CN101996266B - 一种建立集成电路芯片内工艺偏差的空间相关性模型的方法 - Google Patents

Abstract

本发明属集成电路领域，涉及一种建立集成电路芯片内工艺偏差的空间相关性模型的方法。采用多测试芯片最大似然估计方法，提取空间相关函数的未知参数，建立片内偏差的空间相关性模型。该方法将所有测试芯片的似然函数相乘得到一个联合似然函数，通过对联合似然函数最大化求解获得参数值确定的空间相关函数，可直接用于工艺偏差的电路分析设计。在空间相关函数提取过程中，能处理片内偏差纯随机部分和测量误差的影响，显著提高提取结果的精度。并利用LU分解计算联合似然函数中对称正定矩阵的行列式对数，解决了直接计算时会出现的数值不稳定的问题。

Description

一种建立集成电路芯片内工艺偏差的空间相关性模型的方法

技术领域

本发明属于集成电路领域，具体涉及一种建立集成电路芯片内工艺偏差的空间相关性模型的方法。

背景技术

随着集成电路制造工艺水平的飞速发展，集成电路芯片的特征尺寸不断减小。时至今日，集成电路MOS管的特征尺寸已经达到纳米量级，半导体制造工业进入到纳米工艺时代。在复杂的纳米制造工艺下，集成电路器件和互连线的几何与电学参数特性值(例如MOS管有效沟道长度、互连线宽度和高度、阈值电压等)在实际芯片上不再是一个简单、确定的设计标称值，而是围绕着标称值呈现某种形式的概率密度分布。这种在芯片制造过程的工艺偏差，导致了不可控的器件和互连线的几何尺寸偏差与电学参数偏差。随着制造工艺的技术节点向45nm/32nm转移，工艺偏差相对于标称值所占的比重越来越大，使得实际电路性能偏离原始设计值过远，发生时序失效或者功耗过高，导致芯片成品率降低。因此，集成电路设计者需要在设计阶段就对工艺偏差加以考虑，以解决日益严重的芯片成品率问题[1]。

工艺偏差按空间范围分类可分为两类：芯片内的工艺偏差(简称为片内偏差)和芯片之间的工艺偏差(简称为片间偏差)。在纳米工艺下，片内偏差超过片间偏差成为主导整体工艺偏差的关键性因素。片内偏差表现出某种空间相关性，通常是指：器件之间的空间距离越接近，它们的工艺偏差值就越趋于相同。空间相关性信息在考虑工艺偏差的电路分析设计中具有重要作用。研究表明，忽略工艺偏差的空间相关性，在时序分析中可造成高达30％的误差[1]。空间相关性通常可以表示为器件特性参数值的相关程度相对于器件之间空间距离的一个函数，称为空间相关函数。

要解决工艺偏差问题，重要的是需要建立工艺偏差模型。片内偏差的空间相关性建模工作通常包含两个步骤：(1)空间相关函数的选取：对片内偏差进行分解以分析其中真正体现空间相关性的偏差成分，并选取一个合适的函数作为空间相关函数的表征。该函数参数值未定，但对于所有的参数值它都应该满足正定性，即由该相关函数得到的任意一个相关矩阵都应是半正定的。(2)空间相关函数参数的确定：采用某种参数估计方法来提取空间相关函数的参数值，从而唯一确定空间相关函数的具体形式。而且在提取过程中要考虑到实际测量数据中所包含的其他偏差成分以及测量误差的影响。近年来，如何从测试芯片的测量数据出发提取空间相关函数的参数值，从而建立片内偏差的空间相关性模型，成为工业界迫切需要解决的难题。

对于上述空间相关性建模的第一个步骤：空间相关函数的选取，现有研究一般都是根据文献[2]将片内偏差分解为如下三个部分：(a)确定性部分。它由版图形状决定，可通过分析版图特征而对其进行建模。(b)空间相关部分。它不能用明确的解析表达式表示，具有随机性；但是它又具有空间相关性，即偏差值之间的相关程度能够用空间相关函数表示。(c)纯随机部分。它完全随机，通常被建模为独立且同一分布的高斯随机变量。从以上对片内偏差的分解可以看出，真正体现空间相关性的是空间相关部分偏差，它可以用空间相关函数来表征。由于空间相关函数需要满足正定性，因此并不是任意一个函数都能够作为空间相关函数，实际的做法是使用已被证明满足正定性的标准函数族，如：指数函数、高斯函数和Matérn函数等。

对于上述空间相关性建模的第二个步骤：空间相关函数参数的确定，现有工作大体上可以分为两类：基于最小二乘估计的方法和基于最大似然估计的方法。前者以文献[3]为代表，后者以文献[4]为代表。文献[3]用Matérn函数作为空间相关函数的表征，将测量误差建模为高斯白噪声，使用基于最小二乘估计的数据拟合方法来提取空间相关函数。该方法在提取片内偏差空间相关性信息的同时，试图同时提取片间偏差的方差。这种过于“贪婪”的方法往往会导致以片间偏差估计值的严重偏差，来换取片内空间相关函数的提取精度。而文献[4]用指数函数和Matérn函数作为空间相关函数的表征，使用最大似然法对每块测试芯片的似然函数分别进行最大化求解，得到每块芯片的空间相关函数参数值。但该方法具有以下两个缺点：(1)它是针对单块测试芯片进行的，提取结果是多个分立的空间相关函数。而在考虑工艺偏差的电路分析设计中需要的是一个相关函数，面对这些参数值完全不同的相关函数，设计者不知道究竟该选择哪个来使用。(2)它在提取过程中没有考虑片内偏差的纯随机部分和测量误差的干扰，提取结果精度会受到严重影响。与本发明相关的参考文献有：

[1]Chang H，Sapatnekar S S.Statistical timing analysis under spatial correlations[J]，inIEEE Transactions on Computer-Aided Design of Integrated Circuits and Systems，2005，24(9)，pp.1467-1482

[2]Pitchumani V.Embedded tutorial I：Design for manufacturability[C]，in DesignAutomation Conference of Asia and South Pacific，2005，p.T-1

[3]Xiong J，Zolotov V，He L.Robust extraction of spatial correlation[J]，in IEEETransactions on Computer-Aided Design of Integrated Circuits and Systems，2007，26(4)，pp.619-631

[4]Hargreaves B，Hult H，Reda S.Within-die process variations：How accurately can theybe statistically modeled？[C]，in Design Automation Conference of Asia and SouthPacific，2008，pp.524-530

[5]Cressie N A.Statistics for Spatial Data[M]，John Wiley & Sons，1991

[6]Diggle P J，Ribeiro Jr P J.Model-based Geostatistics[M]，Springer，2007

[7]Schabenberger O，Gotway C A.Statistical Methods for Spatial Data Analysis[M]，Chapman & Hall/CRC，2005

[8]Anderson T W.An Introduction to Multivariate Statistical Analysis，Third Edition[M]，John Will & Sons，2003

发明内容

本发明的目的是针对单测试芯片最大似然估计方法在应用中存在的问题，提出一种建立片内偏差的空间相关性模型的方法，其从测试芯片的测量数据出发，提取该工艺条件下的空间相关函数的参数，从而建立空间相关性模型，用于指导考虑工艺偏差的电路分析设计。

具体而言，本发明提供了一种多测试芯片最大似然估计方法，用于提取空间相关函数的未知参数，从而建立片内偏差的空间相关性模型。该方法将所有测试芯片的似然函数相乘得到一个联合似然函数，通过对此联合似然函数进行最大化求解获得参数值确定的一个空间相关函数，它能够被直接用于指导考虑工艺偏差的电路分析设计。在空间相关函数提取过程中，为了处理片内偏差纯随机部分和测量误差的影响，该方法同时考虑了空间相关函数和白噪声的相关函数，极大程度地提高了提取结果的精度。另外，该方法利用LU分解来计算联合似然函数中对称正定矩阵的行列式对数，解决了直接计算时会出现的数值不稳定的问题。

本发明中，测量数据来源于对M块测试芯片进行的采样，其中每块芯片上都包含N个测量点s₁，K，s_N，而且这些测量点的位置在每块芯片上都相同，如图1所示。将同一块芯片上所有的工艺偏差测量值表示为一个N维列向量z＝(z(s₁)，K，z(s_N))^T。这个向量在不同的芯片上有不同的数值实现，第m块芯片的测量值可以记作z_m＝(z_m(s₁)，K，z_m(s_N))^T(m＝1，...，M)。所有芯片上的测量数据可以用向量的形式简记为(z₁，K，z_M)。

如前所述，在测量数据中，片内偏差的确定性部分、空间相关部分和纯随机部分等三个偏差成分混合在一起。为了避免确定性偏差部分对空间相关函数提取造成干扰，可以借助“中值移除”技术将其从测量数据中去除[5]。在本发明中，不失一般性地假定确定性偏差部分已经被很好地建模并从测量数据中移除，所述的片内偏差只包含空间相关部分和纯随机部分，而且所有偏差均服从高斯分布。另外，不失一般性，选择Matérn函数作为空间相关函数的表征，本发明适用于提取任意形式的空间相关函数。Matérn函数的形式如下所示[6，7]

其中，K_ν是ν阶第二类修正的贝塞尔函数，Γ是伽马函数。Matérn函数具有两个参数：比例参数α描述相关性R(α，ν；h)随距离h增大的衰减快慢程度，平滑参数ν描述偏差值随位置变化的平滑程度。

应用本发明建立片内偏差的空间相关性模型包含了三个步骤，如图2所示，下面分别加以详述。

步骤1：将所有芯片的似然函数相乘得到联合似然函数

最大似然估计需要利用似然函数，满足高斯分布的数据向量z的似然函数如下所示

其中，σ²是片内偏差空间相关部分的方差，α和ν是公式(1)中Matérn函数的两个参数。所有测量点的相关矩阵R是一个N×N的对称方阵，它的第i行第j列元素表示测量点s_i和s_j处的测量值之间的相关性，可以由公式(1)求出，即R_ij＝R(α，ν；h＝||s_i-s_j||)。而C＝σ²R是所有测量点的协方差矩阵。在数据向量z已知的情况下，L(σ²，α，ν|z)通常简写作L(σ²，α，ν)。

步骤1.1：用去平均的操作将片间偏差从整体偏差中移除

考虑到在测量过程中是对一批测试芯片各自进行测量，而不是对同一块芯片进行重复测量，所以测量数据将不可避免地存在由片间偏差造成的样本差别。最终得到的联合似然函数，需要尽可能地减少这种样本差别的影响，也就是将片间偏差从整体偏差中移除。本发明采用一个去平均操作：从每个测量点上的测量值中减掉该测量点在所有芯片上测量值的平均值。对第m块芯片上位置s_i处的测量值来说，这一过程可以表示为

经过去平均操作后第m块芯片上的数据变为

步骤1.2：将M块测试芯片的似然函数相乘得到联合似然函数

去除片间偏差的影响后，根据[8]，M块样本芯片的联合似然函数可以表示成如下形式

步骤2：考虑金块效应后对联合似然函数进行修正

由于观测能力的限制，通常对真实偏差数据的观测不可能做到完全精确。一方面，真实偏差数据中包含了微距偏差，体现这种微距偏差的空间距离要小于min{||s_i-s_j||}，故不能由测量数据估计出微距偏差的模型结构。另一方面，在测量过程中存在着不可避免的测量误差。这两个因素的相关函数都是白噪声形式，与空间相关函数叠加后会导致偏差，使得测量数据的相关函数在零点不连续。这种现象称为“金块效应”[6，7]。在由测量数据提取空间相关函数参数时，需要同时考虑金块效应造成的白噪声的影响。考虑了空间相关函数和白噪声的相关函数后，片内偏差测量数据的相关函数和协方差函数分别表示为

和

其中σ²和R(α，ν；h)是不考虑金块效应时片内偏差空间相关部分的方差和相关函数，R(α，ν；h)如公式(1)所示，τ²是由金块效应产生的方差。原始空间相关函数和片内偏差测量数据的相关函数分别如图3(a)、(b)所示。

用I表示单位阵，根据公式(4)和(5)，考虑金块效应后片内偏差测量数据的相关矩阵

和协方差矩阵 分别表示为

和

根据[6]，本发明定义一个新的参数κ＝τ²/σ²，表示噪声污染程度的大小。进一步定义

V＝R+κI (8)

如此以来，可以将修正的协方差矩阵写作

在考虑金块效应后，κ成为联合似然函数新形式的一个新参数。在原联合似然函数(3)中，σ²不需要变动，只需要用V来替换R。修正的联合似然函数可以表示如下

步骤3：通过最大化求解对数联合似然函数得到未知参数的估计值

步骤3.1：对σ²进行优化得到集中的对数联合似然函数

为了方便计算，通常情况下最大似然估计是对似然函数的对数形式进行的，这称作对数似然函数。对公式(9)求对数并忽略常数项可以得到相应的对数联合似然函数，如下所示：

将公式(10)对σ²求偏导，令该偏导数为零并进行求解，可以得到σ²的估计值

将公式(11)回带入公式(10)并忽略常数项，可以得到集中的对数联合似然函数

在不引起混淆的情况下，本发明仍将集中的对数联合似然函数称为对数联合似然函数。

步骤3.2：化简对数联合似然函数

公式(12)中右边的两项可以作进一步的化简。

首先，利用矩阵的迹的性质“如果矩阵A和B的乘积AB和BA都存在，那么它们的迹满足tr(AB)＝tr(BA)”，对公式(11)作进一步推导如下

其中

其次，由于计算机的数值计算不稳定性会使得对接近于零的正数无法求对数，如果直接计算公式(12)中的log detV就会出现“对零求对数”的问题。本发明提出了利用LU分解来计算log detV的技术。将矩阵V分解为两个矩阵L和U，V＝LU，其中U是一个上三角矩阵，L是一个下三角矩阵的交换矩阵，且原下三角矩阵的所有对角元位置上的元素值都为1。根据行列式的性质，有det V＝detL·detU。由于矩阵V是由R和κI求和得到的，R和I都是正定的，κ＞0，而正定矩阵满足性质“如果矩阵A和B是同阶正定矩阵，那么A+B也是正定的”，所以V是正定矩阵，detV＞0。又因为L是对角元为1的下三角矩阵的交换矩阵，所以|detL|＝1。综合上述结论，log detV可以按照下式进行计算

其中u_mm是矩阵U的对角元位置上的元素。这样以来，对U的对角元的绝对值求对数就不会再出现数值不稳定的问题。

将公式(13)和(14)代入公式(12)并忽略常数项，对数联合似然函数最终可以化简为

步骤3.3：对对数联合似然函数进行最大化求解得到空间相关函数的参数值

对未知参数κ，α，ν的求解是通过对数联合似然函数的最大化进行的，这是一个优化求解的过程。公式(15)是优化问题的目标函数，κ，α，ν首先被赋予初值，然后在每个迭代步骤中，先用公式(8)求出V，并进而由公式(15)求得对数联合似然函数值。这一步骤持续进行，直到对数联合似然函数达到最大值。在本发明的实施范例中，使用MATLAB优化工具包中的fmincon函数来进行优化求解。最终优化解κ，α，ν构成了问题的解。将优化解α，ν代入公式(1)即可获得空间相关函数R(α，ν；h)的提取结果

将当前的V回带入公式(13)可以得到

本发明具有以下优点：

(1)本发明提出了一种多块测试芯片最大似然估计方法，用于建立片内偏差的空间相关性模型。与单块测试芯片最大似然估计方法相比，本发明提出的方法能够得到参数值唯一确定的空间相关函数，可以直接用于指导考虑工艺偏差的电路分析设计，因此更具有实用性。

(2)本发明在空间相关函数提取过程中，同时考虑了空间相关函数和白噪声的相关函数，可以处理片内偏差纯随机部分和测量误差造成的影响，在极大程度上提高了提取结果精度。

(3)本发明利用LU分解来计算联合似然函数中对称正定矩阵的行列式对数，解决了直接计算时会出现的数值不稳定的问题。

(4)数值实验结果表明，利用本发明得到的空间相关函数提取结果在精度和速度上都优于基于最小二乘估计方法[3]得到的提取结果，因此更具有有效性。

附图说明：

图1为对M块芯片，其中，每块芯片上都包含N个位置相同的测量点进行采样的过程示意。

图2为本发明的操作步骤示意图。

图3为原始空间相关函数及包含白噪声的片内偏差测量数据的相关函数，它们都以参数取值不同的Matérn函数为例；其中，(a)空间相关函数；(b)片内偏差测量数据的相关函数，即“修正”的空间相关函数。

图4为模拟生成的代表片内偏差空间相关部分的随机场，以及在其上添加不同程度的噪声污染后构成的伪测量数据，其中，(a)随机场；(b)噪声污染比例为10％的伪测量数据；(c)噪声污染比例为50％的伪测量数据；(b)噪声污染比例为100％的伪测量数据。

图5为产生伪测量数据的空间相关函数与三种方法提取得到的空间相关函数的比较，实验条件为均匀格点采样，M＝1000，N＝11×11，κ＝0.5；

其中，粗实线为产生伪测量数据的空间相关函数，虚线为用RESCF方法[3]提取得到的空间相关函数，带三角形的点线为用MLEMTCsim方法提取得到的空间相关函数，点划线为用本发明提出的MLEMTC方法提取得到的空间相关函数。

具体实施方式：

下面通过具体实施范例进一步说明本发明：

本发明利用计算机模拟产生伪测量数据。代表工艺偏差的伪测量数据主要包含了四个成分：片内偏差的空间相关部分、片内偏差的纯随机部分、片间偏差和测量误差。

片内偏差的空间相关部分是测量数据中最重要的成分，它的相关函数就是体现了片内偏差空间相关性的空间相关函数。该部分偏差可以用高斯随机场来模拟生成[3，4]。在本发明的实施范例中使用基于Cholesky分解的方法来产生随机场[5]。具体步骤如下：首先按照一定的采样策略产生代表测量位置的N个测量点的坐标。这N个测量点或者是均匀地分布在芯片上，或者是完全任意地分布在芯片上。前者称作“均匀格点采样策略”，后者称作“蒙特卡洛采样策略”。如此可以得到测量点集合s₁，Ks_N。然后，根据给定参数值的Matérn函数，用公式(1)计算并构建测量点的相关矩阵R。接着，对R作Cholesky分解，R＝LL^T，其中L是下三角矩阵，L^T是L的转置。接下去，产生一个N维列向量x，它服从独立的联合标准正态分布，即x～N(0，I)。最后，由x产生一个N维列向量z，z＝σLx，其中σ是空间相关部分偏差的标准差。z就是相关矩阵为R的高斯随机场的一个实现，即z～N(0，σ²R)，其表面示意图如图4(a)所示。

片内偏差的纯随机部分和测量误差被建模为高斯白噪声并添加到伪测量数据中。它们的方差τ²根据对片内偏差空间相关部分的方差σ²的不同比例κ进行选取。片间偏差也被建模为高斯白噪声，只不过同一块芯片上所有测量点上都被加上了一个相同的偏差值，对于不同的芯片该值则不同，它们服从高斯分布。片间偏差的方差被设定为片内偏差的方差的10％-30％。图4(b)-(d)分别表示了取不同的κ值时生成的一块芯片上的伪测量数据的表面图。

本发明中，将考虑金块效应的方法称为MLEMTC，不考虑金块效应的方法称为MLEMTCsim。即：MLEMTC使用公式(9)作为联合似然函数并将κ包含进提取过程，而MLEMTCsim使用公式(3)作为联合似然函数并在提取过程中忽视κ。另外，本发明中，还实现了文献[3]提出的基于最小二乘估计的提取方法RESCF，它在提取过程中考虑了金块效应但并不显式地使用κ。

本发明中，用空间相关函数的相对误差err(R(h))表示提取得到的空间相关函数

与产生伪测量数据时使用的空间相关函数R(h)之间的偏离程度，用片内偏差空间相关部分的方差的相对误差err(σ²)表示估计值 与产生伪测量数据时使用的σ²之间的偏离程度。它们的形式分别如下所示

表1、表2分别是在两种不同的测量点采样策略下，RESCF、MLEMTCsim以及MLEMTC的提取结果统计列表。其中M是测试芯片的数目，N是每块芯片上测量点的数目，“n₁×n₂”表示在芯片二维平面的水平和垂直方向上分别有n₁和n₂个测量点，κ是τ²与σ²的比例值，err(R(h))和err(σ²)是相同条件下30次运行结果的平均值，t是平均运行时间，以秒为单位。

表1均匀格点采样下RESCF、MLEMTCsim及MLEMTC的提取结果比较

表2蒙特卡洛采样下RESCF、MLEMTCsim及MLEMTC的提取结果比较

首先，将MLEMTC与MLEMTCsim的提取结果进行对比。在均匀格点采样策略下，MLEMTC相比MLEMTCsim，在空间相关函数的提取结果精度上有平均43倍的提高，在片内偏差空间相关部分的方差的提取结果精度上有平均31倍的提高，而平均运行时间约是MLEMTCsim的2.7倍，在可以接受的范围内。在蒙特卡洛采样策略下，MLEMTC相比MLEMTCsim，在空间相关函数的提取结果精度上有平均108倍的提高，在片内偏差空间相关部分的方差的提取结果精度上有平均56倍的提高，而平均运行时间仅是MLEMTCsim的2.7倍。从表中可以看出，MLEMTCsim的提取效果非常差，其结果几乎不可接受；而在噪声污染由10％增大到100％的过程中，MLEMTC的提取结果误差都在2.5％以下，这显示出MLEMTC方法具有很强的抗噪性。相比MLEMTCsim方法，MLEMTC方法能以较小的时间代价获得极高的精度提升，同时具有强的抗噪性，实验结果充分显示了MLEMTC方法的有效性。

其次，将MLEMTC与RESCF的提取结果进行对比。在均匀格点采样策略下，MLEMTC相比RESCF，在空间相关函数的提取结果精度上有平均2.8倍的提高，在片内偏差空间相关部分的方差的提取结果精度上有平均2.3倍的提高，而平均运行时间仅是RESCF的0.5倍。在蒙特卡洛采样策略下，MLEMTC相比RESCF，在空间相关函数的提取结果精度上有平均2.5倍的提高，在片内偏差空间相关部分的方差的提取结果精度上有平均2.3倍的提高，而平均运行时间仅是RESCF的0.4倍。从表中可以看出，在所有的测试用例下MLEMTC与RESCF相比，都能以约一半的运行时间获得更好的提取结果，因此MLEMTC方法无论在时间效率上，还是结果精度上都完全优于RESCF方法，从而更具准确性与实用性。图5是在一次实验中，由RESCF、MLEMTCsim和MLEMTC三种方法提取得到的空间相关函数与产生伪测量数据的空间相关函数的比较。可以看出由MLEMTC方法提取得到的空间相关函数曲线与产生伪测量数据的空间相关函数曲线最为接近，这进一步证实了MLEMTC方法的有效性。

Claims (1)

1.一种建立集成电路芯片内工艺偏差的空间相关性模型的方法，其特征在于，包括下述步骤：

步骤1：将所测试芯片的似然函数相乘得到联合似然函数

利用去平均操作将芯片间偏差从整体偏差中移除，并将每块测试芯片基于Matérn函数表征的空间相关函数的似然函数相乘得到联合似然函数；M为测试芯片总片数，M块样本芯片的联合似然函数表示如下：

其中，σ²是芯片内偏差空间相关部分的方差，α和ν是Matérn函数的两个参数；每块芯片上都包含N个测量点s₁,…,s_N，所有测量点的相关矩阵R是一个N×N的对称方阵，R的第i行第j列元素表示测量点s_i和测量点s_j的测量值之间的相关性，即R_ij＝R(α,ν;h＝||s_i-s_j||)；

所述的步骤1中，利用去平均操作将片间偏差从整体偏差中移除，具体方法为：从每个测量点上的测量值中减掉该测量点在所有芯片上测量值的平均值；即对第m块芯片上位置s_i处的测量值z_m(s_i)进行如下操作：

其中，M为测试芯片的总片数；经过去平均操作后第m块芯片上的数据变为向量

步骤2：考虑金块效应后对联合似然函数进行修正

利用一个表征噪声污染程度大小的系数作为联合似然函数的新参数，对联合似然函数进行修正：定义新参数κ＝τ²/σ²，表示噪声污染程度的大小，τ²是由金块效应产生的方差；进一步定义：

V＝R+κI （8）

其中，I为单位矩阵；修正的协方差矩阵写作

公式（3）中用V替换R，修正后的联合似然函数表示为：

步骤3：通过最大化求解对数联合似然函数得到未知参数的估计值

步骤3.1：对σ²进行优化得到集中的对数联合似然函数；具体为：

对公式（9）求对数并忽略常数项得到相应的对数联合似然函数为：

将公式（10）对σ²求偏导，令该偏导数为零并进行求解，得到σ²的估计值：

将公式（11）带入公式（10）并忽略常数项，得到集中的对数联合似然函数为：

步骤3.2：化简对数联合似然函数；具体为：

利用矩阵的迹的性质，公式（11）可变为：

其中

利用LU分解计算公式（12）中的logdetV；即：

其中矩阵V分解为矩阵L和矩阵U，满足V=LU，U是一个上三角矩阵，L是一个下三角矩阵的交换矩阵，原下三角矩阵的所有对角元位置上的元素值都为1，u_mm是矩阵U的对角元位置上的元素；将公式（13）和公式（14）代入公式（12）并忽略常数项，集中的对数联合似然函数最终可化简为：

步骤3.3：对对数联合似然函数进行最大化求解得到空间相关函数的参数值

通过对数联合似然函数的最大化对未知参数κ,α,ν进行求解，公式（15）是优化问题的目标函数，κ,α,ν首先被赋予初值，然后在每个迭代步骤中，用公式（8）求出V，然后由公式（15）求得对数联合似然函数值；这一步骤持续进行，直到对数联合似然函数达到最大值；最终优化解κ,α,ν构成问题的解。

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