WO2015181509A1 - Method and device for iterative determination of a prototype filter for a filter bank of a transmission or coding system - Google Patents

Method and device for iterative determination of a prototype filter for a filter bank of a transmission or coding system Download PDF

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WO2015181509A1
WO2015181509A1 PCT/FR2015/051426 FR2015051426W WO2015181509A1 WO 2015181509 A1 WO2015181509 A1 WO 2015181509A1 FR 2015051426 W FR2015051426 W FR 2015051426W WO 2015181509 A1 WO2015181509 A1 WO 2015181509A1
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WO
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prototype filter
coefficients
filter
length
determining
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PCT/FR2015/051426
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French (fr)
Inventor
Pierre Siohan
Didier Pinchon
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Orange
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    • H04—ELECTRIC COMMUNICATION TECHNIQUE
    • H04L—TRANSMISSION OF DIGITAL INFORMATION, e.g. TELEGRAPHIC COMMUNICATION
    • H04L27/00—Modulated-carrier systems
    • H04L27/26—Systems using multi-frequency codes
    • H04L27/2601—Multicarrier modulation systems
    • H04L27/2626—Arrangements specific to the transmitter only
    • H04L27/2627—Modulators
    • H04L27/264—Pulse-shaped multi-carrier, i.e. not using rectangular window
    • H04L27/26416—Filtering per subcarrier, e.g. filterbank multicarrier [FBMC]

Definitions

  • the technical field is that of multicarrier modulation. More specifically, the invention relates to oversampled OFDM / QAM modulation.
  • an advantage of oversampled OFDM / QAM is the possibility of introducing an optimized waveform with appropriate criteria for a given transmission channel. This specific waveform is provided by the exponential modulation of a so-called prototype filter.
  • the object of the invention is notably to propose a method for optimizing the prototype filter, for so-called minimum dimension solutions and this for a wide set of acceptable lengths of this prototype filter.
  • the invention relates to a method for determining a prototype filter, of length L, making it possible to determine the filters of an oversampled filterbank with exponential modulation of a transmission or coding system, also called a transmultiplexer or encoder.
  • N 0 Mo + 1
  • the method implements a determination of the coefficients of said prototype filter P comprising the following steps:
  • the prototype filter is subsequently represented by p in time and P transformed into z or frequency.
  • this prototype filter p makes it possible to determine all the filters f m of the filter banks, in particular as follows:
  • LQ is a multiple of N 0 , but it must not be (obligatorily) a multiple of Mo, unlike the techniques of the prior art. It is thus possible to treat a much larger number of cases.
  • the invention is based on an iterative approach, new in the field of the invention, for simplifying calculations, as demonstrated by the examples presented below.
  • the polyphase matrix of the associated synthesis filter bank has a size N x M.
  • This allows to cover a wide range of solutions for all triplets (MQ, N 0 , Lo) where N 0 Mo + 1 with LQ a multiple length of N 0 .
  • each of said iterations implements a single additional rotation matrix, with respect to the previous iteration.
  • the method implements a compact representation method, in which the rotation parameters of said prototype filter P are represented by a smoothing function:
  • a is an integer variable mute, 0 a a ⁇ A (in the following description, a may be replaced in some equations by the dummy variable k, distinct from the index of claim 1);
  • d is the number of rotations implemented for each value of i.
  • A may be equal to 2, whatever the value of M, with MQ> 4.
  • the method comprises the following steps: determination of the angles 6 * p (1) ;
  • This step of determining the prototype filter P (z) can in particular implement a minimization of a criterion representative of the out-of-band energy E of the prototype filter P (z), using an optimization algorithm said parameters Xp > a .
  • N 0 Mo + 1
  • the device comprises means for determining the coefficients of said prototype filter P comprising:
  • the invention also relates to a computer program comprising instructions for the implementation of a method for determining at least one prototype filter as described above, and for example according to the preferred embodiment presented hereinafter. after, when this program is run by a processor.
  • FIG. 1 illustrates a representation of an OFDM system in the form of an oversampled transmultiplexer
  • the usual representations for these symbols correspond to the alphabets used for amplitude modulations such as QAM or PSK (Phase Shift Keying) and its differential coding variant DPSK.
  • QAM Phase Shift Keying
  • PSK Phase Shift Keying
  • (f ⁇ ) ⁇ ) e IxZ constitutes a Gabor family.
  • the goal is to find the symbols c mn from the signal s (t). This is possible if and only if (fm, n ) (m, n ) eixz is a free family.
  • the spectral efficiency ⁇ which measures the bit rate per unit of time and frequency, is linked to the density by the relation ⁇ ⁇ bd, with b the number of bits used for the constellation alphabet (for example QAM or PSK).
  • the Balian-Low theorem indicates that f (t) is a function necessarily badly localized in the time-frequency plane, that is why one can be led to reduce the spectral efficiency by taking d ⁇ 1. then says that the system is subcritical density.
  • an OFDM system can be represented by the triplet (f, T 0 , F 0 ) and we say that an OFDM system is orthogonal if
  • the f nin functions are orthogonal in the body of the complexes
  • the function f is well localized in time and frequency
  • Subcritical density OFDM introduces a loss of spectral efficiency proportional to 1 / d. Two cases are then considered and implemented in efficient implementation schemes based on discrete Fourier transform (DFT).
  • DFT discrete Fourier transform
  • the useful symbols of duration T 0 are prolonged with the emission of a duration T A which, most often, will correspond to the copying of a part of the samples of the output of the inverse DFT under the form called cyclic prefix (CP).
  • CP cyclic prefix
  • oversampling is carried out at the level of the modulator.
  • the density d 1 / p becomes less than 1, but the possibility of having a shape is introduced.
  • wavelength f well localized in time and frequency, which is not the case of the rectangular waveform of the CP-OFDM.
  • the invention relates to the latter case, and proposes OFDM systems (f, T 0 , F 0 ), or alternatively (f, N, M) in their discrete time version, having spectral efficiencies comparable to those of the OFDM systems to cyclic prefix (CP) of reduced value, that is to say less than 25%, which corresponds to values of d greater than 4/5.
  • CP cyclic prefix
  • Oversampled OFDM can be represented in the so-called transmultiplexer (TMUX) form as described in the document Oversampled OFDM
  • M and N designate two integers checking M ⁇ N, with M the number of inputs and outputs and N the expansion / decimation factor.
  • Fm (z) and Hm (z), 0 ⁇ m ⁇ M - 1 denote filters with complex coefficients, which are not assumed causal, or even finite support:
  • the oversampling factor of this system is denoted by p, and equivalently, its density is then such that
  • the left part of Figure 1 represents the emission bank and its scheme is designated by S (M, N, (F m ) 0 ⁇ m ⁇ Mi) while the right part is the receiving bank which is designated by TZ (M, N, (H m ) 0 ⁇ m ⁇ Mi) -
  • P (z) is RP for the parameters M and N if and only if the Pj (z) are RP for the parameters M 0 and N 0 for all i, 0 ⁇ i ⁇ -1.
  • a (1 / X) T A (X) I Mo , (10) where I MG denotes the unit matrix of dimension MQ and (.) T the transposition operation.
  • the set of constant paraunitic matrices is the classical orthogonal group 0 (N o , R) and the set 0 (N O , No, R, X) of the paraunitary matrices of dimension N 0 is also a group, denoted O (N 0 , R, X). If A (X) EO (N 0 , R, X) and B (X) e O (N 0 , M 0 , R, X), then A (X) B (X) e O (N 0 , 0 , R, X).
  • the matrix For example, the matrix:
  • the matrices Ri j (é>) are orthogonal matrices.
  • a and B denote two sets of matrices of dimensions N 0 x MQ and MQ XP respectively, AB is the set of matrices produced AB when A £ A and B £ B.
  • This definition extends to any product of sets of matrices provided that the dimensions of the arrays of each set are compatible.
  • N 0 is a product of the form TiT 2 . . . T K E where E is the set consisting of an elementary paraunitary matrix and where, for each k, 1 ⁇ k ⁇ K, r k is a set of rotations I3 ⁇ 4, j or a set
  • the matrices of a set of Givens are obviously paraunitary matrices of dimensions N 0 MB.
  • the minimum dimension solution is of dimension m and takes a relatively simple form.
  • Zi and Ri j denote respectively an offset matrix and a rotation matrix of dimension N 0 .
  • T k depends on an angle and we denote T k ⁇ e k ) the matrix obtained by giving the value 9 k at this angle.
  • Lo mNo
  • null angle rotation matrix is the identity matrix of dimension N 0 and that
  • the input parameters of the calculation are:
  • the result of the calculation is a prototype filter P (z) of length ⁇ 0 , which is optimal for the criterion of best out-of-band energy.
  • the eighth 8 -polyphase component Pj (z) is obtained from a U-matrix with 3 rows and 2 columns:
  • StfP, ⁇ ? , 6) ⁇ 0 ( ⁇ $>) ⁇ 2 ( ⁇ ?) ⁇ [0, 1], (23) where the matrices T k are defined in (17), and,, ⁇ 2 ⁇ are three angles.
  • Vi j (z), 0 ⁇ j ⁇ 5 are the 6-polyphase components of P ⁇ z):
  • the prototype filter can therefore be constructed from 24 independent angular parameters ⁇ , ⁇ , with 0 ⁇ i ⁇ 7.
  • ⁇ X2, o + X2, i - ⁇ -), ° ⁇ i ⁇ 7 , ( 29 ) where Xifi, xi t i, x 2j o, X2, i are 4 other independent coefficients.
  • the optimal values for the variables Xo > 0 , ⁇ , ⁇ , ⁇ , ⁇ , ⁇ , 2, o > X24 are given in Table 1, the corresponding values of the 24 angles in Table 2 and the 72 coefficients p [n] of the optimal filter
  • the optimization can be carried out by increasing m from 1 to 128 and taking as an initial point for a value of m> 1 the optimal filter obtained for m - 1.
  • K 2 if the Mo value is a bit high.
  • the invention proposes a new method of building modulation systems

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  • Compression, Expansion, Code Conversion, And Decoders (AREA)

Abstract

The invention relates to a method for determining a prototype filter, of length L, making it possible to determine the filters of an oversampled exponentially modulated filter bank of a transmission or coding system, said filter bank comprising M inputs and M outputs, respectively, and implementing a factor N for expansion and decimation, respectively, and using a polyphase matrix of size N × M, wherein N = ∆N0 and M = ∆M0, wherein ∆ is a strictly positive integer. N0 = M0 + 1, L = ∆L0 and L0 is a multiple of N0 but not necessarily of N0M0, and the method carries out a determination of the coefficients of said prototype filter P comprising the following steps: determining the coefficients of an initial prototype filter having a length L0 = N0; and at least two iterations of determining the coefficients of an intermediate prototype filter of length L0 = (k+1)N0 from the coefficients of an intermediate prototype filter of length L0 = kN0 determined in the preceding step, k, 0 ≤ k < Kmax, each iteration minimising a criterion representing the outband energy E of said intermediate prototype filter.

Description

Procédé et dispositif de détermination itérative d'un filtre prototype pour un banc de filtres d'un système de transmission ou de codage.  Method and device for iteratively determining a prototype filter for a filter bank of a transmission or coding system.
1. Domaine de l'invention 1. Field of the invention
Le domaine technique est celui de la modulation multiporteuse. Plus précisément, l'invention concerne la modulation OFDM/QAM suréchantillonné.  The technical field is that of multicarrier modulation. More specifically, the invention relates to oversampled OFDM / QAM modulation.
On rappelle que, par rapport à P OFDM/QAM conventionnel, un avantage de l'OFDM/QAM suréchantillonné est la possibilité d'introduire une forme d'onde optimisée avec des critères appropriés pour un canal de transmission donné. Cette forme d'onde spécifique est assurée par la modulation exponentielle d'un filtre dit prototype.  It is recalled that, compared with conventional OFDM / QAM, an advantage of oversampled OFDM / QAM is the possibility of introducing an optimized waveform with appropriate criteria for a given transmission channel. This specific waveform is provided by the exponential modulation of a so-called prototype filter.
2. Art antérieur  2. Prior Art
Les inventeurs ont précédemment mis en évidence le fait que, pour une longueur de filtre prototype et un rapport de suréchantillonnage donnés, il pouvait exister plusieurs familles de solutions, autrement dit d'ensembles de Givens à Reconstruction Parfaite (RP).  The inventors have previously highlighted the fact that, for a given prototype filter length and oversampling ratio, there could be several families of solutions, that is to say Perfect Rebuilding (RP) Givens sets.
Dans le document de brevet FR 08 58910, pour des systèmes dits de dimension ininimale In patent document FR 08 58910, for so-called infinite size systems
(c'est à-dire que la RP est réalisée avec le nombre minimum de matrices de rotations), l'existence d'une factorisation explicite des matrices polyphasés de ces systèmes est mise en évidence. Toutefois cette factorisation ne s'applique que dans des cas de longueurs particulières et ne donne pas de méthodes spécifiques de calcul pour obtenir les coefficients de la structure. (That is to say that the RP is performed with the minimum number of rotation matrices), the existence of an explicit factorization of the polyphase matrices of these systems is highlighted. However this factorization only applies in cases of particular lengths and does not give specific methods of calculation to obtain the coefficients of the structure.
Une méthode analytique a été proposée récemment dans le document de brevet An analytical method has recently been proposed in the patent document
FR 1260950, mais elle ne s'applique que pour les longueurs dites les plus courtes. Une méthode dite de représentation compacte est décrite dans le document « Design techniques for orthogonal modulated filterbanks based on a compact représentation » par D. Pinchon, P. Siohan, et C. Siclet (IEEE Trans. on Signal Processing, 52(6) :1682 - 1692, June 2004). Cependant, elle atteint assez vite ses limites quand la longueur du filtre prototype devient trop élevée et/ou quand le rapport de suréchantillonnage se rapproche trop près de 1. FR 1260950, but it only applies for the so-called shorter lengths. A so-called compact representation method is described in the document "Design techniques for orthogonal modulated filterbanks based on compact representation" by D. Pinchon, P. Siohan, and C. Siclet (IEEE Trans .on Signal Processing, 52 (6): 1682 - 1692, June 2004). However, it quickly reaches its limits when the length of the prototype filter becomes too high and / or when the oversampling ratio approaches too close to 1.
L'état de Part actuel en matière de design de filtres prototypes pour des systèmes OFDM suréchantillonnés à RP peut être illustré par les références qui suivent :  The current state of Part in the design of prototype filters for oversampled OFDM RP systems can be illustrated by the following references:
- R. FUeiss, P. Duhamel, et M. Charbit : « Oversampled OFDM Systems. In Proc. International Conférence on Digital Signal Processing » (Santorini, Greece, July 1997) ; R. Fueiss, P. Duhamel, and M. Charbit: Oversampled OFDM Systems. In Proc. International Conference on Digital Signal Processing "(Santorini, Greece, July 1997);
- Z. Cvetkovic : « Modulating waveforms for OFDM » (In ICASSP (Phoenix, USA), volume Π, pages 2463-2466, 1999) ; - Z. Cvetkovic: "Modulating waveforms for OFDM" (In ICASSP (Phoenix, USA), volume Π, pages 2463-2466, 1999);
- C. Siclet, P. Siohan, et D. Pinchon : « Perfect reconstruction conditions and design of oversampled DFT modulated transmultiplexers » (Eurasip Journal on Applied Signal Processing, 2006. Article ID 15756, 14 pages) ; - D. Pinchon et P. Siohan : « Oversampled paraunitary DFT filter banks : A gênerai construction algorithm and some spécifie solutions » (IEEE Trans. on signal processing, 59(7) :3058 - 3070, July 2011) ; C. Siclet, P. Siohan, and D. Pinchon: "Perfect reconstruction conditions and design of oversampled DFT modulated transmultiplexers" (Eurasip Journal on Applied Signal Processing, 2006. Article ID 15756, 14 pages); - D. Pinchon and P. Siohan: "Oversampled paraunitary DFT filter banks: A construction problem algorithm and some specifies solutions" (IEEE Trans., On signal processing, 59 (7): 3058 - 3070, July 2011);
- S. Rahinii et B. Champagne : « Oversampled perfect reconstruction DFT modulated filter banks for multi-carrier transceiver Systems. Signal Processing » (93(11) :2942- 2955, November 2013).  - S. Rahinii and B. Champagne: "Oversampled perfect reconstruction DFT modulated filter banks for multi-carrier transceiver Systems. Signal Processing "(93 (11): 2942-2955, November 2013).
Il existe plusieurs critères d'optimisation des filtres d'un banc de filtres, selon les types de canaux de transmission. Aucune de ces méthodes de l'état de l'art antérieur ne permet d'obtenir des solutions satisfaisantes vis-à-vis d'un critère d'énergie hors bande (visant donc à minimiser l'énergie hors bande) pour :  There are several filter optimization criteria for a filter bank, depending on the types of transmission channels. None of these methods of the state of the prior art makes it possible to obtain satisfactory solutions with respect to an out-of-band energy criterion (aiming at minimizing out-of-band energy) for:
- des rapports de suréchantillonnage équivalents en terme d'efficacité spectrale des systèmes OFDM dont le préfixe cyclique (CP) correspond à 1/16 au plus de la durée symbole ;  - oversampling ratios equivalent in terms of spectral efficiency of the OFDM systems whose cyclic prefix (CP) corresponds to 1/16 at most of the symbol duration;
- des valeurs élevées du nombre de sous-porteuses ; et/ou  high values of the number of subcarriers; and or
- un large ensemble de longueurs admissibles pour la condition RP.  a wide set of permissible lengths for the RP condition.
De plus, malgré l'usage de la technique de représentation compacte, les temps de calcul sont relativement élevés.  Moreover, despite the use of the compact representation technique, the calculation times are relatively high.
3. Exposé de l'invention  3. Presentation of the invention
L'objet de l'invention est notamment de proposer une méthode d'optimisation du filtre prototype, pour des solutions dites de dimension minimale et ceci pour un large ensemble de longueurs admissibles de ce filtre prototype.  The object of the invention is notably to propose a method for optimizing the prototype filter, for so-called minimum dimension solutions and this for a wide set of acceptable lengths of this prototype filter.
Ainsi, l'invention concerne un procédé de détermination d'un filtre prototype, de longueur L, permettant de déterminer les filtres d'un banc de filtres suréchantillonné à modulation exponentielle d'un système de transmission ou de codage, également dit transmultiplexeur ou codeur en sous-bandes, ledit banc de filtres comprenant M entrées, respectivement M sorties, et mettant en œuvre un facteur N d'expansion, respectivement de décimation, et mettant en œuvre une matrice polyphasé de taille N x M, avec N = ΔΝ0 et M = ΔΜο, où Δ est un entier strictement positif. Thus, the invention relates to a method for determining a prototype filter, of length L, making it possible to determine the filters of an oversampled filterbank with exponential modulation of a transmission or coding system, also called a transmultiplexer or encoder. in sub-bands, said bank of filters comprising M inputs, respectively M outputs, and implementing an expansion factor N, respectively of decimation, and implementing a polyphase matrix of size N x M, with N = ΔΝ 0 and M = ΔΜο, where Δ is a strictly positive integer.
Selon l'invention, N0 = Mo + 1, L = ALQ et LQ est un multiple de N0 mais non nécessairement de N0Mo, et le procédé met en œuvre une détermination des coefficients dudit filtre prototype P comprenant les étapes suivantes : According to the invention, N 0 = Mo + 1, L = ALQ and LQ is a multiple of N 0 but not necessarily N 0 Mo, and the method implements a determination of the coefficients of said prototype filter P comprising the following steps:
détermination des coefficients d'un filtre prototype initial présentant une longueur LQ au moins deux itérations de détermination des coefficients d'un filtre prototype intermédiaire de longueur Lo = (k+l)N0 à partir des coefficients d'un filtre prototype intermédiaire de longueur LQ = kN0 déterminés à l'étape précédente, k, 0 < k < Κ chaque itération minimisant un critère représentatif de l'énergie hors bande E dudit filtre prototype intermédiaire. determination of the coefficients of an initial prototype filter having a length LQ at least two iterations for determining the coefficients of an intermediate prototype filter of length Lo = (k + 1) N 0 from the coefficients of an intermediate prototype filter of length LQ = kN 0 determined in the previous step, k, 0 <k <Κ each iteration minimizing a criterion representative of the out-of-band energy E of said intermediate prototype filter.
Le filtre prototype est représenté par la suite par p en temps et P en transformée en z ou fréquence. Classiquement, ce filtre prototype p permet de déterminer l'ensemble des filtres fm des bancs de filtres, notamment de la façon suivante : The prototype filter is subsequently represented by p in time and P transformed into z or frequency. Conventionally, this prototype filter p makes it possible to determine all the filters f m of the filter banks, in particular as follows:
- banc de filtres 'expansion :
Figure imgf000005_0001
- filter bank 'expansion:
Figure imgf000005_0001
- banc de filtres d'expansion : - expansion filter bench:
Figure imgf000005_0002
Figure imgf000005_0002
m et k étant dans ces deux équations des variables muettes strictement positives, et k en particulier étant ici distinct de l'indice k utilisé dans la définition de la longueur LQ. D'une façon générale, par la suite, dans la description et les revendications, les lettres a, m, et k peuvent être utilisées comme variables muettes strictement positives, dans certaines équations. m and k being strictly positive dummy variables in these two equations, and k in particular here being distinct from the index k used in the definition of the length LQ . In a general manner, subsequently, in the description and the claims, the letters a, m, and k can be used as strictly positive dummy variables in certain equations.
L'approche de l'invention s'applique à des systèmes de dimension minimale tels que N0 = MQ + 1 , dont les coefficients du filtre prototype sont aisés à calculer. On souligne ici que les cas où N0 = Mo relève de problématiques et d'approches différentes, tant dans l'objet que dans les traitements nécessaires. En particulier les structures de réalisation sont différentes de celles du cas N0 = MQ, et une connaissance de celles-ci ne permet pas d'en déduire celles du cas N0 = Mo +1. De fait, les solutions développées sont par nature différentes. The approach of the invention applies to systems of minimum dimension such that N 0 = MQ + 1, whose prototype filter coefficients are easy to calculate. It is emphasized here that when N = 0 MB succession issues and different approaches, both in the object in the necessary treatments. In particular the structures of realization are different from those of the case N 0 = MQ, and a knowledge of these does not make it possible to deduce those of the case N 0 = Mo +1. In fact, the solutions developed are by nature different.
On note par ailleurs que, selon l'invention, LQ est un multiple de N0, mais qu'il ne doit pas être (obligatoirement) un multiple de Mo, contrairement aux techniques de l'art antérieur. Il est ainsi possible de traiter un nombre de cas beaucoup plus important. Note also that, according to the invention, LQ is a multiple of N 0 , but it must not be (obligatorily) a multiple of Mo, unlike the techniques of the prior art. It is thus possible to treat a much larger number of cases.
L'invention repose sur une approche itérative, nouvelle dans le domaine de l'invention, permettant de simplifier les calculs, comme démontré par les exemples présentés par la suite.  The invention is based on an iterative approach, new in the field of the invention, for simplifying calculations, as demonstrated by the examples presented below.
On rappelle que pour un système OFDM suréchantillonné comprenant M porteuses (M pouvant être de l'ordre de quelques milliers) et un facteur d'expansion/décimation égal à N, la matrice polyphasé du banc de filtre de synthèse associé a une taille N x M. Une décomposition matricielle de cette matrice polyphasé permet de se ramener à l'étude de matrices de taille N0xMo, avec Ν=ΔΝ0 et Μ=ΔΜο, où Δ est un entier positif. L'invention établit, pour les systèmes de dimension minimale tels que N0 = Mo + 1, un lien formel entre les solutions des systèmes de paramètres (Mo, N0, kN0) et (Mo, N0, (k + 1)N0). Ainsi, l'application de proche en proche de ce principe permet de limiter le nombre de variables à optimiser à chaque étape (en pratique, selon un mode de réalisation particulier, une nouvelle variable angulaire seulement intervient pour passer d'une longueur LQ = kN0 à LQ = (k + 1)N0). Ceci permet de couvrir un large éventail de solutions pour tous les triplets (MQ, N0, Lo) où N0 = Mo + 1 avec LQ une longueur multiple de N0. It is recalled that for an oversampled OFDM system comprising M carriers (M may be of the order of a few thousand) and an expansion / decimation factor equal to N, the polyphase matrix of the associated synthesis filter bank has a size N x M. A matrix decomposition of this polyphase matrix makes it possible to reduce to the study of matrices of size N 0 xMo, with Ν = ΔΝ 0 and Μ = ΔΜο, where Δ is a positive integer. The invention establishes, for minimum dimension systems such as N 0 = Mo + 1, a formal link between the solutions of the parameter systems (Mo, N 0 , kN 0 ) and (Mo, N 0 , (k + 1 ) N 0 ). Thus, the application step by step of this principle makes it possible to limit the number of variables to be optimized at each step (in practice, according to a particular embodiment, a new angular variable only intervenes to pass a length LQ = kN 0 to LQ = (k + 1) N 0 ). This allows to cover a wide range of solutions for all triplets (MQ, N 0 , Lo) where N 0 = Mo + 1 with LQ a multiple length of N 0 .
Ainsi, selon un mode de réalisation particulier, chacune desdites itérations met en œuvre une unique matrice de rotation supplémentaire, par rapport à l'itération précédente.  Thus, according to a particular embodiment, each of said iterations implements a single additional rotation matrix, with respect to the previous iteration.
Les calculs effectués sont alors très simples, même pour de grandes longueurs.  Calculations are then very simple, even for long lengths.
Selon une mise en œuvre particulière de l'invention, le procédé met en œuvre une méthode de représentation compacte, dans laquelle les paramètres de rotation dudit filtre prototype P sont repré par une fonction de lissage : According to one particular embodiment of the invention, the method implements a compact representation method, in which the rotation parameters of said prototype filter P are represented by a smoothing function:
ΘΤ = , i = 0, ... A - l, p = 0, ... d - l Θ Τ =, i = 0, ... A - 1, p = 0, ... d - l
Figure imgf000006_0001
Figure imgf000006_0001
où : a est une variable entière muette, 0≤ a < A (dans la suite de la description, a peut être remplacée dans certaines équations par la variable muette k, distincte de l'indice de la revendication 1) ;  where: a is an integer variable mute, 0 a a <A (in the following description, a may be replaced in some equations by the dummy variable k, distinct from the index of claim 1);
Xp>a désigne les coefficients de ladite fonction de lissage ; Xp > a denotes the coefficients of said smoothing function;
d est le nombre de rotations mises en œuvre pour chaque valeur de i.  d is the number of rotations implemented for each value of i.
La représentation compacte, développée par les inventeurs et détaillée dans l'art antérieur, permet encore de simplifier fortement les calculs. The compact representation, developed by the inventors and detailed in the prior art, makes it possible to greatly simplify the calculations.
A peut notamment être inférieur ou égal à 6. En particulier, A peut être égal à 2 quelle que soit la valeur de M, avec MQ > 4. In particular, A may be equal to 2, whatever the value of M, with MQ> 4.
En effet, on constate que de très faibles valeurs de Asont suffisantes pour obtenir des filtres prototypes beaucoup plus efficaces que ceux de l'art antérieur. Indeed, it is found that very low values of As are sufficient to obtain prototype filters much more effective than those of the prior art.
Selon un mode de réalisation particulier, le procédé comprend les étapes suivantes : détermination des angles 6*p (l) ; According to a particular embodiment, the method comprises the following steps: determination of the angles 6 * p (1) ;
détermination de matrices :  matrix determination:
SM0,(k+i)N0 (^ο^' θι ^> - ' 0fcl)) ' i = 0, ... , Δ - 1 S M 0 (k + i) N 0 (^ ο ^ 'θ ι ^>-' f c 0 l)) i = 0, ..., Δ - 1
détermination des composantes polyphasés Pj(z) du filtre prototype ; détermination du filtre prototype P(z). Cette étape de détermination du filtre prototype P(z) peut notamment mettre en œuvre une minimisation d'un critère représentatif de l'énergie hors-bande E du filtre prototype P(z), à l'aide d'une algorithme d'optimisation desdits paramètres Xp>a. determination of polyphase components Pj (z) of the prototype filter; determination of the prototype filter P (z). This step of determining the prototype filter P (z) can in particular implement a minimization of a criterion representative of the out-of-band energy E of the prototype filter P (z), using an optimization algorithm said parameters Xp > a .
Selon une approche particulière, lorsque Mo est supérieur ou égal à 8 et pour une valeur souhaitée de Δ strictement supérieur à 4, on détermine un filtre prototype pour une valeur Δ = 4 et on remplace directement la valeur 4 de Δ par la valeur souhaitée.  According to a particular approach, when Mo is greater than or equal to 8 and for a desired value of Δ strictly greater than 4, a prototype filter is determined for a value Δ = 4 and the value 4 of Δ is directly replaced by the desired value.
On constate en effet que les variations de l'énergie hors-bande pour les valeurs de Δ supérieures à 4 sont en pratique non distinguables des variations obtenues pour Δ = 4  It can be seen that the out-of-band energy variations for Δ values greater than 4 are in practice indistinguishable from the variations obtained for Δ = 4
L'invention concerne également un dispositif de détermination d'un filtre prototype, de longueur L, permettant de déterminer les filtres d'un banc de filtres suréchantillonné à modulation exponentielle d'un système de transmission ou de codage, également dit transmultiplexeur ou codeur en sous -bandes, ledit banc de filtres comprenant M entrées, respectivement M sorties, et mettant en œuvre un facteur N d'expansion, respectivement de décimation, et mettant en œuvre une matrice polyphasé de taille N x M, avec N = ΔΝ0 et M = ΔΜο, où Δ est un entier strictement positif. The invention also relates to a device for determining a prototype filter, of length L, making it possible to determine the filters of an oversampled filterbank with exponential modulation of a transmission or coding system, also called a transmultiplexer or a coder. sub-bands, said bank of filters comprising M inputs, respectively M outputs, and implementing an expansion factor N, respectively of decimation, and implementing a polyphase matrix of size N x M, with N = ΔΝ 0 and M = ΔΜο, where Δ is a strictly positive integer.
Selon l'invention, N0 = Mo + 1, L = ALo et Lo est un multiple de N0, et le dispositif comprend des moyens de détermination des coefficients dudit filtre prototype P comprenant : According to the invention, N 0 = Mo + 1, L = ALo and Lo is a multiple of N 0 , and the device comprises means for determining the coefficients of said prototype filter P comprising:
des moyens de détermination des coefficients d'un filtre prototype initial présentant une longueur Lo = N0 ; means for determining the coefficients of an initial prototype filter having a length Lo = N 0 ;
des moyens de réalisation d'au moins deux itérations de détermination des coefficients d'un filtre prototype intermédiaire de longueur Lo = (k+l)N0 à partir des coefficients d'un filtre prototype intermédiaire de longueur Lo = kN0 déterminés à l'étape précédente, k, 0 < k < Kmax, means for producing at least two iterations for determining the coefficients of an intermediate prototype filter of length Lo = (k + 1) N 0 from the coefficients of an intermediate prototype filter of length Lo = kN 0 determined by the previous step, k, 0 <k <K max ,
L'invention concerne également un programme d'ordinateur comportant des instructions pour la mise en œuvre d'un procédé de détermination d'au moins un filtre prototype tel que décrit ci-dessus, et par exemple selon le mode de réalisation préférentiel présenté ci-après, lorsque ce programme est exécuté par un processeur.  The invention also relates to a computer program comprising instructions for the implementation of a method for determining at least one prototype filter as described above, and for example according to the preferred embodiment presented hereinafter. after, when this program is run by a processor.
4. liste des figures  4. list of figures
D'autres caractéristiques et avantages de l'invention apparaîtront plus clairement à la lecture de la description suivante d'un mode de réalisation de l'invention, donné à titre de simple exemple illustratif et non limitatif, et des dessins annexés, parmi lesquels :  Other features and advantages of the invention will appear more clearly on reading the following description of an embodiment of the invention, given by way of a simple illustrative and nonlimiting example, and the appended drawings, among which:
la figure 1 illustre une représentation d'un système OFDM sous la forme d'un transmultiplexeur suréchantillonné ;  FIG. 1 illustrates a representation of an OFDM system in the form of an oversampled transmultiplexer;
la figure 2 présente les variations en décibels de la meilleure énergie hors bande pour un filtre prototype RP de paramètres Mo =32, N0 =33, Lo =m 0 avec 1 < m< 128 et Δ=4 ; Figure 2 shows the decibel variations of the best out-of-band energy for a filter RP prototype of parameters Mo = 32, N 0 = 33, Lo = m 0 with 1 <m <128 and Δ = 4;
la figure 3 présente les variations en décibels de la meilleure énergie hors bande pour un filtre prototype RP de paramètres Mo =8, N0 =9, Lo =mN0 avecl<m<32 et Δ=8 ; FIG. 3 shows the variations in decibels of the best out-of-band energy for a prototype filter RP with parameters Mo = 8, N 0 = 9, Lo = mN 0 with l <m <32 and Δ = 8;
la figure 4 illustre les coefficients et la réponse fréquentielle d'un filtre prototype RP de paramètres Mo = 32, N0 = 33, = 128N0, Δ = 210 d'énergie hors bande -45.97 dB ; FIG. 4 illustrates the coefficients and the frequency response of a prototype filter RP of parameters Mo = 32, N 0 = 33, = 128N 0 , Δ = 210 of out-of-band energy -45.97 dB;
la figure 5 illustre les coefficients et la réponse fréquentielle d'un filtre prototype RP de paramètres M0 = 8, N0 = 9, L0 = 24N0, Δ = 8, L = 1728 d'énergie hors bande -39.69 dB ; la figure 6 illustre les coefficients et la réponse fréquentielle d'un filtre prototype RP de paramètres M0 = 8, N0 = 9, L0 = 32N0, Δ = 8, L = 2304 d'énergie hors bande -50 dB ; - la figure 7 illustre les coefficients et la réponse fréquentielle d'un filtre prototype RP de paramètres Mo = 8, N0 = 9, Lo = 32N0, Δ = 212, L - 1 179648 d'énergie hors bande -50 dB. FIG. 5 illustrates the coefficients and the frequency response of a prototype filter RP with parameters M 0 = 8, N 0 = 9, L 0 = 24N 0 , Δ = 8, L = 1728 of out-of-band energy -39.69 dB; FIG. 6 illustrates the coefficients and the frequency response of a prototype filter RP with parameters M 0 = 8, N 0 = 9, L 0 = 32N 0 , Δ = 8, L = 2304 of out-of-band energy -50 dB; FIG. 7 illustrates the coefficients and the frequency response of a prototype filter RP with parameters Mo = 8, N 0 = 9, Lo = 32N 0 , Δ = 212, L - 1 179648 out of band energy -50 dB.
5. description d'un mode de réalisation particulier  5. description of a particular embodiment
5.1 exemples d'applications  5.1 examples of applications
Historiquement les systèmes OFDM suréchantillonnés ont déjà été proposés pour des applications de type diffusion, dans le cas de la voie de retour du système DVB-RCT, ainsi que pour de la transmission VDSL.  Historically oversampled OFDM systems have already been proposed for broadcast applications, in the case of the DVB-RCT return channel, as well as for VDSL transmission.
En relation avec le projet FP7 METIS, des applications sont envisagées dans les systèmes de communication mobile 5G. Un des intérêts des solutions OFDM suréchantillonné de dimension minimale est en effet de fournir une excellente sélectivité en fréquence, ce qui assure la meilleure robustesse pour une transmission dans des canaux dispersif s en temps.  In connection with the FP7 METIS project, applications are envisaged in 5G mobile communication systems. One of the advantages of oversampled OFDM solutions of minimal size is indeed to provide an excellent frequency selectivity, which ensures the best robustness for transmission in time-dispersive channels.
5.2 rappels sur la modulation OFDM au sens large  5.2 reminders about OFDM modulation at large
L'OFDM, au sens large, définit un système de modulation dans lequel on transmet en parallèle sur M porteuses des symboles complexes de données cmn (m ε I = {0,..., M - 1 } et n £ Z). Les représentations usuelles pour ces symboles correspondent aux alphabets utilisés pour les modulations d'amplitude comme la QAM ou encore la PSK (Phase Shift Keying) et sa variante en codage différentiel la DPSK. En bande de base, le signal OFDM générique s'écrit : The OFDM, in the broad sense, defines a modulation system in which are transmitted in parallel on M carriers complex symbols of data c mn (m ε I = {0, ..., M - 1} and n £ Z) . The usual representations for these symbols correspond to the alphabets used for amplitude modulations such as QAM or PSK (Phase Shift Keying) and its differential coding variant DPSK. In baseband, the generic OFDM signal is written:
M-l M-1 +∞  M-1 M-1 + ∞
S(*) = Σ Σ Cmi„/min(i), (1) m=0 m=0 n=— oo S (*) = Σ Σ C mi "/ min (i), (1) m = 0 m = 0 n = - oo
avecwith
Figure imgf000008_0001
Figure imgf000008_0001
et and
- f(t) une fonction de carré intégrable appelée en général fonction prototype ;  f (t) an integrable square function generally called a prototype function;
- o durée symbole ;  - o symbol duration;
- FQ espacement entre deux porteuses successives ;  - FQ spacing between two successive carriers;
- f = _l Ainsi définie, (f^)^) e IxZ constitue une famille de Gabor. Le but est de retrouver les symboles cm n à partir du signal s(t). Ceci est possible si et seulement si (fm,n)(m,n)eixz constitue une famille libre. Ainsi, la densité d = 1/F0T0 doit être inférieure ou égale à 1 pour pouvoir démoduler le signal. Or l'efficacité spectrale η, qui mesure le débit binaire par unité de temps et de fréquence, est liée à la densité par la relation η ~ bd, avec b le nombre de bits utilisés pour l'alphabet de la constellation (par exemple QAM ou PSK). - f = _l Thus defined, (f ^) ^) e IxZ constitutes a Gabor family. The goal is to find the symbols c mn from the signal s (t). This is possible if and only if (fm, n ) (m, n ) eixz is a free family. Thus, the density d = 1 / F 0 T 0 must be less than or equal to 1 in order to be able to demodulate the signal. Now the spectral efficiency η, which measures the bit rate per unit of time and frequency, is linked to the density by the relation η ~ bd, with b the number of bits used for the constellation alphabet (for example QAM or PSK).
On en déduit que l'efficacité spectrale est maximale lorsque d = 1, i.e. F0 = 1/T0. It is deduced that the spectral efficiency is maximal when d = 1, ie F 0 = 1 / T 0 .
Dans ce cas, le théorème de Balian-Low indique que f(t) est une fonction nécessairement mal localisée dans le plan temps-fréquence, c'est pourquoi on peut être amené à réduire l'efficacité spectrale en prenant d < 1. On dit alors que le système est à densité sous-critique.  In this case, the Balian-Low theorem indicates that f (t) is a function necessarily badly localized in the time-frequency plane, that is why one can be led to reduce the spectral efficiency by taking d <1. then says that the system is subcritical density.
Pour reprendre la convention d'écriture du document de brevet WO 2006/004980, on peut représenter un système OFDM par le triplet (f,T0,F0) et on dira qu'un système OFDM est orthogonal si To resume the writing convention of the patent document WO 2006/004980, an OFDM system can be represented by the triplet (f, T 0 , F 0 ) and we say that an OFDM system is orthogonal if
(3)
Figure imgf000009_0001
(3)
Figure imgf000009_0001
Par le théorème de Balian-Low on sait qu'il est impossible de trouver un triplet (f,T0,F0) qui vérifie simultanément les 3 conditions suivantes : By the Balian-Low theorem we know that it is impossible to find a triplet (f, T 0 , F 0 ) which simultaneously satisfies the following 3 conditions:
1. Les fonctions fnin sont orthogonales dans le corps des complexes ; 1. The f nin functions are orthogonal in the body of the complexes;
2. La fonction f est bien localisée en temps et en fréquence ;  2. The function f is well localized in time and frequency;
3. T0Fo = 1. 3. T 0 Fo = 1.
L'OFDM à densité sous-critique introduit une perte d'efficacité spectrale proportionnelle à 1/d. Deux cas sont alors envisagés et mis en œuvre dans des schémas de réalisation efficaces à base de transformée de Fourier discrète (DFT).  Subcritical density OFDM introduces a loss of spectral efficiency proportional to 1 / d. Two cases are then considered and implemented in efficient implementation schemes based on discrete Fourier transform (DFT).
Dans le premier cas, les symboles utiles de durée T0 sont prolongés à l'émission d'une durée TA qui, le plus souvent, va correspondre à la recopie d'une partie des échantillons de la sortie de la DFT inverse sous la forme dite de préfixe cyclique (CP). L'efficacité spectrale résultante du CP-OFDM est alors proportionnelle à la densité : In the first case, the useful symbols of duration T 0 are prolonged with the emission of a duration T A which, most often, will correspond to the copying of a part of the samples of the output of the inverse DFT under the form called cyclic prefix (CP). The resulting spectral efficiency of the CP-OFDM is then proportional to the density:
d = To/(T0 +ΤΔ). d = To / (T 0 + Τ Δ ).
Dans un deuxième cas, celui de l'OFDM suréchantillonné, on procède à un suréchantillonnage au niveau du modulateur. Ainsi pour un système à M sous- porteuses, on introduit un facteur de suréchantillonnage rationnel tel que p = M N avec N > M. La densité d = 1/p devient inférieure à 1, mais on a introduit la possibilité d'avoir une forme d'onde f bien localisée en temps et en fréquence, ce qui n'est pas le cas de la forme d'onde rectangulaire du CP- OFDM. L'invention concerne ce dernier cas, et propose des systèmes OFDM (f, T0, F0), ou encore (f, N, M) dans leur version à temps discret, ayant des efficacités spectrales comparables à celles des systèmes OFDM à préfixe cyclique (CP) de valeur réduite, c'est-à- dire inférieure à 25%, ce qui correspond à des valeurs de d supérieures à 4/5. Ainsi, nous allons considérer des rapports de suréchantillonnage rationnels notés N0 / Mo avec N0 = Mo +In a second case, that of oversampled OFDM, oversampling is carried out at the level of the modulator. Thus for a subcarrier M system, a rational oversampling factor such as p = MN with N> M is introduced. The density d = 1 / p becomes less than 1, but the possibility of having a shape is introduced. wavelength f well localized in time and frequency, which is not the case of the rectangular waveform of the CP-OFDM. The invention relates to the latter case, and proposes OFDM systems (f, T 0 , F 0 ), or alternatively (f, N, M) in their discrete time version, having spectral efficiencies comparable to those of the OFDM systems to cyclic prefix (CP) of reduced value, that is to say less than 25%, which corresponds to values of d greater than 4/5. Thus, we will consider rational oversampling ratios rated N 0 / Mo with N 0 = Mo +
1, avec des valeurs élevées de Mo, c'est-à-dire des rapports présentant le plus grand intérêt du point de vue de l'efficacité spectrale. 1, with high values of Mo, that is to say reports having the greatest interest from the point of view of spectral efficiency.
5.3 OFDM suréchantillonné sous forme de transmultiplexeur  5.3 oversampled OFDM as a transmultiplexer
L'OFDM suréchantillonné peut se représenter sous la forme dite de transmultiplexeur (TMUX) telle que décrite dans le document « Oversampled OFDM Oversampled OFDM can be represented in the so-called transmultiplexer (TMUX) form as described in the document Oversampled OFDM
Systems » par R. Hleiss, P. Duhamel, et M. Charbit (In Proc. International Conférence on Digital Signal Processing, Santorini, Greece, July 1997) et comme illustré par la figure 1. Dans ce schéma M et N désignent deux entiers vérifiant M < N, avec M le nombre d'entrées et de sortie et N le facteur d'expansion/décimation. Fm(z) et Hm(z), 0 < m < M - 1 désignent des filtres à coefficients complexes, qui ne sont pas supposés causaux, ni même à support fini : Systems "by R. Hleiss, P. Duhamel, and M. Charbit (In Proc. International Conference on Digital Signal Processing, Santorini, Greece, July 1997) and as illustrated in Figure 1. In this scheme M and N designate two integers checking M <N, with M the number of inputs and outputs and N the expansion / decimation factor. Fm (z) and Hm (z), 0 <m <M - 1 denote filters with complex coefficients, which are not assumed causal, or even finite support:
Fm{z) = hm [k]z-k, 0≤ m < M - 1. (4)
Figure imgf000010_0001
F {m z) = h m [k] z k, 0≤ m <M - 1 (4)
Figure imgf000010_0001
où fm[k] et hm[k] désignent leurs réponses temporelles respectives. where f m [k] and h m [k] denote their respective temporal responses.
Le facteur de suréchantillonnage de ce système est noté p— ^ et de manière équivalente, sa densité est alors telle que d = ^  The oversampling factor of this system is denoted by p, and equivalently, its density is then such that
La partie gauche de la figure 1 représente le banc d'émission et son schéma est désigné par S(M, N, (Fm)0<m<M-i) tandis que la partie droite est le banc de réception qui est désigné par TZ(M, N, (Hm)0≤m<M-i)-The left part of Figure 1 represents the emission bank and its scheme is designated by S (M, N, (F m ) 0 < m <Mi) while the right part is the receiving bank which is designated by TZ (M, N, (H m ) 0≤m <Mi) -
Le TMUX est dit à reconstruction parfaite (RP) si xm[n] = :rm[n] , n G Z, 0 < m < M— 1 pour tout signal d'entrée, c'est-à-dire si fm, [l - kN]hm[nN - l] = ôm,m,Sn;k, 0 < m, m' < M - 1, n, k e Z, (5) lez TMUX is called perfect reconstruction (RP) if x m [n] =: r m [n], n GZ, 0 <m <M-1 for any input signal, ie if f m , [l - kN] h m [nN - 1] = 0 m , m , S n; k , 0 <m, m '<M - 1, n, ke Z, (5)
où ôij— 1 si i = j et 0 sinon. where ôi j - 1 if i = j and 0 otherwise.
Dans toute la suite on supposera que les coefficients des Fm(z) et Hm(z) sont liés par la relation In the following we will assume that the coefficients of F m (z) and H m (z) are linked by the relation
hm[n] = fm[-n], 0 < m < M - 1, n E Z, (6) où / indique l'opération de conjugaison de /. La relation (6) indique que le TMUX est orthogonal. Dans le cas de l'OFDM suréchantillonné, le TMUX est dit à modulation exponentielle et par conséquent les filtres Fm(z) sont donnés par
Figure imgf000011_0001
h m [n] = f m [-n], 0 <m <M - 1, n EZ, (6) where / indicates the conjugation operation of /. Relationship (6) indicates that TMUX is orthogonal. In the case of oversampled OFDM, the TMUX is said to have exponential modulation and therefore the filters F m (z) are given by
Figure imgf000011_0001
où U>M désigne la racine ième primitive de l'unité % = e M et P(z) =∑n£z Pln]z~n est un filtre de coefficients réels p[n], n G Z. where U> M denotes the primitive root of the unit% = e M and P (z) = Σ n £ z Pl n ] z ~ n is a filter of real coefficients p [n], n G Z.
Après quelques calculs, on aboutit ainsi à un résultat qui eon-espond à la condition RP également donnée dans les documents « Modulating waveforms for OFDM » par Z. Cvetkovic. (In ICASSP (Phoenix, USA), volume II, pages 2463-2466, 1999) et « Oversampled perfect reconstruction DFT modulated filter banks for multi -carrier transceiver Systems » par S. Rahimi et B. Champagne (Signal Processing, 93(11) :2942- 2955, November 2013) : 0 < s < M - 1, n G Z. (8)
Figure imgf000011_0002
After a few calculations, this results in a result which corresponds to the RP condition also given in the documents "Modulating waveforms for OFDM" by Z. Cvetkovic. (In ICASSP (Phoenix, USA), Volume II, pages 2463-2466, 1999) and "Oversampled perfect reconstruction DFT modulated filter banks for multi-carrier transceiver Systems" by S. Rahimi and B. Champagne (Signal Processing, 93 (11 ): 2942-2955, November 2013): 0 <s <M - 1, n G Z. (8)
Figure imgf000011_0002
fcez  fcez
Des équations (8), on déduit immédiatement que si le filtre prototype P(z) est RP alors il en est de même du filtre translaté zkP(z) où k G Z et du filtre symétrique P(l/z). Si ensuite nous notons Δ = gcd(M,N) et définissons M0 et N0 tels que M =ΔΜ0, N = ΔΝ0, nous obtenons la décomposition Δ-polyphase de type 1 de P(z) sous la forme : From equations (8), we immediately deduce that if the prototype filter P (z) is RP then the same is true of the translated filter z k P (z) where k GZ and the symmetrical filter P (l / z). If then we denote Δ = gcd (M, N) and define M 0 and N 0 such that M = ΔΜ 0 , N = ΔΝ 0 , we obtain the decomposition Δ-polyphase of type 1 of P (z) in the form:
Δ-1
Figure imgf000011_0003
Δ-1
Figure imgf000011_0003
Nous pouvons alors reformuler le théorème de décomposition initialement démontré dans le document « Perfect reconstruction conditions and design of oversampled DFT modulated transmultiplexers » par C. Siclet, P. Siohan, et D. Pinchon (Eurasip Journal on Applied Signal Processing, 2006. Article ID 15756, 14 pages) :  We can then reformulate the decomposition theorem initially demonstrated in the paper "Perfect reconstruction conditions and design of oversampled DFT modulated transmultiplexers" by C. Siclet, P. Siohan, and D. Pinchon (Eurasip Journal on Applied Signal Processing, 2006. Article ID 15756, 14 pages):
Théorème 2.1, P(z) est RP pour les paramètres M et N si et seulement si les Pj(z) sont RP pour les paramètres M0 et N0 pour tout i, 0 <i < Δ-1. Theorem 2.1, P (z) is RP for the parameters M and N if and only if the Pj (z) are RP for the parameters M 0 and N 0 for all i, 0 <i <Δ-1.
Ce théorème permet, au lieu de systèmes de taille (m, N, M), de considérer des systèmes (m, N0, Mo) de taille réduite. La prise en compte de la taille réelle du système est ensuite facilitée, comme dans nos travaux antérieurs, par l'utilisation d'une représentation compacte de degré K tel que K « Δ. This theorem allows, instead of systems of size (m, N, M), to consider systems (m, N 0 , Mo) of reduced size. Taking into account the real size of the system is then facilitated, as in our previous work, by the use of a compact representation of degree K such that K "Δ.
5.4 Notations et définitions  5.4 Ratings and definitions
Dans notre convention de notation les matrices apparaissent en caractères gras. Les ensembles qui leur sont associés utilisent la même lettre en caractères standard.  In our notation convention the matrices appear in bold type. The sets associated with them use the same letter in standard characters.
Définition 6.1. Soit N0 > 2, M0 > 0 avec Mo < N0, et A(X) une matrice à N0 lignes etDefinition 6.1. Let N 0 > 2, M 0 > 0 with Mo <N 0 , and A (X) a matrix with N 0 lines and
Mo colonnes dont les éléments sont des polynômes en X à coefficients réels, c 'est-à-dire dans R[X| . On dit que la matrice A(z) est paraunitaire si Mo columns whose elements are polynomials in X with real coefficients, that is to say in R [X | . It is said that the matrix A (z) is paraunitary if
A(1/X)T A(X) = IMo, (10) où IMG désigne la matrice unité de dimension MQ et (.)T l'opération de transposition.A (1 / X) T A (X) = I Mo , (10) where I MG denotes the unit matrix of dimension MQ and (.) T the transposition operation.
On désigne par l'ensemble des matrices para unitaires de dimensions N0 xMo. We denote by the set of para-unitary matrices of dimensions N 0 xMo.
Si les éléments d'une matrice paraunitaire A(X) sont constants alors la matrice A = A(X) est constante : c'est une matrice orthogonale No x MQ, telle que AT A = IMo-If the elements of a paraunitary matrix A (X) are constant then the matrix A = A (X) is constant: it is an orthogonal matrix No x MQ, such that A T A = I Mo -
Lorsque M0 = No, l'ensemble des matrices paraunitaires constantes est le groupe orthogonal 0(No, R) classique et l'ensemble 0(NO, No, R, X) des matrices paraunitaires de dimension N0 est également un groupe, noté O(N0, R, X) . Si A(X) E O(N0, R, X) et B(X) e O(N0, M0, R, X), alors A(X)B(X) e O(N0, 0, R, X). When M 0 = No, the set of constant paraunitic matrices is the classical orthogonal group 0 (N o , R) and the set 0 (N O , No, R, X) of the paraunitary matrices of dimension N 0 is also a group, denoted O (N 0 , R, X). If A (X) EO (N 0 , R, X) and B (X) e O (N 0 , M 0 , R, X), then A (X) B (X) e O (N 0 , 0 , R, X).
Dans toute la suite les indices de lignes et de colonne d'une matrice seront désignés en commençant par l'indice 0.  In the rest of the sequence, the row and column indices of a matrix will be designated starting with the index 0.
Définition 6.2. . Soit r : [0, 1 ,..., MQ -1 ]→ [0, 1,..., Ν0 -1 ] une application injective. On désigne par E = E[r(0), r(l),..., r(Mo -1)] la matrice orthogonale, constante de dimensionsDefinition 6.2. . Let r: [0, 1, ..., MQ -1] → [0, 1, ..., Ν 0 -1] an injective application. We denote by E = E [r (0), r (l), ..., r (Mo -1)] the orthogonal matrix, constant of dimensions
N0 xMo, telle que Er(c) c = 1, 0 < c≤M0 - 1 et ER C = 0 sinon. Une telle matrice est dite matrice para unitaire élémentaire. N 0 xMo, such that E r (c) c = 1, 0 <c≤M 0 - 1 and E RC = 0 otherwise. Such a matrix is called elementary unitary para matrix.
Par exemple, la matrice :  For example, the matrix:
Figure imgf000012_0001
Figure imgf000012_0001
est notée par E [3 2 1 4], le nombre de lignes de cette matrice se déduisant directement du contexte.  is denoted by E [3 2 1 4], the number of lines of this matrix being deduced directly from the context.
On note alors E[r(0), r(l), . . . , r(M - 1)] l'ensemble constitué par la seule matrice para unitaire élémentaire E[r(0), r(l), . . . , r(M - 1)].  We then write E [r (0), r (l),. . . , r (M - 1)] the set consisting of the only elementary para unitary matrix E [r (0), r (l),. . . , r (M - 1)].
Définition 6.3. Soit N0 > 2 et i, j, 0 < i, Definition 6.3. Let N 0 > 2 and i, j, 0 <i,
La matrice RiJ (Θ) carrée de dimension N0 définie par The matrix RiJ (Θ) square of dimension N 0 defined by
[¾j (¾i = [¾j(¾ = COS 0, [¾ j (¾i = [¾ j (¾ = COS 0,
[RiM r = 1 , r i, r≠j, [RiM r = 1, r i, r ≠ j,
[Riij(9)]rtC— 0 sinon, [R iij (9)] rtC - 0 otherwise,
est appelée matrice de rotation élémentaire d'indices i,j ou matrice de Givens d'indices i, j.  is called elementary rotation matrix of indices i, j or Givens matrix of indices i, j.
Les matrices Rij(é>) sont des matrices orthogonales. The matrices Ri j (é>) are orthogonal matrices.
Définition 6.4. Soit n > 2, i et j deux indices avec 0 < i < n—1; i≠], on note Ry, ou I¾j s 'il n 'y a pas de confusion possible (n < 10 , l 'ensemble des rotations d'indices i et j :
Figure imgf000013_0001
Définition 6.5. Soit N0 > 2 et r, 0 < r < N0 - 1. La matrice paraunitaire ¾. carrée de dimension N0, diagonale, telle que [Z,.] R>R = X et [ZJ ^ = 1 si k≠ r est appelée matrice de décalage ou matrice de shift de ligne r. Definition 6.4. Let n> 2, i and j be two indices with 0 <i <n-1; i ≠], we note Ry, or I¾ j s 'there' is no confusion (n <10, all the rotations of indices i and j:
Figure imgf000013_0001
Definition 6.5. Let N 0 > 2 and r, 0 <r <N 0 - 1. The paraunitary matrix ¾. square of dimension N 0 , diagonal, such that [Z ,.] R> R = X and [ZJ ^ = 1 if k ≠ r is called shift matrix or row shift matrix r.
On note ¾. l'ensemble constitué par l 'unique matrice ¾..  We note ¾. the set constituted by the unique matrix ¾ ..
Si A et B désignent deux ensembles de matrices de dimensions N0 x MQ et MQ X P respectivement, on note AB l'ensemble des matrices produits AB lorsque A £ A et B £ B.If A and B denote two sets of matrices of dimensions N 0 x MQ and MQ XP respectively, AB is the set of matrices produced AB when A £ A and B £ B.
Cette définition s'étend à un produit quelconque d'ensembles de matrices pourvu que les dimensions des matrices de chaque ensemble soient compatibles. This definition extends to any product of sets of matrices provided that the dimensions of the arrays of each set are compatible.
On donne maintenant la définition fondamentale suivante :  We now give the following basic definition:
Définition 6.6. Soient MQ et N0 deux entiers avec N0 > 2 et 1 < MQ≤ N0. Un ensemble de Givens de paramètres Mo,N0 est un produit de la forme TiT2 . . . TKE où E est l 'ensemble constitué d'une matrice paraunitaire élémentaire et où, pour chaque k, 1< k < K, rk est un ensemble de rotations I¾,j ou bien un ensemble Definition 6.6. MQ are integers and N 0 with N 0> and 1 2 <MQ≤ N 0. A set of Givens with parameters Mo, N 0 is a product of the form TiT 2 . . . T K E where E is the set consisting of an elementary paraunitary matrix and where, for each k, 1 <k <K, r k is a set of rotations I¾, j or a set
Les matrices d'un ensemble de Givens sont de façon évidente des matrices paraunitaires de dimensions N0Mo. The matrices of a set of Givens are obviously paraunitary matrices of dimensions N 0 MB.
S'il y a L ensembles de rotations dans la suite { Ti5 1 < i < K} d'un ensemble de Givens G, soit ii < i2 < . . . < ÏL leurs indices dans cette suite. Si 6j, 1 < 1 < L sont L nombres réels donnés, on peut alors choisir la rotation d'angle 6j dans l'ensemble de rotations Tit pour 1 < 1 < L. If there are L sets of rotations in the sequence {T i5 1 <i <K} of a set of Givens G, let ii <i 2 <. . . <I> their indices in this sequel. If 6j, 1 <1 <L are L real numbers given, we can then choose the rotation of angle 6j in the set of rotations T it for 1 <1 <L.
On obtient ainsi une application de ο de L dans G C O{N0, M0, , X) , appelée représentation paramétrique de G. We thus obtain an application of ο from L in GCO {N 0 , M 0 ,, X), called parametric representation of G.
D'autre part l'en  On the other hand, the
des polynômes en X
Figure imgf000013_0002
X polynomials
Figure imgf000013_0002
comme suit : les matrices Ek,r,c avec 0 < k < d, 0 < r < N0— 1, 0 < c < M0— 1 , définies par [Ek,r,c]r,c = X et 0 sinon, forment une base de cet ensemble de matrices et l'application
Figure imgf000013_0003
as follows: the matrices Ek, r , c with 0 <k <d, 0 <r <N 0 - 1, 0 <c <M 0 - 1, defined by [Ek, r , c ] r, c = X and 0 otherwise, form a basis for this set of matrices and the application
Figure imgf000013_0003
G. Théorème et définition 6.7. Pour un ensemble de Givens G comporiant L rotations, le rang de la matrice jacobienne de sa représentation paramétrique φο atteint sa valeur maximum sauf sur un ensemble de mesure nulle dans L. Cette valeur maximum est appelée la dimension de G. BOY WUT. Theorem and definition 6.7. For a set of Givens G compiling L rotations, the rank of the Jacobian matrix of its parametric representation φο reaches its maximum value except on a set of zero measure in L. This maximum value is called the dimension of G.
Si la dimension de G est égale à L alors, pour tout point P de L où le rang de la matrice jacobienne est exactement égal à L, il existe un voisinage V de P où le rang est encore égal à L et la restriction de φα à V est injective et c 'est même un difféomorphisme de V sur α Υ)- Nous dirons qu'il s 'agit d'un ensemble de Givens localement injectif, mais il faudrait en toute rigueur dire localement injectif sauf sur un ensemble de mesure nulle. If the dimension of G is equal to L then, for every point P of L where the rank of the Jacobian matrix is exactly equal to L, there exists a neighborhood V of P where the rank is still equal to L and the restriction of φα to V is injective and it is even a diffeomorphism of V over α Υ) - We will say that it is a set of locally injective Givens, but it would be strictly speaking locally injective except on a set of measure nothing.
Définition 6.8. L 'utilisation d'une représentation compacte suppose que pour chacune des Δ composantes polyphasés le comportement des d paramètres angulaires est très régulier. Ce comportement, observé initialement pour les systèmes de bancs de filtres modulés du document « Design techniques for orthogonal modulated filterbanks based on a compact représentation » déjà mentionné et des solutions optimisées suivant les critères F S et TFL, se vérifie également pour les systèmes suréchantillonnés du document « Perfect reconstruction conditions and design of oversampled DFT modulated transmultiplexers » Autrement dit pour la composante polyphasé d'indice p et un nombre d de rotations, correspondant à la dimension de la solution, le comportement des angles peut se représenter, par exemple, de manière très précise par la fonction de lissage suivante de ce dernier document :
Figure imgf000014_0001
Definition 6.8. The use of a compact representation assumes that for each of the polyphase components, the behavior of the angular parameters is very regular. This behavior, observed initially for the modulated filterbank systems of the document "Design techniques for orthogonal modulated filterbanks based on a compact representation" already mentioned and solutions optimized according to the FS and TFL criteria, is also true for the oversampled systems of the document. Ideally, for the polyphase component of index p and a number of rotations, corresponding to the dimension of the solution, the behavior of the angles can be represented, for example, very accurate by the following smoothing function of this last document:
Figure imgf000014_0001
où les Xp k désigne les coefficients de ce développement en série de Taylor. Ainsi au lieu d'avoir dA paramètres à optimiser la représentation compacte implique dK variables. Ceci présente de l'intérêt dès que K < A. Comme le plus souvent une valeur de K égale à 5 ou 6 peut suffire, et que le nombre de sous-porteuses est assez souvent de plusieurs milliers nous avons, en général, K « A. where Xp k denotes the coefficients of this Taylor series development. So instead of having dA parameters to optimize the compact representation implies dK variables. This is of interest as soon as K <A. As usually a value of K equal to 5 or 6 may be sufficient, and the number of subcarriers is often several thousand we have, in general, K " AT.
5.4 Théorème de base  5.4 Basic theorem
Lorsque la longueur LQ de la solution est un multiple de N0, LQ = mN0 (ou LQ = kN0 dans les revendications, m ou k étant des variables entières muettes strictement positives ayant alors bien sûr la même signification) et que l'ensemble SMO,MO+I,L0 des solutions a pu être explicitement calculé, la solution de dimension minimale est de dimension m et prend une forme relativement simple. Le théorème suivant établit que cette forme donne effectivement une solution, c'est-à-dire que l'on obtient bien, pour chaque valeur de Lo = niN0, un ensemble de matrices paraunitaires de dimension N0 x Mo donnant des filtres prototypes à reconstruction parfaite pour les paramètres Mo et No = Mo + 1 et de longueur Lo. When the length LQ of the solution is a multiple of N 0 , LQ = mN 0 (or LQ = kN 0 in the claims, m or k being strictly positive mute integers then having of course the same meaning) and that the set S MO, MO + I, L 0 solutions could be explicitly calculated, the minimum dimension solution is of dimension m and takes a relatively simple form. The following theorem establishes that this form actually gives a solution, that is to say that we obtain, for each value of Lo = niN 0 , a set of paraunitary matrices of dimension N 0 x Mo giving prototype filters. with perfect reconstruction for Mo parameters and No = Mo + 1 and of length Lo.
Théorème 6.9. Soit M0>2etNo= M0 + 1. Pour tout & > 0, on définit les ensembles de matrices Tk par Theorem 6.9. Let M 0 > 2etNo = M 0 + 1. For all &> 0, we define the sets of matrices T k by
Tk = sik>0 etk mod 0 = 0, ^ Rk mod M0, M0 Sinon, T k = sik> 0 etk mod 0 = 0, ^ Rk mod M 0 , M 0 Otherwise,
où Zi et Rij désignent respectivement une matrice de décalage et une matrice de rotation de dimension N0. where Zi and Ri j denote respectively an offset matrix and a rotation matrix of dimension N 0 .
On définit la solution SM0,L0 pour L0 = mNQ avec m > 1 par We define the solution SM 0 , L 0 for L 0 = mN Q with m> 1 by
m— 1  m- 1
SMo>Lo = l[TkE[0,l,...,M0-l]. (18) fc=0 S Mo> Lo = 1 [T k E [0, l, ..., M 0 -l]. (18) fc = 0
On a alors SMO,L0 C <SM0,M0+I,L0 ET SM0,L0 est de dimension m. Was then S MO, L 0 C <SM 0, M 0 + I, L 0 AND SM 0, L 0 is of dimension m.
Conjecture 6.10. Pour Mo > 2, N0 = Mo + 1 et Lo = mN0 avec m≥l, SMO,LO est la solution de dimension minimale de SMO,MO+I,LO dans sa décomposition comme union de solutions localement injectives maximales pour l'inclusion, autrement dit aucune solution n'est incluse dans l 'autre. Conjecture 6.10. For Mo> 2, N 0 = Mo + 1 and Lo = mN 0 with m≥l, S MO, LO is the minimum dimension solution of S MO, MO + I , LO in its decomposition as a union of local maximum injective solutions for inclusion, in other words no solution is included in the other.
Chaque ensemble Tk dépend d'un angle et l'on note Tk{ek) la matrice obtenue en donnant la valeur 9k à cet angle. On note alors, pour Lo = mNo, Each set T k depends on an angle and we denote T k {e k ) the matrix obtained by giving the value 9 k at this angle. We then note, for Lo = mNo,
m— 1  m- 1
SMO,Lo(0O, 0I, ... , 0m-i) = SM O , L o (OO, OI, ..., 0m-i) =
fcΠ T*(^) E 1.■■■ . 0 - 1]. (19) =0 fcΠ T * (^) E 1. ■■■. 0 - 1]. (19) = 0
Puisqu'une matrice de rotation d'angle nul est la matrice identité de dimension N0 et que Since a null angle rotation matrix is the identity matrix of dimension N 0 and that
ZMQE[0, 1, ... , 0 - 1] = E[0, 1, ... , 0 - 1], (20) on a donc : Z MQ E [0, 1, ..., 0 - 1] = E [0, 1, ..., 0 - 1], (20) we thus have:
(0o,0i,.-.,0m-i,O), (21) de sorte que SMO,LQ C SMO,L0+N0-(0o, 0i, .-., 0m-i, O), (21) so that S MO , L Q CS MO , L 0 + N 0 -
Un intérêt de ce théorème repose sur le fait que l'optimisation pour un critère donné d'un filtre prototype RP de longueur ALQ, avec Lo = mN0, construit à partir de Δ composantes Δ- polyphases de U-matrices :An interest of this theorem rests on the fact that the optimization for a given criterion of a prototype RP filter of length ALQ, with Lo = mN 0 , constructed from Δ components Δ-polyphases of U-matrices:
Figure imgf000015_0001
Figure imgf000015_0001
peut se faire pour m > 1, avec comme point initial l'optimum obtenu pour m - 1 et des angles initiaux : can be done for m> 1, with as initial point the optimum obtained for m - 1 and initial angles:
i =0,...,Δ-1 nuls.  i = 0, ..., Δ-1 zero.
Avec la méthode de la représentation compacte, ce ne sont pas Δ paramètres qui sont ajoutés à chaque étape mais seulement K où K est le degré de la représentation compacte. De plus comme l'optimisation se fait de proche en proche, il apparaît que pour des valeurs élevées de Mo, K = 2 est suffisante. With the method of compact representation, it is not Δ parameters that are added at each step but only K where K is the degree of the compact representation. Moreover, as the optimization is done step by step, it appears that for high values of Mo, K = 2 is sufficient.
5.5 Procédé de calcul des coefficients d'un filtre prototype optimal  5.5 Method for calculating the coefficients of an optimal prototype filter
Dans ce paragraphe nous faisons le bilan des résultats des paragraphes précédents en détaillant les étapes du calcul qui conduisent à la détermination des coefficients transversaux d'un filtre prototype à reconstruction parfaite, pour des paramètres donnés, optimal pour le critère de meilleure énergie hors-bande. Nous choisissons ici un exemple plus simple que ceux qui sont présentés dans le paragraphe 8 où les filtres obtenus ont un très grand nombre de coefficients.  In this paragraph we review the results of the previous paragraphs by detailing the calculation steps that lead to the determination of the transverse coefficients of a perfect reconstruction prototype filter, for given parameters, optimal for the best out-of-band energy criterion. . We choose here a simpler example than those presented in paragraph 8 where the filters obtained have a very large number of coefficients.
Les paramètres en entrée du calcul sont  The input parameters of the calculation are
Des entiers ) >1 , N0 = M) +1 ,Δ> 2 et m > 1 , Integers)> 1, N 0 = M) +1, Δ> 2 and m> 1,
Un entier K > 1 qui est le nombre de coefficients dans la représentation compacte choisie.  An integer K> 1 which is the number of coefficients in the compact representation chosen.
Le résultat du calcul est un filtre prototype P(z) de longueur ηιΔΝ0, optimal pour le critère de meilleure énergie hors-bande. Nous faisons ici le choix suivant : Mo = 2, N0 = 3, m = 3, Δ = 8 et donc le filtre prototype optimal P(z) est de longueur 72 et ses 8 composantes Δ- polyphases Pj(z), 0 < i <7,sont de longueur Ν=ΔΝ0=9. On a alors The result of the calculation is a prototype filter P (z) of length ηιΔΝ 0 , which is optimal for the criterion of best out-of-band energy. Here we make the following choice: Mo = 2, N 0 = 3, m = 3, Δ = 8 and therefore the optimal prototype filter P (z) is of length 72 and its 8 components Δ-polyphases Pj (z), 0 <i <7, are of length Ν = ΔΝ 0 = 9. We then
7 7
Figure imgf000016_0001
Figure imgf000016_0001
i=0  i = 0
Pour 0 < i < 7 la ième composante 8 -polyphasé Pj(z) s'obtient à partir d'une U-matrice à 3 lignes et 2 colonnes : For 0 <i <7 the eighth 8 -polyphase component Pj (z) is obtained from a U-matrix with 3 rows and 2 columns:
β^ , θ^ , θ^) de SMo,Lo = <S2,9 avec L0 = mN0 = 9, β ^, θ ^, θ ^) of S Mo , Lo = <S 2 , 9 with L 0 = mN 0 = 9,
de la forme (cf. équation 19) of form (see equation 19)
StfP , θ? , 6 ) = Τ0(θ$>)
Figure imgf000016_0002
Τ2(θ?)Ε[0, 1] , (23) où les matrices Tk sont définies en (17), et , , θ2 ^ sont trois angles. StfP, θ? , 6) = Τ 0 (θ $>)
Figure imgf000016_0002
Τ 2 (θ?) Ε [0, 1], (23) where the matrices T k are defined in (17), and,, θ 2 ^ are three angles.
D'après la définition (17), on obtient donc t>i{V0 , o1 , v2 (24) According to the definition (17), we thus obtain t> i {V 0 , o 1 , v 2 (24)
La U-matrice
Figure imgf000016_0003
Pj(z) par la formule (équation (12) du document « Oversampled paraunitary DFT filter banks : A gênerai construction algorithm and some spécifie solutions » pour ) = 2, N0 = 3) :
Figure imgf000017_0001
The U-matrix
Figure imgf000016_0003
Pj (z) by the formula (equation (12) of the document "Oversampled paraunitary DFT filter banks: A troublesome construction algorithm and some specifies solutions" for) = 2, N 0 = 3):
Figure imgf000017_0001
où Vij(z), 0 < j < 5 sont les composantes 6-polyphases de P{z) : where Vi j (z), 0 <j <5 are the 6-polyphase components of P {z):
5  5
Pi(z) =∑Vid(Ze)z-i. (26)Pi (z) = ΣV id (Z e ) zi. (26)
3=0 3 = 0
Le filtre prototype peut donc être construit à partir de 24 paramètres angulaires indépendants θ ,θ , avec 0 < i < 7. The prototype filter can therefore be constructed from 24 independent angular parameters θ, θ, with 0 <i <7.
On choisit alors une méthode de représentation compacte de degré K = 2 pour obtenir les angles 0Q 0 < i < 7, c'est-à-dire que l'obtient ces angles à partir de 2 coefficients 0,o et ο,ι par la formule We then choose a compact representation method of degree K = 2 to obtain the angles 0 Q 0 <i <7, that is to say that the angles are obtained from 2 coefficients 0 , o and ο, ι by the formula
Θ = x0,o + ¾i > 0≤ i≤ 7> (27)Θ = x 0 , o + ¾ i > 0 ≤ i ≤ 7 > ( 27 )
Figure imgf000017_0002
Figure imgf000017_0002
qui est la formule (16) pour le choix de nos paramètres.  which is the formula (16) for the choice of our parameters.
De même les angles
Figure imgf000017_0003
calculés par les formulesSimilarly angles
Figure imgf000017_0003
calculated by formulas
2z + l  2z + l
= Χι,ο + Χι,Λ -), 0<i<7, (28) q« 2¾ + 1  = Χι, ο + Χι, Λ -), 0 <i <7, (28) q «2¾ + 1
θ = X2,o + X2,i - ^-) , °≤i≤7, (29) où Xifi, xiti, x2jo, X2,i sont 4 autres coefficients indépendants. θ = X2, o + X2, i - ^ -), ° ≤ i ≤ 7 , ( 29 ) where Xifi, xi t i, x 2j o, X2, i are 4 other independent coefficients.
 partir des 6 coefficients indépendants ^ο,ο,^ο,ι^ι,θι^ι,ΐι^,ο,^,ι \e calcul du filtre prototype P(z) suit donc les étapes suivantes : From 6 independent coefficients ^ ο, ο, ο ^, ^ ι ι, θι ι ^, ^ ΐι, ο, ^, ι \ e calculation of the prototype filter P (z) thus follows the following steps:
1. Calcul des 24 angles θ^,θ^,θ^ avec 0 < i < 7 à l'aide des formules (27), (28) et (29),  1. Computation of the 24 angles θ ^, θ ^, θ ^ with 0 <i <7 using the formulas (27), (28) and (29),
2. Calcul des matrice ,θ^ , θ ]), 0 < i < 7, à l'aide de la formule (24), 2. Computation of the Matrix, θ ^, θ ] ), 0 <i <7, using the formula (24),
3. Calcul des composantes 6-polyphases Vij(z), 0 < i < 7, 0 < j < 5, à l'aide de légalité (25), 3. Calculation of the 6-polyphase components Vi j (z), 0 <i <7, 0 <j <5, using legality (25),
4. Calcul des Pi(z), 0 < i < 7, à l'aide de la formule (26),  4. Calculation of Pi (z), 0 <i <7, using formula (26),
5. Calcul de P(z) à l'aide de la formule (22).  5. Calculation of P (z) using formula (22).
La fonction coût considérée, dépendant donc de XQ>0, ΧΟ,Ι, XI,O> XU> ¾,O> ¾,I> est alors l'énergie hors-bande E de P(z) calculée par la formule (cf. formule (63) du document « Oversampled paraunitary DFT filter banks : A gênerai construction algorithm and some spécifie solutions » our M = ΔΜο = 16) : . (30)
Figure imgf000017_0004
On minimise alors la valeur de E en prenant comme variables indépendantes Χο,ο^ Xo,i > Xi,o> ΧΙ,Ι , X2,o, Χ24 · Cette optimisation peut être effectuée en trois étapes (la valeur de m) : The cost function considered, thus dependent on XQ > 0 , ΧΟ, Ι, XI, O> X U> ¾, O> ¾, I > is then the out-of-band energy E of P (z) calculated by the formula ( see formula (63) of the document "Oversampled paraunitary DFT filter banks: A génerai construction algorithm and some specifies solutions" for M = ΔΜο = 16):. (30)
Figure imgf000017_0004
We then minimize the value of E by taking as independent variables Χο, ο ^ Xo, i > Xi, o > ΧΙ, Ι, X2, o, Χ24 · This optimization can be done in three steps (the value of m):
1. On fixe à 0 les valeurs de Χι>0, Χι,ι , X2,o, X2,i, et on optimise E en Χο,ο, Χο,ι avec des valeurs initiales nulles, 1. We fix at 0 the values of Χι > 0 , Χι, ι, X2, o, X2, i, and we optimize E in Χο, ο, Χο, ι with zero initial values,
2. On fixe à 0 les valeurs de x2>0, X24 , et on optimise E en Xo>0, Χο,ι, Xi,o> xi,i avec pour valeurs initiales pour Xo>0, Χο,ι les valeurs optimales obtenues dans la première étape et pour x1 0, x des valeurs nulles, 2. We fix at 0 the values of x 2> 0 , X24, and we optimize E in Xo > 0 , Χο, ι, Xi, o > x i, i with for initial values for Xo > 0 , Χο, ι the optimal values obtained in the first step and for x 1 0 , x are null values,
3. On optimise E en Xo>0, Χο,ι, Χι,ο, Xi,i , x2,o, 2, 1 avec comme valeurs initiales pour Xo 0, Χο,ι, X1 0, Χι,ι les valeurs optimales obtenues à l'étape 2 et pour x2>0, X24 des valeurs nulles. 3. One optimizes E in Xo > 0 , Χο, ι, Χι, ο, Xi, i, x 2 , o, 2, 1 with as initial values for Xo 0 , Χο, ι, X1 0, Χι, ι the values obtained in step 2 and for x 2> 0 , X24 null values.
Cette technique d'optimisation par palier est justifiée par la formule (21) et donne de meilleurs résultats qu'une optimisation directe sur les 6 variables.  This stepwise optimization technique is justified by the formula (21) and gives better results than a direct optimization on the 6 variables.
Pour le choix de paramètres de cet exemple, les valeurs optimales pour les variables Xo>0, Χο,ι, Χι,ο, Χι,ι, 2,o> X24 sont données dans la Table 1, les valeurs correspondantes des 24 angles dans la Table 2 et les 72 coefficients p[n] du filtre optimal For the choice of parameters of this example, the optimal values for the variables Xo > 0 , Χο, ι, Χι, ο, Χι, ι, 2, o > X24 are given in Table 1, the corresponding values of the 24 angles in Table 2 and the 72 coefficients p [n] of the optimal filter
dans la Table 3 (un entier entre parenthèses indique le produit par la puissance de 10 correspondante). Ce filtre a pour énergie hors-bande E = 3.9953710 3. in Table 3 (an integer in parentheses indicates the product by the corresponding power of 10). This filter has out-of-band energy E = 3.9953710 3 .
Figure imgf000018_0001
Figure imgf000018_0001
TAB. 1 - Valeurs optimales des 6 coefficients de la représentation compacte du filtre P(z) i 6>?> TAB. 1 - Optimum values of the 6 coefficients of the compact representation of the filter P (z) i 6>?>
0 4.9933879748421478 10" -1 - 1.0927974026400731 1.49705995611159430 4.9933879748421478 10 " -1 - 1.0927974026400731 1.4970599561115943
1 4.3917412541314338 10" -1 - 1.0198915550879954 1.44917476850639491 4.3917412541314338 10 " -1 - 1.0198915550879954 1.4491747685063949
2 3.7900945334207192 10" -1 -9.4698570753591782 10" -1 1.40128958090119562 3.7900945334207192 10 " -1 -9.4698570753591782 10 " -1 1.4012895809011956
3 3.1884478127100052 10" -1 -8.7407985998384019 10" -1 1.35340439329599633 3.1884478127100052 10 " -1 -8.7407985998384019 10 " -1 1.3534043932959963
4 2.5868010919992912 10" -1 -8.0117401243176256 10" -1 1.30551920569079694 2.5868010919992912 10 " -1 -8.0117401243176256 10 " -1 1.3055192056907969
5 1.9851543712885766 10" -1 -7.2826816487968493 10" -1 1.25763401808559761.9851543712885766 10 " -1 -7.2826816487968493 10 " -1 1.2576340180855976
6 1.3835076505778626 10" -1 -6.5536231732760730 10" -1 1.20974883048039836 1.3835076505778626 10 " -1 -6.5536231732760730 10 " -1 1.2097488304803983
7 7.8186092986714861 10" -2 -5.8245646977552978 10" -1 1.1618636428751989 7.8186092986714861 10 " -2 -5.8245646977552978 10 " -1 1.1618636428751989
TAB. 2 - Valeurs des 24 angles dans la construction du filtre P(z) n p[n] n p[n] n p[n] n p[n]TAB. 2 - Values of the 24 angles in the construction of the filter P (z) np [n] np [n] np [n] np [n]
0 6.4674469567982923( -2) 18 9.1571680317008597( -i) 36 1.8371223777399870(- 1) 54 - 1.0228929931049167(- 1)0 6.4674469567982923 (-2) 18 9.1571680317008597 (-i) 36 1.8371223777399870 (- 1) 54 - 1.0228929931049167 (- 1)
1 1.0980887296533369 - i) 19 9.27247758039289721 -i) 37 1.3126141712546199(- 1) 55 -5.9849481449001395(-2)1 1.0980887296533369 - i) 19 9.27247758039289721-i) 37 1.3126141712546199 (- 1) 55 -5.9849481449001395 (-2)
2 1.5672408543281832( - i) 20 9.32912180296796791 -i) 38 8.4048666538813557(- 2) 56 0.0000000000000000(00)2 1.5672408543281832 (- i) 20 9.32912180296796791 -i) 38 8.4048666538813557 (- 2) 56 0.0000000000000000 (00)
3 2.0481282791265634 - i) 21 9.32679742531970391 -i) 39 4.2964568102871005(- 2) 57 0.0000000000000000(00)3 2.0481282791265634 - i) 21 9.32679742531970391 -i) 39 4.2964568102871005 (- 2) 57 0.0000000000000000 (00)
4 2.5345368140275126 - i) 22 9.26588143359413641 -i) 40 -6.5412479099699730( -2) 58 0.0000000000000000(00)4 2.5345368140275126 - i) 22 9.26588143359413641 -i) 40 -6.5412479099699730 (-2) 58 0.0000000000000000 (00)
5 3.0201834395484950( - i) 23 9.14742662448697061 -i) 41 -1.0337251725099968( -i) 59 0.0000000000000000(00)5 3.0201834395484950 (- i) 23 9.14742662448697061 -i) 41 -1.0337251725099968 (-i) 59 0.0000000000000000 (00)
6 3.4987896801824175( - i) 24 8.85504468736589061 -i) 42 -1.3692368371223868( -i) 60 0.0000000000000000(00)6 3.4987896801824175 (- i) 24 8.85504468736589061 -i) 42 -1.3692368371223868 (-i) 60 0.0000000000000000 (00)
7 3.9641549254911562( - i) 25 8.45757337128453251 -i) 43 -1.6541932405760446( -i) 61 0.0000000000000000(00)7 3.9641549254911562 (- i) 25 8.45757337128453251 -i) 43 -1.6541932405760446 (-i) 61 0.0000000000000000 (00)
8 4.6000330805936873( - i) 26 8.00025838919253161 -i) 44 -1.8828837241260785( -i) 62 0.0000000000000000(00) g 5.2345835495345705( - i) 27 7.48901809188437631 -i) 45 -2.0504377098492813( -i) 63 0.0000000000000000(00)8 4.6000330805936873 (- i) 26 8.00025838919253161 -i) 44 -1.8828837241260785 (-i) 62 0.0000000000000000 (00) g 5.2345835495345705 (- i) 27 7.48901809188437631 -i) 45 -2.0504377098492813 (-i) 63 0.0000000000000000 (00)
10 5.8413231540483701( - i) 28 6.93051744444199811 -i) 46 -2.1528966410682840( -i) 64 1.6227223175390194(-2)10 5.8413231540483701 (- i) 28 6.93051744444199811 -i) 46 -2.1528966410682840 (-i) 64 1.6227223175390194 (-2)
11 6.4170283420179020( - i) 29 6.33207139095487201 -i) 47 -2.1872726189194680( -i) 65 2.7002669456344185(-2)11 6.4170283420179020 (- i) 29 6.33207139095487201-i) 47 -2.1872726189194680 (-i) 65 2.7002669456344185 (-2)
12 6.9586404443473193 - i) 30 5.70153877151076131 -i) 48 -2.1967182462375012( -i) 66 3.6460170021796391 ( - 2)12 6.9586404443473193 - i) 30 5.70153877151076131 -i) 48 -2.1967182462375012 (-i) 66 3.6460170021796391 (- 2)
13 7.4632819253917293( - i) 31 5.04720833705466721 -i) 49 -2.2092628120204374( -i) 67 4.3385730385990785(-2)7.4632819253917293 (- i) 31 5.04720833705466721 -i) 49 -2.2092628120204374 (-i) 67 4.3385730385990785 (-2)
14 7.9282716710413281 - i) 32 4.25174866854251651 -i) 50 -2.1303164885724613( -i) 68 4.6668859407336789(-2)14 7.9282716710413281 - i) 32 4.25174866854251651 -i) 50 -2.1303164885724613 (-i) 68 4.6668859407336789 (-2)
15 8.3511392332358481 - i) 33 3.62285472016571801 -i) 51 -1.9641992955862647( -i) 69 4.5343542621315638(-2)8.3511392332358481 - i) 33 3.62285472016571801-i) 51 -1.9641992955862647 (-i) 69 4.5343542621315638 (-2)
16 8.7551385613024868( - i) 34 3.00313952430368011 -i) 52 -1.7177871373065259( -i) 70 3.8624360497759740(-2)8.7551385613024868 (- i) 34 3.00313952430368011 -i) 52 -1.7177871373065259 (-i) 70 3.8624360497759740 (-2)
17 8.9841732079267023( - i) 35 2.40416701592443271 -i) 53 - 1 ,4002793043543879( -i) 71 2.5936542200736885(-2) 17 (b) (i) 2.40416701592443271-i) 53 - 1, 4002793043543879 (-i) 71 2.5936542200736885 (-2)
TAB. 3 - Les 72 coefficients du filtre P(z) TAB. 3 - The 72 coefficients of the filter P (z)
5.6 Exemples de résultats  5.6 Examples of results
Dans ce paragraphe, le procédé est mis en œuvre pour obtenir des filtres prototypes d'énergie hors-bande minimale avec un rapport de suréchantillonnage atteignant 33/32 et un nombre de sous-bandes M = V A = 215 égal à celui du système OFDM de la norme DVB-NGH . In this paragraph, the method is implemented for obtaining prototypes energy minimum filters out of band with an oversampling ratio of up to 33/32 and a number of subbands M = 2 VA = 15 equal to that of the OFDM system of the DVB-NGH standard.
Supposons tout d'abord que nous voulons déterminer un filtre prototype satisfaisant un critère de type TFL ou FS pour un transmultiplexeur suréchantillonné dans un rapport 5/4 et comprenant 2048 porteuses. Autrement dit, nous avons ici Δ = 512.  Suppose first of all that we want to determine a prototype filter satisfying a TFL or FS type criterion for an oversampled transmultiplexer in a 5/4 ratio and comprising 2048 carriers. In other words, here we have Δ = 512.
La méthode de représentation compacte nous permet de calculer des solutions de longueur L = ALo avec Lo = mNoMo. Ainsi, dans le document « Oversampled paraunitary DFT filter banks : A gênerai construction algorithm and some spécifie solutions », il est déterminé de manière exhaustive toutes les solutions de dimension minimale pour m allant de 1 à 3, autrement dit telles que {LQ} = { 20, 40, 60} . Le nombre de variables à optimiser simultanément est alors égal à ¾ =KmM0 =4mK avec K de l'ordre de 5 à 6. The compact representation method allows us to calculate solutions of length L = ALo with Lo = mNoMo. Thus, in the document "Oversampled paraunitary DFT filter banks: A troublesome construction algorithm and some specifies solutions", it is exhaustively determined all solutions of minimum dimension for m ranging from 1 to 3, in other words such that {LQ} = {20, 40, 60}. The number of variables to be optimized simultaneously is then equal to ¾ = K m M 0 = 4mK with K of the order of 5 to 6.
Notre nouveau procédé nous permet de traiter toutes les longueurs LQ multiples de N0 donc l'ensemble de longueurs {Lo } = {5, 10, 15, 20, .. . } . A chaque étape de l'algorithme l'optimisation de K paramètres est suffisante. Un premier avantage est donc de pouvoir traiter un ensemble de longueurs bien plus important et une réduction significative du temps de calcul pour l'optimisation d'un filtre prototype de longueur donnée. Our new process allows us to process all the multiple LQ lengths of N 0 so the set of lengths {Lo} = {5, 10, 15, 20, ... }. At each stage of the algorithm the optimization of K parameters is sufficient. A first advantage is therefore to be able to process a much larger set of lengths and a significant reduction in the calculation time for the optimization of a prototype filter of given length.
On notera également que si la méthode de calcul décrite dans le document « Oversampled paraunitary DFT filter banks : A gênerai construction algorithm and some spécifie solutions », Théorème VI.4] , permet aussi une approche pas à pas, elle impose, à chaque pas, l'optimisation de MQK variables au lieu de K dans le procédé proposé à présent.  Note also that if the calculation method described in the document "Oversampled paraunitary DFT filter banks: A troublesome construction algorithm and some specifies solutions", Theorem VI.4], also allows a step by step approach, it imposes at each step , the optimization of MQK variables instead of K in the process proposed now.
Ainsi ce nouveau procédé permet d'atteindre un facteur de suréchantillonnage encore plus proche de 1 et ceci pour des nombres de porteuses bien plus élevés que dans l'art antérieur. A titre d'exemple pour Mo = 32, N0 = 33, LQ = 128N0 et Δ = 210, on obtient des filtres de longueur L = 4325376 = 33 x 2 . La représentation angulaire correspond à Δ composantes polyphasés décrites chacune par un élément de S32>LO avec Lo = 128N0 dépendant de 128 angles, soit un total de 128Δ = 216 angles. Thus this new method makes it possible to achieve an oversampling factor even closer to 1 and this for much higher carrier numbers than in the prior art. By way of example for Mo = 32, N 0 = 33, LQ = 128N 0 and Δ = 210, length filters are obtained. L = 4325376 = 33 x 2. The angular representation corresponds to Δ polyphase components each described by an element of S 32> LO with Lo = 128N 0 depending on 128 angles, ie a total of 128Δ = 216 angles.
On notera tout d'abord que la méthode du document « Oversampled paraunitary DFT filter banks : A gênerai construction algorithm and some spécifie solutions » qui impose ici des longueurs multiples de 276 ne permet pas de traiter ce cas. Supposons toutefois que cela soit possible, de plus avec une représentation compacte de faible degré K = 2. L'optimisation porte alors sur 2 x 128 = 256 paramètres indépendants. C'est un nombre encore trop important de paramètres pour qu'un logiciel d'optimisation globale donne un résultat satisfaisant.  It will be noted first of all that the method of the document "Oversampled paraunitary DFT filter banks: A génerai construction algorithm and some specifies solutions" which imposes here lengths multiple of 276 does not make it possible to treat this case. Suppose, however, that this is possible, moreover with a compact representation of low degree K = 2. The optimization then bears on 2 x 128 = 256 independent parameters. It is too important a number of parameters for a global optimization software to give a satisfactory result.
Par contre, en utilisant la relation (21), l'optimisation peut être conduite en augmentant m de 1 à 128 et en prenant comme point initial pour une valeur de m > 1 le filtre optimal obtenu pour m - 1. A chaque étape, ce sont seulement K paramètres qui sont ajoutés, avec K = 2 si la valeur de Mo est un peu élevée.  On the other hand, using the relation (21), the optimization can be carried out by increasing m from 1 to 128 and taking as an initial point for a value of m> 1 the optimal filter obtained for m - 1. At each step, only K parameters are added, with K = 2 if the Mo value is a bit high.
La figure 2 montre la variation, pour m allant de 1 à 128, de l'énergie hors bande minimale (critère FS), exprimée en décibels, d'un filtre prototype RP de paramètres Mo = 32, N0 = 33, Lo = mNo avec Δ = 4. FIG. 2 shows the variation, for m ranging from 1 to 128, of the minimum out-of-band energy (FS criterion), expressed in decibels, of a prototype filter RP with parameters Mo = 32, N 0 = 33, Lo = mNo with Δ = 4.
Des courbes analogues à celles de la figure 2 sont obtenues pour 1 < ) < 16, N0 = Mo +1 et LQ = mNo, 1≤ k < 4Mo. On remarque alors que : Curves similar to those of Figure 2 are obtained for 1 <) <16, N 0 = Mo +1 and LQ = mNo, 1 k k <4Mo. We then notice that:
1. Pour ) > 8, les courbes de meilleures énergies hors-bande sont indistinguables lorsque l'on fait croître le degré de la représentation compacte de 2 à 4.  1. For)> 8, the best out-of-band energy curves are indistinguishable when the degree of the compact representation is increased from 2 to 4.
2. Pour Δ > 4, les courbes sont indistinguables des courbes obtenues pour Δ = 4.  2. For Δ> 4, the curves are indistinguishable from the curves obtained for Δ = 4.
Pour obtenir un filtre prototype optimisé pour Δ = 210, il suffit donc de considérer le filtre prototype optimisé pour Δ = 4 et un degré égal à 2 pour la représentation compacte, et de remplacer la valeur 4 de Δ par celle qui est souhaitée.  To obtain an optimized prototype filter for Δ = 210, it is therefore sufficient to consider the optimized prototype filter for Δ = 4 and a degree equal to 2 for the compact representation, and to replace the value 4 of Δ by that which is desired.
C'est de cette manière qu'a été obtenu le filtre prototype de la figure 4 dont l'énergie hors bande est égale à 2.521410 5, c'et-à-dire -45.97 dB. Seuls les premiers 106 coefficients du filtre sont représentés dans la partie gauche de la figure. This is how the prototype filter of FIG. 4 was obtained whose out-of-band energy is equal to 2.521410 5 , that is to say -45.97 dB. Only the first 106 coefficients of the filter are represented in the left part of the figure.
La même méthode peut être utilisée avec des valeurs différentes des paramètres MQ. Par exemple pour Mo = 8, N0 = 9, Lo = mN0 avec 1 < m < 32 et Δ = 8, on obtient la courbe de meilleure énergie hors bande représentée dans la figure 3. The same method can be used with different values of the MQ parameters. For example for Mo = 8, N 0 = 9, Lo = mN 0 with 1 <m <32 and Δ = 8, the best out-of-band energy curve shown in figure 3 is obtained.
Avec m = 24, on obtient un filtre de longueur L = ηιΝ0Δ = 24 x 9 x 8 = 1728 dont l'énergie hors-bande est égale à 1.0736 x 10 4, c'est-à-dire -39.69 dB, et qui est représenté dans la Figure 5. Il correspond au carré 31 dans la figure 3. Le nombre d'angles d'une représentation angulaire de ce filtre est égal à Àm = 192 tandis que l'optimisation a été conduite avec les 2m = 48 paramètres d'une représentation compacte de degré 2. Ces éléments sont à comparer avec les résultats de l'exemple traité par S. Rahimi et B. Champagne dans « Perfect reconstruction DFT modulated oversampled filter bank transceivers » (In Proc. 19th European Processing Conférence (EUSIP- CO'201 1), Barcelona, pages 1588- 1592, 2011) et « Oversampled perfect reconstruction DFT modulated filter banks for multi -carrier transceiver Systems » (Signal Processing, 93(11) :2942- 2955, November 2013) pour un filtre prototype RP avec des paramètres identiques. Suivant la représentation paramétrique qu'ils ont choisie, le nombre de paramètres permettant de décrire une matrice paraunitaire d'où l'on déduit le filtre est de 576 ou 448. Ce filtre est signalé par un carré 32 dans la figure 3. With m = 24, we obtain a filter of length L = ηιΝ 0 Δ = 24 × 9 × 8 = 1728 whose out-of-band energy is equal to 1.0736 × 10 4 , that is to say -39.69 dB, and which is shown in Figure 5. It corresponds to the square 31 in Figure 3. The number of angles of an angular representation of this filter is equal to λm = 192 while the optimization was conducted with the 2m = 48 parameters of a compact representation of degree 2. These elements are to be compared with the results of the example treated by S. Rahimi and B. Champagne in "Perfect reconstruction DFT modulated oversampled filter bank transceivers" (In Proc., 19th European Processing Conference (EUSIP-CO'201 1), Barcelona , pages 1588-1592, 2011) and "Oversampled perfect reconstruction DFT modulated multi-carrier banks transceiver systems" (Signal Processing, 93 (11): 2942-2955, November 2013) for a prototype RP filter with identical parameters. According to the parametric representation they have chosen, the number of parameters making it possible to describe a paraunitary matrix from which the filter is deduced is 576 or 448. This filter is indicated by a square 32 in FIG.
Toujours avec Mo = 8, N0 = 9, Lo = mN0 et Δ = 8, on peut choisir la valeur plus élevée m = 32 pour obtenir un filtre prototype de longueur L = 2304 correspondant au carré 31 dans la Figure 3 et dont les caractéristiques sont représentées dans la figure 6. Son énergie hors-bande est égale à 9.996 x 1QT6, soit -50 dB. Still with Mo = 8, N 0 = 9, Lo = mN 0 and Δ = 8, we can choose the higher value m = 32 to obtain a prototype filter of length L = 2304 corresponding to square 31 in Figure 3 and the characteristics are shown in Figure 6. Its out-of-band energy is equal to 9.996 x 1QT 6 , or -50 dB.
En gardant la même représentation compacte du filtre de la figure 6, mais en augmentant la valeur de Δ à Δ = 212, on obtient un filtre prototype à 215 sous-bandes, de longueur L = 9.217 = 1 179648, d'énergie hors bande 1.0017 x 10 5, c'est-à-dire -50 dB. Les caractéristiques de ce filtre sont représentées dans la figure 7. Keeping the same compact representation of the filter of Figure 6, but by increasing the value of Δ to Δ = 212, we obtain a prototype filter 2 15 sub-bands of length L = 9.2 17 = 1 179 648, energy out of band 1.0017 x 10 5 , that is -50 dB. The characteristics of this filter are shown in Figure 7.
5.6 synthèse  5.6 synthesis
L'invention propose un nouveau procédé de construction de systèmes de modulation The invention proposes a new method of building modulation systems
OFDM suréchantilllonné. Nous avons considéré la famille de systèmes à reconstruction parfaite (RP) de dimension minimale, c'est-à-dire réalisable avec un minimum de circuits de rotation.OFDM oversampled. We have considered the family of perfect reconstruction systems (RP) of minimal size, that is to say realizable with a minimum of rotation circuits.
Cette famille de modulateurs permet d'atteindre de très bonnes performances, voire les meilleures, en termes de sélectivité fréquentielle du filtre prototype. This family of modulators makes it possible to achieve very good performances, even the best, in terms of frequency selectivity of the prototype filter.
Cette nouvelle approche permet de traiter un plus large ensemble de longueurs possibles This new approach allows for a wider range of possible lengths
(telles que LQ = mN0, au lieu de LQ = mN0Mo auparavant) et notre méthode de synthèse, pas-à-pas, permet en plus d'optimiser un plus grand nombre de paramètres angulaires. (such as LQ = mN 0 , instead of LQ = mN 0 MB before) and our method of synthesis, step by step, allows in addition to optimize a greater number of angular parameters.
Par rapport à des antériorités récentes, nous avons montré que, pour un système OFDM suréchantillonné donné, nous pouvions réduire à son minimum le nombre de paramètres est optimiser pour le design du filtre prototype et, en plus, améliorer significativement, avec plus de Compared to recent anteriorities, we have shown that, for a given oversampled OFDM system, we could minimize the number of parameters to optimize for the design of the prototype filter and, in addition, significantly improve, with more than
10 dB de gain, sa sélectivité fréquentielle. 10 dB gain, its frequency selectivity.
Au final, nous pouvons ainsi générer à présent des solutions d'OFDM suréchantillonné satisfaisant dans le cas de DVB-NGH, les contraintes les plus sévères à l'heure actuelle en termes de nombre de porteuses (215) et d'efficacité spectrale (32/33, c'est-à-dire l'équivalent d'un préfixe cyclique de CP-OFDM égal à 1/32). In the end, we can now generate oversampled OFDM solutions satisfying in the case of DVB-NGH, the most severe constraints at the moment in terms of number of carriers (2 15 ) and spectral efficiency ( 32/33, that is the equivalent of a CP-OFDM cyclic prefix equal to 1/32).

Claims

REVENDICATIONS
1. Procédé de détermination d'un filtre prototype, de longueur L, permettant de déterminer les filtres d'un banc de filtres suréchantillonné à modulation exponentielle d'un système de transmission ou de codage, également dit transmultiplexeur ou codeur en sous-bandes, ledit banc de filtres comprenant M entrées, respectivement M sorties, et mettant en œuvre un facteur N d'expansion, respectivement de décimation, et mettant en œuvre une matrice polyphasé de taille N x M, avec N = ΔΝ0 et M = AMQ, OÙ Δ est un entier strictement positif, 1. A method for determining a prototype filter, of length L, making it possible to determine the filters of an oversampled filterbank with exponential modulation of a transmission or coding system, also called a transmultiplexer or a subband encoder, said bank of filters comprising M inputs, respectively M outputs, and implementing an expansion factor N, respectively of decimation, and implementing a polyphase matrix of size N x M, with N = ΔΝ 0 and M = AMQ, Where Δ is a strictly positive integer,
caractérisé en ce que N0 = Mo + 1 , L = ALo et Lo est un multiple de N0 mais non nécessairement et en ce qu'il met en œuvre une détermination des coefficients dudit filtre prototype P comprenant les étapes suivantes : characterized in that N 0 = Mo + 1, L = ALo and Lo is a multiple of N 0 but not necessarily and in that it implements a determination of the coefficients of said prototype filter P comprising the following steps:
détermination des coefficients d'un filtre prototype initial présentant une longueur Lo determination of the coefficients of an initial prototype filter having a length Lo
= N0 ; = N 0 ;
au moins deux itérations de détermination des coefficients d'un filtre prototype intermédiaire de longueur LQ = (k+l)N0 à partir des coefficients d'un filtre prototype intermédiaire de longueur Lo = kN0 déterminés à l'étape précédente, k, 0 < k < Kmax, chaque itération minimisant un critère représentatif de l'énergie hors bande E dudit filtre prototype intermédiaire. at least two iterations for determining the coefficients of an intermediate prototype filter of length LQ = (k + 1) N 0 from the coefficients of an intermediate prototype filter of length Lo = kN 0 determined in the previous step, k, 0 <k <K max , each iteration minimizing a criterion representative of the out-of-band energy E of said intermediate prototype filter.
2. Procédé selon la revendication 1 , caractérisé en ce que chacune desdites itérations met en œuvre une unique matrice de rotation supplémentaire, par rapport à l'itération précédente.  2. Method according to claim 1, characterized in that each of said iterations implements a single additional rotation matrix, with respect to the previous iteration.
3. Procédé selon la revendication 2, caractérisé en ce qu'il met en œuvre une méthode de représentation compacte, dans laquelle les paramètres de rotation dudit filtre prototype P sont représentés par une fonction de lissage :
Figure imgf000022_0001
3. Method according to claim 2, characterized in that it implements a compact representation method, wherein the rotation parameters of said prototype filter P are represented by a smoothing function:
Figure imgf000022_0001
où : a est une variable entière muette, 0≤ a < A ;  where: a is a mute integer variable, 0≤ a <A;
Xp a désigne les coefficients de ladite fonction de lissage ;  Xp a denotes the coefficients of said smoothing function;
d est le nombre de rotations mises en œuvre pour chaque valeur de i.  d is the number of rotations implemented for each value of i.
4. Procédé selon la revendication 3, caractérisé en ce que A est inférieur ou égal à 6, quelle que soit la valeur de M. 4. Method according to claim 3, characterized in that A is less than or equal to 6, regardless of the value of M.
5. Procédé selon la revendication 4, caractérisé en ce que A est égal à 2, quelle que soit la valeur de M, avec MQ > 4. 5. Method according to claim 4, characterized in that A is equal to 2, whatever the value of M, with MQ> 4.
6. Procédé selon la revendication 3, caractérisé en ce qu'il comprend, à une itération k, les étapes suivantes :  6. Method according to claim 3, characterized in that it comprises, at an iteration k, the following steps:
- détermination des angles 6*p (l) ; - determination of the angles 6 * p (l) ;
détermination de matrices :  matrix determination:
SM0,(k+l)N0 ... , , ί = 0, ... , Δ - 1 détermination des composantes polyphasés Pj(z) du filtre prototype ; S M 0 , (k + 1) N 0 ...,, ί = 0, ..., Δ - 1 determination of the polyphase components Pj (z) of the prototype filter;
détermination du filtre prototype P(z).  determination of the prototype filter P (z).
7. Procédé selon la revendication 6, caractérisé en ce que l'étape de détermination du filtre prototype P(z) met en œuvre une minimisation d'un critère représentatif de l'énergie hors-bande 7. Method according to claim 6, characterized in that the step of determining the prototype filter P (z) implements a minimization of a criterion representative of the out-of-band energy.
E du filtre prototype P(z), à l'aide d'une algorithme d'optimisation desdits paramètres xp a. E of the prototype filter P (z), using an algorithm for optimizing said parameters x pa .
8 Procédé selon la revendication 3, caractérisé en ce que, Mo étant supérieur ou égal à 8 et pour une valeur souhaitée de Δ strictement supérieur à 4, on détermine un filtre prototype pour une valeur Δ = 4 et on remplace directement la valeur 4 de Δ par la valeur souhaitée. 8 Process according to claim 3, characterized in that, Mo being greater than or equal to 8 and for a desired value of Δ strictly greater than 4, a prototype filter is determined for a value Δ = 4 and the value 4 of Δ by the desired value.
9. Dispositif de détermination d'un filtre prototype, de longueur L, permettant de déterminer les filtres d'un banc de filtres suréchantillonné à modulation exponentielle d'un système de transmission ou de codage, également dit transmultiplexeur ou codeur en sous-bandes, ledit banc de filtres comprenant M entrées, respectivement M sorties, et mettant en œuvre un facteur N d'expansion, respectivement de décimation, et mettant en œuvre une matrice polyphasé de taille N x M, avec N = ΔΝ0 et M = ΔΜο, où Δ est un entier strictement positif, 9. Device for determining a prototype filter, of length L, making it possible to determine the filters of an oversampled filterbank with exponential modulation of a transmission or coding system, also called a transmultiplexer or a subband encoder, said bank of filters comprising M inputs, respectively M outputs, and implementing an expansion factor N, respectively of decimation, and implementing a polyphase matrix of size N x M, with N = ΔΝ 0 and M = ΔΜο, where Δ is a strictly positive integer,
caractérisé en ce que N0 = Mo + 1, L = ALQ et LQ est un multiple de N0, mais non nécessairement et en ce qu'il comprend des moyens de détermination des coefficients dudit filtre prototype P comprenant : characterized in that N 0 = Mo + 1, L = ALQ and LQ is a multiple of N 0 , but not necessarily and in that it comprises means for determining the coefficients of said prototype filter P comprising:
- des moyens de détermination des coefficients d'un filtre prototype initial présentant une longueur Lo = N0 ; means for determining the coefficients of an initial prototype filter having a length Lo = N 0 ;
des moyens de réalisation d'au moins deux itérations de détermination des coefficients d'un filtre prototype intermédiaire de longueur LQ = (k+l)N0 à partir des coefficients d'un filtre prototype intermédiaire de longueur LQ = kN0 déterminés à l'étape précédente, k, 0 < k < Kmax, chaque itération minimisant un critère représentatif de l'énergie hors bande E dudit filtre prototype intermédiaire. means for producing at least two iterations for determining the coefficients of an intermediate prototype filter of length LQ = (k + 1) N 0 from the coefficients of an intermediate prototype filter of length LQ = kN 0 determined by the previous step, k, 0 <k <K max , each iteration minimizing a criterion representative of the out-of-band energy E of said intermediate prototype filter.
10. Programme d'ordinateur comportant des instructions pour la mise en œuvre d'un procédé de détermination d'au moins un filtre prototype selon la revendication 1 lorsque ce programme est exécuté par un processeur. Computer program comprising instructions for implementing a method for determining at least one prototype filter according to claim 1 when this program is executed by a processor.
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