CN101950419B - 同时存在平移和旋转情况下的快速图像配准方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种同时存在平移和旋转情况下的快速图像配准方法，将另一幅寻找与参考图像关系的图像称为待配准图像；采用圆形模板匹配方法来确定平移量，确定圆形模板的半径后，以参考图像的中心处构造作圆形参考模板，在待配准图像的一定搜索范围内搜索与参考模板为最佳匹配的图块，其两者间的圆心坐标的差值即为待配准图像相对于参考图像的平移量；另一方面将圆形参考模板和该匹配块分别进行对数极坐标变换，将相应的参考模板以及待配准图像的匹配子块进行灰度投影，确定待配准图像相对于参考图像的旋转角度，将图像按照该角度进行旋转，即完成对图像的快速配准。本发明方法实现了同时存在平移和旋转情况下的快速图像配准。

Description

同时存在平移和旋转情况下的快速图像配准方法

技术领域

本发明属于数字图像处理技术领域，涉及一种同时存在平移和旋转情况下的快速图像配准方法。

背景技术

两幅图像的配准，在图像拼接、图像超分辨率重建、印鉴真伪鉴别等处理过程中，是关键的一个环节，当一幅图像需要进行平移及旋转操作后，才能够配准。在两幅具有局部内容相同的图像间进行配准时，如果平移量不为0，则会影响旋转参数的确定，同样地，旋转参数不为0，也无法准确地确定平移量。如果先平移，则旋转角度的存在会影响平移参数的确定，如果先旋转，则平移的存在会影响到旋转参数的确定，最终导致配准的失败。

发明内容

本发明的目的是提供一种同时存在平移和旋转情况下的快速图像配准方法，将块匹配法和对数极坐标灰度投影法相结合，快速确定两幅图像具有相同内容部分的平移旋转参数，来实现快速图像的配准。

本发明所采用的技术方案是，一种同时存在平移和旋转情况下的快速图像配准方法，将两幅图像中的一幅图像称为参考图像[f_r(i，j)]_m×n，将另一幅寻找与参考图像关系的图像称为待配准图像[f_c(i，j)]_m×n；采用圆形模板匹配方法来确定平移量，确定圆形模板的半径后，以参考图像的中心处构造作圆形参考模板，在待配准图像的一定搜索范围内搜索与参考模板为最佳匹配的图块，其两者间的圆心坐标的差值即为待配准图像相对于参考图像的平移量；另一方面将圆形参考模板和该匹配块分别进行对数极坐标变换，将相应的参考模板以及待配准图像的匹配子块进行灰度投影，确定待配准图像相对于参考图像的旋转角度，将图像按照该角度进行旋转，即完成对图像的快速配准，具体按照以下步骤实施：

步骤1、在参考图像中确定圆形参考模板：

对于旋转角度小于±57.8°的待配准图像，根据模板半径大小与旋转角度的对应关系，确定圆形参考模板的半径大小，在参考图像上，按照选定的半径确定参考模板；对于旋转角度大于±57.8°的待配准图像，先旋转一次或多次±90°后，使得待配准图像与标准图像的角度偏移量在±57.8°的范围内，再根据模板半径大小与旋转角度的对应关系，确定圆形参考模板的半径大小，在参考图像上，按照选定的半径确定参考模板；

步骤2、确定平移量，将待配准图像进行平移：

首先，在上步确定参考模板大小和模板匹配搜索范围的基础上，确定等间隔的步长step；以step为步长，在待配准图像上遍历搜索范围内的所有与参考模板相同大小的圆形子块，找到最佳匹配块，获得粗匹配平移量(Δx₁，Δy₁)；

其次，在粗匹配位置的范围内进行精确匹配，搜索范围与step的关系为range＝[-step，step]，获得精确匹配的平移量(Δx₂，Δy₂)；

最后，根据粗匹配平移量(Δx₁，Δy₁)和精确匹配的平移量(Δx₂，Δy₂)，确定最终的平移量为(Δx，Δy)＝(Δx₁+Δx₂，Δy₁+Δy₂)，将待配准图像平移(Δx，Δy)，得到平移后的结果图像[f_cd(i，j)]_m×n，表达式为：

f_cd(i，j)＝f_c(i+Δx，j+Δy)，i＝1，2，...，m，j＝1，2，...，n    (1)

其中，f_cd(i，j)为[f_cd(i，j)]_m×n的像素值，f_c(i，j)为[f_c(i，j)]_m×n的像素值；

步骤3、对上步平移后的结果图像[f_cd(i，j)]_m×n以及参考图像[f_r(i，j)]_m×n分别进行对数极坐标转换：

设平移后的结果图像[f_cd(i，j)]_m×n中的任一像素的位置既能用笛卡尔坐标f_cd(x，y)来表示，又能用极坐标f_cd(ρ，θ)来表示，这样，平移后的结果图像[f_cd(i，j)]_m×n在笛卡尔坐标系的像素值f_cd(x，y)到极坐标系的像素值f_cd(ρ，θ)之间的对数极坐标变换定义为：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\ρ}=\log \sqrt{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2}\\ \mathrm{\θ}=\arctan \left(\frac{y-y_0}{x-x_0}\right)\end{array}\right.---\left(2\right)$

式中，(ρ，θ)分别为对数极坐标系的极径和极角，(x₀，y₀)为选定的坐标原点，

如果取由步骤2得到的平移后的结果图像[f_cd(i，j)]_m×n的最佳平移匹配圆块的中心点为笛卡尔坐标原点为(0，0)，则对数极坐标的转换公式变为：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\ρ}=\log \sqrt{x^2+y^2}\\ \mathrm{\θ}=\arctan \left(\frac{y}{x}\right)\end{array}\right.---\left(3\right)$

同理，根据式(3)，对参考图像[f_r(i，j)]_m×n，取其模板的圆心作为笛卡尔坐标系的原点进行极坐标转换，得到f_r(ρ，θ)；

步骤4、对于平移后的结果图像的对数极坐标转换结果f_cd(ρ，θ)及参考图像的对数极坐标转换结果f_r(ρ，θ)，将相应的参考模板以及待配准图像的最佳平移匹配子块进行灰度投影，确定待配准图像相对于参考图像的旋转角度Δθ；

步骤5、根据上步获得的待配准图像的旋转角度Δθ，对经过步骤2平移后的图像[f_cd(i，j)]_m×n旋转Δθ，即完成对图像的配准。

本发明方法的有益效果是，能够快速地确定图像间出现的较大的平移量和旋转量参数，据此完成图像间的配准，广泛用于超分辨率重建、图像拼接、印鉴真伪鉴别等方面。

附图说明

图1是本发明中的参考图像示意图；

图2是本发明中的待配准图像示意图；

图3是图像中的像素点在笛卡尔坐标系下的角度关系示意图；

图4是图像中的像素点在极坐标系下的角度关系示意图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施方式对本发明进行详细说明。

本发明方法中，两幅图像进行配准的前提条件是，该两幅图像间存在着部分相同内容，而相同内容部分存在着一定的平移与旋转关系。为了便于说明，在以下描述中将两幅图像中的一幅图像称为参考图像[f_r(i，j)]_m×n，将另一幅寻找与参考图像关系的图像称为待配准图像[f_c(i，j)]_m×n。

为了抵抗旋转角度对平移量寻找时的影响，本发明提出了构造模板匹配的方法来完成，选择模板时，保证旋转对其的影响在亚像素范围内。

为了方便说明，假设参考图像的中心位置周围的内容与待配准图像的部分内容相同，取参考图像[f_r(i，j)]_m×n中心的r×r圆形局部子块(图1中的A块)作为参考模板，然后在待配准图像[f_c(i，j)]_m×n中的一定搜索范围内(图2中的虚线框内区域)，寻找与参考模板的差值最小的圆块，如图2中的差值最小的圆块B_n块，此时B_n块的中心坐标与A块中心坐标之间的差值，就是待配准图像相对于参考图像的平移量，如图2中所示的(Δx，Δy)。

本发明的方法，按照以下的具体步骤实施：

步骤1、确定参考模板的大小：

为了保证参考模板的大小在确定平移量时，旋转角度的影响在亚像素的范围内，对于旋转角度小于±57.8°的待配准图像，根据模板半径大小与旋转角度的对应关系，通过查询表1，确定圆形参考模板的半径大小，并在参考图像上，按照选定的半径确定参考模板；对于旋转角度大于±57.8°的待配准图像，则先旋转一次或多次±90°后，使得待配准图像与参考图像的角度偏移量在±57.8°的范围内，因为对于图像旋转±90°的操作，只是将图像的行、列互换，不存在旋转误差，所以旋转一次或多次±90°不影响图像的配准精度，再根据模板半径大小与旋转角度的对应关系，查询表1获得参考模板的半径大小。

表1模板半径大小与旋转角度的对应关系表

步骤2、确定平移量，将待配准图像进行平移：

按照全局、局部搜索的两步法进行实施，

首先，根据上步确定的参考模板大小，在模板匹配搜索范围内，确定等间隔的步长step，step的大小优选为搜索区域的1/4；以step为步长，在待配准图像上遍历搜索范围内的所有与参考模板相同大小的圆形子块，找到最佳匹配块，获得粗匹配平移量(Δx₁，Δy₁)；

其次，在粗匹配位置的范围内进行精确匹配，搜索范围与step的关系为range＝[-step，step]，获得精确匹配的平移量(Δx₂，Δy₂)；

最后，根据粗匹配平移量(Δx₁，Δy₁)和精确匹配的平移量(Δx₂，Δy₂)，确定最终的平移量为(Δx，Δy)＝(Δx₁+Δx₂，Δy₁+Δy₂)，将待配准图像平移(Δx，Δy)，得到平移后的结果图像[f_cd(i，j)]_m×n，表达式为：

f_cd(i，j)＝f_c(i+Δx，j+Δy)，i＝1，2，...，m，j＝1，2，...，n    (1)

其中，f_cd(i，j)为[f_cd(i，j)]_m×n的像素值，f_c(i，j)为[f_c(i，j)]_m×n的像素值。

步骤3、对上步平移后的结果图像[f_cd(i，j)]_m×n以及参考图像[f_r(i，j)]_m×n分别进行对数极坐标转换：

笛卡尔坐标与对数极坐标之间的变换关系如图3、图4所示。

设平移后的结果图像[f_cd(i，j)]_m×n中的任一像素的位置既能用笛卡尔坐标f_cd(x，y)来表示，又能用极坐标f_cd(ρ，θ)来表示，这样，平移后的结果图像[f_cd(i，j)]_m×n在笛卡尔坐标系的像素值f_cd(x，y)到极坐标系的像素值f_cd(ρ，θ)之间的对数极坐标变换定义为：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\ρ}=\log \sqrt{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2}\\ \mathrm{\θ}=\arctan \left(\frac{y-y_0}{x-x_0}\right)\end{array}\right.---\left(2\right)$

式中，(ρ，θ)分别为对数极坐标系的极径和极角，(x₀，y₀)为选定的坐标原点。

如果取由步骤2得到的平移后的结果图像[f_cd(i，j)]_m×n的最佳平移匹配圆块的中心点为笛卡尔坐标原点为(0，0)，则对数极坐标的转换公式变为：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\ρ}=\log \sqrt{x^2+y^2}\\ \mathrm{\θ}=\arctan \left(\frac{y}{x}\right)\end{array}\right.---\left(3\right)$

同理，根据式(3)，对参考图像[f_r(i，j)]_m×n，取其模板的圆心作为笛卡尔坐标系的原点进行极坐标转换，得到f_r(ρ，θ)；

步骤4、对于平移后的结果图像的对数极坐标转换结果f_cd(ρ，θ)及参考图像的对数极坐标转换结果f_r(ρ，θ)，将相应的参考模板以及待配准图像的最佳平移匹配子块进行灰度投影，确定待配准图像相对于参考图像的旋转角度Δθ：

灰度投影是将二维图像的灰度信息映射为两个独立的一维波形，具体包括图像映射和相关性计算步骤：

4.1)图像映射：这里定义图像映射是将图像F(ρ，θ)的灰度值分别进行行、列投影，图像F(ρ，θ)的含义是一个泛化的含义，可以是标准图像，也可以是待配准图像，

即： $\left\{\begin{array}{c}{F}_{\mathrm{\ρ}}\left(\mathrm{\θ}\right)=\underset{\mathrm{\ρ}}{\mathrm{\Σ}}F(\mathrm{\ρ},\mathrm{\θ})\\ F_{\mathrm{\θ}}\left(\mathrm{\ρ}\right)=\underset{\mathrm{\θ}}{\mathrm{\Σ}}F(\mathrm{\ρ},\mathrm{\θ})\end{array}\right.---\left(4\right)$

其中，F_ρ(θ)为图像的灰度行投影值，F_θ(ρ)为图像的灰度列投影值，分别令F(ρ，θ)＝f_r(ρ，θ)，F(ρ，θ)＝f_cd(ρ，θ)，代入式(4)，分别得到两者的投影曲线，即：平移后的结果图像[f_cd(i，j)]_m×n在对数极坐标系中的像素值f_cd(ρ，θ)的行、列投影为

$\left\{\begin{array}{c}{F}_{{\mathrm{\ρ}}_{\mathrm{cd}}}\left(\mathrm{\θ}\right)=\underset{\mathrm{\ρ}}{\mathrm{\Σ}}{f}_{\mathrm{cd}}(\mathrm{\ρ},\mathrm{\θ})\\ F_{{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{cd}}}\left(\mathrm{\ρ}\right)=\underset{\mathrm{\θ}}{\mathrm{\Σ}}{f}_{\mathrm{cd}}(\mathrm{\ρ},\mathrm{\θ})\end{array}\right.---\left(5\right)$

其中，

是f_cd(ρ，θ)的行投影，是f_cd(ρ，θ)的列投影；参考图像[f_r(i，j)]_m×n在对数极坐标系中的像素值f_r(ρ，θ)的行、列投影为

$\left\{\begin{array}{c}{F}_{{\mathrm{\ρ}}_r}\left(\mathrm{\θ}\right)=\underset{\mathrm{\ρ}}{\mathrm{\Σ}}{f}_r(\mathrm{\ρ},\mathrm{\θ})\\ F_{{\mathrm{\θ}}_r}\left(\mathrm{\ρ}\right)=\underset{\mathrm{\θ}}{\mathrm{\Σ}}{f}_r(\mathrm{\ρ},\mathrm{\θ})\end{array}\right.---\left(6\right)$

其中，是f_r(ρ，θ)的行投影，是f_r(ρ，θ)的列投影。

4.2)相关性计算：将上步得到的平移后的结果图像的列灰度投影曲线与参考图像的列灰度投影曲线按下式做互相关运算：

$C\left(w\right)=\underset{\mathrm{\ρ}=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{[F_{{\mathrm{\θ}}_r}(\mathrm{\ρ}+w)-F_{{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{cd}}}(m+\mathrm{\ρ})]}^2,1\≤w\≤2m+1---\left(7\right)$

其中，

分别是f_r(ρ+w，θ)和f_cd(m+ρ，θ)的列灰度投影值，N为列的个数，m为位移矢量相对于参考图像在一侧的搜索宽度，设w_min为C(w)最小值时的w值，得到平移后的结果图像相对于参考图像的旋转角度Δθ：

Δθ＝m+1-w_min                            (8)

步骤5、根据上步获得的平移后的结果图像的旋转角度Δθ，对经过步骤2平移后的结果图像[f_cd(i，j)]_m×n旋转Δθ，即完成对图像的配准。

综上所述，本发明的快速图像配准方法，一方面是采用圆形模板匹配技术确定平移量，查询预先设置的确定平移量时，可保证旋转角度的影响为亚像素级的参数表，确定圆形模板的半径后，以参考图像的中心处构造作参考圆形模板，在待配准图像的一定搜索范围内搜索与参考模板为最佳平移匹配的图块，其两者间的圆心坐标的差值即为待配准图像相对于参考图像的平移量；另一方面是将圆形参考模板和该最佳平移匹配块分别进行对数极坐标变换，并通过灰度投影法检测其位移角度分量的平移量后，再转换为笛卡尔坐标系下的旋转角度，将图像按照该角度进行旋转，即完成对图像的快速配准。

Claims (4)

1.一种同时存在平移和旋转情况下的快速图像配准方法，将两幅图像中的一幅图像称为参考图像[f_r(i，j)]_m×n，将另一幅寻找与参考图像关系的图像称为待配准图像[f_c(i，j)]_m×n；采用圆形模板匹配方法来确定平移量，确定圆形模板的半径后，以参考图像的中心处构造作圆形参考模板，在待配准图像的一定搜索范围内搜索与参考模板为最佳匹配的图块，其两者间的圆心坐标的差值即为待配准图像相对于参考图像的平移量；另一方面将圆形参考模板和该匹配块分别进行对数极坐标变换，将相应的参考模板以及待配准图像的匹配子块进行灰度投影，确定待配准图像相对于参考图像的旋转角度，将图像按照该角度进行旋转，即完成对图像的快速配准，其特征是，按照以下步骤具体实施：

步骤1、在参考图像中确定圆形参考模板：

对于旋转角度小于±57.8°的待配准图像，根据模板半径大小与旋转角度的对应关系，确定圆形参考模板的半径大小，在参考图像上，按照选定的半径确定参考模板；对于旋转角度大于±57.8°的待配准图像，先旋转一次或多次±90°后，使得待配准图像与标准图像的角度偏移量在±57.8°的范围内，再根据模板半径大小与旋转角度的对应关系，确定圆形参考模板的半径大小，在参考图像上，按照选定的半径确定参考模板；

步骤2、确定平移量，将待配准图像进行平移：

首先，在上步确定参考模板大小和模板匹配搜索范围的基础上，确定等间隔的步长step；以step为步长，在待配准图像上遍历搜索范围内的所有与参考模板相同大小的圆形子块，找到最佳匹配块，获得粗匹配平移量(Δx₁，Δy₁)；

其次，在粗匹配位置的范围内进行精确匹配，搜索范围与step的关系为range＝[-step，step]，获得精确匹配的平移量(Δx₂，Δy₂)；

最后，根据粗匹配平移量(Δx₁，Δy₁)和精确匹配的平移量(Δx₂，Δy₂)，确定最终的平移量为(Δx，Δy)＝(Δx₁+Δx₂，Δy₁+Δy₂)，将待配准图像平移(Δx，Δy)，得到平移后的结果图像[f_cd(i，j)]_m×n表达式为：

f_cd(i，j)＝f_c(i+Δx，j+Δy)，i＝1，2，...，m，j＝1，2，...，n    (1)

其中，f_cd(i，j)为[f_cd(i，j)]_m×n的像素值，f_c(i，j)为[f_c(i，j)]_m×n的像素值；

步骤3、对上步平移后的结果图像[f_cd(i，j)]_m×n以及参考图像[f_r(i，j)]_m×n分别进行对数极坐标转换：

设平移后的结果图像[f_cd(i，j)]_m×n中的任一像素的位置既能用笛卡尔坐标f_cd(x，y)来表示，又能用极坐标f_cd(ρ，θ)来表示，这样，平移后的结果图像[f_cd(i，j)]_m×n在笛卡尔坐标系的像素值f_cd(x，y)到极坐标系的像素值f_cd(ρ，θ)之间的对数极坐标变换定义为：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\ρ}=\log \sqrt{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2}\\ \mathrm{\θ}=\arctan \left(\frac{y-y_0}{x-x_0}\right)\end{array}\right.---\left(2\right)$

式中，(ρ，θ)分别为对数极坐标系的极径和极角，(x₀，y₀)为选定的坐标原点，

如果取由步骤2得到的平移后的结果图像[f_cd(i，j)]_m×n的最佳平移匹配圆块的中心点为笛卡尔坐标原点为(0，0)，则对数极坐标的转换公式变为：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\ρ}=\log \sqrt{x^2+y^2}\\ \mathrm{\θ}=\arctan \left(\frac{y}{x}\right)\end{array}\right.---\left(3\right)$

同理，根据式(3)，对参考图像[f_r(i，j)]_m×n，取其模板的圆心作为笛卡尔坐标系的原点进行极坐标转换，得到f_r(ρ，θ)；

步骤4、对于平移后的结果图像的对数极坐标转换结果f_cd(ρ，θ)及参考图像的对数极坐标转换结果f_r(ρ，θ)，将相应的参考模板以及待配准图像的最佳平移匹配子块进行灰度投影，确定待配准图像相对于参考图像的旋转角度Δθ；

步骤5、根据上步获得的待配准图像的旋转角度Δθ，对经过步骤2平移后的图像[f_cd(i，j)]_m×n旋转Δθ，即完成对图像的配准。

2.根据权利要求1所述的同时存在平移和旋转情况下的快速图像配准方法，其特征在于，所述的步骤1中的模板半径大小与旋转角度的对应关系是：

3.根据权利要求1所述的同时存在平移和旋转情况下的快速图像配准方法，其特征在于，所述的步骤2中，step的大小优选为搜索区域的1/4。

4.根据权利要求1所述的同时存在平移和旋转情况下的快速图像配准方法，其特征在于，所述的步骤4中具体包括以下两个步骤：

4.1)图像映射：定义图像映射是将图像F(ρ，θ)的灰度值分别进行行、列投影，F(ρ，θ)是一个泛化的含义，指的是标准图像或者是待配准图像，

即： $\left\{\begin{array}{c}{F}_{\mathrm{\ρ}}\left(\mathrm{\θ}\right)=\underset{\mathrm{\ρ}}{\mathrm{\Σ}}F(\mathrm{\ρ},\mathrm{\θ})\\ F_{\mathrm{\θ}}\left(\mathrm{\ρ}\right)=\underset{\mathrm{\θ}}{\mathrm{\Σ}}F(\mathrm{\ρ},\mathrm{\θ})\end{array}\right.---\left(4\right)$

其中，F_ρ(θ)为图像的灰度行投影值，F_θ(ρ)为图像的灰度列投影值，分别令F(ρ，θ)＝f_r(ρ，θ)，F(ρ，θ)＝f_cd(ρ，θ)，代入式(4)，分别得到两者的投影曲线，即：平移后的结果图像[f_cd(i，j)]_m×n在对数极坐标系中的像素值f_cd(ρ，θ)的行、列投影为

$\left\{\begin{array}{c}{F}_{{\mathrm{\ρ}}_{\mathrm{cd}}}\left(\mathrm{\θ}\right)=\underset{\mathrm{\ρ}}{\mathrm{\Σ}}{f}_{\mathrm{cd}}(\mathrm{\ρ},\mathrm{\θ})\\ F_{{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{cd}}}\left(\mathrm{\ρ}\right)=\underset{\mathrm{\θ}}{\mathrm{\Σ}}{f}_{\mathrm{cd}}(\mathrm{\ρ},\mathrm{\θ})\end{array}\right.---\left(5\right)$

其中，

是f_cd(ρ，θ)的行投影，

是f_cd(ρ，θ)的列投影；参考图像[f_r(i，j)]_m×n在对数极坐标系中的像素值f_r(ρ，θ)的行、列投影为

$\left\{\begin{array}{c}{F}_{{\mathrm{\ρ}}_r}\left(\mathrm{\θ}\right)=\underset{\mathrm{\ρ}}{\mathrm{\Σ}}{f}_r(\mathrm{\ρ},\mathrm{\θ})\\ F_{{\mathrm{\θ}}_r}\left(\mathrm{\ρ}\right)=\underset{\mathrm{\θ}}{\mathrm{\Σ}}{f}_r(\mathrm{\ρ},\mathrm{\θ})\end{array}\right.---\left(6\right)$

其中，

是f_r(ρ，θ)的行投影，

是f_r(ρ，θ)的列投影；

4.2)相关性计算：将上步得到的平移后的结果图像的列灰度投影曲线与参考图像的列灰度投影曲线按下式做互相关运算：

$C\left(w\right)=\underset{\mathrm{\ρ}=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{[F_{{\mathrm{\θ}}_r}(\mathrm{\ρ}+w)-F_{{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{cd}}}(m+\mathrm{\ρ})]}^2,1\≤w\≤2m+1---\left(7\right)$

其中，

分别是f_r(ρ+w，θ)和f_cd(m+ρ，θ)的列灰度投影值，N为列的个数，m为位移矢量相对于参考图像在一侧的搜索宽度，设w_min为C(w)最小值时的w值，得到平移后的结果图像相对于参考图像的旋转角度Δθ：

Δθ＝m+1-w_min。                               (8)

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