CN101719778B - 一种多模板超宽带信号帧级时间同步捕获方法 - Google Patents

Abstract

本发明利用特定设计的多个模板获得的符号级(symbol level)采样数据，提供了一种基于最大似然准则实现超宽带信号最优的帧级时间精度同步捕获(frame level time acquisition)的方法，属超宽带无线通信技术领域。该方案利用特定的发送训练序列波形，把帧级时间精度的同步捕获问题转换为等价的最大似然幅度估计问题。在接收端，特定设计的三个并行模板对平方后的接收信号分别进行符号级积分采样，利用获得三组符号级采样数据和最大似然准则，计算出帧级时间偏移的最优估计值，从而实现超宽带信号的帧级精度的同步捕获。本发明避免了使用千兆(Gbit/s)以上采样速率的A/D转换器，能实现快速同步捕获，且估计误差小，仿真结果表明该算法性能明显优于文献^[1]的算法。

Description

一种多模板超宽带信号帧级时间同步捕获方法

【技术领域】：本发明属于超宽带无线通信技术领域，具体涉及一种应用于脉冲超宽带无线通信***的同步捕获方法。

【背景技术】：超宽带通信作为可实现高达1GHz/s的高速无线数据传输的技术近年来正逐渐引起越来越广泛的注意。UWB技术拥有良好的保密性、低能耗和低复杂性(无需功率放大器)，同时该技术还具有较强的抗干扰性等一系列优点。因此UWB可以应用在很多领域。然而，由于超宽带信号持续时间很短，且能量很低，在超宽带***中同步是一个极大的难题和挑战。

目前已经提出的超宽带同步捕获算法主要有两类：一是基于相关搜索的同步捕获算法，其主要缺点是需要千兆(Gbit/s)以上采样速率的A/D转换器，而千兆以上采样速率的A/D转换器造价和功耗都很高，大大提高了接收机的成本和复杂性，不适于在要求低成本的超宽带***中应用。同时基于相关搜索的同步算法同步捕获所需要时间较长，因为需要搜索的不定区间数目很大。还有一类算法是基于估计的同步捕获算法，与相关搜索的同步捕获相比，它的优势是可以通过合理的设计估计量及估计算法，能实现快速同步捕获。其中比较有代表性的是文献^[1]中提出的应用噪声模板估计的同步捕获算法，它能避免使用千兆以上采样速率的A/D转换器，并能在较短时间内实现超宽带***的同步捕获。但是，该方法中噪声模板的实现需要一组延时几十纳秒至几百纳秒的高精度(亚纳秒级)的时间延迟***，目前技术上难以实现^[2-3]。

【发明内容】：本发明目的是克服现有技术存在的上述不足，提供一种新的基于最大似然准则的多模板超宽带信号帧级时间精度的同步捕获方法。

参照图1，本发明的具体步骤为：

(一)发送训练序列：

由发送端发送的训练序列的信号表示为：

其中p(t)是发送的单个脉冲波形，且具有归一化能量，即∫p²(t)dt＝1。E_f表示每帧内的总能量。T_f是发射信号的帧间隔，即脉冲重复周期，N_f是一个符号内帧的个数，则符号周期

是周期为N_ds的伪随机DS码序列，其中d_l∈{±1}；时间偏移量Δ被设为T_f/2；a_n∈{0，1}是待调制的训练序列比特，

表示取底运算，

表示取不大于j/N_f的最小非负整数，训练序列总长度为N，前N₀个比特全部为0，剩余的N-N₀个比特1，0交替，即

(二)接收端的模板设计：

在接收端，需要构造三个模板W₀(t)，W₁(t)和W₂(t)，分别设计如下：

模板W₀(t)定义为：

$W_0\left(t\right)=\underset{k=0}{\overset{N_f-1}{\mathrm{\Σ}}}w(t-{\mathrm{kT}}_f),$

模板W₁(t)可以看成W₀(t)在时间上的一个延时，延时时间用T_d表示，其中T_d可以在(0，T_f/2)之间选取。

模板W₂(t)在同步过程中起辅助作用，定义如下：

$W_2\left(t\right)=\underset{k=0}{\overset{N_f-1}{\mathrm{\Σ}}}v(t-{\mathrm{kT}}_f),$

其中T_v∈(0，T_f/10)。

(三)利用三个模板W₀(t)，W₁(t)和W₂(t)对接收信号进行符号级的积分采样，获取符号级采样数据

和

超宽带的多径信道可用如下模型表示：

$h\left(t\right)=\underset{l=0}{\overset{L-1}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_l\mathrm{\δ}(t-{\mathrm{\τ}}_l)---\left(5\right)$

其中，L表示多径总数，α_l和τ_l分别表示第l条多径的幅度增益和到达时间。如果定义每一条多径的到达时间相对第一条多径的到达时间τ₀延时为τ_l，0＝τ_l-τ₀，其中1≤l≤L-1。

式(1)中所示的发射信号，经过超宽带的多径信道后，接收端接收信号可表示为：

其中，n(t)是均值为0、双边功率谱密度为的加性高斯白噪声(AWGN)，

表示信道冲击响应与发送脉冲p(t)的卷积，

同步的目的就是要估计第一条多径的到达时间τ₀，τ₀可被分解为：

τ₀＝n_sT_s+n_fT_f+ξ，                           (7)

其中，

ξ∈[0，T_f)。符号级时间偏移量n_s可以利用符号级的采样速率通过传统的能量检测获得。帧级时间偏移n_f可按照本发明中的方法，利用符号级采样数据最优地估算出来。

为在接收端获取符号级采样数据，接收信号r(t)首先通过一个平方律检波器，平方后的输出信号R(t)可以表示为：

其中，定义m(t)＝2r_s(t)n(t)+n²(t)。然后将平方后的信号R(t)分别与模板W₀(t)，W₁(t)和W₂(t)相乘，并且以符号周期T_s为采样周期进行积分采样，得到三组输出序列

和Y₀[n]，Y₁[n]和Y₂[n]的数学表达式分别为

$Y_0\left[n\right]={\∫}_0^{T_s}R(t+n{T}_s)W_0\left(t\right)\mathrm{dt}---\left(9\right)$

$Y_1\left[n\right]={\∫}_{T_d}^{T_s+T_d}R(t+n{T}_s)W_1\left(t\right)\mathrm{dt}---\left(10\right)$

$Y_2\left[n\right]={\∫}_0^{T_s}R(t+n{T}_s)W_2\left(t\right)\mathrm{dt}---\left(11\right)$

(四)对三个模板前N₀个采样数据

和

的分析和处理：

本步骤又可分为三小步：首先利用发射信号的周期性和模板的周期性，分别给出三个模板前N₀个符号级采样数据

和

的分解式。证明了由这三个模板获取的前N₀个符号级采样数据可分别分解为三个模板的帧能量参数I_ξ，0，J_ξ，0和K_ξ，0与各自相应的噪声之和，其中三个模板的帧能量参数I_ξ，0，J_ξ，0和K_ξ，0的值与信道冲激响应和(7)式中的帧内误差ξ有关。然后利用

和的分解式和最大似然准则，计算出三个模板的帧能量参数的最优估计值

和

最后，证明了

和

的正负号可以确定出(7)式中的帧内误差ξ所属的子区间，作为下一步的帧级时间偏移n_f估计的基础。具体过程如下：

1.由于发送的训练序列分为两部分(前N₀个比特全部为0，后N-N₀个比特1，0交替)，使得三个模板的采样序列

和相应的前后两部分也具有不同的分解形式。可以证明，当1≤n≤N₀-1时，即发送的训练序列比特全部为0时，Y₀[n]，Y₁[n]和Y₂[n]有如下形式的分解式：

Y₀[n]＝N_fI_ξ，0+M₀[n]                            (12)

Y₁[n]＝N_fJ_ξ，0+M₁[n]                            (13)

Y₂[n]＝N_fK_ξ，0+M₂[n]                            (14)

其中，I_ξ，0，J_ξ，0和K_ξ，0是三个模板的帧能量参数，I_ξ，0，J_ξ，0和K_ξ，0的取值与帧内误差ξ有关，M₀[n]，M₁[n]和M₂[n]分别是三个模板的采样噪声。(12)-(14)的证明过程见附录一。

2.利用分解式(12)-(14)和最大似然准则，计算出I_ξ，0，J_ξ，0和K_ξ，0的最优估计值分别为：

${\hat{I}}_{\mathrm{\ξ},0}=\frac{1}{(N_0-1)N_f}\underset{n=1}{\overset{N_0-1}{\mathrm{\Σ}}}{Y}_0\left[n\right],---\left(15\right)$

${\hat{J}}_{\mathrm{\ξ},0}=\frac{1}{(N_0-1)N_f}\underset{n=1}{\overset{N_0-1}{\mathrm{\Σ}}}{Y}_1\left[n\right],---\left(16\right)$

${\hat{K}}_{\mathrm{\ξ},0}=\frac{1}{(N_0-1)N_f}\underset{n=1}{\overset{N_0-1}{\mathrm{\Σ}}}{Y}_2\left[n\right].---\left(17\right)$

3.根据(15)-(17)估计的和

的正负号，可以判断ξ的区间。

当模板W₁(t)相对W₀(t)的延时T_d≥T_η时，根据

和

的正负号，确定的ξ区间如下(证明过程见附录三)：

命题1：(1)如果I_ξ，0＞0且J_ξ，0＞0，那么

(2)如果I_ξ，0＜0且J_ξ，0＞0，那么ξ∈(T_η，T_η+T_d)；

(3)如果I_ξ，0＜0且J_ξ，0＜0，那么

(4a)如果I_ξ，0＞0，J_ξ，0＜0且K_ξ，0＞0，那么

(4b)如果I_ξ，0＞0，J_ξ，0＜0且K_ξ，0＜0，那么

当模板W₁(t)相对W₀(t)的延时T_d＜T_η时，根据和的正负号，确定的ξ区间如下：

命题2：(1a)如果I_ξ，0＞0，J_ξ，0＞0且K_ξ，0＞0，那么ξ∈(0，T_η)；

(1b)如果I_ξ，0＞0，J_ξ，0＞0且K_ξ，0＜0，那么

(2)如果I_ξ，0＜0且J_ξ，0＞0，那么ξ∈(T_η，T_η+T_d)；

(3)如果I_ξ，0＜0且J_ξ，0＜0，那么

(4)如果I_ξ，0＞0，J_ξ，0＜0，那么

(五)获取

的最优估计值

从(12)-(14)中可以看出，当1≤n≤N₀-1时，即发送的训练序列比特全部为0时，Y₀[n]，Y₁[n]和Y₂[n]的分解式并不含有任何帧级时间偏移n_f的信息。但模板W₀(t)和W₁(t)的后N-N₀个符号级采样数据

和

即当发送的训练序列比特1，0交替时得到的Y₀[n]和Y₁[n]，经过适当形式的分解，可以提取出一个包含帧级时间偏移n_f的信息的参量Ψ，定义为为获得帧级时间偏移n_f的最优估计值，需要先计算出Ψ的极大似然估计。但此时Y₀[n]和Y₁[n]的分解式在ξ属于不同的区间时有不同的形式，因此需要利用步骤(四)中得到的

以及由它们确定的ξ区间，选择正确的分解式，从而计算出

的最优估计值

具体过程如下：

1.当N₀≤n≤N-1时，即当发送的训练序列比特1，0交替时，Y₀[n]和Y₁[n]有如下形式的分解式：

$Y_0\left[n\right]=\left\{\begin{array}{cc}{(-1)}^{a_{n-1}}(2\mathrm{\ψ}-N_f)I_{\mathrm{\ξ},0}+M_0\left[n\right],& \mathrm{\ξ}\∈[0,T_{\mathrm{\η}})\\ {(-1)}^{a_{n-1}}(2\mathrm{\ψ}-N_f+1)I_{\mathrm{\ξ},0}+M_0\left[n\right],& \mathrm{\ξ}\∈[T_{\mathrm{\η}},T_{\mathrm{\η}}+\frac{T_f}{2})\\ {(-1)}^{a_{n-1}}(2\mathrm{\ψ}-N_f+2)I_{\mathrm{\ξ},0}+M_0\left[n\right],& \mathrm{\ξ}\∈[T_{\mathrm{\η}}+\frac{T_f}{2},T_f)\end{array}\right.---\left(18\right)$

Y₁[n]的分解与模板W₁(t)相对W₀(t)的延时T_d有关，当T_d≥T_η时，Y₁[n]有如下形式的分解式：

$Y_1\left[n\right]=\left\{\begin{array}{cc}{(-1)}^{a_{n-1}}(2\mathrm{\ψ}-N_f-1)J_{\mathrm{\ξ},0}+M_1\left[n\right],& \mathrm{\ξ}\∈[0,T_{\mathrm{\η}}-\frac{T_f}{2}+T_d)\\ {(-1)}^{a_{n-1}}(2\mathrm{\ψ}-N_f)J_{\mathrm{\ξ},0}+M_1\left[n\right],& \mathrm{\ξ}\∈[T_{\mathrm{\η}}-\frac{T_f}{2}+T_d,T_{\mathrm{\η}}+T_d)\\ {(-1)}^{a_{n-1}}(2\mathrm{\ψ}-N_f+1)J_{\mathrm{\ξ},0}+M_1\left[n\right],& \mathrm{\ξ}\∈[T_{\mathrm{\η}}+T_d,T_f)\end{array}\right.---\left(19\right)$

当模板W₁(t)相对W₀(t)的延时T_d＜T_η时，Y₁[n]有如下形式的分解式：

$Y_1\left[n\right]=\left\{\begin{array}{cc}{(-1)}^{a_{n-1}}(2\mathrm{\ψ}-N_f)I_{\mathrm{\ξ},0}+M_0\left[n\right],& \mathrm{\ξ}\∈[0,T_{\mathrm{\η}}+T_d)\\ {(-1)}^{a_{n-1}}(2\mathrm{\ψ}-N_f+1)I_{\mathrm{\ξ},0}+M_0\left[n\right],& \mathrm{\ξ}\∈[T_{\mathrm{\η}}+T_d,T_{\mathrm{\η}}+T_d+\frac{T_f}{2})\\ {(-1)}^{a_{n-1}}(2\mathrm{\ψ}-N_f+2)I_{\mathrm{\ξ},0}+M_0\left[n\right],& \mathrm{\ξ}\∈[T_{\mathrm{\η}}+T_d+\frac{T_f}{2},T_f)\end{array}\right.---\left(20\right)$

其中 $\mathrm{\ψ}\stackrel{\mathrm{\Δ}}{=}{n}_f-\frac{1}{2}\mathrm{\ϵ},$ $\mathrm{\ϵ}\∈[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}],$ $T_{\mathrm{\η}}\∈[\frac{T_f}{4},\frac{T_f}{2}],$ M₀[n]是采样噪声。(18)-(20)式的证明过程见附录二。

2.根据步骤(四)中确定的ξ的区间选出模板W₀(t)和W₁(t)的后N-N₀个符号级采样数据和

的正确分解式，依据最大似然准则，计算出的最优估计值

根据

和

符号的不同情况，计算出的最大似然估计值

的结果如下：

当T_d≥T_η时，计算出的最优估计值为：

(1)当且

时， $\widehat{\mathrm{\ψ}}=\frac{1}{A}{\mathrm{\Σ}}_{n=N_0}^{N-1}[Z_n+N_f(I_{\mathrm{\ξ},0}^2+J_{\mathrm{\ξ},0}^2)].$

(2)当

且

时， $\widehat{\mathrm{\ψ}}=\frac{1}{A}{\mathrm{\Σ}}_{n=N_0}^{N-1}[Z_n+(N_f-1)I_{\mathrm{\ξ},0}^2+N_f{J}_{\mathrm{\ξ},0}^2].$

(3)当

且

时， $\widehat{\mathrm{\ψ}}=\frac{1}{A}{\mathrm{\Σ}}_{n=N_0}^{N-1}[Z_n+(N_f-1)(I_{\mathrm{\ξ},0}^2+J_{\mathrm{\ξ},0}^2)].$

(4)当且

时， $\widehat{\mathrm{\&psi;}}=\left\{\begin{array}{c}\frac{1}{A}{\mathrm{\&Sigma;}}_{n=N_0}^N[Z_n+N_f{I}_{\mathrm{\&xi;},0}^2+(N_f+1)J_{\mathrm{\&xi;},0}^2],{\hat{K}}_{\mathrm{\&xi;},0}>0\\ \frac{1}{A}{\mathrm{\&Sigma;}}_{n=N_0}^{N-1}[Z_n+(N_f-2)I_{\mathrm{\&xi;},0}^2+(N_f-1)J_{\mathrm{\&xi;},0}^2],{\hat{K}}_{\mathrm{\&xi;},0}<0\end{array}\right.$

其中， $A\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{=}2(N-N_0)(I_{\mathrm{\&xi;},0}^2+J_{\mathrm{\&xi;},0}^2),$ $Z_n\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{=}{Y}_0\left[n\right]I_{\mathrm{\&xi;},a_{n-1}}+Y_1\left[n\right]J_{\mathrm{\&xi;},a_{n-1}}$

当T_d≤T_η时，计算出的最优估计值

为：

(1)当

且

时， $\widehat{\mathrm{\&psi;}}=\left\{\begin{array}{c}\frac{1}{A}{\mathrm{\&Sigma;}}_{n=N_0}^N[Z_n+N_f(I_{\mathrm{\&xi;},0}^2+J_{\mathrm{\&xi;},0}^2)],{\hat{K}}_{\mathrm{\&xi;},0}>0\\ \frac{1}{A}{\mathrm{\&Sigma;}}_{n=N_0}^{N-1}[Z_n+(N_f-2)(I_{\mathrm{\&xi;},0}^2+J_{\mathrm{\&xi;},0}^2)],{\hat{K}}_{\mathrm{\&xi;},0}<0\end{array}\right.$

(2)当

且

时， $\widehat{\mathrm{\&psi;}}=\frac{1}{A}{\mathrm{\&Sigma;}}_{n=N_0}^{N-1}[Z_n+(N_f-1)I_{\mathrm{\&xi;},0}^2+N_f{J}_{\mathrm{\&xi;},0}^2].$

(3)当

且

时， $\widehat{\mathrm{\&psi;}}=\frac{1}{A}{\mathrm{\&Sigma;}}_{n=N_0}^{N-1}[Z_n+(N_f-1)(I_{\mathrm{\&xi;},0}^2+J_{\mathrm{\&xi;},0}^2)].$

(4)当

且

时， $\widehat{\mathrm{\&psi;}}=\frac{1}{A}{\mathrm{\&Sigma;}}_{n=N_0}^{N-1}[Z_n+(N_f-1)I_{\mathrm{\&xi;},0}^2+(N_f-1)J_{\mathrm{\&xi;},0}^2].$

(六)计算帧级时间偏移估计

其中[.]代表四舍五入操作。

本发明的优点和积极效果：

1、本发明仅依赖于符号级采样数据实现最优的帧级时间同步捕获，避免使用几Gbit/s甚至几十Gbit/s采样速率的A/D转换器。2、结合超宽带信道的统计特性(IEEE 802.15.3a和IEEE802.15.4a^[4，5])，本发明设计出多个模板，且模板易于实现，避免了文献^[1]中的高精度延时器的使用。3、多个模板并行采样，且不涉及任何的线性搜索，能够实现快速同步。4、同步估计误差小，仿真结果表明该算法性能明显优于文献^[1]的算法。

【附图说明】：

图1是：同步捕获方法实现的***框图。接收信号首先通过一个平方律检波器，输出分别与模板W₀(t)，W₁(t)和W₂(t)相乘，并且以T_s为周期进行采样，得到三组输出序列

和

利用这三组采样序列，采用上述方法得到最佳的帧级时间偏移估计

图2是：(a)，(b)和(c)分别是三个模板信号W₀(t)，W₁(t)和W₂(t)在t∈[0，3T_f]内的时域波形图，其中，T_f＝100ns，模板W₁(t)相对W₀(t)的延时T_d取T_d＝T_f/4。

图3是：IEEE802.15.3a信道模型CM2下，训练序列长度N分别为N＝12和N＝30时得到的时间偏移估计

的均方误差

性能曲线。

图4是：IEEE802.15.3a信道模型CM2下，基于该方法的超宽带***的误比特率性能曲线。

【具体实施方式】：

实施例1：

为了验证该同步捕获方法的有效性，对该方法进行了计算机模拟仿真，仿真时的相关参数设置如下：

1.发送的训练序列信号(1)式中的p(t)选为高斯二阶导脉冲波形，且具有归一化能量，即∫p²(t)dt＝1。

2.每帧内的总能量E_f＝1。

3.发射信号的帧间隔T_f＝100ns，每个符号内的帧个数N_f＝25，则符号周期T_s＝N_fT_f＝2500ns。

4.在两种不同长度的训练序列模式下，进行了同步捕获的性能仿真。

5.第一个训练序列：总长度为N＝12，前N₀＝6个比特全部为0，剩余的N-N₀＝6个比特1，0交替，即 ${\left\{a_n\right\}}_{n=0}^{N-1}=\left\{\mathrm{1,1,1,1,1,1,0,1,0,1,0,1}\right\}.$

6.第二个训练序列：总长度为N＝30，前N₀＝12个比特全部为0，剩余的N-N₀＝18个比特1，0交替，即 ${\left\{a_n\right\}}_{n=0}^{N-1}=\{\mathrm{1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,1,0,1,0},$ $\mathrm{1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1}\}.$

7.延时τ₀随机产生：符号级时间偏移n_s设为0；帧级时间偏移n_f在[0，N_f]均匀分布，帧内误差ξ在[0，T_f)内均匀分布。

8.在接收端，按(3)-(4)式产生的三个模板信号W₀(t)，W₁(t)和W₂(t)在t∈[0 3T_f]内的时域波形图如图2所示，其中，模板W₁(t)相对W₀(t)的延时T_d取T_d＝T_f/4。

9.超宽带多径信道采用IEEE.802.15.3a制定的CM2模型。

10.本发明的有益效果由帧级时间偏移估计

的均方误差性能曲线和接收机的误比特率性能曲线体现。每条曲线都是对10万次信道实现做平均的结果，每次仿真实现过程中，延时τ₀和信道都随机产生。每次仿真实现的帧级时间偏移估计都按发明内容中的步骤(一)至(六)计算获得。

图3比较了本发明中基于多模板的同步捕获算法和文献[1]中提出的基于噪声模板的同步捕获算法的均方误差

性能曲线。图中信噪比(SNR)通过

计算，其中E_s是发射信号每符号内的能量，

为噪声功率谱密度。从图中可以看出，本发明中的方法明显优于文献^[1]中提出的基于噪声模板的同步捕获算法，尤其是在高信噪比下，本发明中的方法能达到的最小均方误差在4×10^-7附近，而文献^[1]中提出的算法能达到的最小均方误差为10^-4。此外，随着训练序列长度的增加，

的均方误差有所降低。

图4考察了本发明中的帧级时间偏移估计算法对误比特率的影响。在仿真中，假定已知信道每条多径的幅度α_l，以及每条多径相对第一条多径到达时间τ₀的延时τ_l，0。假定已知上述信道信息后，仿真中使用了相关接收机对数据进行解调。作为比较，图中也分别画出了在理想同步捕获(即假定帧级时间偏移n_f信息已知)和没有同步捕获的情况下的误比特率曲线。从图4可以看出，误比特率随着训练序列符号的增加而提高和信噪比的提高而逐渐降低。结合图3和4，也可以看出BER与MSE的效果是一致的，即好的MSE效果会产生好的BER效果。

附录

附录一发明内容中(12)-(14)式的证明

将(6)代入(9)可得，

将(3)式代入到(21)式中可得，

从(3)式可知，w(t)的非零区间为[0，T_f]，这表明(22)式积分区间可以简化为[0，T_f]。为了简单，我们引由于假定没有帧间干扰(IFI)，

的最大区间也为[0，T_f]，则

的非零区间为[-mT_f+a_nΔ+ξ，-mT_f+a_nΔ+ξ+T_f]。由于a_nΔ∈{0，T_f/2}和ξ∈[0，T_f)，所以仅当m＝0，1或2时，[-mT_f+a_nΔ+ξ，-mT_f+a_nΔ+ξ+T_f]∩[0，T_f]为非空集合。因此(22)式可以简化为

其中j＝nN_f+k-m-n_f。为了进一步简化(23)式，计算m＝0，1和2时的

●对于0≤k≤n_f-1，当m＝0，1，2时，

●对于k＝n_f，当m＝1，2时，

当m＝0时，

●对于k＝n_f+1，当m＝2时，

当m＝0，1时，

●对于k≥n_f+2，当m＝0，1，2时，

因此，(23)式可以写为

(24)

式(24)表明，由于时间偏移τ₀＝n_fT_f+ξ，Y₀[n]依赖于两个连续的符号a_n-1和a_n。定义

为

$I_{\mathrm{\&xi;},a_n}\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{=}{E}_f{\&Integral;}_0^{T_f}\underset{m=0}{\overset{2}{\mathrm{\&Sigma;}}}{p}_R^2(t+{\mathrm{mT}}_f-a_n\mathrm{\&Delta;}-\mathrm{\&xi;})w\left(t\right)\mathrm{dt}---\left(25\right)$

对于1≤n≤N₀-1，训练序列满足a_n＝a_n-1。因此式(24)可以写为

Y₀[n]＝N_fI_ξ，0+M₀[n]

其中I_ξ，0是在(25)式中定义的

当a_n＝0时的取值。式(12)得证，同理可证式(13)，(14)。

附录二发明内容中(18)-(20)式的证明

对于N₀≤n≤N-1，训练序列的选择满足a_n≠a_n-1。因此式(24)可以写为

$Y_0\left[n\right]=n_f{I}_{\mathrm{\&xi;},a_{n-1}}+(N_f-n_f-1)I_{\mathrm{\&xi;},a_n}+{\mathrm{\&mu;}}_{\mathrm{\&xi;},a_{n-1}}+M_0\left[n\right]---\left(26\left(\right)\right)$

其中

定义为

${\mathrm{\&mu;}}_{\mathrm{\&xi;},a_{n-1}}\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{=}{E}_f{\&Integral;}_0^{T_f}[{2p}_R^2(t+{2T}_f-a_{n-1}\mathrm{\&Delta;}-\mathrm{\&xi;})+p_R^2(t+T_f-a_{n-1}\mathrm{\&Delta;}-\mathrm{\&xi;})+p_R^2(t-a_n\mathrm{\&Delta;}-\mathrm{\&xi;})-p_R^2(t+{2T}_f-a_n\mathrm{\&Delta;}-\mathrm{\&xi;})]w\left(t\right)\mathrm{dt}---\left(27\right)$

接下米为了推导证明(18)式，首先需要证明以下三个定理。

定理1：对任意的ξ∈[0，T_f)，参数I_ξ，0和I_ξ，1满足

I_ξ，0＝-I_ξ，1                       (28)

证明：将a_n＝0代入(25)，可得

$I_{\mathrm{\&xi;},0}=E_f{\&Integral;}_0^{T_f}[p_R^2(t+{2T}_f-\mathrm{\&xi;})\mathrm{dt}+p_R^2(t+T_f-\mathrm{\&xi;})\mathrm{dt}+p_R^2(t-\mathrm{\&xi;})]w\left(t\right)\mathrm{dt}---\left(29\right)$

由于

的非零区间[0，T_f]，所以

的非零区间为[-2T_f+ξ，-T_f+ξ。注意到ξ∈[0，T_f)，那么

在[0，T_f]均为0。再将(3)中w(t)的定义式代入(29)，可得

$I_{\mathrm{\&xi;},0}=E_f({\&Integral;}_0^{\frac{T_f}{2}}{p}_R^2(t+T_f-\mathrm{\&xi;})\mathrm{dt}+{\&Integral;}_0^{\frac{T_f}{2}}{p}_R^2(t-\mathrm{\&xi;})\mathrm{dt}-{\&Integral;}_{\frac{T_f}{2}}^{T_f}{p}_R^2(t+T_f-\mathrm{\&xi;})\mathrm{dt}-{\&Integral;}_{\frac{T_f}{2}}^{T_f}{p}_R^2(t-\mathrm{\&xi;})\mathrm{dt})---\left(30\right)$

对上式的第一部分和第三部分做变量替换τ＝t+T_f-ξ，第二部分和第四部分做变量替换τ＝t-ξ可得

$I_{\mathrm{\&xi;},0}=E_f({\&Integral;}_{T_f-\mathrm{\&xi;}}^{\frac{{3T}_f}{2}-\mathrm{\&xi;}}{p}_R^2\left(\mathrm{\&tau;}\right)\mathrm{d\&tau;}+{\&Integral;}_{-\mathrm{\&xi;}}^{\frac{T_f}{2}-\mathrm{\&xi;}}{p}_R^2\left(\mathrm{\&tau;}\right)\mathrm{d\&tau;}-{\&Integral;}_{\frac{{3T}_f}{2}-\mathrm{\&xi;}}^{{2T}_f-\mathrm{\&xi;}}{p}_R^2\left(\mathrm{\&tau;}\right)\mathrm{d\&tau;}-{\&Integral;}_{\frac{T_f}{2}-\mathrm{\&xi;}}^{T_f-\mathrm{\&xi;}}{p}_R^2\left(\mathrm{\&tau;}\right)\mathrm{d\&tau;})---\left(31\right)$

当0≤ξ＜T_f/2时，有3T_f/2-ξ≥T_f和-ξ＜0，因为

的非零区间[0，T_f]，(31)式可以简化为

$I_{\mathrm{\&xi;},0}=E_f{\&Integral;}_{T_f-\mathrm{\&xi;}}^{T_f}{p}_R^2\left(\mathrm{\&tau;}\right)\mathrm{d\&tau;}+E_f{\&Integral;}_0^{\frac{T_f}{2}-\mathrm{\&xi;}}{p}_R^2\left(\mathrm{\&tau;}\right)\mathrm{d\&tau;}-E_f{\&Integral;}_{\frac{T_f}{2}-\mathrm{\&xi;}}^{T_f-\mathrm{\&xi;}}{p}_R^2\left(\mathrm{\&tau;}\right)\mathrm{d\&tau;}---\left(32\right)$

利用同样的方法，将a＝1代入(25)式计算I_ξ，1，可得

$I_{\mathrm{\&xi;},1}=E_f{\&Integral;}_{\frac{T_f}{2}-\mathrm{\&xi;}}^{T_f}{p}_R^2\left(\mathrm{\&tau;}\right)\mathrm{d\&tau;}+E_f{\&Integral;}_0^{\frac{T_f}{2}-\mathrm{\&xi;}}{p}_R^2\left(\mathrm{\&tau;}\right)\mathrm{d\&tau;}-E_f{\&Integral;}_{T^f-\mathrm{\&xi;}}^{T_f}{p}_R^2\left(\mathrm{\&tau;}\right)\mathrm{d\&tau;}---\left(33\right)$

比较(32)式和(33)式，可以证明当0≤ξ＜T_f/2时，定理1成立。

同理可以证明定理1在T_f/2≤ξ＜T_f时也成立。

定理2：存在某个T_η，T_f/4＜T_η＜T_f/2满足：

$\left\{\begin{array}{cc}{J}_{\mathrm{\&xi;},0}>0,& \mathrm{\&xi;}\&Element;[0,T_{\mathrm{\&eta;}})\&cup;[T_{\mathrm{\&eta;}}+T_f/2,T_f)\\ J_{\mathrm{\&xi;},0}<0,& \mathrm{\&xi;}\&Element;[T_{\mathrm{\&eta;}},T_{\mathrm{\&eta;}}+T_f/2)\end{array}\right.----\left(34\right)$

证明：利用(31)式，可以证明

有

$I_{\mathrm{\&xi;}+\frac{T_f}{2},0}=E_f{\&Integral;}_{\frac{T_f}{2}-\mathrm{\&xi;}}^{T_f-\mathrm{\&xi;}}{p}_R^2\left(t\right)\mathrm{dt}-E_f{\&Integral;}_{T_f-\mathrm{\&xi;}}^{T_f}{p}_R^2\left(t\right)\mathrm{dt}-E_f{\&Integral;}_0^{\frac{T_f}{2}-\mathrm{\&xi;}}{p}_R^2\left(t\right)\mathrm{dt}=-I_{\mathrm{\&xi;},0}---\left(35\right)$

将ξ＝0代入(32)式，可得

由于P_R(t)＝h(t)*p(t)，

其中发射脉冲p(t)具有单位能量。由于h(t)的功率时延谱(power delay profile，PDP)呈指数衰减，所以P_R(t)的功率时延谱也呈指数衰减。因此可以推出

和

进而可以得到I_0，0＞0，利用(35)式，有

现在，证明存在某个0＜T_η＜T_f/2，满足

对

$I_{\mathrm{\&xi;},0}-I_{\mathrm{\&xi;}+h,0}=E_f{\&Integral;}_{T_f/2-\mathrm{\&xi;}-h}^{T_f/2-\mathrm{\&xi;}}{P}_R^2\left(t\right)\mathrm{dt}-E_f{\&Integral;}_{T_f-\mathrm{\&xi;}-h}^{T_f-\mathrm{\&xi;}}{P}_R^2\left(t\right)\mathrm{dt}---\left(36\right)$

由于P_R(t)的功率时延谱呈指数衰减，有I_ξ，0-I_ξ+h，0≥0，即当ξ从0增加到T_f/2时，I_ξ，0单调递减。由于I_0，0＞0和所以存在某个0＜T_η＜T_f/2，满足

最后，证明T_η≥T_f/4。把ξ＝T_f/4带入到(32)式，可以得到

$I_{\frac{T_f}{4},0}=E_f{\&Integral;}_0^{\frac{T_f}{4}}{p}_R^2\left(t\right)\mathrm{dt}+E_f{\&Integral;}_{\frac{{3T}_f}{4}}^{T_f}{p}_R^2\left(t\right)\mathrm{dt}-E_f{\&Integral;}_{\frac{T_f}{4}}^{\frac{{3T}_f}{4}}{p}_R^2\left(t\right)\mathrm{dt}---\left(37\right)$

利用 $E_f{\&Integral;}_{T_f/2}^{T_f}{P}_R^2\left(t\right)\mathrm{dt}\&ap;0,$ 有 $I_{\frac{T_f}{4},0}\&ap;E_f{\&Integral;}_0^{\frac{T_f}{4}}{p}_R^2\left(t\right)\mathrm{dt}-E_f{\&Integral;}_{\frac{T_f}{4}}^{\frac{T_f}{2}}{p}_R^2\left(t\right)\mathrm{dt}.$ 由于P_R(t)的功率时延谱呈指数衰减，可以很容易地得到

因此，我们有T_η＞T_f/4。鉴于 $I_{\mathrm{\&xi;},0}=-I_{\mathrm{\&xi;}+T_f/\mathrm{2,0}},$ $\&ForAll;\mathrm{\&xi;}\&Element;[0,T_f/2),$ 定理2得证。

定理3：当|I_ξ，0/ε_f|＞1/2，其中满足

${\mathrm{\&mu;}}_{\mathrm{\&xi;},0}=\left\{\begin{array}{cc}(-1-\mathrm{\&epsiv;})I_{\mathrm{\&xi;},0},& \mathrm{\&xi;}\&Element;[0,T_{\mathrm{\&eta;}})\\ -\mathrm{\&epsiv;}{I}_{\mathrm{\&xi;},0},& \mathrm{\&xi;}\&Element;[T_{\mathrm{\&eta;}},T_{\mathrm{\&eta;}}+T_f/2)\\ (1-\mathrm{\&epsiv;})I_{\mathrm{\&xi;},0},& \mathrm{\&xi;}\&Element;[T_{\mathrm{\&eta;}}+T_f/2,T_f)\end{array}\right.---\left(38\right)$

其中ε∈[-1/2，1/2]。

证明：首先，对于0≤ξ＜T_f/2，将a＝0代入到(27)式，利用与(29)-(32)式的同样的步骤，我们可以得到

${\mathrm{\&mu;}}_{\mathrm{\&xi;},0}=E_f{\&Integral;}_{T_f-\mathrm{\&xi;}}^{T_f}{p}_R^2\left(t\right)\mathrm{dt}-E_f{\&Integral;}_0^{\frac{T_f}{2}-\mathrm{\&xi;}}{p}_R^2\left(t\right)\mathrm{dt}---\left(39\right)$

由于P_R(t)的功率时延谱呈指数衰减，

(39)式中的第一部分

可以被忽略。因此有同样利用

和式(32)中的I_ξ，0可以简化为：

${\mathrm{\&epsiv;}}_f\&ap;E_f{\&Integral;}_0^{\frac{T_f}{2}-\mathrm{\&xi;}}{p}_R^2\left(t\right)\mathrm{dt}+E_f{\&Integral;}_{\frac{T_f}{2}-\mathrm{\&xi;}}^{T_f-\mathrm{\&xi;}}{p}_R^2\left(t\right)\mathrm{dt}---\left(40\right)$

$I_{\mathrm{\&xi;},0}\&ap;E_f{\&Integral;}_0^{\frac{T_f}{2}-\mathrm{\&xi;}}{p}_R^2\left(t\right)\mathrm{dt}-E_f{\&Integral;}_{\frac{T_f}{2}-\mathrm{\&xi;}}^{T_f-\mathrm{\&xi;}}{p}_R^2\left(t\right)\mathrm{dt}---\left(41\right)$

利用式(39)，(40)和(41)可以得到

${\mathrm{\&mu;}}_{\mathrm{\&xi;},0}\&ap;-E_f{\&Integral;}_0^{\frac{T_f}{2}-\mathrm{\&xi;}}{p}_R^2\left(t\right)\mathrm{dt}\&ap;-\frac{1}{2}({\mathrm{\&epsiv;}}_f+I_{\mathrm{\&xi;},0})---\left(42\right)$

因此，有 $\frac{{\mathrm{\&mu;}}_{\mathrm{\&xi;},0}}{I_{\mathrm{\&xi;},0}}\&ap;-\frac{1}{2}-\frac{1}{{2I}_{\mathrm{\&xi;},0}/{\mathrm{\&epsiv;}}_f},$ 进而推出，当 $1>\frac{I_{\mathrm{\&xi;},0}}{{\mathrm{\&epsiv;}}_f}>\frac{1}{2}$ 时， $-1>\frac{{\mathrm{\&mu;}}_{\mathrm{\&xi;},0}}{I_{\mathrm{\&xi;},0}}>-\frac{3}{2}.$

当T_f/2≤ξ＜T_f时，利用同样的方法可以得到 $\frac{{\mathrm{\&mu;}}_{\mathrm{\&xi;},0}}{I_{\mathrm{\&xi;},0}}\&ap;\frac{1}{2}+\frac{1}{{2I}_{\mathrm{\&xi;},0}/{\mathrm{\&epsiv;}}_f}.$ 当 $-1<\frac{I_{\mathrm{\&xi;},0}}{{\mathrm{\&epsiv;}}_f}<-\frac{1}{2}$ 时， $0>\frac{{\mathrm{\&mu;}}_{\mathrm{\&xi;},0}}{I_{\mathrm{\&xi;},0}}>-\frac{1}{2};$ 当 $1>\frac{I_{\mathrm{\&xi;},0}}{{\mathrm{\&epsiv;}}_f}>\frac{1}{2}$ 时， $\frac{3}{2}>\frac{{\mathrm{\&mu;}}_{\mathrm{\&xi;},0}}{I_{\mathrm{\&xi;},0}}>1.$ 定理3得证。

接下来，利用定理1和定理3来推导证明(18)式。

对于N₀≤n≤N-1，训练序列的选择满足a_n≠a_n-1，即a_n＝0，a_n-1＝1或a_n＝1，a_n-1＝0。利用定理1中的I_ξ，0＝-I_ξ，1，此时有

将式(38)和

代入(26)式，可得

$Y_0\left[n\right]=\left\{\begin{array}{cc}(2\mathrm{\&psi;}-N_f)I_{\mathrm{\&xi;},a_{n-1}}+M_0\left[n\right],& \mathrm{\&xi;}\&Element;[0,T_{\mathrm{\&eta;}})\\ (2\mathrm{\&psi;}-N_f+1)I_{\mathrm{\&xi;},a_{n-1}}+M_0\left[n\right],& \mathrm{\&xi;}\&Element;[T_{\mathrm{\&eta;}},T_{\mathrm{\&eta;}}+\frac{T_f}{2})\\ (2\mathrm{\&psi;}-N_f+1)I_{\mathrm{\&xi;},a_{n-1}}+M_0\left[n\right],& \mathrm{\&xi;}\&Element;[T_{\mathrm{\&eta;}}+\frac{T_f}{2},T_f)\end{array}\right.----\left(43\right)$

最后把

代入(43)式即得到(18)式，(18)式得证。

Y₁[n]的分解与模板W₁(t)相对W₀(t)的延时T_d有关，则Y₁[n]可表示为

$Y_1\left[n\right]={\&Integral;}_{\frac{T_f}{4}}^{T_s+T_d}R(t+{\mathrm{nT}}_s)W_0(t-T_d)\mathrm{dt}={\&Integral;}_0^{T_s}R(t+n{T}_s+T_d)W_0\left(t\right)\mathrm{dt}---\left(44\right)$

把式(4)式代入(44)式可得，

其中τ′₀＝τ′₀-T_d＝n_fT_f+ξ-T_d。它满足当ξ∈[0，T_d)时，

当ξ∈[T_d，T_f)时，

因此τ′₀可表示为，

${\mathrm{\&tau;}}_0^{\&prime;}=\left\{\begin{array}{cc}(n_f-1)T_f+{\mathrm{\&xi;}}_1,& {\mathrm{\&xi;}}_1\&Element;[T_f-T_d,T_f)\\ n_f{T}_f+{\mathrm{\&xi;}}_1,& {\mathrm{\&xi;}}_1\&Element;[0,T_f-T_d)\end{array}\right.---\left(46\right)$

其中

比较式(21)和(45)可以看出，两者的区别仅在于(21)中的τ₀被(45)式中的τ′₀替代，因此Y₁[n]应该具有与Y₀[n]类似的分解形式。当N₀≤n≤N-1时，Y₁[n]可分解为

$Y_1\left[n\right]=\left\{\begin{array}{cc}(2\mathrm{\&psi;}-N_f)I_{{\mathrm{\&xi;}}_1,a_{n-1}}+M_1\left[n\right],& {\mathrm{\&xi;}}_1\&Element;[0,T_{\mathrm{\&eta;}})\&cup;(T_{\mathrm{\&eta;}}+\frac{T_f}{2},T_f)\\ (2\mathrm{\&psi;}-N_f+1)I_{{\mathrm{\&xi;}}_1,a_{n-1}}+M_1\left[n\right],& {\mathrm{\&xi;}}_1\&Element;[\frac{{3T}_f}{4},T_{\mathrm{\&eta;}}+\frac{T_f}{2})\\ (2\mathrm{\&psi;}-N_f+1)I_{{\mathrm{\&xi;}}_1,a_{n-1}}+M_1\left[n\right],& {\mathrm{\&xi;}}_1\&Element;[T_{\mathrm{\&eta;}},\frac{{3T}_f}{2})\end{array}\right.----\left(47\right)$

注意，式(47)与式(43)有所不同，这是由于当ξ₁∈[T_f-T_d，T_f)时，

所以(43)中的Ψ替换为Ψ-1。定义

用J_ξ，a和ξ代替(46)-(47)式的

和ξ₁，当模板W₁(t)相对W₀(t)的延时T_d≥T_η时，即可推出(19)式，且(19)式中的J_ξ，0满足

$\left\{\begin{array}{cc}{J}_{\mathrm{\&xi;},0}<0,& \mathrm{\&xi;}\&Element;[0,T_{\mathrm{\&eta;}}-\frac{T_f}{2}+T_d)\&cup;[T_{\mathrm{\&eta;}}+T_d,T_f)\\ J_{\mathrm{\&xi;},0}>0,& \mathrm{\&xi;}\&Element;[T_{\mathrm{\&eta;}}-\frac{T_f}{2}+T_d,T_{\mathrm{\&eta;}}+T_d)\end{array}\right.---\left(48\right)$

(19)式得证，同理可证当模板W₁(t)相对W₀(t)的延时T_d＜T_η时，Y₁[n]的分解式(20)。

附录三说明内容中命题1的证明

当模板W₁(t)相对W₀(t)的延时T_d≥T_η时，I_ξ，0和J_ξ，0分别满足(34)式和(48)式，比较(34)和(48)，可以得到如下的结论

(1)如果I_ξ，0＞0且J_ξ，0＞0，那么

(2)如果I_ξ，0＜0且J_ξ，0＞0，那么

(3)如果I_ξ，0＜0且J_ξ，0＜0，那么

(4)如果I_ξ，0＞0且J_ξ，0＜0，那么

上述第4种情况表明，当I_ξ，0＞0且J_ξ，0＜0时，用I_ξ，0和J_ξ，0的符号并不能足以断定

还是

为了解决这个问题，我们引入了第三个模板W₂(t)。利用与附录二中定理2类似的证明，我们证明了在这种情况下，当

时，K_ξ，0＞0；当

时，K_ξ，0＜0，命题1得证。

同理可证明当模板W₁(t)相对W₀(t)的延时T_d＜T_η时的命题2成立。

参考文献：

[1]Z.Tian and G.B.Giannakis，“AGLRT approach to data-aided timing acquisition in UWB radios-Part I：Algorithms，”IEEE Trans.Wireless Communication.，vol.53，Nov 2005，pp.IV.1952-1963.

[2]B.Analui and A.Hajimiri，“Statistical analysis of integrated passive delay lines，”in Proc.IEEECustom Integrated Circuits Conf.，Sept.2003，pp.107-110.

[3]Klaus Witrisal，Geert Leus，Gerard J.M.Janssen，Marco Pausini，Florian Troesch，Thomas Zasowski，and Jac Romme，“Noncoherent Ultra-Wideband Systems，”IEEE SIGNAL PROCESSINGMAGAZINE，July 2009，pp.48-66.

[4]J.Foerster，”Channel modeling sub-commitee report final，”IEEE P802.15-02/490.Feb.2003

[5]A.F.Molisch et al.，“IEEE 802.15.4a channel model-final report，”IEEE 802.15 WPAN Low RateAltemative PHY Task Group 4a(TG4a)，Tech.Rep..Nov.2004.

Claims (1)

1.一种基于最大似然准则的多模板超宽带信号帧级时间精度同步捕获方法，其特征在于仅依赖于符号级采样数据实现帧级时间精度的同步捕获，避免了使用千兆以上采样速率的A/D转换器；超宽带信号同步的目的就是要估计接收信号中第一条多径的到达时间τ₀，而τ₀可分解为：τ₀＝n_sT_s+n_fT_f+ξ，其中

是符号级时间偏移，

是帧级时间偏移，ξ∈[0，T_f)是帧内误差，符号周期T_s远大于帧周期T_f，一般是帧周期的整数倍；本发明中的帧级时间同步捕获就是要利用符号级采样数据估算出τ₀的符号级时间偏移n_s和帧级时间偏移n_f；一旦完成了帧级时间精度同步捕获，超宽带信号同步通过锁相环电路追踪帧内误差ξ；符号级时间偏移n_s利用符号级的采样速率通过传统的能量检测完成；而利用符号级采样数据估算出帧级时间偏移n_f的具体过程如下：

第1、首先由发送端发送训练序列；

第1.1、发送的训练序列的信号表示为：

其中p(t)是发送的单个脉冲波形，且具有归一化能量，即∫p²(t)dt＝1，E_f表示每帧内的总能量，T_f是发射信号的帧间隔，即脉冲重复周期，N_f是一个符号内帧的个数，则符号周期T_s＝N_fT_f，N为训练序列的总长度，

是周期为N_ds的伪随机DS码序列，其中d_l∈{±1}，时间偏移量Δ被设为T_f/2，a_n∈{0，1}是待调制的训练序列比特，

表示取底运算，

表示取不大于j/N_f的最小非负整数；

第1.2、训练序列的设计如下：

设训练序列总长度为N，前N₀个比特全部为0，剩余的N-N₀个比特1，0交替，即

第2、在接收端，需要构造三个模板W₀(t)，W₁(t)和W₂(t)，分别设计如下：

模板W₀(t)定义为：

$W_0\left(t\right)=\underset{k=0}{\overset{N_f-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}w(t-{\mathrm{kT}}_f),$

模板w₁(t)可以看成W₀(t)在时间上的一个延时，延时时间用T_d表示，其中T_d可以在(0，T_f/2)之间选取；

模板W₂(t)在同步过程中起辅助作用，定义如下：

$W_2\left(t\right)=\underset{k=0}{\overset{N_f-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}v(t-{\mathrm{kT}}_f),$

其中T_v＝T_f/10；

第3、接收信号r(t)首先通过一个平方律检波器，然后将输出信号R(t)分别与模板W₀(t)，W₁(t)和W₂(t)相乘，并且以符号周期T_s为采样周期进行积分采样，得到三组输出序列 和

Y₀[n]，Y₁[n]和Y₂[n]的数学表达式分别为

$Y_0\left[n\right]={\&Integral;}_0^{T_s}R(t+{\mathrm{nT}}_s)W_0\left(t\right)\mathrm{dt}$

$Y_1\left[n\right]={\&Integral;}_{T_d}^{T_s+T_d}R(t+{\mathrm{nT}}_s)W_1\left(t\right)\mathrm{dt}$

$Y_2\left[n\right]={\&Integral;}_0^{T_s}R(t+{\mathrm{nT}}_s)W_2\left(t\right)\mathrm{dt}$

第4、分别利用三个模板的前N₀个符号级采样数据

和

依据最大似然准则，计算出三个模板的帧能量参数I_ξ，0，J_ξ，0和K_ξ，0的最优估计值分别为：

${\hat{I}}_{\mathrm{\&xi;},0}=\frac{1}{(N_0-1)N_f}\underset{n=0}{\overset{N_0-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{Y}_0\left[n\right],$

${\hat{J}}_{\mathrm{\&xi;},0}=\frac{1}{(N_0-1)N_f}\underset{n=0}{\overset{N_0-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{Y}_1\left[n\right],$

${\hat{K}}_{\mathrm{\&xi;},0}=\frac{1}{(N_0-1)N_f}\underset{n=0}{\overset{N_0-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{Y}_2\left[n\right],$

第5、利用模板W₀(t)和W₁(t)的后N-N₀个符号级采样数据

和

以及第4步中得到的最优估计值

和

依据最大似然准则，计算出Ψ的最优估计值

其中Ψ定义为 $\mathrm{\&psi;}\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{=}{n}_f-\mathrm{\&epsiv;}/2,$ $\mathrm{\&epsiv;}\&Element;[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}];$

第5.1、当T_d≥T_η时，计算出的最优估计值

为：

(1)当

且时， $\widehat{\mathrm{\&psi;}}=\frac{1}{A}{\mathrm{\&Sigma;}}_{n=N_0}^{N-1}[Z_n+N_f(I_{\mathrm{\&xi;},0}^2+J_{\mathrm{\&xi;},0}^2)].$

(2)当

且

时， $\widehat{\mathrm{\&psi;}}=\frac{1}{A}{\mathrm{\&Sigma;}}_{n=N_0}^{N-1}[Z_n+(N_f-1)I_{\mathrm{\&xi;},0}^2+N_f{J}_{\mathrm{\&xi;},0}^2].$

(3)当

且

时， $\widehat{\mathrm{\&psi;}}=\frac{1}{A}{\mathrm{\&Sigma;}}_{n=N_0}^{N-1}[Z_n+(N_f-1)(I_{\mathrm{\&xi;},0}^2+J_{\mathrm{\&xi;},0}^2)].$

(4)当

且

时， $\widehat{\mathrm{\&psi;}}=\left\{\begin{array}{c}\frac{1}{A}{\mathrm{\&Sigma;}}_{n=N_0}^N[Z_n+N_f{I}_{\mathrm{\&xi;},0}^2+(N_f+1)J_{\mathrm{\&xi;},0}^2],{\hat{K}}_{\mathrm{\&xi;},0}>0\\ \frac{1}{A}{\mathrm{\&Sigma;}}_{n=N_0}^{N-1}[Z_n+(N_f-2)I_{\mathrm{\&xi;},0}^2+(N_f-1)J_{\mathrm{\&xi;},0}^2],{\hat{K}}_{\mathrm{\&xi;},0}<0\end{array}\right.$

其中， $A\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{=}2(N-N_0)(I_{\mathrm{\&xi;},0}^2+J_{\mathrm{\&xi;},0}^2),$ $Z_n\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{=}{Y}_0\left[n\right]I_{\mathrm{\&xi;},a_{n-1}}+Y_1\left[n\right]J_{\mathrm{\&xi;},a_{n-1}}$

第5.2、当T_d＜T_η时，计算出的最优估计值

为：

(1)当

且

时， $\widehat{\mathrm{\&psi;}}=\left\{\begin{array}{c}\frac{1}{A}{\mathrm{\&Sigma;}}_{n=N_0}^N[Z_n+N_f(I_{\mathrm{\&xi;},0}^2+J_{\mathrm{\&xi;},0}^2)],{\hat{K}}_{\mathrm{\&xi;},0}>0\\ \frac{1}{A}{\mathrm{\&Sigma;}}_{n=N_0}^{N-1}[Z_n+(N_f-2)(I_{\mathrm{\&xi;},0}^2+J_{\mathrm{\&xi;},0}^2)],{\hat{K}}_{\mathrm{\&xi;},0}<0\end{array}\right.$

(2)当

且

时， $\widehat{\mathrm{\&psi;}}=\frac{1}{A}{\mathrm{\&Sigma;}}_{n=N_0}^{N-1}[Z_n+(N_f-1)I_{\mathrm{\&xi;},0}^2+N_f{J}_{\mathrm{\&xi;},0}^2];$

(3)当

且

时， $\widehat{\mathrm{\&psi;}}=\frac{1}{A}{\mathrm{\&Sigma;}}_{n=N_0}^{N-1}[Z_n+(N_f-1)(I_{\mathrm{\&xi;},0}^2+J_{\mathrm{\&xi;},0}^2)];$

(4)当

且

时， $\widehat{\mathrm{\&psi;}}=\frac{1}{A}{\mathrm{\&Sigma;}}_{n=N_0}^{N-1}[Z_n+(N_f-1)I_{\mathrm{\&xi;},0}^2+(N_f-1)J_{\mathrm{\&xi;},0}^2];$

第6、计算帧级时间偏移估计

其中[.]代表四舍五入操作。

Images