CN101833785A - 一种具有物理真实感的可控动态形状插值方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种具有物理真实感的可控动态形状插值方法，本发明提出了旋转-应变空间定义，建立了一套三维模型到旋转-应变空间坐标的转换方式，使得原本非线性的形变能够在旋转-应变空间中以坐标的线性操作表达；并且结合传统的振型分解进行降维处理，大大降低了算法复杂度，提高了求解效率。本方法将传统振型分解得到的基向量分解为旋转和应变部分，利用这些主成分基对应的旋转-应变构建一个形变子空间；再通过对于这个子空间中的振型坐标运动插值曲线参数的编辑调整，得到丰富的动态形变效果；最后，再通过重构过程根据插值的振型坐标得到新的模型姿态序列。

Description

一种具有物理真实感的可控动态形状插值方法

技术领域

本发明涉及动画制作产业中基于三维模型形状插值的计算机过渡动画生成技术，尤其涉及一种具有物理真实感的可交互控制的含动态效果形状插值方法。

技术背景

本发明针对的是动画制作产业中一个非常基础和重要的技术问题。一般来说，动画制作师(即本文中提及的用户)创作的动画关键帧模型是非常有限的，大部分的动画时间是由根据关键帧生成的过渡动画填补的。过渡动画生成技术极大程度的决定了动画制作的效率以及效果。

三维模型的形状插值问题可以描述为：给定两个拓扑一致的三维模型，分别作为时间t＝0时刻和t＝1时刻的形状，要求计算出模型从t＝0时刻到t＝1时刻的一段过渡形变动画，即每个顶点在t∈[0，1]区间内的轨迹。对于大部分的应用来说，要求是希望形变过程尽可能的自然，富有物理真实感，对于动画编辑应用来说还要求具有很好的可控性，动画制作师对结果有丰富的调整方式以表达设计意图。

一类方法是基于几何的方法，主要考虑物体的几何属性，一般这样的插值技术不考虑具有物理意义的动态效果。其中被广泛使用的一类技术是以在形变过程中尽可能保持表面的细节为目标，首先对每个顶点或面片的局部变换进行插值，之后再通过最小二乘技术求得能够对每个局部的插值变换最好拟合的变形轨迹，这些方法的插值结果的物理真实感不强，也没有很多的可控性。另外也有在模型定义的形状空间内通过优化求取两个模型之间在某种几何度量(如保持模型体积等)下的测地路径的方法，这种方法计算代价很高，不适于实时交互应用。另一类方法是基于物理的方法，在给定物体模型的相关物理属性之后，对于一个弹性体来说理论上可以通过时间-空间约束或者优化控制的方法求得两个姿态之间一个最优的变形过程，但是基于物理属性的方法往往计算量很大，特别是一些物理属性或是相关约束有些修改之后，往往需要进行复杂度很高的计算，不能进行实时交互的编辑修改。

发明内容

本发明的目的在于针对现有技术的不足，提供一种具有物理真实感的可控动态形状插值方法，该方法不仅能够在过渡的过程中很好的保持模型的局部细节特征，并且在过渡过程中同时融入了模型抖动的动态效果，大大增强了物理真实感。并且用户可以根据需要交互的调节物体的插值运动轨迹以及抖动效果的振幅、频率和衰减等物理参数。

为实现上述的目的，本发明采用的技术方案包括以下七个步骤：

1)给定一个三维模型的静止姿态，根据此模型生成对应的四面体网格，要求四面体网格将原模型包含其中。如果给定模型已经是四面体网格模型，则该步骤省略。

2)根据给定模型的材质信息，对模型进行振型分解得到代表主要振动信息的一组振型基。

3)对2)得到的振型基进行线性旋转-应变分解，得到对应的旋转-应变空间的一组基。

4)对于给定的两个待插值姿态的四面体网格模型，计算它们的局部形变梯度，再通过极坐标分解得到对应的旋转和应变分量，得到在旋转-应变空间的坐标，之后根据3)中求出的基求取它们在子空间中的振型坐标。

5)根据4)中得到的待插值模型的振型坐标，计算一条符合物理规律的，同时满足插值条件的坐标运动轨迹。

6)对5)中的轨迹按照时间离散采样，并通过优化得到每个时间点的振型坐标对应的插值模型，构成一段插值动画。

7)可以对6)中生成的动画进行交互式的修改，通过调整对应的物理参数或者增加额外约束，得到新的动画序列。

所述的静止姿态和待插值姿态的四面体网格模型需具有相同的拓扑连接关系，对应顶点的三维几何位置可以相同也可以不同。

所述的代表主要振动信息的一组振型基是指根据物体的质量矩阵M以及刚度矩阵K进行广义特征值分解得到的一组基向量W_i，排列为矩阵形式W＝(W₁W₂...W_n)，基向量矩阵满足条件：W^TKW＝Λ W^T MW＝Id，其中

为基向量对应的特征值矩阵，Id为单位矩阵。并且，基向量个数n远小于模型全部顶点的形变自由度，大大提高了运算效率。这组基对应的特征值为最大的前n个特征值，代表物体主要的振动信息。

所述的对振型基进行线性旋转-应变分解是指将每一组振型基对应的形变分解为旋转张量和应变张量，将其排列为旋转-应变空间的基向量矩阵：

其中

而ω和ε对应于旋转和应变张量的分解过程：

其中u是一个振型基对应的顶点形变量。

所述的给定的两个待插值姿态的四面体网格模型对应的旋转-应变空间的坐标，首先利用线性梯度算子计算每个四面体的形变梯度，再使用极分解方法分解得到局部的旋转和应变分量，将旋转和应变分量转换成向量形式即对应的旋转-应变空间的坐标，之后利用步骤3中求得的基向量矩阵的伪逆求解得到对应的子空间内的振型坐标向量。

所述的符合物理规律的，同时满足插值条件的振型坐标轨迹曲线的表达式形为：其中z_i(t)为对应于第i个坐标在t时刻的坐标值，t＝0时刻和t＝1时刻的坐标值由步骤4中计算的待插值姿态的模型的振型坐标确定。P_i，Q_i，w_i，α_i等参数决定物体运动时抖动效果衰减程度和频率的大小，根据给定的插值边界条件和用户的调节计算得到。

所述的通过优化得到每个时间点对应的插值模型，指根据此时刻的振型轨迹坐标位置，乘以基向量矩阵，得到对应的旋转-应变空间内的坐标，再通过最小二乘方法求解得到一个和每个顶点处的旋转-应变坐标最相近的三维四面体模型。如果原模型为三角形网格，则形变的三角形网格根据相应的四面体网格通过空间插值得到。

所述的用户可以调整对应的物理参数或者修改轨迹，包括调整物体振动的幅度，频率以及衰减的大小，指定插值过程中特定顶点保持固定的位置和朝向，以及***新的关键帧约束。其中用户调整物体抖动的频率以及衰减的大小可以通过两个直观的参数进行调节：参数μ_i∈[-1，1]用于调整对应于该振型基的抖动衰减的快慢，值越大，衰减的越快，对应于轨迹表达式的参数为

另一个参数η_i∈[-1，1]用于调整对应于该振型基的抖动频率的高低，值越大频率越高，对应于轨迹表达式的参数为：

本发明与背景技术相比，具有的有益效果是：本发明创新性的提出了旋转-应变空间的表达形式，建立三维模型和该空间坐标之间的相互对应，将三维模型插值转化为坐标路径求解。并通过振型分解和微分运动方程求解技术在插值过程中增加了基于物理规律的动态抖动效果，大大增强了过渡动画的视觉效果和物理真实感。同时利用振型分解中的降维技术和微分运动方程的直接求解技术降低了计算的复杂度，大大提高了求解的计算效率，使用户可以交互的对插值轨迹以及抖动效果的振幅、频率和衰减等物理参数进行交互的调整。本发明解决了插值过渡动画中的可控的动态效果编辑问题，可以被用于计算机动画，影视特效，游戏娱乐等诸多领域。

附图说明

图1是本发明的流程图；

图2是不同振型基经过线性变化所对应的三维模型示意图；

图3是没有抖动效果和有抖动效果的对比图；

图4是频率和衰减的参数调节对应轨迹示意图；

图5是用户交互界面示意图；

图6是不同衰减系数下的抖动效果对比图；

图7是通过增加关键帧约束解决自交问题效果示意图。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明作进一步说明，本发明的目的和效果将变得更加明显。

如图1所示，本发明提出的一种具有物理真实感的可控动态形状插值方法分为七个步骤，可看作两个阶段：其中四面体模型构造、振型分解和旋转-应变分解步骤只依赖于给定的静态模型的，可以在预计算阶段完成；后面的待插值模型坐标计算、轨迹求解、模型重构以及参数调整步骤是实时交互阶段，用户可以对给定的模型以及轨迹参数进行交互调整，并实时的观看到调整后的结果。

本发明具有物理真实感的可控动态形状插值方法，包括以下步骤：

1)四面体模型构造

如果给定的三维模型不是四面体网格而是三角形网格，首先要将其转化为四面体网格，要求是原模型被四面体网格包围其中。这里处理的方法可能有很多种。如果原网格比较稀疏，则可以直接对原网格进行空间四面体剖分得到内部填充的四面体网格。如果原网格非常精细，则可以使用扩展-简化的迭代策略，首先将模型上的点沿法向向外扩展一些，然后进行简化，如此迭代，要求每一步都保持新生成三角形网格对原网格的包围性，得到相对简化的模型后，再对新生成网格进行空间四面体剖分。如果原网格不具有实体特性，例如类似薄壳的模型可以逐三角面片沿法向延伸出单位长度确定一个顶点，该顶点和相应的三角形构成一个四面体，所有三角形的四面体构成一个四面体网格。另外，给定的形变姿态网格也需要根据静态模型的四面体网格做相应的生成。方法是根据形变的三角形网格对原四面体网格进行变形，得到一个一致的形变的四面体网格，并且包含对应的三角形网格。这样得到的对应的四面体网格模型具有相同的拓扑连接关系。不过对应顶点的三维几何位置可以相同也可以不同，对我们的方法并无影响。

2)振型分解

根据给定的模型物体物理材质，构建质量矩阵M以及刚度矩阵K，对其进行振型分解，即求解广义特征值问题：

Ky＝λ²My

其中λ为符合方程的一个特征值，y为对应的特征向量。

取对应最大特征值的前n个特征向量，令其为基向量W_i，排列为矩阵形式W＝(W₁W₂...W_n)，基向量矩阵满足条件：W^TKW＝ΛW^TMW＝Id。其中

为基向量对应的特征值矩阵，Id为单位矩阵。一般取n＝80～100，这远远小于一般所采用的四面体网格模型的全部顶点的形变自由度，大大提高了运算效率。

3)旋转-应变分解

对于2)中求得的每一个基向量，根据公式：

$\mathrm{\ω}\left(u\right)=(\▿u-{(\▿u)}^T)/2,\mathrm{\ϵ}\left(u\right)=(\▿u+{(\▿u)}^T)/2$

其中u是一个振型基对应的顶点形变量。

进行分解分别得到对应的旋转张量和应变张量，并将他们排列为旋转-应变空间的基向量矩阵：

其中在图2中展示的就是一个长方体模型进行振型分解得到的其中两个基的形状，第一幅和第三幅图分别是分解得到的第七个和第九个振型基，第二幅和第四幅图则是这两个基在旋转-应变空间的坐标进行线性放大之后再重构出来的形变模型，可见在旋转-应变空间中坐标的线性变化可以很好的表达非线性的形变过程，重构的具体方法见稍后叙述。

4)待插值模型坐标计算

对于给定的两个待插值姿态的四面体网格模型，首先利用有限元方法的线性梯度算子G对于模型顶点坐标x求取计算每个四面体的形变梯度m_j＝(Gx)_j，再使用极分解方法分解得到局部的旋转分量R_j和张量Id+S_j，其中S_j为应变分量，将旋转分量投影在对数空间得到向量形式log(R_j)。将所有的四面体对应的旋转和应变分量排列成向量得到

之后利用步骤3中求得的基向量矩阵的伪逆求解得到模型对应的振型坐标向量。设给定两个模型的旋转-应变空间坐标为

则求得的振型坐标向量

分别等于：

5)轨迹求解

根据振型分解理论，对于第i个振型所对应的振型坐标z_i的轨迹满足以下方程式：

$z_i\left(t\right)=(P_i\cos \left(w_{i}t\right)+Q_i\sin \left(w_{i}t\right))e^{-{\mathrm{\α}}_{i}t}$

该方程式当中的参数w_i，α_i对应于该振动基抖动的频率和衰减，可通过用户调整得到或者为一预先设置的值。考虑到z_i(0)，z_i(1)的值由4)中计算的

的对应分量确定，参数P_i，Q_i根据下式求解：

$P_i=z_i\left(0\right),Q_i=(-z_i\left(0\right)\cos \left(w_{i}T\right)+z_i\left(T\right)e^{{\mathrm{\α}}_{i}T})/\sin \left(w_{i}T\right)$

6)模型重构

根据5)中的轨迹，可以计算插值模型在任意时间采样点上的振型坐标z(t)，其对应的旋转-应变空间坐标为

考虑到旋转-应变空间坐标的对应形式

三维模型坐标点x(t)的重构通过求解下面的最小二乘问题得到：

其中表示‖·‖表示矩阵的Frobenius范数，|T_j|表示相应四面体单元T_j的体积。下面的约束条件中的c(t)用于控制插值模型的重心位置的轨迹。

通过对步骤(5)的轨迹按照时间离散采样，优化得到每个时间点的振型坐标对应的插值模型后，即可构成一段插值动画。如果原模型为三角形网格，则形变的三角形网格根据相应的四面体网格通过空间插值得到。

图3中展示的是过渡动画的结果，其中最左端和最右端是待插值模型。上面一排是没有抖动的平滑插值，下面一排加入了抖动效果，可见到运动有了惯性效果，物理真实感大大增强。

7)参数调整步骤

在实际应用中，如果用户对于上述步骤后产生的结果不满意，可以根据需要参数进行交互式的调整，从而得到满足预期的效果的动画序列。用户可以调整的方式包括调整物体抖动的幅度，频率以及衰减的大小，指定插值过程中特定顶点保持固定的位置和朝向，以及***新的关键帧约束。

用户调整物体抖动的频率以及衰减的大小可以通过两个直观的参数进行调节：参数μ_i∈[-1，1]用于调整对应于该振型基的抖动衰减的快慢，值越大，衰减的越快，对应于轨迹表达式的参数为

另一个参数η_i∈[-1，1]用于调整对应于该振型基的抖动频率的高低，值越大频率越高，对应于轨迹表达式的参数为：图4所示的是不同的频率以及衰减频率对应的振型坐标轨迹图。图5所示的是用户界面的示意图，左半部分是调整各个基对应的衰减和频率参数工具界面，右半部分是根据用户的调整实时显示的结果反馈。图6所示的是不同衰减参数的运动效果，上一排结果抖动效果衰减的较慢。

对插值模型的部分顶点的位置和朝向约束在重构的过程中进行，只需将位置和朝向约束写入重构过程的最小二乘表达即可：

subject to：x_k＝p_k…

            R_j＝r_j…

            S_j＝s_j…

增加新的关键帧，首先假设需要加入的一系列关键帧为{X(t_i)，i＝1，2，...，k}，表示在t_i时刻要经过形状X(t_i)，将这些关键帧模型按前述的方法求出它们在旋转-应变空间的坐标，设为

假设根据原插值条件求出的坐标轨迹为

则增加新的关键帧后的坐标变化为：

${\hat{X}}^{*}\left(t\right)=\hat{X}\left(t\right)+\underset{i=1}{\overset{k}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\φ}}_i\left(t\right)(\underset{\‾}{\hat{X}}\left(t_i\right)-\hat{X}\left(t_i\right))$

其中φ_i(t)为支撑域{t_i-1，t_i+1]上的三次样条函数，保证坐标的平滑过渡。除此之外，对关键帧坐标直接使用Wiggly样条进行插值也可以实现关键帧约束的效果。通过上面的方法得到新的关键帧坐标后再通过重构过程得到新的三维模型。图7所示的是通过增加关键帧约束避免自交现象的结果，上一排是按原条件插值结果发生了自交，下一排的结果中通过在中间时刻增加关键帧避免了自交现象。

实施例：

图3和图6可以看做是本方法的具体实施例子。

在图3所示的例子中，给定的待插值的两个关键帧模型是第一行的第一个和第六个模型(第二行的关键帧模型是一样的)，目标是生成这两帧模型之间的过渡动画。第一步，这两个模型是三维的三角形网格，首先生成分别可以包含这两个模型的对应的四面体模型，这两个四面体模型的拓扑连接关系是一样的，顶点位置不一样。第二步，将第一帧模型视为静态模型，根据模型的材质信息，构造物体的质量矩阵和刚度矩阵并进行振型分解，得到传统振型分解技术对应的一组基向量，代表该物体主要的振动信息。第三步，将上一步中得到的基向量进行线性旋转-应变分解，得到对应的旋转-应变空间的一组基。第四步，因为此例中第一帧模型被视为静态模型，所以计算第二帧模型相对于第一帧模型的局部形变梯度，通过极坐标分解得到对应的旋转-应变分量，并结合上一步求出的基求取该模型对应的振型坐标。并且因为第一帧模型作为静态模型，它所对应的振型坐标即为原点的全零向量。第五步，根据上一步求出的两个模型的振型坐标，计算满足插值条件的坐标运动表达式。此例中，默认使用的物理参数为μ＝-1.0η＝-1.0，即对应于没有抖动的效果。第六步，对于时间点t＝0.2，0.4，0.6，0.8时刻，根据上一步得到的运动表达式计算出对应的振型坐标，再通过优化得到每个时间点对应的插值模型，即图3所示的第一行中的中间四个模型。第七步，如果动画师需要加强抖动的效果，可以使用图5所示的界面，调整参数μ和η的值，特别的，加大对应基的η值即可加强抖动的效果，调整参数后，重新进行第五步和第六步步骤的计算，得到图3所示的第二行中间的四个结果。可明显看出增加了抖动的效果，同时满足了过渡动画的插值条件。在传统技术中，很难得到如此变化的过渡动画，一般需要动画师手工的额外制作中间几帧的模型，代价很大，并且做到符合物理规律也是非常困难的。所以，本发明在动画制作中大大提高了技术效率，并且可以得到逼真和自然的动画结果。

图6所示的例子中，第一行的第一个和第五个棒子模型是待插值的关键帧模型(第二行的关键帧模型是一样的)，瓶子模型是为了加强视觉效果绘制的环境模型。此例中后一个关键帧模型被视作静态模型，其余步骤和上一个例子是一致的。不同的是过渡动画的采样时间点(此例中为三个等分时间点t＝0.25，0.5，0.75)以及所用的具体参数μ和η。

Claims (9)

1.一种具有物理真实感的可控动态形状插值方法，其特征在于，包括以下七个步骤：

(1)给定一个三维模型的静止姿态，根据此模型生成对应的四面体网格，要求四面体网格将原模型包含其中。如果给定模型已经是四面体网格模型，则该步骤省略。

(2)根据给定模型的材质信息，对模型进行振型分解得到代表主要振动信息的一组振型基。

(3)对步骤(2)得到的振型基进行线性旋转-应变分解，得到对应的旋转-应变空间的一组基。

(4)对于给定的两个待插值姿态的四面体网格模型，计算它们的局部形变梯度，再通过极坐标分解得到对应的旋转和应变分量，得到在旋转-应变空间的坐标，之后根据步骤(3)中求出的基求取它们在子空间中的振型坐标。

(5)根据步骤(4)得到的待插值模型的振型坐标，计算一条符合物理规律的，同时满足插值条件的振型坐标运动轨迹。

(6)对步骤(5)的轨迹按照时间离散采样，并通过优化得到每个时间点的振型坐标对应的插值模型，构成一段插值动画。

(7)可以对步骤(6)中生成的动画进行交互式的修改，通过调整对应的物理参数或者增加额外约束，得到新的动画序列。

2.根据权利要求1所述具有物理真实感的可控动态形状插值方法，其特征在于：所述的静止姿态和待插值姿态的四面体网格模型需具有相同的拓扑连接关系，对应顶点的三维几何位置可以相同也可以不同。

3.根据权利要求1所述的一种具有物理真实感的可控动态形状插值方法，其特征在于：所述的代表主要振动信息的一组振型基是指根据物体的质量矩阵M以及刚度矩阵K进行广义特征值分解得到的一组基向量W_i，排列为矩阵形式W＝(W₁W₂...W_n)，基向量矩阵满足条件：

W^TKW＝Λ W^TMW＝Id，

其中

为基向量对应的特征值矩阵，Id为单位矩阵。并且，基向量个数n远小于模型全部顶点的形变自由度，大大提高了运算效率。这组基对应的特征值为最大的前n个特征值，代表物体主要的振动信息。

4.根据权利要求1所述的一种具有物理真实感的可控动态形状插值方法其特征在于：所述的对振型基进行线性旋转-应变分解是指将每一组振型基对应的形变分解为旋转张量和应变张量，将其排列为旋转-应变空间的基向量矩阵：

其中

而ω和ε对应于旋转和应变张量的分解过程：

$\mathrm{\ω}\left(u\right)=(\▿u-{(\▿u)}^T)/2$ $\mathrm{\ϵ}\left(u\right)=(\▿u+{(\▿u)}^T)/2,$

其中，u是一个振型基对应的顶点形变量。

5.根据权利要求1所述的一种具有物理真实感的可控动态形状插值方法其特征在于：所述的给定的两个待插值姿态的四面体网格模型对应的旋转-应变空间的坐标，首先利用线性梯度算子计算每个四面体的形变梯度，再使用极分解方法分解得到局部的旋转和应变分量，将旋转和应变分量转换成向量形式即对应的旋转-应变空间的坐标，之后利用步骤4中求得的基向量矩阵的伪逆求解得到对应的子空间内的振型坐标向量。

6.根据权利要求1所述的一种具有物理真实感的可控动态形状插值方法其特征在于：所述的符合物理规律的，同时满足插值条件的振型坐标轨迹曲线的表达式形为：

$z_i\left(t\right)=(P_i\cos \left(w_{i}t\right)+Q_i\sin \left(w_{i}t\right))e^{-{\mathrm{\α}}_{i}t},$

其中z_i(t)为对应于第i个坐标在t时刻的坐标值，t＝0时刻和t＝1时刻的坐标值由权利要求5中所述的待插值姿态的模型坐标确定。P_i，Q_i，w_i，α_i等参数决定物体运动时抖动效果衰减程度和频率的大小，根据给定的插值边界条件和用户的调节计算得到。

7.根据权利要求1所述的一种具有物理真实感的可控动态形状插值方法其特征在于：所述的通过优化得到每个时间点对应的插值模型，指根据此时刻的振型轨迹坐标位置，乘以基向量矩阵，得到对应的旋转-应变空间内的坐标，再通过最小二乘方法求解得到一个和每个顶点处的旋转-应变坐标最相近的三维四面体模型。如果原模型为三角形网格，则形变的三角形网格根据相应的四面体网格通过空间插值得到。

8.根据权利要求1所述的一种具有物理真实感的可控动态形状插值方法其特征在于：所述的用户可以调整对应的物理参数或者修改轨迹，包括调整物体抖动的幅度，频率以及衰减的大小，指定插值过程中特定顶点保持固定的位置和朝向，以及***新的关键帧约束。

9.根据权利要求8所述的一种具有物理真实感的可控动态形状插值方法其特征在于：所述的用户调整物体抖动的频率以及衰减的大小可以通过两个直观的参数进行调节：参数μ_i∈[-1，1]用于调整对应于该振型基的抖动衰减的快慢，值越大，衰减的越快，对应于轨迹表达式的参数为

另一个参数η_i∈[-1，1]用于调整对应于该振型基的抖动频率的高低，值越大频率越高，对应于轨迹表达式的参数为：

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