TWI714462B - 並聯式機械手臂外力估測系統及其方法 - Google Patents

並聯式機械手臂外力估測系統及其方法 Download PDF

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TWI714462B
TWI714462B TW109105755A TW109105755A TWI714462B TW I714462 B TWI714462 B TW I714462B TW 109105755 A TW109105755 A TW 109105755A TW 109105755 A TW109105755 A TW 109105755A TW I714462 B TWI714462 B TW I714462B
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劉孟昆
郭翰
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一種並聯式機械手臂外力估測系統及其方法，控制裝置透過對並聯式機械手臂的位置、速度以及加速度進行運動學分析，再對並聯式機械手臂進行動力學分析，以得到並聯式機械手臂的動態模型，控制裝置透過質量阻尼彈簧二階系統建立並聯式機械手臂與外力的阻抗控制器，控制裝置將並聯式機械手臂的實際軌跡以及並聯式機械手臂的理論軌跡的誤差代入阻抗控制器以計算得到並聯式機械手臂所承受到的外力，藉此可以達成透過建立並聯式機械手臂的動態模型以及阻抗控制器藉以計算反推並聯式機械手臂所承受到的外力的技術功效。

Description

並聯式機械手臂外力估測系統及其方法
一種外力估測系統及其方法，尤其是指一種透過建立並聯式機械手臂的動態模型以及阻抗控制器藉以計算反推並聯式機械手臂所承受到的外力的並聯式機械手臂外力估測系統及其方法。
機械手臂依結構可分為兩類，分別是串聯式機械手臂(serial manipulator)及並聯式機械手臂(parallel manipulator)。串聯式的機械手臂為開放結構，各關節可獨立運作，串聯式機械手臂的工作空間大且自由度高；而並聯式則為封閉結構，其工作空間較小。但並聯式機械手臂具有許多優點，最重要的一是可將致動器固定於基座上，從而大幅減少機械手臂的慣量，且因其封閉式結構，相較串聯式機械手臂擁有更好的剛性，意味著其能完成精確及快速操作。
無論是串聯型或並聯型的機械手臂，若要完成任務勢必要搭配一套控制法則，而傳統的機械手臂控制大多著重於自由空間中的位置控制，例如：噴漆、焊接、拾起-放置...等，這類工作通常不會與環境產生接觸力。對於一些特定的製程，例如：研磨、拋光、組裝...等，位置控制即不再適用。原 因在於位置控制是透過回授位置來決定控制量(control effort)，在這樣的控制法則下，位置控制器會將機械手臂與環境的接觸力視為外部干擾，進而產生更大的接觸力。而當接觸力過大時，機械手臂的控制系統便有可能變得不穩定，即使機械手臂的控制系統保持穩定，致動器也會因為無法克服接觸力而達到飽和，而另外一種可想而知的結果就是機械手臂因過大的接觸力而損壞。
為了使機械手臂能夠完成上述所提到與環境產生相互作用的製程，讓機械手臂具有順應性(compliance)也逐漸變成必要的要件。順應性指的是機械手臂對於環境接觸力的反應能力，而順應運動(compliant motion)則是指與環境相互作時機械手臂末端點(end-point)運動軌跡因受接觸力作用而產生變動的過程。換句話說，順應運動即為順應性的具體表現，而順應運動控制(compliant motion control)則是一種為使機械手臂在受限的環境中運動的一種控制方法。順應運動又可分為主動式與被動式的順應運動控制，主動式是透過控制法則來達成，而被動式則是在末端點安裝彈性元件來達成。
綜上所述，可知先前技術中長期以來一直存在機械手臂對於外力的偵測需要使用額外的感測器致成本增加以及影響機械手臂工作空間的問題，因此有必要提出改進的技術手段，來解決此一問題。
有鑒於先前技術存在機械手臂對於外力的偵測需要使用額外的感測器致成本增加以及影響機械手臂工作空間的問題，本發明遂揭露一種機械手臂對於外力的偵測需要使用額外的感測器致成本增加以及影響機械手臂工作空間系統及其方法，其中： 本發明所揭露的並聯式機械手臂外力估測系統，其包含：並聯式機械手臂以及控制裝置；控制裝置更包含：動態模型建立模組、阻抗控制建立模組以及外力估測模組。
並聯式機械手臂包含有三個馬達、與各馬達相連接的第一連桿、與各第一連桿相連接的第二連桿以及與各第二連桿相連接的操作平台；及控制裝置與並聯式機械手臂的馬達連接，控制裝置自馬達接收量測到的力矩值以及轉動位置，控制裝置生成控制訊號以對並聯式機械手臂的馬達進行控制。
控制裝置的動態模型建立模組是透過對並聯式機械手臂的位置、速度以及加速度進行運動學分析，再對並聯式機械手臂進行動力學分析，以得到並聯式機械手臂的動態模型，並聯式機械手臂的動態模型由接收到的力矩值以及轉動位置所識別與計算出；控制裝置的阻抗控制建立模組是透過質量阻尼彈簧二階系統建立並聯式機械手臂與外力的阻抗控制器；及控制裝置的外力估測模組是將並聯式機械手臂的實際軌跡以及並聯式機械手臂的理論軌跡的誤差代入阻抗控制器以計算得到並聯式機械手臂所承受到的外力。
本發明所揭露的並聯式機械手臂外力估測方法，其包含下列步驟：首先，並聯式機械手臂包含有三個馬達、與各馬達相連接的第一連桿、與各第一連桿相連接的第二連桿以及與各第二連桿相連接的操作平台；接著，控制裝置與並聯式機械手臂的馬達連接，控制裝置自馬達接收量測到的力矩值以及轉動位置，控制裝置生成控制訊號以對並聯式機械手臂的馬達進行控制；接著，控制裝置透過對並聯式機械手臂的位置、速度以及加速度進行運動學分析，再對並聯式機械手臂進行動力學分析，以得到並聯式機械手臂的動 態模型，並聯式機械手臂的動態模型由接收到的力矩值以及轉動位置所識別與計算出；接著，控制裝置透過質量阻尼彈簧二階系統建立並聯式機械手臂與外力的阻抗控制器；最後，控制裝置將並聯式機械手臂的實際軌跡以及並聯式機械手臂的理論軌跡的誤差代入阻抗控制器以計算得到並聯式機械手臂所承受到的外力。
本發明所揭露的系統及方法如上，與先前技術之間的差異在於控制裝置透過對並聯式機械手臂的位置、速度以及加速度進行運動學分析，再對並聯式機械手臂進行動力學分析，以得到並聯式機械手臂的動態模型，控制裝置透過質量阻尼彈簧二階系統建立並聯式機械手臂與外力的阻抗控制器，控制裝置將並聯式機械手臂的實際軌跡以及並聯式機械手臂的理論軌跡的誤差代入阻抗控制器以計算得到並聯式機械手臂所承受到的外力。
透過上述的技術手段，本發明可以達成透過建立並聯式機械手臂的動態模型以及阻抗控制器藉以計算反推並聯式機械手臂所承受到的外力的技術功效。
100:並聯式機械手臂
101:馬達
102:第一連桿
103:第二連桿
104:操作平台
200:控制裝置
201:動態模型建立模組
202:阻抗控制建立模組
203:外力估測模組
301:阻抗控制器
302:微分器
303:低通濾波器
304:正向運動學
305:雅可比矩陣
306:外力感測器
步驟101:並聯式機械手臂包含有三個馬達、與各馬達相連接的第一連桿、與各第一連桿相連接的第二連桿以及與各第二連桿相連接的操作平台
步驟102:控制裝置與並聯式機械手臂的馬達連接，控制裝置自馬達接收量測到的力矩值以及轉動位置，控制裝置生成控制訊號以對並聯式機械手臂的馬達進行控制
步驟103:控制裝置透過對並聯式機械手臂的位置、速度以及加速度進行運動學分析，再對並聯式機械手臂進行動力學分析，以得到並聯式機械手臂的動態模型，並聯式機械手臂的動態模型由接收到的力矩值以及轉動位置所識別與計算出
步驟104:控制裝置透過質量阻尼彈簧二階系統建立並聯式機械手臂與外力的阻抗控制器
步驟105:控制裝置將並聯式機械手臂的實際軌跡以及並聯式機械手臂的理論軌跡的誤差代入阻抗控制器以計算得到並聯式機械手臂所承受到的外力
第1圖繪示為本發明並聯式機械手臂外力估測系統的並聯式機械手臂立體圖。
第2圖繪示為本發明並聯式機械手臂外力估測系統的系統方塊圖。
第3圖繪示為本發明並聯式機械手臂外力估測系統的阻抗控制架構圖。
第4圖繪示為本發明並聯式機械手臂外力估測方法的方法流程圖。
以下將配合圖式及實施例來詳細說明本發明的實施方式，藉此對本發明如何應用技術手段來解決技術問題並達成技術功效的實現過程能充分理解並據以實施。
以下首先要說明本發明所揭露的並聯式機械手臂故障偵測系統，並請參考「第1圖」所示，「第1圖」繪示為本發明並聯式機械手臂外力估測系統的並聯式機械手臂立體圖。
並聯式機械手臂100包含有三個馬達101、與各馬達101相連接的第一連桿102、與各第一連桿102相連接的第二連桿103以及與各第二連桿103相連接的操作平台104，值得注意的是，馬達101是固定於固定架(圖中未繪示)上，並且馬達101固定於固定架上是呈現正三角形的配置。
請參考「第2圖」所示，「第2圖」繪示為本發明並聯式機械手臂外力估測系統的系統方塊圖。
控制裝置200與並聯式機械手臂100的馬達101連接，控制裝置200自並聯式機械手臂100的馬達101接收量測到的力矩值以及轉動位置，控制裝置200生成控制訊號以對並聯式機械手臂100的馬達101進行控制。
本發明所揭露的並聯式機械手臂外力估測系統，其包含：並聯式機械手臂100以及控制裝置200；控制裝置200更包含：動態模型建立模組201、阻抗控制建立模組202以及外力估測模組203。
控制裝置200的動態模型建立模組201是透過對並聯式機械手臂100的位置、速度以及加速度進行運動學分析，再對並聯式機械手臂100進行動 力學分析，以得到並聯式機械手臂100的動態模型，並聯式機械手臂100的動態模型由接收到的力矩值以及轉動位置所識別與計算出，控制裝置200的動態模型建立模組201得到的並聯式機械手臂100的動態模型如下：
Figure 109105755-A0305-02-0008-2
其中，τ m 為並聯式機械手臂的馬達扭矩；q為並聯式機械手臂各節點的角度向量；
Figure 109105755-A0305-02-0008-28
為並聯式機械手臂各節點的角速度向量；
Figure 109105755-A0305-02-0008-29
為並聯式機械手臂各節點的角加速度向量；D為並聯式機械手臂的慣性矩陣；C為並聯式機械手臂的離心力矩陣；G為並聯式機械手臂的重力項矩陣；F為並聯式機械手臂的馬達摩擦力；J T 為雅可比(Jacobian)矩陣的轉置矩陣；及F ext 為接觸外力。
將並聯式機械手臂100的動態模型以反向動力學的形式即可改寫如下：
Figure 109105755-A0305-02-0008-3
接著，控制裝置200的阻抗控制建立模組202是透過質量阻尼彈簧二階系統建立並聯式機械手臂100與外力的阻抗控制器，質量阻尼彈簧二階系統如下：
Figure 109105755-A0305-02-0008-4
其中，P為並聯式機械手臂的真實位移；
Figure 109105755-A0305-02-0008-5
為並聯式機械手臂的真實速度；
Figure 109105755-A0305-02-0008-7
為並聯式機械手臂的真實加速度；Pd為並聯式機械手臂的期望位移；
Figure 109105755-A0305-02-0008-6
為並聯式機械手臂的期望速度；
Figure 109105755-A0305-02-0008-1
為並聯式機械手臂的期望加速度；Mm為目標阻抗的質量；Bm為目標阻抗的阻尼；及Km為目標阻抗的彈簧。
將質量阻尼彈簧二階系統以反向動力學的形式即可改寫如下：
Figure 109105755-A0305-02-0008-8
將以反向動力學改寫後的動態模型以及質量阻尼彈簧二階系統代入
Figure 109105755-A0305-02-0009-9
，即可得到阻抗控制器如下：
Figure 109105755-A0305-02-0009-10
其中，τm為並聯式機械手臂的馬達扭矩；W-1為JD-1的逆矩陣；J為雅可比矩陣；
Figure 109105755-A0305-02-0009-23
為雅可比矩陣的微分矩陣；D-1為並聯式機械手臂的慣性矩陣的逆矩陣；
Figure 109105755-A0305-02-0009-24
為並聯式機械手臂各節點的角速度向量；P為並聯式機械手臂的真實位移；
Figure 109105755-A0305-02-0009-25
為並聯式機械手臂的真實速度；
Figure 109105755-A0305-02-0009-20
為並聯式機械手臂的真實加速度；Pd為並聯式機械手臂的期望位移；
Figure 109105755-A0305-02-0009-21
為並聯式機械手臂的期望速度；
Figure 109105755-A0305-02-0009-22
為並聯式機械手臂的期望加速度；Mm -1為目標阻抗的質量的逆矩陣；Bm為目標阻抗的阻尼；Km為目標阻抗的彈簧；C為並聯式機械手臂的離心力矩陣；G為並聯式機械手臂的重力項矩陣；F為並聯式機械手臂的馬達摩擦力；JT為雅可比(Jacobian)矩陣的轉置矩陣；及Fext為接觸外力。
接著，請同時參考「第2圖」以及「第3圖」所示，「第3圖」繪示為本發明並聯式機械手臂外力估測系統的阻抗控制架構圖。
阻抗控制架構為阻抗控制器301、並聯式機械手臂100、微分器302、低通濾波器303、正向運動學304、雅可比(Jacobian)矩陣305以及外力感測器306所構成，阻抗控制器301接收並聯式機械手臂的期望位移、並聯式機械手臂的期望速度、並聯式機械手臂的期望加速度以及外力，阻抗控制器301計算並輸出並聯式機械手臂的扭矩並結合外力所造成的等校扭矩提供至並聯式機械手臂100，阻抗控制器301計算並輸出目標阻抗的阻尼以及目標阻抗的彈簧至外力感測器306，並聯式機械手臂100輸出位置至微分器302以及正向運動 學304，微分器302配合低通濾波器303計算並輸出並聯式機械手臂各節點的角速度向量至雅可比矩陣305，正向運動學304計算並輸出並聯式機械手臂的真實位移至外力感測器306，雅可比矩陣305計算並輸出並聯式機械手臂的真實速度至外力感測器306，外力感測器306即可計算並輸出外力至阻抗控制器301。
由上述質量阻尼彈簧二階系統可以知道若並聯式機械手臂100受到外力時，將會產生上述質量阻尼彈簧二階系統，因此相反而言，當並聯式機械手臂100出現不屬於動態模型的響應時，即可透過質量阻尼彈簧二階系統的阻抗控制反推出並聯式機械手臂100所承受到的外力大小，即可由此反推得到外力估測器。
當並聯式機械手臂100的實際軌跡與並聯式機械手臂100的理論軌跡出現誤差時，就代表並聯式機械手臂100承受到外力，而外力的大小即為質量阻尼彈簧二階系統的響應，亦即外力的大小即為實際軌跡與理想軌跡間的誤差關係，然而透過質量阻尼彈簧二階系統的響應反推外力需要得知並聯式機械手臂100未端的位置、速度以及加速度的資訊，由於加速度資訊取得需要額外的感測器，估而控制裝置200的外力估測模組203是將並聯式機械手臂100的實際軌跡以及並聯式機械手臂的理論軌跡的誤差代入阻抗控制器並將之簡化為下列公式以計算得到並聯式機械手臂100所承受到的外力：
Figure 109105755-A0305-02-0010-11
其中，F ext 為接觸外力；P為並聯式機械手臂的真實位移；
Figure 109105755-A0305-02-0010-27
為並聯式機械手臂的真實速度；Pd為並聯式機械手臂的期望位移；
Figure 109105755-A0305-02-0010-26
為並聯式機械手臂的期望速度；Bm為目標阻抗的阻尼；及Km為目標阻抗的彈簧。
請同時參考「第4圖」所示，「第4圖」繪示為本發明並聯式機械手臂外力估測方法的方法流程圖。
首先，並聯式機械手臂包含有三個馬達、與各馬達相連接的第一連桿、與各第一連桿相連接的第二連桿以及與各第二連桿相連接的操作平台(步驟101)；接著，控制裝置與並聯式機械手臂的馬達連接，控制裝置自馬達接收量測到的力矩值以及轉動位置，控制裝置生成控制訊號以對並聯式機械手臂的馬達進行控制(步驟102)；接著，控制裝置透過對並聯式機械手臂的位置、速度以及加速度進行運動學分析，再對並聯式機械手臂進行動力學分析，以得到並聯式機械手臂的動態模型，並聯式機械手臂的動態模型由接收到的力矩值以及轉動位置所識別與計算出(步驟103)；接著，控制裝置透過質量阻尼彈簧二階系統建立並聯式機械手臂與外力的阻抗控制器(步驟104)；最後，控制裝置將並聯式機械手臂的實際軌跡以及並聯式機械手臂的理論軌跡的誤差代入阻抗控制器以計算得到並聯式機械手臂所承受到的外力(步驟105)。
綜上所述，可知本發明與先前技術之間的差異在於控制裝置透過對並聯式機械手臂的位置、速度以及加速度進行運動學分析，再對並聯式機械手臂進行動力學分析，以得到並聯式機械手臂的動態模型，控制裝置透過質量阻尼彈簧二階系統建立並聯式機械手臂與外力的阻抗控制器，控制裝置將並聯式機械手臂的實際軌跡以及並聯式機械手臂的理論軌跡的誤差代入阻抗控制器以計算得到並聯式機械手臂所承受到的外力。
藉由此一技術手段可以來解決先前技術所存在機械手臂對於外力的偵測需要使用額外的感測器致成本增加以及影響機械手臂工作空間的問 題，進而達成透過建立並聯式機械手臂的動態模型以及阻抗控制器藉以計算反推並聯式機械手臂所承受到的外力的技術功效。
雖然本發明所揭露的實施方式如上，惟所述的內容並非用以直接限定本發明的專利保護範圍。任何本發明所屬技術領域中具有通常知識者，在不脫離本發明所揭露的精神和範圍的前提下，可以在實施的形式上及細節上作些許的更動。本發明的專利保護範圍，仍須以所附的申請專利範圍所界定者為準。
100:並聯式機械手臂
200:控制裝置
201:動態模型建立模組
202:阻抗控制建立模組
203:外力估測模組

Claims (10)

  1. 一種並聯式機械手臂外力估測系統，其包含：一並聯式機械手臂，所述並聯式機械手臂包含有三個馬達、與各馬達相連接的第一連桿、與各第一連桿相連接的第二連桿以及與各第二連桿相連接的操作平台；及一控制裝置，所述控制裝置與所述並聯式機械手臂的所述馬達連接，所述控制裝置自所述馬達接收量測到的力矩值以及轉動位置，所述控制裝置生成控制訊號以對所述並聯式機械手臂的所述馬達進行控制，所述控制裝置更包含：一動態模型建立模組，透過對並聯式機械手臂的位置、速度以及加速度進行運動學分析，再對並聯式機械手臂進行動力學分析，以得到所述並聯式機械手臂的動態模型，所述並聯式機械手臂的動態模型由接收到的力矩值以及轉動位置所識別與計算出；一阻抗控制建立模組，透過質量阻尼彈簧二階系統建立所述並聯式機械手臂與外力的一阻抗控制器；及一外力估測模組，將所述並聯式機械手臂的實際軌跡以及所述並聯式機械手臂的理論軌跡的誤差代入所述阻抗控制器以計算得到並聯式機械手臂所承受到的外力。
  2. 如請求項1所述的並聯式機械手臂外力估測系統，其中所述動態模型為下列公式：
    Figure 109105755-A0305-02-0014-12
     其中，τ m 為並聯式機械手臂的馬達扭矩；q為並聯式機械手臂各節點的角度向量；
    Figure 109105755-A0305-02-0015-30
    為並聯式機械手臂各節點的角速度向量；
    Figure 109105755-A0305-02-0015-31
    為並聯式機械手臂各節點的角加速度向量；D為並聯式機械手臂的慣性矩陣；C為並聯式機械手臂的離心力矩陣；G為並聯式機械手臂的重力項矩陣；F為並聯式機械手臂的馬達摩擦力；J T 為雅可比(Jacobian)矩陣的轉置矩陣；及F ext 為接觸外力。
  3. 如請求項1所述的並聯式機械手臂外力估測系統，其中所述質量阻尼彈簧二階系統為下列公式：
    Figure 109105755-A0305-02-0015-13
     其中，P為並聯式機械手臂的真實位移；
    Figure 109105755-A0305-02-0015-32
    為並聯式機械手臂的真實速度；
    Figure 109105755-A0305-02-0015-33
    為並聯式機械手臂的真實加速度；Pd為並聯式機械手臂的期望位移；
    Figure 109105755-A0305-02-0015-36
    為並聯式機械手臂的期望速度；
    Figure 109105755-A0305-02-0015-37
    為並聯式機械手臂的期望加速度；Mm為目標阻抗的質量； Bm為目標阻抗的阻尼；及Km為目標阻抗的彈簧。
  4. 如請求項1所述的並聯式機械手臂外力估測系統，其中所述阻抗控制器為下列公式：
    Figure 109105755-A0305-02-0016-14
     其中，τ m 為並聯式機械手臂的馬達扭矩；W -1為JD -1的逆矩陣；J為雅可比矩陣；j為雅可比矩陣的微分矩陣；D -1為並聯式機械手臂的慣性矩陣的逆矩陣；
    Figure 109105755-A0305-02-0016-38
    為並聯式機械手臂各節點的角速度向量；P為並聯式機械手臂的真實位移；
    Figure 109105755-A0305-02-0016-39
    為並聯式機械手臂的真實速度；
    Figure 109105755-A0305-02-0016-40
    為並聯式機械手臂的真實加速度；Pd為並聯式機械手臂的期望位移；
    Figure 109105755-A0305-02-0016-41
    為並聯式機械手臂的期望速度；
    Figure 109105755-A0305-02-0016-42
    為並聯式機械手臂的期望加速度；M m -1為目標阻抗的質量的逆矩陣； Bm為目標阻抗的阻尼；Km為目標阻抗的彈簧；C為並聯式機械手臂的離心力矩陣；G為並聯式機械手臂的重力項矩陣；F為並聯式機械手臂的馬達摩擦力；J T 為雅可比(Jacobian)矩陣的轉置矩陣；及F ext 為接觸外力。
  5. 如請求項1所述的並聯式機械手臂外力估測系統，其中所述外力估測模組透過下列公式以計算得到並聯式機械手臂所承受到的外力：
    Figure 109105755-A0305-02-0017-15
     其中，F ext 為接觸外力；P為並聯式機械手臂的真實位移；
    Figure 109105755-A0305-02-0017-43
    為並聯式機械手臂的真實速度；Pd為並聯式機械手臂的期望位移；
    Figure 109105755-A0305-02-0017-45
    為並聯式機械手臂的期望速度；Bm為目標阻抗的阻尼；及Km為目標阻抗的彈簧。
  6. 一種並聯式機械手臂外力估測方法，其包含下列步驟：一並聯式機械手臂包含有三個馬達、與各馬達相連接的第一連桿、與各第一連桿相連接的第二連桿以及與各第二連桿相連接的操作平台； 一控制裝置與所述並聯式機械手臂的所述馬達連接，所述控制裝置自所述馬達接收量測到的力矩值以及轉動位置，所述控制裝置生成控制訊號以對所述並聯式機械手臂的所述馬達進行控制；所述控制裝置透過對並聯式機械手臂的位置、速度以及加速度進行運動學分析，再對並聯式機械手臂進行動力學分析，以得到並聯式機械手臂的動態模型，所述並聯式機械手臂的動態模型由接收到的力矩值以及轉動位置所識別與計算出；所述控制裝置透過質量阻尼彈簧二階系統建立並聯式機械手臂與外力的一阻抗控制器；及所述控制裝置將並聯式機械手臂的實際軌跡以及並聯式機械手臂的理論軌跡的誤差代入所述阻抗控制器以計算得到並聯式機械手臂所承受到的外力。
  7. 如請求項6所述的並聯式機械手臂外力估測方法，其中所述動態模型為下列公式：
    Figure 109105755-A0305-02-0018-16
     其中，τ m 為並聯式機械手臂的馬達扭矩；q為並聯式機械手臂各節點的角度向量；
    Figure 109105755-A0305-02-0018-46
    為並聯式機械手臂各節點的角速度向量；
    Figure 109105755-A0305-02-0018-47
    為並聯式機械手臂各節點的角加速度向量；D為並聯式機械手臂的慣性矩陣； C為並聯式機械手臂的離心力矩陣；G為並聯式機械手臂的重力項矩陣；F為並聯式機械手臂的馬達摩擦力；J T 為雅可比(Jacobian)矩陣的轉置矩陣；及F ext 為接觸外力。
  8. 如請求項6所述的並聯式機械手臂外力估測方法，其中所述質量阻尼彈簧二階系統為下列公式：
    Figure 109105755-A0305-02-0019-17
     其中，P為並聯式機械手臂的真實位移；
    Figure 109105755-A0305-02-0019-50
    為並聯式機械手臂的真實速度；
    Figure 109105755-A0305-02-0019-51
    為並聯式機械手臂的真實加速度；Pd為並聯式機械手臂的期望位移；
    Figure 109105755-A0305-02-0019-53
    為並聯式機械手臂的期望速度；
    Figure 109105755-A0305-02-0019-54
    為並聯式機械手臂的期望加速度；Mm為目標阻抗的質量；Bm為目標阻抗的阻尼；及Km為目標阻抗的彈簧。
  9. 如請求項6所述的並聯式機械手臂外力估測方法，其中所述阻抗控制器為下列公式：
    Figure 109105755-A0305-02-0020-18
     其中，τ m 為並聯式機械手臂的馬達扭矩；W -1為JD -1的逆矩陣；J為雅可比矩陣；j為雅可比矩陣的微分矩陣；D -1為並聯式機械手臂的慣性矩陣的逆矩陣；
    Figure 109105755-A0305-02-0020-55
    為並聯式機械手臂各節點的角速度向量；P為並聯式機械手臂的真實位移；
    Figure 109105755-A0305-02-0020-56
    為並聯式機械手臂的真實速度；
    Figure 109105755-A0305-02-0020-57
    為並聯式機械手臂的真實加速度；Pd為並聯式機械手臂的期望位移；
    Figure 109105755-A0305-02-0020-60
    為並聯式機械手臂的期望速度；
    Figure 109105755-A0305-02-0020-61
    為並聯式機械手臂的期望加速度；M m -1為目標阻抗的質量的逆矩陣；Bm為目標阻抗的阻尼；Km為目標阻抗的彈簧；C為並聯式機械手臂的離心力矩陣；G為並聯式機械手臂的重力項矩陣； F為並聯式機械手臂的馬達摩擦力；J T 為雅可比(Jacobian)矩陣的轉置矩陣；及F ext 為接觸外力。
  10. 如請求項6所述的並聯式機械手臂外力估測方法，其中所述控制裝置透過下列公式以計算得到並聯式機械手臂所承受到的外力：
    Figure 109105755-A0305-02-0021-19
     其中，F ext 為接觸外力；P為並聯式機械手臂的真實位移；
    Figure 109105755-A0305-02-0021-62
    為並聯式機械手臂的真實速度；Pd為並聯式機械手臂的期望位移；
    Figure 109105755-A0305-02-0021-63
    為並聯式機械手臂的期望速度；Bm為目標阻抗的阻尼；及Km為目標阻抗的彈簧。
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