CN101635936B - 对子集为Gold-like序列的Kasami大集合序列的FHT快速相关检测方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种对子集为Gold-like序列的Kasami大集合序列的FHT(Fast HadamardTransform)快速相关检测方法，属于适用于极低谱密度条件下使用扩频技术的无线通信***的多目标相位检测方法。该方法在维度k＝0，1，...，N′-2时，计算接收信号与Gold-like-Kasami大集合序列码的互相关函数：先固定两个维度，使用一个m序列构成Walsh-Hadamard矩阵，做FHT得到一维相关值，然后分别对两个维度取所有可能值得到所有二维相关值，重排二维相关值得到三维相关值，最后确定峰值所在的三个维度的取值；当k＝N′-1时采用Kasami小集合序列的FHT快速相关检测方法。本方法只包含加法运算，没有乘法运算，极大地减少了运算量。

Description

对子集为Gold-like序列的Kasami大集合序列的FHT快速相关检测方法

技术领域

本发明涉及一种对子集为Gold-like序列的Kasami大集合序列的FHT(Fast HadamardTransform)快速相关检测方法，是一种适用于极低谱密度条件下使用扩频技术的无线通信***的多目标相位检测方法，属于移动通信中的同步技术领域。

背景技术

在极低谱密度条件下的扩频无线通信中，例如深空通信、全球导航卫星***(GNSS)、军事通信和无线传感器网络等领域，他们的主要特点是利用长PN码的良好的相关特性来实现扩频通信。对长PN码的快速捕获是极低谱密度扩频无线通信***的一项关键技术，目前比较广为人知的PN码有最大移位寄存器序列(简称为m序列)、戈尔德(Gold)序列、Kasami序列等。

常规实现极长PN码快速捕获的方法有时域并行相关法和FFT(Fast Fourier Transform)频域相关法。

时域并行相关法的运算量极大，复杂度和成本极高：对于一个长度为p的PN码，运算量是p²量级的乘法和加法；对于K个长度为p的PN码，运算量是Kp²量级的乘法和加法。

FFT频域相关法具有方便快捷、易于实现PN码相位的并行搜索和载波频偏的并行搜索等优点，使K个长度为p的PN码快速相关的运算量降低为Kplog₂p量级的复数乘法和加法，成为国内外研究长PN码快速捕获的热点。不过，FFT频域相关法存在以下问题：1、FFT进行复数乘法运算多，对于长PN码频域相关，FFT运算中存在很小数值的复权值，导致复数乘法的比特位数多，运算复杂度很高，其实现需要采用昂贵的高精度高速AD器件；2、FFT相关算法必须使用IFFT，使PN码捕获最终回到时域以确定PN码相位，这也增加了运算量；3、受当前DSP器件限制，FFT核长度已成为进一步提高搜索速度的瓶颈。

发明内容

本发明针对背景技术中传统的相关检测方法计算复杂度高的缺陷而提出一种不包含乘法运算的对子集为Gold-like序列的Kasami大集合序列的FHT快速相关检测方法。

本发明对子集为Gold-like序列的Kasami大集合序列的FHT快速相关检测方法，包括如下步骤：

当维度k＝0，1，...，N′-2时，计算{r(n)}与{a_k，k′(n)}的互相关函数C(k，k′；τ)，步骤如下：

步骤1：先固定两个维度，使用组成Gold-like-Kasami大集合序列的一个m序列构成Walsh-Hadamard矩阵，做FHT得到一维相关值；

步骤2：将步骤1中固定的两个维度中的一个维度取所有可能值，重复步骤(1)，得到二维相关值；

步骤3：将步骤1中固定的两个维度中的另一个维度取所有可能值，重复步骤(1)，得到所有的二维相关值，将所有二维相关值重排得到三维相关值，确定三维相关值峰值所在的三个维度的取值，峰值所在的三个维度的取值确定了在伽罗瓦域GF(q)中的Gold-like-Kasami大集合序列的码字组成及其码相位；

当k＝N′-1时，{a_k，k′(n)}即变成Kasami小序列集合，计算{r(n)}和{a_k，k′(n)}的互相关函数C(k，k′；τ)采用Kasami小集合序列的FHT快速相关检测方法。

其中：Gold-like-Kasami大集合序列即是在伽罗瓦域GF(q)中，q＝pⁿ，p＝2，当n≡0mod 4时的Kasami大集合序列，q-1为Gold-like-Kasami大集合序列码的码长，n为码长的阶数；m序列即最大移位寄存器序列；k、k′和τ是Gold-like-Kasami大集合序列码字组成及其码相位的三个维度；{r(n)}为接收信号；{a_k，k′(n)}为Gold-like-Kasami大集合序列码；N′为v^(c)的周期长度，v^(c)是对序列T^cu每2^n/2+1比特抽取1比特组成的周期为N′＝(2ⁿ-1)/3的周期序列，c＝0，1，2，T表示向量向左循环移位，其上标表示移位数。

本发明的有益效果如下：

本发明方法可以用FHT快速相关检测伽罗瓦域GF(q)中Gold-like-Kasami大集合序列的码字组成及其初始码相位。由于FHT中不包含乘法运算，只有加法运算，因此相对于用FFT进行相关检测的方法能大大降低计算复杂度，提高捕获速度。

根据一次q＝2ⁿ点的FFT需要(q/2)log₂q次复数乘法和qlog₂q次复数加法，一次复数乘法需要三次实数乘法和三次实数加法，一次复数加法需要两次实数加法。将FFT频域相关法中的乘法运算折算成加法运算，折算方法为：q点FFT中使用的乘法折算成log₂q次加法，具体效果如下：

当Gold-like-Kasami大集合序列是为类I时，用FFT频域相关法检测出序列的码字组成及其码相位，所需的实数加法运算量为：

$3(q-1)(\sqrt{q}-1)q({\log }_{2}q+1){\log }_{2}q+(q-1)(\sqrt{q}-1)q(7{\log }_{2}q+3),$

用本发明提出的算法1.1和1.2完成同样的相关检测运算所需的实数加法运算量为：

$2(N^{\′}-1)(q-1)(\sqrt{q}+1)\sqrt{q}{\log }_2\sqrt{q},$

用本发明提出的算法1.3完成同样的相关检测运算所需的实数加法运算量为：

$2(N^{\′}-1)(\sqrt{q}-1)q{\log }_{2}q;$

当Gold-like-Kasami大集合序列是为类II时，用FFT频域相关法检测出序列的码字组成及其码相位，所需的实数加法运算量为：

$3(\sqrt{q}-1)q({\log }_{2}q+1){\log }_{2}q+(\sqrt{q}-1)q(7{\log }_{2}q+3),$

用本发明提出的算法2完成同样的相关检测运算所需的实数加法运算量为：

$2(q-1)(\sqrt{q}+1)\sqrt{q}{\log }_2\sqrt{q},$

综上，可见本发明方法相比FFT频域相关法：类I的算法1.3能节省90％以上的运算量，并且节约的运算量随着码长的增加而增大；类I的算法1.1、1.2和类II的算法2在码字较短的情况下能节约大量的运算量。

附图说明

图1是算法1.1的二维计算过程示意图。

图2是算法1.1的相关值三维排列示意图。

图3是算法1.2的二维计算过程示意图。

图4是算法1.2的相关值三维排列示意图。

图5是算法1.3.1的二维计算过程示意图。

图6是算法1.3.1的相关值三维排列示意图。

图7是算法1.3.2的二维计算过程示意图。

图8是算法2的二维计算过程示意图。

图9是本发明的方法流程示意图。

在图2、图4、图6中：k₀为k轴上的任意值；k′₀为k′轴上的任意值。

具体实施方式

文中的字母及符号定义：q-1为Gold-like-Kasami大集合序列码的码长；n为码长的阶数；m序列即最大移位寄存器序列；u是周期为2ⁿ-1的m序列；{r(n)}为接收信号；r^*(·)表示r(·)的共轭；{a_k，k′(n)}为Gold-like-Kasami大集合序列码；N′为v^(c)的周期长度，v^(c)(c＝0，1，2)是对序列T^cu(c＝0，1，2)每t(n)＝2^n/2+1比特抽取1比特组成的周期为N′＝(2ⁿ-1)/3的周期序列；N＝q-1；w是对u每2^n/2+1比特抽取1比特组成的周期为2^n/2-1的m序列；k、k′和τ是Gold-like-Kasami大集合序列码字组成及其码相位的三个维度；T表示向量向左循环移位，其上标表示移位数，下标为长度；A为维度k与维度τ的差值；B为维度k′与维度τ的差值；j为将向量分割成块的编号， $j=\mathrm{0,1},...,\sqrt{q},$ q＝2ⁿ；·表示取模，其下标为模值；

为模2加法；C_x为任意值符号。

Gold-like-Kasami大集合序列即是在伽罗瓦域GF(q)中，q＝pⁿ，p＝2，当n≡0mod4时的Kasami大集合序列，可以表述为：

$K_L(u,v,w)=H_{t\left(n\right)}\left(u\right)\&cup;\left[\underset{i=0}{\overset{2^{n/2}-2}{\&cup;}}\right\{T^{i}w\&CirclePlus;H_{t\left(n\right)}\left(u\right)\left\}\right]\&cup;\{v^{\left(c\right)}\&CirclePlus;T^{k}w:0\&le;c\&le;\mathrm{2,0}\&le;k<(2^{n/2}-1)/3\}$

H_t(n)(u)是由u、v^(c)(c＝0，1，2)两个序列组成的Gold-like序列，H_t(n)(u)序列集合可以表述为：

$\{u,u\&CirclePlus;v^{\left(0\right)},u\&CirclePlus;{\mathrm{Tv}}^{\left(0\right)},...,u\&CirclePlus;T^{N^{\&prime;}-1}{v}^{\left(0\right)},u\&CirclePlus;v^{\left(1\right)},u\&CirclePlus;{\mathrm{Tv}}^{\left(1\right)},...,u\&CirclePlus;T^{N^{\&prime;}-1}{v}^{\left(1\right)},u\&CirclePlus;v^{\left(2\right)},u\&CirclePlus;{\mathrm{Tv}}^{\left(2\right)},...,u\&CirclePlus;T^{N^{\&prime;}-1}{v}^{\left(2\right)}\}$

本发明的方法流程示意图如图9所示。

根据Gold-like-Kasami大集合序列的定义，{r(n)}与{a_k，k′(n)}的互相关函数C(k，k′；τ)可分为两类：(q＝2ⁿ，N′＝N/3，c＝0，1，2)

类I：当Gold-like-Kasami大集合序列是由2个m序列和1个周期序列组成的周期为2ⁿ-1的序列时，{r(n)}与{a_k，k′(n)}的互相关函数C(k，k′；τ)可以表示为：

$C(k,k^{\&prime;};\mathrm{\&tau;})=\underset{n=0}{\overset{q-2}{\mathrm{\&Sigma;}}}{r}^{*}\left(n\right)a_{k,k^{\&prime;}}\left({\underset{\&OverBar;}{n+\mathrm{\&tau;}}}_{q-1}\right)=$

$\left\{\begin{array}{c}\underset{n=0}{\overset{q-2}{\mathrm{\&Sigma;}}}{r}^{*}\left(n\right)u\left({\underset{\&OverBar;}{n+\mathrm{\&tau;}}}_{q-1}\right)v^{\left(c\right)}\left({\underset{\&OverBar;}{n+\mathrm{\&tau;}-k}}_{N^{\&prime;}-1}\right)w\left({\underset{\&OverBar;}{n+\mathrm{\&tau;}-k^{\&prime;}}}_{\sqrt{q}-1}\right),k=\mathrm{0,1},...,N^{\&prime;}-2,k^{\&prime;}=\mathrm{0,1},...,\sqrt{q}-2\\ \underset{n=0}{\overset{q-2}{\mathrm{\&Sigma;}}}{r}^{*}\left(n\right)u\left({\underset{\&OverBar;}{n+\mathrm{\&tau;}}}_{q-1}\right)v^{\left(c\right)}\left({\underset{\&OverBar;}{n+\mathrm{\&tau;}-k}}_{N^{\&prime;}-1}\right),k=\mathrm{0,1},...,N^{\&prime;}-2,k^{\&prime;}=\sqrt{q}-1\\ \underset{n=0}{\overset{q-2}{\mathrm{\&Sigma;}}}{r}^{*}\left(n\right)u\left({\underset{\&OverBar;}{n+\mathrm{\&tau;}}}_{q-1}\right)w\left({\underset{\&OverBar;}{n+\mathrm{\&tau;}-k^{\&prime;}}}_{\sqrt{q}-1}\right),k=N^{\&prime;}-1,k^{\&prime;}=\mathrm{0,1},...,\sqrt{q}-2\\ \underset{n=0}{\overset{q-2}{\mathrm{\&Sigma;}}}{r}^{*}\left(n\right)u\left({\underset{\&OverBar;}{n+\mathrm{\&tau;}}}_{q-1}\right),k=N^{\&prime;}-1,k^{\&prime;}=\sqrt{q}-1\end{array}\right.---\left(1\right)$

观察C(k，k′；τ)有三个变量：k、k′和τ，用FHT(Fast Hadamard Transform)计算三维相关值时，需要先固定两个变量，再求得二维相关值，最后得到三维相关值。

由式(1)可以看出，当k＝N′- 1，{a_k，k′(n)}即变成Kasami小序列集合，计算{r(n)}和{a_k，k′(n)}的互相关函数c(k，k′；τ)采用Kasami小集合序列的FHT快速相关检测方法。

当k＝0，1，...，N′-2时，计算c(k，k′；τ)的算法如下：

算法1.1：

先固定k＝0，1，...，N′-2和τ＝0，1，...，q-2两个维度，使用w生成Walsh-Hadamard矩阵，先得到k′和τ两个维度的相关值，最后得到k、k′和τ三个维度的相关值：

令n＝n-τ _q-1，式(1)可得到：

$C(k,k^{\&prime;};\mathrm{\&tau;})=\underset{n=0}{\overset{q-2}{\mathrm{\&Sigma;}}}{r}^{*}\left(n\right)a_{k,k^{\&prime;}}\left({\underset{\&OverBar;}{n+\mathrm{\&tau;}}}_{q-1}\right)=\underset{n=0}{\overset{q-2}{\mathrm{\&Sigma;}}}{r}^{*}\left({\underset{\&OverBar;}{n-\mathrm{\&tau;}}}_{q-1}\right)u\left(n\right)v^{\left(c\right)}\left({\underset{\&OverBar;}{n-k}}_{N^{\&prime;}-1}\right)w\left({\underset{\&OverBar;}{n-k^{\&prime;}}}_{\sqrt{q}-1}\right),---\left(2\right)$

k＝0，1，...，N′-2， $k^{\&prime;}=\mathrm{0,1},...,\sqrt{q}-2$

使用w生成Walsh-Hadamard矩阵可得：

$\left(\begin{array}{c}C(k,q-1;\mathrm{\&tau;})\\ C(k,0;\mathrm{\&tau;})\\ C(k,q-2;\mathrm{\&tau;})\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ C(k,1;\mathrm{\&tau;})\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}+1& +1& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& +1\\ +1& & w& \\ +1& & \mathrm{wT}& \\ \&CenterDot;& & \&CenterDot;& \\ \&CenterDot;& & \&CenterDot;& \\ \&CenterDot;& & \&CenterDot;& \\ +1& & {\mathrm{wT}}^{q-2}& \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0\\ r^{*}\left({\underset{\&OverBar;}{0-\mathrm{\&tau;}}}_{q-1}\right)u\left(0\right)v^{\left(c\right)}\left({\underset{\&OverBar;}{0-k}}_{N^{\&prime;}-1}\right)\\ r^{*}\left({\underset{\&OverBar;}{1-\mathrm{\&tau;}}}_{q-1}\right)u\left(1\right)v^{\left(c\right)}\left({\underset{\&OverBar;}{1-k}}_{N^{\&prime;}-1}\right)\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ r^{*}\left({\underset{\&OverBar;}{q-2-\mathrm{\&tau;}}}_{q-1}\right)u(q-2)v^{\left(c\right)}\left({\underset{\&OverBar;}{q-2-k}}_{N^{\&prime;}-1}\right)\end{array}\right)---\left(3\right)$

生成方法参见文献[1][2][3]，下同：

[1]A.Lempel，‘Hadamard and M-sequence transforms are permutationally similar’，Applied optics，vol.18，no.25，Dec.79

[2]Srdjan Z.Budisin，‘Fast PN sequence correlation by using FWT’，MediterraneanElectrotechnical Conference Proc.，1989，pp.513-515.

[3]Martin Cohn and Abraham Lempel，‘On Fast M-sequence Transforms’，IEEE Transactionson Information Theory，1977

考虑到w的周期性，对于某个给定的τ，将q-1维向量{r^*(n-τ _q-1)u(n)v^(c)(n-k _N′-1)}分割成

块分别进行长度为

的FHT变换：

$\left(\begin{array}{c}{C}_j(k,\sqrt{q}-1;\mathrm{\&tau;})\\ C_j(k,0;\mathrm{\&tau;})\\ C_j(k,\sqrt{q}-2;\mathrm{\&tau;})\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ C_j(k,1;\mathrm{\&tau;})\end{array}\right)=\left[\begin{array}{ccc}+& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& +1\\ +1& w& \\ +1& w{T}_{\sqrt{q}-1}& \\ & \&CenterDot;& \\ +1& \&CenterDot;& \\ & \&CenterDot;& \\ +1& w{T}_{\sqrt{q}-1}^{\sqrt{q}-2}& \end{array}\right]\left(\begin{array}{c}0\\ r^{*}\left({\underset{\&OverBar;}{0-\mathrm{\&tau;}+j(\sqrt{q}-1)}}_{q-1}\right)u(0+j(\sqrt{q}-1))v^{\left(c\right)}\left({\underset{\&OverBar;}{0-k+j(\sqrt{q}-1)}}_{N^{\&prime;}-1}\right)\\ r^{*}\left({\underset{\&OverBar;}{1-\mathrm{\&tau;}+j(\sqrt{q}-1)}}_{q-1}\right)u(1+j(\sqrt{q}-1))v^{\left(c\right)}\left({\underset{\&OverBar;}{1-k+j(\sqrt{q}-1)}}_{N^{\&prime;}-1}\right)\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ r^{*}\left({\underset{\&OverBar;}{\sqrt{q}-2-\mathrm{\&tau;}+j(\sqrt{q}-1)}}_{q-1}\right)u(\sqrt{q}-2+j(\sqrt{q}-1))v^{\left(c\right)}\left({\underset{\&OverBar;}{\sqrt{q}-2-k+j(\sqrt{q}-1)}}_{N^{\&prime;}-1}\right)\end{array}\right)$

                                      (4)

其中 $j=\mathrm{0,1},...,\sqrt{q};$

然后把个变换后的向量累加起来即可得到相关阵C(k，k′；τ)的第τ列，即：

$C_{k^{\&prime;},\mathrm{\&tau;}}=\underset{j=0}{\overset{\sqrt{q}}{\mathrm{\&Sigma;}}}\left(\begin{array}{c}{C}_j(k,\sqrt{q}-1;\mathrm{\&tau;})\\ C_j(k,0;\mathrm{\&tau;})\\ C_j(k,\sqrt{q}-2;\mathrm{\&tau;})\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ C_j(k,1;\mathrm{\&tau;})\end{array}\right)---\left(5\right)$

使用这种方法，计算的复杂度为 $(N^{\&prime;}-1)(q-1)(\sqrt{q}+1)\sqrt{q}{\log }_2\sqrt{q}.$

算法1.1的二维计算过程如图1所示，算法1.1的三维相关值排列过程如图2所示。

当k和k′均与τ的差值固定时，即：

τ-k _N′-1＝A(A＝0，1，2，...，N′-2)或 ${\underset{\&OverBar;}{\mathrm{\&tau;}-k^{\&prime;}}}_{\sqrt{q}-1}=B(B=\mathrm{0,1,2},...,\sqrt{q}-2),$ 由式(1)可得到：

$C({\underset{\&OverBar;}{\mathrm{\&tau;}-A}}_{N^{\&prime;}-1},{\underset{\&OverBar;}{\mathrm{\&tau;}-B}}_{\sqrt{q}-1};\mathrm{\&tau;})=\underset{n=0}{\overset{q-2}{\mathrm{\&Sigma;}}}{r}^{*}\left(n\right)u\left({\underset{\&OverBar;}{n+\mathrm{\&tau;}}}_{q-1}\right)v\left({\underset{\&OverBar;}{n+A}}_{N^{\&prime;}-1}\right)w\left({\underset{\&OverBar;}{n+B}}_{\sqrt{q}-1}\right),\mathrm{\&tau;}=\mathrm{0,1},...,q-2---\left(6\right)$

另外两种计算相关值的方法：

算法1.2：

先固定A＝0，1，...，N′-2和τ＝0，1，...，q-2的值，使用w生成Walsh-Hadamard矩阵，先得到k′和τ两个维度的相关值，最后得到k、k′和τ三个维度的相关值：

使用w生成Walsh-Hadamard矩阵可得：

$\left(\begin{array}{ccc}& & C_x\\ & & C({\underset{\&OverBar;}{\mathrm{\&tau;}-A}}_{N^{\&prime;}-1},{\underset{\&OverBar;}{\mathrm{\&tau;}-0}}_{\sqrt{q}-1};\mathrm{\&tau;})\\ & & C({\underset{\&OverBar;}{\mathrm{\&tau;}-A}}_{N^{\&prime;}-1},{\underset{\&OverBar;}{\mathrm{\&tau;}-1}}_{\sqrt{q}-1};\mathrm{\&tau;})\\ & & \&CenterDot;\\ & & \&CenterDot;\\ & & \&CenterDot;\\ & & C({\underset{\&OverBar;}{\mathrm{\&tau;}-A}}_{N^{\&prime;}-1},{\underset{\&OverBar;}{\mathrm{\&tau;}-q+2}}_{\sqrt{q}-1};\mathrm{\&tau;})\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}+1& +1& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& +1\\ +1& & w& \\ +1& & \mathrm{wT}& \\ \&CenterDot;& & \&CenterDot;& \\ \&CenterDot;& & \&CenterDot;& \\ \&CenterDot;& & \&CenterDot;& \\ +1& & {\mathrm{wT}}^{q-2}& \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0\\ r^{*}\left(0\right)u\left({\underset{\&OverBar;}{0+\mathrm{\&tau;}}}_{q-1}\right)v^{\left(c\right)}\left({\underset{\&OverBar;}{0+A}}_{N^{\&prime;}-1}\right)\\ r^{*}\left(1\right)u\left({\underset{\&OverBar;}{1+\mathrm{\&tau;}}}_{q-1}\right)v^{\left(c\right)}\left({\underset{\&OverBar;}{1+A}}_{N^{\&prime;}-1}\right)\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ r^{*}(q-2)u\left({\underset{\&OverBar;}{q-2+\mathrm{\&tau;}}}_{q-1}\right)v^{\left(c\right)}\left({\underset{\&OverBar;}{q-2+A}}_{N^{\&prime;}-1}\right)\end{array}\right)---\left(7\right)$

考虑到w的周期性，对于某个给定的τ，将q-1维向量{r^*(n)u(n+τ _q-1)v^(c)(n+A _N′1)}分割成

块分别进行长度为

的FHT变换：

$\left(\begin{array}{c}{C}_x\\ C_j({\underset{\&OverBar;}{\mathrm{\&tau;}-A}}_{N^{\&prime;}-1},{\underset{\&OverBar;}{\mathrm{\&tau;}-0}}_{\sqrt{q}-1};\mathrm{\&tau;})\\ C_j({\underset{\&OverBar;}{\mathrm{\&tau;}-A}}_{N^{\&prime;}-1},{\underset{\&OverBar;}{\mathrm{\&tau;}-1}}_{\sqrt{q}-1};\mathrm{\&tau;})\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ C_j({\underset{\&OverBar;}{\mathrm{\&tau;}-A}}_{N^{\&prime;}-1},{\underset{\&OverBar;}{\mathrm{\&tau;}-\sqrt{q}+2}}_{\sqrt{q}-1};\mathrm{\&tau;})\end{array}\right)=\left[\begin{array}{ccc}+1& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& +1\\ +1& w& \\ +1& w{T}_{\sqrt{q}-1}& \\ & \&CenterDot;& \\ +1& \&CenterDot;& \\ & \&CenterDot;& \\ +1& w{T}_{\sqrt{q}-1}^{\sqrt{q}-2}& \end{array}\right]\left(\begin{array}{c}0\\ r^{*}\left({\underset{\&OverBar;}{j(\sqrt{q}-1)}}_{q-1}\right)u\left({\underset{\&OverBar;}{\mathrm{\&tau;}+j(\sqrt{q}-1)}}_{q-1}\right)v^{\left(c\right)}\left({\underset{\&OverBar;}{A+j(\sqrt{q}-1)}}_{N^{\&prime;}-1}\right)\\ r^{*}\left({\underset{\&OverBar;}{1+j(\sqrt{q}-1)}}_{q-1}\right)u\left({\underset{\&OverBar;}{1+\mathrm{\&tau;}+j(\sqrt{q}-1)}}_{q-1}\right)v^{\left(c\right)}\left({\underset{\&OverBar;}{1+A+j\sqrt{q}-1}}_{N^{\&prime;}-1}\right)\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ r^{*}\left({\underset{\&OverBar;}{\sqrt{q}-2+j(\sqrt{q}-1)}}_{q-1}\right)u\left({\underset{\&OverBar;}{\sqrt{q}-2+\mathrm{\&tau;}+j(\sqrt{q}-1)}}_{q-1}\right)v^{\left(c\right)}\left({\underset{\&OverBar;}{\sqrt{q}-2+A+j(\sqrt{q}-1)}}_{N^{\&prime;}-1}\right)\end{array}\right)$

                                  (8)

其中 $j=\mathrm{0,1},...,\sqrt{q};$

然后把

个变换后的向量累加起来即可得到相关阵C(k，k′；τ)的第τ列，即：

$C_{k,\mathrm{\&tau;}}=\underset{j=0}{\overset{\sqrt{q}}{\mathrm{\&Sigma;}}}\left(\begin{array}{c}{C}_x\\ C_j({\underset{\&OverBar;}{\mathrm{\&tau;}-A}}_{N^{\&prime;}-1},{\underset{\&OverBar;}{\mathrm{\&tau;}}}_{\sqrt{q}-1};\mathrm{\&tau;})\\ C_j({\underset{\&OverBar;}{\mathrm{\&tau;}-A}}_{N^{\&prime;}-1},{\underset{\&OverBar;}{\mathrm{\&tau;}-1}}_{\sqrt{q}-1};\mathrm{\&tau;})\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ C_j({\underset{\&OverBar;}{\mathrm{\&tau;}-A}}_{N^{\&prime;}-1},{\underset{\&OverBar;}{\mathrm{\&tau;}-\sqrt{q}+2}}_{\sqrt{q}-1};\mathrm{\&tau;})\end{array}\right)---\left(9\right)$

使用这种方法，计算的复杂度为 $(N^{\&prime;}-1)(q-1)(\sqrt{q}+1)\sqrt{q}{\log }_2\sqrt{q}.$

算法1.2的二维计算过程如图3所示，算法1.2的三维相关值排列过程如图4所示。

当 $k^{\&prime;}=\sqrt{q}-1$ 时， $C(k,k^{\&prime;};\mathrm{\&tau;})=\underset{n=0}{\overset{q-2}{\mathrm{\&Sigma;}}}{r}^{*}\left(n\right)u\left({\underset{\&OverBar;}{n+\mathrm{\&tau;}}}_{q-1}\right)v^{\left(c\right)}\left({\underset{\&OverBar;}{n+\mathrm{\&tau;}-k}}_{N^{\&prime;}-1}\right)$ 用一次Gold码的FHT算法即可得到{r(n)}与{a_k，k′(n)}的互相关函数

算法1.3：

先固定A＝0，1，...，N′-2和 $B=\mathrm{0,1,2},...,\sqrt{q}-2$ 的值，使用u生成Walsh-Hadamard矩阵，先得到到k和τ或k′和τ两个维度的相关值，最后得到k、k′和τ三个维度的相关值：

使用w生成Walsh-Hadamard矩阵可得：

$\left(\begin{array}{c}{C}_x\\ C({\underset{\&OverBar;}{0-A}}_{N^{\&prime;}-1},{\underset{\&OverBar;}{0-B}}_{\sqrt{q}-1};0)\\ C({\underset{\&OverBar;}{1-A}}_{N^{\&prime;}-1},{\underset{\&OverBar;}{1-B}}_{\sqrt{q}-1};1)\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ C({\underset{\&OverBar;}{q-2-A}}_{N^{\&prime;}-1},{\underset{\&OverBar;}{q-2-B}}_{\sqrt{q}-1};q-2)\end{array}\right)=\left[\begin{array}{cccc}+1& +1& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& +1\\ +1& & u& \\ +1& & \mathrm{uT}& \\ \&CenterDot;& & \&CenterDot;& \\ \&CenterDot;& & \&CenterDot;& \\ \&CenterDot;& & \&CenterDot;& \\ +1& & u{T}^{q-2}& \end{array}\right]\left(\begin{array}{c}0\\ r^{*}\left(0\right)v^{\left(c\right)}\left({\underset{\&OverBar;}{0+A}}_{N^{\&prime;}-1}\right)w\left({\underset{\&OverBar;}{0+B}}_{\sqrt{q}-1}\right)\\ r^{*}\left(1\right)v^{\left(c\right)}\left({\underset{\&OverBar;}{1+A}}_{N^{\&prime;}-1}\right)w\left({\underset{\&OverBar;}{1+B}}_{\sqrt{q}-1}\right)\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ r^{*}(q-2)v^{\left(c\right)}\left({\underset{\&OverBar;}{q-2+A}}_{N^{\&prime;}-1}\right)w\left({\underset{\&OverBar;}{q-2+B}}_{\sqrt{q}-1}\right)\end{array}\right)$

                                   (10)

接下来分两种情况：

算法1.3.1：先计算k和τ两个维度的相关值。算法1.3.1的二维计算过程如图5所示(方框内是A值)，算法1.3.1的三维相关值排列过程如图6所示。

算法1.3.2：先计算k′和τ两个维度的相关值。算法1.3.2的二维计算过程如图7所示，(方框内是B值)，算法1.3.2的三维相关值排列过程与图6类似，只需将k与k′的维度互换。

使用这种方法，计算的复杂度为 $(N^{\&prime;}-1)(\sqrt{q}-1)q{\log }_{2}q.$

当 $k^{\&prime;}=\sqrt{q}-1$ 时， $C(k,k^{\&prime;};\mathrm{\&tau;})=\underset{n=0}{\overset{q-2}{\mathrm{\&Sigma;}}}{r}^{*}\left(n\right)u\left({\underset{\&OverBar;}{n+\mathrm{\&tau;}}}_{q-1}\right)v^{\left(c\right)}\left({\underset{\&OverBar;}{n+\mathrm{\&tau;}-k}}_{N^{\&prime;}-1}\right)$ 用一次Gold码的FHT算法即可得到{r(n)}与{a_k，k′(n)}的互相关函数

类II：当Gold-like-Kasami大集合序列是由1个m序列和1个周期序列组成的周期组成的周期为2ⁿ-1的序列时，{r(n)}与{a_k(n)}的互相关函数C(k，k′；τ)可以表示为：

$C(k;\mathrm{\&tau;})=\underset{n=0}{\overset{q-2}{\mathrm{\&Sigma;}}}{r}^{*}\left(n\right)a_k\left({\underset{\&OverBar;}{n+\mathrm{\&tau;}}}_{q-1}\right)=\underset{n=0}{\overset{q-2}{\mathrm{\&Sigma;}}}{r}^{*}\left(n\right)v^{\left(c\right)}\left({\underset{\&OverBar;}{n+\mathrm{\&tau;}}}_{N^{\&prime;}-1}\right)w\left({\underset{\&OverBar;}{n+\mathrm{\&tau;}-k}}_{\sqrt{q}-1}\right),k=\mathrm{0,1},...,\sqrt{q}-2---\left(11\right)$

算法2：

令n＝n-τ _q-1，式(11)可得到：

$C(k;\mathrm{\&tau;})=\underset{n=0}{\overset{q-2}{\mathrm{\&Sigma;}}}{r}^{*}\left({\underset{\&OverBar;}{n-\mathrm{\&tau;}}}_{q-1}\right)v^{\left(c\right)}\left(n\right)w\left({\underset{\&OverBar;}{n-k}}_{\sqrt{q}-1}\right),k=\mathrm{0,1},...,\sqrt{q}-2,c=\mathrm{1,2,3}---\left(12\right)$

使用w生成Walsh-Hadamard矩阵可得：

$\left(\begin{array}{c}{C}_x\\ C(0,\mathrm{\&tau;})\\ C(q-2,\mathrm{\&tau;})\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ C(1,\mathrm{\&tau;})\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}+1& +1& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& +1\\ +1& & w& \\ +1& & \mathrm{wT}& \\ \&CenterDot;& & \&CenterDot;& \\ \&CenterDot;& & \&CenterDot;& \\ \&CenterDot;& & \&CenterDot;& \\ +1& & w{T}^{q-2}& \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0\\ r^{*}\left({\underset{\&OverBar;}{0-\mathrm{\&tau;}}}_{q-1}\right)v^{\left(c\right)}\left({\underset{\&OverBar;}{0}}_{N^{\&prime;}-1}\right)\\ r^{*}\left({\underset{\&OverBar;}{1-\mathrm{\&tau;}}}_{q-1}\right)v^{\left(c\right)}\left({\underset{\&OverBar;}{1}}_{N^{\&prime;}-1}\right)\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ r^{*}\left({\underset{\&OverBar;}{q-2-\mathrm{\&tau;}}}_{q-1}\right)v^{\left(c\right)}\left({\underset{\&OverBar;}{q-2}}_{N^{\&prime;}-1}\right)\end{array}\right)---\left(13\right)$

考虑到w的周期性，对于某个给定的τ，将q-1维向量{r^*(n-t _q-1)v^(c)(n)}分割成

块分别进行长度为

的FHT变换：

$\left(\begin{array}{c}{C}_x\\ C_j(0,\mathrm{\&tau;})\\ C_j(\sqrt{q}-2,\mathrm{\&tau;})\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ C_j(1,\mathrm{\&tau;})\end{array}\right)=\left[\begin{array}{ccc}+1& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& +1\\ +1& w& \\ +1& w{T}_{\sqrt{q}-1}& \\ & \&CenterDot;& \\ +1& \&CenterDot;& \\ & \&CenterDot;& \\ +1& w{T}_{\sqrt{q}-1}^{\sqrt{q}-2}& \end{array}\right]\left(\begin{array}{c}0\\ r^{*}\left({\underset{\&OverBar;}{0-\mathrm{\&tau;}+j(\sqrt{q}-1)}}_{q-1}\right)v^{\left(c\right)}\left({\underset{\&OverBar;}{0+j(\sqrt{q}-1)}}_{N^{\&prime;}-1}\right)\\ r^{*}\left({\underset{\&OverBar;}{1-\mathrm{\&tau;}+j(\sqrt{q}-1)}}_{q-1}\right)v^{\left(c\right)}\left({\underset{\&OverBar;}{1+j(\sqrt{q}-1)}}_{N^{\&prime;}-1}\right)\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ r^{*}\left({\underset{\&OverBar;}{\sqrt{q}-2-\mathrm{\&tau;}+j(\sqrt{q}-1)}}_{q-1}\right)v^{\left(c\right)}\left({\underset{\&OverBar;}{\sqrt{q}-2+j(\sqrt{q}-1)}}_{N^{\&prime;}-1}\right)\end{array}\right)---\left(14\right)$

其中 $j=\mathrm{0,1},...,\sqrt{q};$

然后把个变换后的向量累加起来即可得到相关阵C(k；τ)的第τ列，即：

$C_{k,\mathrm{\&tau;}}=\underset{j=0}{\overset{\sqrt{q}}{\mathrm{\&Sigma;}}}\left(\begin{array}{c}{C}_x\\ C_j(0,\mathrm{\&tau;})\\ C_j(\sqrt{q}-2,\mathrm{\&tau;})\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ C_j(1,\mathrm{\&tau;})\end{array}\right)---\left(15\right)$

使用这种方法，计算的复杂度为 $(q-1)(\sqrt{q}+1)\sqrt{q}{\log }_2\sqrt{q}.$

算法2的计算过程如图8所示。

下面分别为类I和类II算法与FFT频域相关法检测Gold-like-Kasami大集合序列时的运算比较：

表1：类I算法与FFT频域相关法检测Gold-like-Kasami大集合序列时的运算量比较

表2：类II算法与FFT频域相关法检测Gold-like-Kasami大集合序列时的运算量比较

Claims (3)

1.一种对子集为Gold-like序列的Kasami大集合序列的FHT快速相关检测方法，其特征在于：

当维度k＝0，1，...，N′-2时，计算{r(n)}与{a_k，k′(n)}的互相关函数C(k，k′；τ)，步骤如下：

步骤1：先固定两个维度，使用组成Gold-like-Kasami大集合序列的一个m序列构成Walsh-Hadamard矩阵，做FHT得到一维相关值；

步骤2：将步骤1中固定的两个维度中的一个维度取所有可能值，重复步骤(1)，得到二维相关值；

步骤3：将步骤1中固定的两个维度中的另一个维度取所有可能值，重复步骤(1)，得到所有的二维相关值，将所有二维相关值重排得到三维相关值，确定三维相关值峰值所在的三个维度的取值，峰值所在的三个维度的取值确定了在伽罗瓦域GF(q)中的Gold-like-Kasami大集合序列的码字组成及其码相位；

当k＝N′-1时，{a_k，k′(n)}即变成Kasami小序列集合，计算{r(n)}和{a_k，k′(n)}的互相关函数C(k，k′；τ)采用Kasami小集合序列的FHT快速相关检测方法；

在上述内容中：Gold-like-Kasami大集合序列即是在伽罗瓦域GF(q)中，q＝2ⁿ，当n≡0 mod 4时的Kasami大集合序列，q-1为Gold-like-Kasami大集合序列码的码长，n为码长的阶数；m序列即最大移位寄存器序列；k、k′和τ是Gold-like-Kasami大集合序列码字组成及其码相位的三个维度；{r(n)}为接收信号；r^*(n)表示r(n)的共轭；{a_k，k′(n)}为Gold-like-Kasami大集合序列码；N′为v^(c)的周期长度，v^(c)是对序列T^cu每2^n/2+1比特抽取1比特组成的周期为N′＝(2ⁿ-1)/3的周期序列，T表示向量向左循环移位，T的上标表示移位数，c＝0，1，2；N＝q-1；u为周期为2ⁿ-1的m序列；w是对u每2^n/2+1比特抽取1比特组成的周期为2^n/2-1的m序列。

2.根据权利要求1所述的对子集为Gold-like序列的Kasami大集合序列的FHT快速相关检测方法，其特征在于：所述{r(n)}与{a_k，k′(n)}的互相关函数C(k，k′；τ)分为两类：

q＝2ⁿ，N′＝N/3，c＝0，1，2

类I：当Gold-like-Kasami大集合序列是由2个m序列和1个周期序列组成的周期为2ⁿ-1的序列时，{r(n)}与{a_k，k′(n)}的互相关函数C(k，k′；τ)表示为：

$C(k,k^{\&prime;};\mathrm{\&tau;})=\underset{n=0}{\overset{q-2}{\mathrm{\&Sigma;}}}{r}^{*}\left(n\right)a_{k,k^{\&prime;}}\left({\underset{\&OverBar;}{n+\mathrm{\&tau;}}}_{q-1}\right)=$

$\left\{\begin{array}{c}\underset{n=0}{\overset{q-2}{\mathrm{\&Sigma;}}}{r}^{*}\left(n\right)u\left({\underset{\&OverBar;}{n+\mathrm{\&tau;}}}_{q-1}\right)v^{\left(c\right)}\left({\underset{\&OverBar;}{n+\mathrm{\&tau;}-k}}_{N^{\&prime;}-1}\right)w\left({\underset{\&OverBar;}{n+\mathrm{\&tau;}-k^{\&prime;}}}_{\sqrt{q}-1}\right),k=\mathrm{0,1},...,N^{\&prime;}-2,k^{\&prime;}=\mathrm{0,1},...,\sqrt{q}-2\\ \underset{n=0}{\overset{q-2}{\mathrm{\&Sigma;}}}{r}^{*}\left(n\right)u\left({\underset{\&OverBar;}{n+\mathrm{\&tau;}}}_{q-1}\right)v^{\left(c\right)}\left({\underset{\&OverBar;}{n+\mathrm{\&tau;}-k}}_{N^{\&prime;}-1}\right),k=\mathrm{0,1},...,N^{\&prime;}-2,k^{\&prime;}=\sqrt{q}-1\\ \underset{n=0}{\overset{q-2}{\mathrm{\&Sigma;}}}{r}^{*}\left(n\right)u\left({\underset{\&OverBar;}{n+\mathrm{\&tau;}}}_{q-1}\right)w\left({\underset{\&OverBar;}{n+\mathrm{\&tau;}-k^{\&prime;}}}_{\sqrt{q}-1}\right),k=N^{\&prime;}-1,k^{\&prime;}=\mathrm{0,1},...,\sqrt{q}-2\\ \underset{n=0}{\overset{q-2}{\mathrm{\&Sigma;}}}{r}^{*}\left(n\right)u\left({\underset{\&OverBar;}{n+\mathrm{\&tau;}}}_{q-1}\right),k=N^{\&prime;}-1,k^{\&prime;}=\sqrt{q}-1\end{array}\right.$

类II：当Gold-like-Kasami大集合序列是由1个m序列和1个周期序列组成的周期为2ⁿ-1的序列时，{r(n)}与{a_k(n)}的互相关函数C(k；τ)表示为：

$C(k;\mathrm{\&tau;})=\underset{n=0}{\overset{q-2}{\mathrm{\&Sigma;}}}{r}^{*}\left(n\right)a_k\left({\underset{\&OverBar;}{n+\mathrm{\&tau;}}}_{q-1}\right)=\underset{n=0}{\overset{q-2}{\mathrm{\&Sigma;}}}{r}^{*}\left(n\right)v^{\left(c\right)}\left({\underset{\&OverBar;}{n+\mathrm{\&tau;}}}_{N^{\&prime;}-1}\right)w\left({\underset{\&OverBar;}{n+\mathrm{\&tau;}-k}}_{\sqrt{q}-1}\right),k=\mathrm{0,1},...,\sqrt{q}-2;$

将C(k；τ)看作是C(k，k′；τ)的特殊情况，所以只用FHT计算{r(n)}与{a_k，k′(n)}的互相关函数C(k，k′；τ)。

3.根据权利要求1所述的对子集为Gold-like序列的Kasami大集合序列的FHT快速相关检测方法，其特征在于：所述Gold-like-Kasami大集合序列的构成有两种情况：

情况1：Gold-like-Kasami大集合序列是由2个m序列和1个周期序列组成，记做{a_k，k′(n)}，此时序列的码字组成及其码相位的不确定度为三维不确定度，由于FHT算法需要一个m序列生成Walsh-Hadamard矩阵，因此存在3种快速相关检测的方法；

情况2：Gold-like-Kasami大集合序列是由1个m序列和1个周期序列组成，记做{a_k(n)}，此时序列的码字组成及其码相位的不确定度为二维不确定度，由于FHT算法需要一个m序列生成Walsh-Hadamard矩阵，因此存在1种快速相关检测的方法。

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