RU2538438C1 - Method for determining of electric signal autocorrelation function against its power spectral density - Google Patents

Abstract

FIELD: electricity.

SUBSTANCE: invention is related to methods for determining of an electric signal autocorrelation function. The controlled temporary variable interval of the autocorrelation function that includes the autocorrelation function is broken into minor resolution elements, numbers from -K up to K are assigned to the resolution elements, where K is a number of the resolution elements at positive and negative sections of the temporary variable axis, for each resolution element a weight function w_k(ω)=θe^-jωkθ is formed, where k is the number of a resolution element, ω is circular frequency, j is a complex unit, the fixed setting is made for frequencies convenient for measurement of power spectral density, a weight matrix W is formed from weight functions at the preset frequency setting, values of power spectral density are the measures at these frequencies and united into the vector of measurements $$\overrightarrow{s}$$

, $$\overrightarrow{s}=W_{\overrightarrow{r}}^T+\overrightarrow{n}$$

equation of measurements is set up, where $$\overrightarrow{r}={[\rho (-K\theta )\dots \rho (-\theta )\rho (0)\rho (\theta )\dots \rho (K\theta )]}^T$$

is a vector of correlations, ρ(kθ) is a value of the autocorrelation function for the analysed signal at the resolution element under the number k, $$\overrightarrow{n}$$

is a vector of errors for the spectral density measurements, the autocorrelation function is defined as per the equation of measurements in the form of an assessment for the vector of correlations.

EFFECT: expansion of the class of analysed signals into high frequency and composite signals with rapid changing spectral density as well as elimination of the autocorrelation frequency distortion due to the limited band of the analysed frequencies of the instrument measuring power spectral density.

Description

Изобретение относится к области радиоэлектроники, а именно к способам определения автокорреляционной функции электрического сигнала.The invention relates to the field of electronics, and in particular to methods for determining the autocorrelation function of an electrical signal.

В ряде случаев обработки электрических сигналов требуется знать автокорреляционную функцию сигнала: эта функция является вероятностной характеристикой сигнала, которая используется в задачах построения оптимальных и трансверсальных фильтров, по ней определяются длительность и мощность сигнала. Это говорит об актуальности решения задачи определения автокорреляционной функции электрического сигнала.In some cases of processing electrical signals, it is necessary to know the autocorrelation function of the signal: this function is a probabilistic characteristic of the signal, which is used in the tasks of constructing optimal and transverse filters, and it determines the duration and power of the signal. This indicates the relevance of solving the problem of determining the autocorrelation function of an electrical signal.

Часто информацией о сигнале, которую можно измерить, является его спектральная плотность мощности. Настоящее изобретение относится к способам определения автокорреляционной функции электрического сигнала по его спектральной плотности мощности.Often, information about a signal that can be measured is its power spectral density. The present invention relates to methods for determining the autocorrelation function of an electrical signal from its power spectral density.

Для стационарных сигналов автокорреляционная функция определяется как $$\rho \text{(}\tau \text{)}=\overline{\text{x(t)x(t}+\tau \text{)}}$$

, где x(t) - анализируемый сигнал, надчеркивание обозначает усреднение. Согласно теореме Винера-Хинчина автокорреляционная функция стационарного сигнала ρ(τ) и его спектральная плотность мощности S(ω) связаны прямым и обратным преобразованиями Фурье:For stationary signals, the autocorrelation function is defined as $$\rho \text{(}\tau \text{)}=\overline{\text{x (t) x (t}+\tau \text{)}}$$

, where x (t) is the analyzed signal, overlay indicates averaging. According to the Wiener-Khinchin theorem, the autocorrelation function of the stationary signal ρ (τ) and its power spectral density S (ω) are related by the direct and inverse Fourier transforms:

$$S(\omega )={\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}{e}^{-j\omega \tau }\rho (\tau )d\tau },\left(1\right)$$

$$S(\omega )={\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}{e}^{-j\omega \tau }\rho (\tau )d\tau },\left(\mathrm{one}\right)$$

$$\rho (\tau )=\frac{1}{2\pi }{\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}{e}^{-j\omega \tau }S(\omega )d\omega },\left(2\right)$$

$$\rho (\tau )=\frac{\mathrm{one}}{2\pi }{\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}{e}^{-j\omega \tau }S(\omega )d\omega },\left(2\right)$$

где ω - круговая частота, τ - временная переменная автокорреляционной функции, представляющая собой временной сдвиг сигналов.where ω is the circular frequency, τ is the time variable of the autocorrelation function, which represents the time shift of the signals.

Соотношения (1) и (2) справедливы как для случайных стационарных, так и для детерминированных сигналов.Relations (1) and (2) are valid for both random stationary and deterministic signals.

Согласно прототипу [1] автокорреляционную функцию стационарного сигнала определяют как обратное преобразование Фурье спектральной плотности мощности этого сигнала (2). В [1] приведены примеры нахождения автокорреляционной функции по аналитически записанной спектральной плотности.According to the prototype [1], the autocorrelation function of a stationary signal is defined as the inverse Fourier transform of the power spectral density of this signal (2). In [1], examples of finding the autocorrelation function from analytically recorded spectral density are given.

На практике, однако, чаще всего спектральная плотность определяется не аналитически, а посредством измерений на дискретных частотах, входящих в полосу анализируемых частот измерителя спектра. В этом случае вместо интегрального преобразования Фурье используют [2] дискретное преобразование Фурье (ДПФ), в рассматриваемой задаче - обратное дискретное преобразование Фурье (ОДПФ).In practice, however, most often the spectral density is determined not analytically, but through measurements at discrete frequencies that are part of the analyzed frequency band of the spectrum meter. In this case, instead of the integral Fourier transform, the discrete Fourier transform (DFT) is used [2], in the considered problem the inverse discrete Fourier transform (ODPF) is used.

Способ-прототип объединяет способ определения автокорреляционной функции как обратного преобразования Фурье спектральной плотности мощности и способ реализации этого преобразования по измеренным значениям спектральной плотности - ОДПФ.The prototype method combines the method for determining the autocorrelation function as the inverse Fourier transform of the power spectral density and the method for realizing this transformation according to the measured spectral density values — ODPF.

Способ-прототип заключается в том, что измеряют дискретные значения спектральной плотности мощности анализируемого сигнала и по ним определяют автокорреляционную функцию этого сигнала с помощью ОДПФ.The prototype method is that they measure the discrete values of the spectral power density of the analyzed signal and determine the autocorrelation function of this signal using OTFF.

Согласно прототипу автокорреляционная функция определяется интегральной суммой дискретных значений спектральной плотности мощности, которая получается при переходе от интегрального обратного преобразования Фурье (2) к ОДПФ:According to the prototype, the autocorrelation function is determined by the integral sum of discrete values of the power spectral density, which is obtained when passing from the integral inverse Fourier transform (2) to the ODPF:

$$\rho (\tau )=\frac{1}{2\pi }{\displaystyle \sum _{m=-M}^M{e}^{-j\omega \Omega \tau }S(m\Omega )},\left(3\right)$$

$$\rho (\tau )=\frac{\mathrm{one}}{2\pi }{\displaystyle \sum _{m=-M}^M{e}^{-j\omega \Omega \tau }S(m\Omega )},\left(3\right)$$

где S(mΩ) - дискретное значение спектральной плотности мощности, Ω - шаг дискретизации по оси частот, m - номер шага дискретизации спектральной плотности мощности, М - число отсчетов влево и вправо от нулевого значения частоты.where S (mΩ) is the discrete value of the power spectral density, Ω is the sampling step along the frequency axis, m is the number of the sampling step of the power spectral density, M is the number of samples left and right of the zero frequency value.

Недостатки прототипа следующие.The disadvantages of the prototype are as follows.

1. При переходе от интеграла (2) к интегральной сумме (3) необходимо, в соответствии с теоремой Котельникова, обеспечить достаточно малый шаг дискретизации спектральной плотности мощности Ω для однозначного представления подынтегральной функции e^jωτS(ω) ее выборочными значениями. Шаг этот определяется характером изменения спектральной плотности в зависимости от частоты. Ввиду ограниченной разрешающей способности измерителей спектров, при анализе высокочастотных и сложных сигналов, например ЛЧМ импульсов, определение автокорреляционной функции методом ОДПФ становится проблематичным. Это ограничивает класс сигналов, для которых возможно определить автокорреляционную функцию по ее спектральной плотности мощности.1. In going over from integral (2) to integral sum (3), it is necessary, in accordance with Kotelnikov’s theorem, to provide a sufficiently small discretization step of the power spectral density Ω to uniquely represent the integrand e ^jωτ S (ω) by its sample values. This step is determined by the nature of the change in spectral density depending on the frequency. Due to the limited resolution of the spectrum meters, when analyzing high-frequency and complex signals, such as chirp pulses, the determination of the autocorrelation function by the method of IDFT becomes problematic. This limits the class of signals for which it is possible to determine the autocorrelation function by its power spectral density.

2. При анализе широкополосных сигналов спектральная плотность имеет большую протяженность по оси частот. Однако измерители спектров обладают ограниченным интервалом анализируемых частот. Часть спектра, в действительности существующая, но не попавшая в этот интервал, воспринимается при выполнении ОДПФ как равная нулю. Это приводит к искажению определяемой методом ОДПФ автокорреляционной функции, поскольку каждое значение автокорреляционной функции, согласно (2) и (3), определяется всей совокупностью значений спектральной плотности. В результате того, что совокупность эта искажена из-за учета в правой части (3) лишь части значений спектральной плотности, автокорреляционная функция тоже искажается, в ней появляются ложные составляющие за пределами ее действительной протяженности. Это явление аналогично известному явлению просачивания мощности в соседние частотные области, проявляющемуся при оценивании спектральной плотности мощности по периодограмме [3].2. In the analysis of broadband signals, the spectral density has a large extent along the frequency axis. However, spectrum meters have a limited range of analyzed frequencies. The part of the spectrum that actually exists, but did not fall into this interval, is perceived as equal to zero when performing an ODL. This leads to a distortion of the autocorrelation function determined by the DFT method, since each value of the autocorrelation function, according to (2) and (3), is determined by the entire set of spectral density values. As a result of the fact that this population is distorted due to taking into account only a part of the spectral density values on the right-hand side of (3), the autocorrelation function is also distorted, false components appear inside it outside its actual length. This phenomenon is similar to the well-known phenomenon of power leakage to neighboring frequency regions, which manifests itself when estimating the power spectral density from a periodogram [3].

Технической задачей данного изобретения является создание способа определения автокорреляционной функции электрического сигнала по его спектральной плотности мощности, который расширяет класс анализируемых сигналов на сложные и высокочастотные сигналы и устраняет искажение автокорреляционной функции вследствие ограниченности полосы анализируемых частот измерителя спектра.An object of the present invention is to provide a method for determining the autocorrelation function of an electrical signal from its spectral power density, which extends the class of analyzed signals to complex and high-frequency signals and eliminates distortion of the autocorrelation function due to the limited frequency band of the analyzed frequencies of the spectrum meter.

Поставленная задача достигается тем, что в способе определения автокорреляционной функции электрического сигнала по его спектральной плотности мощности, который заключается в измерении дискретных значений спектральной плотности мощности анализируемого сигнала и определении по ним автокорреляционной функции этого сигнала, согласно изобретению контролируемый интервал - τ_max÷τ_max временной переменной автокорреляционной функции, включающий автокорреляционную функцию, разбивают на малые элементы разрешения, величина которых θ определяется требуемой точностью определения автокорреляционной функции, присваивают элементам разрешения номера -К, -(К-1), …, -1, 0, 1, …, (К-1), К, где К - число элементов разрешения на положительном и отрицательном участках оси временной переменной, для каждого элемента разрешения формируют весовую функцию w_k(ω)=θe^-jωkθ, где k - номер элемента разрешения, ω - круговая частота, j - комплексная единица, задают фиксированный набор частот ω₁, ω₂, …, ω_N, удобных для измерения на них спектральной плотности мощности, формируют весовую матрицуThe problem is achieved in that in the method for determining the autocorrelation function of an electrical signal from its spectral power density, which consists in measuring discrete values of the spectral power density of the analyzed signal and determining the autocorrelation function of this signal from them, according to the invention, the controlled interval is τ _max ÷ τ _max time variable autocorrelation function, including the autocorrelation function, is divided into small resolution elements, the value of which θ is determined is the required accuracy of determining the autocorrelation function, assign the resolution elements the numbers -K, - (K-1), ..., -1, 0, 1, ..., (K-1), K, where K is the number of resolution elements on positive and negative sections of the axis of the time variable, for each resolution element, the weight function w _k (ω) = θe ^{-jωkθ is formed} , where k is the number of the resolution element, ω is the circular frequency, j is the complex unit, a fixed set of frequencies ω ₁ , ω ₂ , ... , ω _N , convenient for measuring power spectral density on them, form a weight matrix

$$W=\left[\begin{array}{ccc}{w}_{-K}({\omega }_1)& w_{-K}({\omega }_2)& \dots w_{-K}({\omega }_N)\\ w_{-\left(K-1\right)}({\omega }_1)& w_{-\left(K-1\right)}({\omega }_2)& \dots w_{-\left(K-1\right)}({\omega }_N)\\ \dots & \dots & \dots \dots \\ w_0({\omega }_1)& w_0({\omega }_2)& \dots w_0({\omega }_N)\\ \dots & \dots & \dots \dots \\ w_K({\omega }_1)& w_K({\omega }_2)& \dots w_K({\omega }_N)\end{array}\right]$$

, $$W=\left[\begin{array}{ccc}{w}_{-K}({\omega }_{\mathrm{one}})& w_{-K}({\omega }_2)& ...w_{-K}({\omega }_N)\\ w_{-\left(K-\mathrm{one}\right)}({\omega }_{\mathrm{one}})& w_{-\left(K-\mathrm{one}\right)}({\omega }_2)& ...w_{-\left(K-\mathrm{one}\right)}({\omega }_N)\\ ...& ...& ......\\ w_0({\omega }_{\mathrm{one}})& w_0({\omega }_2)& ...w_0({\omega }_N)\\ ...& ...& ......\\ w_K({\omega }_{\mathrm{one}})& w_K({\omega }_2)& ...w_K({\omega }_N)\end{array}\right]$$

,

измеряют значения спектральной плотности мощности на заданных частотах S(ω₁), S(ω₂), …, S(ω_N), где N - число измерений и объединяют в вектор измерений

, где индекс Т обозначает транспонирование, составляют уравнение измерений $$\overrightarrow{s}=W_{\overrightarrow{r}}^T+\overrightarrow{n}$$

, где $$\overrightarrow{r}={[\rho (-K\theta )\dots \rho (-\theta )\rho (0)\rho (\theta )\dots \rho (K\theta )]}^T$$

- вектор корреляций, ρ(kθ) - значение автокорреляционной функции анализируемого сигнала на элементе разрешения с номером k, $$\overrightarrow{n}$$

- вектор ошибок измерений спектральной плотности, определяют автокорреляционную функцию из уравнения измерений в форме оценки вектора корреляций, компоненты которой представляют собой оценки автокорреляционной функции во всех элементах разрешения.measure the power spectral density at given frequencies S (ω ₁ ), S (ω ₂ ), ..., S (ω _N ), where N is the number of measurements and combined into a measurement vector

where the index T denotes transposition, make up the equation of measurements $$\overrightarrow{s}=W_{\overrightarrow{r}}^T+\overrightarrow{n}$$

where $$\overrightarrow{r}={[\rho (-K\theta )...\rho (-\theta )\rho (0)\rho (\theta )...\rho (K\theta )]}^T$$

is the correlation vector, ρ (kθ) is the value of the autocorrelation function of the analyzed signal on the resolution element with number k, $$\overrightarrow{n}$$

is the error vector of spectral density measurements, the autocorrelation function is determined from the measurement equation in the form of an estimate of the correlation vector, the components of which are estimates of the autocorrelation function in all resolution elements.

Поставленная задача решается за счет того, что автокорреляционная функция определяется не из обратного преобразования Фурье (2), а из прямого преобразования Фурье (1), в котором она входит в подынтегральное выражение. При переходе от интеграла в правой части (1) к интегральной сумме требуется, в соответствии с теоремой Котельникова, малый шаг дискретизации по временной переменной τ, а не по оси частот. При этом значения спектральной плотности могут определяться в произвольных точках оси частот, на промежуток между которыми не накладывается ограничение теоремы Котельникова, аналогично тому, как выражение (3) позволяет определить автокорреляционную функцию в любой точке временной оси.The problem is solved due to the fact that the autocorrelation function is determined not from the inverse Fourier transform (2), but from the direct Fourier transform (1), in which it is included in the integrand. In passing from the integral on the right-hand side of (1) to the integral sum, in accordance with the Kotelnikov theorem, a small discretization step in the time variable τ, and not along the frequency axis, is required. In this case, the spectral density values can be determined at arbitrary points of the frequency axis, the limit between the Kotelnikov theorem is not imposed between them, similar to the way expression (3) allows one to determine the autocorrelation function at any point in the time axis.

Заявляемый способ позволяет определить автокорреляционную функцию на основе таких интегральных сумм.The inventive method allows to determine the autocorrelation function based on such integral sums.

Обоснование способа.The rationale for the method.

Будем решать задачу определения автокорреляционной функции ρ(τ) по измеренным значениям спектральной плотности мощности, основываясь на преобразовании Фурье (1):We will solve the problem of determining the autocorrelation function ρ (τ) from the measured values of the power spectral density, based on the Fourier transform (1):

$$S(\omega )={\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}{e}^{-j\omega \tau }\rho (\tau )d\tau }$$

$$S(\omega )={\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}{e}^{-j\omega \tau }\rho (\tau )d\tau }$$

..

Будем полагать, что автокорреляционная функция анализируемого сигнала лежит в контролируемом интервале - τ_max÷τ_max временной переменной автокорреляционной функции. Разобьем контролируемый интервал на малые элементы разрешения, величина которых θ определяется требуемой точностью определения автокорреляционной функции, и присвоим элементам разрешения номера - К, -(К-1), …, -1, 0, 1, …, (К-1), К, где К - число элементов разрешения на положительном и отрицательном участках оси временной переменной. С учетом изложенного перейдем от интеграла (1) к интегральной суммеWe assume that the autocorrelation function of the analyzed signal lies in a controlled interval - τ _max ÷ τ _max time variable of the autocorrelation function. We divide the controlled interval into small resolution elements, the value of which θ is determined by the required accuracy of determining the autocorrelation function, and assign numbers to the resolution elements - K, - (K-1), ..., -1, 0, 1, ..., (K-1), K, where K is the number of resolution elements on the positive and negative sections of the axis of the time variable. In view of the above, we pass from the integral (1) to the integral sum

$$S(\omega )={\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}{e}^{-j\omega \tau }\rho (\tau )d\tau }={\displaystyle \underset{-{\tau }_{\max }}{\overset{{\tau }_{\max }}{\int }}{e}^{-j\omega \tau }\rho (\tau )d\tau }={\displaystyle \sum _{k=-K}^K\theta \cdot e^{-j\omega k\theta }\rho (k\theta ),\left(4\right)}$$

$$S(\omega )={\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}{e}^{-j\omega \tau }\rho (\tau )d\tau }={\displaystyle \underset{-{\tau }_{\max }}{\overset{{\tau }_{\max }}{\int }}{e}^{-j\omega \tau }\rho (\tau )d\tau }={\displaystyle \sum _{k=-K}^K\theta \cdot e^{-j\omega k\theta }\rho (k\theta ),\left(\mathrm{four}\right)}$$

где k - номер элемента разрешения.where k is the number of the permission element.

Для каждого элемента разрешения сформируем весовую функциюFor each resolution element we form a weight function

w_k(ω)=θe^-jωkθ w _k (ω) = θe ^-jωkθ

и с учетом этих функций перепишем (4) в видеand taking these functions into account, we rewrite (4) in the form

$$S(\omega )={\displaystyle \sum _{k=-K}^K{w}_k(\omega )\rho (k\theta )={\overrightarrow{w}}^T(\omega )\overrightarrow{r}},\left(5\right)$$

$$S(\omega )={\displaystyle \sum _{k=-K}^K{w}_k(\omega )\rho (k\theta )={\overrightarrow{w}}^T(\omega )\overrightarrow{r}},\left(5\right)$$

где

- весовой вектор, $$\overrightarrow{r}={[\rho (-K\theta )\dots \rho (-\theta )\rho (0)\rho (\theta )\dots \rho (K\theta )]}^T$$

- вектор корреляций, ρ(kθ) - значение автокорреляционной функции анализируемого сигнала на элементе разрешения с номером k.Where

- weight vector $$\overrightarrow{r}={[\rho (-K\theta )...\rho (-\theta )\rho (0)\rho (\theta )...\rho (K\theta )]}^T$$

is the correlation vector, ρ (kθ) is the value of the autocorrelation function of the analyzed signal on the resolution element with number k.

Зададим фиксированный набор частот ω₁, ω₂, …, ω_N, удобных для измерения на них спектральной плотности мощности, и измерим на этих частотах спектральные плотности мощности S(ω₁), S(ω₂), …, S(ω_N), например, с помощью высокодобротных резонаторов. Для всех N измеренных значений составим уравнения вида (5):We define a fixed set of frequencies ω ₁ , ω ₂ , ..., ω _N , convenient for measuring the power spectral density on them, and measure the spectral power densities S (ω ₁ ), S (ω ₂ ), ..., S (ω _N ), for example, using high-Q resonators. For all N measured values, we compose equations of the form (5):

$$\begin{array}{c}S({\omega }_1)={\overrightarrow{w}}^T({\omega }_1)\overrightarrow{r}={\overrightarrow{w}}_1^T\overrightarrow{r},\\ S({\omega }_2)={\overrightarrow{w}}^T({\omega }_2)\overrightarrow{r}={\overrightarrow{w}}_2^T\overrightarrow{r},\\ \dots \dots \\ S({\omega }_N)={\overrightarrow{w}}^T({\omega }_N)\overrightarrow{r}={\overrightarrow{w}}_N^T\overrightarrow{r},\end{array}\left(6\right)$$

$$\begin{array}{c}S({\omega }_{\mathrm{one}})={\overrightarrow{w}}^T({\omega }_{\mathrm{one}})\overrightarrow{r}={\overrightarrow{w}}_{\mathrm{one}}^T\overrightarrow{r},\\ S({\omega }_2)={\overrightarrow{w}}^T({\omega }_2)\overrightarrow{r}={\overrightarrow{w}}_2^T\overrightarrow{r},\\ ......\\ S({\omega }_N)={\overrightarrow{w}}^T({\omega }_N)\overrightarrow{r}={\overrightarrow{w}}_N^T\overrightarrow{r},\end{array}\left(6\right)$$

где введены обозначения

для весовых векторов, соответствующих всем частотам, на которых проводятся измерения.where the notation is introduced

for weight vectors corresponding to all frequencies at which measurements are made.

Из системы линейных уравнений (6) будем искать автокорреляционную функцию в форме дискретизированных по элементам разрешения значений, т.е. в виде вектора корреляций $$\stackrel{\rightharpoonup }{r}$$

.From the system of linear equations (6) we will search for the autocorrelation function in the form of values discretized by the resolution elements, i.e. as a correlation vector $$\stackrel{\rightharpoonup }{r}$$

.

Объединим измеренные значения спектральной плотности в вектор измеренийCombine the measured spectral density values into a measurement vector

,

,

а из весовых векторов на всех частотах измерений сформируем весовую матрицуand from weight vectors at all measurement frequencies we form a weight matrix

$$W=[\stackrel{\rightharpoonup }{w}({\omega }_1)\stackrel{\rightharpoonup }{w}({\omega }_2)\dots \stackrel{\rightharpoonup }{w}({\omega }_N)]=\left[\begin{array}{ccc}{w}_{-K}({\omega }_1)& w_{-K}({\omega }_2)& \dots w_{-K}({\omega }_N)\\ w_{-\left(K-1\right)}({\omega }_1)& w_{-\left(K-1\right)}({\omega }_2)& \dots w_{-\left(K-1\right)}({\omega }_N)\\ \dots & \dots & \dots \dots \\ w_0({\omega }_1)& w_0({\omega }_2)& \dots w_0({\omega }_N)\\ \dots & \dots & \dots \dots \\ w_K({\omega }_1)& w_K({\omega }_2)& \dots w_K({\omega }_N)\end{array}\right]$$

$$W=[\stackrel{\rightharpoonup }{w}({\omega }_{\mathrm{one}})\stackrel{\rightharpoonup }{w}({\omega }_2)...\stackrel{\rightharpoonup }{w}({\omega }_N)]=\left[\begin{array}{ccc}{w}_{-K}({\omega }_{\mathrm{one}})& w_{-K}({\omega }_2)& ...w_{-K}({\omega }_N)\\ w_{-\left(K-\mathrm{one}\right)}({\omega }_{\mathrm{one}})& w_{-\left(K-\mathrm{one}\right)}({\omega }_2)& ...w_{-\left(K-\mathrm{one}\right)}({\omega }_N)\\ ...& ...& ......\\ w_0({\omega }_{\mathrm{one}})& w_0({\omega }_2)& ...w_0({\omega }_N)\\ ...& ...& ......\\ w_K({\omega }_{\mathrm{one}})& w_K({\omega }_2)& ...w_K({\omega }_N)\end{array}\right]$$

и запишем систему уравнений (6) в векторно-матричной формеand write the system of equations (6) in the vector-matrix form

С учетом ошибок измерений спектральной плотности составим уравнение измерений, которое основано на векторно-матричном уравнении (7), в правую часть которого добавлен вектор ошибок измерений спектральной плотности $$\stackrel{\rightharpoonup }{n}$$

:Taking into account the errors in the spectral density measurements, we compose the measurement equation, which is based on the vector-matrix equation (7), in the right side of which the vector of spectral density measurement errors is added $$\stackrel{\rightharpoonup }{n}$$

:

Из уравнения измерений (8) определим автокорреляционную функцию в форме оценки вектора корреляций $$\stackrel{\rightharpoonup }{r}$$

. Это можно сделать с помощью винеровского оценивания [4], согласно которому будем искать оценку в классе линейных оценок и запишем ее какFrom the measurement equation (8), we determine the autocorrelation function in the form of an estimate of the correlation vector $$\stackrel{\rightharpoonup }{r}$$

. This can be done using the Wiener estimation [4], according to which we will search for an estimate in the class of linear estimates and write it as

$$\stackrel{⌢}{\stackrel{\rightharpoonup }{r}}=H\overrightarrow{s}\left(9\right)$$

$$\stackrel{⌢}{\stackrel{\rightharpoonup }{r}}=H\overrightarrow{s}\left(9\right)$$

где Н - матрица размером K×N, $$\stackrel{⌢}{\stackrel{\rightharpoonup }{r}}$$

- оценка вектора корреляций.where H is a matrix of size K × N, $$\stackrel{⌢}{\stackrel{\rightharpoonup }{r}}$$

- estimation of the correlation vector.

Приняв за критерий оценивания минимум среднего квадратического отклоненияTaking the minimum standard deviation as the evaluation criterion

$$\eta =\overline{{\left(\overrightarrow{r}-\stackrel{⌢}{\stackrel{\rightharpoonup }{r}}\right)}^T\left(\overrightarrow{r}-\stackrel{⌢}{\stackrel{\rightharpoonup }{r}}\right)}$$

, $$\eta =\overline{{\left(\overrightarrow{r}-\stackrel{⌢}{\stackrel{\rightharpoonup }{r}}\right)}^T\left(\overrightarrow{r}-\stackrel{⌢}{\stackrel{\rightharpoonup }{r}}\right)}$$

,

найдем матрицу H_opt:find the matrix H _opt :

$${\text{H}}_{\text{opt}}={\text{R}}_{\text{rr}}{\text{w(w}}^{\text{T}}{\text{R}}_{\text{rr}}\text{W}+{\text{R}}_{\text{nn}}{\text{)}}^{\text{-1}}\text{ , }\text{ (10)}$$

$${\text{H}}_{\text{opt}}={\text{R}}_{\text{rr}}{\text{w (w}}^{\text{T}}{\text{R}}_{\text{rr}}\text{W}+{\text{R}}_{\text{nn}}{\text{)}}^{\text{-one}}\text{,}\text{(10)}$$

где R_rr и R_nn - ковариационные матрицы соответственно искомой автокорреляционной функции и ошибок измерений.where R _rr and R _nn are the covariance matrices of the corresponding autocorrelation function and measurement errors, respectively.

Подставив (10) в (9), найдем искомую оценку вектора корреляцийSubstituting (10) into (9), we find the desired estimate of the correlation vector

При пренебрежимых ошибках измерений или в отсутствие вероятностных характеристик автокорреляционной функции и ошибок измерений оценить вектор корреляций можно методом псевдообращения [5]:With negligible measurement errors or in the absence of the probabilistic characteristics of the autocorrelation function and measurement errors, the correlation vector can be estimated using the pseudoinverse method [5]:

$$\stackrel{⌢}{\stackrel{\rightharpoonup }{r}}={\left(W^T\right)}^{+}\overrightarrow{s},\left(12\right)$$

$$\stackrel{⌢}{\stackrel{\rightharpoonup }{r}}={\left(W^T\right)}^{+}\overrightarrow{s},\left(12\right)$$

где индекс + обозначает псевдообращение.where the index + denotes a pseudoinversion.

Оценка вектора корреляций, полученная согласно (11) или (12), представляет собой векторThe estimate of the correlation vector obtained according to (11) or (12) is a vector

$$\stackrel{⌢}{\overrightarrow{r}}={[\stackrel{⌢}{\rho }(-K\theta )\dots \stackrel{⌢}{\rho }(-\theta )\stackrel{⌢}{\rho }(0)\stackrel{⌢}{\rho }(\theta )\dots \stackrel{⌢}{\rho }(K\theta )]}^T,\left(13\right)$$

$$\stackrel{⌢}{\overrightarrow{r}}={[\stackrel{⌢}{\rho }(-K\theta )...\stackrel{⌢}{\rho }(-\theta )\stackrel{⌢}{\rho }(0)\stackrel{⌢}{\rho }(\theta )...\stackrel{⌢}{\rho }(K\theta )]}^T,\left(13\right)$$

где $$\stackrel{⌢}{\rho }(K\theta )$$

- оценка значения автокорреляционной функции на элементе разрешения с номером k.Where $$\stackrel{⌢}{\rho }(K\theta )$$

- estimation of the value of the autocorrelation function on the resolution element with number k.

Таким образом, получена оценка вектора корреляций, компоненты которой представляют собой оценки автокорреляционной функции во всех элементах разрешения. Автокорреляционная функция определена с точностью элемента разрешения, размер которого θ задается априори.Thus, an estimate of the correlation vector is obtained, the components of which are estimates of the autocorrelation function in all resolution elements. The autocorrelation function is determined with the accuracy of the resolution element, the size of which θ is set a priori.

Заметим, что, поскольку автокорреляционная функция лежит в контролируемом интервале временной переменной, все ее дискретизированные по элементам разрешения значения входят в правую часть векторно-матричного уравнения измерений (8), из которого и определяются. Определив таким образом вектор корреляций, мы находим значения автокорреляционной функции, приходящиеся на все элементы разрешения (в частности, полученные значения могут быть равными нулю в каких-то элементах разрешения). Принцип определения автокорреляционной функции из уравнения измерений (8), в основе которого лежит система уравнений (6), устраняет появление ложных составляющих за пределами действительной протяженности автокорреляционной функции из-за ограниченной полосы анализируемых частот измерителя спектральной плотности, свойственное прототипу, в котором автокорреляционная функция определяется всей совокупностью выборочных значений спектральной плотности, входящих в правую часть выражения ОДПФ (3).Note that, since the autocorrelation function lies in a controlled interval of a time variable, all its values discretized by the resolution elements are included in the right side of the vector-matrix measurement equation (8), from which they are determined. Having thus determined the correlation vector, we find the values of the autocorrelation function attributable to all resolution elements (in particular, the obtained values can be equal to zero in some resolution elements). The principle of determining the autocorrelation function from the measurement equation (8), which is based on the system of equations (6), eliminates the appearance of false components outside the actual length of the autocorrelation function due to the limited frequency band of the analyzed frequencies of the spectral density meter, characteristic of the prototype, in which the autocorrelation function is determined the entire set of sample spectral density values included in the right-hand side of the ODPF expression (3).

Заметим также, что измеренные значения спектральной плотности, составляющие вектор измерений в уравнении измерений (8), могут выбираться произвольно в пределах области существования ненулевых значений, исходя из удобства измерений и без таких ограничений, как условие теоремы Котельникова. Это дает возможность анализировать высокочастотные сигналы и сигналы со сложными спектрами за счет использования «разреженной» выборки значений спектральной плотности.We also note that the measured spectral density values that make up the measurement vector in the measurement equation (8) can be chosen arbitrarily within the region of existence of nonzero values, based on the convenience of measurements and without such restrictions as the condition of Kotelnikov’s theorem. This makes it possible to analyze high-frequency signals and signals with complex spectra by using a "sparse" sample of spectral density values.

Преимущества предлагаемого способа по сравнению с прототипом следующие.The advantages of the proposed method in comparison with the prototype are as follows.

1. Расширение класса анализируемых сигналов на высокочастотные и сложные сигналы с быстро меняющейся спектральной плотностью. Преимущество это обусловлено тем, что используемые в заявляемом способе выборочные значения спектральной плотности мощности сигнала могут измеряться с произвольным шагом дискретизации по оси частот или даже вообще произвольно. На них не накладывается условие теоремы Котельникова, как в прототипе, что позволяет использовать «разреженные» значения спектральной плотности. Это снимает ограничение на характер изменения спектральной плотности и позволяет определять автокорреляционную функцию, в том числе, по быстро меняющимся и высокочастотным спектральным плотностям.1. Extension of the class of analyzed signals to high-frequency and complex signals with rapidly changing spectral density. This advantage is due to the fact that the sample values of the signal power spectral density used in the claimed method can be measured with an arbitrary sampling step along the frequency axis, or even even arbitrarily. They are not subject to the condition of the Kotelnikov theorem, as in the prototype, which allows the use of "sparse" values of spectral density. This removes the restriction on the nature of the change in spectral density and allows one to determine the autocorrelation function, including by rapidly changing and high-frequency spectral densities.

2. Отсутствие искажения автокорреляционной функции из-за ограниченной полосы анализируемых частот измерителя спектральной плотности мощности, свойственное прототипу. Это преимущество обусловлено новым принципом определения автокорреляционной функции - из уравнения измерений (8) вместо ОДПФ и проявляется тем ощутимее, чем шире спектр анализируемого сигнала.2. The absence of distortion of the autocorrelation function due to the limited band of the analyzed frequencies of the spectral power density meter, typical of the prototype. This advantage is due to the new principle of determining the autocorrelation function - from the measurement equation (8) instead of the ODPF, and it manifests itself more noticeably, the wider the spectrum of the analyzed signal.

Источники информацииInformation sources

1. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. Издание четвертое. - М.: Радио и связь, с.120-121 (прототип).1. Gonorovsky I.S. Radio circuits and signals. Fourth Edition. - M .: Radio and communications, p.120-121 (prototype).

2. Голд Б., Рэйдер Ч. Цифровая обработка сигналов. Пер. с англ. - М: Сов. радио, 1973, с.191.2. Gold B., Raider C. Digital signal processing. Per. from English - M: Owls. Radio, 1973, p. 191.

3. Кей С.М., Март С.Л. Современные методы спектрального анализа: Обзор. // ТИИЭР, Том 69, №11, 1981 г., с.11.3. Kay S.M., March S.L. Modern methods of spectral analysis: Overview. // TIIER, Volume 69, No. 11, 1981, p. 11.

4. Самойленко В.И., Пузырев В.А., Грубрин И.В. Техническая кибернетика. - М.: Изд-во МАИ, 1994, с.130-132.4. Samoilenko V.I., Puzyrev V.A., Grubrin I.V. Technical cybernetics. - M .: Publishing House of the Moscow Aviation Institute, 1994, p.130-132.

5. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. 4-е изд. - М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988, с.35.5. Gantmakher F.R. Matrix theory. 4th ed. - M.: Science, Ch. ed. Phys.-Math. lit., 1988, p. 35.

Claims (1)

Способ определения автокорреляционной функции электрического сигнала по его спектральной плотности мощности, заключающийся в том, что измеряют дискретные значения спектральной плотности мощности анализируемого сигнала и по ним определяют автокорреляционную функцию этого сигнала, отличающийся тем, что контролируемый интервал -τ_max÷τ_max временной переменной автокорреляционной функции, включающий автокорреляционную функцию, разбивают на малые элементы разрешения, величина которых θ определяется требуемой точностью определения автокорреляционной функции, присваивают элементам разрешения номера -К, -(К-1), …, -1, 0, 1, …, (К-1), К, где К - число элементов разрешения на положительном и отрицательном участках оси временной переменной, для каждого элемента разрешения формируют весовую функцию w_k(ω)=θe^-jωkθ, где k - номер элемента разрешения, ω - круговая частота, j - комплексная единица, задают фиксированный набор частот ω₁, ω₂, …, ω_N, удобных для измерения на них спектральной плотности мощности, формируют весовую матрицу
$$W=\left[\begin{array}{ccc}{w}_{-K}({\omega }_1)& w_{-K}({\omega }_2)& \dots w_{-K}({\omega }_N)\\ w_{-\left(K-1\right)}({\omega }_1)& w_{-\left(K-1\right)}({\omega }_2)& \dots w_{-\left(K-1\right)}({\omega }_N)\\ \dots & \dots & \dots \dots \\ w_0({\omega }_1)& w_0({\omega }_2)& \dots w_0({\omega }_N)\\ \dots & \dots & \dots \dots \\ w_K({\omega }_1)& w_K({\omega }_2)& \dots w_K({\omega }_N)\end{array}\right]$$

,
измеряют значения спектральной плотности мощности на заданных частотах S(ω₁), S(ω₂), …, S(ω_N), где N - число измерений, и объединяют в вектор измерений

, где индекс Т обозначает транспонирование, составляют уравнение измерений $$\overrightarrow{s}=W_{\overrightarrow{r}}^T+\overrightarrow{n}$$

, где $$\overrightarrow{r}={[\rho (-K\theta )\dots \rho (-\theta )\rho (0)\rho (\theta )\dots \rho (K\theta )]}^T$$

- вектор корреляций, ρ(kθ) - значение автокорреляционной функции анализируемого сигнала на элементе разрешения с номером k, $$\overrightarrow{n}$$

- вектор ошибок измерений спектральной плотности, определяют автокорреляционную функцию из уравнения измерений в форме оценки вектора корреляций, компоненты которой представляют собой оценки автокорреляционной функции во всех элементах разрешения. A method for determining the autocorrelation function on the electrical signal of its power spectral density, comprising the steps of measuring a discrete spectral values of the analyzed signal power density, and it is determined by the autocorrelation function of this signal, characterized in that the controlled interval -τ _max ÷ τ _max of the autocorrelation function of the time variable , including the autocorrelation function, is divided into small resolution elements, the value of which θ is determined by the required accuracy of determining the auto the correlation function, assign the resolution elements the numbers -K, - (K-1), ..., -1, 0, 1, ..., (K-1), K, where K is the number of resolution elements on the positive and negative sections of the axis of the temporary variable , for each resolution element, the weight function w _k (ω) = θe ^{-jωkθ is formed} , where k is the number of the resolution element, ω is the circular frequency, j is the complex unit, a fixed set of frequencies ω ₁ , ω ₂ , ..., ω _{N is} specified, convenient for measuring the spectral power density on them, form a weight matrix
$$W=\left[\begin{array}{ccc}{w}_{-K}({\omega }_{\mathrm{one}})& w_{-K}({\omega }_2)& ...w_{-K}({\omega }_N)\\ w_{-\left(K-\mathrm{one}\right)}({\omega }_{\mathrm{one}})& w_{-\left(K-\mathrm{one}\right)}({\omega }_2)& ...w_{-\left(K-\mathrm{one}\right)}({\omega }_N)\\ ...& ...& ......\\ w_0({\omega }_{\mathrm{one}})& w_0({\omega }_2)& ...w_0({\omega }_N)\\ ...& ...& ......\\ w_K({\omega }_{\mathrm{one}})& w_K({\omega }_2)& ...w_K({\omega }_N)\end{array}\right]$$

,
measure the spectral power density at given frequencies S (ω ₁ ), S (ω ₂ ), ..., S (ω _N ), where N is the number of measurements, and combine into a measurement vector

where the index T denotes transposition, make up the equation of measurements $$\overrightarrow{s}=W_{\overrightarrow{r}}^T+\overrightarrow{n}$$

where $$\overrightarrow{r}={[\rho (-K\theta )...\rho (-\theta )\rho (0)\rho (\theta )...\rho (K\theta )]}^T$$

is the correlation vector, ρ (kθ) is the value of the autocorrelation function of the analyzed signal on the resolution element with number k, $$\overrightarrow{n}$$

is the error vector of spectral density measurements, the autocorrelation function is determined from the measurement equation in the form of an estimate of the correlation vector, the components of which are estimates of the autocorrelation function in all resolution elements.