CN101783781A - 一种降低ofdm***信号峰均功率比的信息传输方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种降低OFDM***信号峰均功率比的信息传输方法。该发明将输入的比特流经编码、交织、调制、串并转换后，毗邻分割为几个互不相交的频率域子序列；将每个子序列按要求***导频；利用部分传输序列降低峰均功率比，不需要将相位旋转因子发送至接收端。在接收端，将接收到的信号经串并转换、DFT和并串转换，并按照和接收机端相同的方式的分割为频率域信号子序列；利用子序列内包含的导频对该子序列进行信道估计，将其所乘的相位旋转因子视为信道频率响应的一部分，可以将该子序列内频率域数据恢复出来；将这些频域率数据合并成一个序列，经过解调、去交织、解码后，得到了输出的比特流。本发明消除了边带信息对频谱利用率和信号传输速率的影响。

Description

一种降低OFDM***信号峰均功率比的信息传输方法

技术领域

本发明属于采用正交频分复用(OFDM)***的无线通信技术领域，具体涉及一种联合分段信道估计和部分传输序列降低OFDM信号峰均功率比并不发送边带信息的信息传输方法。

背景技术

在移动无线信道中，信号从发射天线经过一个时变多径信道到达接收天线，会产生时间选择性衰落和频率选择性衰落。正交频分复用(OFDM)技术将频域分割成多个子信道，各相邻子信道间正交重叠，提高了频谱的利用效率。可见，一方面该技术能够克服频率选择性衰落，另一方面，取一段小于相干时间的时间间隔作为一个OFDM符号的持续时间，还可以大大降低信道的时间选择性衰落对***的影响。因此，OFDM技术在无线通信中被广泛应用。但是，OFDM技术仍然存在一些问题，如高的峰均功率比。峰均功率比定义为信号的峰值功率和平均功率之比。如果信号的峰均功率比很高，发射机功率放大器的线性动态范围将要求很宽。若使用线性动态范围宽的功率放大器，则发射机的成本将会大大增加；而使用线性动态范围低的功率放大器，虽然可以降低成本，但发送信号将会严重失真，从而导致***性能的严重下降。为了降低OFDM信号对发送功率放大器的要求，需要降低OFDM信号的峰均功率比。

为了降低OFDM信号的峰均功率比，人们提出了很多解决方案。其中，部分传输序列是一种十分有效的降低峰均功率比的方法。假设OFDM***的子载波数为N，则一个OFDM频率域信号X包含N个子载波，X＝{X(k)，k＝0，1，...，N-1}，其中k为子载波序号。部分传输序列的主要思路可概述为：将已调制的频率域信号X分为U个互不相交的频率域子序列，为{X^v，v＝0，1，...，U-1}，每个子序列的长度仍为N，即每个子序列包含

个不为零的子载波，其它的都用零来填充，即

$X=\underset{v=0}{\overset{U-1}{\mathrm{\Σ}}}{X}^v$

这里，子序列数U≥2，U的取值是由OFDM***信号的峰均功率比需要的降低量确定的，一般而言，U取4或是8。然后，对每个频率域子序列进行N点的快速傅里叶逆变换(IFFT)运算，x^v＝IFFT(X^v)。对每一个x^v乘以相位旋转因子b^v并求和，则

$x=\underset{v=0}{\overset{U-1}{\mathrm{\Σ}}}{b}^v{x}^v$

为了便于将相位旋转因子发送至接收端，b^v一般在1，-1，j，-j四个离散值中选取，其中

遍历所有可能的相位旋转因子b^v的值，可以得到不同的时域信号x，在这些时域信号里选择峰均功率比最小的信号发送出去。同时，所用的相位旋转因子{b⁰，b¹，...，b^U-1}必须作为边带信息发送至接收端，以便能准确地恢复出原发送信号。注意，传统的部分传输序列方法要求OFDM***频率域信号中的导频符号不得乘以相位旋转因子(导频符号是用于信道估计而***的符号)，即导频符号在部分传输序列降低峰均功率比的过程中保持不变。

可见，虽然部分传输序列方法可以有效地降低峰均功率比，但是，需要将相位旋转因子作为边带信息发送出去，这就使得：一方面边带信息的发送占用了***的宝贵的频谱资源，降低了信息的发送速率；而另一方面，如果接收端收到的边带信息发生错误，这将会导致***误码率的大幅提高，故可能需要更多的比特来加以保护边带信息，进而进一步占用更多的频谱资源。

发明内容

针对OFDM***高的峰均功率比特点，而现有降低峰均功率比的部分传输序列方法却存在需要发送边带信息的缺点，本发明提出了一种降低OFDM***信号峰均功率比的信息传输方法，该方法不需要发送边带信息，能够提高OFDM***的频谱利用率，并降低***的误码率。

本发明提供的一种降低OFDM***信号峰均功率比的信息传输方法，设OFDM***的子载波数为N，k表示子载波序号，定义***频率域信号为X＝{X(k)，k＝0，1，...，N-1}，设部分传输序列的子序列数为U，U≥2，其特征在于，该信息传输方法包括下述步骤：

(1)将输入的比特流进行编码、交织和调制，得到频率域数据流；

(2)再将该频率域数据流经串并转换后，按照毗邻的方式分割为长度相等的U个互不相交的频率域数据子序列{D^v，v＝0，1，...，U-1}；

(3)在每个频率域数据子序列第一个和最后一个不为零子载波处都***导频符号，其中间位置均匀放置(q-2)导频，并且使相邻导频符号之间的子载波数L满足式(I)的要求

$L\≤\frac{1}{{4\mathrm{\τ}}_{\max }\mathrm{\Δf}}---\left(I\right)$

其中，q≥2，q表示满足上述条件每个子序列***的导频符号数，τ_max表示OFDM***应用信道的最大时延扩展，Δf表示***的子载波占用的带宽；

根据上述要求***导频符号后，得到***导频后的新频率域数据子序列{X^v，v＝0，1，...，U-1}，v表示子序列的序号，

$X=\underset{v=0}{\overset{U-1}{\mathrm{\Σ}}}{X}^v$

即

$X^v\left(k\right)=\left\{\begin{array}{cc}X\left(k\right),& \frac{\mathrm{vN}}{U}\≤k\≤\frac{(v+1)N}{U}-1\\ 0,& \mathrm{else}\end{array}\right.,k=\mathrm{0,1},...,N-1---\left(\mathrm{II}\right)$

(4)对每个新频率域数据子序列进行N点的快速傅里叶逆变换，得到相应的时域子序列x^v，

x^v＝IFFT(X^v)，0≤v≤U-1

(5)按步骤(5.1)至(5.2)对时域子序列x^v进行相位优化，得到峰均功率比最小的信号；

(5.1)确定相位旋转因子的取值集合

M为正整数，表示相位旋转因子的取值总数，

并且取值集合S里面的元素互不相等；

(5.2)b⁰＝1，其他的相位旋转因子{b¹，b²...，b^U-1}将在取值集合S中遍历所有可能值，针对每一组相位旋转因子的取值，对上述每个时域子序列{x⁰，x¹，...，x^U-1}乘以相应的相位旋转因子{b⁰，b¹，...，b^U-1}并求和，得到时域信号x，

$x=\underset{v=0}{\overset{U-1}{\mathrm{\Σ}}}{b}^v{x}^v$

遍历结束后，共得到M^U-1个不同的时域信号，在这些时域信号中选择峰均功率比最小的信号；

(6)将得到的峰均功率比最小的时域信号作为发送信号，经并串转换后，发送至接收端；

(7)在接收机端，对接收到的信号经过串并转换，快速傅里叶变换FFT、并串转换之后，得到接收到频率域信号表示为Y＝{Y(k)，k＝0，1，...，N-1}；

(8)按步骤(2)相同的方式，将Y分割为U个互不相交的接收端的频率域信号子序列{Y^v，v＝0，1，...，U-1}，根据式(II)得到：

$Y^v\left(k\right)=\left\{\begin{array}{cc}{b}^v\·X\left(k\right)\·H\left(k\right)+W\left(k\right),& \frac{\mathrm{vN}}{U}\≤k\≤\frac{(v+1)N}{U}-1\\ 0,& \mathrm{else}\end{array}\right.---\left(\mathrm{III}\right)$

其中，H(k)表示在第k个子载波上信道频域响应值，W(k)为在第k个子载波上高斯白噪声的频域值；

(9)v取值从0至U-1，按照步骤(9.1)至(9.2)计算U个子序列内的所有数据符号：

(9.1)令

为虚拟信道频率响应，利用式(V)计算虚拟信道频率响应H′(k_i ^v)：

$H^{\′}\left(k_i^v\right)=Y^v\left(k_i^v\right)/P\left(k_i^v\right)---\left(V\right)$

其中，Y^v(k_i ^v)表示在第k_i ^v个子载波上的频域信号值，P(k_i ^v)表示第v个子序列中第i个导频符号值，所有导频符号的位置和值在接收端是已知的；

通过式(V)，将第v个子序列中所有导频符号(i＝1，2，...，q)位置上的虚拟信道频率响应都计算出来，利用已得导频符号位置上的虚拟信道频率响应值，通过插值得到在第v个子序列数据符号所在子载波处的虚拟信道频率响应；

(9.2)接收机端利用式(VI)得到第v个子序列的数据符号D′(k^v)：

D′(k^v)＝Y^v(k^v)/H′(k^v)                (VI)

k^v表示第v个子序列中数据符号的子载波序号；

(10)将步骤(9)得到的U个子序列内的数据符号按照子载波序号的大小合并成一个序列，此序列就是接收端接收到的频率域数据信号，再将该信号经过解调、去交织和解码后得到输出的比特流。

本发明是一种新的基于部分传输序列的降低OFDM***信号峰均功率比的信息传输方法。本发明和传统的部分传输序列方法区别如下：

(1)与传统的部分传输序列方法不改变导频符号值的做法不同。本发明中导频符号也会乘相位旋转因子，即本发明中导频符号相位是会改变的；

(2)与传统的部分传输序列方法在接收端信道估计方式不同。本发明在接收端采用分段信道估计，即将接收端的频率域信号按照和部分传输序列相同的毗邻方式分割为相同数目的频率域信号子序列后，再将每个子序列所乘的相位旋转因子视为信道频率响应的一部分，利用分段信道估计，可以这个子序列内频率域数据恢复出来。

本发明将部分传输序列和分段信道估计结合起来，既能降低峰均功率比，又可以免除边带信息的发送，消除了边带信息对频谱利用率和信号传输速率的影响，实现起来也比较灵活。

附图说明

图1是本发明信息传输的***框图；

图2是本发明导频***示意图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明进一步说明：

如图1所示，本发明提供一种联合分段信道估计和部分传输序列来降低OFDM信号的峰均功率比并消除边带信息的信息传输方法，设OFDM***的子载波数为N，k表示子载波序号，定义***频率域信号为X＝{X(k)，k＝0，1，...，N-1}，其中包含两部分：导频符号P和数据符号D；设部分传输序列的子序列数为U，U≥2，U的取值是由OFDM***信号的峰均功率比需要的降低量确定的，一般而言，U取4或是8；

本发明方法包括下述步骤：

(1)将输入的比特流经编码、交织和调制后，得到频率域数据流；

(2)再将该频率域数据流经串并转换后，按照毗邻的方式分割为长度相等的U个互不相交的频率域数据子序列{D^v，v＝0，1，...，U-1}；

(3)在每个频率域数据子序列第一个和最后一个不为零子载波处都***导频符号，其中间位置均匀放置(q-2)导频，q≥2，设相邻导频符号之间的子载波数为L，根据Nyquist采样定理，L应需要满足式(1)

$L\≤\frac{1}{{4\mathrm{\τ}}_{\max }\mathrm{\Δf}}---\left(1\right)$

其中，τ_max表示OFDM***应用信道的最大时延扩展，Δf表示***的子载波占用的带宽。

根据上述要求***导频符号后，得到***导频后的新频率域数据子序列{X^v，v＝0，1，...，U-1}，

$X=\underset{v=0}{\overset{U-1}{\mathrm{\Σ}}}{X}^v---\left(2\right)$

即

$X^v\left(k\right)=\left\{\begin{array}{cc}X\left(k\right),& \frac{\mathrm{vN}}{U}\≤k\≤\frac{(v+1)N}{U}-1\\ 0,& \mathrm{else}\end{array}\right.(k=\mathrm{0,1},...,N-1)---\left(3\right)$

对于每个新频率域数据子序列而言，导频符号是均匀***的；而对于整个OFDM频率域信号而言，导频符号不是均匀***的，详情请见图2。与传统的部分传输序列方法不改变导频符号值的做法不同，这里的新频率域数据子序列包含了导频符号和数据符号，在步骤(5)中都会乘相位旋转因子，即本发明中导频符号相位是会改变的。这种导频***模式是给接收端的分段信道估计模块设计的；

(4)对每个新频率域数据子序列进行N点的快速傅里叶逆变换(IFFT)，得到相应的时域子序列x^v，

x^v＝IFFT(X^v)，0≤v≤U-1                (4)

(5)对时域子序列x^v进行相位优化，其具体过程为：

确定相位旋转因子的取值集合

并且集合S里面的元素互不相等。当M增加时，OFDM信号的峰均功率比的降低量就会增加；但是，***的复杂度也会增加。所以，M的取值是由OFDM***信号需要的峰均功率比降低量确定的，M一般取2或4。当M＝2时，S一般取S＝{1，-1}；当M＝4，S一般取S＝{1，-1，j，-j}；集合S采用这几个元素的原因是信号和它们相乘，是不需要做乘法运算的，实际的运算量会减少。

当b⁰＝1时，不会影响降低峰均功率比的性能，其他的相位旋转因子{b¹，b²...，b^U-1}将在取值集合中遍历所有可能值，针对每一组取值，对上述每个时域子序列{x⁰，x¹，...，x^U-1}乘以相应的相位旋转因子{b⁰，b¹，...，b^U-1}并求和，得到时域信号x，

$x=\underset{v=0}{\overset{U-1}{\mathrm{\Σ}}}{b}^v{x}^v---\left(5\right)$

遍历结束后，共得到M^U-1个不同的时域信号，在这些时域信号中选择峰均功率比最小的信号；

(6)将得到的峰均功率比最小的时域信号作为发送信号，经并串转换后，发送至接收端，并不需要发送相位旋转因子至接收端；

(7)在接收机端，对接收到的信号经过串并转换，快速傅里叶变换FFT、并串转换之后，得到接收到频率域信号表示为Y＝{Y(k)，k＝0，1，...，N-1}；

(8)按步骤(2)相同的方式，将Y分割为U个互不相交的接收端的频率域信号子序列{Y^v，v＝0，1，...，U-1}，根据式(3)和式(5)可得：

$Y^v\left(k\right)=\left\{\begin{array}{cc}{b}^v\·X\left(k\right)\·H\left(k\right)+W\left(k\right),& (\frac{\mathrm{vN}}{U}\≤k\≤\frac{(v+1)N}{U}-1)\\ 0,& \mathrm{else}\end{array}\right.---\left(6\right)$

其中，H(k)表示在第k个子载波上信道频域响应值，W(k)为在第k个子载波上高斯白噪声的频域值；

(9)计算U个子序列内的所有数据符号：

已知任一频率域信号子序列v内都有q个导频符号，并且导频符号的位置和值在接收端是已知的，

$Y^v\left(k_i^v\right)=b^{v}P\left(k_i^v\right)H\left(k_i^v\right)+W\left(k_i^v\right)---\left(7\right)$

其中，k_i ^v表示是第v个子序列中第i个导频符号所在的子载波序号，(i＝1，2，...，q)；Y^v(k_i ^v)表示在第k_i ^v个子载波上的频域信号值，P(k_i ^v)表示第v个子序列中第i个导频符号值，W(k_i ^v)表示在第k_i ^v个子载波上的高斯白噪声的频域值，通常信道估计时将高斯白噪声的频域值忽略。H(k_i ^v)表示在第k_i ^v个子载波上信道频域响应值，而令

为虚拟信道频率响应，

$H^{\′}\left(k_i^v\right)=Y^v\left(k_i^v\right)/P\left(k_i^v\right)---\left(8\right)$

通过式(8)，便可以将第v个子序列中所有导频符号(i＝1，2，...，q)位置上的虚拟信道频率响应都计算出来。利用已得导频符号位置上的虚拟信道频率响应值，通过插值得到在第v个子序列数据符号所在子载波处的虚拟信道频率响应。

插值的方式有很多种，最简单的是线性插值。若采用线性插值，则第v个子序列中数据符号子载波上虚拟信道频率响应由式(9)得到，即

$H^{\′}\left(k^v\right)=H^{\′}\left(k_i^v\right)+\left(\frac{H^{\′}(k_{i+1}^v-H^{\′}\left(k_i^v\right))}{L}\right)(k^v-k_i^v),$

$=b^v[H\left(k_i^v\right)+\left(\frac{H\left(k_{i+1}^v\right)-H\left(k_i^v\right)}{L}\right)(k^v-k_i^v)],(k_i^v<k^v<k_{i+1}^v)---\left(9\right)$

其中，k^v是第v个子序列中数据符号的位置。

接收机端得到第v个子序列的数据符号D′(k^v)由下式得到：

D′(k^v)＝Y^v(k^v)/H′(k^v)                (10)

通过式(10)将第v个子序列中所有数据符号都计算出来。

(10)将步骤(9)得到的U个子序列内的数据符号按照子载波序号的大小合并成一个序列，将这U个子序列内的数据符号按照子载波序号大小合并成一个序列，此序列就是接收端接收到的频率域数据信号，再将该信号经过解调、去交织和解码后得到输出的比特流。

实例：

具体参数方案：OFDM***的子载波数为256，调制方式为16QAM。子序列数分别为4和8，***的导频符号数为32，相位旋转因子取值集合S＝{1，-1}。

仿真结果显示：在不发送部分传输序列边带信息的基础上，本发明得到的比特误码率的结果和部分传输序列方法假设边带信息完全正确接收时得到的比特误码率结果基本相等，并和理想状态下的比特误码率结果相差不大。

本发明不但能有效降低OFDM信号的峰均功率比，并不用发送部分传输序列的边带信息。例如：当子序列数为4时，本发明峰均功率比的降低量比原始信号低约3dB；而当子序列数为8时，峰均功率比的降低量比原始信号低约4.6dB。本发明在不发送边带信息得到的比特误码率的结果和部分传输序列方法在假设边带信息完全正确接收时得到的比特误码率结果基本相等，并和理想状态下的比特误码率结果相差不大。理想状态即发送信号不经过高功率放大器直接发送，就不会有高功率放大器的非线性对信号失真的影响。例如：当子序列为4时，***导频符号数为32，信噪比SNR＝16dB时，理想状态下的比特误码率是4×10^-5；本发明和部分传输序列方法假设边带信息正确发送时得到的比特误码率效果一致，都为3×10^-4。因此，本发明有效的抑制了边带信息的发送，并且可以带来很好的比特误码率的性能。

以上为本发明的一个实例而已，但本发明不应该局限于该实例和附图所公开的内容。所以凡是不脱离本发明所公开的精神下完成的等效或修改，都落入本发明保护的范围。

Claims (3)

1.一种降低OFDM***信号峰均功率比的信息传输方法，设OFDM***的子载波数为N，k表示子载波序号，定义***频率域信号为X＝{X(k)，k＝0，1，…，N-1}，设部分传输序列的子序列数为U，U≥2，其特征在于，该信息传输方法包括下述步骤：

(1)将输入的比特流进行编码、交织和调制，得到频率域数据流；

(2)再将该频率域数据流经串并转换后，按照毗邻的方式分割为长度相等的U个互不相交的频率域数据子序列{D^v，v＝0，1，…，U-1}；

(3)在每个频率域数据子序列第一个和最后一个不为零子载波处都***导频符号，其中间位置均匀放置(q-2)导频，并且使相邻导频符号之间的子载波数L满足式(I)的要求

$L\&le;\frac{1}{{4\mathrm{\&tau;}}_{\max }\mathrm{\&Delta;f}}---\left(I\right)$

其中，q≥2，q表示满足上述条件每个子序列***的导频符号数，τ_max表示OFDM***应用信道的最大时延扩展，Δf表示***的子载波占用的带宽；

根据上述要求***导频符号后，得到***导频后的新频率域数据子序列{X^v，v＝0，1，…，U-1}，v表示子序列的序号，

$X=\underset{v=0}{\overset{U-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{X}^v$

即

$X^v\left(k\right)=\left\{\begin{array}{cc}X\left(k\right),& \frac{\mathrm{vN}}{U}\&le;k\&le;\frac{(v+1)N}{U}-1\\ 0,& \mathrm{else}\end{array}\right.,k=\mathrm{0,1},...,N-1---\left(\mathrm{II}\right)$

(4)对每个新频率域数据子序列进行N点的快速傅里叶逆变换，得到相应的时域子序列x^v，

x^v＝IFFT(X^v)，0≤v≤U-1

(5)按步骤(5.1)至(5.2)对时域子序列x^v进行相位优化，得到峰均功率比最小的信号；

(5.1)确定相位旋转因子的取值集合

M为正整数，表示相位旋转因子的取值总数，θ_w∈[0，2π)，

并且取值集合S里面的元素互不相等；

(5.2)b⁰＝1，其他的相位旋转因子{b¹，b²…，b^U-1}将在取值集合S中遍历所有可能值，针对每一组相位旋转因子的取值，对上述每个时域子序列{x⁰，x¹，…，x^U-1}乘以相应的相位旋转因子{b⁰，b¹，…，b^U-1}并求和，得到时域信号x，

$x=\underset{v=0}{\overset{U-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{b}^v{x}^v$

遍历结束后，共得到M^U-1个不同的时域信号，在这些时域信号中选择峰均功率比最小的信号；

(6)将得到的峰均功率比最小的时域信号作为发送信号，经并串转换后，发送至接收端；

(7)在接收机端，对接收到的信号经过串并转换，快速傅里叶变换FFT、并串转换之后，得到接收到频率域信号表示为Y＝{Y(k)，k＝0，1，…，N-1}；

(8)按步骤(2)相同的方式，将Y分割为U个互不相交的接收端的频率域信号子序列{Y^v，v＝0，1，…，U-1}，根据式(II)得到：

$Y^v\left(k\right)=\left\{\begin{array}{cc}{b}^v\&CenterDot;X\left(k\right)\&CenterDot;H\left(k\right)+W\left(k\right),& \frac{\mathrm{vN}}{U}\&le;k\&le;\frac{(v+1)N}{U}-1\\ 0,& \mathrm{else}\end{array}\right.---\left(\mathrm{III}\right)$

其中，H(k)表示在第k个子载波上信道频域响应值，W(k)为在第k个子载波上高斯白噪声的频域值；

(9)v取值从0至U-1，按照步骤(9.1)至(9.2)计算U个子序列内的所有数据符号：

(9.1)令为虚拟信道频率响应，利用式(V)计算虚拟信道频率响应H′(k_i ^v)：

$H^{\&prime;}\left(k_i^v\right)=Y^v\left(k_i^v\right)/P\left(k_i^v\right)---\left(V\right)$

其中，Y^v(k_i ^v)表示在第k_i ^v个子载波上的频域信号值，P(k_i ^v)表示第v个子序列中第i个导频符号值，所有导频符号的位置和值在接收端是已知的；

通过式(V)，将第v个子序列中所有导频符号(i＝1，2，…，q)位置上的虚拟信道频率响应都计算出来，利用已得导频符号位置上的虚拟信道频率响应值，通过插值得到在第v个子序列数据符号所在子载波处的虚拟信道频率响应；

(9.2)接收机端利用式(VI)得到第v个子序列的数据符号D′(k^v)：

D′(k^v)＝Y^v(k^v)/H′(k^v)               (VI)

k^v表示第v个子序列中数据符号的子载波序号；

(10)将步骤(9)得到的U个子序列内的数据符号按照子载波序号的大小合并成一个序列，此序列就是接收端接收到的频率域数据信号，再将该信号经过解调、去交织和解码后得到输出的比特流。

2.根据权利要求1所述的降低OFDM***信号峰均功率比的信息传输方法，其特征在于：S＝{1，-1，j，-j}。

3.根据权利要求1或2所述的降低OFDM***信号峰均功率比的信息传输方法，其特征在于：步骤(9)中，采用线性插值，第v个子序列中数据符号所在子载波处的虚拟信道频率响应由式(VII)得到，即

$H^{\&prime;}\left(k^v\right)=H^{\&prime;}\left(k_i^v\right)+\left(\frac{H^{\&prime;}\left(k_{i+1}^v\right)-H^{\&prime;}\left(k_i^v\right)}{L}\right)(k^v-k_i^v),$ (VII)。

$=b^v[H\left(k_i^v\right)+\left(\frac{H\left(k_{i+1}^v\right)-H\left(k_i^v\right)}{L}\right)(k^v-k_i^v)],(k_i^v<k^v<k_{i+1}^v)$

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