到提高精度与快速收敛的目的；

(4)以二次解算得到的测站坐标与权阵作为卡尔曼滤波器的初始值，以星间一次差为模型求解测站坐标和模糊度等参数；

基于星间一次差分的PPP模型的具体形式如下：

$L_i^{\▿s}\left(P_{\mathrm{IF}}\right)=L_i^s\left(P_{\mathrm{IF}}\right)-L_i^r\left(P_{\mathrm{IF}}\right)$

$=({\mathrm{\ρ}}^s\left(i\right)-{\mathrm{\ρ}}^r\left(i\right))+(d_{\mathrm{trop}}^s\left(i\right)-d_{\mathrm{trop}}^r\left(i\right))+(d_{\mathrm{Relativity}}^s\left(i\right)-d_{\mathrm{Relativity}}^r\left(i\right))$

将组合模糊度及对流层天顶延迟参数视为未知数，分别将上述两个方程在测站近似位置x_r0处线性化，保留一阶项，即可得到常规误差方程矩阵形式：V＝Ax-l；其中，V为观测值残差向量；A为设计矩阵；x为未知数向量；l为常数向量；

此时一次差的坐标待估参数初始值及其观测值权矩阵P的初始值均由二次差模型求得，最后，按最小二乘平差方法结合自适应卡尔曼滤波方法即可求解测站坐标未知参数数，实现基于星间组合差分的GPS精密单点定位。

有益效果：

(1)本发明可以用于精密单点定位技术的实现，能够快速的得到解算结果，试验表明，同样达到厘米级的精度，采用本发明可以缩短30％的计算收敛时间。

(2)将本发明在精密单点定位软件实现即可极大的促进精密单点定位技术在测绘工程等领域中的应用。

附图说明

图1是本发明中基于星间组合差分的精密单点定位方法流程图；

图2是本发明中星间组合差分的精密单点定位，在空间坐标XYZ的残差；

图3是采用传统的函数模型进行解算，在空间坐标XYZ的残差；

图4是采用星间一次差的函数模型进行解算，在空间坐标XYZ的残差；

图5是采用星间历元间二次差的函数模型进行解算，在空间坐标XYZ的残差

具体实施方式

(1)根据GPS接收机得到的观测文件，列出消电离层组合的GPS精密单点定位的观测方程：

①双频GPS接收机的观测值主要有C1，L1，L2，P2四类。其中L1，L2分别表示L1，L2载波上的载波相位观测值，C1表示L1载波上的C/A码伪距观测值，P2分别表示L2载波上的P码伪距观测值。GPS精密单点定位的观测方程为：

$L_i^s\left({\mathrm{\Φ}}_j\right)={\mathrm{\ρ}}^s\left(i\right)-\mathrm{cd}{T}^s\left(i\right)+{\mathrm{\λ}}_j{N}_j^s\left(i\right)+d_{\mathrm{ion}}^s\left(i\right)+d_{\mathrm{trop}}^s\left(i\right)+d_{\mathrm{Relativity}}^s\left(i\right)+d_e^s\left(i\right)+{\mathrm{\ϵ}}^s\left(i\right)$

上式中，

表示第i历元，卫星s在Lj载波上的载波相位观测值(j＝1，2)；

ρ^s(i)表示第i历元，测站与卫星s间的几何距离，可以表示成

为信号发射时刻卫星在惯性系中的坐标，

为信号接收时刻测站在惯性系中的坐标；

dT^s(i)表示第i历元，卫星s的卫星钟差与接收机钟差之差；

c表示光速(常数)；λ_j表示Lj载波的波长(j＝1，2)；

表示第i历元，卫星s的在Lj载波上的载波相位观测值的整周模糊度(j＝1，2)；

表示第i历元，卫星s的对流层延迟改正，可以按有关公式进行改正或者作为未知参数；

表示第i历元，卫星s的电离层延迟改正，可用无电离层模型改正；

表示第i历元，卫星s的相对论效应改正，可按有关公式进行改正；

表示第i历元，卫星s的地球自转改正，可按有关公式进行改正；

ε^s(i)表示第i历元，卫星s的多路径效应等观测噪声等未模型化的误差影响。

②利用双频组合方法消除电离层误差影响，组合后的消电离层观测方程：

$L_i^s\left({\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{IF}}\right)=\frac{f_1^2\·L_i^s\left({\mathrm{\Φ}}_1\right)-f_1\·f_2\·L_i^s\left({\mathrm{\Φ}}_2\right)}{f_1^2-f_2^2}$

$={\mathrm{\ρ}}^s\left(i\right)-{\mathrm{cdT}}^s\left(i\right)+{\mathrm{\λ}}_{\mathrm{IF}}{N}^s\left(i\right)+d_{\mathrm{trop}}^s\left(i\right)+d_{\mathrm{Relativity}}^s\left(i\right)+d_e^s\left(i\right)+{\mathrm{\ϵ}}^s\left(i\right)$

其中，

${\mathrm{\λ}}_{\mathrm{IF}}=\frac{c\·f_1}{f_1^2{-f}_2^2};$ $N^s\left(i\right)=\frac{1}{{\mathrm{\λ}}_1}\·N_1^s\left(i\right)-\frac{1}{{\mathrm{\λ}}_2}\·N_2^s\left(i\right)$

(2)组成星间一次差观测方程

星间一次差分的PPP模型是按照传统模型得到消电离层组合后的观测方程，并且选取历元中高度角最大的卫星作为参考卫星，通过卫星与参考卫星之间求差得到观测方程。其形式如下：

$L_i^{\▿s}\left({\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{IF}}\right)=L_i^s\left({\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{IF}}\right)-L_i^r\left({\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{IF}}\right)$

表示第i历元，卫星s相对于参考卫星的无电离层载波相位星间差分观测值。

表示第i历元中高度角最大的卫星r的无电离层载波相位星间差分观测值。

(3)组成星间历元间二次差观测方程

在基于星间一次差分的PPP模型的基础上再进行历元间求差。其具体形式如下：

$L_{\mathrm{\Δi}}^{\▿s}\left({\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{IF}}\right)=L_i^{\▿s}\left({\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{IF}}\right)-L_{i-1}^{\▿s}\left({\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{IF}}\right)$

其中，

表示第i历元，卫星s的无电离层载波相位历元间差分观测值。

利用星间历元间二次差观测方程，不必考虑接收机钟差和模糊度的影响，运算量小，线性化后即可快速求解各个未知参数，包括测站坐标和观测量之间的权阵。

(4)测站坐标与权阵仅作为卡尔曼滤波器的初始值，以星间一次差为模型求解测站坐标和模糊度等参数。

基于星间一次差分的PPP模型的具体形式如下：

$L_i^{\▿s}\left(P_{\mathrm{IF}}\right)=L_i^s\left(P_{\mathrm{IF}}\right)-L_i^r\left(P_{\mathrm{IF}}\right)$

$=({\mathrm{\ρ}}^s\left(i\right)-{\mathrm{\ρ}}^r\left(i\right))+(d_{\mathrm{trop}}^s\left(i\right)-d_{\mathrm{trop}}^r\left(i\right))+(d_{\mathrm{Relativity}}^s\left(i\right)-d_{\mathrm{Relativity}}^r\left(i\right))$

$+(d_e^s\left(i\right)-d_e^r\left(i\right))+({\mathrm{\ϵ}}^s\left(i\right)-{\mathrm{\ϵ}}^r\left(i\right))$

$L_i^{\▿s}\left({\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{IF}}\right)=L_i^s\left({\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{IF}}\right)-L_i^r\left({\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{IF}}\right)$

$=({\mathrm{\ρ}}^s\left(i\right)-{\mathrm{\ρ}}^r\left(i\right))+{\mathrm{\λ}}_{\mathrm{IF}}(N^s\left(i\right)-N^r\left(i\right))+(d_{\mathrm{trop}}^s\left(i\right)-d_{\mathrm{trop}}^r\left(i\right))$

$+(d_{\mathrm{Relativity}}^s\left(i\right)-d_{\mathrm{Relativity}}^r\left(i\right))+(d_e^s\left(i\right)-d_e^r\left(i\right))+({\mathrm{\ϵ}}^s\left(i\right)-{\mathrm{\ϵ}}^r\left(i\right))$

分别将上述两个方程在测站近似位置

处线性化，可以得到：

$V_i^{\▿s}\left(P_{\mathrm{IF}}\right)=[l_i^s-l_i^r,m_i^s-m_i^r,n_i^s-n_i^r]\·{\left[\begin{array}{ccc}{\mathrm{\δx}}_r& {\mathrm{\δy}}_r& {\mathrm{\δz}}_r\end{array}\right]}^T-L_i^{\▿s}\left(P_{\mathrm{IF}}^0\right)$

$V_i^{\▿s}\left({\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{IF}}\right)=[l_i^s-l_i^r,m_i^s-m_i^r,n_i^s-n_i^r,-{\mathrm{\λ}}_{\mathrm{IF}}]\·{\left[\begin{array}{cccc}{\mathrm{\δx}}_r& {\mathrm{\δy}}_r& {\mathrm{\δz}}_r& {\mathrm{\δN}}^s\left(i\right)-{\mathrm{\δN}}^r\left(i\right))\end{array}\right]}^T$

$-L_i^{\▿s}\left({\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{IF}}^0\right)$

其中：

$L_i^{\▿s}\left(P_{\mathrm{IF}}^0\right)=({\mathrm{\ρ}}^{s0}\left(i\right)-{\mathrm{\ρ}}^{r0}\left(i\right))+(d_{\mathrm{trop}}^s\left(i\right)-d_{\mathrm{trop}}^r\left(i\right))+(d_{\mathrm{Relativity}}^s\left(i\right)-d_{\mathrm{Relativity}}^r\left(i\right))$

$+(d_e^s\left(i\right)-d_e^r\left(i\right))+({\mathrm{\ϵ}}^s\left(i\right)-{\mathrm{\ϵ}}^r\left(i\right))$

$L_i^{\▿s}\left({\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{IF}}^0\right)=({\mathrm{\ρ}}^{s0}\left(i\right)-{\mathrm{\ρ}}^{r0}\left(i\right))+{\mathrm{\λ}}_{\mathrm{IF}}(N^{s0}\left(i\right)-N^{r0}\left(i\right))+(d_{\mathrm{trop}}^s\left(i\right)-d_{\mathrm{trop}}^r\left(i\right))$

$+(d_{\mathrm{Relativity}}^s\left(i\right)-d_{\mathrm{Relativity}}^r\left(i\right))+(d_e^s\left(i\right)-d_e^r\left(i\right))+({\mathrm{\ϵ}}^s\left(i\right)-{\mathrm{\ϵ}}^r\left(i\right))$

如此即转化为常规误差方程矩阵形式：V＝Ax-l。其中，V为观测值残差向量，有

A为设计矩阵，有

x为未知数增量向量，有[δx_r δy_r δz_r]^T、[δx_r δy_r δz_r δN^s(i)-δN^r(i))]^T；l为常数向量，有

设待估参数作为带权观测值，观测值权矩阵P由事先二次差模型求得，按最小二乘平差方法可求解未知数为：

x＝(A^TPA)^-1A^TPl

由此可得到被估参数为：

未知数的协因数阵为：

Q_xx＝(A^TPA)^-1

用此种方法可以高效的求出包括坐标、钟差、模糊度等未知参数，实现精密单点定位。

参看图1，本发明中参考站间基线整周模糊度网络解算方法主要按以下流程进行：

(1)根据GPS接收机得到的观测文件，列出消电离层组合的GPS精密单点定位的观测方程；

(2)在消电离层组合的观测方程的基础上，组成星间一次差观测方程；

(3)在星间一次差观测方程的基础上，组成星间历元间二次差观测方程，求测站坐标与观测值的权阵；

(4)测站坐标与权阵仅作为卡尔曼滤波器的初始值，以星间一次差为模型求解测站坐标和模糊度等参数，作为最终结果。

下面使用LEICA530接收机的静态观测数据作为算例。2007年4月，用LEICA530的GPS接收机在南京东南大学九龙湖校区的8号点上采集静态观测数据，历元间隔为5s，观测时卫星数目为6～8颗星，卫星截止高度角为10度。采用本发明提出的方法做精密单点定位解算，并将最后结果与其他传统方法的解算结果进行比较。

首先需要从IGS网站下载同一时段的精密星历与精密钟差文件，用自己编写的精密单点定位软件，经过数据预处理和各项误差改正，使用不同的模型分别进行单点定位的解算，并对解算结果进行对比分析。

图2是采用了星间组合模型的精密单点定位结果统计，因是采用的差分模型，收敛在1000秒附近有反弹，不到2000秒的时候达到厘米级精度。

图3是采用传统模型进行精密单点定位的空间坐标收敛情况。由图3可以看出，1000秒以后，空间坐标趋于收敛，而具体数据表明，约2500秒以后，该点位在XYZ三个方向上的定位精度达到厘米级。

图4是采用星间一次差分模型进行精密单点定位解算的坐标收敛统计图。由于消除了接收机钟差的影响，未知参数只剩下点位坐标，模糊度和对流层延迟。与传统模型相比，稳定性不足，在600秒附近X方向残差有变大趋势，到2000秒附近收敛到厘米计精度，收敛时间相比传统模型要快一些。

图5是采用星间历元间二次差模型，相比于传统模型和一次差分模型，星间历元间二次差分模型的参数项更少，无模糊度项，无接收机钟差项，是最简单的观测模型。结果显示：X方向残差在1000秒附近有反弹，且3000秒的时候还没有收敛到厘米级，YZ方向收敛比较稳定快速。这主要是因为二次差观测值之间的相关性大大增强，不利于解算。

表1是几种试验模型收敛到厘米级精度的时间统计。根据表中数据，传统模型收敛时间长，星间一次差分模型收敛时间较短，而星间历元间二次差分模型在3000秒的时候还没有收敛到厘米级精度，星间组合模型比星间一次差分收敛时间更快，近30分钟的时间就能达到厘米级精度要求，时间比传统模型提高30％。

表1是对不同的函数模型收敛到厘米级精度所用时间的统计比较。

表1

Claims (2)

1.一种基于星间组合差分的精密单点定位方法，其特征在于：首先利用同一历元不同卫星之间的观测方程求差，组成星间一次差观测方程；然后在星间一次差的基础上，在相邻历元间的观测方程再求差，组成星间历元间二次差观测方程；最后以二次差方程求解的测站坐标与权阵作为卡尔曼滤波器的初始值，以星间一次差为函数解算模型，用自适应卡尔曼滤波的方法求解测站坐标和模糊度等参数，实现基于星间组合差分精密单点定位。

2.根据权利要求1所述的基于星间组合差分的精密单点定位方法，其特征在于该方法具体如下：

1)根据GPS接收机得到的观测文件，列出消电离层组合的GPS精密单点定位的观测方程：

①对于双频GPS接收机的观测值主要有C1、L1、L2、P2四类；其中L1、L2分别表示GPS卫星信号调制波L1、L2载波上的相位观测值，C1表示L1载波上的粗捕获码伪距观测值，P2分别表示L2载波上的精密测距码伪距观测值，GPS精密单点定位的观测方程为：

$L_i^s\left({\mathrm{\Φ}}_j\right)={\mathrm{\ρ}}^s\left(i\right)-\mathrm{cd}{T}^s\left(i\right)+{\mathrm{\λ}}_j{N}_j^s\left(i\right)+d_{\mathrm{ion}}^s\left(i\right)+d_{\mathrm{trop}}^s\left(i\right)+d_{\mathrm{Relativity}}^s\left(i\right)+d_e^s\left(i\right)+{\mathrm{\ϵ}}^s\left(i\right)$

上式中，

表示第i历元卫星s在Lj载波上的载波相位观测值，j＝1，2；

ρ^s(i)表示第i历元测站与卫星s间的几何距离，即为信号发射时刻卫星在惯性系中的坐标与信号接收时刻测站在惯性系中的坐标间的距离；

dT^s(i)表示第i历元卫星s的卫星钟差与接收机钟差之差；

c表示光速，为常数；λ_j表示Lj载波的波长；

表示第i历元，卫星s的在Lj载波上的载波相位观测值的整周模糊度；

表示第i历元卫星s的对流层延迟改正，可以按有关公式进行改正或者作为未知参数；

表示第i历元卫星s的电离层延迟改正，可用无电离层模型改正；

表示第i历元卫星s的相对论效应改正，可按有关公式进行改正；

表示第i历元卫星s的地球自转影响改正，可按有关公式进行改正；

ε^s(i)表示第i历元卫星s的多路径效应及观测噪声等未模型化的误差影响；

②利用双频组合方法消除电离层误差影响，组合后的消电离层观测方程：

$L_i^s\left({\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{IF}}\right)=\frac{f_1^2\·L_i^s\left({\mathrm{\Φ}}_1\right)-f_1\·f_2\·L_i^s\left({\mathrm{\Φ}}_2\right)}{f_1^2-f_2^2}$

$={\mathrm{\ρ}}^s\left(i\right)-{\mathrm{cdT}}^s\left(i\right)+{\mathrm{\λ}}_{\mathrm{IF}}{N}^s\left(i\right)+d_{\mathrm{trop}}^s\left(i\right)+d_{\mathrm{Relativity}}^s\left(i\right)+d_e^s\left(i\right)+{\mathrm{\ϵ}}^s\left(i\right)$

其中，f₁、f₂分别表示GPS卫星信号调制波L1、L2载波的频率，λ_IF和N^s(i)分别表示双频组合后的波长与整周模糊度，公式中消除了电离层误差改正项；

(2)组成星间一次差观测方程

选取历元中高度角最大的卫星作为参考卫星，通过卫星与参考卫星之间求差得到星间一次差分的观测方程，其形式如下：

$L_i^{\▿s}\left(P_{\mathrm{IF}}\right)=L_i^s\left(P_{\mathrm{IF}}\right)-L_i^r\left(P_{\mathrm{IF}}\right)$

$L_i^{\▿s}\left({\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{IF}}\right)=L_i^s\left({\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{IF}}\right)-L_i^r\left({\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{IF}}\right)$

表示第i历元卫星s相对于参考卫星的无电离层伪距星间差分观测值；

表示第i历元中高度角最大的卫星r的无电离层伪距星间差分观测值；

表示第i历元卫星s相对于参考卫星的无电离层载波相位星间差分观测值；

表示第i历元中高度角最大的卫星r的无电离层载波相位星间差分观测值；

(3)组成星间历元间二次差观测方程

在基于星间一次差分的基础上再进行历元间求差。其观测方程如下：

$L_{\mathrm{\Δi}}^{\▿s}\left({\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{IF}}\right)=L_i^{\▿s}\left({\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{IF}}\right)-L_{i-1}^{\▿s}\left({\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{IF}}\right)$

其中，

表示第i历元卫星s的无电离层载波相位历元间差分观测值；

利用星间历元间二次差观测方程，不必考虑接收机钟差和模糊度的影响，运算量小，线性化后即可快速求解各个未知参数，包括测站坐标和观测量之间的权阵，由于二次差存在较强的相关性，不能作为最终解算结果，但可以作为一次差观测方程中的初始值，这样即可达到提高精度与快速收敛的目的；

(4)以二次解算得到的测站坐标与权阵作为卡尔曼滤波器的初始值，以星间一次差为模型求解测站坐标和模糊度等参数；

基于星间一次差分的PPP模型的具体形式如下：

$L_i^{\▿s}\left(P_{\mathrm{IF}}\right)=L_i^s\left(P_{\mathrm{IF}}\right)-L_i^r\left(P_{\mathrm{IF}}\right)$

$=({\mathrm{\ρ}}^s\left(i\right)-{\mathrm{\ρ}}^r\left(i\right))+(d_{\mathrm{trop}}^s\left(i\right)-d_{\mathrm{trop}}^r\left(i\right))+(d_{\mathrm{Relativity}}^s\left(i\right)-d_{\mathrm{Relativity}}^r\left(i\right))$

将

层组合模糊度及对流层天顶延迟参数视为未知数，分别将上述两个方程在测站近似位置x_r0处线性化，保留一阶项，即可得到常规误差方程矩阵形式：V＝Ax-l；其中，V为观测值残差向量；A为设计矩阵；x为未知数向量；l为常数向量；

此时一次差的坐标待估参数初始值及其观测值权矩阵P的初始值均由二次差模型求得，最后，按最小二乘平差方法结合自适应卡尔曼滤波方法即可求解测站坐标未知参数数，实现基于星间组合差分的GPS精密单点定位。

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