WO1998026335A1 - Verfahren zur automatischen einstellung eines pid-reglers, der eine lineare regelstrecke steuert, unter verwendung des bode-diagramms des regelkreises - Google Patents

Verfahren zur automatischen einstellung eines pid-reglers, der eine lineare regelstrecke steuert, unter verwendung des bode-diagramms des regelkreises Download PDF

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WO1998026335A1
WO1998026335A1 PCT/DE1997/002892 DE9702892W WO9826335A1 WO 1998026335 A1 WO1998026335 A1 WO 1998026335A1 DE 9702892 W DE9702892 W DE 9702892W WO 9826335 A1 WO9826335 A1 WO 9826335A1
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controller
control loop
functional
characteristic
zero crossing
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PCT/DE1997/002892
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Klaus Weinzierl
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Siemens Aktiengesellschaft
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    • G—PHYSICS
    • G05—CONTROLLING; REGULATING
    • G05B—CONTROL OR REGULATING SYSTEMS IN GENERAL; FUNCTIONAL ELEMENTS OF SUCH SYSTEMS; MONITORING OR TESTING ARRANGEMENTS FOR SUCH SYSTEMS OR ELEMENTS
    • G05B13/00—Adaptive control systems, i.e. systems automatically adjusting themselves to have a performance which is optimum according to some preassigned criterion
    • G05B13/02—Adaptive control systems, i.e. systems automatically adjusting themselves to have a performance which is optimum according to some preassigned criterion electric
    • G05B13/04—Adaptive control systems, i.e. systems automatically adjusting themselves to have a performance which is optimum according to some preassigned criterion electric involving the use of models or simulators
    • G05B13/042—Adaptive control systems, i.e. systems automatically adjusting themselves to have a performance which is optimum according to some preassigned criterion electric involving the use of models or simulators in which a parameter or coefficient is automatically adjusted to optimise the performance
    • G—PHYSICS
    • G05—CONTROLLING; REGULATING
    • G05B—CONTROL OR REGULATING SYSTEMS IN GENERAL; FUNCTIONAL ELEMENTS OF SUCH SYSTEMS; MONITORING OR TESTING ARRANGEMENTS FOR SUCH SYSTEMS OR ELEMENTS
    • G05B11/00—Automatic controllers
    • G05B11/01—Automatic controllers electric
    • G05B11/36—Automatic controllers electric with provision for obtaining particular characteristics, e.g. proportional, integral, differential
    • G05B11/42—Automatic controllers electric with provision for obtaining particular characteristics, e.g. proportional, integral, differential for obtaining a characteristic which is both proportional and time-dependent, e.g. P. I., P. I. D.

Definitions

  • a model of the controlled system can be used to construct the frequency characteristics of the Bode diagram.
  • An experienced control engineer can determine suitable controller parameters from this.
  • root locus curves can also be constructed and a simulation of the closed control loop can be carried out.
  • simplifications are often carried out on the route model, e.g. B. performed an approximation of an inert system by a simpler low-order model.
  • suitable controller parameters can already be determined using analytical formulas, e.g. B. after the optimum amount. Simple formulas are often sufficient, e.g. B. according to Ziegler and Nichols, for controller setting.
  • the problem on which the invention is based is to specify a method which is based on the minimization of a
  • an algorithm is developed which can be used for controller calculation for general linear controlled systems.
  • a controller set in this way fulfills the requirements better than a controller which has been calculated using the known method on the basis of a function in the time domain.
  • the controller parameters can be determined, with which it is achieved that the control loop has only a slight overshoot, has great stability and settles quickly.
  • Both functionals evaluate the frequency response of the Bode diagram in the vicinity of the zero crossing and contain the zero crossing itself. By minimizing one of these functions with regard to the controller parameters, the controller can be optimally adjusted.
  • 1 is a block diagram of a control loop
  • FIG. 2 is an illustration of the Bode diagram, the route jump response and the leadership jump response; Fig. 3 of Fig. 2 corresponding diagrams that serve to explain the functional.
  • FIG. 1 shows a basic circuit diagram of a control circuit which is generally known. It shows a controlled system RS that is to be controlled with the aid of a controller RG.
  • the controller RG generates a manipulated variable Y, which is fed to the controlled system RS together with disturbance variables Z.
  • the controlled system RS emits the controlled variable X, which is fed to the controller with a reference variable W.
  • the manipulated variable Y is generated from the difference between the controlled variable X and the reference variable W.
  • the controller RG is set according to the properties of the controlled system RS with controller parameters RP. These controller parameters RP are with
  • the Bode diagram of the controlled system RS is used to design the controller using the frequency characteristic curve method. It is assumed that the controlled system RS is linear, time-invariant and stable.
  • the transfer behavior of the controlled system RS can be described by a transfer function H s (s), which represents a complex-valued function of the complex variables s.
  • log is the tens logarithm and arg is the angle of a complex number in degrees.
  • the function b s (x) thus characterizes the absolute frequency response (absolute characteristic) RS__B (Fig.2a) of the controlled system RS in the Bode diagram, the function p s (x) the associated phase response (phase characteristic) RS_P, Fig.2b.
  • the PID controller can also be shown in the bottom diagram.
  • the transfer function of the PID controller is due to the relationship
  • controller parameters Kp, T v and T n occur in equation (4), where Kp means the proportional gain, T n the reset time and T v the derivative action time.
  • Controller parameters are usually positive constants.
  • the associated functions of the Bode diagram for the PID controller are b r (x) and p r (x) and correspond analogously to the functions of the controlled system, which are given in equation (2) and equation (3).
  • equations (2) and (3) only the index s has to be replaced by the index r.
  • the corresponding magnitude characteristic RG_B and phase characteristic RG_P are also shown in FIGS. 2a, b.
  • H 0 (j ⁇ ): H r (j ⁇ ) H s (j ⁇ ) (5) receives. If the functions b 0 (x) and p 0 (x) are introduced in the same way as the functions b r (x) and p r (x) as well as b s (x) and p s (x), we can one determines the two functions b 0 (x) and p 0 (x) based on equation (5) and logarithmization by a simple summation, ie
  • FIG. 2 shows the magnitude characteristics of the Bode diagram as FIG. 2a, FIG. 2b the phase characteristics, FIG. 2c the step response of the controlled system and FIG. 2d the lead step response.
  • FIG. 2a shows the magnitude characteristics of the Bode diagram as FIG. 2a, FIG. 2b the phase characteristics, FIG. 2c the step response of the controlled system and FIG. 2d the lead step response.
  • H (j ⁇ ) H ° (j , (8) l + H 0 ( D ⁇ )
  • RK_P, RK_B of the open control loop RK in the amount of FIG. 2a or phase FIG. 2b each form the sum of the characteristic curves RG_B or RG_P of the controller and RS_B or RS_P of the controlled system.
  • the distance of the curve RK_P from the -180 ° mark referred to below as the phase reserve PRE, is significant. If this is sufficiently large, a well damped settling behavior of the closed circuit can be expected.
  • the phase reserve PRE the distance of the curve RK_P from the -180 ° mark
  • the example shows how the controller setting works in principle with the help of the Bode diagram. It is noteworthy that the rules of thumb mentioned on the course of the frequency characteristics only in an environment of the
  • Point x 0 based. This is a known fact when designing a controller using the frequency characteristic method and simplifies the design considerably.
  • the following goals are now pursued: by adding a suitable magnitude characteristic RG_B of the controller to the magnitude characteristic RS_B of the route, the point x 0 is tried so far to shift to the right as possible. Variations are available for this by selecting the parameters of the PID controller. It is required as a secondary condition that this sum amount characteristic RK_B falls sufficiently steep in an environment of the point x 0 and the
  • Summer phase characteristic RK_P has a value> -110 ° in an environment of point x 0 .
  • the invention now consists in formulating these known facts in the sense of an optimization task and performing the numerical optimization fully automatically on a digital computer. For this purpose, a corresponding functional is introduced with which the value x 0 and the course of the frequency response in its environment are evaluated.
  • FIG. 3 The effect of the function is illustrated in FIG. 3. There are also the magnitude characteristics Fig. 3a, the phase characteristics Fig. 3b, the
  • the functional is formulated in such a way that any course of the magnitude curve b 0 (x) which lies within the hatched area STRAF in FIG. 3a is punished.
  • the same also applies to the phase characteristic curve Fig. 3b.
  • a high value of x 0 ie a high crossover frequency ⁇ 0, is rewarded in the Bode diagram.
  • the ramp function is used for the formal description of the function
  • the ramp function r explicitly suppresses a reward or punishment if the amplitude specification is exceeded.
  • the function g ⁇ _ ( ⁇ x) the mentioned penalty contribution depends on the distance
  • the properties of the optimal controller setting with regard to the function can still be influenced by varying the penalty areas. For example, if you allow a smaller phase reserve, i.e. H. If you move the penalty area for the phase curve down a bit, you will generally get a faster controller setting with greater overshoot.
  • the result can also be influenced by selecting other weight functions g ⁇ _ and g2.
  • Equation 12 Another function results from equation 12, which can be used to determine the controller parameters.
  • the optimization properties for critical controlled systems are improved by introducing a separate weighting of the controller parameters by means of a function. The functional used is therefore
  • G: (r (b ⁇ (x) + ⁇ )) gi ( ⁇ x) + (r (-90ß ⁇ ° - Po (x))) g 2 ( ⁇ x) fixed
  • ⁇ and ß denote real numbers that should be selected between 1 and 1.2 for low overshoot.
  • ß ⁇ the control speed increases, but so does the tendency to oscillate in the closed circuit.
  • Values with ß ⁇ > 2 generally lead to an unstable control loop.
  • the correction function f (Kp, T n , T v ) includes a small reward for larger values of Kp, 1 / T n and T v and the quotient T n / T v .
  • the functional is again minimized in a known manner with regard to the control parameters Kp, T n and T v . This results in the controller parameters, which are used as optimal setting values for the PID controller.

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Abstract

Die Regelparameter eines PID-Reglers, der eine lineare Regelstrecke steuert, werden unter Verwendung des Bode-diagramms im Frequenzbereich ermittelt. Dazu wird ein Funktional herangezogen, das einen Term aufweist, der die Steilheit der Betragskennlinie des offenen Regelkreises in der Umgebung des Nulldurchgangs bewertet, einen Term aufweist, der den Wert der Phasenkennlinie in der Umgebung des Nulldurchgangs bewertet und einen Term aufweist, der die Größe des Nulldurchgangs bewertet. Das Funktional wird bezüglich der Reglerparameter optimiert und mit den gewonnenen Parameter der Regler eingestellt.

Description

Beschreibung
Verfahren zur automatischen Einstellung eines PID-Reglers, der eine lineare Regelstrecke steuert, unter Verwendung des Bode-Diagramms des Regelkreises
Zur Gewinnung der Parameter eines PID-Reglers gibt es zahlreiche Verfahren. Ist ein Modell der Regelstrecke bekannt, so können mit dessen Hilfe die Frequenzkennlinien des Bode-Diagramms konstruiert werden. Ein erfahrener Regelungstechniker kann hieraus passende Reglerparameter bestimmen. Zur Unterstützung können auch Wurzelortskurven konstruiert und eine Simulation des geschlossenen Regelkreises durchgeführt werden. In der Praxis werden oft auch Vereinfachungen beim Streckenmodell ausgeführt, z. B. eine Approximation einer trägen Regelstrecke durch ein einfacheres Modell niedriger Ordnung durchgeführt. Für diese Fälle können passende Reglerparameter bereits mittels analytischer Formeln, z. B. nach dem Betragsoptimum, angegeben werden. Oft genügen auch bereits einfache Faustformeln, z. B. nach Ziegler und Nichols, zur Reglereinstellung. Einen Überblick über diese bekannten
Methoden und Konzepte vermittelt z. B. die Literaturstelle [1] .
Trotz dieser Vielzahl von Verfahren gibt es zum Entwurf von PID-Reglern kaum Konzepte, welche sich auf allgemeine
Regelstrecken anwenden und sich auf einem Digitalrechner zur vollautomatischen Reglerberechnung implementieren lassen. Die einfachen Faustregeln sind manchmal ungenau, eine Approximation durch Modelle niedriger Ordnung führt je nach verwendetem Modell zu unterschiedlichen Reglern und die
Entscheidung über ein konkretes Modell ist vollautomatisch schwierig zu treffen. Der Reglerentwurf auf der Basis des Bode-Diagramms ist durch einige Expertenregeln nur ungenau spezifiziert, was ebenso auf die Reglerauslegung mittels Wurzelortskurven zutrifft.
Geeignet für eine vollautomatische Implementation mit Hilfe des digitalen Rechners für allgemeine lineare Regelstrecken sind dagegen Ansätze zur Reglerberechnung, bei denen ein im Zeitbereich definiertes Funktional minimiert wird. Das genannte Funktional bewertet dabei bei sprungförmiger Führungsgröße die Abweichung zwischen der Führungsgröße und der Regelgröße im zeitlichen Verlauf, siehe z. B. [2,3]. Diese Methode wird in der Praxis selten verwendet, weil sie praktische Randbedingungen wie Robustheit und gut gedämpftes, ruhiges Regelkreisverhalten außer acht läßt. Z. B. kann der Fall eintreten, daß ausgerechnet ein Regler das genannte
Funktional minimiert, welcher die Regelgröße zunächst ohne Überschwingen rasch gegen den Sollwert führt, noch einmal deutlich abfallen und erst dann einschwingen läßt. Hier wäre eine langsamere, besser gedämpfte Reglereinstellung vorzuziehen. Der durch die Minimierung eines Funktionais verursachte erhöhte Rechenaufwand stellt dagegen heute bei den leistungsfähigen Digitalrechnern kein entscheidendes Hindernis mehr dar.
Aus [4] ist bekannt, Regelparameter derart zu ermitteln, daß
Werte der Laplace-transformierten Übertragungsfunktion der Regelstrecke aus mehreren Meßwerten XJ_, OJ_ für mehrere Werte Sj=dj+jDdj (D=Dämpfung) bestimmt werden. Für verschiedene, zufällig ausgewählte Parametersätze des Reglers werden die Werte SJ ermittelt, für welche die Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises G(Sj)R(Sj, Pj_)=-l ist, bis daß Sj mit dem kleinsten Realteil dj ermittelt sind.
Das der Erfindung zugrundeliegende Problem besteht darin, ein Verfahren anzugeben, welches auf der Minimierung eines
Funktionais beruht, jedoch im Bode-Diagramm formuliert ist. Dieses Problem wird gemäß den Merkmalen des Patentanspruches 1 gelöst .
Nach dem Verfahren wird ein Algorithmus entwickelt, welcher zur Reglerberechnung für allgemeine lineare Regelstrecken eingesetzt werden kann. Ein so eingestellter Regler erfüllt die Anforderungen besser als ein Regler, der auf dem bekannten Verfahren auf der Basis eines Funktionais im Zeitbereich berechnet worden ist.
Als Weiterbildungen der Erfindung werden zwei Funktionale angegeben, die berücksichtigen, daß die Amplitudenkurve (Betragskennlinie) des Bode-Diagramms möglichst steil im Bereich des Nulldurchgangs der Betragskennlinie ist, die Phasenkennlinie in der Umgebung des Nulldurchgangs der
Betragskennlinie möglichst nicht unterhalb von ca. -110 Grad verläuft und der Nulldurchgang selbst bei einer möglichst hohen Frequenz auftritt. Die Folge ist, daß mit Hilfe dieser Funktionale die Reglerparameter bestimmt werden können, mit denen erreicht wird, daß der Regelkreis nur ein geringes Überschwingen hat, große Stabilität aufweist und schnell einschwingt. Beide Funktionale bewerten den Frequenzgang des Bode-Diagramms in der Umgebung des Nulldurchgangs und enthalten den Nulldurchgang selbst. Mit Hilfe der Minimierung eines dieser Funktionale bezüglich der Reglerparameter kann der Regler optimal eingestellt werden.
Andere Weiterbildungen der Erfindung ergeben sich aus den abhängigen Ansprüchen.
Anhand von Ausführungsbeispielen, die in den Figuren dargestellt sind, wird die Erfindung weiter erläutert.
Es zeigen
Fig. 1 ein Prinzipschaltbild eines Regelkreises,
Fig. 2 eine Darstellung des Bode-Diagramms, der Strecken- sprungantwort und der Führungssprungantwort ; Fig. 3 der Fig. 2 entsprechende Diagramme, die zur Erläuterung der Funktionale dienen.
Fig. 1 zeigt ein Prinzipschaltbild eines Regelkreises, das allgemein bekannt ist. Es zeigt eine Regelstrecke RS, die mit Hilfe eines Reglers RG geregelt werden soll. Der Regler RG erzeugt eine Stellgröße Y, die der Regelstrecke RS zusammen mit Störgrößen Z zugeführt wird. Die Regelstrecke RS gibt die Regelgröße X ab, die mit einer Führungsgröße W dem Regler zugeleitet wird. Aus der Differenz der Regelgröße X und der Führungsgröße W wird die Stellgröße Y erzeugt. Dazu ist erforderlich, daß der Regler RG entsprechend den Eigenschaften der Regelstrecke RS mit Reglerparametern RP eingestellt wird. Diese Reglerparameter RP sind beim
Reglerentwurf entsprechend der Regelstrecke RS zu ermitteln und bestimmen das Verhalten des Regelkreises.
Zum Reglerentwurf mit Hilfe des Frequenzkennlinienverfahrens wird das Bode-Diagramm der Regelstrecke RS benützt. Dabei wird vorausgesetzt, daß die Regelstrecke RS linear, zeitinvariant und stabil ist. Das Übertragungsverhalten der Regelstrecke RS kann durch eine Übertragungsfunktion Hs(s) beschrieben werden, welche eine komplexwertige Funktion der komplexen Veränderlichen s darstellt. Für s=jω, ω>0 erhält man den sog. Frequenzgang. Trägt man den Betrag logarithmisch, d. h. log ( |HS (jω) | ) , und die Phase arg(Hs(jω)) über log.ω) auf, so entsteht das bekannte Bode- Diagramm. Mit log sei dabei hier der Zehner-Logarithmus und mit arg der Winkel einer komplexen Zahl im Gradmaß bezeichnet .
Als abkürzende Bezeichnungen werden nun die logarithmische Frequenz
x := log(ω) (1) sowie die Funktionen
bs(x): = log (|Hs( lOX)|) (2) und ps(x):= arg^Hs(jl0x)| (3)
eingeführt. Die Funktion bs (x) charakterisiert damit genau den Betragsfrequenzgang (Betragskennkinie) RS__B (Fig.2a) der Regelstrecke RS im Bode-Diagramm, die Funktion ps (x) den dazugehörigen Phasengang (Phasenkennlinie) RS_P, Fig.2b.
Auch der PID-Regler kann im Bodediagramm dargestellt werden. Die Übertragungsfunktion des PID-Reglers ist dabei durch die Beziehung
Hr(jω) = κp(l + jωT. + l / (jωT ) (4)
gegeben. Hierbei treten in Gleichung (4) die Reglerparameter Kp, Tv und Tn auf, wobei Kp die Proportionalverstärkung, Tn die Nachstellzeit und Tv die Vorhaltzeit bedeutet. Diese
Reglerparameter sind in der Regel positive Konstanten. Die zugehörigen Funktionen des Bode-Diagramms für den PID-Regler sind br(x) und pr (x) und entsprechen sinngemäß den Funktionen der Regelstrecke, die in Gleichung (2) und Gleichung (3) angegeben sind. In den Gleichungen (2) und (3) muß lediglich der Index s durch den Index r ersetzt werden. Die entsprechende Betragskennlinie RG_B und Phasenkennlinie RG_P sind ebenfalls in Fig. 2a, b gezeigt.
Für die Stabilität des geschlossenen Kreises ist der
Frequenzgang des offenen Kreises von Bedeutung, welchen man gemäß
H0(jω):= Hr(jω)Hs(jω) (5) erhält. Führt man die Funktionen b0 (x) und p0 (x) in derselben Weise wie bereits zuvor die Funktionen br(x) und pr(x) sowie bs (x) und ps (x) ein, so kann man die beiden Funktionen b0 (x) und p0(x) wegen Gleichung (5) und der Logarithmierung durch eine einfache Summation bestimmen, d. h.
b0 = br(x) + bs(x) (δ) und
Po = Pr(x) + Ps(x) (7)
Im folgenden sei vorausgesetzt, daß b0 (x) genau eine Nullstelle x0 mit bo(xo)=0 besitzt. Der geschlossene Regelkreis ist grob formuliert nach dem Nyquistkriterium stabil, wenn die dazugehörige Phasenfunktion an der Stelle x0 größer -180° ist, d. h. po(xo)>-180° ist. Der Regelkreis ist instabil, wenn po(xo)<-180° ist. Einzelheiten über diese Voraussetzungen sind allgemein bekannt und können z. B. [1] entnommen werden.
Als Faustregeln sind bekannt, daß ein gut gedämpftes
Verhalten des geschlossenen Regelkreises entsteht, wenn po(xo)>-110° ist. Weiterhin schwingt der geschlossene Regelkreis umso schneller ein, je größer x0 ist. Diese Faustregeln treffen vor allem dann zu, wenn in einer Umgebung von x0 die Betragsfunktion b0 (x0) hinreichend rasch fällt.
Die Gültigkeit dieser Faustregeln kann z. B. Fig. 2 entnommen werden. Fig. 2 zeigt als Fig. 2a die Betragskennlinien des Bode-Diagramms, Fig. 2b die Phasenkennlinien, Fig.2c die Sprungantwort der Regelstrecke und Fig. 2d die Führungssprungantwort. Aus Fig. 2a ergeben sich die
Betragskennlinie RG_B für den Regler RG, die Betragskennlinie RS_B für Regelstrecke RS und die Betragskennlinie RK_B für den offenen Regelkreis. Entsprechend ergeben sich aus Fig. 2b die Phasenkennlinie RG_P für den Regler RG, die Phasenkennlinie RS_P für Regelstrecke RS und die
Phasenkennlinie RK_P für den offenen Regelkreis. In den Fig. 2c und 2d ist die Streckensprungantwort SA und die Sprungantwort SP des Führungsregelkreises mit der Übertragungsfunktion
H(jω) = H°(j , (8) l + H0(Dω)
dargestellt. Die im Bode-Diagramm gezeichneten
Frequenzkennlinien Fig. 2a, 2b entsprechen den eingeführten
Betrags- und Phasenfunktionen. Man erkennt, daß die Kurven
RK_P, RK_B des offenen Regelkreises RK bei Betrag Fig. 2a bzw. Phase Fig. 2b jeweils die Summe der Kennlinien RG_B bzw. RG_P des Reglers und RS_B bzw. RS_P der Regelstrecke bilden. Der Nulldurchgang x0 der Betragskennlinie RK_B der offenen Regelstrecke ist durch deren Schnittpunkt mit der horizontalen Linie 10^ (χ) =10°=1 gekennzeichnet. An dieser Stelle ist nun der im folgenden als Phasenreserve PRE bezeichnete Abstand der Kurve RK_P von der -180°- Marke bedeutsam. Ist dieser ausreichend groß, so ist mit einem gut gedämpften Einschwingverhalten des geschlossenen Kreises zu rechnen. Bei Fig. 2 liegt der genannte Schnittpunkt relativ weit rechts, so daß mit einem schnellen Einschwingen des geschlossenen Regelkreises zu rechnen ist. Dies ist auch der Fall, wie Fig. 2d zeigt, jedoch nur bis zu einem Wert von ca. 0,8. Der Sollwert 1 wird nur kriechend erreicht. Dies ist im Bode-Diagramm auf den geringen Abstand der Kurve RK_B vom Wert 10(->=1 links des Schnittpunktes x0 zurückzuführen.
Das Beispiel zeigt, wie die Reglereinstellung mit Hilfe des Bode-Diagramms im Prinzip arbeitet. Es ist bemerkenswert, daß die genannten Faustregeln auf dem Verlauf der Frequenzkennlinien ausschließlich in einer Umgebung des
Punktes x0 beruhen. Dies ist eine bekannte Tatsache beim Reglerentwurf mit Hilfe des Frequenzkennlinienverfahrens und vereinfacht den Entwurf erheblich. Bei der Regleroptimierung werden nun die folgenden Ziele verfolgt : Man versucht durch Addition einer geeigneten Betragskennlinie RG_B des Reglers zur Betragskennlinie RS_B der Strecke den Punkt x0 so weit wie möglich nach rechts zu verschieben. Hierzu stehen durch Wahl der Parameter des PID-Reglers Variationsmöglichkeiten zur Verfügung. Es wird dabei als Nebenbedingung verlangt, daß diese Summenbetragskennlinie RK_B in einer Umgebung des Punktes x0 ausreichend steil fällt und die
Su menphasenkennlinie RK_P in einer Umgebung des Punktes x0 einen Wert >-110° aufweist. Die Erfindung besteht nun darin, diese bekannten Tatsachen im Sinne einer Optimierungsaufgabe zu formulieren und die numerische Optimierung vollautmatisch auf einem Digitalrechner auszuführen. Hierzu wird ein entsprechendes Funktional eingeführt, mit welchem der Wert x0 und der Verlauf des Frequenzganges in seiner Umgebung bewertet wird.
Die Wirkung des Funktionais wird anhand der Fig. 3 veranschaulicht. Dort sind ebenfalls die Betragskennlinien Fig. 3a, die Phasenkennlinien Fig. 3b, die
Streckensprungantwort Fig. 3c und die FührungsSprungantwort Fig. 3d gezeigt. Das Funktional wird derartig formuliert, daß jeder Verlauf der Betragskurve b0 (x) bestraft wird, der innerhalb des schraffierten Gebietes STRAF in Fig. 3a liegt. Dasselbe gilt auch für die Phasenkennlinie Fig. 3b. Die Bestrafung erfolgt umso stärker, je tiefer die genannten Kurven in die Strafgebiete STRAF eindringen und je näher der jeweils verletzte Teil des Strafgebietes dem Durchtrittspunkt x0=log(ω0) liegt. Andererseits wird ein hoher Wert von x0, d. h. eine hohe Durchtrittsfrequenz ω0 im Bode-Diagramm belohnt .
Zur formelmäßigen Beschreibung des Funktionais wird zunächst die Rampenfunktion
Figure imgf000010_0001
und die Differenz Δx:=x-x0 (10)
eingeführt. Mit gτ_ (Δx) und g2 (Δx) werden Funktionen bezeichnet, die für Δx—»±∞ hinreichend rasch verschwinden, für Δx<0 bzw. Δx>0 streng monoton steigen bzw. fallen und bezüglich des Ursprungs symmetrisch sind. Eine solche Funktion ist z. B. die Gauss-Funktion. Sie dient als Bewertungsfunktion für die Umgebung des Punktes x0.
Die Berücksichtigung all dieser Punkte führt z. B. zum folgenden Funktional
dx - x.
Figure imgf000011_0001
Figure imgf000011_0002
(11)
Dabei charakterisiert der im Integral links stehende, quadrierte Term den Beitrag zur Strafe bei einem Eindringen der Amplitudenkurve b0 in das Strafgebiet STRAF, das in diesem speziellen Fall von der Geraden -Δx berandet wird.
Hervorzuheben ist, daß durch die Rampenfunktion r eine Belohnung oder Bestrafung bei einer Übererfüllung der Amplitudenspezifikation explizit unterdrückt wird. Mit der Funktion gη_ (Δx) wird der genannte Strafbeitrag in Abhängigkeit vom Abstand |Δx| gewichtet und zwar umso schwächer, je größer der Abstand von x0 ist.
Der rechts in der Gleichung 11 stehende, quadrierte Term beschreibt den Beitrag zur Strafe, der bei einem Eindringen der Phasenkurve in das Strafgebiet entsteht, das durch -110
Grad nach oben berandet wird. Auch hier wird eine Übererfüllung der Phasenspezifikation nicht belohnt oder bestraft . Der Beitrag wird mit der Funktion g2 (Δx) gewichtet und wird daher umso schwächer, je größer der Abstand von x0 ist. Durch das Integral werden die einzelnen Beiträge zu einem Strafmaß zusammengefaßt . Von diesem Strafterm wird der Wert x0 als Belohnung einer schnellen Reglereinstellung abgezogen. Durch Minimierung des genannten Funktionais bezüglich der Regelparameter Kp, Tn und Tv entstehen bezüglich des Funktionais optimale Einstellwerte für den PID-Regler. Das Resultat ist eine im allgemeinen gut gedämpfte, robuste und dennoch schnelle Reglereinstellung mit sehr geringem Überschwingen .
Die Eigenschaften der bezüglich des Funktionais optimalen Reglereinstellung können noch beeinflußt werden, indem die Strafgebiete variiert werden. Läßt man beispielsweise eine kleinere Phasenreserve zu, d. h. verschiebt man das Strafgebiet für die Phasenkurve etwas nach unten, so gelangt man im Allgemeinen zu einer schnelleren Reglereinstellung mit größerem Überschwingen. Auch durch Wahl anderer Gewichtsfunktionen gη_ und g2 kann das Ergebnis beeinflußt werden .
Aus Gleichung 12 ergibt sich ein weiteres Funktional, das zur Bestimmung der Reglerparameter herangezogen werden kann. Hier wird anstelle der Amplitudenkurve b0 (x) die Ableitung b'0(x) :=db0(x)/dx verwendet. Dadurch wird eine zu große Krümmung der Amplitudenkurve vermieden und eine verbesserte Bewertung in der unmittelbaren Umgebung von x0 erreicht. Zusätzlich werden die Optimierungseigenschaften bei kritischen Regelstrecken verbessert, indem noch eine gesonderte Gewichtung der Reglerparameter durch eine Funktion eingeführt wird. Das verwendete Funktional lautet damit
G:= (r(bό(x) + α)) gi(Δx) + (r(-90ßα° - Po(x))) g2(Δx) fix
Figure imgf000012_0001
Figure imgf000012_0002
(12) Dabei bezeichnen α und ß reelle Zahlen, die für geringes Überschwingen etwa zwischen 1 und 1.2 zu wählen sind. Mit zunehmendem ßα steigt die Regelgeschwindigkeit, aber auch die Schwingneigung des geschlossenen Kreises. Werte mit ßα>2 führen im allgemeinen auf einen instabilen Regelkreis.
Die Korrekturfunktion f (Kp, Tn, Tv) beinhaltet eine geringe Belohnung größerer Werte von Kp, 1/Tn und Tv und des Quotienten Tn/Tv. Das Funktional wird nun wiederum bezüglich der Regelparameter Kp, Tn und Tv auf bekannte Weise minimiert. Daraus ergeben sich die Reglerparameter, die als optimale Einstellwerte für den PID-Regler herangezogen werden .
Literaturverzeichnis
[1] O. Föllinger, Regelungstechnik, 5. Auflage, Hüthig Verlag Heidelberg, 1985, Abschnitte 7.4 und 7.5
[2] A. Weinmann, Regelungen Band 1, 2. Auflage, Springer Verlag, 1988
[3] Dr. G. Schneider, Regelungstechnik, 32. Jahrgang, 1984, Heft 9, Eine einfache Methode zum Entwurf von Regelsystemen mit Begrenzungen, TU Graz
[4] DE 37 26 018 AI

Claims

Patentansprüche
1. Verfahren zur automatischen Einstellung eines PID-Reglers, der eine lineare Regelstrecke (RS) steuert, unter Verwendung des Bode-Diagramms des Regelkreises mit folgenden Schritten:
• Die Reglerparameter (Kp, Tn, Tv) des Reglers (RG) werden mit einem aus dem Bode-Diagramm für Regelstrecke (RS) und Regler (RG) entwickelten Funktional gewonnen,
• das Funktional weist auf a) einen Term, der die Steilheit der Betragskennlinie
(RK_B)des Bode-Diagramms des offenen Regelkreises in einer Umgebung des Nulldurchgangs bewertet, b) einen Term, der den Wert der Phasenkennlinie (RK_P) des offenen Regelkreises in einer Umgebung des Nulldurchgangs bewertet, c) einen Term, der die Lage des Nulldurchgangs selbst bewertet,
• das Funktional wird bezüglich der Reglerparameter minimiert, • mit den dabei gewonnenen Reglerparametern wird der Regler eingestellt .
2. Verfahren nach Anspruch 1, bei dem als Funktional
+ 00
= J 7Ax(b°t Λ*) + Λx)ffg_(Ax) + (r(-110- - P0(x)))2 g_(ΛX) dx - x,.
-00 Δx
verwendet wird, wobei bedeutet : Δx: =x-x0. r=Rampenfunktion; b0=Betragskennlinie des offenen Regelkreises; gι_ und g2 eine Bewertungsfunktion; p0=Phasenkennlinie des offenen Regelkreises.
3. Verfahren nach Anspruch 1, bei dem als Funktional (r(bό(x) + α)) gι(Δx) + (r(-90ßα° - Po(x))) g2 (Δx) fcb
Figure imgf000016_0001
x0 + f(κp, T^,1^)
verwendet wird, wobei bedeutet Δx: =X-Xo; r=Rampenfunktion; b'0=Ableitung der Betragskennlinie des offenen Regelkreises; gτ_ und g2 eine Bewertungsfunktion; p0=Phasenkennlinie des offenen Regelkreises α und ß=reelle Zahl zwischen 1 und 1.2.
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