CN100460813C - 三维空间连杆曲线匹配度的检测方法 - Google Patents

Abstract

一种三维空间连杆曲线匹配度的检测方法，包含以下步骤：将待比较的连杆曲线数据进行标准化；针对此标准化曲线，以子段对的绞拧数和距离为指标，将所有子段对划分为若干个等价类；在每个等价类中求得属于不同曲线的子段对之间的刚体变换，以寻找最佳匹配子段对，从而完成曲线的局部匹配；将所得的所有刚体变换进行聚类分析，取最大聚类为连杆曲线的最佳匹配，以此推出最佳刚体变换、匹配度以及匹配误差，并显示匹配效果。本发明有效地解决了三维空间连杆曲线匹配问题。

Description

三维空间连杆曲线匹配度的检测方法

技术领域

本发明涉及一种机械设计技术领域的检测方法，特别涉及一种三维空间连杆曲线匹配度的检测方法。

背景技术

自然界存在的许多问题都可以抽象为轨迹曲线的问题，这些轨迹曲线可以是两维、三维或更高维的，比如计算机视觉中物体的识别，需要将物体抽象为两维或三维的轮廓线；分子生物学中蛋白质的性质分析，需要将蛋白质分子链抽象为三维的空间折线；机构设计时，往往面临如何实现用户所提出的特定运动轨迹的问题，即如何使所设计机构的连杆曲线，更接近于用户需要的轨迹路径。另外，在机器人轨迹规划、控制***、三维磁场和流场、大脑和心脏的三维模型等都涉及到曲线的分析问题。分析这些曲线就需要对曲线的相似性进行比较。所述相似性就是指曲线之间的匹配程度。

特定到连杆曲线问题，在机构创新设计中，常常遇到需要解决实现某些特定运动轨迹的问题，即如何在多个连杆曲线中进行比较，以便获得更接近于实际设计曲线的连杆机构。所以连杆曲线相似性问题判定对解决构创新机构的设计和机构运动综合具有理论意义和实用价值。

经对现有技术的文献检索发现，褚金奎等在《机械工程学报》(1993，29(5)：117～122)上发表的“用快速傅立叶变换进行再现平面四杆机构连杆曲线的综合”，该文提出用快速傅立叶变换在频域内对平面连杆曲线进行研究，将任何平面连杆曲线近似表示为有限几项频谱分量，以此作为不同连杆曲线判别匹配度的指标，便于连杆曲线之间比较，实现了机构轨迹综合的目标。但是其不足在于，此方法采用的快速傅立叶变换只能应用于两维数据，从而只能进行平面连杆曲线匹配度的检测，不能应用于三维连杆曲线。

发明内容

本发明目的在于针对现有技术的不足，提出一种基于纽结理论的三维空间连杆曲线匹配度的检测方法，使其能解决了困扰已久的三维空间连杆曲线匹配问题。

本发明是通过以下技术方案实现的，本发明包含以下步骤：

a.数据标准化：将待比较的连杆曲线数据进行标准化，以使连杆曲线数据消除速度、尺寸等因素的影响，只反映曲线的几何形态；

b.划分等价类：对经过步骤a处理后形成的标准化曲线，以子段对的绞拧数和距离为指标，将所有子段对划分为若干个等价类，从而减小以下步骤c的搜索范围；

c.子段对间刚体变换：在每个等价类中，求得属于不同曲线的子段对之间的刚体变换，以寻找最佳匹配子段对，从而完成曲线的局部匹配。

d.聚类分析：将步骤c中所得的所有刚体变换进行聚类分析，取最大聚类为连杆曲线的最佳匹配，以此推出最佳刚体变换、匹配度以及匹配误差，并显示匹配效果。

本发明所述的连杆曲线是以离散点序列表示的，每个离散点称之为折点。进一步，在步骤a中，所述的标准化是指将连杆曲线按弧长归一化，即把待比较的连杆曲线的总弧长都按比例放大或缩小到同一个值L(无量纲)，同时各折点的坐标相应变化形成新的序列。然后，将此序列按弧长等分成N份，每段长度为L/N，形成新的、排除速度信息的仅反映连杆曲线形状的标准化序列。

在步骤b中，所述的子段是指，经过步骤a后，同一连杆曲线上由2k+1个连续折点所形成的子曲线；子段对是指，经过步骤a后，同一连杆曲线的两个子段。子段对间的距离是指两个子段中间两个折点的欧式距离，即第k个折点间的距离。子段对的绞拧数可由下式得出：

$\mathrm{Wr}=\frac{1}{4\mathrm{\π}}\underset{i}{\mathrm{\Σ}}\underset{j}{\mathrm{\Σ}}{\mathrm{sg}}_{\mathrm{ij}}{\mathrm{gS}}_{\mathrm{ij}}$

式中：

Wr为绞拧数；

sg_ij＝sign[(A_i+1-A_i)×(A_j+1-A_j)g(A_i-A_j)]，其中A_i、A_j为子段上的折点。

S_ij为A_iA_i+1，A_jA_j+1所形成的球面四边形的面积，其意义可参见《绳圈的数学》(姜伯驹著，湖南教育出版社，1991)。

步骤b中所述的将所有子段对划分为若干个等价类，具体包括以下步骤：

b1.计算待比较两条连杆曲线上所有子段对的绞拧数和子段对间的距离；

b2.找到绞拧数中的最大和最小值，并等分为N个区间，按各子段对绞拧数的大小将各子段对放入不同区间所对应的N个子段对集合；

b3.清除不包含任何子段对的空集合；

b4.在每个非空的子段对集合中，找到子段对距离的最大与最小值，并等分为N个区间，按各子段对距离的大小将各子段对放入不同区间所对应的N个子段对集合，并清除空集合，这样形成的集合小于等于N×N个。

至此，将子段对以绞拧数和距离分别近似相等为等价关系，划分为个数小于等于N×N的等价类。

在步骤c中，所述的刚体变换是指旋转和平移，采用单位四元数法实现，可参见文献(Berthold K.P.Horn.Closed-form solution of absoluteorientation using unit quaternions.Journal of the Optical Society ofAmerica A，Vol.4，page 629，April 1987)，所述最佳匹配是指匹配误差RMSD(Root Mean-Square Deviation，均方差)最小，RMSD在上述文献中有定义。每个子段对有2(2k+1)个点。匹配误差在上述文献中有定义。

在步骤d中，刚体变换矩阵包括旋转矩阵3个独立变量和平移向量3个独立变量，由于6个变量的数量级可能相差较大，故先以旋转分量为对象对刚体变换采用k-means(k-均值聚类法)方法聚类分析，在此基础之上，再对每个聚类以平移分量为对象对刚体变换采用k-means方法进行聚类分析；所述的最大聚类是指在聚类中刚体变换所对应的相异折点个数M最多的聚类；曲线的匹配度为： $\mathrm{Sim}=\frac{M}{N}\×100\%;$ 匹配误差表达式为： $\mathrm{RMSD}=\sqrt{\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{\left|\right|a_i^{\′}-b_i\left|\right|}^2/N},$ 其中，

表示第一条曲线的匹配折点通过刚体变换进行映射的坐标。b_i表示与折点所对应的第二条曲线上的匹配折点坐标，N的含义如前所述，即为连杆曲线标准化后折点的总个数。

本发明的益处在于，利用纽结理论中可以反映曲线空间状态的绞拧数，对曲线的子段进行划分，从而减小了搜索空间，有效地解决了空间连杆曲线的匹配问题，其时间和空间复杂度可控制在O(n²)。本发明可以使机构优化设计中，现有的连杆曲线图谱的查找由两维平面扩大到三维空间，从而在空间机构设计时，需要满足特定运动轨迹时，可通过查找连杆曲线数据库寻找匹配度最高的曲线，以完成机构参数的设计，这可以大大加快空间机构的设计速度，减轻工作量。另外，本发明亦可应用于计算机视觉中物体轮廓线的识别，分子生物学中蛋白质空间结构相似性的比较，甚至任意三维空间曲线的匹配问题。

附图说明

图1为本发明方法总流程图。

图2为连杆曲线a与连杆曲线b变换之前的空间状态示意图。

图3为连杆曲线a与连杆曲线b变换之后的空间状态示意图。

图4为连杆曲线a与连杆曲线c变换之前的空间状态示意图。

图5为连杆曲线a与连杆曲线c变换之后的空间状态示意图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的实施例作详细说明：本实施例在以本发明技术方案为前提下进行实施，给出了详细的实施方式和过程，但本发明的保护范围不限于下述的实施例。

如图1所示，本实施例的实施方式为：

1)连杆曲线是由一组坐标点序列近似表示的，最原始的坐标点序列(记为SCO[n])是通过ADAMS仿真软件得到。即首先将连杆曲线按弧长归一化，即把所有待比较的连杆曲线的弧长都按比例放大或缩小到同一个长度L(无量纲)，SCO[n]中各点的坐标也作相应变化。然后，将SCO[n]序列按弧长等分成N份，每段长度为L/N，形成新的序列SC[N]，此处取n＝500，N＝180。通过C#语言编程实现。

2)任意一条连杆曲线可以用点序列{p₁，p₂，...，p_N}来代替，对其中的任意一个长为2k+1的子段{p_i-k，...，p_i，...，p_i+k}记为

在计算机中以p_i点表示整个子段，而表示与

顺序相反的序列{p_i+k，...，p_i，...，p_i-k}。连杆曲线C₁上任意一子段对

与

之间的距离为a_i和a_j的距离；同理，对连杆曲线C₂上任意一子段对找出绞拧数的最大值Wr_max和Wr_min，则每个区间大小为(Wr_max-Wr_min)/N，将各个子段对

存入区间所对应的ArrayList类型存储空间ALO中，N个元素；在每个非空存储空间中，再根据子段间距离将其中的子段对存入新的ArrayList类型存储空间AL中，N×N个元素；清除空的项目。在AL中，曲线C₁和C₂上的子段对分别存储，以便于下一步骤求得子段对间的刚体变换。即，AL下包含若干个等价类元素，每个等价类元素包含两个元素a和b，a、b中包含的若干个子段对分别来自曲线C₁和C₂。

3)在AL的每一个等价类中，取元素a中的每一个子段对

采用单位四元数法，在b中选择所有子段对和各子段对的反序序列依次进行匹配，即求得刚体变换和匹配误差，选取匹配误差最小的子段对为

的匹配对象

运用此方法，所有等价类中的所有子段对都找到匹配对象。以旋转分量、平移分量及对应的匹配子段对

和

为单位元素，存入ArrayList类型存储空间ALp中。

4)首先以旋转分量为聚类对象，将ALp中的元素进行聚类分析，选取k-means聚类方法，k取3；在每个已有的聚类中，以平移分量为聚类对象，进行k-means聚类分析，k取2。

5)在每个聚类中，求得所有子段对的不同匹配折点的个数及C₁和C₂曲线上折点间的对应关系，取匹配个数最多的聚类为所需聚类，此聚类的折点个数M、折点对应关系及此聚类中心点即为所求。相似度为 $\mathrm{Sim}=\frac{M}{N}\×100\%,$ 匹配误差为 $\mathrm{RMSD}=\sqrt{\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{\left|\right|a_i^{\′}-b_i\left|\right|}^2/N},$ 其中字母的意义如前所述。

6)在Maple软件中读入曲线坐标及步骤5)所得的刚体变换，分别绘图显示变换前与变换后的曲线图形。

通过附图对本实施例两组空间连杆曲线的匹配结果，挑选了空间7R机构产生的三条空间连杆曲线进行匹配，曲线a、b、c，其中a与b比较一次，a与c比较一次，由图2和图4可以看出a与b的相似度显然大于a与c的相似度，而用本实施例所得的结果同样可以说明这一点，图3和图5分别为曲线a与b，a与c经过本实施例所得的刚体变换映射后的效果，a与b的相似度为96.1％，误差为0.79，a与c的相似度为42.8％，误差为2.97。这也从一定程度上验证了本发明正确性和实用性。本实施例不仅可应用于空间连杆曲线相似性判定问题，还可推广到空间任意曲线的匹配领域。

Claims (7)

1.一种三维空间连杆曲线匹配度的检测方法，其特征在于，包含以下步骤：

a.数据标准化：将待比较的连杆曲线数据进行标准化；

b.划分等价类：对经过步骤a处理后形成的标准化曲线，以子段对的绞拧数和距离为指标，将所有子段对划分为若干个等价类；所述子段，是指：经过步骤a后，同一连杆曲线上由2k+1个连续折点所形成的子曲线；所述子段对是指：经过步骤a后，同一连杆曲线的两个子段；子段对间的距离是指两个子段中间两个折点的欧式距离；

c.子段对间刚体变换：在每个等价类中，求得属于不同曲线的子段对之间的刚体变换，以寻找最佳匹配子段对，从而完成曲线的局部匹配；

d.聚类分析：将步骤c中所得的所有刚体变换进行聚类分析，取最大聚类为连杆曲线的最佳匹配，以此推出最佳刚体变换、匹配度以及匹配误差，并显示匹配效果。

2.根据权利要求1所述的三维空间连杆曲线匹配度的检测方法，其特征是，所述的连杆曲线是以离散点序列表示的。

3.根据权利要求1所述的三维空间连杆曲线匹配度的检测方法，其特征是，步骤a中，所述的标准化是指将连杆曲线按弧长归一化，即把待比较的连杆曲线的总弧长都按比例放大或缩小到同一个值L，L为无量纲，同时各折点的坐标相应变化形成新的序列，然后，将此序列按弧长等分成N份，每段长度为L/N，形成新的、排除速度信息的仅反映连杆曲线形状的标准化序列。

4.根据权利要求1所述的三维空间连杆曲线匹配度的检测方法，其特征是，步骤b中，所述的将所有子段对划分为若干个等价类，包括以下步骤：

b1.计算待比较两条连杆曲线上所有子段对的绞拧数和子段对间的距离；

b2.找到绞拧数中的最大和最小值，并等分为N个区间，按各子段对绞拧数的大小将各子段对放入不同区间所对应的N个子段对集合；

b3.清除不包含任何子段对的空集合；

b4.在每个非空的子段对集合中，找到子段对距离的最大与最小值，并等分为N个区间，按各子段对距离的大小将各子段对放入不同区间所对应的N个子段对集合，并清除空集合，这样形成的集合小于等于N×N个；

至此，将子段对以绞拧数和距离分别相等为等价关系，划分为个数小于等于N×N的等价类。

5.根据权利要求1所述的三维空间连杆曲线匹配度的检测方法，其特征是，步骤c中，所述的刚体变换是指旋转和平移，采用单位四元数法实现。

6.根据权利要求1所述的三维空间连杆曲线匹配度的检测方法，其特征是，步骤d中，所述最大聚类，是指：在聚类中刚体变换所对应的相异折点个数M最多的聚类；

所述匹配度为： $\mathrm{Sim}=\frac{M}{N}\×100\%,$ N为连杆曲线标准化后折点的总个数。

7.根据权利要求1所述的三维空间连杆曲线匹配度的检测方法，其特征是，步骤d中，所述匹配误差，其表达式为：

$\mathrm{RMSD}=\sqrt{\underset{l=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{\left|\right|a_l^{\′}-b_l\left|\right|}^2/N},$

其中，

表示第一条曲线的匹配折点通过刚体变换进行映射的坐标，b_i表示与折点所对应的第二条曲线上的匹配折点坐标，N为连杆曲线标准化后折点的总个数，M为匹配折点的个数。

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