WO2014001409A1 - Method for determining the size distribution of a mixture of particles using taylor dispersion, and associated system - Google Patents
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Definitions
- the present invention relates to methods for determining the size distribution of a mixture of particles by employing the Taylor dispersion, comprising the steps of:
- particle is used to mean all the molecules in solution and / or particles suspended in the mixture.
- a species includes all particles that are characterized by the same size, for example the same hydrodynamic radius. A species is, therefore, associated with a value of the size "particle size”.
- the term "deconvolution" of a Taylor signal means the processing of the experimental Taylor signal leading to the determination of the hydrodynamic radius of each of the constituent species of the mixture and to the determination of the concentration of each of these species.
- the invention therefore aims to overcome this problem, in particular by proposing a method of real-time analysis of an experimental Taylor signal of a sample of any mixture.
- the subject of the invention is a method for determining the size distribution of a mixture of molecular or particulate species, comprising the steps of:
- t is a variable on which the experimental Taylor signal depends and t 0 a value of the variable t common to the different Gaussian functions and corresponding to the peak of the experimental Taylor signal S (t);
- G (c) is a characteristic parameter of a Gaussian function of amplitude (G (c) ) and is associated:
- k B is the Boltzmann constant
- T is the absolute temperature expressed in Kelvin degree at which the experiment is performed
- ⁇ is the viscosity of the eluent used
- R c is the internal radius of the capillary used
- N a is the number of Avogadro and K and a are the coefficients of Mark Houwink
- a constraint regularization algorithm consisting in minimizing a cost function H a comprising at least one constraint term associated with a constraint that the amplitude distribution P (G c) ) must satisfy the solution of the preceding equation, the minimization taking place over a range of interest of the values of the parameter G (c) .
- the method comprises one or more of the following characteristics, taken separately or in any technically possible combination:
- the preceding equation is discretized by subdividing said interval of values of the parameter G (c) , each discretization point G m being indexed by an integer m varying between the unit value and the value N, the point G m being distant from the point G m _ x of a sub-interval of length c m ;
- ⁇ 2 is a distance term between the ex-experimental Taylor signal S (t) and a reconstructed Taylor signal defined by:
- the second term ⁇ 2 is a constraint term associated with the said at least one constraint that the amplitude distribution P (G) solution of the preceding equation must satisfy, the said second term being introduced by a Lagrange coefficient, making it possible to adapt the contribution of the second term of the cost function H a with respect to the first term;
- ⁇ 2 is a distance of the "least squares" type taking the form:
- said at least one constraint which the amplitude distribution P (G) solution of the preceding equation must satisfy is a regularity constraint associated with a constraint term ⁇ 2 referring to the reference form:
- the method comprises a step of determining the values of the lower and upper bounds;
- ⁇ and T are respectively the mean and the standard deviation of the logarithm of the G parameter of a log-normal distribution
- the invention also relates to an information recording medium, comprising instructions for carrying out a method for determining the hydrodynamic radius distribution or diffusion coefficient or molar mass of a mixture of Molecular or particulate species as defined above, when the instructions are executed by an electronic calculator.
- the subject of the invention is a system for determining the hydrodynamic radius distribution or diffusion coefficient or molar mass distribution of a mixture of molecular or particulate species, comprising an electronic calculator, said electronic calculator being programmed to perform a method for determining the hydrodynamic radius distribution or diffusion coefficient or molar mass of a mixture of molecular or particulate species as defined above.
- FIG. 1 is a schematic representation of a system for determining the size distribution of a mixture of particles
- FIG. 2 is a representation, in block form, of the size determination method of a mixture of particles, implemented by the system of FIG. 1;
- FIGS. 3 to 5 are graphs representing the results of the implementation of the method of FIG. 2 in the case of an equimassic mixture of two samples of synthetic polymers:
- FIG. 3 shows the accumulation of three repetitions of the signal experimental Taylor;
- FIG. 4 shows the hydrodynamic radius distribution obtained by the implementation of the process of FIG. 2, in comparison with that obtained by steric exclusion chromatography and given by the supplier of the synthetic polymer samples;
- FIG. 5A shows the fit of the Taylor signal by the method of FIG. 2 and FIG. 5B the cumulative decomposition of the experimental Taylor signal of FIG.
- the size determination system of a mixture of particles 2 comprises an experimental device 3, capable of generating a Taylor dispersion phenomenon and generating an experimental Taylor signal, and a device for analysis 5, suitable for analyzing the experimental Taylor signal obtained at the output of the experimental device 3 to determine, in real time, the size distribution of the mixture of particles from which a sample has been injected into the experimental device.
- the experimental device 3 comprises, as known per se, a capillary 6.
- the experimental device 3 comprises, in the vicinity of one end of the capillary 6, an injection section 7, and in the vicinity of the other end of the capillary 6, a detection section 9.
- the injection section 7 comprises a means 1 1 designed for injecting, inside the capillary 6, a sample of the mixture to be analyzed.
- the injection section 7 also comprises means designed to allow the flow of an eluent inside the capillary 6, from the injection section 7 to the detection section 9. These flow means are shown schematically in Figure 1 by the block 1 3.
- the detection section 9 is of the optical type. It is equipped with an optical cell comprising a light source S, and an optical system 1 5, able to converge the light rays from the source S on a narrow portion of the capillary 6. Along the optical axis of the optical system 15, but on the other side of the portion of the illuminated capillary 6, the cell comprises a sensor 17, of the CCD or diode or photomultiplier type, adapted to collect the light having passed through the capillary 6 and to generate a detection signal corresponding to the collected light.
- the sensor 1 7 is electrically connected to an electronic card 19 for preprocessing and digitizing the detection signal generated by the sensor 1 7.
- the card 19 outputs a digital measurement signal, which depends on the time. This measurement signal is also called a signal of
- the experimental Taylor signal S (t) thus consists of a set of L data pairs (t k , S (t k )).
- the detection section may be of another type, for example conductimetric, by mass spectrometry, fluorescence (possibly laser-induced), electrochemical, light scattering, and, more generally, any type of detector used.
- capillary electrophoresis the Taylor signal can be either a temporal signal (Taylor peak scroll in front of a narrow sensor), but a spatial signal (instantaneous capture of the Taylor peak in front of an extended sensor). In this case the variable t no longer represents the time but the position along the capillary.
- the analysis device 5 consists of a computer having an input / output interface 21 to which the electronic card 19 of the experimental device 3 is connected.
- the computer also has a memory 23, such as a random access memory RAM and / or a ROM, and a calculation unit 25, such as a microprocessor.
- the computer also comprises man / machine interface means, identified by the numeral 27 in FIG. These include for example a touch screen allowing a user to interact with the computer 5. All the components of the computer are interconnected in a manner known per se, for example via a data exchange bus.
- p is the molar concentration of the species
- R c is the internal radius of the capillary
- t 0 is the time corresponding to the peak of the Taylor signal
- Equation (1) The actual Taylor signal (0 of a polydisperse sample, i.e., multi-species sample) is modeled for the sum of the contributions of each species, thus assuming a mixture with a Continuum of species, equation (1) is generalized by a continuous sum of Gaussian functions according to:
- equation (2) the Gaussian functions are all centered on the same reference time t 0 .
- P (G) is hereinafter referred to as "amplitude distribution" of Gaussian functions of parameter G.
- a value of the parameter G is associated, through the diffusion coefficient D, with a species.
- the Stokes-Einstein-Sutherland formula makes it possible to associate with a value of the parameter G, the species characterized by the hydrodynamic radius R h , according to the relation:
- ⁇ is the viscosity of the eluent used.
- each Gaussian function P (G) VG exp [- (i -i 0 ) 2 G] represents the contribution of a species to the total amplitude of the actual Taylor signal (0 ⁇
- the amplitude P (G) of each Gaussian function depends directly on the concentration of the corresponding species in the mixture.
- the function of the application software 31 is to determine the distribution P (G) which is the solution of the following equation which corresponds to the equation (3) when the actual signal Ta lor (0 is replaced by the signal of Experimental Taylor 5 (0: Measurement error introduced by the experimental device
- the detection section 9 introduces a systematic measurement error so that the experimental Taylor signal (0 is not exactly equal to the actual Taylor signal 5 (0
- the resolution of equation (5) then leads to the determination of several distributions which are, each, solutions to the measurement error.
- the resolution of equation (5) leads to the identification of several families of Gaussian functions that each lead by summation to a reconstructed Taylor signal that is adjusted to the Taylor signal.
- the application software 31 uses an algorithm implementing a constrained regularization method.
- the different subintervals are subdivided into N at intervals identified by the integer m and of length c m .
- the unknowns of equation (6) are constituted by the set of amplitudes
- equation (6) goes through a process of adjustment of Taylor's experimental Taylor's S (t) by the reconstructed Taylor's signal , - t G. That is, for any instant t k , S '(t k ) must be as close as possible to S (t k ).
- the constrained regularization algorithm solves equation (6) by minimizing a cost function dependent on the unknown N's P (G m ) and translating as constraints the information available on the amplitudes P (G m). ).
- the cost function H a takes the following form:
- this first term is a "least squares" distance:
- Another measure of distance could be used, in particular by weighting, in the previous sum, each term by a coefficient w k inversely proportional to the noise affecting the measurement made at time t k .
- the cost function H has a second term ⁇ 2 , called a constraint term, expressing a constraint penalizing the amplitudes P (G m ) which have no physical meaning.
- a constraint term expressing a constraint penalizing the amplitudes P (G m ) which have no physical meaning.
- the constraint term is the sum of the squared terms of the second derivative of the P (G) distribution.
- the term constraint reflects a regularity constraint.
- This constraint term is the sum of the squared terms of the third derivative of the P (G) distribution.
- the generalization to a regularity constraint based on the n-th derivative (n 1 1) is immediate and within the reach of a person skilled in the art.
- the first and second terms of the cost function H a have relative contributions which can be adapted by choosing the value of a coefficient, called Lagrange. This coefficient controls the importance of the term of constraint with respect to the term of distance. If is very small, the term constraint is negligible. In this case, the minimization of the cost function leads to the same result as a simple adjustment to the experimental data. For values that are too large, on the contrary, a significant cost is given to the constraint on the P (G) and the algorithm will reject the solutions that do not respect the constraint with the risk of keeping a solution that does not fit. correctly to the experimental data.
- the constraint that the amplitudes are positive, P (G m ) ⁇ 0 Vm, is imposed by minimizing the cost function only on the half-space of the positive amplitudes.
- Equation 12 can easily be generalized to types of averages other than the arithmetic mean:
- a first strategy consists in choosing the largest value such that the value of the distance term j 2 does not exceed the statistically expected value which depends on the measurement error and the number of degrees of freedom in the constraint regularization process. .
- a second strategy consists in choosing a value of which gives a weight equal to the term of distance and the term of constraint.
- the choice is then done by scanning a wide range of values of the coefficient. For each value of, the set of amplitudes P (G m ) minimizing the cost function H a is determined. The corresponding values of ⁇ ⁇ , H a and P (G m ) are recorded. Among all the tests, the coefficient of Lagrange 0 having the greatest value such that ⁇ ⁇ 2 ⁇ ⁇ y is finally retained.
- the T-average of the G parameter is accessible by integration of the experimental Taylor signal.
- p i is the molar concentration of the 1 st species in the mixture, M 1 and D, respectively the molar mass and the diffusion coefficient thereof.
- Equation (24) is the development by cumulating.
- the first cumulant also gives access to the average in ⁇ of the diffusion coefficient
- the average in ⁇ is different from the average in T previously discussed because the diffusion coefficient D y appears with different powers. These two averages contain different information on the P (G) distribution. They allow to add two constraints in the cost function to minimize.
- the second cumulant is related to the en average of the variance of the distribution of the diffusion coefficients, which gives an estimate of the polydispersity of the sample. More precisely, the ratio of the second cumulant divided by the square of the first cumulant gives:
- N must be significantly smaller than the number L of scanning points of the experimental Taylor signal.
- Typical values of ⁇ / are in the range 50-200.
- the interval [G min , G max ] must be greater than the interval over which the distribution P (G) is non-zero, to avoid introducing artifacts due to the truncation of this distribution.
- the first two approaches are based on the calculation of the equivalent log-normal distribution, while the third is empirical and is based on the representation of ln [S (t)] as a function of (t - 1 0 ) 2 in the same axis system that used for cumulative decomposition.
- G is the density of probability that the particles of the sample have a value of G between G and G + dG;
- the log-normal distribution may be a bad model for more complex mixtures
- the determination of the equivalent log-normal distribution of any mixture is useful for estimating the range of values of parameter G on which the P distribution ( G) solution of equation (6) is to be found.
- the probability density PDF (G) depends only on the two parameters ⁇ and y. However, it is possible to determine these two parameters from (G) T and (G) r .
- the G m i n and G max can be estimated by replacing the distribution P (G) by an equivalent lognormal distribution.
- Q G Q G (G MAX ) -Q G ⁇ G min ), (32.) where Q G (G) is the cumulative probability defined by:
- equation (36) leads to:
- ⁇ n [s (t)] as a function of x is a straight line whose slope gives the diffusion coefficient of the species of the sample.
- d s / dx does not depend on x, that is, it does not depend on time.
- the curve ⁇ n [s (t)] as a function of x has a curvature which is calculated by determining the derivative dlns / dx. This is proportional to the G parameter.
- Equation (49) uses the Einstein equation for the viscosity of a dilute suspension and the Mark Houwink equation connecting the intrinsic viscosity [ ⁇ ] to the molar mass according to the relation:
- Equations (48) and (49) show that G is nonlinear in R h and M, respectively, while G is simply proportional to D.
- the transformation of the distribution according to the parameter G identified as the solution of equation (6) leads to a distribution according to the parameter R h , or the parameter M, which does not necessarily respect the constraint of the cost function, in particular the regularity constraint. In the majority of cases, the transformation leads indeed to the presence of nonphysical peaks or oscillations in the distribution according to the parameter R h , or the parameter M.
- the method consists in directly seeking, by constraint regularization, the distribution according to the parameter R h , or the parameter M, which respects the constraint (s) and which makes it possible to correctly reproduce the experimental data.
- Equation (5) is thus generalized in the form:
- P norm (G (c) ) is the properly normalized distribution P (G (c) ):
- Equation (54) is then reduced to equation (5).
- the PD (D) amplitude distribution is determined from the P (G ⁇ 1) ) amplitude distribution using the following equation:
- the implementation of the constraint regularization algorithm leads to determining the amplitude distribution P (G (- i) ).
- the distribution P R (R h ) is then determined from according to the relation:
- the implementation of the constraint regularization algorithm leads to determining the amplitude distribution P (G H 1 + A) / 3 )). Then, the PM (M) distribution is obtained by means of P norm (G H 1 + a y 3) ) according to the following relation: The manner of choosing the interval [G (C ), min, G ( C ), max] on which the distribution P (G (C )) is to be searched is similar to that described above. In particular, and are calculated according to equations (43) and (44). Finally, the values G (c) i mi n, G (c) i ma x are determined as follows:
- the method comprises a first step 100 of injecting a sample to be analyzed into the injection section 7 of the experimental device 3.
- step 1 10 after actuation means 13 ensuring the introduction and circulation of an eluent inside the capillary 6, the injected sample is transported from the injection section 7, until to the detection section 9 of the experimental device 3.
- the experimental conditions nature of the eluent, flow rate of the eluent, transport length separating the injection section from the detection section, temperature, internal radius of the capillary, etc. are adapted to develop a detectable Taylor dispersion phenomenon at the detection section 9. In the experimental examples below, precise experimental conditions are indicated.
- step 120 the sample transported by the eluent passes through the optical cell of the detection section 9.
- the sensor 17 then generates an electrical measurement signal characteristic of the Taylor dispersion, the sample of which was the seat.
- step 130 the detection signal generated by the sensor 17 is processed by the electronic card 19 so as to deliver an experimental Taylor signal S (t) digitized.
- step 140 the experimental Taylor signal S (t) is acquired by the computer 5.
- the application software 31 performs the following basic steps.
- a first adapted menu is presented to the user so that he chooses the parameter according to which the constraint regularization method must be performed.
- the user is also invited to choose the number N for the discretization of the distribution to be searched.
- N for the sake of simplification, it is assumed that the user chooses the diffusion coefficient D and that the parameter to be taken into account is the parameter G.
- step 144 a second adapted menu is presented to the user so that he chooses the number and the nature of the constraints that must be taken into account in the search for the solution distribution of equation (5).
- the constraints proposed to the selection are for example:
- the distribution must lead to a predetermined T-mean plus or minus a gap that is fixed;
- the distribution must lead to a predetermined average ⁇ plus or minus a gap that we set.
- the first constraint is implemented via a Lagrange multiplier in the cost function, while the other constraints are implemented directly by appropriately limiting the space of the amplitudes P (G m ) on which an extrema of the cost function is sought.
- step 146 the experimental Taylor signal S (t) is decomposed into cumulants.
- step 148 the terminals G min and G max of the range of values of the parameter G on which the distribution is to be searched are calculated from the equivalent log-normal distribution determined from the values of the first and second cumulants.
- second order ⁇ ⁇ and ⁇ 2 obtained in step 148, using equations (32) and (33) then (38) and (39).
- step 150 the cost function H a is elaborated from the first constraint selected by the user in step 144.
- the constraint term associated with the selected constraint is read in the memory of the computer 5 .
- step 152 the discretized expression of the cost function H a is obtained by subdividing the interval G min and G max determined in step 154, at N intervals.
- step 154 for each value of the Lagrange coefficient a in a set of test values, the minimum of the cost function H a is determined.
- the minimum of the cost function is sought only on the appropriate sub-space of the amplitudes P ( G m ) that satisfy these strict constraints.
- step 156 the statistical error v is determined and the optimum value 0 of the Lagrange coefficient a is determined by selecting the value of the Lagrange coefficient a which, in step 156, led to the distance term j 2 the closest by values lower than this statistical error v.
- step 158 the set of distributions P (G) sought is the set of those minimizing the cost function H a for the optimum value 0 of the Lagrange coefficient determined in step 156.
- step 160 the size relative to the particle size of the mixture is calculated from the P (G) distribution obtained in step 158.
- step 162 by a suitable transformation, the distributions according to the hydrodynamic radius or the molar mass are calculated from the distribution P (G) obtained in step 158.
- the application software 31 includes "tools" allowing the user to perform the calculations he wants on the calculated distributions.
- the application software 31 thus comprises the means adapted for carrying out each of the steps of the experimental Taylor signal analysis.
- the T average of the parameter G, (G) is calculated by integrating the experimental Taylor signal S (t) using equation (16) and the en average of parameter G, (G), is calculated from of the determination of the first-order cumulant resulting from the cumulative decomposition of the experimental Taylor signal.
- the bounds G min and G max of the interval on which the size distribution is to be found are calculated from the means in T and in ⁇ of the parameter G according to the equations (30), (31) and (38), ( 39).
- This variant of the method also makes it possible to integrate in the cost function a constraint term based on one or the other of these means.
- the constrained regularization adjustment can advantageously be implemented by using several experimental Taylor signals obtained by repeating identical experiments on a set of samples of the same mixture.
- each repetition can be analyzed independently and the amplitude distributions obtained can be averaged, it is more robust to accumulate the individual Taylor signals in a single global Taylor signal that has an equal number of experimental points. to the sum of the experimental points of each individual Taylor signal.
- the search for the distribution of amplitudes is carried out on the global Taylor signal by application of the constraint regularization algorithm.
- the application software 31 includes a menu allowing the user to process several experimental Taylor signals before analyzing the overall Taylor signal thus obtained.
- the method just presented makes it possible to obtain, automatically and in real time, the size distribution of a mixture of species, as well as the concentrations of these species. species in the mixture, and this regardless of the polydispersity of the sample analyzed, that is to say the number of species that this sample contains and the respective concentrations thereof.
- the fields of use of the device and method just described relate to the size characterization of polymers, colloids, nanomaterials, latices, particles, proteins, protein aggregates, biopolymers, emulsions, liposomes, vesicles, and molecules or biomolecules in general.
- An important area of use concerns the study, for the pharmaceutical industry, of the stability / degradation / aggregation of proteins.
- Injection 0.3 psi (20 mbar), 9 s, an injected volume of 8 ni (total volume of capillary 589 ni).
- M w is the weight average molar mass
- M p is the molar mass at the top of the chromatographic peak
- M w / M n is the polydispersity index.
- Molar masses means and characteristics of the distribution were given by the supplier who determined them by size exclusion chromatography with a calibration using polymer standards of the same chemical nature (PSS).
- Figure 3 shows an experimental Taylor signal obtained for an equimassic mixture of PSS 1290 and PSS 29000. In fact, three experimental Taylor signals are here aggregated.
- the left side of the experimental Taylor signal is shown. Indeed, taylorgrams are generally symmetrical. However, in the case of adsorption phenomenon on the surface of the capillary, the right part of the signal, which corresponds to instants subsequent to time t 0 , may not be exactly symmetrical with the left part of the signal, which corresponds to the instants preceding the instant t 0 . In this case, it is preferable to focus the data processing on the left side of the experimental Taylor signal.
- the method described above takes into account only the left part of the signal in order to limit the influence of these possible parasitic phenomena.
- FIG. 4 shows the superposition of the distribution P R (R h ) obtained by the process described above (software 31) in comparison with the distribution given by the supplier of the polymers and obtained by a chromatographic method (SEC).
- Figure 4 shows a good agreement between the hydrodynamic radius distribution given by the supplier and the distribution obtained by the implementation of the application software 31.
- Figure 5A shows the fit between the experimental Taylor signal S (t) normalized (Data) and the reconstructed signal s' (t) normalized (Fit) and Figure 5B shows the fit between the logarithm of the experimental Taylor signal S (t) normalized (Data) and development in cumulants (Fit).
- Table 1 groups together different averages of the diffusion coefficient D obtained: directly by decomposition into cumulants (average in ⁇ column 2) or by integration of the taylorgram (average in T column 3), and, on the other hand, by the implementation of application software 31 (average ⁇ column 4 and average 7 " column 5. It should be noted that in this example, the averages measured directly on the experimental Taylor signal are not used to constrain the deconvolution of this signal and only a loose constraint of regularity and a strict constraint of positivity were used.
- Table 2 shows the values of ⁇ . and f m "determined from the different approaches proposed, namely the empirical approach (columns 4 and 5), that of the decomposition into cumulants (columns 6 and 7) from cumulants i ⁇ and ⁇ 2 (columns
- Table 3 makes it possible to compare the values of the average hydrodynamic radius obtained by a decomposition in cumulants (average in ⁇ , column 2), and by the implementation of the software application 31 by determination of the distribution P (G) then integration in ⁇ or in T (columns 3 and 6), by the reference method by size exclusion chromatography (columns 4 and 7) according to the average considered, by direct integration of the Taylorgram over the entire signal (column 5). For the same average (columns 2 to 4, on the one hand, and column 5 to 7, on the other hand) the results are homogeneous over all the samples considered.
- c obtained by integrating the distribution by weight of the diffusion coefficients obtained by the software 31 (minimization on D).
- d obtained from the distribution by weight of the hydrodynamic rays derived from the SEC.
- the time at the top t 0 has an impact both on a cumulative type analysis and on the determination of the size distribution obtained by constraint regularization.
- the cumulants method is based on a limited development for (t - t 0 ) ⁇ 0. From an experimental point of view, it is necessary to judiciously choose the time range t for the analysis: if one restricts oneself to a very small interval, the result will be strongly affected by the measurement noise. If, on the other hand, we consider an interval that is too wide, the contribution of the terms of higher order in (t - t 0 ), terms neglected in the cumulant method, will be significant.
- a first estimate fc.guess of the time at the vertex is obtained, for example by considering the time for which 5 (0 is maximal or by adjusting the peak of 5 (0 by a parabolic function or a Gaussian.
- a list of N time at the top is established test f 0, i with / natural integer varying between 1 and N, the time t 0, i being located around i 0, g UESS spaced in a regular way by a constant time increment, with:
- df is the increment of time between two successive times at the vertex
- ⁇ is a time interval typically of the order of fo, g uess / 50.
- a series of cumulative type analyzes is made, considering several time ranges of different extents.
- the time range is set for example by a signal cut-off level of 5 (0 ⁇
- the optimal time at the peak t 0 is determined as being between the vertices at which the first cumulant ⁇ diverges to positive values when the cutoff level increases, and those for which the first cumulative ⁇ diverges to negative values when the cutoff level increases.
- the optimal time at vertex t 0 is that for which the curve lies between the concavity curves. upwards and curves concavity down. This curve shows a smaller variation compared to the others.
- the choice of the optimal peak time is performed by visual analysis of the aforementioned graph or automatically, for example on the basis of the sign of the numerical second derivative of the first cumulant ⁇ according to the cut.
- the optimal cutoff value is determined to be the highest before the data show a significant deviation from their overall trend, due to the influence of the measurement noise for too high cutoff levels.
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Abstract
This method comprises steps consisting in: injecting (100) a sample into a capillary tube; conveying (110) the sample along the capillary tube, under experimental conditions able to generate a Taylor dispersion effect; generating (120) a signal characterising the Taylor dispersion; processing (130) said signal to obtain the experimental Taylor signal Ŝ(t); and analysing (200) said experimental Taylor signal Ŝ(t). The analyzing step consists in obtaining an amplitude distribution P(G(c)) allowing said experimental Taylor signal Ŝ(t) to be decomposed into a sum of Gaussian functions by implementing a constraint-solving algorithm consisting in minimising a cost function Ha
comprising at least one constraint term associated with a constraint that the amplitude distribution P(G(c)) must respect, this minimisation being carried out over a range of values of interest of a parameter G(c)
characterising the Gaussian amplitude function P(G(c)).
Description
Procédé de détermination de la distribution en taille d'un mélange de particules par mise en œuvre de la dispersion de Taylor et système associé. La présente invention concerne les procédés de détermination de la distribution en taille d'un mélange de particules par mise en œuvre de la dispersion de Taylor, comportant les étapes consistant à : Method for determining the size distribution of a mixture of particles by implementing the Taylor dispersion and associated system The present invention relates to methods for determining the size distribution of a mixture of particles by employing the Taylor dispersion, comprising the steps of:
- injecter un échantillon du mélange à analyser à l'intérieur d'un capillaire dans lequel s'écoule un éluant ; injecting a sample of the mixture to be analyzed into a capillary in which an eluent flows;
- transporter l'échantillon injecté le long du capillaire, depuis une section d'injection jusqu'à une section de détection de celui-ci, dans des conditions expérimentales propres à générer un phénomène de dispersion de Taylor qui soit mesurable au niveau de ladite section de détection ; transporting the sample injected along the capillary, from an injection section to a detection section thereof, under experimental conditions suitable for generating a Taylor dispersion phenomenon that is measurable at said section detection;
- générer, au moyen d'un capteur adapté équipant ladite section de détection, un signal caractéristique de la dispersion de Taylor de l'échantillon transporté ; generating, by means of a fitted sensor fitted to said detection section, a signal characteristic of the Taylor dispersion of the transported sample;
- acquérir ledit signal de détection pour obtenir un signal de Taylor expérimental ; et, acquiring said detection signal to obtain an experimental Taylor signal; and,
- analyser ledit signal de Taylor expérimental. analyzing said experimental Taylor signal.
Dans la suite de ce document, le terme de « particule » est employé pour signifier toutes les molécules en solution et/ou particules en suspension dans le mélange. In the rest of this document, the term "particle" is used to mean all the molecules in solution and / or particles suspended in the mixture.
Dans le présent document, une espèce regroupe toutes les particules qui se caractérisent par une même taille, par exemple un même rayon hydrodynamique. Une espèce est, par conséquent, associée à une valeur de la grandeur « taille de particule ». In this document, a species includes all particles that are characterized by the same size, for example the same hydrodynamic radius. A species is, therefore, associated with a value of the size "particle size".
Dans le présent domaine technique, le terme de « déconvolution » d'un signal de Taylor signifie le traitement du signal de Taylor expérimental conduisant à la détermination du rayon hydrodynamique de chacune des espèces constitutives du mélange et à la détermination de la concentration de chacune de ces espèces. In the present technical field, the term "deconvolution" of a Taylor signal means the processing of the experimental Taylor signal leading to the determination of the hydrodynamic radius of each of the constituent species of the mixture and to the determination of the concentration of each of these species.
La demande internationale publiée sous le numéro WO 2010 009907 A1 divulgue un procédé du type précité dont l'étape d'analyse met en œuvre différents algorithmes de déconvolution d'un signal de Taylor expérimental. Mais, ces algorithmes sont utilisables uniquement dans le cas particulier d'un mélange binaire, c'est-à-dire d'un mélange de deux espèces. En conséquence, ces algorithmes connus ne permettent pas d'analyser n'importe quel échantillon, mais uniquement les échantillons dont on sait préalablement qu'ils résultent du mélange de deux espèces. The international application published under the number WO 2010 009907 A1 discloses a method of the aforementioned type whose analysis step implements different deconvolution algorithms of an experimental Taylor signal. But, these algorithms are usable only in the particular case of a binary mixture, that is to say of a mixture of two species. Consequently, these known algorithms do not make it possible to analyze any sample, but only the samples which are known beforehand that they result from the mixture of two species.
Dans la pratique, il est actuellement considéré comme impossible de résoudre le problème général consistant à déconvoluer le signal de Taylor expérimental d'un échantillon d'un mélange quelconque d'espèces.
L'invention a donc pour but de pallier ce problème, en proposant en particulier un procédé d'analyse en temps réel d'un signal de Taylor expérimental d'un échantillon d'un mélange quelconque. In practice, it is currently considered impossible to solve the general problem of deconvolving the experimental Taylor signal of a sample of any mixture of species. The invention therefore aims to overcome this problem, in particular by proposing a method of real-time analysis of an experimental Taylor signal of a sample of any mixture.
Pour cela l'invention a pour objet un procédé de détermination de la distribution en taille d'un mélange d'espèces moléculaires ou particulaires, comportant les étapes consistant à : For this purpose, the subject of the invention is a method for determining the size distribution of a mixture of molecular or particulate species, comprising the steps of:
- injecter un échantillon du mélange à analyser à l'intérieur d'un capillaire dans lequel s'écoule un éluant ; injecting a sample of the mixture to be analyzed into a capillary in which an eluent flows;
- transporter l'échantillon injecté le long du capillaire, depuis une section d'injection jusqu'à une section de détection de celui-ci, dans des conditions expérimentales propres à générer un phénomène de dispersion de Taylor qui soit mesurable au niveau de ladite section de détection ; transporting the sample injected along the capillary, from an injection section to a detection section thereof, under experimental conditions suitable for generating a Taylor dispersion phenomenon that is measurable at said section detection;
- générer, au moyen d'un capteur adapté équipant ladite section de détection, un signal caractéristique de la dispersion de Taylor de l'échantillon transporté ; generating, by means of a fitted sensor fitted to said detection section, a signal characteristic of the Taylor dispersion of the transported sample;
- traiter ledit signal de détection pour obtenir le signal de Taylor expérimental S(t) ; et, processing said detection signal to obtain the experimental Taylor signal S (t); and,
- analyser (200) ledit signal de Taylor expérimental S(t) , analyzing (200) said experimental Taylor signal S (t),
caractérisé en ce que ladite étape d'analyse d'un signal de Taylor expérimental S(t) d'un échantillon dudit mélange, consiste à rechercher une distribution d'amplitudes P(G(C) ) permettant de décomposer ledit signal de Taylor expérimental S(t) en une somme de fonction gaussiennes selon l'équation : characterized in that said step of analyzing an experimental Taylor signal S (t) of a sample of said mixture is to search for a distribution of amplitudes P (G (C) ) for decomposing said experimental Taylor signal. S (t) into a sum of Gaussian functions according to the equation:
S(t)≡ P(Gic))G^ cxp dG S (t) ≡ P (G ic) ) G c cxp dG
ou or
t est une variable dont dépend le signal de Taylor expérimental et t0 une valeur de la variable t commune aux différentes fonctions gaussiennes et correspondant au sommet du signal de Taylor expérimental S(t) ; t is a variable on which the experimental Taylor signal depends and t 0 a value of the variable t common to the different Gaussian functions and corresponding to the peak of the experimental Taylor signal S (t);
G(c) est un paramètre caractéristique d'une fonction gaussienne d'amplitude (G(c) ) et est associé : G (c) is a characteristic parameter of a Gaussian function of amplitude (G (c) ) and is associated:
- pour c = 1 , au coefficient de diffusion D d'une espèce selon la relation - for c = 1, at the diffusion coefficient D of a species according to the relation
Gm = l2D/(R% )
- pour c = -1 , au rayon hydrodynamique Rh d'une espèce selon la relation πηκ£ t0 G m = 12D / (R%) - for c = -1, at the hydrodynamic radius R h of a species according to the relation πηκ £ t 0
- pour c = -1/df = -(1 +a)/3, à la masse molaire M d'une espèce selon la relation- for c = -1 / d f = - (1 + a) / 3, at the molar mass M of a species according to the relation
G =^r_ io¾ M-( ) G = ^ r_ io ¾ M - ()
où kB est la constante de Boltzmann, T est la température absolue exprimée en degré Kelvin à laquelle s'effectue l'expérience, η est la viscosité de l'éluant utilisé, Rc est le rayon interne du capillaire utilisé, Na est le nombre d'Avogadro et K et a sont les coefficients de Mark Houwink, where k B is the Boltzmann constant, T is the absolute temperature expressed in Kelvin degree at which the experiment is performed, η is the viscosity of the eluent used, R c is the internal radius of the capillary used, N a is the number of Avogadro and K and a are the coefficients of Mark Houwink,
en mettant en œuvre un algorithme de régularisation contrainte consistant à minimiser une fonction de coût Ha comportant au moins un terme de contrainte associé à une contrainte que doit respecter la distribution d'amplitudes P(G c) ) solution de l'équation précédente, la minimisation s'effectuant sur un intervalle d'intérêt des valeurs du paramètre G(c) . by implementing a constraint regularization algorithm consisting in minimizing a cost function H a comprising at least one constraint term associated with a constraint that the amplitude distribution P (G c) ) must satisfy the solution of the preceding equation, the minimization taking place over a range of interest of the values of the parameter G (c) .
Suivant les modes particuliers de réalisation, le procédé comporte une ou plusieurs des caractéristiques suivantes, prise(s) isolément ou suivant toutes les combinaisons techniquement possibles : According to particular embodiments, the method comprises one or more of the following characteristics, taken separately or in any technically possible combination:
- l'équation précédente est discrétisée en subdivisant ledit intervalle de valeurs du paramètre G(c) , chaque point de discrétisation Gm étant indexé par un entier m variant entre la valeur unité et la valeur N, le point Gm étant distant du point Gm_x d'un sous- intervalle de longueur cm ; the preceding equation is discretized by subdividing said interval of values of the parameter G (c) , each discretization point G m being indexed by an integer m varying between the unit value and the value N, the point G m being distant from the point G m _ x of a sub-interval of length c m ;
- la fonction de coût prend la forme : - the cost function takes the form:
Ha = Z 2 + a2A2 H a = Z 2 + a 2 A 2
où : or :
- le premier terme χ2 est un terme de distance entre le signal de Taylor ex érimental S(t) et un signal de Taylor reconstruit définit par :
the first term χ 2 is a distance term between the ex-experimental Taylor signal S (t) and a reconstructed Taylor signal defined by:
- le second terme Δ2 est un terme de contrainte associé à ladite au moins une contrainte que doit respecter la distribution d'amplitudes P(G) solution de l'équation précédente, ledit second terme étant introduit par un coefficient de Lagrange ,
permettant d'adapter la contribution du second terme de la fonction de coût Ha par rapport au premier terme ; the second term Δ 2 is a constraint term associated with the said at least one constraint that the amplitude distribution P (G) solution of the preceding equation must satisfy, the said second term being introduced by a Lagrange coefficient, making it possible to adapt the contribution of the second term of the cost function H a with respect to the first term;
- ledit premier terme χ2 est une distance du type « moindres carrés » prenant la forme :
said first term χ 2 is a distance of the "least squares" type taking the form:
où le signal de Taylor expérimental S(t) et la fonction reconstruite S t) sont échantillonnés temporellement, chaque échantillon étant indexé par un entier k variant entre la valeur unité et la valeur L ; where the experimental Taylor signal S (t) and the reconstructed function S t) are sampled temporally, each sample being indexed by an integer k varying between the unit value and the value L;
- ladite au moins une contrainte que doit respecter la distribution d'amplitudes P(G) solution de l'équation précédente, est une contrainte de régularité associée à un terme de contrainte Δ2 renant de référence la forme :said at least one constraint which the amplitude distribution P (G) solution of the preceding equation must satisfy is a regularity constraint associated with a constraint term Δ 2 referring to the reference form:
)] )]
- l'étape d'analyse comporte une étape de détermination de la valeur optimale 0 du coefficient de Lagrange de manière à ce que la valeur du terme de distance j2 correspondant au minimum de ladite fonction de coût Ha=a0 soit proche par valeurs inférieures d'une erreur statistique v , de préférence de la forme v = L - N ; the analysis step comprises a step of determining the optimum value 0 of the Lagrange coefficient so that the value of the distance term j 2 corresponding to the minimum of said cost function H a = a0 is close by values lower than a statistical error v, preferably of the form v = L - N;
- ledit intervalle d'intérêt des valeurs du paramètre G(c) étant délimité par une borne inférieure Gmin et une borne supérieure Gmax, le procédé comporte une étape de détermination des valeurs des bornes inférieure et supérieure ; - Said interval of interest of the values of the parameter G (c) being delimited by a lower bound G min and an upper bound G max, the method comprises a step of determining the values of the lower and upper bounds;
- il comporte une étape de décomposition en cumulants d'un signal de Taylor normalisé s(t) associé au signal de Taylor expérimental S(t) par le relation : s(t) = S (t)/S( t0 ) , consistant à ajuster à la courbe ln s( ] un polynôme du second ordre de la variable (t - t0 )2 de manière à déterminer les cumulants de premier ordre Γλ et de second ordre Γ2 , et en ce que ladite étape de détermination des valeurs des bornes inférieure G et supérieure G^ utilise les équations :
it comprises a cumulative decomposition step of a normalized Taylor signal s (t) associated with the experimental Taylor signal S (t) by the relation: s (t) = S (t) / S (t 0 ), adjusting a second-order polynomial of the variable (t - t 0 ) 2 to the curve ln s (] so as to determine the first order cumulants Γ λ and the second order Γ 2 , and in that said step of determination of the values of the lower bounds G and higher G ^ uses the equations:
où β et T'sont respectivement la moyenne et l'écart-type du logarithme du paramètre G d'une distribution log-normale, puis, where β and T are respectively the mean and the standard deviation of the logarithm of the G parameter of a log-normal distribution, then,
G* = exp(/?-£V2>) et G^ = exp(/? + 2>) ;
- ladite étape de détermination des valeurs des bornes inférieure et supérieure de l'intervalle d'intérêt est empirique et consiste à : G * = exp (/? - £ V2>) and G ^ = exp (/? + 2>); said step of determining the values of the lower and upper bounds of the interval of interest is empirical and consists of:
- déterminer un signal de Taylor normalisé s(t) associé au signal de Taylor expérimental S(t) par la relation : s(t) = S (t)/S( t0 ) , determining a normalized Taylor signal s (t) associated with the experimental Taylor signal S (t) by the relation: s (t) = S (t) / S (t 0 ),
- calculer le logarithme ln[s(t)] , calculate the logarithm ln [s (t)],
. . . . 9 ln s , . , , , , . . . . 9 ln s,. ,,,,
- déterminer la dérivée—— par rapport a la variable x = (t - t0 ) , et - determine the derivative - with respect to the variable x = (t - t 0 ), and
dx dx
- déterminer les valeurs des paramètres et reliés aux extrema de ladite dérivée selon les relations :
determining the values of the parameters and related to the extrema of said derivative according to the relationships:
-1 / 2 -1 / 2
^"inax ^ max^ " inax ^ max
avec amin = 0,1 ; = 3 with a min = 0.1; = 3
- déterminer les bornes inférieure G^ et supérieure G^ en utilisant les équations : - determine the lower bounds G ^ and higher G ^ using the equations:
- pour c=1 : G^ = , = τ 2 - for c = 1: G ^ =, = τ 2
'; - min '; - min
- pour c=-1 : GA = τ^η , G^ = τ^χ , for c = -1: G A = τ ^ η , G ^ = τ ^ χ ,
6 6
ί- ί-
- pour c= -1/cf = -(1 +a) 3 : G^ = , G^ = l+a - for c = -1 / cf = - (1 + a) 3: G ^ =, G ^ = l + a
' max 'max
- il comporte une étape de mesure d'une moyenne en T, (G)T , du paramètre G(1) à partir du signal de Taylor expérimental et/ou d'une moyenne en Γ , (G)R , du paramètre G(1) à partir de la décomposition en cumulants, chaque moyenne pouvant être utilisée dans une contrainte que doit respecter la distribution d'amplitudes P(GM ) solution de l'équation précédente ; it comprises a step of measuring a T average, (G) T , of the parameter G (1) from the experimental Taylor signal and / or of an average in Γ, (G) R , of the parameter G (1) from the decomposition into cumulants, each average being able to be used in a constraint which must respect the distribution of amplitudes P (G M ) solution of the preceding equation;
- ladite étape de détermination des valeurs des bornes inférieure Gmin et supérieure Gmax utilise les équ said step of determining the values of the lower terminals G min and upper G max uses the equals
puis
G* = exp(/?-*V2>) et = exp(/? + 2>). then G * = exp (/? - * V2>) and = exp (/? + 2>).
L'invention a également pour objet un support d'enregistrement d'informations, comportant des instructions pour l'exécution d'un procédé de détermination de la distribution en rayon hydrodynamique ou en coefficient de diffusion ou en masse molaire d'un mélange d'espèces moléculaires ou particulaires tel que défini ci-dessus, lorsque les instructions sont exécutées par un calculateur électronique. The invention also relates to an information recording medium, comprising instructions for carrying out a method for determining the hydrodynamic radius distribution or diffusion coefficient or molar mass of a mixture of Molecular or particulate species as defined above, when the instructions are executed by an electronic calculator.
L'invention a enfin pour objet un système de détermination de la distribution en rayon hydrodynamique ou en coefficient de diffusion ou en masse molaire d'un mélange d'espèces moléculaires ou particulaires, comportant un calculateur électronique, ledit calculateur électronique étant programmé pour exécuter un procédé de détermination de la distribution en rayon hydrodynamique ou en coefficient de diffusion ou en masse molaire d'un mélange d'espèces moléculaires ou particulaires tel que défini ci-dessus. Finally, the subject of the invention is a system for determining the hydrodynamic radius distribution or diffusion coefficient or molar mass distribution of a mixture of molecular or particulate species, comprising an electronic calculator, said electronic calculator being programmed to perform a method for determining the hydrodynamic radius distribution or diffusion coefficient or molar mass of a mixture of molecular or particulate species as defined above.
D'autres caractéristiques et avantages de l'invention ressortiront plus clairement de la description détaillée qui va suivre, donnée à titre indicatif et nullement limitatif, et faite en se référant aux dessins annexés, sur lesquels : Other features and advantages of the invention will emerge more clearly from the detailed description which follows, given by way of indication and in no way limitative, and with reference to the appended drawings, in which:
- La figure 1 est une représentation schématique d'un système de détermination de la distribution en taille d'un mélange de particules ; FIG. 1 is a schematic representation of a system for determining the size distribution of a mixture of particles;
- la figure 2 est une représentation, sous forme de blocs, du procédé de détermination en taille d'un mélange de particules, mis en œuvre par le système de la figure 1 ; et, FIG. 2 is a representation, in block form, of the size determination method of a mixture of particles, implemented by the system of FIG. 1; and,
- les figures 3 à 5 sont des graphes représentant les résultats de la mise en œuvre du procédé de la figure 2 dans le cas d'un mélange équimassique de deux échantillons de polymères synthétiques : la figure 3 présente l'accumulation de trois répétitions du signal de Taylor expérimental; la figure 4 montre la distribution de rayon hydrodynamique obtenue par la mise en œuvre du procédé de la figure 2, en comparaison de celle obtenue par chromatographie d'exclusion stérique et donnée par le fournisseur des échantillons de polymères synthétiques ; et, la figure 5A montre l'ajustement du signal de Taylor par le procédé de la figure 2 et la figure 5B la décomposition en cumulants du signal de Taylor expérimental de la figure 3. Dispositif expérimental FIGS. 3 to 5 are graphs representing the results of the implementation of the method of FIG. 2 in the case of an equimassic mixture of two samples of synthetic polymers: FIG. 3 shows the accumulation of three repetitions of the signal experimental Taylor; FIG. 4 shows the hydrodynamic radius distribution obtained by the implementation of the process of FIG. 2, in comparison with that obtained by steric exclusion chromatography and given by the supplier of the synthetic polymer samples; and FIG. 5A shows the fit of the Taylor signal by the method of FIG. 2 and FIG. 5B the cumulative decomposition of the experimental Taylor signal of FIG.
En se référant à la figure 1 , le système de détermination en taille d'un mélange de particules 2 comporte un dispositif expérimental 3, propre à générer un phénomène de dispersion de Taylor et à générer un signal de Taylor expérimental, et un dispositif d'analyse 5, propre à analyser le signal de Taylor expérimental obtenu en sortie du
dispositif expérimental 3 afin de déterminer, en temps réel, la distribution en taille du mélange de particules dont un échantillon a été injecté dans le dispositif expérimental. Referring to FIG. 1, the size determination system of a mixture of particles 2 comprises an experimental device 3, capable of generating a Taylor dispersion phenomenon and generating an experimental Taylor signal, and a device for analysis 5, suitable for analyzing the experimental Taylor signal obtained at the output of the experimental device 3 to determine, in real time, the size distribution of the mixture of particles from which a sample has been injected into the experimental device.
Le dispositif expérimental 3 comporte, comme connu en soi, un capillaire 6. The experimental device 3 comprises, as known per se, a capillary 6.
Le dispositif expérimental 3 comporte, au voisinage d'une extrémité du capillaire 6, une section d'injection 7, et au voisinage de l'autre extrémité du capillaire 6, une section de détection 9. The experimental device 3 comprises, in the vicinity of one end of the capillary 6, an injection section 7, and in the vicinity of the other end of the capillary 6, a detection section 9.
La section d'injection 7 comporte un moyen 1 1 conçu pour l'injection, à l'intérieur du capillaire 6, d'un échantillon du mélange à analyser. La section d'injection 7 comporte également des moyens conçus pour autoriser l'écoulement d'un éluant à l'intérieur du capillaire 6, depuis la section d'injection 7 jusqu'à la section de détection 9. Ces moyens d'écoulement sont représentés schématiquement sur la figure 1 par le bloc 1 3. The injection section 7 comprises a means 1 1 designed for injecting, inside the capillary 6, a sample of the mixture to be analyzed. The injection section 7 also comprises means designed to allow the flow of an eluent inside the capillary 6, from the injection section 7 to the detection section 9. These flow means are shown schematically in Figure 1 by the block 1 3.
La section de détection 9 est du type optique. Elle est équipée d'une cellule optique qui comporte une source de lumière S, et un système optique 1 5, propre à faire converger les rayons lumineux issus de la source S sur une portion étroite du capillaire 6. Le long de l'axe optique du système optique 15, mais de l'autre côté de la portion du capillaire 6 éclairée, la cellule comporte un capteur 1 7, du type CCD ou barrette de diode ou photomultiplicateur, propre à collecter la lumière ayant traversé le capillaire 6 et à générer un signal de détection correspondant à la lumière collectée. Le capteur 1 7 est connecté électriquement à une carte électronique 19 de prétraitement et de numérisation du signal de détection généré par le capteur 1 7. La carte 19 délivre en sortie un signal de mesure numérique, qui dépend du temps. Ce signal de mesure est également dénommé signal de The detection section 9 is of the optical type. It is equipped with an optical cell comprising a light source S, and an optical system 1 5, able to converge the light rays from the source S on a narrow portion of the capillary 6. Along the optical axis of the optical system 15, but on the other side of the portion of the illuminated capillary 6, the cell comprises a sensor 17, of the CCD or diode or photomultiplier type, adapted to collect the light having passed through the capillary 6 and to generate a detection signal corresponding to the collected light. The sensor 1 7 is electrically connected to an electronic card 19 for preprocessing and digitizing the detection signal generated by the sensor 1 7. The card 19 outputs a digital measurement signal, which depends on the time. This measurement signal is also called a signal of
Taylor expérimental ou Taylorgramme. Il est noté S(t) dans ce qui suit. Il dépend du temps t . Experimental Taylor or Taylorgramme. It is noted S (t) in the following. It depends on the time t.
Le signal de Taylor expérimental S(t) est échantillonné à une fréquence temporelle prédéterminée si bien que les points d'échantillonnage tk (k = 1 ,.., L) sont régulièrement espacés. Le signal de Taylor expérimental S(t) consiste ainsi en un ensemble de L paires de données (tk, S(tk ) ). The experimental Taylor signal S (t) is sampled at a predetermined time frequency so that the sampling points t k (k = 1, .., L) are regularly spaced. The experimental Taylor signal S (t) thus consists of a set of L data pairs (t k , S (t k )).
En variante, la section de détection peut être d'un autre type, par exemple conductimétrique, par spectrométrie de masse, par fluorescence (éventuellement induite par laser), électrochimique, à diffusion de lumière, et, plus généralement, tout type de détecteur utilisé en électrophorèse capillaire. En particulier, le signal de Taylor peut être non plus un signal temporel (défilement du pic de Taylor devant un capteur étroit), mais un signal spatial (capture instantanée du pic de Taylor devant un capteur étendu). Dans ce cas la variable t ne représente plus le temps mais la position le long du capillaire.
Le dispositif d'analyse 5 consiste en un ordinateur comportant une interface d'entrée/sortie 21 à laquelle la carte électronique 1 9 du dispositif expérimental 3 est connectée. Alternatively, the detection section may be of another type, for example conductimetric, by mass spectrometry, fluorescence (possibly laser-induced), electrochemical, light scattering, and, more generally, any type of detector used. in capillary electrophoresis. In particular, the Taylor signal can be either a temporal signal (Taylor peak scroll in front of a narrow sensor), but a spatial signal (instantaneous capture of the Taylor peak in front of an extended sensor). In this case the variable t no longer represents the time but the position along the capillary. The analysis device 5 consists of a computer having an input / output interface 21 to which the electronic card 19 of the experimental device 3 is connected.
L'ordinateur comporte également une mémoire 23, telle qu'une mémoire vive RAM et/ou une mémoire morte ROM, ainsi qu'une unité de calcul 25, telle qu'un microprocesseur. L'ordinateur comporte également des moyens d'interface homme/machine, repérés par le chiffre 27 sur la figure 1 . Ceux-ci comportent par exemple un écran tactile permettant à un utilisateur d'interagir avec l'ordinateur 5. L'ensemble des éléments constitutifs de l'ordinateur sont reliés entre eux de manière connue en soi, par exemple par l'intermédiaire d'un bus d'échange de données. The computer also has a memory 23, such as a random access memory RAM and / or a ROM, and a calculation unit 25, such as a microprocessor. The computer also comprises man / machine interface means, identified by the numeral 27 in FIG. These include for example a touch screen allowing a user to interact with the computer 5. All the components of the computer are interconnected in a manner known per se, for example via a data exchange bus.
Le traitement du signal de Taylor expérimental S(t) est réalisé par un logiciel applicatif dont les instructions sont stockées dans la mémoire 23 et exécutées par l'unité de calcul 25. Ce logiciel applicatif est représenté schématiquement sur la figure 1 par le bloc 31 . Modélisation du signal de Taylor The processing of the experimental Taylor signal S (t) is carried out by an application software whose instructions are stored in the memory 23 and executed by the calculation unit 25. This application software is shown schematically in FIG. 1 by the block 31. . Modeling Taylor's signal
De manière connue, en faisant les hypothèses que i) la contribution de la diffusion selon l'axe du capillaire 6 à la dispersion au niveau du sommet du signal est négligeable, que ii) le temps d'injection de l'échantillon dans le capillaire 6 est suffisamment court (typiquement, le volume injecté est inférieur à 1 % du volume du capillaire), et que iii) le dispositif de détection est sensible à la masse des molécules, le signal de Taylor réel S(t) d'un échantillon monodisperse, c'est-à-dire ne comportant qu'une seule espèce et, par conséquent, caractérisé par une valeur du rayon hydrodynamique Rh ou du coefficient de diffusion D, est modélisé par une fonction gaussienne : In known manner, making the assumptions that i) the contribution of the diffusion along the axis of the capillary 6 to the dispersion at the top of the signal is negligible, that ii) the injection time of the sample in the capillary 6 is sufficiently short (typically, the injected volume is less than 1% of the volume of the capillary), and iii) the detection device is sensitive to the mass of the molecules, the actual Taylor signal S (t) of a sample monodisperse, that is to say comprising only one species and, consequently, characterized by a value of the hydrodynamic radius R h or the diffusion coefficient D, is modeled by a Gaussian function:
(1 -)
(1 -)
où or
C est une constante instrumentale, It's an instrumental constant,
/W est la masse molaire de l'espèce, / W is the molar mass of the species,
p est la concentration molaire de l'espèce, p is the molar concentration of the species,
Rc est le rayon interne du capillaire, R c is the internal radius of the capillary,
t0 est l'instant correspondant au sommet du signal de Taylor, ett 0 is the time corresponding to the peak of the Taylor signal, and
B est un terme constant (« offset » en anglais) constituant un artefact de mesure (ce terme sera omis dans la description qui va suivre pour des
raisons de clarté et puisqu'il est pris en compte dans la méthode de régularisation contrainte). B is a constant term ("offset" in English) constituting a measurement artifact (this term will be omitted in the description which follows for reasons of clarity and since it is taken into account in the constraint regularization method).
Il est à souligner que l'hypothèse iii) dépend de la nature du capteur utilisé dans la section de détection et que l'utilisation d'un autre type de capteur conduit à modifier les équation présentées dans ce document d'une manière se trouvant à la portée de l'homme du métier. It should be emphasized that the hypothesis iii) depends on the nature of the sensor used in the detection section and that the use of another type of sensor leads to modifying the equations presented in this document in a way that is the scope of the skilled person.
Le signal de Taylor réel 5(0 d'un échantillon polydisperse, c'est-à-dire comportant plusieurs espèces, est modélisé pour la somme des contributions de chacune des espèces. Ainsi, en faisant l'hypothèse d'un mélange comportant un continuum d'espèces, l'équation (1 ) est généralisée par une somme continue de fonctions gaussiennes selon : The actual Taylor signal (0 of a polydisperse sample, i.e., multi-species sample) is modeled for the sum of the contributions of each species, thus assuming a mixture with a Continuum of species, equation (1) is generalized by a continuous sum of Gaussian functions according to:
S(t) = Γ CM )]dD , (2.) S (t) = Γ CM)] dD, (2.)
Dans l'équation (2), les fonctions gaussiennes sont toutes centrées sur le même instant de référence t0 . In equation (2), the Gaussian functions are all centered on the same reference time t 0 .
On introduit le paramètre G = 12D/(i¾ ) de sorte que l'équation (2) devienne: 5(0 = Γ P(G) G exp[- {t - t0 )2 G]dG , (3.) où P(G) est dite, dans ce qui suit, « distribution d'amplitude » des fonctions gaussiennes de paramètre G . We introduce the parameter G = 12D / (i¾) so that equation (2) becomes: 5 (0 = Γ P (G) G exp [- {t - t 0 ) 2 G] dG, (3.) where P (G) is hereinafter referred to as "amplitude distribution" of Gaussian functions of parameter G.
Une valeur du paramètre G est associée, à travers le coefficient de diffusion D, à une espèce. Par exemple, la formule de Stokes-Einstein-Sutherland permet d'associer à une valeur du paramètre G , l'espèce caractérisée par le rayon hydrodynamique Rh , conformément à la relation : A value of the parameter G is associated, through the diffusion coefficient D, with a species. For example, the Stokes-Einstein-Sutherland formula makes it possible to associate with a value of the parameter G, the species characterized by the hydrodynamic radius R h , according to the relation:
G = 2kf (4.) où : G = 2k f (4.) where:
kB est la constante de Boltzmann, k B is Boltzmann's constant,
- T est la température absolue exprimée en degré Kelvin à laquelle s'effectue l'expérience, et - T is the absolute temperature expressed in Kelvin degree at which the experiment is carried out, and
η est la viscosité de l'éluant utilisé. η is the viscosity of the eluent used.
Ainsi, dans l'équation (3), chaque fonction gaussienne P(G)VG exp[-(i -i0)2G] représente la contribution d'une espèce à l'amplitude totale du signal de Taylor réel 5(0■ L'amplitude P(G) de chaque fonction gaussienne dépend directement de la concentration de l'espèce correspondante dans le mélange.
La fonction du logiciel applicatif 31 est de déterminer la distribution P(G) qui est solution de l'équation suivante qui correspond à l'équation (3) lorsque l'on remplace le signal de Ta lor réel 5(0 par le signal de Taylor expérimental 5(0 :
Erreur de mesure introduite par le dispositif expérimentalThus, in equation (3), each Gaussian function P (G) VG exp [- (i -i 0 ) 2 G] represents the contribution of a species to the total amplitude of the actual Taylor signal (0 ■ The amplitude P (G) of each Gaussian function depends directly on the concentration of the corresponding species in the mixture. The function of the application software 31 is to determine the distribution P (G) which is the solution of the following equation which corresponds to the equation (3) when the actual signal Ta lor (0 is replaced by the signal of Experimental Taylor 5 (0: Measurement error introduced by the experimental device
Comme tout dispositif de mesure, la section de détection 9 introduit une erreur de mesure systématique de sorte que le signal de Taylor expérimental 5(0 n'est pas exactement égal au signal de Taylor réel 5(0■ Like any measuring device, the detection section 9 introduces a systematic measurement error so that the experimental Taylor signal (0 is not exactly equal to the actual Taylor signal 5 (0
La résolution de l'équation (5) conduit alors à la détermination de plusieurs distributions qui sont, chacune, solutions à l'erreur de mesure près. Dit autrement, la résolution de l'équation (5) conduit à identifier plusieurs familles de fonctions gaussiennes qui, chacune, conduisent par sommation à un signal de Taylor reconstruit qui est ajusté au signal de Taylor
The resolution of equation (5) then leads to the determination of several distributions which are, each, solutions to the measurement error. In other words, the resolution of equation (5) leads to the identification of several families of Gaussian functions that each lead by summation to a reconstructed Taylor signal that is adjusted to the Taylor signal.
expérimental 5(0 , le critère d'ajustement tenant compte de l'erreur de mesure introduite par la section de détection. Experimental 5 (0, the adjustment criterion taking into account the measurement error introduced by the detection section.
Pourtant, parmi les différentes distributions P(G) qui sont solutions de l'équation Yet among the different distributions P (G) which are solutions of the equation
(5), seules certaines d'entre elles possèdent une signification physique. C'est une telle solution « physique » que le logiciel applicatif 31 est apte à déterminer. (5), only some of them have a physical meaning. It is such a "physical" solution that the application software 31 is able to determine.
Méthode de détermination de la distribution qui a un sens physique Determination method of the distribution that has a physical meaning
Pour résoudre ce problème, le logiciel applicatif 31 utilise un algorithme mettant en œuvre une méthode de régularisation contrainte (« constrained regularization method » en anglais). To solve this problem, the application software 31 uses an algorithm implementing a constrained regularization method.
Cet algorithme est fondé sur l'équation suivante résultant d'une discrétisation par rapport au paramètre G de l'équation (5) :
This algorithm is based on the following equation resulting from a discretization with respect to parameter G of equation (5):
où l'intervalle des valeurs d'intérêt du paramètre G , entre les bornes prédéfinies inférieure = G0 et supérieure G^ = GN , est subdivisé en N sous intervalles
identifiés par l'entier m et de longueur cm . De préférence, les différents sous intervalles where the interval of the values of interest of the parameter G, between the predefined terminals lower = G 0 and higher G ^ = G N , is subdivided into N at intervals identified by the integer m and of length c m . Preferably, the different subintervals
G —G G -G
ont une même longueur : cm = N 0 have the same length: c m = N 0
Les bornes sont telles que l'intervalle sur lequel l'équation (6) est discrétisée excède l'intervalle pour lequel la distribution P(G) est non nulle. De ce fait P(Gi) = P(GN)= 0. The bounds are such that the interval over which equation (6) is discretized exceeds the interval for which the distribution P (G) is non-zero. As a result P (Gi) = P (G N ) = 0.
Les inconnues de l'équation (6) sont constituées par l'ensemble des amplitudes The unknowns of equation (6) are constituted by the set of amplitudes
P(G , m = \,...N . P (G, m = \, ... N.
En principe, la résolution de l'équation (6) passe par un processus d'ajustement du si nal de Taylor expérimental S(t) par le signal de Taylor reconstruit s ,
- t G . C'est-à-dire que pour, tout instant tk , S'{tk ) doit être aussi proche que possible de S(tk ) . In principle, the resolution of equation (6) goes through a process of adjustment of Taylor's experimental Taylor's S (t) by the reconstructed Taylor's signal , - t G. That is, for any instant t k , S '(t k ) must be as close as possible to S (t k ).
Afin d'obtenir des résultats robustes et ayant un sens physique, il est cependant nécessaire de prendre en compte toutes les informations disponibles sur les amplitudes P(Gm ) lors du processus d'ajustement de façon à rejeter toutes les solutions qui ne sont pas physiquement acceptables. In order to obtain robust and physically meaningful results, however, it is necessary to take into account all the information available on the amplitudes P (G m ) during the adjustment process in order to reject all solutions that are not physically acceptable.
Pour ce faire, l'algorithme par régularisation contrainte résout l'équation (6) en minimisant une fonction de coût dépendante des N inconnues P(Gm ) et traduisant sous forme de contraintes les informations dont on dispose sur les amplitudes P(Gm ) . To do this, the constrained regularization algorithm solves equation (6) by minimizing a cost function dependent on the unknown N's P (G m ) and translating as constraints the information available on the amplitudes P (G m). ).
Dans le mode de réalisation actuellement envisagé, la fonction de coût Ha prend la forme suivante : In the presently envisaged embodiment, the cost function H a takes the following form:
Ηα = χ2 + αΑ2 (7.)Η α = χ 2 + αΑ 2 (7.)
Elle comporte un premier terme χ2 correspondant à une « distance » entre le signal de Taylor expérimental S(tk ) et le signal de Taylor reconstruit S' (tk ) . It comprises a first term χ 2 corresponding to a "distance" between the experimental Taylor signal S (t k ) and the reconstructed Taylor signal S '(t k ).
Par exemple, ce premier terme est une distance du type « moindres carrés » : For example, this first term is a "least squares" distance:
La fonction de coût Ha comporte un deuxième terme Δ2 , dit terme de contrainte, exprimant une contrainte pénalisant les amplitudes P(Gm) qui n'ont pas de sens physique.
Par exemple : The cost function H has a second term Δ 2 , called a constraint term, expressing a constraint penalizing the amplitudes P (G m ) which have no physical meaning. For example :
Δ2 =∑1=2 ) - 2p G m ) + P(Gm+l )Ρ (9-)Δ 2 = Σ1 = 2 ) - 2p G m ) + P (G m + 1 ) Ρ (9-)
Dans cet exemple, le terme de contrainte correspond à la somme des termes élevés au carré de la dérivée seconde de la distribution P(G). Le terme de contrainte traduit une contrainte de régularité. Les amplitudes P(Gm) qui varient trop rapidement par rapport à leurs voisines, PiG^) ou P(Gm+l ) , sont ainsi pénalisées. In this example, the constraint term is the sum of the squared terms of the second derivative of the P (G) distribution. The term constraint reflects a regularity constraint. The amplitudes P (G m ) which vary too rapidly with respect to their neighbors, PiG ^) or P (G m + 1 ), are thus penalized.
Un autre exemple de contrainte de régularité est le suivant: Another example of a regularity constraint is:
Ce terme de contrainte correspond à la somme des termes élevés au carré de la dérivée troisième de la distribution P(G). La généralisation à une contrainte de régularité fondée sur la dérivée n-ème ( n≥ 1 ) est immédiate et à la portée de l'homme du métier. This constraint term is the sum of the squared terms of the third derivative of the P (G) distribution. The generalization to a regularity constraint based on the n-th derivative (n 1 1) is immediate and within the reach of a person skilled in the art.
Dans ce qui suit, il est fait l'hypothèse que la contrainte de régularité utilisée est celle sur la dérivée seconde de la distribution P(G), Eq. (9). In what follows, it is assumed that the regularity constraint used is that on the second derivative of the distribution P (G), Eq. (9).
Les premier et deuxième termes de la fonction de coût Ha ont des contributions relatives qui peuvent être adaptées en choisissant la valeur d'un coefficient , dit de Lagrange. Ce coefficient contrôle l'importance du terme de contrainte par rapport au terme de distance. Si est très petit, le terme de contrainte est négligeable. Dans ce cas, la minimisation de la fonction de coût mène au même résultat qu'un simple ajustement aux données expérimentales. Pour des valeurs trop grandes de , au contraire, un coût important est donné à la contrainte sur les P(G) et l'algorithme rejettera les solutions qui ne respectent pas la contrainte avec le risque de conserver une solution qui ne s'ajuste pas correctement aux données expérimentales. The first and second terms of the cost function H a have relative contributions which can be adapted by choosing the value of a coefficient, called Lagrange. This coefficient controls the importance of the term of constraint with respect to the term of distance. If is very small, the term constraint is negligible. In this case, the minimization of the cost function leads to the same result as a simple adjustment to the experimental data. For values that are too large, on the contrary, a significant cost is given to the constraint on the P (G) and the algorithm will reject the solutions that do not respect the constraint with the risk of keeping a solution that does not fit. correctly to the experimental data.
Des contraintes supplémentaires, exprimables sous forme d'égalités où d'inégalités linéaires en P(Gm) sont imposées directement lors de la recherche du minimum de la fonction de coût, en limitant la recherche à des sous régions spécifiques de l'espace des P(Gm). Additional constraints, expressible in the form of equalities where linear inequalities in P (G m ) are imposed directly in the search for the minimum of the cost function, by limiting the search to specific sub-regions of the space of the P (G m ).
Par exemple la contrainte que les amplitudes sont positives, P(Gm )≥0 Vm , est imposée en minimisant la fonction de coût uniquement sur le demi-espace des amplitudes positives. For example, the constraint that the amplitudes are positive, P (G m ) ≥0 Vm, is imposed by minimizing the cost function only on the half-space of the positive amplitudes.
Par exemple encore, si l'on détermine par ailleurs la valeur d'une moyenne (G) du paramètre G, une contrainte supplémentaire sur les amplitudes P(Gm) solutions de l'équation (6) est que ces amplitudes permettent d'obtenir la moyenne (G)
précédemment déterminée, à un écart ε près. Cette contrainte s'exprime elle aussi sous forme d'inégalités linéaires en P(Gm) i For example, if we also determine the value of a mean (G) of the parameter G, an additional constraint on the amplitudes P (G m ) solutions of equation (6) is that these amplitudes make it possible to get the average (G) previously determined, to a difference ε near. This constraint is also expressed in the form of linear inequalities in P (G m ) i
Avec, par exemple : el(G) = 5% . With, for example: el (G) = 5%.
L'équation 12 peut facilement être généralisée à des types de moyennes autres que la moyenne arithmétique : Equation 12 can easily be generalized to types of averages other than the arithmetic mean:
(G) =∑m N =l p^G m (12) par exemple aux moyennes (G) et (G) qui seront introduites dans la suite. ( G ) = Σ m N = l p ^ G m (12) for example to the means (G) and (G) which will be introduced later.
Un point crucial est le choix du coefficient de la fonction de coût Ha Dans l'équation 7. Deux stratégies peuvent être utilisées pour le choix du coefficient : A crucial point is the choice of the coefficient of the cost function H a In equation 7. Two strategies can be used for the choice of the coefficient:
- Une première stratégie consiste à choisir la plus grande valeur de telle que la valeur du terme de distance j2 ne dépasse pas la valeur statistiquement attendue qui dépend de l'erreur de mesure et du nombre de degré de liberté dans le processus de régularisation contrainte. Ainsi, si pour chaque point expérimental, l'écart type de l'erreur de mesure ak , est connu, est choisi pour que la valeur normalisée χη 2 οηη du terme de distance j2 n'excède pas le nombre de degrés de liberté : v = L - N , où χη τ οηη est donné par l'équation :
A first strategy consists in choosing the largest value such that the value of the distance term j 2 does not exceed the statistically expected value which depends on the measurement error and the number of degrees of freedom in the constraint regularization process. . Thus, if for each experimental point, the standard deviation of the measurement error a k , is known, is chosen so that the normalized value χ η 2 οηη of the distance term j 2 does not exceed the number of degrees of freedom: v = L - N, where χ η τ οηη is given by the equation:
Si l'écart type du bruit ak n'est pas connue, une valeur estimée oest de celui-ci peut être déterminée à partir de l'écart moyen entre les données expérimentales et le meilleur ajustement possible sans tenir compte de la contrainte, c'est-à-dire celui obtenu pour a =0, : =^∑N k=1 (s'(tk )(a = 0) - S(tk )f , (1 1 .) où S' (tk )(a = 0) est la valeur du / -ième point de signal de Taylor reconstruit à partir des amplitudes P(Gm) obtenues en minimisant uniquement le premier terme de la fonction de coût Ha=0 .
Une fois le bruit estimé, est choisi pour que la valeur normalisée χΙοηη du terme de distance j2 , calculée en remplaçant dans l'équation (12) les ak par aest , n'excède pas le nombre de degrés de liberté : v = L - N If the standard deviation of the noise is not known k, o is an estimated value of it can be determined from the average difference between the experimental data and the best fit regardless of the strain, that is, the one obtained for a = 0,: = ^ Σ N k = 1 (s '(t k ) (a = 0) - S (t k ) f, (1 1.) where S' (t k ) (a = 0) is the value of the reconstructed Taylor point of the Taylor signal from the amplitudes P (G m ) obtained by minimizing only the first term of the cost function H a = 0 . Once the estimated noise is chosen so that the normalized value χΙ οηη of the distance term j 2 , calculated by replacing in equation (12) the a k by a is , does not exceed the number of degrees of freedom: v = L - N
- Une seconde stratégie consiste à choisir une valeur de qui donne un poids égal au terme de distance et au terme de contrainte. - A second strategy consists in choosing a value of which gives a weight equal to the term of distance and the term of constraint.
Dans ce cas, le paramètre retenu est celui pour lequel, une fois la fonction de contrainte Ha minimisée, on a χ2 = Az . In this case, the parameter retained is that for which, once the constraint function H has minimized, we have χ 2 = A z .
En pratique, le choix de se fait alors en balayant une large gamme de valeurs du coefficient . Pour chaque valeur de , l'ensemble des amplitudes P(Gm) minimisant la fonction de coût Ha est déterminé. Les valeurs correspondantes de χΙοηη , Ha et P(Gm) sont enregistrées. Parmi tous les essais, le coefficient de Lagrange 0 ayant la valeur la plus grande telle que χη 2 οπη < y est finalement retenu. In practice, the choice is then done by scanning a wide range of values of the coefficient. For each value of, the set of amplitudes P (G m ) minimizing the cost function H a is determined. The corresponding values of χΙ οηη , H a and P (G m ) are recorded. Among all the tests, the coefficient of Lagrange 0 having the greatest value such that χ η 2 οπη <y is finally retained.
Pour améliorer l'efficacité de recherche numérique, on balaye d'abord les valeurs de sur une grille d'essai à pas important, puis raffiner la valeur de en utilisant une grille à pas plus fin. To improve the numerical search efficiency, one first scans the values of on a test grid with significant steps, then refine the value of using a grid with finer pitch.
Détermination de (G)ret de (G)r à partir d'un signal de Determination of (G) r and (G) r from a signal of
Taylor expérimental Experimental Taylor
Dans ce qui suit, sont présentées deux moyennes de G qui peuvent être obtenues directement à partir du signal de Taylor expérimental. In what follows, are presented two means of G that can be obtained directly from the experimental Taylor signal.
On définit la « mo enne en T » du aramètre G ar :
We define the "T-mo enne" of the arameter G ar:
et la « moyenne en Γ >> du paramètre G par : l \ ∑m=1 c mP(Gm )Gm /t and "average Γ >> parameter G by: l \ Σ m = 1 m P c (m G) G m / t
∑m=1 cmP(Gm )Gm où les cm sont ceux définis en relation avec l'équation (6). Σ m = 1 m P c (m G) G m where c m are as defined in connection with equation (6).
Le but de la détermination de ces moyennes est double : The purpose of determining these averages is twofold:
- permettre d'ajouter des contraintes sur les amplitudes P(Gm) lors de la résolution de l'équation (6) ;
- permettre d'estimer la moyenne et la largeur de la distribution P(G) . Cette information est non seulement intéressante en elle-même, mais elle permet également de déterminer l'intervalle des valeurs du paramètre G sur lequel rechercher une solution de l'équation (6). allow to add constraints on the amplitudes P (G m ) when solving equation (6); - to estimate the mean and the width of the distribution P (G). This information is not only interesting in itself, but it also makes it possible to determine the range of values of the parameter G on which to look for a solution of the equation (6).
(G)T et (p)r peuvent être calculées respectivement, à partir de la variance temporelle du signal de Taylor expérimental, et à partir de l'approche des cumulants comme présenté ci-dessous. (G) T and (p) r can be calculated respectively, from the temporal variance of the experimental Taylor signal, and from the cumulant approach as presented below.
Détermination de (G)t à partir de la variance temporelle du signal de Taylor expérimental Determination of (G) t from the temporal variance of the experimental Taylor signal
On montre ue : We show:
Ainsi, la moyenne en T du paramètre G est accessible par intégration du signal de Taylor expérimental. Thus, the T-average of the G parameter is accessible by integration of the experimental Taylor signal.
Avec G = 12D/(z?c 2i0 ) , la moyenne en Tdu paramètre D est donnée par : With G = 12D / (z? C 2 i 0 ), the T average of parameter D is given by:
Détermination de (G)r à partir d'une décomposition en cumulants du signal de Taylor expérimental Determination of (G) r from a cumulative decomposition of the experimental Taylor signal
On décrit dans cette partie la décomposition en cumulants du signal de Taylor expérimental dans le cas d'un échantillon modérément polydisperse. This section describes the cumulative decomposition of the experimental Taylor signal in the case of a moderately polydisperse sample.
On suppose que la distribution en taille est discrète. L'équation (2) devient alors : s< = c '∑ ti i Μ<· ^exP [~ ~ )2 2D (R )] (1 6-) It is assumed that the size distribution is discrete. Equation (2) becomes: s <= c 'Σ i ti Μ <^ · ex P [~ ~) 2 2D (R)] (1 6 -)
où pi est la concentration molaire de la ieme espèce dans le mélange, M, et D, respectivement les masse molaire et coefficient de diffusion de celle-ci. where p i is the molar concentration of the 1 st species in the mixture, M 1 and D, respectively the molar mass and the diffusion coefficient thereof.
Il est utile de « normaliser » le signal de Taylor par rapport à la hauteur de son sommet, en introduisant : It is useful to "normalize" the Taylor signal with respect to the height of its vertex, by introducing:
s(t) = S(t)/S(t0 ) = ft exp[- (t - t G (1 7.)
où : ;A/ ~) est la contribution relative de la ieme espèce dans
s (t) = S (t) / S (t 0 ) = f t exp [- (t - t G (1 7.) or : ; A / ~) is the relative contribution of the ith species
le signal de Taylor. Notons que ^dépend du coefficient de diffusion de la ième espèce. the Taylor signal. Note that ^ depends on the diffusion coefficient of the ith species.
La moyenne en Γ du paramètre G s'écrit alors : The average in Γ of the parameter G is then written:
En posant G, = (G) + SGt , avec (SG) = 0 , l'équation (19) devient : s(t) = exp[- {t - 10 f (G>r ]∑=i f, exp[- (i - 10 f âGt ], (19.) By putting G, = (G) + SG t , with (SG) = 0, equation (19) becomes: s (t) = exp [- {t - 1 0 f (G> r ] Σ = i f , exp [- (i - 1 0 fag t ], (19.)
qui est le produit d'une fonction gaussienne par des termes de correction. which is the product of a Gaussian function by terms of correction.
Si (t-t0fâGi « 1, c'est-à-dire à proximité du sommet du signal de Taylor, le développement limité du second terme de l'é uation 21 conduit à :If (tt 0 fâG i "1, that is to say near the top of the Taylor signal, the limited development of the second term of the e uation 21 leads to:
xp[ t-t SGi] = (20.) Ce qui conduit, dans l'équation (21), en utilisant f, = 1 et∑^ dGt = 0 à : s(t)=cxP t-t {G)r]^+^{t-t (SG2)r + .^ (21.) Dans le cas où la distribution en taille n'est pas trop large (c'est-à-dire pour un échantillon faiblement polydisperse), il est possible d'écrire le signal de Taylor normalisé s(t) comme la somme d'une fonction gaussienne (comme pour le cas d'un échantillon monodisperse) et de termes de correction (pour tenir compte d'un écart au cas monodisperse). xp [tt SG i ] = (20.) Which leads, in equation (21), using f, = 1 and Σ dG t = 0 to: s (t) = cx P tt {G) r ] ^ + ^ {tt (SG 2 ) r +. ^ (21.) In the case where the size distribution is not too wide (that is, for a weakly polydisperse sample), it is possible to write the normalized Taylor signal s (t) as the sum of a Gaussian function (as in the case of a monodisperse sample) and correction terms (to account for a discrepancy in the monodisperse case).
En prenant le logarithme de l'expression (23) et en effectuant un nouveau développement limité, on obtient : ln[s(t)] = -{t-t0)2{G)r+ {t-t0)4(SG2)r+... (22.) Taking the logarithm of the expression (23) and carrying out a new limited development, we get: ln [s (t)] = - {tt 0 ) 2 {G) r + {tt 0 ) 4 (SG 2 ) r + ... (22.)
L'équation (24) est le développement en cumulant recherché. Les coefficients T1=(G)r et r2=(^SG2^ sont les cumulants de premier et de second ordres de ce développement. Equation (24) is the development by cumulating. The coefficients T 1 = (G) r and r 2 = (^ SG 2 ^ are the first and second order cumulants of this development.
Ils peuvent être obtenus en ajustant un polynôme de second ordre de la variable They can be obtained by fitting a second-order polynomial of the variable
{t-t0f à la fonction ln[s(t)].
Le premier cumulant donne également accès à la moyenne en Γ du coefficient de diffusi
{tt 0 f to the function ln [s (t)]. The first cumulant also gives access to the average in Γ of the diffusion coefficient
La moyenne en Γ est différente de la moyenne en T discutée précédemment car le coefficient de diffusion D y apparaît avec des puissances différentes. Ces deux moyennes contiennent des informations différentes sur la distribution P(G). Elles permettent d'ajouter deux contraintes dans la fonction de coût à minimiser. The average in Γ is different from the average in T previously discussed because the diffusion coefficient D y appears with different powers. These two averages contain different information on the P (G) distribution. They allow to add two constraints in the cost function to minimize.
Le deuxième cumulant est relié à la moyenne en Γ de la variance de la distribution des coefficients de diffusion, ce qui donne une estimation de la polydispersité de l'échantillon. Plus précisément, le rapport du second cumulant divisé par le carré du premier cumulant donne : The second cumulant is related to the en average of the variance of the distribution of the diffusion coefficients, which gives an estimate of the polydispersity of the sample. More precisely, the ratio of the second cumulant divided by the square of the first cumulant gives:
Choix de l'intervalle des valeurs du paramètre G sur lequel rechercher une solution Choice of the range of values of parameter G on which to find a solution
Dans la procédure d'ajustement par régularisation contrainte, le choix de l'intervalle des valeurs de G sur lequel la distribution P(G) est recherchée est un facteur important. In the constrained regularization adjustment procedure, the choice of the range of values of G over which the P (G) distribution is sought is an important factor.
En effet, le nombre N de points utilisés dans la discrétisation de l'équation (6) ne peut pas être trop important, sinon le temps de calcul pour l'ajustement devient trop long. Indeed, the number N of points used in the discretization of equation (6) can not be too important, otherwise the calculation time for the adjustment becomes too long.
De plus, N doit être significativement plus petit que le nombre L de points de numérisation du signal de Taylor expérimental. In addition, N must be significantly smaller than the number L of scanning points of the experimental Taylor signal.
Des valeurs typiques de Λ/ sont dans la gamme 50-200. Typical values of Λ / are in the range 50-200.
Ces considérations montrent que l'intervalle [Gmin, Gmax] (Gmin = Go et Gmax = GN) doit être choisi avec précaution. These considerations show that the interval [G min , G max ] (G min = GB and G max = G N ) must be chosen carefully.
Cependant, l'intervalle [Gmin, Gmax] doit être plus grand que l'intervalle sur lequel la distribution P(G) est non nulle, pour éviter d'introduire des artefacts dus à la troncature de cette distribution. However, the interval [G min , G max ] must be greater than the interval over which the distribution P (G) is non-zero, to avoid introducing artifacts due to the truncation of this distribution.
Par ailleurs, si l'intervalle sur lequel la distribution P(G) est non nulle est un sous intervalle trop étroit de l'intervalle [Gmin, Gmax], les détails de la distribution P(G) seront faiblement résolus lors de la discrétisation.
Il est par ailleurs primordial de définir une procédure automatique permettant de déterminer Gmin et Gmax, de façon à ce que l'utilisateur ne perde pas de temps à bien choisir les bornes de l'intervalle, en évitant une succession d'essais/erreurs. On the other hand, if the interval over which the distribution P (G) is non-zero is a too narrow subinterval of the interval [G min , G max ], the details of the distribution P (G) will be weakly resolved during the discretization. It is also important to define an automatic procedure to determine G min and G max , so that the user does not waste time to choose the terminals of the interval, avoiding a series of tests / errors.
Nous proposons trois approches possibles pour déterminer Gmin et Gmax. Les deux premières approches sont fondées sur le calcul de la distribution log-normale équivalente, tandis que la troisième est empirique et est fondée sur la représentation de ln[S(t)] en fonction de (t - 10)2 dans le même système d'axes que celui utilisé pour la décomposition en cumulants. We propose three possible approaches to determine G min and G max . The first two approaches are based on the calculation of the equivalent log-normal distribution, while the third is empirical and is based on the representation of ln [S (t)] as a function of (t - 1 0 ) 2 in the same axis system that used for cumulative decomposition.
Détermination de cet intervalle à partir d'une distribution log- normale Determination of this interval from a lognormal distribution
Distribution log-normale équivalente Equivalent log-normal distribution
Une distribution log-normale permet souvent de décrire assez correctement la distribution en taille d'un échantillon de polymère ou de particules : A log-normal distribution often describes the size distribution of a polymer or particle sample fairly well:
1 (ln G-β)2 1 (ln G-β) 2
PDF (G) (25.) PDF (G) (25.)
Gy^ln Gy ^ ln
où : or :
- PDF(G) est la densité de probabilité que les particules de l'échantillon aient une valeur de G comprise entre G et G+dG ; et, - PDF (G) is the density of probability that the particles of the sample have a value of G between G and G + dG; and,
- β et y sont respectivement la moyenne et l'écart type du logarithme du paramètre - β and y are respectively the mean and the standard deviation of the logarithm of the parameter
G, In G . G, In G.
Bien que la distribution log-normale puisse être un mauvais modèle pour des mélanges plus complexes, la détermination de la distribution log-normale équivalente d'un mélange quelconque est utile pour estimer l'intervalle des valeurs du paramètre G sur lequel la distribution P(G) solution de l'équation (6) est à rechercher. Although the log-normal distribution may be a bad model for more complex mixtures, the determination of the equivalent log-normal distribution of any mixture is useful for estimating the range of values of parameter G on which the P distribution ( G) solution of equation (6) is to be found.
La densité de probabilité PDF (G) dépend uniquement des deux paramètres β et y . Or, il est possible de déterminer ces deux paramètres à partir de (G)T et (G)r . The probability density PDF (G) depends only on the two parameters β and y. However, it is possible to determine these two parameters from (G) T and (G) r .
On a par définition : We have by definition:
En remplaçant l'équation (27) dans les équations (28) et (29), on obtient:
By replacing equation (27) in equations (28) and (29), we obtain:
7 = (29.)7 = (29.)
3 (0}Ί 3 (0} Ί
Il est aussi possible d'obtenir la distribution log-normale équivalente à partir des cumulants de premier et de second ordre selon les relations suivantes : It is also possible to obtain the equivalent log-normal distribution from the first and second order cumulants according to the following relationships:
En conclusion, il est possible de déterminer la distribution log-normale soit à partir de (G)T et (G)r selon les équations (30) et (31) ou bien à partir de et Γ2 en utilisant les équations (32) et (33). In conclusion, it is possible to determine the log-normal distribution either from (G) T and (G) r according to equations (30) and (31) or from and Γ 2 using equations (32). ) and (33).
Calcul des bornes de l'intervalle à partir de la distribution log-normale équivalente Calculation of the bounds of the interval from the equivalent log-normal distribution
Les Gmin et Gmax peuvent être estimés en remplaçant la distribution P(G) par une distribution log-normale équivalente. The G m i n and G max can be estimated by replacing the distribution P (G) by an equivalent lognormal distribution.
On cherche à ce que l'intervalle [Gmtn, GMAX] couvre une fraction significative de la distribution log-normale équivalente au signal de Taylor expérimental. Cette fraction de la distribution est donnée par :It is sought that the interval [G mtn , G MAX ] covers a significant fraction of the log-normal distribution equivalent to the experimental Taylor signal. This fraction of the distribution is given by:
QG = QG{GMAX)-QG{Gmin), (32.) où QG(G) est la probabilité cumulée définie par : Q G = Q G (G MAX ) -Q G {G min ), (32.) where Q G (G) is the cumulative probability defined by:
QG(G)= \ dG'PDF(G')- (33.) HQ (G) = \ dG'PDF (G ') - (33.)
Jo Jo
De plus, il est préférable que l'intervalle [QG(GM/N), QG(C )] soit réparti de façon symétrique par rapport à la valeur médiane QG = 1/2. D'où : In addition, it is preferable that the interval [Q G (G M / N ), QG (C)] is distributed symmetrically with respect to the median value Q G = 1/2. From where :
QG {Gmin ) = 1 _ QG {Gmax ) (34.)QG { G min) = 1 _ QG { G max) (34.)
Dans le cadre de cette hypothèse, l'équation (36) conduit : In this hypothesis, equation (36) leads to:
In in
erf β = 2QG{Gmax)-l = AQl (35.) ϊγ erf β = 2Q G {G max ) -l = AQ l (35.) ϊγ
où er est la fonction d'erreur connue de l'homme du métier. where er is the error function known to those skilled in the art.
Ceci mène à : This leads to:
InG^ =β + κ ϊγ soit =exp(/? + 2>) (36.)
et, InG ^ = β + κ ϊγ let = exp (/? + 2>) (36.) and,
lnG^ = β - ϊγ , soit = exp( ?- 2 ) (37.) avec k = erf ~1 (AQG ) où erf 1 est la fonction d'erreur inverse. lnG ^ = β - ϊγ, let = exp (? - 2) (37.) with k = erf ~ 1 (AQ G ) where erf 1 is the inverse error function.
Par exemple, si AQG = 99.53% alors k = 2, ou si AQG = 99.998%, alors k = 3. For example, if AQ G = 99.53% then k = 2, or if AQ G = 99.998%, then k = 3.
Détermination de cet intervalle de façon empirique à partir de la décomposition en cumulants Determination of this interval empirically from cumulative decomposition
Par simplicité d'écriture on note ici : x = (t - 10 )2. For simplicity of writing we note here: x = (t - 1 0 ) 2 .
Pour un échantillon monodisperse, \n [s( t )] en fonction de x est une droite dont la pente donne le coefficient de diffusion de l'espèce de l'échantillon. On a : For a monodisperse sample, \ n [s (t)] as a function of x is a straight line whose slope gives the diffusion coefficient of the species of the sample. We have :
d ln s d ln s
G BOY WUT
dx (38.) dx (38.)
Ainsi, d l s/dx ne dépend pas de x , c'est-à-dire qu'il ne dépend pas du temps. En revanche, pour un échantillon polydisperse, la courbe \n [s( t )] en fonction de x présente une courbure que l'on calcule en déterminant la dérivée dlns/dx . Celle-ci est proportionnelle au paramètre G. Thus, d s / dx does not depend on x, that is, it does not depend on time. On the other hand, for a polydisperse sample, the curve \ n [s (t)] as a function of x has a curvature which is calculated by determining the derivative dlns / dx. This is proportional to the G parameter.
En s'inspirant de l'équation (40), on suppose que Gmin est relié au minimum de la pente locale de 1n s (en valeur absolue), puisque les espèces à faible coefficients de diffusion correspondent à des faibles valeurs de G et par conséquent à une faible décroissante temporelle du signal de Taylor. Par conséquent, on suppose que :
Based on equation (40), we suppose that G min is connected to the minimum of the local slope of 1n s (in absolute value), since the low diffusion coefficient species correspond to low values of G and therefore a small decreasing time of the Taylor signal. Therefore, it is assumed that:
où le minimum de |3lns/3x| est recherché sur un intervalle adapté de x , à déterminer empiriquement, et où ibmin est un coefficient numérique, également à déterminer empiriquement. where the minimum of | 3lns / 3x | is sought on a suitable interval of x, to be determined empirically, and where ib min is a numerical coefficient, also to be determined empirically.
En étudiant un grand nombre de signaux de Taylor d'échantillons de toute nature, nous avons trouvé que l'intervalle de x adapté est celui pour lequel le signal s(t) décroit de deux décades. Cela correspond à un intervalle de temps entre l'instant t0 correspondant au sommet de s(t) et l'instant tel que s(t1)=S( )/S(t0) = 0,01 . By studying a large number of Taylor signals of all kinds of samples, we have found that the adapted x interval is the one for which the signal s (t) decreases by two decades. This corresponds to a time interval between the instant t 0 corresponding to the vertex of s (t) and the instant such that s (t 1 ) = S () / S (t 0 ) = 0.01.
De manière similaire, on considère que : Similarly, it is considered that:
\d \n s\ \ d \ n \
G_ = h (40.) dx G_ = h (40.) dx
où le maximum de |3lns/¾c| est recherché sur le même intervalle de x .
Lorsqu'on analyse un signal de Taylor expérimental, il est plus simple d'estimer le temps caractéristique de décroissance de s(t). Définissant le temps de décroissance comme τ = G~112 , on définit des temps de décroissance minimum et maximum à partir des relations précédentes, selon :
where the maximum of | 3lns / ¾c | is searched on the same interval of x. When analyzing an experimental Taylor signal, it is simpler to estimate the characteristic decay time of s (t). Defining the decay time as τ = G ~ 112 , we define minimum and maximum decay times from the previous relationships, according to:
dx max J d ln s dx max J d ln s
(42.) dx min J (42.) dx min J
En étudiant un grand nombre de signaux de Taylor d'échantillons de toute nature, nous avons trouvé que les valeurs suivantes des paramètres a^ et permettent d'encadrer les valeurs min et max recherchées : By studying a large number of Taylor signals of all kinds of samples, we have found that the following values of the parameters a ^ and allow to frame the min and max values sought:
ami„ = 0,l ; = 3 , soit bmn = 1/9 ; bmax = 100 (43.)a mi "= 0, 1; = 3, ie b mn = 1/9; b max = 100 (43.)
Finalement, les valeurs Gmin , Gmax à utiliser pour l'ajustement des données sont calculées selon : Finally, the values G min , G max to be used for the adjustment of the data are calculated according to:
= τ„ (44.) = τ "(44.)
(45.) (45.)
Calcul des distributions selon le paramètre D, Rh ou M à partir de celle selon le paramètre G Calculation of distributions according to parameter D, R h or M from that according to parameter G
Une fois que la distribution des amplitudes P(G) a été obtenue, la distribution des amplitudes PD(D) selon le coefficient de diffusion D, peut facilement être calculée. Once the distribution of the amplitudes P (G) has been obtained, the distribution of the amplitudes PD (D) according to the diffusion coefficient D, can easily be calculated.
L'équation suivante relie la distribution de probabilité Pyde la variable stochastique y à la distribution de probabilité PX de la variable stochastique x, où x est une fonction de y : The following equation relates the probability distribution P y of the stochastic variable y to the probability distribution P X of the stochastic variable x, where x is a function of y:
avec G with G
Expression dans laquelle une intégrale a été introduite au dénominateur car la distribution P(G) n'est pas forcément normalisée.
Il est souvent souhaitable d'exprimer la polydispersité de l'échantillon en termes de distribution des amplitudes selon le paramètre rayon hydrodynamique, Rh, ou le paramètre masse molaire, M. Expression in which an integral has been introduced to the denominator because the distribution P (G) is not necessarily standardized. It is often desirable to express the polydispersity of the sample in terms of the distribution of the amplitudes according to the hydrodynamic radius parameter, R h , or the molar mass parameter, M.
Ces deux distributions peuvent être calculées à partir de la distribution P(G) en utilisant 'équation (46) et les lois de transformation suivantes :
These two distributions can be calculated from the distribution P (G) using 'equation (46) and the following transformation laws:
1/3 f 1+a 1/3 f 1 + a
2k J (ΐ0πΝ„ 2k J (ΐ0πΝ "
M 3 J (49.) πηκ [, 3K M 3 J (49.) πηκ [ , 3K
L'équation (48) utilise la relation de Stokes-Einstein D = — , où kB est la constante de Boltzmann, T la température absolue, et η la viscosité de l'éluant. Equation (48) uses the Stokes-Einstein relation D = -, where k B is the Boltzmann constant, T is the absolute temperature, and η is the viscosity of the eluent.
L'équation (49) utilise l'équation d'Einstein pour la viscosité d'une suspension diluée et l'équation de Mark Houwink reliant la viscosité intrinsèque [ η] à la masse molaire selon la relation : Equation (49) uses the Einstein equation for the viscosity of a dilute suspension and the Mark Houwink equation connecting the intrinsic viscosity [η] to the molar mass according to the relation:
[η] = ΚΜα (50.) où Ke\ a sont les coefficients de Mark Houwink. [η] = ΚΜ α (50.) where Ke \ a are the Mark Houwink coefficients.
Peut également être utilisée la relation suivante donnant le rayon hydrodynamique en tant que fonction de la masse molaire : Can also be used the following relationship giving the hydrodynamic radius as a function of the molar mass:
Les équations (48) et (49) montrent que G est non-linéaire en Rh et M, respectivement, alors que G est simplement proportionnel à D. Equations (48) and (49) show that G is nonlinear in R h and M, respectively, while G is simply proportional to D.
À cause de cette non-linéarité, la transformation de la distribution selon le paramètre G identifié comme la solution de l'équation (6) conduit à une distribution selon le paramètre Rh, ou le paramètre M, qui ne respecte pas forcément la contrainte de la fonction de coût, en particulier la contrainte de régularité. Dans la majorité des cas, la transformation conduit en effet à la présence de pics ou d'oscillations non physiques dans la distribution selon le paramètre Rh, ou le paramètre M. Because of this non-linearity, the transformation of the distribution according to the parameter G identified as the solution of equation (6) leads to a distribution according to the parameter R h , or the parameter M, which does not necessarily respect the constraint of the cost function, in particular the regularity constraint. In the majority of cases, the transformation leads indeed to the presence of nonphysical peaks or oscillations in the distribution according to the parameter R h , or the parameter M.
C'est la raison pour laquelle, en variante du procédé présenté en détail ci-dessus, le procédé consiste à rechercher directement, par régularisation contrainte, la distribution
selon le paramètre Rh, ou le paramètre M, qui respecte la ou les contraintes et qui permet de reproduire correctement les données expérimentales. This is the reason why, as an alternative to the method described in detail above, the method consists in directly seeking, by constraint regularization, the distribution according to the parameter R h , or the parameter M, which respects the constraint (s) and which makes it possible to correctly reproduce the experimental data.
A cette fin, le signal de Taylor expérimental est décomposé sur une famille de gaussiennes d'un paramètre adapté. L'équation (5) est ainsi généralisée sous la forme : For this purpose, the experimental Taylor signal is decomposed on a Gaussian family of a suitable parameter. Equation (5) is thus generalized in the form:
S(t)≡ P(G(C) ) G" } 2 exp[- (Î - 10 Y G c) ]dG(c) (52.) S (t) ≡ P (G (C) ) G " } 2 exp [- (I-1 0 YG c) ] dG (c) (52.)
où les trois cas suivants sont considérés : where the following three cases are considered:
1 ) c = 1 : à utiliser lorsque l'on cherche la distribution d'amplitude selon D ; 1) c = 1: to be used when looking for the amplitude distribution according to D;
2) c = -1 : à utiliser lorsque l'on cherche la distribution d'amplitude selon Rh ; 2) c = -1: to be used when looking for the amplitude distribution according to R h ;
3) c = -1/df = -(1 +a)/3 : à utiliser lorsque l'on cherche la distribution d'amplitude selon M. 3) c = -1 / d f = - (1 + a) / 3: to be used when looking for the amplitude distribution according to M.
Pnorm (G(c) ) est la distribution P(G(c) ) correctement normalisée : P norm (G (c) ) is the properly normalized distribution P (G (c) ):
(53.)(53.)
[P(G(c) )dG{ [P (G (c) ) dG {
Pour le cas 1 ), on a G{ 1)=G. L'équation (54) se réduit alors à l'équation (5). La distribution d'amplitude PD(D) est déterminée à partir de la distribution d'amplitude P(G{ 1)) en utilisant l'équation suivante : For the case 1), one has G {1) = G. Equation (54) is then reduced to equation (5). The PD (D) amplitude distribution is determined from the P (G {1) ) amplitude distribution using the following equation:
12 12
Pnorm (54.) Pnorm (54.)
R 2 R 2
πηΡ πηΡ
Pour le cas 2), on a G,_v = For case 2), we have G, _ v =
2kBT 2k B T
La mise en œuvre de l'algorithme de régularisation contrainte conduit à déterminer la distribution d'amplitude P(G(- i)). La distribution PR(Rh) est ensuite déterminée à partir de selon la relation : The implementation of the constraint regularization algorithm leads to determining the amplitude distribution P (G (- i) ). The distribution P R (R h ) is then determined from according to the relation:
πηΡ]ΐ, πηΡ] ΐ,
PR (Rh ) = - Pyiorm (55.) P R (R h ) = - Pyiorm (55.)
2kKT 2k K T
Finalement, pour le cas 3), on a G MFinally, for case 3), we have G M
La mise en œuvre de l'algorithme de régularisation contrainte conduit à déterminer la distribution d'amplitude P(GH 1+A)/3)) . Puis, la distribution PM(M) est obtenue au moyen de Pnorm( GH 1+ay3)) selon la relation suivante :
La manière de choisir l'intervalle [G(C),min , G(C),max] sur lequel la distribution P(G(C)) est à rechercher est similaire à celle décrite précédemment. En particulier, et sont calculés selon les équations (43) et (44). Finalement, les valeurs G(c) i min, G(c) i max sont déterminées comme suit : The implementation of the constraint regularization algorithm leads to determining the amplitude distribution P (G H 1 + A) / 3 )). Then, the PM (M) distribution is obtained by means of P norm (G H 1 + a y 3) ) according to the following relation: The manner of choosing the interval [G (C ), min, G ( C ), max] on which the distribution P (G (C )) is to be searched is similar to that described above. In particular, and are calculated according to equations (43) and (44). Finally, the values G (c) i mi n, G (c) i ma x are determined as follows:
1 ) c=1 : = τ^ , = τ^η (57.)
1) c = 1: = τ ^, = τ ^ η (57.)
ί-l ί-l ί-l ί-l
3) c= -1 /ct = -(1 +a)/3 = t^a ) , = (59.) 3) c = -1 / ct = - (1 + a) / 3 = t ^ a) , = (59.)
Procédé de détermination de la distribution en taille d'un échantillon Method for determining the size distribution of a sample
Le procédé de détermination de la distribution en taille d'un mélange de particules va maintenant être décrit par référence à la figure 2. The method for determining the size distribution of a mixture of particles will now be described with reference to FIG.
Le procédé comporte une première étape 100 d'injection d'un échantillon à analyser dans la section d'injection 7 du dispositif expérimental 3. The method comprises a first step 100 of injecting a sample to be analyzed into the injection section 7 of the experimental device 3.
Puis à l'étape 1 10, après actionnement des moyens 13 assurant l'introduction et la mise en circulation d'un éluant à l'intérieur du capillaire 6, l'échantillon injecté est transporté depuis la section d'injection 7, jusqu'à la section de détection 9 du dispositif expérimental 3. Les conditions expérimentales (nature de l'éluant, vitesse d'écoulement de l'éluant, longueur de transport séparant la section d'injection de la section de détection, température, rayon interne du capillaire, etc.) sont adaptées pour que se développe un phénomène de dispersion de Taylor détectable au niveau de la section de détection 9. Dans les exemples expérimentaux ci-dessous, des conditions expérimentales précises sont indiquées. Then in step 1 10, after actuation means 13 ensuring the introduction and circulation of an eluent inside the capillary 6, the injected sample is transported from the injection section 7, until to the detection section 9 of the experimental device 3. The experimental conditions (nature of the eluent, flow rate of the eluent, transport length separating the injection section from the detection section, temperature, internal radius of the capillary, etc.) are adapted to develop a detectable Taylor dispersion phenomenon at the detection section 9. In the experimental examples below, precise experimental conditions are indicated.
A l'étape 120, l'échantillon transporté par l'éluant passe à travers la cellule optique de la section de détection 9. Le capteur 17 génère alors un signal électrique de mesure caractéristique de la dispersion de Taylor dont l'échantillon a été le siège. In step 120, the sample transported by the eluent passes through the optical cell of the detection section 9. The sensor 17 then generates an electrical measurement signal characteristic of the Taylor dispersion, the sample of which was the seat.
A l'étape 130, le signal de détection généré par le capteur 17 est traité par la carte électronique 19 de manière à délivrer un signal de Taylor expérimental S(t) numérisé. In step 130, the detection signal generated by the sensor 17 is processed by the electronic card 19 so as to deliver an experimental Taylor signal S (t) digitized.
A l'étape 140, le signal de Taylor expérimental S(t) est acquis par l'ordinateur 5. In step 140, the experimental Taylor signal S (t) is acquired by the computer 5.
Il est ensuite analysé (étape 200) par l'exécution du logiciel applicatif 31 afin de déterminer une distribution en taille. Le logiciel applicatif 31 effectue les étapes élémentaires suivantes. It is then analyzed (step 200) by the execution of the application software 31 to determine a size distribution. The application software 31 performs the following basic steps.
A l'étape 142, un premier menu adapté est présenté à l'utilisateur afin qu'il choisisse le paramètre selon lequel la méthode régularisation contrainte doit être effectuée.
L'utilisateur peut ainsi choisir soit le coefficient de diffusion D (cas 1 , c=1 ), le rayon hydrodynamique (cas 2, c=-1 ) ou la masse molaire M (cas 3, c= -Mdf). L'utilisateur est également invité à choisir le nombre N pour la discrétisation de la distribution à rechercher. Dans ce qui suit, pour des raisons de simplification, il est fait l'hypothèse que l'utilisateur choisit le coefficient de diffusion D et que le paramètre à prendre en compte est le paramètre G. In step 142, a first adapted menu is presented to the user so that he chooses the parameter according to which the constraint regularization method must be performed. The user can thus choose either the diffusion coefficient D (case 1, c = 1), the hydrodynamic radius (case 2, c = -1) or the molar mass M (case 3, c = -Md f ). The user is also invited to choose the number N for the discretization of the distribution to be searched. In what follows, for the sake of simplification, it is assumed that the user chooses the diffusion coefficient D and that the parameter to be taken into account is the parameter G.
A l'étape 144, un second menu adapté est présenté à l'utilisateur afin qu'il choisisse le nombre et la nature des contraintes dont il faut tenir compte dans la recherche de la distribution solution de l'équation (5). Les contraintes proposées à la sélection sont par exemple : In step 144, a second adapted menu is presented to the user so that he chooses the number and the nature of the constraints that must be taken into account in the search for the solution distribution of equation (5). The constraints proposed to the selection are for example:
1 . régularité de la distribution ; 1. regularity of the distribution;
2. la distribution est en tous points positive ; 2. the distribution is in all respects positive;
3. la distribution doit conduire à une moyenne en T prédéterminée plus ou moins un écart que l'on se fixe; 3. The distribution must lead to a predetermined T-mean plus or minus a gap that is fixed;
4. la distribution doit conduire à une moyenne en Γ prédéterminée plus ou moins un écart que l'on se fixe. 4. The distribution must lead to a predetermined average Γ plus or minus a gap that we set.
.Dans ce qui suit, il est fait l'hypothèse que la première contrainte est implémentée via un multiplicateur de Lagrange dans la fonction de coût, tandis que les autres contraintes sont implémentées directement en limitant de façon approprié l'espace des amplitudes P(Gm) sur lequel un extrema de la fonction de coût est recherché.. In what follows, it is assumed that the first constraint is implemented via a Lagrange multiplier in the cost function, while the other constraints are implemented directly by appropriately limiting the space of the amplitudes P (G m ) on which an extrema of the cost function is sought.
A l'étape 146, le signal de Taylor expérimental S(t) est décomposé en cumulants. In step 146, the experimental Taylor signal S (t) is decomposed into cumulants.
Plus précisément, le signal de Taylor normalisé s(t) = S(t)/S(t0 ) est d'abord déterminé, puis son logarithme ln s( ] est calculé. Enfin, un polynôme de second degré de la variable {t - t0 f est ajusté à la fonction ln[s(i)] - Les cumulants de premier et second ordre Γλ et Γ2 sont alors déterminés. Γ1 permet notamment de mesurer la moyenne enMore precisely, the normalized Taylor signal s (t) = S (t) / S (t 0 ) is first determined, then its logarithm ln s (] is computed Finally, a second degree polynomial of the variable { t - t 0 f is adjusted to the function ln [s (i)] - The cumulants of first and second order Γ λ and Γ 2 are then determined Γ 1 allows in particular to measure the average in
Γ du paramètre G. Par ailleurs, la moyenne en T du signal de Taylor est mesurée. Γ of the parameter G. Moreover, the T average of the Taylor signal is measured.
A l'étape 148, les bornes Gmin et Gmax de l'intervalle des valeurs du paramètre G sur lequel la distribution est à rechercher sont calculées à partir de la distribution log-normale équivalente déterminée à partir des valeurs des cumulants de premier et second ordre Γλ et Γ2 obtenus à l'étape 148, en utilisant les équations (32) et (33) puis (38) et (39). In step 148, the terminals G min and G max of the range of values of the parameter G on which the distribution is to be searched are calculated from the equivalent log-normal distribution determined from the values of the first and second cumulants. second order Γ λ and Γ 2 obtained in step 148, using equations (32) and (33) then (38) and (39).
A l'étape 150, la fonction de coût H a est élaborée à partir de la première contrainte sélectionnée par l'utilisateur à l'étape 144. Le terme de contrainte associé à la contrainte sélectionnée est lu dans la mémoire de l'ordinateur 5.
A l'étape 152, l'expression discrétisée de la fonction de coût H a est obtenue en subdivisant l'intervalle Gmin et Gmax déterminé à l'étape 154, en N sous intervalles. In step 150, the cost function H a is elaborated from the first constraint selected by the user in step 144. The constraint term associated with the selected constraint is read in the memory of the computer 5 . In step 152, the discretized expression of the cost function H a is obtained by subdividing the interval G min and G max determined in step 154, at N intervals.
A l'étape 154, pour chaque valeur du coefficient de Lagrange a dans un ensemble de valeurs d'essai, le minimum de la fonction de coût Haest déterminé. Pour tenir compte des contraintes strictes selon lesquelles les amplitudes sont positives et doivent conduire à des moyennes en T et en Γ prédéterminées, à un écart prédéterminé prêt, le minimum de la fonction de coût est recherché uniquement sur le sous espace approprié des amplitudes P(Gm) qui satisfont ces contraintes strictes. In step 154, for each value of the Lagrange coefficient a in a set of test values, the minimum of the cost function H a is determined. In order to take into account the strict constraints according to which the amplitudes are positive and must lead to predetermined means of T and Γ, at a predetermined predetermined distance, the minimum of the cost function is sought only on the appropriate sub-space of the amplitudes P ( G m ) that satisfy these strict constraints.
A l'étape 156, l'erreur statistique v est déterminée et la valeur optimale 0 du coefficient de Lagrange a est déterminée en sélectionnant la valeur du coefficient de Lagrange a qui, à l'étape 156, a conduit au terme de distance j2 le plus proche par valeurs inférieures à cette erreur statistique v . In step 156, the statistical error v is determined and the optimum value 0 of the Lagrange coefficient a is determined by selecting the value of the Lagrange coefficient a which, in step 156, led to the distance term j 2 the closest by values lower than this statistical error v.
A l'étape 158, l'ensemble des distributions P(G) recherchées est l'ensemble de celles minimisant la fonction de coût H a pour la valeur optimale 0 du coefficient de Lagrange déterminée à l'étape 156. In step 158, the set of distributions P (G) sought is the set of those minimizing the cost function H a for the optimum value 0 of the Lagrange coefficient determined in step 156.
A l'étape 160, la grandeur relative à la taille des particules du mélange est calculée à partir de la distribution P(G) obtenue à l'étape 158. In step 160, the size relative to the particle size of the mixture is calculated from the P (G) distribution obtained in step 158.
Enfin, à l'étape 162, par une transformation adaptée, les distributions selon le rayon hydrodynamique ou la masse molaire sont calculées à partir de la distribution P(G) obtenue à l'étape 158. Finally, in step 162, by a suitable transformation, the distributions according to the hydrodynamic radius or the molar mass are calculated from the distribution P (G) obtained in step 158.
Eventuellement, les différentes distributions calculées sont affichées sur l'écran de l'ordinateur 5. Le logiciel applicatif 31 comporte des « outils » permettant à l'utilisateur d'effectuer les calculs qu'il souhaite sur les distributions calculées. Optionally, the various calculated distributions are displayed on the screen of the computer 5. The application software 31 includes "tools" allowing the user to perform the calculations he wants on the calculated distributions.
Le logiciel applicatif 31 comporte ainsi les moyens adaptés pour la réalisation de chacune des étapes de l'analyse du signal de Taylor expérimental. The application software 31 thus comprises the means adapted for carrying out each of the steps of the experimental Taylor signal analysis.
En variante, les bornes Gmin et Gmax de l'intervalle sur lequel la distribution P(G) est à rechercher sont calculées empiriquement. Cela consiste à déterminer le signal de Taylor normalisé s(t) = S(t)/S(t0 ) , à en prendre le logarithme, puis à en calculer la dérivée ln . Les bornes de l'intervalle d'intérêt du paramètre G sont finalement déduites en utilisant les équations (43) et (44), puis les équations (46) et (47). As a variant, the terminals G min and G max of the interval over which the distribution P (G) is to be searched are calculated empirically. This consists of determining the standardized Taylor signal s (t) = S (t) / S (t 0 ), taking the logarithm, and then calculating the derivative ln. The bounds of the interval of interest of the parameter G are finally deduced using equations (43) and (44), then equations (46) and (47).
Dans encore une autre variante, indépendante de la précédente, la moyenne en T du paramètre G, (G) , est calculée en intégrant le signal de Taylor expérimental S(t) en utilisant l'équation (16) et la moyenne en Γ du paramètre G, (G) , est calculée à partir
de la détermination du cumulant de premier ordre résultant de la décomposition en cumulants du signal de Taylor expérimental. Les bornes Gmin et Gmax de l'intervalle sur lequel la distribution en taille est à rechercher sont calculées à partir des moyennes en T et en Γ du paramètre G selon les équations (30), (31 ) et (38), (39). Cette variante du procédé permet aussi d'intégrer à la fonction de coût un terme de contrainte fondé sur l'une ou l'autre de ces moyennes. In yet another variant, independent of the previous one, the T average of the parameter G, (G), is calculated by integrating the experimental Taylor signal S (t) using equation (16) and the en average of parameter G, (G), is calculated from of the determination of the first-order cumulant resulting from the cumulative decomposition of the experimental Taylor signal. The bounds G min and G max of the interval on which the size distribution is to be found are calculated from the means in T and in Γ of the parameter G according to the equations (30), (31) and (38), ( 39). This variant of the method also makes it possible to integrate in the cost function a constraint term based on one or the other of these means.
Analyse par régularisation contrainte sur une série de signaux de Taylor expérimentaux d'un même échantillonStrain regularization analysis on a series of experimental Taylor signals of the same sample
L'ajustement par régularisation contrainte peut avantageusement être mis en œuvre en utilisant plusieurs signaux de Taylor expérimentaux obtenus en répétant des expériences identiques sur un ensemble d'échantillons d'un même mélange. The constrained regularization adjustment can advantageously be implemented by using several experimental Taylor signals obtained by repeating identical experiments on a set of samples of the same mixture.
Bien que chaque répétition puisse être analysée indépendamment et que les distributions d'amplitudes obtenues puissent être moyennées, il s'avère plus robuste d'accumuler les différents signaux de Taylor individuels dans un unique signal de Taylor global qui comporte un nombre de points expérimentaux égal à la somme des points expérimentaux de chaque signal de Taylor individuel. Dans un second temps, la recherche de la distribution d'amplitudes s'effectue sur le signal de Taylor global par application de l'algorithme de régularisation contrainte. Although each repetition can be analyzed independently and the amplitude distributions obtained can be averaged, it is more robust to accumulate the individual Taylor signals in a single global Taylor signal that has an equal number of experimental points. to the sum of the experimental points of each individual Taylor signal. In a second step, the search for the distribution of amplitudes is carried out on the global Taylor signal by application of the constraint regularization algorithm.
Cela conduit à une distribution d'amplitude P(G) respectant plus précisément la contrainte imposée, par exemple la distribution P(G) est plus régulière. Cela permet également de prendre en compte les incertitudes et les imprécisions affectant l'acquisition des signaux de Taylor individuels. This leads to an amplitude distribution P (G) more precisely respecting the imposed constraint, for example the distribution P (G) is more regular. It also takes into account the uncertainties and inaccuracies affecting the acquisition of individual Taylor signals.
Lors de cette opération, si l'instant de référence t0 n'est pas rigoureusement identique d'un signal de Taylor expérimental à l'autre, les coordonnées temporelles sont translatées de sorte que tous les signaux de Taylor expérimentaux aient exactement le même instant de référence t0. During this operation, if the reference time t 0 is not strictly identical from one experimental Taylor signal to another, the temporal coordinates are translated so that all experimental Taylor signals have exactly the same moment reference t 0 .
La correction de la ligne de base, suivie d'une normalisation de chaque signal de Taylor expérimental peut également être nécessaire avant le traitement. Baseline correction followed by normalization of each experimental Taylor signal may also be necessary before treatment.
Le logiciel applicatif 31 comporte un menu permettant à l'utilisateur de traiter plusieurs signaux de Taylor expérimentaux avant d'analyser le signal de Taylor global ainsi obtenu. The application software 31 includes a menu allowing the user to process several experimental Taylor signals before analyzing the overall Taylor signal thus obtained.
Avantages Advantages
Le procédé venant d'être présenté permet d'obtenir, automatiquement et en temps réel, la distribution en taille d'un mélange d'espèces, ainsi que les concentrations de ces
espèces dans le mélange, et ceci quelle que soit la polydispersité de l'échantillon analysé, c'est-à-dire le nombre d'espèces que cet échantillon comporte et les concentrations respectives de celles-ci. The method just presented makes it possible to obtain, automatically and in real time, the size distribution of a mixture of species, as well as the concentrations of these species. species in the mixture, and this regardless of the polydispersity of the sample analyzed, that is to say the number of species that this sample contains and the respective concentrations thereof.
Les domaines d'utilisation du dispositif et du procédé venant d'être décrits concernent la caractérisation en taille des polymères, des colloïdes, des nanomatériaux, des latex, des particules, des protéines, des agrégats de protéines, des biopolymères, des émulsions, des liposomes, des vésicules, et des molécules ou biomolécules en général. Un domaine d'utilisation important concerne l'étude, pour l'industrie pharmaceutique, de la stabilité/dégradation/agrégation des protéines. The fields of use of the device and method just described relate to the size characterization of polymers, colloids, nanomaterials, latices, particles, proteins, protein aggregates, biopolymers, emulsions, liposomes, vesicles, and molecules or biomolecules in general. An important area of use concerns the study, for the pharmaceutical industry, of the stability / degradation / aggregation of proteins.
Les avantages de la caractérisation d'un échantillon par mise en œuvre du phénomène de dispersion de Taylor sont connus de l'homme du métier : faible volume de l'échantillon à injecter dans le capillaire, pas d'étalonnage nécessaire du dispositif expérimental, utilisation d'un dispositif expérimental extrêmement simple, technique particulièrement bien adaptée à des mesures de taille de particule inférieure à quelques nanomètres, signal généralement sensible à la concentration massique etc. The advantages of the characterization of a sample by implementing the Taylor dispersion phenomenon are known to those skilled in the art: low volume of the sample to be injected into the capillary, no calibration required of the experimental device, use an extremely simple experimental device, particularly suited to particle size measurements of less than a few nanometers, generally sensitive to mass concentration, etc.
Exemples expérimentaux Experimental examples
Conditions expérimentales Experimental conditions
Capillaire en silice vierge : Rc = 50 μηι et distance entre section d'injection et de détection de 30 cm. Capillary virgin silica: R c = 50 μηι and distance between injection and detection section of 30 cm.
Température : T = 293 ° K Temperature: T = 293 ° K
Eluent : tampon borate de sodium 80 mM, pH 9,2. Eluent: 80 mM sodium borate buffer, pH 9.2.
Viscosité de l'éluant : η = 8,9 10~4 Pa.s. Viscosity of the eluent: η = 8.9 10 ~ 4 Pa.s.
Echantillon : polystyrènesulfonate (PSS) à 0,5 g/l. Sample: polystyrene sulfonate (PSS) at 0.5 g / l.
Injection : 0,3 psi (20 mbar), 9 s, soit un volume injecté de 8 ni (volume total du capillaire 589 ni). Injection: 0.3 psi (20 mbar), 9 s, an injected volume of 8 ni (total volume of capillary 589 ni).
Détection par lumière UV à une longueur d'onde de 200 nm. Detection by UV light at a wavelength of 200 nm.
Caractéristiques des standards de polymère injectés Characteristics of injected polymer standards
1 ) PSS 1290 Mw = 1290 g/mol Mp = 1094 g/mol M Mn < 1 ,201) PSS 1290 M w = 1290 g / mol M p = 1094 g / mol MM n <1, 20
2) PSS 5190 Mw = 5190 g/mol Mp = 5280 g/mol M Mn < 1 ,20 3) PSS 29000 Mw = 29000 g/mol Mp = 29500 g/mol M Mn < 1 ,202) PSS 5190 M w = 5190 g / mol M p = 5280 g / mol MM n <1, 20 3) PSS 29000 M w = 29000 g / mol M p = 29500 g / mol MM n <1, 20
4) PSS 148000 Mw = 145000 g/mol Mp = 148500 g/mol M Mn < 1 ,204) PSS 148000 M w = 145000 g / mol M p = 148500 g / mol MM n <1, 20
5) PSS 333000 Mw = 333000 g/mol Mp = 338000 g/mol M Mn < 1 ,20 où Mw est la masse molaire moyenne en poids, Mp la masse molaire au sommet du pic chromatographique, et Mw/Mn est l'indice de polydispersité. Les masses molaires
moyennes et les caractéristiques de la distribution ont été données par le fournisseur qui les détermine par chromatographie d'exclusion stérique avec un étalonnage utilisant des standards de polymère de même nature chimique (PSS). 5) PSS 333000 M w = 333000 g / mol M p = 338000 g / mol MM n <1, 20 where M w is the weight average molar mass, M p is the molar mass at the top of the chromatographic peak, and M w / M n is the polydispersity index. Molar masses means and characteristics of the distribution were given by the supplier who determined them by size exclusion chromatography with a calibration using polymer standards of the same chemical nature (PSS).
Présentation des signaux de Taylor expérimentaux des Presentation of experimental Taylor signals from
polymères étudiés studied polymers
La Figure 3 représente un signal de Taylor expérimental obtenus pour un mélange équimassique de PSS 1290 et de PSS 29000. En fait, trois signaux de Taylor expérimentaux sont ici agrégés. Figure 3 shows an experimental Taylor signal obtained for an equimassic mixture of PSS 1290 and PSS 29000. In fact, three experimental Taylor signals are here aggregated.
De plus, seule la partie gauche du signal de Taylor expérimental est représentée. En effet, généralement les taylorgrammes sont symétriques. Cependant, dans le cas de phénomène d'adsorption à la surface du capillaire, la partie droite du signal, qui correspond aux instants ultérieurs à l'instant t0 , peut ne pas être exactement symétrique de la partie gauche du signal, qui correspond aux instants précédant l'instant t0 . Dans ce cas, il est préférable d'axer le traitement des données sur la partie gauche du signal de Taylor expérimental. Avantageusement, le procédé décrit précédemment ne tient compte que de la partie gauche du signal afin de limiter l'influence de ces phénomènes parasites éventuels. In addition, only the left side of the experimental Taylor signal is shown. Indeed, taylorgrams are generally symmetrical. However, in the case of adsorption phenomenon on the surface of the capillary, the right part of the signal, which corresponds to instants subsequent to time t 0 , may not be exactly symmetrical with the left part of the signal, which corresponds to the instants preceding the instant t 0 . In this case, it is preferable to focus the data processing on the left side of the experimental Taylor signal. Advantageously, the method described above takes into account only the left part of the signal in order to limit the influence of these possible parasitic phenomena.
La figure 4 montre la superposition de la distribution PR(Rh) obtenue par le procédé décrit précédemment (logiciel 31 ) en comparaison avec la distribution donnée par le fournisseur des polymères et obtenue par une méthode chromatographique (SEC). La Figure 4 montre un bon accord entre la distribution en rayon hydrodynamique donnée par le fournisseur et la distribution obtenue par la mise en œuvre du logiciel applicatif 31 . FIG. 4 shows the superposition of the distribution P R (R h ) obtained by the process described above (software 31) in comparison with the distribution given by the supplier of the polymers and obtained by a chromatographic method (SEC). Figure 4 shows a good agreement between the hydrodynamic radius distribution given by the supplier and the distribution obtained by the implementation of the application software 31.
La figure 5A montre l'ajustement entre le signal de Taylor expérimental S( t ) normalisé (Data) et le signal reconstruit s '( t ) normalisé (Fit) et la figure 5B montre l'ajustement entre le logarithme du signal de Taylor expérimental S( t ) normalisé (Data) et le développement en cumulants (Fit). Figure 5A shows the fit between the experimental Taylor signal S (t) normalized (Data) and the reconstructed signal s' (t) normalized (Fit) and Figure 5B shows the fit between the logarithm of the experimental Taylor signal S (t) normalized (Data) and development in cumulants (Fit).
Comparaison des résultats Comparison of results
Le tableau 1 regroupe des différentes moyennes du coefficient de diffusion D obtenues : directement par décomposition en cumulants (moyenne en Γ colonne 2) ou par intégration du taylorgramme (moyenne en T colonne 3), et, d'autre part, par la mise en œuvre du logiciel applicatif 31 (moyenne en Γ colonne 4 et moyenne en 7" colonne 5). Il est à noter que dans cet exemple, les moyennes mesurées directement sur le signal de Taylor expérimental ne sont pas utilisées pour contraindre la déconvolution de ce signal et
seules une contrainte lâche de régularité et une contrainte stricte de positivité ont été utilisées. Table 1 groups together different averages of the diffusion coefficient D obtained: directly by decomposition into cumulants (average in Γ column 2) or by integration of the taylorgram (average in T column 3), and, on the other hand, by the implementation of application software 31 (average Γ column 4 and average 7 " column 5. It should be noted that in this example, the averages measured directly on the experimental Taylor signal are not used to constrain the deconvolution of this signal and only a loose constraint of regularity and a strict constraint of positivity were used.
a à partir de la décomposition en cumulants (équation 25) a from the decomposition into cumulants (equation 25)
b à partir de l'intégration du taylorgramme (équation 17) b from the integration of taylorgram (equation 17)
c à partir de la distribution donnée par le logiciel 31 c from the distribution given by the software 31
Tableau 1 Table 1
Dans l'ensemble, les résultats présentent une grande cohérence et le logiciel 31 mène bien à une solution dont les moyennes en Tet en Γ (colonnes 4 et 5) sont proches des valeurs expérimentales (colonnes 2 et 3). Overall, the results show great consistency and the software 31 leads to a solution whose Tet means in Γ (columns 4 and 5) are close to the experimental values (columns 2 and 3).
Le tableau 2 montre les valeurs des τ . et fm„ déterminées à partir des différentes approches proposées, à savoir l'approche empirique (colonnes 4 et 5), celle de la décomposition en cumulants (colonnes 6 et 7) à partir des cumulants i^ et Γ2 (colonnesTable 2 shows the values of τ. and f m "determined from the different approaches proposed, namely the empirical approach (columns 4 and 5), that of the decomposition into cumulants (columns 6 and 7) from cumulants i ^ and Γ 2 (columns
2 et 3) et celle utilisant les moyennes en Tet en Γ du coefficient de diffusion (colonnes 8 et 9 à partir du cumulant du premier ordre et de l'intégration du taylorgramme). 2 and 3) and that using the Tet means in Γ of the diffusion coefficient (columns 8 and 9 from the first-order cumulant and the taylorgram integration).
a approche empirique à partir des équations (43) et (44) empirical approach from Equations (43) and (44)
b à partir de la décomposition en cumulants (équations (32-33), (38-39) et (46-47)) c à partir les moyennes en Tet en Γ du coefficient de diffusion (équations (17), (25), (30-31 ), (38-39) et (46-47)).
Tableau 2 b from the cumulate decomposition (equations (32-33), (38-39) and (46-47)) c from the Tet means in Γ of the diffusion coefficient (equations (17), (25) , (30-31), (38-39) and (46-47)). Table 2
Les ordres de grandeurs des et sont en bon accord quelle que soit la méthode considérée. The orders of magnitude of and are in good agreement whatever the method considered.
Le tableau 3 permet de comparer les valeurs du rayon hydrodynamique moyen obtenues par une décomposition en cumulants (moyenne en Γ ; colonne 2), et par la mise en œuvre du logiciel applicatif 31 par détermination de la distribution P(G) puis intégration en Γ ou en T (colonnes 3 et 6), par la méthode de référence par chromatographie d'exclusion stérique (colonnes 4 et 7) suivant la moyenne considérée, par intégration directe du Taylorgramme sur la totalité du signal (colonne 5). Pour une même moyenne (colonnes 2 à 4, d'une part, et colonne 5 à 7, d'autre part) les résultats sont homogènes sur l'ensemble des échantillons considérés. Table 3 makes it possible to compare the values of the average hydrodynamic radius obtained by a decomposition in cumulants (average in Γ , column 2), and by the implementation of the software application 31 by determination of the distribution P (G) then integration in Γ or in T (columns 3 and 6), by the reference method by size exclusion chromatography (columns 4 and 7) according to the average considered, by direct integration of the Taylorgram over the entire signal (column 5). For the same average (columns 2 to 4, on the one hand, and column 5 to 7, on the other hand) the results are homogeneous over all the samples considered.
On retrouve un bon accord pour l'ensemble des échantillons pour chaque groupe de moyenne considéré.
There is a good agreement for all the samples for each average group considered.
1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7
Echantillon kT kT Sample kT kT
1290 0,968 0,924 0,913 0,998 0,945 1 ,000 1290 0,968 0,924 0,913 0.998 0.945 1, 000
5190 2,049 2,048 1 ,880 2,265 2,057 1 ,989 5190 2,049 2,048 1, 880 2,265 2,057 1, 989
29000 5,159 4,761 5,076 5,810 4,776 5,278 29,000 5,159 4,761 5,076 5,810 4,776 5,278
145000 12,178 11 ,057 12,200 12,917 11 ,144 13,133 145,000 12,178 11,057 12,200 12,917 11,144 13,133
333000 20,286 17,359 17,297 21 ,190 21 ,917 20,915 333000 20.286 17.359 17.297 21, 190 21, 917 20.915
1290 + 29000 2,303 1 ,291 1 ,319 2,917 2,874 3,449 1290 + 29000 2,303 1, 291 1, 319 2,917 2,874 3,449
1290+5190 1 ,148 1 ,178 1 ,046 1 ,578 1 ,354 1 ,470 1290 + 5190 1, 148 1, 178 1, 046 1, 578 1, 354 1, 470
5190+29000 3,198 2,655 2,473 3,768 3,544 3,638 5190 + 29000 3,198 2,655 2,473 3,768 3,544 3,638
Tableau 3 Table 3
a obtenu à partir de la distribution obtenue par SEC. obtained from the distribution obtained by SEC.
b obtenu par intégration du taylorgramme (à partir de la variance du taylorgramme). b obtained by integration of the taylorgram (from the variance of the taylorgram).
c obtenu par intégration de la distribution en poids des coefficients de diffusion obtenue par le logiciel 31 (minimisation sur D). d obtenu à partir de la distribution en poids des rayons hydrodynamiques provenant de la SEC.
c obtained by integrating the distribution by weight of the diffusion coefficients obtained by the software 31 (minimization on D). d obtained from the distribution by weight of the hydrodynamic rays derived from the SEC.
Détermination du temps au sommet Determining the time at the top
Expérimentalement, le temps au sommet t0 du signal de Taylor expérimental 5(0 n'est pas connu avec précision à cause du bruit des mesures. Experimentally, the peak time t 0 of the experimental Taylor signal 5 (0 is not precisely known because of the noise of the measurements.
Or, le temps au sommet t0 a un impact aussi bien sur une analyse de type cumulant que sur la détermination de la distribution de tailles obtenue par régularisation contrainte. However, the time at the top t 0 has an impact both on a cumulative type analysis and on the determination of the size distribution obtained by constraint regularization.
En outre la méthode des cumulants repose sur un développement limité pour (t - t0 )→0 . D'un point de vue expérimental, il est nécessaire de choisir judicieusement la plage de temps t pour l'analyse : si on se restreint à un intervalle très petit, le résultat sera fortement affecté par le bruit de mesure. Si au contraire on considère un intervalle trop étendu, la contribution des termes d'ordre supérieur en (t - t0 ) , termes négligés dans la méthode des cumulants, va être significative. In addition, the cumulants method is based on a limited development for (t - t 0 ) → 0. From an experimental point of view, it is necessary to judiciously choose the time range t for the analysis: if one restricts oneself to a very small interval, the result will be strongly affected by the measurement noise. If, on the other hand, we consider an interval that is too wide, the contribution of the terms of higher order in (t - t 0 ), terms neglected in the cumulant method, will be significant.
Une étape pour déterminer un temps au sommet t0, ainsi qu'en option une plage de temps appropriés pour une analyse de type cumulant, est présentée ci-dessous. A step for determining a time at the top t 0 , as well as optionally an appropriate time range for a cumulative type analysis, is presented below.
Dans une première sous-étape, on obtient une première estimation fc.guess du temps au sommet, par exemple en considérant le temps pour lequel 5(0 est maximal ou en ajustant le pic de 5(0 par une fonction parabolique ou une Gaussienne. In a first substep, a first estimate fc.guess of the time at the vertex is obtained, for example by considering the time for which 5 (0 is maximal or by adjusting the peak of 5 (0 by a parabolic function or a Gaussian.
Dans une deuxième sous-étape, on établit une liste de N temps au sommet à tester f0,i avec /' entier naturel variant entre 1 et N, les temps t0,i étant situés autour de i0,guess et espacés de façon régulière par un incrément de temps constant, avec :
In a second substep, a list of N time at the top is established test f 0, i with / natural integer varying between 1 and N, the time t 0, i being located around i 0, g UESS spaced in a regular way by a constant time increment, with:
¾,1 = Îo.guess " Δί , fo,W = Îo.guess + Δί ; ¾, 1 = Îo.guess "Δί, fo, W = Îo.guess + Δί;
où or
df est l'incrément de temps entre deux temps au sommet à teste successifs ; et df is the increment of time between two successive times at the vertex; and
Δί est un intervalle de temps typiquement de l'ordre de fo,guess/50. Δί is a time interval typically of the order of fo, g uess / 50.
Dans une troisième sous-étape, pour chaque du temps au sommet à tester f0,i, on fait une série d'analyses de type cumulant, en considérant plusieurs plages de temps d'étendues différentes. In a third substep, for each of the time at the vertex to be tested f 0, i, a series of cumulative type analyzes is made, considering several time ranges of different extents.
La plage de temps est fixée par exemple par un niveau de coupure du signal 5(0■ The time range is set for example by a signal cut-off level of 5 (0 ■
Par exemple, pour un niveau de coupure de 0.1 , on considère la plage de temps t telle que 5(0 > 0.1x 5(i0 i ) . On note la valeur du premier et du deuxième cumulant issue de l'ajustement sur chaque plage de temps.
Dans une quatrième sous-étape, on détermine le temps au sommet t0 optimal comme étant celui se situant entre les temps au sommets pour lesquels le premier cumulant Γ diverge vers des valeurs positives lorsque le niveau de coupure augmente, et ceux pour lesquels le premier cumulant Γ diverge vers des valeurs négatives lorsque le niveau de coupure augmente. For example, for a cutoff level of 0.1, we consider the time range t such that (0> 0.1x 5 (i 0 i ).) We note the value of the first and second cumulants resulting from the adjustment on each time range. In a fourth sub-step, the optimal time at the peak t 0 is determined as being between the vertices at which the first cumulant Γ diverges to positive values when the cutoff level increases, and those for which the first cumulative Γ diverges to negative values when the cutoff level increases.
En traçant sur un graphique, pour chaque de temps de sommet à tester f0J, la courbe du premier cumulant 7 en fonction du niveau de coupure, le temps au sommet t0 optimal est celui pour lequel la courbe se situe entre les courbes à concavité vers le haut et les courbes à concavité vers le bas. Cette courbe présente une variation moindre par rapport aux autres. By plotting on a graph, for each of the vertex time to be tested f 0J , the curve of the first cumulant 7 as a function of the cutoff level, the optimal time at vertex t 0 is that for which the curve lies between the concavity curves. upwards and curves concavity down. This curve shows a smaller variation compared to the others.
Le choix du temps au sommet optimal est effectué par analyse visuelle du graphique précités ou de façon automatique, par exemple sur la base du signe de la dérivé seconde numérique du premier cumulant Γ en fonction de la coupure. The choice of the optimal peak time is performed by visual analysis of the aforementioned graph or automatically, for example on the basis of the sign of the numerical second derivative of the first cumulant Γ according to the cut.
En variante ou en option, il est possible de faire de même avec le deuxième cumulant Γ2 et/ou le rapport du deuxième cumulant sur le premier cumulant au carré. Le fait de le faire à la fois pour le premier cumulant, le deuxième cumulant et le rapport du deuxième cumulant sur le premier cumulant au carré permet de fiabiliser le choix du temps au sommet. Alternatively or optionally, it is possible to do the same with the second cumulant Γ 2 and / or the ratio of the second cumulant on the first cumulant squared. The fact of doing it for the first cumulant, the second cumulant and the ratio of the second cumulant on the first cumulant squared makes it possible to make reliable the choice of the time at the top.
Dans une cinquième étape on détermine la valeur optimale de coupure comme étant la plus élevée avant que les données ne montrent une déviation importante par rapport à leur tendance générale, due à l'influence du bruit de mesure pour des niveaux de coupure trop élevées.
In a fifth step the optimal cutoff value is determined to be the highest before the data show a significant deviation from their overall trend, due to the influence of the measurement noise for too high cutoff levels.
Claims
1 . - Procédé de détermination de la distribution en taille d'un mélange d'espèces moléculaires ou particulaires, comportant les étapes consistant à : 1. A method for determining the size distribution of a mixture of molecular or particulate species, comprising the steps of:
- injecter (100) un échantillon du mélange à analyser à l'intérieur d'un capillaire dans lequel s'écoule un éluant ; injecting (100) a sample of the mixture to be analyzed into a capillary in which an eluent flows;
- transporter (1 10) l'échantillon injecté le long du capillaire, depuis une section d'injection jusqu'à une section de détection de celui-ci, dans des conditions expérimentales propres à générer un phénomène de dispersion de Taylor qui soit mesurable au niveau de ladite section de détection ; transporting (1 10) the sample injected along the capillary, from an injection section to a detection section thereof, under experimental conditions suitable for generating a Taylor dispersion phenomenon which is measurable at level of said detection section;
- générer (120), au moyen d'un capteur adapté équipant ladite section de détection, un signal caractéristique de la dispersion de Taylor de l'échantillon transporté ; generating (120), by means of a fitted sensor fitted to said detection section, a signal characteristic of the Taylor dispersion of the transported sample;
- traiter (130) ledit signal de détection pour obtenir le signal de Taylor expérimental 5(0 ; et, processing (130) said detection signal to obtain the experimental Taylor signal (0;
- analyser (200) ledit signal de Taylor expérimental S(t) , analyzing (200) said experimental Taylor signal S (t),
caractérisé en ce que ladite étape d'analyse d'un signal de Taylor expérimental S(t) d'un échantillon dudit mélange, consiste à rechercher une distribution d'amplitudes P(G(c) ) permettant de décomposer ledit signal de Taylor expérimental S(t) en une somme de fonction gaussiennes selon l'é uation :characterized in that said step of analyzing an experimental Taylor signal S (t) of a sample of said mixture is to search for a distribution of amplitudes P (G (c) ) for decomposing said experimental Taylor signal. S (t) into a sum of Gaussian functions according to the é uation:
S(t)≡ P(G(c) ) S (t) ≡ P (G (c) )
où or
t est une variable dont dépend le signal de Taylor expérimental et t0 une valeur de la variable t commune aux différentes fonctions gaussiennes et correspondant au sommet du signal de Taylor expérimental S(t) ; t is a variable on which the experimental Taylor signal depends and t 0 a value of the variable t common to the different Gaussian functions and corresponding to the peak of the experimental Taylor signal S (t);
G(c) est un paramètre caractéristique d'une fonction gaussienne d'amplitude (G(c) ) et est associé : G (c) is a characteristic parameter of a Gaussian function of amplitude (G (c) ) and is associated:
- pour c = 1 , au coefficient de diffusion D d'une espèce selon la relation
- for c = 1, at the diffusion coefficient D of a species according to the relation
- pour c = -1 , au rayon hydrodynamique Rh d'une espèce selon la relation - for c = -1, at the hydrodynamic radius R h of a species according to the relation
2kRT 2k R T
G,-D _ R , G, -D _ R,
h,-1 . h, -1.
( ' et ('and
πηΡ
- pour c = -1/d = -(1 +a)/3, à la masse molaire M d'une espèce selon la relation
πηΡ - for c = -1 / d = - (1 + a) / 3, at the molar mass M of a species according to the relation
où kB est la constante de Boitzmann, T est la température absolue exprimée en degréwhere k B is the Boitzmann constant, T is the absolute temperature expressed in degrees
Kelvin à laquelle s'effectue l'expérience, η est la viscosité de l'éluant utilisé, Rc est le rayon interne du capillaire utilisé, Na est le nombre d'Avogadro et K et a sont les coefficients de Mark Houwink, Kelvin at which the experiment is carried out, η is the viscosity of the eluent used, R c is the internal radius of the capillary used, N a is the number of Avogadro and K and a are the coefficients of Mark Houwink,
en mettant en œuvre un algorithme de régularisation contrainte consistant à minimiser une fonction de coût Ha comportant au moins un terme de contrainte associé à une contrainte que doit respecter la distribution d'amplitudes P(G(c) ) solution de l'équation précédente, la minimisation s'effectuant sur un intervalle d'intérêt des valeurs du paramètre G(c) . by implementing a constraint regularization algorithm consisting in minimizing a cost function H a comprising at least one constraint term associated with a constraint that the amplitude distribution P (G (c) ) must satisfy the solution of the preceding equation , the minimization taking place over an interval of interest of the values of the parameter G (c) .
2. - Procédé selon la revendication 1 , caractérisé en ce que l'équation précédente est discrétisée en subdivisant ledit intervalle de valeurs du paramètre G(c) , chaque point de discrétisation Gm étant indexé par un entier m variant entre la valeur unité et la valeur N, le point Gm étant distant du point m-1 d'un sous-intervalle de longueur cm . 2. - Method according to claim 1, characterized in that the preceding equation is discretized by subdividing said interval of values of the parameter G (c) , each discretization point G m being indexed by an integer m varying between the unit value and the value N, the point G m being distant from the point m-1 of a subinterval of length c m .
3. - Procédé selon la revendication 2, caractérisé en ce que la fonction de coût prend la forme : 3. - Method according to claim 2, characterized in that the cost function takes the form:
Ηα = χ2 + a2 A2 Η α = χ 2 + a 2 A 2
où : or :
- le premier terme χ2 est un terme de distance entre le signal de Taylor expérimental S t) et un signal de Taylor reconstruit définit par :
the first term χ 2 is a distance term between the experimental Taylor signal S t) and a reconstructed Taylor signal defined by:
- le second terme Δ2 est un terme de contrainte associé à ladite au moins une contrainte que doit respecter la distribution d'amplitudes P(G) solution de l'équation précédente, ledit second terme étant introduit par un coefficient de Lagrange , permettant d'adapter la contribution du second terme de la fonction de coût Ha par rapport au premier terme.
the second term Δ 2 is a constraint term associated with the said at least one constraint which must be satisfied by the distribution of amplitudes P (G) solution of the preceding equation, said second term being introduced by a coefficient of Lagrange, allowing to adjust the contribution of the second term of the cost function H from the first term.
4. - Procédé selon la revendication 3, caractérisé en ce que ledit premier terme j2 est une distan pe « moindres carrés » prenant la forme :
4. - Method according to claim 3, characterized in that said first term j 2 is a distan pe "least squares" taking the form:
où le signal de Taylor expérimental S(t) et la fonction reconstruite S ' (t) sont échantillonnés temporellement, chaque échantillon étant indexé par un entier k variant entre la valeur unité et la valeur L. where the experimental Taylor signal S (t) and the reconstructed function S '(t) are sampled temporally, each sample being indexed by an integer k varying between the unit value and the value L.
5. - Procédé selon la revendication 3 ou la revendication 4, caractérisé en ce que ladite au moins une contrainte que doit respecter la distribution d'amplitudes P(G) solution de l'équation précédente, est une contrainte de régularité associée à un terme de contrainte Δ2 prenant de préférence la forme :
5. - Method according to claim 3 or claim 4, characterized in that said at least one constraint that must comply with the distribution of amplitudes P (G) solution of the preceding equation, is a regularity constraint associated with a term stressing device Δ 2 preferably taking the form:
6. - Procédé selon l'une quelconque des revendications 3 à 5, caractérisé en ce que l'étape d'analyse comporte une étape de détermination de la valeur optimale 0 du coefficient de Lagrange de manière à ce que la valeur du terme de distance j2 correspondant au minimum de ladite fonction de coût Ha=a0 soit proche par valeurs inférieures d'une erreur statistique v , de préférence de la forme v = L - N . 6. - Process according to any one of claims 3 to 5, characterized in that the analysis step comprises a step of determining the optimum value 0 of the Lagrange coefficient so that the value of the term of distance j 2 corresponding to the minimum of said cost function H a = a0 is close by lower values of a statistical error v , preferably of the form v = L - N.
7.- Procédé selon l'une quelconque des revendications 3 à 5, caractérisé en ce que, ledit intervalle d'intérêt des valeurs du paramètre G(c) étant délimité par une borne inférieure Gmin et une borne supérieure Gmax, le procédé comporte une étape de détermination des valeurs des bornes inférieure et supérieure. 7. A method according to any one of claims 3 to 5, characterized in that, said interval of interest of the values of the parameter G (c) being delimited by a lower bound G min and an upper bound G max, the method includes a step of determining the values of the lower and upper bounds.
8.- Procédé selon la revendication 7, caractérisé en ce qu'elle comporte une étape de décomposition en cumulants d'un signal de Taylor normalisé s(t) associé au signal de8. A method according to claim 7, characterized in that it comprises a cumulative decomposition step of a standardized Taylor signal s (t) associated with the signal of
Taylor expérimental S(t) par le relation : s(t) = S (t)/S ( t0 ) , consistant à ajuster à la courbe ln s( ] un polynôme du second ordre de la variable (t - t0 )2 de manière à déterminer les cumulants de premier ordre Γ1 et de second ordre Γ2 , et en ce que ladite étape de détermination des valeurs des bornes inférieure et supérieure utilise les équations :
Experimental Taylor S (t) by the relation: s (t) = S (t) / S (t 0 ), consisting in fitting to the curve ln s (] a polynomial of the second order of the variable (t - t 0 ) 2 to determine the first-order cumulants Γ 1 and second-order Γ 2 , and in that said step of determining the values of the lower and upper bounds uses the equations:
où ? et ^sont respectivement la moyenne et l'écart-type du logarithme du paramètre G d'une distribution log-normale, puis, or ? and ^ are respectively the mean and the standard deviation of the logarithm of the G parameter of a log-normal distribution, then,
G* = p(p - k [2y) et G^ = exp(/? + 2>). G * = p (p - k [2y) and G ^ = exp (/? + 2>).
9.- Procédé selon la revendication 7, caractérisé en ce que ladite étape de détermination des valeurs des bornes inférieure et supérieure de l'intervalle d'intérêt est empirique et consiste à : 9. A method according to claim 7, characterized in that said step of determining the values of the lower and upper bounds of the interval of interest is empirical and consists of:
- déterminer un signal de Taylor normalisé s(t) associé au signal de Taylor expérimental S(t) par la relation : s(t) = S(t)/S( t0 ) , determining a normalized Taylor signal s (t) associated with the experimental Taylor signal S (t) by the relation: s (t) = S (t) / S (t 0 ),
- calculer le logarithme ln[s(t)] , calculate the logarithm ln [s (t)],
- déterminer la dérivée par rapport à la variable x = (t - t0 )2 , et determining the derivative with respect to the variable x = (t - t 0 ) 2 , and
dx dx
- déterminer les valeurs des paramètres et reliés aux extrema de ladite dérivée selon les relations :
determining the values of the parameters and related to the extrema of said derivative according to the relationships:
-1 / 2 -1 / 2
^"inax ^ max^ " inax ^ max
avec amia = 0,1 ; = 3 déterminer les bornes inférieure G^ et supérieure G^ en utilisant les équati - pour c=1 : G^ = , = τ^η with a mia = 0.1; = 3 determine the lower bounds G ^ and higher G ^ using the equates - for c = 1: G ^ =, = τ ^ η
- pour c=-1 : G^ = , = , - for c = -1: G ^ =, =,
- pour c= -1/cf = -(1 +a)/3 : Gmn = -I . G» ί- min ' max ^ max for c = -1 / cf = - (1 + a) / 3: G mn = -I. G " ί-min 'max ^ max
10.- Procédé selon l'une quelconque des revendications précédentes, caractérisé en ce qu'il comporte une étape de mesure d'une moyenne en T, (G)T , du paramètre G(1) à partir du signal de Taylor expérimental et/ou d'une moyenne en Γ , (θ)Γ , du paramètre G(1) à partir de la décomposition en cumulants, chaque moyenne pouvant être utilisée
dans une contrainte que doit respecter la distribution d'amplitudes P(Gm ) solution de l'équation précédente. 10. A method according to any one of the preceding claims, characterized in that it comprises a step of measuring a mean T, (G) T , of the parameter G (1) from the experimental Taylor signal and / or an average in Γ, (θ) Γ , of the parameter G (1) from the decomposition into cumulants, each average being usable in a constraint that must comply with the distribution of amplitudes P (G m ) solution of the previous equation.
1 1 .- Procédé selon la revendication 7 et la revendication 10 en combinaison, caractérisé en ce que ladite étape de détermination des valeurs des bornes inférieure Gmin et supéri r Gmax utili les équations :
1 1 .- A method according to claim 7 and claim 10 in combination, characterized in that said step of determining the lower bound values G min and upper G max utilizes the equations:
7 = 7 =
(G)T (G) T
puis then
= exp( ?-£V2r) et = exp(/? + 2>). = exp (? - £ V2r) and = exp (/? + 2>).
12. - Procédé selon l'une quelconque des revendications précédents, comprenant une étape de détermination d'un temps au sommet du signal de Taylor expérimental S(t) , l'étape de détermination du temps au sommet comprenant les sous-étapes consistant à : A method according to any one of the preceding claims, comprising a step of determining a peak time of the experimental Taylor signal S (t), the step of determining the peak time comprising the substeps of :
- obtenir une première estimation t0,gUess du temps au sommet, - get a first estimate t 0 , gU ess time at the top,
- faire, pour plusieurs temps au sommet à tester to i différents choisis autour du temps au sommet estimé t0,gUess, une série d'analyses de type cumulant, en considérant plusieurs plages de temps d'étendues différentes fixées par un niveau de coupure ; - how, for several times at the top to t test oi different selected time around the estimated peak t 0, gU ess, a series of type cumulant analysis, considering several different extents time ranges determined by a level of cut;
- choisir un temps au sommet t0 optimal comme étant celui se situant entre les temps au sommet pour lesquels le premier cumulant r le deuxième cumulant Γ2 et/ou le rapport du deuxième cumulant sur le premier cumulant au carré, diverge vers des valeurs positives lorsque le niveau de coupure augmente, et ceux pour lesquels, respectivement, le premier cumulant r le deuxième cumulant Γ2 et/ou le rapport du deuxième cumulant sur le premier cumulant au carré, diverge vers des valeurs négatives lorsque le niveau de coupure augmente. choosing a time at the optimum peak t 0 as being that between the times at the summit for which the first cumulant r the second cumulant Γ 2 and / or the ratio of the second cumulant on the first cumulant squared, diverges to positive values when the cutoff level increases, and those for which, respectively, the first cumulant r the second cumulant Γ 2 and / or the ratio of the second cumulant on the first cumulant squared, diverges to negative values when the cutoff level increases.
13. - Support d'enregistrement d'informations, caractérisé en ce qu'il comporte des instructions pour l'exécution d'un procédé de détermination de la distribution en rayon hydrodynamique ou en coefficient de diffusion ou en masse molaire d'un mélange d'espèces moléculaires ou particulaires conforme à l'une quelconque des revendications 1 à 12, lorsque les instructions sont exécutées par un calculateur électronique.
13. - Information recording medium, characterized in that it comprises instructions for the execution of a method for determining the hydrodynamic radius distribution or diffusion coefficient or molar mass of a mixture of Molecular or particulate species according to any one of claims 1 to 12, when the instructions are executed by an electronic calculator.
14.- Système de détermination de la distribution en rayon hydrodynamique ou en coefficient de diffusion ou en masse molaire d'un mélange d'espèces moléculaires ou particulaires, comportant un calculateur électronique, caractérisé en ce que ledit calculateur électronique est programmé pour exécuter un procédé de détermination de la distribution en rayon hydrodynamique ou en coefficient de diffusion ou en masse molaire d'un mélange d'espèces moléculaires ou particulaires conforme à l'une quelconque des revendications 1 à 12.
14. A system for determining the hydrodynamic radius or diffusion coefficient or molar mass distribution of a mixture of molecular or particulate species, comprising an electronic calculator, characterized in that said electronic calculator is programmed to execute a method for determining the hydrodynamic radius or diffusion coefficient or molar mass distribution of a mixture of molecular or particulate species according to any one of claims 1 to 12.
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