CN101653921A - 凸轮轴数控磨削轮廓误差补偿方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种凸轮轴数控磨削轮廓误差补偿方法，a.通过多次试切加工，对加工后凸轮片轮廓线进行离线测量，获取实际轮廓线数据——升程；b.通过对比理论升程和实测升程数据大小，求解整个凸轮片一周的升程误差值，分析升程误差，预测误差；c.构建虚拟升程表并对虚拟升程进行二次光顺处理；d.采用经后处理的虚拟升程表取代原有升程表，进行相同工艺条件下，与该试切凸轮轴同型号的凸轮轴的数控加工。基于以上步骤，编程开发了凸轮轴数控磨削误差分析与补偿处理软件，实现了技术方法的智能化、自动化应用，加工出的凸轮片整个轮廓段的升程误差值整体减小，型线精度明显提高，轮廓表面没有出现烧伤和波纹度，表面质量较好。误差补偿效果十分显著。

Description

凸轮轴数控磨削轮廓误差补偿方法

技术领域

本发明涉及一种误差补偿方法，特别是涉及一种凸轮轴数控磨削加工过程中的轮廓误差补偿方法。

背景技术

凸轮轴是发动机主要零件之一，用于控制发动机的进气和排气，其型线精度对发动机性能的影响是极其关键的，凸轮轴的加工质量和加工效率直接影响到汽车产品的质量和汽车工业的发展。加工精度是凸轮轴磨削加工最重要技术指标之一，提高加工精度的方法主要有：误差防止和误差补偿。误差防止是通过提高机床硬件精度来实现高精度加工，这种方法代价高，不经济，而且加工精度达到一定程度后就很难再提高。而误差补偿是通过对整个加工过程进行分析和建模，并人为地在***中加入一种新的原始误差去减少、抵消原有的原始误差，该方法经济实用，在现代高精加工研究与应用中具有重要的意义。

影响凸轮轮廓误差因素有很多，其中包括机床机械精度、控制***控制参数、环境温度、位置伺服***特性和控制精度以及仿形建模的准确程度等等。在已有的凸轮轮廓误差补偿研究中，主要有两种途径：一是针对单项误差影响因素实施补偿，通过对***参数、轴控制参数的合理设置来提高凸轮轮廓精度。由于实际加工出的凸轮轮廓是多种因素综合作用的结果，所以针对单项误差影响因素建模的方法具有很大局限性；二是基于多体***运动学理论，建立机床各个运动部件的数学模型，推导精密运动的约束方程和参数，并最终生成精密数控指令，以此提高凸轮磨削精度，该方法也只是针对大部分误差影响因素展开补偿研究，无法全面的考虑各种误差的综合影响，且计算量较大，不易推广。可见，现有凸轮轮廓误差补偿的技术存在不完善之处，影响了其在实际加工中的应用。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是提供一种能够分析在特定工艺条件下，各种误差对凸轮轴数控磨削加工精度的综合影响，反映误差全面，能够有效提高凸轮轴轮廓精度的凸轮轴数控磨削轮廓误差补偿方法。

为了解决上述技术问题，本发明提供的凸轮轴数控磨削轮廓误差补偿方法，包括以下步骤：a.通过多次试切加工，对加工后凸轮片轮廓线即型线进行离线测量，获取实际轮廓线数据一升程；b.通过对比理论升程和实测升程数据大小，求解整个凸轮片一周的升程误差值，分析升程误差，预测误差；c构建虚拟升程表并对虚拟升程进行二次光顺处理；d.采用经后处理的虚拟升程表取代原有升程表，进行相同工艺条件下，与该试切凸轮轴同型号的凸轮轴的数控加工，其特征是：

(1)、试切加工

对凸轮片进行试切加工测量前，先将凸轮轴清洗干净，并尽可能将工件放置一小段时间再测量，测量时，对每个凸轮片做多次测量，获得多组实测升程数据；经公式(a)计算出几组数据的升程误差值，观察几组误差的变换趋势；如果几组误差的变化趋势从整体上是基本趋于一致的，说明凸轮轴检测状态比较稳定，此时所检测出的实际轮廓也比较准确；

e＝h_S-h_L    (a)

式中：e-升程误差

h_S-实测升程

h_L-理论升程

经过m次试切加工，每个凸轮片将会产生m组实测升程和升程误差；多次试切升程误差的算数平均值x作为试切所得升程误差，以减小试切加工中不稳定因素影响，如公式(b)所示：

$(\stackrel{\‾}{e_1},\stackrel{\‾}{e_2},\·\·\·,\stackrel{\‾}{e_n})=(\frac{1}{m}\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{e}_{i1},\frac{1}{m}\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{e}_{i2},\·\·\·,\frac{1}{m}\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{e}_{\mathrm{in}})---\left(b\right)$

式中n-升程数据总个数

e_n-第n个转角处升程误差值

m-试切次数

-m次试切，第n个数据的算术平均值

(2)、分析升程误差规律，获取预测误差

首先要实现对于误差规律段的辨识，具体做法为：设定一个误差阈值，该阈值大小视试切加工所得具体误差值而定，通常在0.01～0.04mm之间；当连续多个转角的升程误差值大于所设定阈值时，该段就成为预选规律段，由于预选出的规律段位置长短不一，当段与段之间的距离较小时，将两段预选规律段合为一段，以使预测出的误差值在段与段之间的过渡更光顺；其次对整组升程数据进行曲线拟合处理，以找到升程误差的整体趋势，采用最小二乘法多项式进行曲线拟合处理：

设关于转角x_k和升程误差y_k的一组数据，

(x_k，y_k)x＝1，2，3，...，m    (c)

参数a₀，a₁，a₂，...，a_n(n＜m)，使得多项式p(x)＝a₀+a₁x+...+a_nx_n满足

则称p(x)＝a₀+a₁x+...+a_nx_n为数据(1.1)的n次最小二乘拟合多项式；

由一阶必要条件，使S达到最小值的a₀，a₁，a₂，...，a_n应满足一阶必要条

$\frac{\∂S}{\∂a_j}=0,$ j＝0，1，2，...，n    (e)

直接计算得

${\mathrm{\Σ}}_{i=0}^n\left({\mathrm{\Σ}}_{k=1}^m{x_k}^{i+j}\right)a_i-{\mathrm{\Σ}}_{k=1}^m{y}_k{x_k}^j=0$ j＝0，1，2，...，n    (f)

正规方程组，其对应的系数矩阵为

$\left[\begin{array}{ccccc}m& {\mathrm{\Σ}}_{k=1}^m{x}_k& \·\·\·& {\mathrm{\Σ}}_{k=1}^m{x_k}^n& {\mathrm{\Σ}}_{k=1}^m{y}_k\\ {\mathrm{\Σ}}_{k=1}^m{x}_k& {\mathrm{\Σ}}_{k=1}^m{x_k}^2& \·\·\·& {\mathrm{\Σ}}_{k=1}^m{x_k}^{n+1}& {\mathrm{\Σ}}_{k=1}^m{y}_k{x}_k\\ \·& \·& \·\·\·& \·& \·\\ \·& \·& \·\·\·& \·& \·\\ \·& \·& \·\·\·& \·& \·\\ {\mathrm{\Σ}}_{k=1}^m{x_k}^n& {\mathrm{\Σ}}_{k=1}^m{x_k}^{n+1}& \·\·\·& {\mathrm{\Σ}}_{k=1}^m{x_k}^{2n}& {\mathrm{\Σ}}_{k=1}^m{y}_k{x_k}^n\end{array}\right]---\left(g\right)$

最小二乘问题最终可以归结为求解正规方程组，求解程序中通过高斯消元法将正规方程组化解为同解的上三角形线性代数方程组，然后回代求解a₀，a₁，a₂，...，a_n，得到拟合多项式

p(x)＝a₀+a₁x+...+a_nx_n    (h)

将转角x_k(k＝1，2，3，...，m)反代入式(h)即可求解得到经拟合后新的升程误差值，该误差反映了所有加工误差影响因素对当前状态下凸轮片的影响规律和大小；

为避免出现拟合处理所得曲线无法表达原始数据趋势的现象，本发明采用分段处理的方法，将整个轮廓段均匀的分为三段或四段进行拟合；为避免高次拟合所带来的误差，通常拟合处理的阶次应在3～6之间；

(3)构建虚拟升程表并对虚拟升程进行二次光顺处理

通过前述步骤获得的升程误差值可反映工艺***的稳定误差，即可作为在相同工艺条件下，与该试切凸轮轴同型号的凸轮轴加工后产生的预测误差值；

基于分析处理得到的升程误差，经公式(i)可得到虚拟升程表，

S_x(i)＝S_l(i)-α□E(i)    (i)

式中：S_x(i)-第i个虚拟升程值

S_l(i)-第i个理论升程值

E(i)-第i个预测误差值

α-补偿系数

在预测值前加一比例系数，通常情况下，该比例取在0.5～0.8之间；

采取反复减小误差的方法以消除一次补偿后残余误差的影响；

在二次光顺过程中同样采用最小二乘多项式拟合处理的方法，对补偿后数据进行处理，二次光顺本质上就是光顺补偿段的前后交接处以使得升程误差数据实现一阶、二阶连续，采用交互式处理方法，通过观察升程数据的一阶、二阶导数图寻找到需要光顺段的首尾点，利用最小二乘多项式拟合方法对该段进行处理，并以处理前后的误差值作为光顺成功的判断条件；采用最小二乘法多项式对虚拟升程表进行二次光顺处理，对跳变数据作局部光顺，并以处理前后的误差值作为光顺可行的判断条件，处理误差最大值小于0.010mm；

(4)采用经后处理的虚拟升程表取代原有升程表，进行相同工艺条件下，与该试切凸轮轴同型号的凸轮轴的数控加工。

基于以上步骤，通过编程开发了凸轮轴数控磨削误差分析与补偿处理软件，实现了技术方法的智能化、自动化应用。

本发明采取人为引入误差来抵消或减小工艺***稳定误差影响的误差补偿原理，通过比较凸轮理论轮廓与试切加工后的实际轮廓，分析找出***所有误差对凸轮加工影响的规律，依据规律类别和大小构建虚拟升程表，为后续凸轮磨削加工实施预补偿。通过采用上述误差补偿方法，加工出的凸轮片整个轮廓段的升程误差值整体减小，型线精度得到明显提高。同时轮廓表面没有出现烧伤和波纹度，表面质量较好。误差补偿效果十分显著。

附图说明

图1误差规律段自动辨识程序流程图；

图2自动分析合并短间距段流程图；

图3误差分析补偿处理整体流程图；

图4试切所得凸轮片升程误差图；

图5试切升程误差与预测误差对比图；

图6误差补偿前后加工效果对比图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施方式对本发明作进一步说明。

实施例1：

(1)试切加工

对凸轮片进行试切加工测量前，先将凸轮轴清洗干净，并尽可能将工件放置一小段时间再测量。测量时，对每个凸轮片做多次测量，获得多组实测升程数据。经公式(a)计算出几组数据的升程误差值，观察几组误差的变换趋势。如果几组误差的变化趋势从整体上是基本趋于一致的，说明凸轮轴检测状态比较稳定，此时所检测出的实际轮廓也比较准确。

e＝h_S-h_L    (a)

式中：e-升程误差

h_S-实测升程

h_L-理论升程

经过m次试切加工，每个凸轮片将会产生m组实测升程和升程误差。多次试切升程误差的算数平均值x作为试切所得升程误差，以减小试切加工中不稳定因素影响，如公式(b)所示。

$(\stackrel{\‾}{e_1},\stackrel{\‾}{e_2},\·\·\·,\stackrel{\‾}{e_n})=(\frac{1}{m}\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{e}_{i1},\frac{1}{m}\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{e}_{i2},\·\·\·,\frac{1}{m}\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{e}_{\mathrm{in}})---\left(b\right)$

式中n-升程数据总个数

e_n-第n个转角处升程误差值

m-试切次数

-m次试切，第n个数据的算术平均值

(2)分析升程误差规律，获取预测误差

凸轮轴磨削加工中，对已具有较高精度即误差值较小的升程段不需要再预补偿，防止误差加大。因此，在分析误差时，只需要分析加工误差比较大，而且误差规律比较明显的段，即所谓的规律段，以有效的提高凸轮轴的磨削精度。

首先要实现对于误差规律段的辨识，本发明中采用软件编程的方法自动完成。具体做法为：设定一个误差阈值，该阈值大小视试切加工所得具体误差值而定，通常在0.01～0.04mm之间。当连续多个转角的升程误差值大于所设定阈值时，该段就成为预选规律段，由于预选出的规律段位置长短不一，当段与段之间的距离较小时，将两段预选规律段合为一段，以使预测出的误差值在段与段之间的过渡更光顺。规律段自动辨识及短间距段合并的程序流程图如附图1、2所示。

其次对整组升程数据进行曲线拟合处理，以找到升程误差的整体趋势。

曲线拟合通常有两种方法：(1)数据存在测量误差或数据包含误差比较大，如果要求所求曲线通过所有的点，就会使曲线保留所有的测量误差，这并不是所希望的。而是希望求出一条近似光滑的曲线，并能反映测试数据的一般趋势，尽量使曲线没有波动，一般采用最小二乘法多项式拟合。(2)让曲线通过所有给定点，该方法适用于没有测量误差的近似曲线拟合，它可以用插值法近似求解，一般采用三次样条函数拟合。因凸轮轴升程误差通常跳动较大，本发明采用最小二乘法多项式进行曲线拟合处理。

设关于转角x_k和升程误差y_k的一组数据，

(x_k，y_k)x＝1，2，3，...，m    (c)

参数a₀，a₁，a₂，...，a_n(n＜m)，使得多项式p(x)＝a₀+a₁x+...+a_nx_n满足

则称p(x)＝a₀+a₁x+...+a_nx_n为数据(1.1)的n次最小二乘拟合多项式。

由一阶必要条件，使S达到最小值的a₀，a₁，a₂，...，a_n应满足一阶必要条

$\frac{\∂S}{\∂a_j}=0,$ j＝0，1，2，...，n    (e)

直接计算得

${\mathrm{\Σ}}_{i=0}^n\left({\mathrm{\Σ}}_{k=1}^m{x_k}^{i+j}\right)a_i-{\mathrm{\Σ}}_{k=1}^m{y}_k{x_k}^j=0$ j＝0，1，2，...，n    (f)

正规方程组，其对应的系数矩阵为

$\left[\begin{array}{ccccc}m& {\mathrm{\Σ}}_{k=1}^m{x}_k& \·\·\·& {\mathrm{\Σ}}_{k=1}^m{x_k}^n& {\mathrm{\Σ}}_{k=1}^m{y}_k\\ {\mathrm{\Σ}}_{k=1}^m{x}_k& {\mathrm{\Σ}}_{k=1}^m{x_k}^2& \·\·\·& {\mathrm{\Σ}}_{k=1}^m{x_k}^{n+1}& {\mathrm{\Σ}}_{k=1}^m{y}_k{x}_k\\ \·& \·& \·\·\·& \·& \·\\ \·& \·& \·\·\·& \·& \·\\ \·& \·& \·\·\·& \·& \·\\ {\mathrm{\Σ}}_{k=1}^m{x_k}^n& {\mathrm{\Σ}}_{k=1}^m{x_k}^{n+1}& \·\·\·& {\mathrm{\Σ}}_{k=1}^m{x_k}^{2n}& {\mathrm{\Σ}}_{k=1}^m{y}_k{x_k}^n\end{array}\right]---\left(g\right)$

最小二乘问题最终可以归结为求解正规方程组。求解程序中通过高斯消元法将正规方程组化解为同解的上三角形线性代数方程组，然后回代求解a₀，a₁，a₂，...，a_n，得到拟合多项式

p(x)＝a₀+a₁x+...+a_nx_n    (h)

将转角x_k(k＝1，2，3，...，m)反代入式(h)即可求解得到经拟合后新的升程误差值，该误差反映了所有加工误差影响因素对当前状态下凸轮片的影响规律和大小。

为避免出现拟合处理所得曲线无法表达原始数据趋势的现象，本发明采用分段处理的方法，将整个轮廓段均匀的分为三段或四段进行拟合。为避免高次拟合所带来的误差，通常拟合处理的阶次应在3～6之间。

(3)建立虚拟升程表及后处理。

通过前述步骤获得的升程误差值可反映工艺***的稳定误差，即可作为在相同工艺条件下，与该试切凸轮轴同型号的凸轮轴加工后产生的预测误差值。

基于分析处理得到的升程误差，经公式(i)可得到虚拟升程表。

S_x(i)＝S_l(i)-α□E(i)

                         (i)

式中：S_x(i)-第i个虚拟升程值

S_l(i)-第i个理论升程值

E(i)-第i个预测误差值

α-补偿系数

由于分析预测误差值的方法差异、加工中不稳定因素对后续零件加工的干扰，导致预测出的误差值不可能做到绝对的稳定，故在预测值前加一比例系数，通常情况下，该比例取在0.5～0.8之间。

采取反复减小误差的方法以消除一次补偿后残余误差的影响。如果***稳定性较好可加大补偿系数和减小补偿次数，相反，如果***稳定性不高，可减小补偿系数，多次补偿来逼近理论值。

经预补偿的凸轮升程是在原始理论升程的基础上反向叠加了误差预测值，所以预补偿后的升程在整体光顺性上有所降低，从而导致加工过程中砂轮架的速度和加速度跳变比较剧烈，这样反而加大了凸轮表面波纹度和棱面，降低表面质量。为了能将预测的误差值成功的添加到原始理论升程中，又能减小因原始升程的改动对表面质量造成的影响，需要对补偿后的升程进行二次光顺。由于此时的升程已经包含了误差的预测值，所以光顺的过程中，如果升程数据的改变量过大，就可能将预测误差值降低，从而影响补偿的效果和精度。

基于此原则，在二次光顺过程中同样采用最小二乘多项式拟合处理的方法，对补偿后数据进行处理。二次光顺本质上就是光顺补偿段的前后交接处以使得升程误差数据实现一阶、二阶连续。为了提高光顺的可靠性和方便性，采用交互式处理方法，通过观察升程数据的一阶、二阶导数图寻找到需要光顺段的首尾点，利用最小二乘多项式拟合方法对该段进行处理，并以处理前后的误差值作为光顺成功的判断条件。采用最小二乘法多项式对虚拟升程表进行二次光顺处理，对跳变数据作局部光顺，并以处理前后的误差值作为光顺可行的判断条件，处理误差最大值小于0.010mm。

(4)采用经后处理的虚拟升程表取代原有升程表，进行相同工艺条件下，与该试切凸轮轴同型号的凸轮轴的数控加工。

实施过程的整体流程如图3所示。

实施例2：

(1)试切加工获取升程误差

本实施例在一台全数控凸轮轴磨床上进行某凸轮轴零件的试切加工，该零件的最大允许升程误差为0.020mm。因该磨床在加工前已经过充分调试预热，运行状态稳定，故试切1次即可。获取的升程误差如图4所示，该凸轮轴最大升程误差在转角99°，误差值为-0.021mm，不满足精度要求

(2)分析升程误差规律，获取预测误差

通过误差分析软件对升程误差曲线进行分析，实现对于规律段的辨识、合并，并对升程误差曲线进行最小二乘法多项式拟合。本实施例中设置误差规律段辨识阈值为0.01mm，采用4阶多项式进行曲线拟合处理，因升程误差曲线规律较明显，无需采用分段拟合处理的方式，全升程段一次性拟合完成。经曲线拟合后获取的预测误差值如图5所示。

(3)构建虚拟升程表并后处理

按照公式(i)构建虚拟升程表，补偿系数α＝0.7。通过该虚拟升程表计算出的砂轮架加速度曲线在转角为160°处发生跳变，故需对虚拟升程表进行二次光顺后处理。经由误差分析软件判断光顺短首尾点为转角127°和160°，对该段进行3阶多项式最小二乘法拟合。

(4)采用虚拟升程表指导加工

采用本实施例构建的虚拟升程表，进行相同工艺条件下该凸轮轴数控磨削加工，其加工效果补偿前后对比如图6所示。从图中可以看出补偿前该凸轮轴最大升程误差处经误差预补偿后，升程误差值降到了-0.007mm，同时，凸轮片最大升程误差降为0.011mm，满足加工需求。可见经过误差分析补偿，凸轮整体误差得到降低，轮廓精度得到明显提高。

在上述实施例中，仅对本发明进行了示范性描述，本发明总的发明构思的范围限定在权利要求及其等同物中，本领域技术人员在不脱离本发明所保护的范围和精神的情况下，可根据不同的实际需要设计出各种实施方式。

Claims (6)

1、一种凸轮轴数控磨削轮廓误差补偿方法，包括以下步骤：a.通过多次试切加工，对加工后凸轮片轮廓线即型线进行离线测量，获取实际轮廓线数据--升程；b.通过对比理论升程和实测升程数据大小，求解整个凸轮片一周的升程误差值，分析升程误差，预测误差；c构建虚拟升程表并对虚拟升程进行二次光顺处理；d.采用经后处理的虚拟升程表取代原有升程表，进行相同工艺条件下，与该试切凸轮轴同型号的凸轮轴的数控加工，其特征是：

(1)、试切加工

对凸轮片进行试切加工测量前，先将凸轮轴清洗干净，并尽可能将工件放置一小段时间再测量，测量时，对每个凸轮片做多次测量，获得多组实测升程数据；经公式(a)计算出几组数据的升程误差值，观察几组误差的变换趋势；如果几组误差的变化趋势从整体上是基本趋于一致的，说明凸轮轴检测状态比较稳定，此时所检测出的实际轮廓也比较准确；

e＝h_S-h_L    (a)

式中：e-升程误差

h_S-实测升程

h_L-理论升程

经过m次试切加工，每个凸轮片将会产生m组实测升程和升程误差；多次试切升程误差的算数平均值x作为试切所得升程误差，以减小试切加工中不稳定因素影响，如公式(b)所示：

$(\stackrel{\‾}{e_1},\stackrel{\‾}{e_2},...,\stackrel{\‾}{e_n})=(\frac{1}{m}\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{e}_{i1},\frac{1}{m}\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{e}_{i2},...,\frac{1}{m}\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{e}_{\mathrm{in}})---\left(b\right)$

式中n-升程数据总个数

e_n-第n个转角处升程误差值

m-试切次数

-m次试切，第n个数据的算术平均值

(2)、分析升程误差规律，获取预测误差

首先要实现对于误差规律段的辨识，具体做法为：设定一个误差阈值，该阈值大小视试切加工所得具体误差值而定，通常在0.01～0.04mm之间；当连续多个转角的升程误差值大于所设定阈值时，该段就成为预选规律段，由于预选出的规律段位置长短不一，当段与段之间的距离较小时，将两段预选规律段合为一段，以使预测出的误差值在段与段之间的过渡更光顺；其次对整组升程数据进行曲线拟合处理，以找到升程误差的整体趋势，采用最小二乘法多项式进行曲线拟合处理：

设关于转角x_k和升程误差y_k的一组数据，

(x_k，y_k)x＝1，2，3，...，m    (c)

参数a₀，a₁，a₂，...，a_n(n＜m)，使得多项式p(x)＝a₀+a₁x+...+a_nx_n满足

则称p(x)＝a₀+a₁x+...+a_nx_n为数据(1.1)的n次最小二乘拟合多项式；由一阶必要条件，使S达到最小值的a₀，a₁，a₂，...，a_n应满足一阶必要条

$\frac{\∂S}{\∂a_j}=0,$ j＝0，1，2，...，n    (e)

直接计算得

${\mathrm{\Σ}}_{i=0}^n\left({\mathrm{\Σ}}_{k=1}^m{x_k}^{i+j}\right)a_i-{\mathrm{\Σ}}_{k=1}^m{y}_k{x_k}^j=0$ j＝0，1，2，...，n    (f)

正规方程组，其对应的系数矩阵为

$\left[\begin{array}{ccccc}m& {\mathrm{\Σ}}_{k=1}^m{x}_k& ...& {\mathrm{\Σ}}_{k=1}^m{x_k}^n& {\mathrm{\Σ}}_{k=1}^m{y}_k\\ {\mathrm{\Σ}}_{k=1}^m{x}_k& {\mathrm{\Σ}}_{k=1}^m{x_k}^2& ...& {\mathrm{\Σ}}_{k=1}^m{x_k}^{n+1}& {\mathrm{\Σ}}_{k=1}^m{y}_k{x}_k\\ .& .& & .& .\\ .& .& ...& .& .\\ .& .& & .& .\\ {\mathrm{\Σ}}_{k=1}^m{x_k}^n& {\mathrm{\Σ}}_{k=1}^m{x_k}^{n+1}& ...& {\mathrm{\Σ}}_{k=1}^m{x_k}^{2n}& {\mathrm{\Σ}}_{k=1}^m{y}_k{x_k}^n\end{array}\right]---\left(g\right)$

最小二乘问题最终可以归结为求解正规方程组，求解程序中通过高斯消元法将正规方程组化解为同解的上三角形线性代数方程组，然后回代求解a₀，a₁，a₂，...，a_n，得到拟合多项式

p(x)＝a₀+a₁x+...+a_nx_n    (h)

将转角x_k(k＝1，2，3，...，m)反代入式(h)即可求解得到经拟合后新的升程误差值，该误差反映了所有加工误差影响因素对当前状态下凸轮片的影响规律和大小；

(3)构建虚拟升程表并对虚拟升程进行二次光顺处理

通过前述步骤获得的升程误差值可反映工艺***的稳定误差，即可作为在相同工艺条件下，与该试切凸轮轴同型号的凸轮轴加工后产生的预测误差值；

基于分析处理得到的升程误差，经公式(i)可得到虚拟升程表，

S_x(i)＝S_l(i)-α□E(i)

                            (i)

式中：S_x(x)-第i个虚拟升程值

S_l(i)-第i个理论升程值

E(i)-第i个预测误差值

α-补偿系数

在预测值前加一比例系数，通常情况下，该比例取在0.5～0.8之间；

采取反复减小误差的方法以消除一次补偿后残余误差的影响；

在二次光顺过程中同样采用最小二乘多项式拟合处理的方法，对补偿后数据进行处理，二次光顺本质上就是光顺补偿段的前后交接处以使得升程误差数据实现一阶、二阶连续，采用交互式处理方法，通过观察升程数据的一阶、二阶导数图寻找到需要光顺段的首尾点，利用最小二乘多项式拟合方法对该段进行处理，并以处理前后的误差值作为光顺成功的判断条件；

(4)采用经后处理的虚拟升程表取代原有升程表，进行相同工艺条件下，与该试切凸轮轴同型号的凸轮轴的数控加工。

2、根据权利要求1所述的凸轮轴数控磨削轮廓误差补偿方法，其特征是：在步骤a中，凸轮片试切次数视机床稳定状态而定。

3、根据权利要求1或2所述的凸轮轴数控磨削轮廓误差补偿方法，其特征是：在上述步骤(2)中，采用分段处理的方法，将整个轮廓段均匀的分为三段或四段进行拟合；为避免高次拟合所带来的误差，通常拟合处理的阶次应在3～6之间。

4、根据权利要求3所述的凸轮轴数控磨削轮廓误差补偿方法，其特征是：若出现全段升程误差数据一次性拟合处理所得曲线无法表达原始数据趋势的现象，采用分段处理的方法，将整个轮廓段均匀的分为三段或四段进行拟合。

5、根据权利要求1或2所述的凸轮轴数控磨削轮廓误差补偿方法，其特征是：步骤(3)中：采用最小二乘法多项式对虚拟升程表进行二次光顺处理，对跳变数据作局部光顺，并以处理前后的误差值作为光顺可行的判断条件，处理误差最大值小于0.010mm。

6、根据权利要求1或2所述的凸轮轴数控磨削轮廓误差补偿方法，其特征是：在步骤(3)中构建虚拟升程表是在相同工艺条件下，针对与该试切凸轮轴同型号的凸轮轴，在原始理论升程的基础上反向叠加乘以比例系数的预测误差值。

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