RU2802542C2 - Radiation detection using nonparametric expansion of superimposed pulses - Google Patents

Abstract

FIELD: spectroscopy.

SUBSTANCE: spectrum-dependent statistics are computed from a time series of digital observations from a radiation detector, defining a mapping from the pulse amplitude density to spectrum-dependent statistics. The spectrum is determined by estimating the pulse amplitude density by applying a map inversion to the spectrum dependent statistics. The statistics may be based on a first set of non-overlapping time intervals of constant length L, at least the same as the duration of the pulses, without considering the plurality of pulse clusters; and a second set of non-overlapping time intervals of constant length L1 less than L, also ignoring the plurality of pulse clusters.

EFFECT: obtaining an energy spectrum from the display of the amplitude density.

12 cl, 13 dwg

Description

ОБЛАСТЬ ИЗОБРЕТЕНИЯFIELD OF THE INVENTION

Предложен новый способ оценки распределения энергии квантов излучения, например фотонов, падающих на детектор в спектроскопических системах, таких как рентгеновская или гамма-резонансная спектроскопия. Способ особенно полезен для режимов скорости счета, когда возникает проблема наложения импульсов. Ключевым этапом при выводе формулы оценки в одном из вариантов осуществления изобретения является новая формулировка проблемы, как проблемы разложения составного пуассоновского процесса. Способ можно применять к детекторам излучения любой формы, детектирующим кванты или другие корпускулы излучения, такие как рентгеновские лучи, гамма-лучи или другие фотоны, нейтроны, атомы, молекулы или сейсмические импульсы. Применение таких детекторов для спектроскопии хорошо известно. Такие применения широко описаны в уровне техники, в том числе в международных патентных заявках PCT/AU2005/001423, PCT/AU2009/000393, PCT/AU2009/000394, PCTAU2009/000395, PCT/AU2009/-001648, PCT/AU2012/000678, PCT/AU2014/050420, PCT/AU2015/050752, PCT/AU-2017/050514 и PCT/AU2017/050512, каждая из которых полностью включена в настоящий документ с целью описания потенциальных применений настоящего изобретения и любого другого справочного материала, необходимого для понимания настоящего изобретения.A new method has been proposed for estimating the energy distribution of radiation quanta, for example photons incident on a detector in spectroscopic systems such as X-ray or gamma resonance spectroscopy. The method is especially useful for counting rate modes, when the problem of pulse overlap arises. The key step in deriving the estimation formula in one embodiment of the invention is to reformulate the problem as a problem of decomposition of a composite Poisson process. The method can be applied to any form of radiation detector detecting quanta or other radiation particles such as X-rays, gamma rays or other photons, neutrons, atoms, molecules or seismic pulses. The use of such detectors for spectroscopy is well known. Such applications are widely described in the prior art, including international patent applications PCT/AU2005/001423, PCT/AU2009/000393, PCT/AU2009/000394, PCTAU2009/000395, PCT/AU2009/-001648, PCT/AU2012/000678, PCT/AU2014/050420, PCT/AU2015/050752, PCT/AU-2017/050514 and PCT/AU2017/050512, each of which is incorporated herein in its entirety for the purpose of describing potential applications of the present invention and any other reference material necessary for understanding of the present invention.

1 ПРЕДПОСЫЛКИ ИЗОБРЕТЕНИЯ1 BACKGROUND OF THE INVENTION

Рентгеновская и гамма-спектроскопия лежат в основе широкого спектра научных, промышленных и коммерческих процессов. Одна из целей спектроскопии - оценить распределение энергии фотонов, падающих на детектор. С точки зрения обработки сигналов задача состоит в том, чтобы преобразовать поток импульсов, выдаваемых детектором, в гистограмму области под каждым импульсом. Импульсы генерируются в соответствии с распределением Пуассона, частота которых соответствует интенсивности рентгеновских или гамма-лучей, используемых для облучения образца. Увеличение интенсивности приводит к увеличению числа импульсов в секунду в среднем и, следовательно, сокращению времени до получения точной гистограммы. При таких применениях, как сканирование багажа в аэропортах, это напрямую увеличивает пропускную способность. Наложение импульсов происходит, когда два или более импульсов перекрываются по времени. По мере увеличения скорости счета (среднего числа импульсов в секунду) увеличивается и частота наложения импульсов. Это увеличивает сложность определения числа присутствующих импульсов и области под каждым импульсом. В пределе проблема плохо обусловлена: если два импульса начинаются практически в одно и то же время, их суперпозиция неотличима от одного импульса. Отклик детектора рентгеновского или гамма-излучения на падающие фотоны можно смоделировать как суперпозицию сверток функций формы импульса с импульсными дельта-функциями,X-ray and gamma-ray spectroscopy underpin a wide range of scientific, industrial and commercial processes. One of the purposes of spectroscopy is to estimate the energy distribution of photons incident on a detector. From a signal processing perspective, the challenge is to convert the stream of pulses produced by the detector into a histogram of the area under each pulse. The pulses are generated according to a Poisson distribution, the frequency of which corresponds to the intensity of the x-rays or gamma rays used to irradiate the sample. Increasing the intensity results in an increase in the number of pulses per second on average and therefore a decrease in the time until an accurate histogram is obtained. For applications such as baggage scanning at airports, this directly increases throughput. Pulse overlap occurs when two or more pulses overlap in time. As the counting rate (average number of pulses per second) increases, the pulse superposition frequency also increases. This increases the difficulty of determining the number of pulses present and the area under each pulse. In the limit, the problem is ill-conditioned: if two pulses start at almost the same time, their superposition is indistinguishable from a single pulse. The response of an X-ray or gamma ray detector to incident photons can be modeled as a superposition of convolutions of functions pulse shapes with pulse delta functions,

Времена прибытия …, , , , … неизвестны и образуют процесс Пуассона. Каждое прибытие фотона моделируется дельта-функцией в момент времени , с амплитудой , которая пропорциональна энергии фотона и вызывает отклик детектора с формой импульса. Амплитуды являются реализациями одинаково распределенных случайных величин , общая функция плотности вероятности которых неизвестна. Функция формы импульса определяется геометрией детектора и взаимодействием с фотоном. В некоторых системах изменение формы импульса минимально и им можно пренебречь, в то время как в других системах (например, HPGe) формы отдельных импульсов могут значительно отличаться друг от друга [1]. Предполагается, что импульсы всех форм являются причинно-обусловленными, т. е. для , с одной модой, конечной энергии, и экспоненциально затухают к нулю при . Интеграл от функций формы импульса нормирован на единицу, т. е. так, чтобы площадь под импульсом была равна . Наблюдаемый сигнал состоит из выходного сигнала детектора, искаженного шумом, т. е.Arrival times..., , , , ... are unknown and form a Poisson process. Each photon arrival is modeled by a delta function at an instant in time , with amplitude , which is proportional to the photon energy and causes a response detector with a pulse shape. Amplitudes are realizations of identically distributed random variables , general function whose probability densities are unknown. Function The shape of the pulse is determined by the geometry of the detector and the interaction with the photon. In some systems, the change in pulse shape is minimal and can be ignored, while in other systems (for example, HPGe) the shapes of individual pulses can differ significantly from each other [1]. It is assumed that impulses of all forms are causal, i.e. For , with one mode, finite energy, and decay exponentially to zero at . The integral of the pulse shape functions is normalized to unity, i.e. so that the area under the impulse is equal to . The observed signal consists of the detector output signal distorted by noise, i.e.

Математическая цель коррекции наложения импульсов состоит в том, чтобы оценить , заданной равномерно квантованной версией конечной длины. Мы предполагаем, что распределение шума является гауссовым с нулевым средним и известной дисперсией . Мы также предполагаем, что времена прибытий фотонов образуют однородный пуассоновский процесс с известной скоростью, состоящий из отклика детектора, искаженного процессом шума, где , , и , представляют k-е элементы каждой серии и где . Пусть будут равномерно квантованными временными интервалами, соответствующими этим сигналам,The mathematical purpose of pulse overlap correction is to estimate , given by the uniformly quantized version finite length. We assume that the noise distribution is Gaussian with zero mean and known variance . We also assume that photon arrival times form a homogeneous Poisson process with a known rate, consisting of the response detector distorted by the process noise where , , And , represent the kth elements of each series and where . Let will be uniformly quantized time intervals corresponding to these signals,

где Where

Краткое изложение методик обработки импульсов: на протяжении десятилетий было предложено множество подходов для решения проблемы наложения импульсов. Подходы можно в целом разделить на два типа: основанные на временных интервалах и основанные на энергетических областях. Популярной стратегией является попытка детектировать, когда на временном интервале произошло наложение, и либо отклонить, либо вводить поправку на затронутые импульсы. Ранние спектроскопические системы использовали подход, основанный на режекции, наряду с согласованной фильтрацией. Недостатком этого подхода является то, что все большая часть импульсов отбраковывается по мере роста вероятности наложения. Система быстро утрачивает чувствительность, устанавливая верхний предел скорости счета [1]. Число стратегий, которые компенсируют или корректируют наложение, растет с увеличением дешевой вычислительной мощности. К ним относятся подгонка шаблона [2], вычитание базовой линии [3], адаптивная фильтрация [4, 5], разреженная регрессия [6, 7] и многое другое. Все эти подходы пытаются идентифицировать и скомпенсировать наложение на временном интервале и, как правило, лучше всего подходят для систем со слабым изменением формы импульса. Сложность этих подходов значительно возрастает с увеличением изменчивости между формами импульсов . Можно показать, что любой способ, который пытается охарактеризовать отдельные импульсы, будет страдать от наложений. Лучшее, что могут дать эти подходы, - это уменьшить вероятность возникновения наложений. Подходы, основанные на энергии, пытаются решить проблему наложения на основе статистики сочетания импульсов, а не отдельных импульсов. Обычно они работают с гистограммами расчетной энергии (области под кластерами импульсов). Ранние работы Wielopolski и Gardner [8] и более поздние расширения их идеи [9] работают в основном в энергетических областях с использованием стратегий, основанных на сочетании. Trigano и др. [10, 11] оценивают спектр налетающих частиц, используя плотность безусловного распределения из совместного распределения статистических свойств кластеров импульсов переменной длины, где детектируются начало и конец каждого кластера. Это избавляет от необходимости идентифицировать отдельные импульсы и устойчиво к изменению формы импульса. Ilhe и др. [12] исследуют экспоненциальные процессы дробового шума, ограничивая форму импульса простой экспонентой, чтобы получить удобные результаты. Дальнейшая работа [13] была проделана, чтобы сделать возможным более широкий диапазон форм импульсов. В обоих случаях требуется знание формы импульса, а также оценки характеристической функции и ее производной.Summary of Pulse Processing Techniques: Over the decades, many approaches have been proposed to solve the problem of pulse aliasing. The approaches can be broadly classified into two types: time domain based and energy domain based. A popular strategy is to try to detect when an overlap has occurred in a time interval and either reject or correct for the affected pulses. Early spectroscopic systems used a notch-based approach along with matched filtering. The disadvantage of this approach is that an increasing proportion of pulses are rejected as the probability of overlap increases. The system quickly loses sensitivity, placing an upper limit on the counting rate [1]. The number of strategies that compensate or correct for aliasing increases with the increase in cheap computing power. These include template fitting [2], baseline subtraction [3], adaptive filtering [4, 5], sparse regression [6, 7], and many more. All of these approaches attempt to identify and compensate for aliasing over a time domain and are generally best suited for systems with weak pulse shape variations. The complexity of these approaches increases significantly with increasing variability between pulse shapes . It can be shown that any method that attempts to characterize individual pulses will suffer from aliasing. The best that these approaches can do is reduce the likelihood of overlaps occurring. Energy-based approaches attempt to solve the aliasing problem based on the statistics of pulse combinations rather than individual pulses. They usually work with histograms of the calculated energy (the area under the pulse clusters). Early work by Wielopolski and Gardner [8] and later extensions of their idea [9] work primarily in energy domains using combination-based strategies. Trigano et al. [10, 11] estimate the spectrum of incident particles using the density of the unconditional distribution from the joint distribution of statistical properties of clusters of pulses of variable length, where the beginning and end of each cluster are detected. This eliminates the need to identify individual pulses and is robust to changes in pulse shape. Ilhe et al. [12] study exponential shot noise processes by constraining the pulse shape to a simple exponential to obtain convenient results. Further work [13] has been done to enable a wider range of pulse shapes. In both cases, knowledge of the pulse shape is required, as well as an estimate of the characteristic function and its derivative.

2 СУЩНОСТЬ ИЗОБРЕТЕНИЯ2 SUMMARY OF THE INVENTION

Мы выбрали подход коррекции наложений, основанный на энергии, чтобы i) избежать ограничений, связанных с детектированием отдельных импульсов [14], и ii) иметь возможность обрабатывать изменение формы импульса без чрезмерного увеличения сложности вычислений. Вместо того, чтобы использовать подходы совместного распределения [10, 11] или дробового процесса [12], мы перерабатываем проблему наложения как проблему «разложения» составного пуассоновского процесса. Составной пуассоновский процесс - это случайный процесс с дискретным временем, каждый компонент которого состоит из суммы случайного числа независимых одинаково распределенных случайных величин, где число случайных величин в каждой сумме распределено по Пуассону [15]. «Разложение» составного пуассоновского процесса - это задача использования случайных сумм для оценки распределения, из которого были взяты случайные величины. Buchmann и Grübel [16] сформулировали разложение сложных пуассоновских процессов в контексте страховых требований и теории очередей. Разложение равномерно квантованных сложных пуассоновских процессов привлекло некоторое внимание в последнее время [16, 17, 18, 12, 19]. Контекст этих выводов часто предполагает (резонно), что каждое событие поддается детектированию (т.е. нет двусмысленности относительно числа событий), или что формулы оценки плотности обусловлены по меньшей мере одним событием, происходящим при каждом наблюдении [20]. Эти предположения содержат ограничивающий параметр при решении проблемы спектроскопических наложений.We chose an energy-based aliasing correction approach to i) avoid the limitations associated with single pulse detection [14] and ii) be able to handle pulse shape variation without unduly increasing the computational complexity. Instead of using joint distribution [10, 11] or shot process [12] approaches, we rework the overlap problem as a “decomposition” problem of a composite Poisson process. A compound Poisson process is a discrete-time random process, each component of which consists of the sum of a random number of independent identically distributed random variables, where the number of random variables in each sum is Poisson distributed [15]. "Decomposition" of a composite Poisson process is the problem of using random sums to estimate the distribution from which the random variables were drawn. Buchmann and Grübel [16] formulated the decomposition of complex Poisson processes in the context of insurance claims and queuing theory. The decomposition of uniformly quantized complex Poisson processes has received some attention recently [16, 17, 18, 12, 19]. The context of these findings often assumes (reasonably) that each event is detectable (i.e., there is no ambiguity regarding the number of events), or that density estimation formulas are conditional on at least one event occurring at each observation [20]. These assumptions contain a limiting parameter in solving the problem of spectroscopic aliasing.

Исследованию непараметрического разложения без обусловливания детектирования событий уделялось относительно мало внимания в литературе. Gugushvili [18] предлагает непараметрическую формулу параметра ядра для задачи разложения в присутствии гауссовского шума. В вариантах осуществления изобретения авторы изобретения предположили, что после того, как получен способ выбора параметра ядра плотности полосы пропускания, наряду со способом преобразования наблюдаемого выходного сигнала детектора для соответствия математической модели, эту формулу параметра можно легко расширить и применить при новой формулировке проблемы спектроскопических наложений.The study of nonparametric decomposition without event detection conditioning has received relatively little attention in the literature. Gugushvili [18] proposes a nonparametric kernel parameter formula for the decomposition problem in the presence of Gaussian noise. In embodiments of the invention, the inventors hypothesized that once a method for selecting a passband density kernel parameter has been obtained, along with a method for transforming the observed detector output to fit a mathematical model, this parameter formula can be easily extended and applied to a new formulation of the spectroscopic aliasing problem.

В соответствии с первым широким аспектом изобретения предлагается способ определения спектра энергий отдельных квантов излучения, принимаемых детектором излучения, содержащий этапы: (1) получения временного ряда цифровых наблюдений от детектора излучения, содержащего импульсы, соответствующие детектированию отдельных квантов; (2) вычисления спектрально-зависимых статистических данных из сигнала детектора, при этом спектрально-зависимые статистические данные задают отображение в виде карты из плотности амплитуд импульсов в спектрально-зависимые статистические данные; (3) определения спектра путем оценки плотности амплитуд импульсов путем применения инверсии отображения в виде карты к спектрально-зависимым статистическим данным.In accordance with a first broad aspect of the invention, there is provided a method for determining the energy spectrum of individual radiation quanta received by a radiation detector, comprising the steps of: (1) obtaining a time series of digital observations from the radiation detector containing pulses corresponding to the detection of the individual quanta; (2) calculating spectrum-dependent statistics from the detector signal, wherein the spectrum-dependent statistics specifies a map from the pulse amplitude density to the spectrum-dependent statistics; (3) determining the spectrum by estimating the pulse amplitude density by applying the inversion of the map display to the spectrum-dependent statistics.

В вариантах осуществления спектрально-зависимые статистические данные могут основываться на сумме цифровых наблюдений на множестве временных интервалов, и отображение в виде карты может быть задано с использованием аппроксимируемого составного пуассоновского процесса, который может быть дополнен смоделированным шумом. Отображение в виде карты можно выразить как отношение между характеристическими функциями амплитуд, спектрально-зависимыми статистическими данными и смоделированным шумом. Характеристические функции спектрально-зависимых статистических данных могут быть вычислены с использованием гистограммы суммы цифровых наблюдений, к которой применяется обратное преобразование Фурье. Вычисление характеристической функции амплитуд может содержать использование фильтра нижних частот.In embodiments, the spectrum-dependent statistics may be based on the sum of digital observations over multiple time intervals, and the map display may be specified using an approximated composite Poisson process, which may be augmented with modeled noise. The map display can be expressed as the relationship between amplitude characteristic functions, spectrum-dependent statistics, and modeled noise. Characteristic functions of spectrum-dependent statistics can be calculated using a histogram of the sum of digital observations to which an inverse Fourier transform is applied. The calculation of the amplitude characteristic function may involve the use of a low pass filter.

В первом варианте осуществления упомянутое множество временных интервалов не перекрываются и имеют постоянную длину L и каждый интервал выбирается, чтобы охватить ноль или более приближенно целые кластеры импульсов. Этого можно достичь через требование максимального значения сигнала детектора в начале и в конце каждого временного интервала. В этом варианте осуществления составной пуассоновский процесс может быть задан как сумма амплитуд импульсов на каждом временном интервале. Отображение в виде карты может быть выражено, как задано в уравнениях (40) и (41), которые могут быть дополнены оконными функциями.In the first embodiment, said plurality of time slots are non-overlapping and have a constant length L, and each slot is selected to span zero or more approximately entire pulse clusters. This can be achieved by requiring a maximum detector signal value at the beginning and end of each time interval. In this embodiment, the composite Poisson process can be specified as the sum of the amplitudes of the pulses at each time interval. The map display can be expressed as given in equations (40) and (41), which can be extended with window functions.

Во втором варианте осуществления множество интервалов содержит первый набор неперекрывающихся временных интервалов постоянной длины L, выбранных без учета совокупности кластеров импульсов, и второй набор неперекрывающихся временных интервалов постоянной длины L1 меньшей L, также выбранных без учета совокупности кластеров импульсов. L является по меньшей мере такой же, как длительность импульсов и предпочтительно, чтобы L1 была меньше длительности импульсов. В этом варианте осуществления составной пуассоновский процесс может быть задан, как в Разделе 6. Отображение в виде карты может быть выражено, как задано в Разделе 6. Второй вариант осуществления может использовать процессы и вычисления для каждого набора временных интервалов, как задано для набора временных интервалов в первом варианте осуществления.In a second embodiment, the plurality of slots comprises a first set of non-overlapping time slots of constant length L, selected without regard to the population of pulse clusters, and a second set of non-overlapping time slots of constant length L1 less than L, also selected without regard to the population of pulse clusters. L is at least the same as the pulse duration and preferably L1 is less than the pulse duration. In this embodiment, the compound Poisson process may be specified as in Section 6. The map mapping may be expressed as defined in Section 6. The second embodiment may use processes and calculations for each set of time slots, as specified for the set of time slots in the first embodiment.

В вариантах осуществления используется определяемая данными стратегия, которая приводит к почти оптимальному выбору параметра ядра, который минимизирует интегральную квадратичную ошибку (ISE) оцененной функции плотности вероятности энергий падающих фотонов.Embodiments use a data-driven strategy that results in a near-optimal choice of a kernel parameter that minimizes the integral squared error (ISE) of the estimated probability density function of incident photon energies.

Согласно второму широкому аспекту изобретения предлагается способ оценки скорости счета отдельных квантов излучения, принимаемых детектором излучения, содержащий этапы: (1) получения временного ряда цифровых наблюдений от детектора излучения, содержащего импульсы, соответствующие детектированию отдельных квантов; (2) вычисления спектрально-зависимых статистических данных из сигнала детектора, при этом спектрально-зависимые статистические данные используют интервалы постоянной длины L и постоянной длины L1, как описано выше в отношении 1-го широкого аспекта; (3) определения оценки характеристической функции составного пуассоновского процесса, используя формулу (109); (4) оценки скорости счета из оценки характеристической функции. Этап (4), описанный выше, может быть достигнут с помощью процедуры оптимизации или некоторых других средств для подгонки кривой, оценки смещения постоянного тока из логарифма оценки характеристической функции или подгонки кривой к логарифму оценки характеристической функции.According to a second broad aspect of the invention, there is provided a method for estimating the count rate of individual radiation quanta received by a radiation detector, comprising the steps of: (1) obtaining a time series of digital observations from the radiation detector containing pulses corresponding to the detection of individual quanta; (2) calculating spectrum-dependent statistics from the detector signal, the spectrum-dependent statistics using constant length L and constant length L1 intervals as described above with respect to the 1st broad aspect; (3) determining the estimate of the characteristic function of a composite Poisson process using formula (109); (4) estimating the counting rate from estimating the characteristic function. Step (4) described above can be achieved using an optimization procedure or some other means of curve fitting, estimating the DC offset from the logarithm of the characteristic function estimate, or fitting a curve to the logarithm of the characteristic function estimate.

Остальная часть это заявки организована следующим образом. Разделы 3, 4 и 5 относятся к 1-му варианту осуществления 1-го аспекта изобретения. В разделе 3 представлены предварительные сведения, определены обозначения, очерчены математическая модель и дан вывод формулы оценки 1-го варианта осуществления, в том числе модификаций. В разделе 4 показаны характеристики модифицированной формулы оценки 1-го варианта осуществления как для смоделированных, так и для экспериментальных данных, а также обсуждаются результаты. В Разделе 5 дается заключение для 1-го варианта. В Разделе 6 описан 2-й вариант осуществления со ссылкой на 1-й вариант, где это уместно. В Разделе 7 описан 2-й аспект изобретения, новый способ оценки скорости счета.The rest of this application is organized as follows. Sections 3, 4 and 5 refer to the 1st embodiment of the 1st aspect of the invention. Section 3 presents preliminary information, defines the notation, outlines the mathematical model, and provides the derivation of the evaluation formula for the 1st embodiment, including modifications. Section 4 shows the performance of the modified evaluation formula of Embodiment 1 for both simulated and experimental data, and discusses the results. Section 5 provides a conclusion for Option 1. Section 6 describes the 2nd embodiment with reference to the 1st embodiment where appropriate. Section 7 describes the 2nd aspect of the invention, a new method for estimating counting rates.

3 ВЫВОД ФОРМУЛЫ ОЦЕНКИ ПЕРВОГО ВАРИАНТА ОСУЩЕСТВЛЕНИЯ3 CONCLUSION OF THE FORMULA FOR EVALUATING THE FIRST IMPLEMENTATION OPTION

Общий подход, который мы применяем к решению проблемы наложения, основан на следующей стратегии; i) получение статистических данных из которая чувствительна к распределению энергий падающих фотонов, и оценка этих статистических данных, с использованием наблюдаемой квантованной версии конечной длины, ii) получение отображения в виде карты плотности энергии падающих фотонов в статистические свойства наблюдаемых статистических данных, iii) оценка плотности энергии падающих фотонов посредством инвертирования отображения в виде карты. В Разделе 3.1 описывается наш выбор статистических данных. В Разделе 3.2 утверждается, что эти статистические данные (приблизительно) имеют то же распределение, что и составной пуассоновский процесс. В Разделе 3.3 вводится способ разложения для восстановления спектра из этих статистических данных. Он основан на алгоритме разложения из [18], но доработан для получения почти оптимальных характеристик с точки зрения интегральной квадратичной ошибки. Наш подход к проблеме наложения следует общей теме нахождения некоторых статистических данных , которые чувствительны к лежащему в их основе спектру, оценки этих статистических данных из квантованной версии за конечное время, а затем инвертирования карты, которая описывает статистические свойства этих статистических данных с учетом лежащего в их основе спектра, тем самым производя оценку спектра.The general approach we take to solve the aliasing problem is based on the following strategy; i) obtaining statistical data from which is sensitive to the energy distribution of incident photons, and estimating these statistics using the observed quantized version finite length, ii) obtaining a map of the incident photon energy density to statistical properties of the observed statistics, iii) estimating the incident photon energy density by inverting the map mapping. Section 3.1 describes our choice of statistics. Section 3.2 argues that these statistics have (approximately) the same distribution as a composite Poisson process. Section 3.3 introduces a decomposition technique to reconstruct the spectrum from these statistics. It is based on the decomposition algorithm from [18], but modified to obtain near-optimal performance in terms of integral squared error. Our approach to the overlay problem follows the general theme of finding some statistics , which are sensitive to the underlying spectrum, estimates of these statistics from the quantized version in a finite time, and then inverting a map that describes the statistical properties of those statistics given the underlying spectrum, thereby producing an estimate of the spectrum.

3.1 Выбор статистических данных3.1 Selection of statistics

Мы хотим получить оценки энергии фотонов из наблюдаемого сигнала, приведенного в (2). В типичных современных спектроскопических системах выходной сигнал детектора равномерно дискретизируется посредством АЦП. Без потери общности мы предполагаем, что исходные наблюдения, доступные алгоритму, следующие: }. Поскольку идентификация отдельных импульсов может быть затруднена, вместо этого мы ищем интервалы фиксированной длины , содержащие ноль или более кластеров импульсов. А именно, мы задаем эти интервалы как , гдеWe want to obtain estimates of the photon energy from the observed signal given in (2). In typical modern spectroscopic systems, the output signal detector is uniformly sampled by an ADC. Without loss of generality, we assume that the initial observations available to the algorithm are the following: }. Since identifying individual pulses can be difficult, we look for intervals of a fixed length instead , containing zero or more pulse clusters. Namely, we define these intervals as , Where

Здесь выбирается как компромисс между ошибками в оценке энергии и вероятностью создания интервала. Значение должно быть достаточно малым, чтобы гарантировать, что ошибка в оценке полной энергии фотонов, прибывающих в течение каждого интервала, будет достаточно низкой, но при этом достаточно большой по отношению к дисперсии шума, чтобы гарантировать получение большого числа интервалов. Хотя вероятность разделения наблюдаемых данных на интервалы приближается к нулю по мере того, как скорость счета стремится к бесконечности, этот подход утрачивает чувствительность при более высоких скоростях счета по сравнению со стратегиями режекции наложения, основанными на отдельных импульсах, поскольку разрешено наложение нескольких фотонов на каждом интервале. Раздел 4.2 описывает выбор и для реальных данных. Каждый интервал содержит неизвестное случайное число импульсов и может содержать ноль импульсов.Here is chosen as a compromise between errors in energy estimation and the probability of creating an interval. Meaning must be small enough to ensure that the error in estimating the total energy of photons arriving during each interval is low enough, but large enough relative to the noise variance to ensure that a large number of intervals are obtained. Although the probability of binning the observed data approaches zero as the count rate approaches infinity, this approach loses sensitivity at higher count rates compared to aliasing rejection strategies based on individual pulses because multiple photons are allowed to overlap at each bin . Section 4.2 describes the selection And for real data. Each interval contains an unknown random number of pulses and may contain zero pulses.

Мы оцениваем полную энергию фотона в интервале , используя дискретизированные исходные наблюдения. Поскольку площадь под каждым импульсом пропорциональна энергии фотона , заданной в (1), положимWe estimate the total photon energy in the interval , using discretized original observations. Since the area under each pulse is proportional to the photon energy , given in (1), we put

Число прибытий фотонов, энергия каждого прибывающего фотона и выходной шум детектора на каждом интервале предполагаются случайными и независимыми от других интервалов. Для форм импульсов с экспоненциальным затуханием небольшое количество энергии фотонов, прибывающих в некоторый интервал, может быть записано в следующий интервал. Величина утечки пропорциональна и пренебрежимо мала для достаточно малых . Следовательно, оценки можно рассматривать как реализацию слабозависимого стационарного процесса, в котором каждая оценка одинаково распределена в соответствии со случайной величиной . Эта зависимость проиллюстрирована на Фиг. 1 для случая отсутствия шума с использованием типичной формы импульса.Number of photon arrivals, energy of each arriving photon, and detector output noise at each interval are assumed to be random and independent of other intervals. For exponentially decaying pulse shapes, a small amount of energy from photons arriving in one interval can be recorded in the next interval. The amount of leakage is proportional and is negligible for sufficiently small . Therefore, the estimates can be considered as an implementation of a weakly dependent stationary process in which each estimate is equally distributed in accordance with a random variable . This dependence is illustrated in Fig. 1 for the no-noise case using a typical pulse shape.

3.2 Аппроксимация через составной пуассоновский процесс3.2 Approximation via a compound Poisson process

В этом подразделе мы описываем распределение через . Затем мы его инвертируем в разделе 3.3, чтобы получить формулу оценки плотности . Используя (9), (2), (1) и тот факт, что является причинно-обусловленной, мы имеемIn this subsection we describe the distribution through . We then invert this in Section 3.3 to obtain the density estimation formula . Using (9), (2), (1) and the fact that is causal, we have

Как поясняется ниже, это упрощается доAs explained below, this simplifies to

гдеWhere

и And

И и представляют собой н.о.р. (независимую и одинаково распределенную) последовательность случайных величин. Обозначим их распределения через и . Распределение полностью определяется из распределения , которое предполагается гауссовым с нулевым средним и известной дисперсией . Более того, является составным пуассоновским процессом, поскольку число членов в суммировании (число прибытий фотонов в интервале длины ) имеет статистику Пуассона. Уравнения (11) - (13) обосновываются следующим образом. Первый член (10) представляет утечку из более ранних интервалов и приблизительно равен нулю. Это легко показать для нормально распределенного шума, выполнив разложение в ряд Тейлора в окрестности= 0.AND And represent n.o.r. (independent and identically distributed) sequence of random variables. Let us denote their distributions by And . Distribution completely determined from the distribution , which is assumed to be Gaussian with zero mean and known variance . Moreover, is a compound Poisson process, since the number of terms in the summation (the number of photon arrivals in an interval of length ) has Poisson statistics. Equations (11) - (13) are justified as follows. The first term (10) represents leakage from earlier intervals and is approximately zero. This is easy to show for normally distributed noise by performing a Taylor series expansion in the neighborhood of = 0.

Таким образом, существует конечная, но малая вероятность того, что некоторая энергия, принадлежащая предыдущему интервалу, будет включена в текущую оценку. На практике этот вклад сопоставим с шумом при достаточно малых . Третий член в (10) равен нулю, поскольку является причинно-обусловленной. Второй член в (10) можно записать какThus, there is a finite but small probability that some energy belonging to the previous interval will be included in the current estimate. In practice, this contribution is comparable to noise at sufficiently small . The third term in (10) is equal to zero, since is causal. The second term in (10) can be written as

где мы предполагаем, что формы импульсов достаточно гладкие, так что . Она аппроксимирует полную энергию всех фотонов, прибывающих в интервале . Пусть обозначает число прибытий фотонов в интервале . Мы предполагаем, что является реализацией однородного пуассоновского процесса с параметром скорости λ, где λ выражается через ожидаемое число фотонов на интервал длины . В дальнейшем будем предполагать, что (11) выполняется точно, и писатьwhere we assume that the pulse shapes are smooth enough so that . It approximates the total energy of all photons arriving in the interval . Let denotes the number of photon arrivals in the interval . We assume that is a realization of a homogeneous Poisson process with a rate parameter λ, where λ is expressed in terms of the expected number of photons per length interval . In what follows we will assume that (11) is satisfied exactly and write

Наконец, запишем какFinally, let's write down How

где мы предполагаем, что имеет известную дисперсию . В этом подразделе мы моделируем статистику Раздела 3.1, используя составной пуассоновский процесс. Это позволяет нам вывести формулу оценки плотности через наблюдаемые величины. Число фотонов, прибывающих в интервале , является пуассоновской случайной величиной, которую мы обозначаем . Полная энергия в интервале может быть смоделирована как составной пуассоновский процесс, т. е.where we assume that has a known variance . In this subsection, we model the statistics of Section 3.1 using a compound Poisson process. This allows us to derive a formula for estimating density through observable quantities. Number of photons arriving in the interval , is a Poisson random variable, which we denote . Total energy in the interval can be modeled as a compound Poisson process, i.e.

где - индекс времени прибытия первого фотона в интервале, предполагается, что времена прибытия упорядочены, а , представляющие энергию фотона, являются независимыми реализациями случайной величины с функцией плотности . образуют однородный пуассоновский процесс с параметром скорости λ. Коэффициент Пуассона λ выражается через ожидаемое число фотонов на интервале длины .Where is the index of the arrival time of the first photon in the interval, it is assumed that the arrival times are ordered, and , representing the photon energy, are independent realizations of the random variable with density function . form a homogeneous Poisson process with rate parameter λ. Poisson's ratio λ is expressed in terms of the expected number of photons over an interval of length .

Связь между реализациями и дискретизированным откликом детектора проиллюстрирована на Фиг.1. Наблюдаемое можно аппроксимировать через , подставив (2) в (9),Relationship between implementations and sampled detector response is illustrated in Figure 1. Observable can be approximated through , substituting (2) into (9),

где - реализация ненаблюдаемой случайной величины , которая представляет энергию фотона в интервале отклика детектора с дискретным временем,Where - realization of an unobservable random variable , which represents the photon energy in the discrete-time detector response interval,

где - реализация , независимой случайной величины, представляющей ошибки в процессе выборки и оценке . Мы предполагаем, что Z имеет известную дисперсию . С учетом этих определений и число интервалов, которые могут быть найдены на конечной длине выходного сигнала детектора, является случайной величиной . При высоких скоростях счета этот подход утрачивает чувствительность, поскольку вероятность разделения наблюдаемых данных на интервалы приближается к нулю. Начало утраты чувствительности происходит при более высоких скоростях счета по сравнению со стратегиями, основанными на режекции накопления, поскольку на каждом интервале разрешается накопление нескольких фотонов. Предположим, что временной ряд, заданный в (3) - (6), был равномерно квантован. Без ограничения общности, предположим, что интервалы единичной выборки начинаются с , т. е. , . Пусть R - случайный процесс с дискретным временем, представляющий дискретизированный отклик (1) детектора. Пусть : 0 - случайный процесс с дискретным временем, компоненты которого представляют полную энергию фотонов, прибывающих в течение фиксированного интервала времени. Составной пуассоновский процесс можно использовать для моделирования т. е.,Where - implementation , an independent random variable representing errors in the sampling and estimation process . We assume that Z has a known variance . Given these definitions And the number of intervals that can be found over a finite detector output length is a random variable . At high count rates, this approach loses sensitivity because the probability of dividing the observed data into intervals approaches zero. The onset of loss of sensitivity occurs at higher count rates compared to strategies based on accumulation rejection, since multiple photons are allowed to accumulate at each interval. Let us assume that the time series given in (3) - (6) was uniformly quantized. Without loss of generality, assume that unit sample intervals begin at , i.e. , . Let R be a discrete-time random process representing the discretized response (1) of the detector. Let : 0 - random process with discrete time, components which represents the total energy of photons arriving during a fixed time interval. A compound Poisson process can be used to model i.e.,

где - независимая пуассоновская случайная величина, а независимые одинаково распределенные случайные величины с функцией плотности образуют однородный пуассоновский процесс с параметром скорости λ. Процесс нельзя наблюдать непосредственно. Предположим, что форма импульса имеет конечный носитель. Пусть - индикаторная функция для множества . Пусть длительность импульса дается выражением . Пусть - случайный процесс с дискретным временем, представляющий наблюдаемый вывод детектора, заданный формулой (2). Он состоит из отклика детектора , искаженного шумовым процессом . Без ограничения общности мы предполагаем единичные интервалы выборки. Из наблюдений формируем процесс , гдеWhere is an independent Poisson random variable, and independent identically distributed random variables with density function form a homogeneous Poisson process with rate parameter λ. Process cannot be observed directly. Let us assume that the pulse shape has a final carrier. Let - indicator function for set . Let the pulse duration is given by the expression . Let - random process with discrete time, representing the observed output of the detector, given by formula (2). It consists of the detector response , distorted by the noise process . Without loss of generality, we assume unit sampling intervals. From observations forming a process , Where

и где - случайная величина из независимого шумового процесса с известной дисперсией . Простая модель для проверки теории получается, когда мы полагаем форму импульса в (1), и в этом случае мы полагаем а - просто длина выборки. Для реальных данных получить из сложнее. В этом случае мы разбиваем процесс на неперекрывающиеся блоки длины , где . Коэффициент Пуассона λ выражается в фотонах на блок. Начало каждого блока выбирается таким образом, чтобы полная энергия любого импульса полностью содержалась в блоке, в который он прибываетand where - random variable from an independent noise process with known variance . A simple model for testing the theory is obtained when we assume the pulse shape in (1), and in this case we assume A - just length samples. For real data get from more difficult. In this case we break the process into non-overlapping blocks of length , Where . Poisson's ratio λ is expressed in photons per block. Start of each block is chosen in such a way that the total energy of any pulse is completely contained in the block in which it arrives

На Фиг.1 показано, что Figure 1 shows that

. .

Мы полагаемWe guess

где - оценка , в Разделе 4.2 описывается выбор и для реальных данных. При таком определении число компонентов в становится случайной величиной для заданной длины выборки. При высоких скоростях счета этот подход утрачивает чувствительность, поскольку вероятность создания блока приближается к нулю. Начало утраты чувствительности происходит при более высоких скоростях счета по сравнению со стратегиями, основанными на режекции накопления, поскольку в каждом блоке разрешается накопление нескольких фотонов. Пусть - случайный процесс с дискретным временем, компоненты которого задаются формуламиWhere - grade , Section 4.2 describes the choice And for real data. With this definition number of components in becomes a random variable for a given length samples. At high count rates, this approach becomes insensitive as the probability of creating a block approaches zero. The onset of loss of sensitivity occurs at higher count rates compared to strategies based on accumulation rejection, since multiple photons are allowed to accumulate in each block. Let - a random process with discrete time, the components of which are given by formulas

где - константа, выбранная таким образом, что h и d - небольшое пороговое значение, близкое к нулю. Таким образом, случайная величина представляет собой полную энергию фотонов, прибывающих в течение фиксированного интервала времени длиной . Значение d гарантирует, что сигнал, связанный с прибытием фотонов, очень мал в начале и в конце каждого интервала. Это проиллюстрировано на Фиг. 1. Составной пуассоновский процесс можно использовать для моделирования , т. е.Where - a constant chosen in such a way that h and d are a small threshold value close to zero. Thus, the random variable represents the total energy of photons arriving during a fixed time interval of length . The value of d ensures that the signal associated with photon arrivals is very small at the beginning and end of each interval. This is illustrated in FIG. 1. Composite Poisson process can be used for modeling , i.e.

где - однородный пуассоновский процесс с параметром скорости λ, а € независимые одинаково распределенные случайные величины с функцией плотности . Пусть - случайный процесс с дискретным временем, представляющий дискретизированный выходной сигнал детектора, заданный формулой (2). Он состоит из отклика детектора , искаженного шумовым процессом . Процесс нельзя наблюдать непосредственно. Используя (2), (25) и (32), мы моделируем наблюдения процессом , т. е.Where is a homogeneous Poisson process with rate parameter λ, and € independent identically distributed random variables with density function . Let - random process with discrete time, representing the discretized output signal of the detector, given by formula (2). It consists of the detector response , distorted by the noise process . Process cannot be observed directly. Using (2), (25) and (32), we model observations by the process , i.e.

где шумовой процесс с известной дисперсией . Все случайные величины , участвующие в моделировании данного наблюдения , считаются независимыми. Пусть - независимых одинаково распределенных наблюдений. Пусть - наборы . Пусть соответствующие характеристические функции будут .Where noise process with known variance . All random variables , involved in modeling this observation , are considered independent. Let - independent identically distributed observations. Let - sets . Let the corresponding characteristic functions be .

3.3 Основная форма оценки3.3 Basic form of assessment

Мы стремимся инвертировать отображение в виде карты распределения энергии фотонов в распределение . Наша стратегия состоит в том, чтобы сначала получить характеристическую функцию исходя из , а затем инвертировать отображение в виде карты, предполагая, что скорость счета и характеристики шума известны. Пусть - характеристические функции . Хорошо известно [15], что для составного пуассоновского процесса со скоростью ,We aim to invert the energy distribution map display photons in distribution . Our strategy is to first obtain the characteristic function based , and then invert the map display, assuming the count rate and noise characteristics are known. Let - characteristic functions . It is well known [15] that for a composite Poisson process with speed ,

и поскольку , тоand since , That

Учитывая наблюдения , мы можем сформировать эмпирическую оценку характеристической функции . Рассматривая ее как истинную характеристическую функцию, мы можем инвертировать (40), (41), чтобы получить характеристическую функцию , а затем выполнить преобразование Фурье, чтобы найти спектр амплитуды . В частности, используя (40), (41) и предположение, что является гауссовым, которое используется для обеспечения того, что будет отлична от нуля , полагаем, что будет кривой, описываемойConsidering the observations , we can form an empirical estimate characteristic function . Considering it as a true characteristic function, we can invert (40), (41) to obtain the characteristic function , and then perform a Fourier transform to find the amplitude spectrum . In particular, using (40), (41) and the assumption that is Gaussian, which is used to ensure that will be different from zero , we believe that will be the curve described

Временно полагая , взяв «выделенный логарифм» (43) и переставив, мы имеемTemporarily believing , taking the “distinguished logarithm” (43) and rearranging, we have

В идеале восстанавливается преобразованием ФурьеIdeally restored by Fourier transform

Основная форма предлагаемой нами формулы оценки дана в (88) и выводится из (45) с помощью последовательности этапов. Сначала по данным оценивается (Этап 1). Простая подстановка этой оценки для в (42) не дает оптимальной оценки интегральной средней квадратической погрешности (ISE), равной γ. Приблизительная ISE получается из приблизительной оценки распределения ошибок (Этап 2). Затем мы определяем чувствительную оконную функцию (на этапе 3) и оцениваем γ какThe basic form of our proposed estimation formula is given in (88) and is derived from (45) using a sequence of steps. First, the data is used to estimate (Stage 1). A simple substitution of this estimate for in (42) does not provide an optimal estimate of the integral mean square error (ISE) equal to γ. The approximate ISE is obtained from an approximate estimate of the error distribution (Stage 2). Then we define a sensitive window function (at stage 3) and estimate γ as

Оконная функция предназначена для минимизации приблизительной ISE между и нашей оценкой на основе (44), (45) и (46), но с заменой γ в (44) на (46). Аналогичная идея используется для оценки из (44): весовая функция находится (на этапе 4) таким образом, что замена в (45) наWindow function designed to minimize the approximate ISE between and our assessment based on (44), (45) and (46), but with γ in (44) replaced by (46). A similar idea is used to estimate from (44): weight function is located (at stage 4) in such a way that the replacement in (45) on

дает лучшую оценку , чем использование невзвешенной оценки . Наконец, весовая функция модифицируется (на этапе 5), чтобы учесть в интеграле в (45), который на практике приходится заменять конечной суммой. В следующих подразделах подробно рассматриваются эти пять этапов.gives a better estimate than using an unweighted estimate . Finally, the weight function is modified (at step 5) to be taken into account in the integral in (45), which in practice has to be replaced by a finite sum. The following subsections discuss these five stages in detail.

3.4 Оценка 3.4 Evaluation

Для оценки требуется оценка . В этом подразделе мы задаем модель гистограммы и описываем нашу оценку на основе гистограммы значений . Предположим, что интервалов (и соответствующие значения ) были получены из выборки данных конечной длины. Хотя эмпирическая характеристическая функцияFor rate assessment required . In this subsection, we specify a histogram model and describe our evaluation based on a histogram of values . Let's pretend that intervals (and corresponding values ) were obtained from a data sample of finite length. Although the empirical characteristic function

обеспечивает последовательную, асимптотически нормальную оценку характеристической функции [21], она имеет недостаток, заключающийся в быстром росте вычислительной нагрузки по мере увеличения числа точек данных и необходимого числа точек оценки . Вместо этого мы используем оценку на основе гистограммы, которая требует меньших вычислительных затрат. Предположим, что гистограмма наблюдаемых значений представлена вектором размерностью , где подсчет в m-м столбике гистограммы дается выражением provides a consistent, asymptotically normal estimate of the characteristic function [21], it has the disadvantage that the computational load increases rapidly as the number of data points increases and the required number of assessment points . Instead, we use histogram-based estimation, which requires less computational effort. Suppose that the histogram of observed values represented by a vector dimension , where the count in the mth column of the histogram is given by the expression

Все столбики гистограммы имеют одинаковую ширину. Ширина столбика выбирается в зависимости от величины значений . Поскольку результат выбора другой ширины столбика просто эквивалентен масштабированию значений , мы предполагаем, что ширина столбика равна единице без потери общности. Столбики распределяются поровну между неотрицательными и отрицательными значениями данных. Число столбиков 2 гистограммы влияет на оценку по-разному, что обсуждается в следующих подразделах. На данный момент достаточно предположить, что 2 достаточно велико, чтобы гистограмма включала все значения . Мы оцениваем , формируя гистограмму масштабированных значений и применяя обратное дискретное преобразование Фурье, т. е.All histogram bars have the same width. The width of the column is selected depending on the size of the values . Because the effect of choosing a different bar width is simply equivalent to scaling the values , we assume that the column width is equal to one without loss of generality. The bars are distributed equally between non-negative and negative data values. Number of columns 2 Histograms affect the estimation in different ways, which are discussed in the following subsections. For now it is enough to assume that 2 large enough for the histogram to include all values . We evaluate , forming a histogram of scaled values and applying the inverse discrete Fourier transform, i.e.

Это хорошее приближение к эмпирической характеристической функции, но где члены округлены до ближайшего центра столбика гистограммы (а сокращено в 2 раз). Член просто подсчитывает число округленных членов с одинаковым значением. Ясно, что эту функцию можно успешно вычислить в определенных дискретных точках с помощью быстрого преобразования Фурье (БПФ).This is a good approximation to the empirical characteristic function, but where are the terms rounded to the nearest histogram bar center (a reduced by 2 once). Member simply counts the number of rounded terms with the same value. It is clear that this function can be successfully calculated at certain discrete points using Fast Fourier Transform (FFT).

3.5 Распределение ошибок 3.5 Error distribution

Конструкция фильтров и в (46) и (47) основана на статистических данных ошибок между и истинной характеристической функцией. В этом подразделе мы задаем и описываем характеристики этих ошибок. Мы предполагаем, что функция плотности достаточно гладкая (т.е. и что ширина столбиков гистограммы достаточно мала (относительно стандартного отклонения аддитивного шума ), так что ошибки, вносимые округлением значений до центра каждого столбика гистограммы, приблизительно равномерно распределены по каждому столбику, имеют нулевое среднее значение и малы по сравнению с пиковым расширением, вызванным . Другими словами, источник ошибки, возникающий из-за разбивки значений , считается весьма незначительным. Из-за того, что как статистический характер подсчета Пуассона, так и ожидаемое число отсчетов в каждом столбике не является целым , существуют расхождения между наблюдаемым числом отсчетов в любом данном столбике гистограммы и ожидаемым числом отсчетов для этого столбика. Мы объединяем эти два источника ошибок в нашей модели и называем их «гистограммным шумом». Подчеркнем, что этот шум отличается от аддитивного шума , смоделированного в (11), который вызывает разброс пиков на гистограмме. Пусть вероятность того, что реализация попадет в m-й интервал, равнаFilter design And in (46) and (47) is based on error statistics between and true characteristic function. In this subsection, we define and describe the characteristics of these errors. We assume that the density function fairly smooth (i.e. and that the width of the histogram bars is quite small (relative to the standard deviation of the additive noise ), so errors introduced by rounding values to the center of each histogram bar, are approximately evenly distributed across each bar, have a mean value of zero, and are small compared to the peak expansion caused by . In other words, the source of error arising from the breakdown of values , is considered very insignificant. Due to the fact that both the statistical nature of the Poisson count and the expected number of counts in each column is not an integer , there are discrepancies between the observed number of samples in any given histogram bar and the expected number of samples for that bar. We combine these two error sources in our model and call them “histogram noise.” We emphasize that this noise differs from additive noise , modeled in (11), which causes a scatter of peaks in the histogram. Let the probability that the realization falls into the mth interval, is equal to

Пусть нормализованная ошибка гистограммы в m-м интервале будет разницей между наблюдаемым числом и ожидаемым числом в m-ом столбике относительно общего числа отсчетов на гистограмме , т.е.Let the normalized histogram error in the mth interval will be the difference between the observed number and the expected number in the m-th column relative to the total number of samples in the histogram , i.e.

Используя (50), (51) и (52), имеемUsing (50), (51) and (52), we have

Если гистограмма моделируется как вектор Пуассона, покажем, чтоIf the histogram is modeled as a Poisson vector, we show that

Поскольку характеристики гистограммного шума могут быть выражены через общее число наблюдаемых интервалов , влияние использования данных наблюдений конечной длины можно учесть путем включения этой информации в структуру и .Since the characteristics of histogram noise can be expressed in terms of the total number of observed intervals , the impact of using finite length observational data can be taken into account by incorporating this information into the structure And .

3.6 Оценка γ3.6 Estimation of γ

После получения следующая задача - оценить γ. Вместо того, чтобы подставлять вместо в (42), мы вместо этого используем (46) в качестве оценки, что требует выбора оконной функции . В этом подразделе мы попытаемся найти функцию , близкую к оптимальной. Когда рассматривается распределение ошибок в , оконная функция , которая приводит к наименьшей оценке ISE формы, данной вAfter receiving the next task is to estimate γ. Instead of putting instead of in (42), we instead use (46) as an estimate, which requires choosing a window function . In this subsection we will try to find the function , close to optimal. When considering the distribution of errors in , window function , which results in the smallest ISE estimate of the form given in

где обозначает действительную составляющую . Мы не можем вычислить , поскольку неизвестно, поэтому вместо этого мы пытаемся найти приближение. ПустьWhere denotes the real component . We can't calculate , because the is unknown, so we try to find an approximation instead. Let

Это оправдано рассмотрением величины относительной ошибки между функциями и , гдеThis is justified by considering the magnitude of the relative error between the functions And , Where

Величина относительной ошибки определяется выражениемThe magnitude of the relative error is determined by the expression

Поскольку , мы видим, что правая часть (63) максимальна, когда . Таким образом, относительная ошибка ограничивается соотношениемBecause the , we see that the right side of (63) is maximum when . Thus, the relative error is limited by the relation

что делает справедливым приближение, когда λ мало, или когда . Кроме того, отметим, что полученная оценка достаточно консервативна. Распределение энергии фотонов в спектроскопических системах обычно можно смоделировать как сумму гауссовых пиков, где -й пик имеет местоположение и масштаб , т. е.which makes the approximation valid when λ is small, or when . In addition, we note that the resulting estimate is quite conservative. The photon energy distribution in spectroscopic systems can usually be modeled as the sum Gaussian peaks, where The th peak has a location and scale , i.e.

где Where

Следовательно, характеристическая функция будет иметь видTherefore, the characteristic function will have the form

т. е., колебания внутри оболочки, которое затухает как при некотором . Оценка сверху, данная в (64), весьма консервативна, поскольку для большинства значений . Ошибка аппроксимации будет значительно меньше в большинстве точек оценки по всему спектру. Выбрав , мы можем составить оценку γ, используя (46). Оконная функция снижает влияние гистограммного шума, возникающего из-за конечного числа выборок данных. Для больших значений влияние оконной функции незначительно, и оценка, по существу, такая же, как при использовании (42) напрямую. Однако в областях, где i.e., oscillations inside the shell, which damps as at some . The upper bound given in (64) is very conservative, since for most values . The approximation error will be significantly smaller at most evaluation points across the spectrum. By selecting , we can estimate γ using (46). The window function reduces the impact of histogram noise resulting from a finite number of data samples. For large values the effect of the window function is negligible, and the estimate is essentially the same as using (42) directly. However, in areas where

влияние оконной функции становится значительным и, таким образом, ограничивает нашу оценку γ. Используя тот факт, что шум является гауссовским (так что и, следовательно, ), и поскольку , мы видим, чтоthe influence of the window function becomes significant and thus limits our estimate of γ. Using the fact that noise is Gaussian (so and therefore ), and since , we see that

Это гарантирует, что аргумент «выделенного логарифма» в (47) остается конечным, даже если .This ensures that the "distinguished logarithm" argument in (47) remains finite even if .

3.7 Оценка 3.7 Evaluation

После получения переходим к оценке , используя (47). Для этого требуется другая оконная функция . В этом подразделе мы найдем функцию для оценки , которая близка к оптимальной для ISE. Для удобства обозначений начнем с определения функции After receiving let's move on to the assessment , using (47). This requires another window function . In this subsection we will find the function for rate , which is close to optimal for ISE. For convenience of notation, let's start with the definition of the function

ISE минимизируется, когда , где оптимальный фильтр задается формулойISE is minimized when , where is the optimal filter is given by the formula

Опять же, мы не можем вычислить оптимальный фильтр, используя (73) - (74), поскольку , и неизвестны. Вместо этого мы делаем следующие наблюдения, чтобы получить приближение для оптимального по ISE фильтра.Again, we cannot calculate the optimal filter using (73) - (74) because , And unknown. Instead, we make the following observations to obtain an approximation for the ISE-optimal filter.

3.7.1 Начальные наблюдения3.7.1 Initial observations

Оптимальный фильтр остается близким к единице, пока оценка остается близкой к истинному значению . Это всегда будет иметь место при малых значениях , посколькуThe optimal filter remains close to one as long as the estimate remains close to the true value . This will always be the case for small values , because the

Кроме того, уравнение (73) показывает, что если , то поэтому . Для больших значений , когда величина становится сравнимой или меньшей, чем , в формуле оценки преобладает шум и она больше не дает полезных оценок . В крайнем случае , поэтому и, следовательно,Moreover, equation (73) shows that if , That That's why . For large values , when the value becomes comparable or less than , in the evaluation formula noise dominates and no longer provides useful estimates . As a last resort , That's why and therefore

Окно должно исключать эти области из оценки, поскольку смещение, вносимое при этом, будет меньше дисперсии нефильтрованного шума. К сожалению, оценка может сильно ухудшиться задолго до того, как будет достигнуто это граничное условие, поэтому (77) не особенно полезно. Более полезный способ определения того, когда начинает преобладать шум, заключается в следующем.Window should exclude these regions from the estimate because the bias introduced will be less than the variance of the unfiltered noise. Unfortunately, the rating may deteriorate greatly long before this boundary condition is reached, so (77) is not particularly useful. A more useful way to determine when noise becomes dominant is as follows.

3.7.2 Функция конструкции фильтра3.7.2 Function of filter design

Дальнейшее преобразование (67) показывает, что для типичных спектроскопических систем величина будет иметь видFurther transformation (67) shows that for typical spectroscopic systems the quantity will look like

а именно: средняя составляющая, которая затухает в соответствии с шириной пиков , и более быстро затухающая колебательная составляющая, которая изменяется в зависимости от расположения спектральных пиков . При проектировании окна мы заинтересованы в ослаблении областей в , где , то есть, где мощность сигнала меньше, чем гистограммный шум, который был усилен удалением во время оценки γ. Чтобы получить оценку , фильтр нижних частот гауссовой формы сворачивается с для ослабления всех, кроме медленно изменяющихся крупномасштабных характеристик . Мы обозначаем это namely: an average component that decays according to the width of the peaks , and a more rapidly decaying vibrational component that varies depending on the location of the spectral peaks . When designing a window we are interested in weakening areas in , Where , that is, where the signal strength is less than the histogram noise that has been amplified by removing during the estimation of γ. To get an estimate , filter low-pass Gaussian shape is convolved with to attenuate all but slowly changing large-scale characteristics . We designate this

Мы видим, что имеет распределение Рэлея с масштабным коэффициентом = . СледовательноWe see that has a Rayleigh distribution with a scale factor = . Hence

Хорошо известно, что кумулятивная функция распределения случайной величины с распределением Рэлея имеет видIt is well known that the cumulative distribution function of a random variable with the Rayleigh distribution looks like

Следовательно, чтобы облегчить вычисление окна , мы воспользуемся функциейTherefore, to facilitate window calculation , we will use the function

для управления формой . Функция обеспечивает индикацию того, насколько мы можем быть уверены в том, что оценка содержит больше энергии сигнала, чем энергии шума. Приближение в (84) возникает из того факта, что также является случайной величиной, на которую слегка влияет шум . Иногда - особенно для больших значений - гистограммный шум может приводить к достаточно большим значениям , чтобы дать ложное чувство уверенности и потенциально позволить зашумленным результатам искажать оценку . Чтобы преодолеть эту проблему, функция была изменена так, чтобы она была одномодальной по to control the form . Function provides an indication of how confident we can be that the estimate contains more signal energy than noise energy. The approximation in (84) arises from the fact that is also a random variable that is slightly affected by noise . Sometimes - especially for large values - histogram noise can lead to quite large values to give a false sense of confidence and potentially allow noisy results to skew the assessment . To overcome this problem, the function was modified to be unimodal in

Эта модификация была оправдана в предположении, что гауссовский шум вызывает уменьшение по . Следовательно, мы ожидаем, что будет увеличиваться по . Если мы проигнорируем локальные колебания , которые связаны с положениями пиков в , огибающая, аппроксимируемая сглаженным , не будет увеличиваться по . Уравнение (74) указывает, что оптимальное окно имеет вид , поэтому общая форма окна будет уменьшаться по . Следовательно, если оцененная характеристическая функция в области некоторого (где отношение сигнал шум высокое) определила, что значение окна должно быть , то резонно отклонить предположение, что в области (где отношение сигнал/шум будет хуже), что . Зная, что должен быть близок к единице для малых , близок к нулю для больших и должен «спадать» при уменьшении отношения сигнал/шум - мы рассматриваем две потенциальные оконные функции как приближения к .This modification was justified on the assumption that Gaussian noise causes a decrease By . Therefore we expect that will increase by . If we ignore local fluctuations , which are related to the positions of the peaks in , envelope approximated by smoothed , will not increase by . Equation (74) indicates that the optimal window is of the form , so the overall shape of the window will decrease by . Consequently, if the estimated characteristic function in the region of some (where the signal-to-noise ratio is high) determined that the window value should be , then it is reasonable to reject the assumption that in the region (where the signal-to-noise ratio will be worse) that . Knowing that should be close to unity for small , close to zero for large and should “fall off” as the signal-to-noise ratio decreases - we consider two potential window functions as approximations to .

3.7.3 Прямоугольное окно3.7.3 Rectangular window

Индикаторная функция дает очень простую оконную функциюThe indicator function gives a very simple window function

Пороговое значение определяет точку, в которой происходит отсечка, и которое может быть выбрано вручную по желанию (например, ). Как только порог выбран, оценка демонстрирует аналогичные характеристики ISE независимо от местоположения пиков в спектрах падающего излучения. Вместо того, чтобы требовать от пользователя выбора ширины окна в зависимости от падающего спектра (Gugushvili [18] предложил непараметрическую оценку для общей задачи разложения, в которой использовалась прямоугольная оконная схема. При этом требуется ручной выбор ширины окна, которая зависит от ), ширина окна автоматически выбирается на основании данных через . Хотя простота является основным преимуществом прямоугольного окна, область резкого перехода представляет собой плохую модель для области спада оптимального фильтра. Вторая форма фильтра пытается улучшить это.Threshold value defines the point at which the cutoff occurs, which can be manually selected as desired (e.g. ). Once the threshold is selected, the evaluation shows similar ISE characteristics regardless of the location of the peaks in the incident spectra. Instead of requiring the user to select a window width depending on the incident spectrum (Gugushvili [18] proposed a nonparametric estimate for a general decomposition problem that used a rectangular window design. This requires manual selection of a window width that depends on ), the window width is automatically selected based on data via . Although simplicity is the main advantage of a rectangular window, the sharp transition region is a poor model for the roll-off region of an optimal filter. The second form of filter tries to improve on this.

3.7.4 Логистическое окно3.7.4 Logistics window

Окно, основанное на логистической функции, пытается смоделировать более плавный спад. Это даетсяA window based on the logistic function attempts to model a smoother decline. This is given

где снова действует как порог принятия гипотезы о том, что энергия сигнала больше, чем энергия шума в оценке . Скорость спада фильтра в окрестности пороговой области управляется параметром . Это обеспечивает более плавную переходную область, чем прямоугольное окно, уменьшая колебания Гиббса в окончательной оценке . Еще раз, хотя параметры , выбираются вручную, они гораздо меньше зависят от и могут использоваться для обеспечения фильтрации, близкой к оптимальной, для самых разных спектров падающих импульсов. Типичные использованные значения были . Характеристики функций прямоугольного и логистического окон сравниваются в разделе 4.Where again acts as a threshold for accepting the hypothesis that the signal energy is greater than the noise energy in the estimate . The filter decay rate in the vicinity of the threshold region is controlled by the parameter . This provides a smoother transition region than a rectangular window, reducing Gibbs variation in the final estimate . Once again, although the parameters , are selected manually, they are much less dependent on and can be used to provide near-optimal filtering for a wide variety of incident pulse spectra. Typical values used were . The characteristics of the rectangular and logistic window functions are compared in Section 4.

3.8 Оценка 3.8 Evaluation

После конструирования оконной функции и, следовательно, средства оценки , последняя задача состоит в том, чтобы оценить путем обращения преобразования Фурье. В этом подразделе описывается несколько проблем, связанных с численной реализацией. Во-первых, невозможно вычислить (u) и численно на всей действительной прямой. Вместо этого мы оцениваем их в дискретных точках на конечном интервале. Конечный интервал выбирается достаточно большим, чтобы возникла допустимо небольшая ошибка в результате исключения значений сигнала за пределами интервала. Это оправдано, поскольку является смесью гауссовых распределений, поскольку величины и будут убывать как для некоторого . Быстрое преобразование Фурье (БПФ) используется для вычисления в дискретных точках и, следовательно, также определяет точки, в которых оцениваются (u) и . Аналогичным образом, БПФ используется для определения окончательной оценки в дискретных точках. Чтобы использовать БПФ, сигналы вне интервала должны быть достаточно малыми, чтобы уменьшить влияние наложения спектров. Точки оценки также должны быть достаточно плотными, чтобы избежать неоднозначности «обращения фазы» при оценке . Обе эти цели могут быть достигнуты путем увеличения числа столбиков 2M в гистограмме (заполнение нулями) до тех пор, пока не будет достигнуто достаточно большое число столбиков. По мере увеличения плотность дискретизации увеличивается, что позволяет детектировать и управлять свертыванием фазы. Большее значение M также позволяет пренебречь наложением (вызванных хвостами гауссовой формы). Обычно значение выбиралось как наименьшая степень двойки, достаточно большая, чтобы ненулевые значения гистограммы были ограничены индексами «нижней половины», то есть . Во-вторых, «выделенный логарифм» в (47) не определен если . При оценке γ по данным существует небольшая, но ненулевая вероятность того, что оценка будет равна нулю. В этом случае «выделенный логарифм» в (47) не определен и метод не работает. По мере увеличения уменьшается и может приближаться . Когда и имеют одинаковые величины, вероятность того, что (и, следовательно, ) будет близка к нулю, может стать значительной. Фильтр должен спадать быстрее, чем приближается к , чтобы уменьшить влияние, которое это может оказать на оценку. В идеале должно быть равно нулю в областях, где шум может привести к тому, что будет близко к нулю. Gugushvili показал [18], что для прямоугольного окна вероятность невыполнения инверсии приближается к нулю, поскольку длина набора данных увеличивается .After constructing the window function and therefore the means of assessment , the last task is to estimate by inverting the Fourier transform. This subsection describes several problems associated with the numerical implementation. Firstly, it is impossible to calculate (u) and numerically on the entire real line. Instead, we evaluate them at discrete points over a finite interval. The final interval is chosen to be large enough so that a tolerably small error occurs as a result of excluding signal values outside the interval. This is justified because is a mixture of Gaussian distributions, since the quantities And will decrease as for some . Fast Fourier Transform (FFT) is used to calculate at discrete points and therefore also defines the points at which to evaluate (u) and . Similarly, FFT is used to determine the final score at discrete points. To use FFT, the out-of-band signals must be small enough to reduce the effects of aliasing. The evaluation points must also be dense enough to avoid the ambiguity of "phase reversal" during evaluation . Both of these goals can be achieved by increasing the number of 2M bars in the histogram (filling with zeros) until a sufficiently large number of bars is reached. As you increase sampling density increases, which makes it possible to detect and control phase coagulation. A larger value of M also allows one to ignore aliasing (caused by tails Gaussian shape). Usually the value was chosen as the smallest power of two large enough to ensure that non-zero histogram values are constrained by the "bottom half" indices, i.e. . Secondly, the “distinguished logarithm” in (47) is not defined if . When estimating γ given the data, there is a small but non-zero probability that the estimate will be zero. In this case, the “distinguished logarithm” in (47) is not defined and the method does not work. As you increase decreases and may approach . When And have the same values, the probability that (and therefore ) will be close to zero and may become significant. Filter should fall faster than approaching to reduce the impact this may have on the estimate. Ideally should be zero in areas where noise could cause will be close to zero. Gugushvili showed [18] that for a rectangular window the probability of failing the inversion approaches zero as the length of the data set increases .

3.9 Дискретное обозначение3.9 Discrete notation

Мы сделаем небольшое отступление, чтобы ввести дополнительные обозначения. В остальной части документа полужирным шрифтом будет обозначаться вектор , соответствующий дискретно выбранной версии названной функции, например, представляет вектор , значения которого задаются характеристической функцией , вычисленной в точках . Обозначение в квадратных скобках используется для индексации определенного элемента в векторе, например, имеет значение . Мы также используем отрицательные индексы для доступа к элементам вектора способом аналогичным способу в языке программирования Python. Отрицательные индексы следует интерпретировать относительно длины вектора, т.е. относится к последнему элементу в векторе (что эквивалентно .We will make a short digression to introduce additional notation. Throughout the rest of the document, bold font will denote a vector , corresponding to a discretely selected version of the named function, for example, represents a vector , the values of which are specified by the characteristic function , calculated in points . Designation in square brackets is used to index a specific element in a vector, e.g. has the meaning . We also use negative indices to access the elements of a vector in a manner similar to the Python programming language. Negative indices should be interpreted relative to the length of the vector, i.e. refers to the last element in the vector (which is equivalent to .

3.10 Сущность оценки3.10 Nature of assessment

Используемую нами процедуру оценки можно свести к следующим этапам.The assessment procedure we use can be reduced to the following steps.

1. Разбейте выбранный временной ряд на интервалы, используя (8).1. Divide the selected time series into intervals using (8).

2. Рассчитайте значение для каждого интервала согласно (9).2. Calculate the value for each interval according to (9).

3. Сгенерируйте гистограмму из значений .3. Generate a histogram from values .

4. Вычислите , используя обратное БПФ, для эффективной оценки (50) в различных точках выборки.4. Calculate , using the inverse FFT to efficiently estimate (50) at various sample points.

5. Вычислите и в соответствующих точках.5. Calculate And at the appropriate points.

6. Вычислите по (46), используя , и .6. Calculate by (46), using , And .

7. Вычислите , версию с фильтром нижних частот.7. Calculate , version with low pass filter.

8. Вычислите с помощью (83) и (85).8. Calculate using (83) and (85).

9. Вычислите , используя и (86) или (87).9. Calculate using and (86) or (87).

10. Вычислите с помощью (47), используя и . Если какой-либо элемент равен нулю, а соответствующий элемент отличен от нуля, оценка не удалась, поскольку «выделенный логарифм» не определен.10. Calculate using (47), using And . If any element is equal to zero, and the corresponding element is non-zero, evaluation fails because the "allocated logarithm" is not defined.

11. Вычислите , используя БПФ для в соответствии с11. Calculate using FFT for in accordance with

3.11 Показатели эффективности3.11 Performance indicators

Эффективность оценки измеряется с использованием интегральной квадратичной ошибки (ISE). ISE измеряет общее соответствие оценочной плотности.Estimation performance is measured using integral squared error (ISE). ISE measures the overall consistency of the estimated density.

Дискретная мера ISE определяется выражениемThe discrete measure ISE is given by

где - это вектор размером 1, элементы которого содержат вероятностную меру в области каждого столбика гистограммы, т.е.Where is a vector of size 1, the elements of which contain a probability measure in the area of each histogram column, i.e.

Вектор представляет собой соответствующий оцененный вектор вероятностной меры.Vector represents the corresponding estimated probability measure vector.

4 ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ПЕРВОГО ВАРИАНТА ОСУЩЕСТВЛЕНИЯ4 NUMERICAL RESULTS OF THE FIRST IMPLEMENTATION OPTION

Эксперименты проводились с использованием смоделированных и реальных данных.Experiments were conducted using simulated and real data.

4.1 Моделирование4.1 Simulation

Для этих расчетов использовалась идеальная плотность, использованная Trigano и др. [11]. Она состоит из смеси шести гауссовых и одного гамма-распределения для имитации комптоновского фона. Плотность смеси определяется какFor these calculations, the ideal density used by Trigano et al. [11] was used. It consists of a mixture of six Gaussian and one Gamma distribution to simulate the Compton background. The density of the mixture is defined as

где - плотность нормального распределения со средним и дисперсией . Плотность гамма-распределения определяется выражением . Плотность была выбрана в 8192 равноотстоящих целочисленных точках, чтобы получить дискретный вектор вероятностной меры. БПФ использовалось для получения , дискретного вектора значений .Where - density of normal distribution with mean and variance . The gamma distribution density is given by the expression . Density was sampled at 8192 equidistant integer points to obtain a discrete vector probability measure. FFT was used to obtain , discrete vector of values .

Для эксперимента была выбрана конкретная скорость λ счета, соответствующая ожидаемому числу событий за интервал наблюдения. Ожидаемая плотность наложения была получена с помощью (40). Т.е. дискретный вектор , был пропорционально изменен в отношении λ, возведен в степень, затем пропорционально изменен в отношении и, наконец, было применено БПФ.For the experiment, a specific counting rate λ was chosen, corresponding to the expected number of events during the observation interval. The expected overlay density was obtained using (40). Those. discrete vector , was proportionally changed with respect to λ, raised to a power, then proportionally changed with respect to and finally FFT was applied.

Уравнение (93) было свернуто с гауссианом для моделирования эффекта шума , размывающего наблюдаемый спектр.Equation (93) was convolved with a Gaussian to model the effect of noise , blurring the observed spectrum.

Это представляет собой ожидаемую плотность наблюдаемого спектра, включая наложения и аддитивный шум. Гистограммы наблюдений были построены с использованием случайных величин, которые были распределены согласно (94). Эксперименты параметризовались парой , где и . Для каждой пары параметров была сделана тысяча наблюдаемых гистограмм. Оценки вектора вероятностной меру были сделаны с использованием (88) с использованием как (86), так и (87) для . Пороговое значение использовалось для обеих форм окон и для логистической формы. Дискретная мера ISE ошибки между каждой оценкой и истинным вектором записывалась. Для сравнения с результатами асимптотической полосы пропускания оценки были сделаны с использованием прямоугольного окна, ширина полосы которого была выбрана в соответствии с условием 1.3, указанным Gugushvili в [18], т.е. где . Подчеркнем, что фильтра Gugushvili не следует путать с из (87). Критерий асимптотической полосы пропускания реализован с использованиемThis represents the expected density of the observed spectrum, including aliasing and additive noise. Histograms of observations were constructed using random variables that were distributed according to (94). The experiments were parameterized by a pair , Where And . For each pair of parameters One thousand observed histograms were made. Vector estimates probability measures were made using (88) using both (86) and (87) for . Threshold value used for both window shapes and for logistic form. Discrete ISE measure of error between each estimate and true vector recorded. For comparison with the asymptotic bandwidth results, estimates were made using a rectangular window whose bandwidth was chosen according to condition 1.3 specified by Gugushvili in [18], i.e. Where . Let us emphasize that Gugushvili filter should not be confused with from (87). The asymptotic bandwidth criterion is implemented using

Были опробованы три значения для из Gugushvili, а именно .Three values were tried for from Gugushvili, namely .

Оценки также были сделаны с использованием прямоугольного фильтра (95) с фиксированной полосой пропускания различных значений . Наконец, данные временного ряда были созданы в соответствии с (1) с идеализированной прямоугольной формой импульса и 10⁷ импульсами, энергии которых были распределены в соответствии с (92). Длительность импульса и скорость счета были выбраны так, чтобы коэффициент Пуассона был . Алгоритм, описанный Trigano и др. [11], использовался для оценки лежащей в их основе амплитудной плотности из двумерной гистограммы, содержащей 32×1024 (длительность x энергия) столбиков - этот выбор столбиков, как сообщается, дает наилучшую точность и разумное время выполнения. Производительность и время обработки основного алгоритма были записаны для сравнения с предложенным нами алгоритмом. На Фиг. 2 показана типичная оценка , сделанная управляемым данными фильтром логистической формы для эксперимента с парой параметров . Также нанесены истинный вектор (тонкая сплошная линия) и наблюдаемая гистограмма (нижняя кривая, содержащая некоторый шум). На наблюдаемой гистограмме хорошо видны пики наложения. Хотя расчетная плотность страдает от звона (из-за явления Гиббса), в противном случае она оценивает истинную плотность и исправляет наложение, которое присутствовало на наблюдаемой гистограмме. На Фиг. 3 показана типичная оценка, сделанная в той же рабочей точке, что и на Фиг. 2, но с помощью оценки, использующей прямоугольный фильтр, в котором полоса пропускания была выбрана с использованием (96) и . Это соответствует рабочей области на Фиг. 6, где характеристика фильтра с фиксированной полосой пропускания () приближается к характеристикам фильтров, управляемых данными. Очевидно, что, несмотря на корректировку наложения, полученная оценка содержит больше шума. На Фиг. 4 показаны плотности распределения измерений ISE в зависимости от отсчетов образцов, с использованием прямоугольного фильтра и различных фиксированных полос пропускания. Линии были нанесены между математическими ожиданиями (MISE mean integrated squared error - средний интегральный квадрат ошибки) для облегчения визуализации. Результаты для управляемого данными прямоугольного фильтра (86), также были нанесены на график и соединены более толстой кривой. Они ясно показывают слабость фильтрации с фиксированной полосой пропускания. Для любой фиксированной полосы пропускания ISE уменьшается по мере увеличения отсчетов образцов, в конечном итоге асимптотически, поскольку смещение становится доминирующим источником ошибки. В этой точке (которая зависит от шума и полосы пропускания) ISE остается в основном постоянной, несмотря на увеличение отсчетов образцов. Фиксированная полоса пропускания исключает использование некоторых оценок в окончательных расчетах, даже если они имеют высокое отношение сигнал/шум (SNR). На Фиг. 4 также показаны результаты, полученные с помощью прямоугольного фильтра с предложенным нами выбором полосы пропускания на основе данных. Эта кривая находится близко к точке перегиба каждой кривой фиксированной полосы пропускания. Это указывает на то, что полоса пропускания, выбранная для прямоугольного фильтра, управляемого данными, близка к оптимальному значению полосы пропускания (для прямоугольного фильтра) во всем диапазоне отсчетов образцов. На Фиг. 5-7 показаны плотности распределения меры ISE как функции общего числа оценок в каждой гистограмме при трех скоростях счета . Кривые MISE для логистических и прямоугольных фильтров ниже, чем кривые, полученные с использованием полосы пропускания, заданной формулой (96), для большей части области, представляющей интерес для применения. Существуют различные области, где полоса пропускания, не управляемая данными (), дает характеристики, аналогичные полосе пропускания, управляемой данными, однако они не поддерживаются для всего диапазона отсчетов образцов. Логистическая форма фильтра имеет несколько лучшие характеристики, чем прямоугольная форма фильтра, хотя различия между двумя фильтрами кажутся относительно незначительными для меры ISE. В Таблице 1 сравниваются результаты предложенного алгоритма и алгоритма, недавно описанного в [11]. ISE для обоих способов были похожи в исследуемой рабочей точке , однако предлагаемый нами алгоритм требует значительно меньше вычислений.Estimates were also made using a rectangular filter (95) with a fixed bandwidth of various values . Finally, time series data were generated according to (1) with an idealized rectangular pulse shape and 10 ⁷ pulses whose energies were distributed according to (92). The pulse duration and counting rate were chosen so that the Poisson's ratio was . The algorithm described by Trigano et al. [11] was used to estimate the underlying amplitude density from a two-dimensional histogram containing 32 × 1024 (duration x energy) bars - this choice of bars is reported to give the best accuracy and reasonable execution time. The performance and processing time of the main algorithm were recorded for comparison with our proposed algorithm. In FIG. Figure 2 shows a typical score , made by a data-driven logistic shape filter for an experiment with a pair of parameters . The true vector is also plotted. (thin solid line) and observed histogram (lower curve containing some noise). The observed histogram clearly shows the overlap peaks. Although the estimated density suffers from ringing (due to the Gibbs phenomenon), it otherwise estimates the true density and corrects for aliasing that was present in the observed histogram. In FIG. 3 shows a typical evaluation made at the same operating point as in FIG. 2, but using an estimate using a rectangular filter in which the bandwidth was selected using (96) and . This corresponds to the work area in FIG. 6, where the characteristic of a filter with a fixed bandwidth ( ) approaches the characteristics of data-driven filters. It is obvious that, despite the overlap correction, the resulting estimate contains more noise. In FIG. Figure 4 shows the density distribution of ISE measurements as a function of sample counts, using a rectangular filter and various fixed passbands. Lines were drawn between the mathematical expectations (MISE mean integrated squared error) to facilitate visualization. The results for the data-driven rectangular filter (86) were also plotted and connected by a thicker curve. They clearly show the weakness of fixed-bandwidth filtering. For any fixed bandwidth, the ISE decreases as the sample counts increase, eventually asymptotically as the offset becomes the dominant source of error. At this point (which depends on noise and bandwidth), the ISE remains essentially constant despite increasing sample counts. Fixed bandwidth precludes the use of some estimates in the final calculations, even if they have a high signal-to-noise ratio (SNR). In FIG. Figure 4 also shows the results obtained using a rectangular filter with our proposed data-driven bandwidth selection. This curve is close to the inflection point of every fixed bandwidth curve. This indicates that the bandwidth selected for the data-driven rectangular filter is close to the optimal bandwidth (for the rectangular filter) over the entire sample range. In FIG. 5-7 show the distribution densities of the ISE measure as a function of the total number of estimates in each histogram at three counting rates . The MISE curves for the logistic and rectangular filters are lower than those obtained using the bandwidth given by Equation (96) for most of the region of interest for the application. There are various areas where non-data-driven bandwidth ( ) provides similar performance to data-driven bandwidth, but is not supported across the full range of sample counts. The logistic filter shape performs slightly better than the rectangular filter shape, although the differences between the two filters appear to be relatively minor for the ISE measure. Table 1 compares the results of the proposed algorithm and the algorithm recently described in [11]. The ISEs for both methods were similar at the operating point studied. , however, our proposed algorithm requires significantly less computation.

Таблица 1: Сравнение с алгоритмом, описанным в [11]Table 1: Comparison with the algorithm described in [11]

АлгоритмAlgorithm Средн. ISEAvg. I.S.E. Средн. Время (сек)Avg. Time (sec) Быстрый алгоритм TriganoFast Trigano algorithm 32×1024 (длительность x энергия) столбиков32x1024 (duration x energy) bars 1,3×10^-5 1.3×10 ^-5 3,193.19 Предлагаемый алгоритмProposed algorithm 1×10^-5 1×10 ^-5 0,0190.019

4.2 Реальные данные4.2 Real data

Оценка применялась к реальным данным, чтобы оценить их полезность в практических приложениях. Пороговое значение , найденное в (8), было выбрано равным примерно половине стандартного отклонения аддитивного шума . Это обеспечило достаточно высокую вероятность создания интервалов, но при этом гарантировало, что ошибки в оценке энергии интервала были низкими. Значение длины интервала было выбрано примерно в четыре раза больше «длины» типичного импульса, то есть в четыре раза больше длины интервала . Гистограмма энергии была получена для образца марганца с номинальной скоростью потока фотонов 10⁵ событий в секунду. Небольшая отрицательная асимметрия присутствовал в форме основных пиков наблюдаемой гистограммы, что свидетельствует о том, что на систему повлиял составной источник шума. Это едва заметно на Фиг. 8. Шум был смоделирован как бимодальная гауссова смесь, а не как один гауссовский пик. Простая процедура оптимизации методом наименьших квадратов использовалась для подгонки параметров бимодального гауссовского распределения к пику шума, расположенному у столбика с нулевым индексом. Подходящее значение λ было выбрано вручную. Для оценки истинной плотности использовался логистический фильтр с полосой пропускания, управляемой данными. На Фиг. 8 показаны графики наблюдаемых и оцененных векторов вероятностной меры. Основные пики (столбики 450 ~ 600) были усилены, в то время как наложение было ослаблено, но не полностью удалено. Пики наложения первого порядка уменьшены. Отношение максимума к наложению (отношение высоты основного пика к высоте первого пика наложения) увеличилось с около 6 до около 120. Эти улучшения сопоставимы с другими современными системами (например, [11]). Имеется несколько возможных причин, по которым не удается оценка, чтобы полностью разложить наложение. Точность оценки зависит от правильного моделирования пика гауссова шума. Бимодальная гауссова смесь моделировала пик шума таким образом, что максимальная ошибка составляла менее 1% от пика плотности шума. Учитывая, что остаточные наложенные пики в оцененном спектре составляют менее 1% от основного пика, чувствительность оценки к ошибкам в моделировании шума могла в некоторой степени этому способствовать. Вторая причина неразложенного наложения может быть связана с неопределенностью в оценке наблюдаемого спектра. Некоторые из остаточных пиков наложения относительно близки к низу наблюдаемой гистограммы. Остаточные пики могут быть просто артефактом оценки, вызванным шумом. Наконец, математическая модель может быть слишком простой аппроксимацией наблюдаемого спектра. Процесс детектирования включает в себя многочисленные эффекты второго порядка, которые не были включены в модель (например, баллистический дефицит, истощение запаса заряда, коррелированный шум, нелинейности и т. д. …). Эти незначительные эффекты могут ограничить точность оценки поправки наложения.The evaluation was applied to real data to evaluate its usefulness in practical applications. Threshold value , found in (8), was chosen to be approximately half the standard deviation of the additive noise . This ensured that the probability of generating intervals was sufficiently high, but also ensured that errors in the interval energy estimate were low. Length value the interval was chosen to be approximately four times the "length" of a typical pulse, that is, four times the length of the interval . The energy histogram was obtained for a manganese sample with a nominal photon flux rate of 10 ⁵ events per second. A slight negative skewness was present in the form of major peaks in the observed histogram, indicating that the system was affected by a compound noise source. This is barely noticeable in Fig. 8. The noise was modeled as a bimodal Gaussian mixture rather than a single Gaussian peak. A simple least squares optimization procedure was used to fit the parameters bimodal Gaussian distribution to the noise peak located at the column with index zero. The appropriate value of λ was selected manually. A logistic filter with data-driven bandwidth was used to estimate the true density. In FIG. Figure 8 shows plots of observed and estimated probability measure vectors. The main peaks (bars 450~600) were enhanced, while the overlap was weakened but not completely removed. First order aliasing peaks are reduced. The peak-to-overlap ratio (the ratio of the height of the main peak to the height of the first peak of the overlap) increased from about 6 to about 120. These improvements are comparable to other state-of-the-art systems (e.g., [11]). There are several possible reasons why the estimate fails to fully decompose the overlap. The accuracy of the estimate depends on the correct modeling of the Gaussian noise peak. The bimodal Gaussian mixture modeled the noise peak such that the maximum error was less than 1% of the noise density peak. Given that the residual aliased peaks in the estimated spectrum are less than 1% of the main peak, the sensitivity of the estimate to errors in noise modeling may have contributed to this to some extent. A second reason for the undecomposed overlap may be due to uncertainty in the estimate of the observed spectrum. Some of the residual overlap peaks are relatively close to the bottom of the observed histogram. Residual peaks may simply be an estimation artifact caused by noise. Finally, the mathematical model may be too simple an approximation of the observed spectrum. The detection process includes numerous second order effects that were not included in the model (eg ballistic deficit, charge depletion, correlated noise, nonlinearities, etc....). These minor effects may limit the accuracy of the aliasing correction estimate.

5 СУЩНОСТЬ ПЕРВОГО ВАРИАНТА ОСУЩЕСТВЛЕНИЯ5 ESSENCE OF THE FIRST IMPLEMENTATION OPTION

Мы взяли оценку, предложенную Gugushvili [18] для разложения в условиях гауссова шума, и адаптировали ее для коррекции наложения импульсов в рентгеновской спектроскопии. Мы предложили управляемый данными механизм выбора полосы пропускания, который легко реализуется и обеспечивает значительное ISE/MISE в широком диапазоне отсчетов образцов, представляющих интерес для спектроскопических приложений ( отсчетов). Выбор прямоугольной полосы пропускания, управляемый данными, близок к оптимальному (для прямоугольных фильтров) и в интересующем диапазоне превосходит выбор полосы пропускания, основанный на асимптотических результатах или фиксированной полосе пропускания. Хотя первоначальные результаты кажутся многообещающими, требуется дальнейшая работа для повышения производительности при практическом внедрении. Оценка по-прежнему содержит «звенящие» артефакты, связанные с феноменом Гиббса. Дополнительная форма фильтра пытается уменьшить это, есть и другие формы, которые ближе к оптимальной MSE.We took the estimate proposed by Gugushvili [18] for expansion under Gaussian noise and adapted it to correct for pulse aliasing in X-ray spectroscopy. We have proposed a data-driven bandwidth selection mechanism that is easy to implement and provides significant ISE/MISE over a wide range of sample counts of interest for spectroscopic applications ( counts). Data-driven rectangular bandwidth selection is close to optimal (for rectangular filters) and, over the range of interest, outperforms bandwidth selection based on asymptotic results or fixed bandwidth. Although initial results appear promising, further work is required to improve performance in practical implementation. The assessment still contains ringing artifacts associated with the Gibbs phenomenon. An additional filter shape attempts to reduce this, there are other shapes that are closer to the optimal MSE.

6 ВТОРОЙ ВАРИАНТ ОСУЩЕСТВЛЕНИЯ6 SECOND IMPLEMENTATION OPTION

В этом разделе дается сущность оценки спектра 2-го варианта осуществления. Второй вариант осуществления решает проблему первого варианта осуществления, который требует, чтобы каждым интервалом были приближенно охвачены целые кластеры. Во втором варианте осуществления при желании можно использовать всю серию данных, и перекрытие компенсируется введением двух интервалов разной длины и .This section gives the essence of the spectrum estimation of the 2nd embodiment. The second embodiment solves the problem of the first embodiment, which requires that entire clusters be approximately covered by each interval. In the second embodiment, the entire data series can be used if desired, and the overlap is compensated for by introducing two intervals of different lengths And .

Нам необходимо ввести несколько дополнительных терминов, не упомянутых в первом варианте осуществления. В частности, Оценка спектра основывается наWe need to introduce a few additional terms not mentioned in the first embodiment. In particular, Spectrum assessment is based on

Введение фильтра позволяет решить несколько возникающих проблем реализации. Процедуру оценки, которую мы используем, можно резюмировать в следующих этапах.Filter introduction allows you to solve several emerging implementation problems. The evaluation procedure we use can be summarized in the following steps.

1. Разделите выбранный временной ряд на интервалы фиксированной длины 1. Divide the selected time series into fixed-length intervals

2. Вычислите значение для каждого интервала в соответствии с .2. Calculate the value for each interval according to .

3. Создайте гистограмму из значений .3. Create a histogram from values .

4. Рассчитайте , используя обратное БПФ для .4. Calculate , using inverse FFT for .

5. Разделите выбранный временной ряд на другой набор интервалов длиной и, выполнив аналогичные вычисления, получите .5. Divide the selected time series into another set of intervals of length and after performing similar calculations, you get .

6. Вычислите и .6. Calculate And .

7. Вычислите , используя , , и ,7. Calculate using , , And ,

8. Вычислите , версию с фильтром нижних частот.8. Calculate , version with low pass filter.

9. Вычислите .9. Calculate .

10. Вычислите , используя .10. Calculate using .

11. Вычислите , используя и . Если какой-либо элемент равен нулю, а соответствующий элемент отличен от нуля, оценка не удалась, поскольку «выделенный логарифм» не определен.11. Calculate using And . If any element is equal to zero, and the corresponding element is non-zero, evaluation fails because the "allocated logarithm" is not defined.

12. Вычислите , используя БПФ для в соответствии с12. Calculate using FFT for in accordance with

6.1 Детали алгоритма6.1 Algorithm details

Разделите выходной поток детектора на набор неперекрывающихся интервалов длиной , т.е. . Пусть будет суммой выходных отсчетов детектора в j-м интервале, т.е.Divide the detector output stream into a set of non-overlapping intervals of length , i.e. . Let will be the sum of the detector output samples in the jth interval, i.e.

Предполагая, что больше длительности импульса, j-й интервал может содержать «полные» импульсы, а также импульсы, которые были усечены по окончании интервала. Можно показать, что состоит из суперпозиции энергии «полных» импульсов, которые мы обозначаем , энергий усеченных импульсов, которые мы обозначаем , и шума .Assuming that longer than the pulse duration, the jth interval may contain “full” pulses, as well as pulses that were truncated at the end of the interval. It can be shown that consists of a superposition of the energy of "total" impulses, which we denote , energies of truncated pulses, which we denote , and noise .

Пусть выходной поток детектора разделен на второй набор неперекрывающихся интервалов , , , где . Пусть задается формулойLet the detector output stream be divided into a second set of non-overlapping intervals , , , Where . Let is given by the formula

Если выбрано немного меньше длительности импульса, член не будет содержать «полных» импульсов, а будет состоять из суперпозиции только энергий усеченных импульсов и шума . Число усеченных импульсов в любом интервале имеет распределение Пуассона. ИмеемIf a slightly shorter pulse duration is selected, term will not contain “full” impulses, but will consist of a superposition of only the energies of truncated impulses and noise . The number of truncated pulses in any interval has a Poisson distribution. We have

Мы можем разложить полную энергию в интервале на энергетический вклад от импульсов, которые были усечены, и энергетический вклад от импульсов, которые полностью содержатся в интервале , т.е.We can expand the total energy into the interval for energy contribution from pulses that were truncated and the energy contribution from impulses that are completely contained in the interval , i.e.

где Z₀ представляет шум в областях, где импульсы полностью содержатся в интервале (длины ), а представляет шум в областях, где импульсы усечены (длина ). Следовательно,where Z ₀ represents the noise in regions where the pulses are entirely contained in the interval (length ), A represents noise in regions where pulses are truncated (length ). Hence,

Объединяя (103) с (105), получаемCombining (103) with (105), we get

Перестановка даетPermutation gives

Мы можем оценить аналогично тому, как мы оценили , или каким-либо другим способом, например, с помощью эмпирической характеристической функции или путем выполнения БПФ на нормализованной гистограмме значений .We can evaluate similar to how we assessed , or in some other way, such as using an empirical characteristic function or by performing an FFT on a normalized histogram of values .

При выполнении операции разложения коэффициент Пуассона для уменьшенной длины интервала используется для учета подинтервала, на котором возникает составной пуассоновский процесс .When performing the decomposition operation, the coefficient Poisson for reduced interval length used to account for the subinterval on which a compound Poisson process occurs .

6.2 Визуализация внутренних величин6.2 Visualization of internal quantities

Чтобы помочь читателю понять, на Фиг. 9 показаны различные величины, полученные в процессе оценки. Верхняя синяя кривая (со значением около 0,3 в нулевом столбике) обозначает , оценочную характеристическую функцию наблюдаемого спектра. Коричневая кривая используется для представления истинного значения , которую отчетливо видно как нижнюю кривую с периодическими нулями в области [6000, 10000]. Величина показана прозрачным красным цветом и возникает как «шум», средняя плотность которого достигает пика около столбика № 8000. Ожидаемое значение показано черной штриховой линией. Это получается с использованием (75), известного значения λ и допущения гауссовского шума с известным для получения . Величина показана прозрачной синей кривой. Это едва заметно, так как она близко совмещается с в интервалах [0, 4000], [12000, 16000] и близко с в интервале [5000, 11000]. Обратите внимание, кажется, что цвет , меняется с красного на фиолетовый в интервале [5000, 11000], поскольку оба прозрачных графика перекрываются. Сплошная черная линия показывает , версию с фильтром нижних частот. Фильтрация нижних частот удаляет любые локальные колебания в благодаря локализации пиков, как описано в параграфе о сглаживании в начале этого раздела. Член служит оценкой . Можно видеть, что обеспечивает достаточно хорошую оценку в области, где . По мере того, как эти две величины приближаются друг к другу, качество оценки ухудшается до тех пор, пока в нем в конечном итоге не будет преобладать шум. Фильтр должен содержать хорошие оценки , при исключении плохих оценок. Чтобы найти области, в которых получены хорошие оценки , мы обращаемся к вопросу: учитывая , какова вероятность того, что вычисленные значения в локальной области в значительной степени связаны с шумом?To help the reader understand, FIG. Figure 9 shows the various values obtained during the evaluation process. The top blue curve (with a value of about 0.3 in the zero column) indicates , the estimated characteristic function of the observed spectrum. The brown curve is used to represent the true value , which is clearly visible as a lower curve with periodic zeros in the region [6000, 10000]. Magnitude is shown in transparent red and appears as “noise”, the average density of which peaks around bar number 8000. Expected value shown with black dashed line. This is obtained using (75), a known value of λ, and the assumption of Gaussian noise with a known for getting . Magnitude shown as a transparent blue curve. It is barely noticeable as it is closely aligned with in the intervals [0, 4000], [12000, 16000] and close to in the interval [5000, 11000]. Please note that the color appears to be , changes from red to purple in the interval [5000, 11000] because both transparent graphs overlap. The solid black line shows , version with low pass filter. Low pass filtering removes any local variations in thanks to peak localization, as described in the paragraph on smoothing at the beginning of this section. Member serves as an assessment . It can be seen that provides a fairly good estimate in the area where . As these two quantities get closer to each other, the quality of the estimate deteriorates until it is eventually dominated by noise. Filter must contain good grades , with the exception of bad grades. To find areas that score well , we address the question: given , what is the probability that the calculated values in the local area are significantly related to noise?

7 ОЦЕНКА СКОРОСТИ СЧЕТА7 COUNTING SPEED ASSESSMENT

Предыдущая оценка предполагала, что λ было известно. Оценка λ может быть получена без предварительного знания следующим образом.The previous estimate assumed that λ was known. An estimate of λ can be obtained without prior knowledge as follows.

1. Используя из предыдущего раздела, вычислите1. Using from the previous section, calculate

2. Используя , оцените скор2. Using , rate quickly

ость счета. Это можно сделать несколькими способами.account balance. This can be done in several ways.

3. Один из способов - использовать процедуру оптимизации или другие средства для подгонки кривой . Подбираемые параметры можно использовать для оценки скорости счета.3. One way is to use an optimization procedure or other means to fit the curve . The selected parameters can be used to estimate the counting rate.

4. Другой способ включает в себя оценку смещения постоянного тока. Это можно сделать путем усреднения подходящего числа точек . Точки, полученные путем фильтрации с помощью в предыдущем разделе, обычно подходят, хотя меньшее число точек также может дать адекватную оценку.4. Another method involves estimating the bias direct current. This can be done by averaging a suitable number of points . Points obtained by filtering with in the previous section are usually suitable, although fewer points may also give an adequate estimate.

5. Другой способ включает в себя использование механизма оптимизации или других средств для подгонки кривой к . Подходящая параметризованная кривая для подгонки дается5. Another method involves using an optimization engine or other means to fit the curve to . Suitable parameterized curve for fitting given

и где выбирается так, чтобы кривая соответствовала с достаточной точностью. Параметр λ дает оценку скорости счета. От механизма оптимизации не требуется придавать одинаковый вес в каждой точке .and where is chosen so that the curve fits with sufficient accuracy. The parameter λ gives an estimate of the counting rate. The optimization engine is not required to give equal weight at each point .

8 ОПИСАНИЕ ФИГУР8 DESCRIPTION OF FIGURES

Следующие фигуры помогают понять процесс. На Фиг. 1 показана одна из возможных схем, используемых для разделения выходного сигнала детектора. На иллюстрации показан дискретизированный отклик детектора на три падающих фотона. Для большей ясности фигуры были удалены эффекты шума. Выходной отклик был разделен на несколько областей равной длины . Число импульсов, прибывающих в каждую область, неизвестно системе обработки. Один импульс прибыл в первый интервал. Два импульса прибыло во второй интервал. В третьем интервале импульсов не было. Полная энергия фотонов, прибывающих в каждый интервал, вычисляется как интересующая статистика, представляя собой сумму всех значений выборки на каждом интервале. Интервалы не синхронизируются по времени с прибытиями импульсов. На Фиг. 2 показан результат процедуры оценки. Истинная плотность вероятности энергии падающего фотона показана черной линией. Скорость прибытия фотонов такова, что в среднем за любой заданный интервал прибывают три фотона. Стандартное отклонение аддитивного шума в выходном сигнале детектора равно ширине одного столбика гистограммы. Был собран миллион интервалов. Была построена гистограмма полной энергии на каждом интервале. Это показано синей линией. Эффекты наложения очевидны, особенно вокруг столбиков 75, 150 и 225. Красная трассировка показывает оценку истинного спектра падающей энергии после обработки данных системой. Хотя в оценке присутствует некоторый шум, эффекты наложения были устранены. Ожидается, что оценка правильно восстановит в среднем истинный спектр падающего излучения. Этот результат был получен с использованием внутреннего фильтра, полоса пропускания которого определялась автоматически из данных. На Фиг. 3 показаны те же величины, что и на Фиг. 2, при тех же рабочих условиях, однако в этом случае ширина полосы внутреннего фильтра была определена с использованием асимптотических результатов из литературы. Хотя оценочная плотность вероятности падающих энергий была восстановлена, дисперсия значительно больше по сравнению с Фиг. 2. На Фиг. 8 показана работа системы на реальных данных. Синяя трассировка показывает плотность вероятности наблюдаемых значений энергии, а красная трассировка показывает оцененную истинную плотность вероятности энергий падающих фотонов. Черной трассировки нет, поскольку истинная плотность вероятности неизвестна. В этом эксперименте в качестве источника фотонов использовалась рентгеновская флуоресценция образца марганца. Скорость прибытия фотонов составляла около 10⁵ фотонов в секунду. Длина интервала выбиралась такой, чтобы среднее время между фотонами соответствовало длине двух интервалов. Было собрано достаточно данных и разделено, чтобы сформировать на 5,9×10⁶ интервалов. Стандартное отклонение аддитивного шума соответствует 4,7 столбикам гистограммы. Процесс оценки явно уменьшил пики наложения и увеличил истинные пики. На Фиг. 9 показаны различные величины, полученные во время моделирования системы, описанной во 2-м варианте осуществления. Это описано в разделе 5.1 Визуализация внутренних величин. Фиг. 9-12 относятся ко второму варианту осуществления. На Фиг. 10 показаны наблюдаемая и истинная плотность вероятности входных энергий фотонов для эксперимента, из которого были получены Фиг. 9-13. Черная трассировка показывает истинную плотность вероятности. Красная трассировка показывает ожидаемую плотность, когда три фотона прибывают в среднем в течение заданного интервала времени. Синяя трассировка показывает фактическую наблюдаемую плотность. В наблюдаемой плотности можно увидеть наложение до десятого порядка. Фиг. 10 включает в себя несколько графиков типичной спектроскопической системы. Фактическая плотность падающих фотонов («Идеальная плотность») показана сплошной темной линией. Наблюдаемая гистограмма, полученная путем разделения данных временного ряда, показана темно-синим цветом. Очевидно искажение спектра, вызванное наложением импульсов. На Фиг. 13 показаны различные внутренние величины с использованием логарифмической вертикальной оси. Темно-синяя кривая, которая опускается в центре графика, - . Зеленая величина, которая пересекает график по горизонтали, . Верхняя голубая кривая, спускающаяся в центре графика, - . На Фиг. 11 показана траектория кривой γ в комплексной плоскости. На Фиг. 12 показаны внутренние величины, аналогичные Фиг. 9, однако есть некоторые дополнительные сигналы. Горизонтальная красная трассировка, которая в основном представляет собой шум, и соответствующая черная штриховая линия представляют , величину характеристической функции гистограммного шума. Прозрачный зеленый график, образующий «зашумленный пик» в центре фигуры, представляет собой оценку . Эта величина была выделена синим цветом на Фиг. 9 и была едва видна, поскольку была скрыта , что не показано на Фиг. 12. Горизонтальная трассировка со средним значением -3 представляет собой график . Голубая трассировка, которая начинается со значения нуля в нулевом столбике и падает до минимума около столбика 8000, представляет собой , величину характеристической функции аддитивного гауссовского шума. Фиг. 13 относится ко второму широкому аспекту вычисления скорости счета. На ней показаны внутренние количества, используемые при расчете . Голубая трассировка, которая начинается с нулевого значения в нулевом столбике и падает до минимума около столбика 8000, представляет собой , величину характеристической функции аддитивного гауссовского шума. Темно-синя трассировка, которая падает до минимума в центре фигуры, представляет собой , оценка характеристической функции наблюдаемых данных. Желто-зеленая горизонтальная трассировка со средним значением -3, представляет собой оценку .The following figures help to understand the process. In FIG. Figure 1 shows one possible circuit used to split the detector output. The illustration shows the sampled response of the detector to three incident photons. Noise effects have been removed to make the figure clearer. The output response was divided into several regions of equal length . The number of pulses arriving in each region is unknown to the processing system. One pulse arrived in the first interval. Two pulses arrived in the second interval. There were no impulses in the third interval. The total energy of photons arriving in each interval is calculated as the statistic of interest, representing the sum of all sample values in each interval. Intervals are not time-synchronized with pulse arrivals. In FIG. Figure 2 shows the result of the evaluation procedure. The true probability density of the energy of the incident photon is shown by the black line. The rate of arrival of photons is such that, on average, over any given interval three photons arrive. Standard Deviation of Additive Noise in Detector Output equal to the width of one histogram bar. A million intervals were collected. A histogram of the total energy at each interval was constructed. This is shown by the blue line. The effects of aliasing are obvious, especially around bars 75, 150 and 225. The red trace shows an estimate of the true incident energy spectrum after the system has processed the data. Although there is some noise in the estimation, aliasing effects have been eliminated. The estimate is expected to correctly recover, on average, the true spectrum of the incident radiation. This result was obtained using an internal filter whose bandwidth was determined automatically from the data. In FIG. 3 shows the same values as in FIG. 2, under the same operating conditions, however in this case the bandwidth of the internal filter was determined using asymptotic results from the literature. Although the estimated probability density of the incident energies has been recovered, the variance is significantly larger compared to Fig. 2. In FIG. Figure 8 shows the operation of the system on real data. The blue trace shows the probability density of the observed energy values, and the red trace shows the estimated true probability density of the incident photon energies. There is no black trace because the true probability density is unknown. In this experiment, X-ray fluorescence of a manganese sample was used as the photon source. The photon arrival rate was about 10 ⁵ photons per second. The interval length was chosen such that the average time between photons corresponded to the length of two intervals. Enough data was collected and divided to form 5.9 x 10 ⁶ intervals. The standard deviation of additive noise corresponds to 4.7 histogram bars. The estimation process clearly reduced the overlap peaks and increased the true peaks. In FIG. 9 shows various values obtained during the simulation of the system described in the 2nd embodiment. This is described in section 5.1 Visualizing internal quantities. Fig. 9-12 refer to the second embodiment. In FIG. 10 shows the observed and true probability densities of the input photon energies for the experiment from which FIG. 9-13. The black trace shows the true probability density. The red trace shows the expected density when three photons arrive on average over a given time interval. The blue trace shows the actual observed density. An overlap of up to tenth order can be seen in the observed densities. Fig. 10 includes several plots of a typical spectroscopic system. The actual density of incident photons (the "Ideal Density") is shown as a solid dark line. The observed histogram obtained by dividing the time series data is shown in dark blue. The distortion of the spectrum caused by the superposition of pulses is obvious. In FIG. 13 shows various internal quantities using a logarithmic vertical axis. The dark blue curve that drops in the center of the graph is . The green value that crosses the graph horizontally is . The upper blue curve, descending in the center of the graph, is . In FIG. Figure 11 shows the trajectory of the curve γ in the complex plane. In FIG. 12 shows internal values similar to FIG. 9, however there are some additional signals. The horizontal red trace, which is mostly noise, and the corresponding black dashed line represent , the value of the characteristic function of histogram noise. The transparent green graph forming a "noisy peak" in the center of the figure represents the estimate . This value has been highlighted in blue in Fig. 9 and was barely visible because it was hidden , which is not shown in Fig. 12. A horizontal trace with an average value of -3 is a graph . The blue trace, which starts at zero at bar 0 and drops to a minimum around bar 8000, represents , the value of the characteristic function of additive Gaussian noise. Fig. 13 relates to the second broad aspect of count rate calculation. It shows the internal quantities used in the calculation . The blue trace, which starts at zero at the zero bar and drops to a minimum around the 8000 bar, represents , the value of the characteristic function of additive Gaussian noise. The dark blue trace that drops to a minimum in the center of the figure represents , estimation of the characteristic function of the observed data. A yellow-green horizontal trace with an average value of -3, represents an estimate .

Список литературыBibliography

[1] G. F. Knoll, Radiation Detection and Measurement, 3rd Edition. New York: Wiley,2000.[1] G. F. Knoll, Radiation Detection and Measurement, 3rd Edition. New York: Wiley, 2000.

[2] P. A. B. Scoullar and R. J. Evans, “Maximum likelihood estimation techniques for high rate, high throughput digital pulse processing,” in 2008 IEEE Nuclear Science Symposium Conference Record, pp. 1668-1672, Oct. 2008.[2] P. A. B. Scoullar and R. J. Evans, “Maximum likelihood estimation techniques for high rate, high throughput digital pulse processing,” in 2008 IEEE Nuclear Science Symposium Conference Record, pp. 1668-1672, Oct. 2008.

[3] M. Haselman, J. Pasko, S. Hauck, T. Lewellen, and R. Miyaoka, “FPGA-based pulse pile-up correction with energy and timing recovery,” IEEE Transactions on Nuclear Science, vol. 59, pp. 1823-1830, Oct. 2012.[3] M. Haselman, J. Pasko, S. Hauck, T. Lewellen, and R. Miyaoka, “FPGA-based pulse pile-up correction with energy and timing recovery,” IEEE Transactions on Nuclear Science, vol. 59, pp. 1823-1830, Oct. 2012.

[4] T. Petrovic, M. Vencelj, M. Lipoglavsek, R. Novak, and D. Savran, “Efficient re­ duction of piled-up events in gamma-ray spectrometry at high count rates,” IEEE Transactions on Nuclear Science, vol. 61, pp. 584-589, Feb. 2014.[4] T. Petrovic, M. Vencelj, M. Lipoglavsek, R. Novak, and D. Savran, “Efficient reduction of piled-up events in gamma-ray spectrometry at high count rates,” IEEE Transactions on Nuclear Science, vol. 61, pp. 584-589, Feb. 2014.

[5] B. A. VanDevender, M. P. Dion, J. E. Fast, D. C. Rodriguez, M. S. Taubman, C. D. Wilen, L. S. Wood, and M. E. Wright, “High-purity germanium spectroscopy at rates in excess of 106 events/s,” IEEE Transactions on Nuclear Science, vol. 61, pp. 2619-2627, Oct. 2014.[5] B. A. VanDevender, M. P. Dion, J. E. Fast, D. C. Rodriguez, M. S. Taubman, C. D. Wilen, L. S. Wood, and M. E. Wright, “High-purity germanium spectroscopy at rates in excess of 106 events/s,” IEEE Transactions on Nuclear Science , vol. 61, pp. 2619-2627, Oct. 2014.

[6] Y. Sepulcre, T. Trigano, and Y. Ritov, “Sparse regression algorithm for activity esti­ mation in spectrometry,” IEEE Transactions on Signal Processing, vol. 61, pp. 4347-4359, Sept. 2013.[6] Y. Sepulcre, T. Trigano, and Y. Ritov, “Sparse regression algorithm for activity estimation in spectrometry,” IEEE Transactions on Signal Processing, vol. 61, pp. 4347-4359, Sept. 2013.

[7] T. Trigano, I. Gildin, and Y. Sepulcre, “Pileup correction algorithm using an iterated sparse reconstruction method,” IEEE Signal Processing Letters, vol. 22, pp. 1392-1395, Sept. 2015.[7] T. Trigano, I. Gildin, and Y. Sepulcre, “Pileup correction algorithm using an iterated sparse reconstruction method,” IEEE Signal Processing Letters, vol. 22, pp. 1392-1395, Sept. 2015.

[8] L. Wielopolski and R. P. Gardner, “Prediction of the pulse-height spectral distortion caused by the peak pile-up effect,” Nuclear Instruments and Methods, vol. 133, pp. 303-309, Mar. 1976.[8] L. Wielopolski and R. P. Gardner, “Prediction of the pulse-height spectral distortion caused by the peak pile-up effect,” Nuclear Instruments and Methods, vol. 133, pp. 303-309, Mar. 1976.

[9] N. P. Barradas and M. A. Reis, “Accurate calculation of pileup effects in PIXE spectra from first principles,” X-Ray Spectrometry, vol. 35, pp. 232-237, July 2006.[9] N. P. Barradas and M. A. Reis, “Accurate calculation of pileup effects in PIXE spectra from first principles,” X-Ray Spectrometry, vol. 35, pp. 232-237, July 2006.

[10] T. Trigano, A. Souloumiac, T. Montagu, F. Roueff, and E. Moulines, “Statistical pileup correction method for HPGe detectors,” IEEE Transactions on Signal Processing, vol. 55, pp. 4871-4881, Oct. 2007.[10] T. Trigano, A. Souloumiac, T. Montagu, F. Roueff, and E. Moulines, “Statistical pileup correction method for HPGe detectors,” IEEE Transactions on Signal Processing, vol. 55, pp. 4871-4881, Oct. 2007.

[11] T. Trigano, E. Barnt, T. Dautremer, and T. Montagu, “Fast digital filtering of spectrometric data for pile-up correction,” IEEE Signal Processing Letters, vol. 22, pp. 973-977, July 2015.[11] T. Trigano, E. Barnt, T. Dautremer, and T. Montagu, “Fast digital filtering of spectrometric data for pile-up correction,” IEEE Signal Processing Letters, vol. 22, pp. 973-977, July 2015.

[12] P. Ilhe, E. Moulines, F. Roueff, and A. Souloumiac, “Nonparametric estimation of mark's distribution of an exponential shot-noise process,” Electronic Journal of Statistics, vol. 9, no. 2, pp. 3098-3123, 2015.[12] P. Ilhe, E. Moulines, F. Roueff, and A. Souloumiac, “Nonparametric estimation of mark's distribution of an exponential shot-noise process,” Electronic Journal of Statistics, vol. 9, no. 2, pp. 3098-3123, 2015.

[13] P. Ilhe, F. Roueff, E. Moulines, and A. Souloumiac, “Nonparametric estimation of a shot-noise process,” in 2016 IEEE Statistical Signal Processing Workshop (SSP), pp. 1-4, June 2016.[13] P. Ilhe, F. Roueff, E. Moulines, and A. Souloumiac, “Nonparametric estimation of a shot-noise process,” in 2016 IEEE Statistical Signal Processing Workshop (SSP), pp. 1-4, June 2016.

[14] C. McLean, M. Pauley, and J. H. Manton, “Limitations of decision based pile-up correction algorithms,” in 2018 IEEE Statistical Signal Processing Workshop (SSP), pp. 693-697, June 2018.[14] C. McLean, M. Pauley, and J. H. Manton, “Limitations of decision based pile-up correction algorithms,” in 2018 IEEE Statistical Signal Processing Workshop (SSP), pp. 693-697, June 2018.

[15] D. Snyder and M. Miller, Random Point Processes In Time And Space. New York: Springer-Verlag, 2, revised ed., Sept. 2011.[15] D. Snyder and M. Miller, Random Point Processes in Time and Space. New York: Springer-Verlag, 2, revised ed., Sept. 2011.

[16] B. Buchmann and R. Grubel, “Decompounding: An estimation problem for Poisson random sums,” Annals of Statistics, pp. 1054-1074, 2003.[16] B. Buchmann and R. Grubel, “Decompounding: An estimation problem for Poisson random sums,” Annals of Statistics, pp. 1054-1074, 2003.

[17] B. van Es, S. Gugushvili, and P. Spreij, “Deconvolution for an atomic distribution,” Electronic Journal of Statistics, vol. 2, pp. 265-297, 2008.[17] B. van Es, S. Gugushvili, and P. Spreij, “Deconvolution for an atomic distribution,” Electronic Journal of Statistics, vol. 2, pp. 265-297, 2008.

[18] S. Gugushvili, Non-Parametric Inference for Partially Observed Levy Processes. PhD, University of Amsterdam, Thomas Stieltjes Institute, 2008.[18] S. Gugushvili, Non-Parametric Inference for Partially Observed Levy Processes. PhD, University of Amsterdam, Thomas Stieltjes Institute, 2008.

[19] S. Said, C. Lageman, N. Le Bihan, and J. H. Manton, “Decompounding on compact Lie groups,” IEEE Transactions on Information Theory, vol. 56, pp. 2766-2777, June 2010.[19] S. Said, C. Lageman, N. Le Bihan, and J. H. Manton, “Decompounding on compact lie groups,” IEEE Transactions on Information Theory, vol. 56, pp. 2766-2777, June 2010.

[20] B. van Es, S. Gugushvili, and P. Spreij, “A kernel type nonparametric density esti­ mator for decompounding,” Bernoulli, vol. 13, pp. 672-694, Aug. 2007.[20] B. van Es, S. Gugushvili, and P. Spreij, “A kernel type nonparametric density estimator for decompounding,” Bernoulli, vol. 13, pp. 672-694, Aug. 2007.

[21] J. Yu, “Empirical characteristic function estimation and its applications,” Econo­ metric Reviews, vol. 23, pp. 93-123, Dec. 2004.[21] J. Yu, “Empirical characteristic function estimation and its applications,” Econometric Reviews, vol. 23, pp. 93-123, Dec. 2004.

Claims (32)

1. Способ определения спектра энергий отдельных квантов излучения, принимаемых детектором излучения, содержащий этапы:1. A method for determining the energy spectrum of individual radiation quanta received by a radiation detector, comprising the steps: (1) получение временного ряда цифровых наблюдений от детектора излучения, содержащего импульсы, соответствующие детектированию отдельных квантов;(1) obtaining a time series of digital observations from a radiation detector containing pulses corresponding to the detection of individual quanta; (2) вычисление спектрально-зависимых статистических данных из сигнала детектора и задание отображения в виде карты из плотности амплитуд импульсов в спектрально-зависимые статистические данные с использованием аппроксимируемого составного пуассоновского процесса, (2) calculating the spectrum-dependent statistics from the detector signal and mapping the pulse amplitude density to the spectrum-dependent statistics using an approximated compound Poisson process, отличающийся different (3) основыванием спектрально-зависимых статистических данных на сумме цифровых наблюдений на множестве временных интервалов;(3) basing spectrum-dependent statistics on the sum of digital observations over multiple time intervals; (4) выбором каждого из упомянутого множества временных интервалов, чтобы охватить ноль или более приближенно целые кластеры импульсов, и заданием упомянутого множества временных интервалов неперекрывающимися и имеющими постоянную длину L; и(4) selecting each of said plurality of time slots to span zero or more approximately entire clusters of pulses, and making said plurality of time slots non-overlapping and having a constant length L; And (5) определением спектра путем оценки плотности амплитуд импульсов с применением инверсии отображения в виде карты к спектрально-зависимым статистическим данным.(5) determining the spectrum by estimating the density of pulse amplitudes using the inversion of the map display to the spectrum-dependent statistics. 2. Способ по п. 1, дополнительно содержащий требование максимального значения сигнала детектора в начале и в конце каждого временного интервала.2. The method of claim 1, further comprising requiring a maximum detector signal value at the beginning and end of each time interval. 3. Способ по п. 1 или 2, дополнительно содержащий задание аппроксимируемого составного пуассоновского процесса как суммы амплитуд импульсов в каждом временном интервале.3. The method according to claim 1 or 2, further comprising specifying the approximated composite Poisson process as the sum of pulse amplitudes in each time interval. 4. Способ определения спектра энергий отдельных квантов излучения, принимаемых детектором излучения, содержащий этапы:4. A method for determining the energy spectrum of individual radiation quanta received by a radiation detector, comprising the steps: (1) получение временного ряда цифровых наблюдений от детектора излучения, содержащего импульсы, соответствующие детектированию отдельных квантов;(1) obtaining a time series of digital observations from a radiation detector containing pulses corresponding to the detection of individual quanta; (2) вычисление спектрально-зависимых статистических данных из сигнала детектора и задание отображения в виде карты из плотности амплитуд импульсов в спектрально-зависимые статистические данные с использованием аппроксимируемого составного пуассоновского процесса, (2) calculating the spectrum-dependent statistics from the detector signal and mapping the pulse amplitude density to the spectrum-dependent statistics using an approximated compound Poisson process, отличающийся different (3) основыванием спектрально-зависимых статистических данных на сумме цифровых наблюдений на множестве временных интервалов;(3) basing spectrum-dependent statistics on the sum of digital observations over multiple time intervals; (4) выбором упомянутого множества временных интервалов включающим: первый набор неперекрывающихся временных интервалов постоянной длины L без учета совокупности кластеров импульсов и второй набор неперекрывающихся временных интервалов постоянной длины L1 меньшей L, также без учета совокупности кластеров импульсов, причем L является по меньшей мере такой же, как длительность импульсов; и(4) selecting said set of time intervals including: a first set of non-overlapping time intervals of constant length L without taking into account the set of pulse clusters and a second set of non-overlapping time intervals of constant length L1 less than L, also without taking into account the set of pulse clusters, and L is at least the same , as pulse duration; And (5) определением спектра путем оценки плотности амплитуд импульсов с применением инверсии отображения в виде карты к спектрально-зависимым статистическим данным.(5) determining the spectrum by estimating the density of pulse amplitudes using the inversion of the map display to the spectrum-dependent statistics. 5. Способ по п. 4, дополнительно содержащий выбор L1 меньшей длительности импульсов.5. The method according to claim 4, further comprising selecting L1 of shorter pulse duration. 6. Способ по п. 4 или 5, дополнительно содержащий использование определяемой данными стратегии, выбранной так, чтобы приводить к почти оптимальному выбору параметра ядра, который минимизирует интегральную квадратичную ошибку оцененной функции плотности вероятности энергий отдельных квантов излучения.6. The method of claim 4 or 5, further comprising using a data-driven strategy selected to result in a near-optimal choice of a kernel parameter that minimizes the integral squared error of the estimated probability density function of the energies of the individual radiation quanta. 7. Способ по любому из пп. 1-6, дополнительно содержащий дополнение аппроксимируемого составного пуассоновского процесса смоделированным шумом.7. Method according to any one of paragraphs. 1-6, further comprising complementing the approximated composite Poisson process with modeled noise. 8. Способ по п. 7, дополнительно содержащий выражение отображения в виде карты как отношения между характеристическими функциями амплитуд, спектрально-зависимыми статистическими данными и смоделированным шумом.8. The method of claim 7, further comprising a map expression as a relationship between amplitude characteristic functions, spectrum-dependent statistics, and modeled noise. 9. Способ по п. 1, дополнительно содержащий вычисление характеристических функций спектрально-зависимых статистических данных путем применения обратного преобразования Фурье к гистограмме суммы цифровых наблюдений.9. The method according to claim 1, further comprising calculating the characteristic functions of the spectrum-dependent statistical data by applying the inverse Fourier transform to the histogram of the sum of digital observations. 10. Способ по п. 8 или 9, дополнительно содержащий вычисление характеристических функций амплитуд с использованием фильтра нижних частот.10. The method according to claim 8 or 9, further comprising calculating amplitude characteristic functions using a low-pass filter. 11. Способ оценки скорости счета отдельных квантов излучения, принимаемых детектором излучения, содержащий этапы: 11. A method for estimating the counting rate of individual radiation quanta received by a radiation detector, comprising the steps: (1) получение временного ряда цифровых наблюдений от детектора излучения, содержащего импульсы, соответствующие детектированию отдельных квантов;(1) obtaining a time series of digital observations from a radiation detector containing pulses corresponding to the detection of individual quanta; (2) вычисление спектрально-зависимых статистических данных из сигнала детектора на основе суммы цифровых наблюдений на множестве временных интервалов, задание отображения в виде карты из плотности амплитуд импульсов в спектрально-зависимые статистические данные с использованием аппроксимируемого составного пуассоновского процесса, (2) calculating spectrum-dependent statistics from the detector signal based on the sum of digital observations over multiple time intervals, mapping from pulse amplitude density to spectrum-dependent statistics using an approximated compound Poisson process, отличающийсяdifferent (3) выбором упомянутого множества временных интервалов включающим: первый набор неперекрывающихся временных интервалов постоянной длины L, выбранных без учета совокупности кластеров импульсов, и второй набор неперекрывающихся временных интервалов постоянной длины L1 меньшей L, также выбранных без учета совокупности кластеров импульсов, причем L является по меньшей мере такой же, как длительность импульсов;(3) selecting said set of time intervals including: a first set of non-overlapping time intervals of constant length L, selected without taking into account the set of pulse clusters, and a second set of non-overlapping time intervals of constant length L1 less than L, also selected without taking into account the set of pulse clusters, wherein L is at least the same as the pulse duration; (4) определением оценки характеристической функции аппроксимируемого составного пуассоновского процесса с использованием(4) determining the assessment characteristic function of the approximated composite Poisson process using где - оконная функция, - оценка характеристической функции суммы цифровых наблюдений на каждом неперекрывающемся временном интервале в первом наборе, - характеристическая функция смоделированного шумового процесса, и - оценка характеристической функции суммы цифровых наблюдений на каждом неперекрывающемся временном интервале во втором наборе;Where - window function, - estimation of the characteristic function of the sum of digital observations at each non-overlapping time interval in the first set, is the characteristic function of the modeled noise process, and - estimation of the characteristic function of the sum of digital observations at each non-overlapping time interval in the second set; (5) оценкой скорости счета из оценки характеристической функции.(5) estimating the counting rate from the characteristic function estimate. 12. Способ по п. 11, дополнительно содержащий оценку скорости счета с использованием процедуры оптимизации или других средств для подгонки кривой, оценку смещения постоянного тока из логарифма оценки характеристической функции или подгонки кривой к логарифму оценки характеристической функции.12. The method of claim 11, further comprising estimating the count rate using an optimization procedure or other curve fitting means, estimating the DC offset from the logarithm of the characteristic function estimate, or fitting a curve to the logarithm of the characteristic function estimate.

Images