NO328835B1

NO328835B1 - Fremgangsmate for a danne en modell representativ for fordelingen av en fysisk kvantitet i en undergrunns-sone som er uten effekten fra korrelert stoy inneholdt i eksplorasjonsdata

Info

Publication number: NO328835B1
Application number: NO20033459A
Authority: NO
Inventors: Patrick Lailly; Francois Renard; Laure Pelle; Florence Delprat-Jannaud
Original assignee: Inst Francais Du Petrole
Priority date: 2002-08-05
Filing date: 2003-08-04
Publication date: 2010-05-25
Also published as: CN1503006A; FR2843202B1; CN1333267C; NO20033459D0; GB0318295D0; GB2391665A; FR2843202A1; GB2391665B; US20050075791A1; US7092823B2

Description

TEKNISK OMRÅDE

Foreliggende oppfinnelse vedrører en fremgangsmåte for å danne, ut fra data fremskaffet ved undersøkelse av en sone av et heterogent medium, en modell som er representativ for fordelingen i sonen av en fysisk kvantitet, som er (i det minste delvis) fri for nærværet av korrelert støy som kan befinne seg i dataene.

Fremgangsmåten anvendes f.eks. til kvantifisering av den akustiske impedans i en undergrunnssone.

BAKGRUNN FOR OPPFINNELSEN

Prosessen som består i å søke etter en modell som justeres til eksperimentelle målinger, er blitt utviklet på nesten alle vitenskapelige eller teknologiske felter. En slik løsning er kjent under forskjellige navn: minste kvadraters metode for para-meterestimering, for invers problemløsning. For en god presentasjon av denne løsningen innenfor de geovitenskapelige områder, kan det f.eks. vises til: - Tarantola, A.: "Inverse Problem Theory: Method for Data Fitting and Modell Parameter Estimation", Elsevier, Amsterdam, 1987.

Det skal bemerkes at uttrykket "minste kvadrater" refererer til kvadratet av normen i datarommet for å kvantifisere forskjellen mellom en modells respons (som er bildet av modellen ved hjelp av en tidligere valgt modelleringsoperator) og dataene, en kostnadsfunksjon som må minimaliseres for å løse problemet. Bruk av kvadratet av normen til å definere kostnadsfunksjonen er bare en praktisk hen-siktsmessighet, og det er ikke grunnleggende viktig. Dessuten benytter mange for-fattere av forskjellige grunner en annen definisjon av kostnadsfunksjonen, men denne definisjonen forblir basert på bruken av normen eller en seminorm, i datarommet. Endelig har vi betydelig bredde for å velge normen (eller seminormen) i datarommet (vi er på ingen måte tvunget til å bruke den euklidske norm). I tilfelle av støyholdige data kan løsningen i betydelig grad være avhengig av det valg som gjøres ved dette trinn. For ytterligere opplysninger vedrørende dette problemet, kan man f.eks. vise til følgende publikasjoner: - Tarantola, A.: "Inverse Problem Theory: Method for Data Fitting and Modell Parameter Estimation", Elsevier, Amsterdam, 1987; Renard and Lailly, 2001; Scales and Gersztenkorn, 1988; Al-Chalabu, 1992.

Måleresultatene inneholder ofte feil. Modelleringsstøy øker ytterligere disse målefeilene når eksperimenteringen blir sammenlignet med modelleringsresulta-ter: modelleringer er aldri perfekte og svarer derfor alltid til en forenklet betraktning av virkeligheten. Støyen vil derfor i det følgende bli beskrevet som bestående av:

- ikke-korrelerte komponenter (f.eks. hvit støy),

- korrelerte komponenter som betyr at forekomsten av støy på en målesam-pel omformes til forekomsten av støy av samme beskaffenhet på visse nærligg-ende målepunkter; modelleringsstøy tilhører typisk denne kategorien.

Når dataene inneholder korrelert støy, kan kvaliteten av den modell som er estimert ved å løse det inverse problem, påvirkes alvorlig av denne. Som allerede nevnt er ingen modelleringsoperatør perfekt. Det er derfor arbeidet til hele sam-funnet av de mennesker som inngår i identifiseringen av parametere som beskriver en modell, som hindres av forekomsten av korrelert støy. Blant disse men-neskene er de som utfører seismiske undersøkelser, blant de som rammes hard-est; i virkeligheten har deres data et dårlig eller endog meget dårlig signal/støy-forhold. Dette er grunnen til at korrelerte støyfiltreringsteknikker er en viktig del av programmer for behandling av seismiske data. De mest konvensjonelle teknikker benytter en transformasjon (f.eks. en Fourier-transformasjon) hvor signal og støy blir lokalisert i forskjellige områder av rommet for derved å muliggjøre atskillelse av signalet og støyen. For en generell presentasjon av de konvensjonelle fremgangs-måter for støyeliminering i seismiske data, kan man vise til følgende bok av Yilmaz: - Yilmaz, 0.1987: "Seismic data processing", Investigation in Geophysics No. 2, Society of Exploration Geophysicists, Tulsa, 1987.

Disse teknikkene er imidlertid ikke perfekte: de forutsetter at en transformasjon som tillater fullstendig atskillelse av signalet og støyen, er blitt funnet. I denne forbindelse er korrelert støy delvis brysom fordi denne kan være vanskelig å atskille fra signalet (som også er korrelert) og kan ha høye amplituder. Det er derfor ofte vanskelig å håndtere det følgende kompromiss: enten blir signalet bevart, men en stor støyrest er tilbake, eller støyen blir eliminert, men da blir signalet forvrengt. Disse filtreringsteknikkene kan implementeres før løsning av det inverse problem; de utgjør da en forbehandling av dataene. Kvaliteten av den inverse problemløs-ning er så i stor grad avhengig av filtrenes evne til å eliminere støyen uten å for-vrenge signalet.

En fremgangsmåte for å håndtere koherente støyeffekter under inversjon av 2D førstakkede data, basert på et invers problem og prediksjonsfilterfeil som presentert i Guitton, A; "Coherent Noise Attenuation using Inverse Problems and Pre-diction Error Filters", Stanford Exploration Project, Report 105, 5. september 2000, sider 1-49.

Den løsning som er introdusert av Nemeth mfl. i følgende publikasjon:

- Nemeth T. et al. (1999), "Least-Square Migration of Incomplete Reflection Data", Geophysics, 64, 208-221

utgjør et viktig fremskritt med hensyn til invertering av data som forstyrres av korrelert støy med høy amplitude. Disse forfatterne foreslår å eliminere støyen ved å løse et inverst problem: etter å ha definert rommet til den korrelerte støy som bilderommet til et vektorrom B (rommet for de støygenererende funksjoner) ved hjelp av en lineær operator T, og signalet som bilderommet for et vektorrom M (modell-rom) ved hjelp av en modelleringsoperator F (antatt å være lineær), søker de etter det signal i F(M) og den støy i T(B) hvis sum er så nær som mulig (i betydningen av den euklidske norm eller på kontinuerlig basis, av normen L<2>) til de målte data. Denne teknikken utgjør et viktig fremskritt ettersom den muliggjør eliminering (eller i det minste en meget betydelig reduksjon) av korrelert støy med høye amplituder (overflatebølger f.eks.) som er vanskelige å atskille fra signalet ved hjelp av konvensjonelle filtreringsteknikker. I henhold til disse forfatterne er imidlertid en økning av beregningstiden med én størrelsesorden nødvendig for å løse det konvensjonelle inverse problem, dvs. uten å søke etter den korrelerte komponent av støyen, prisen som må betales for disse ytelsene. Det resultat som oppnås med fremgangsmåten, er dessuten uhyre følsomt for eventuelle unøyaktigheter som inn-føres ved definisjonen av operatoren T: dette er den uunngåelige kompensasjon for den høye egnetheten til fremgangsmåten når det gjelder å diskriminere signal og støy.

OPPSUMMERING AV OPPFINNELSEN

Fremgangsmåten ifølge oppfinnelsen gjør det mulig å estimere, fra data fremskaffet ved undersøkelse av en undergrunnssone, en modell som er representativ for fordelingen i sonen av minst én fysisk størrelse, idet denne modellen er hovedsakelig fri for forekomst av korrelert støy som kan inneholdes i dataene. Fremgangsmåten omfatter hovedsakelig følgende trinn:

a) innsamling av målinger gitt informasjon om visse fysiske karakteristikker i sonen ved å følge en forutbestemt, eksperimentell protokoll, b) å spesifisere en modelleringsoperator som tilordner, med en modell for hver fysisk størrelse, syntetiske data som utgjør responsen til modellen, idet målingene og de syntetiske data tilhører et datarom, c) for hver korrelert støy som det refereres til ved hjelp av en subindeks j som befinner seg i området fra 1 til J, å velge en modelleringsoperator som tilordner korrelert støy til en støygenererende funksjon som tilhører et forutbestemt rom av støygenererende funksjoner,

d) å spesifisere en norm eller en seminorm i datarommet,

e) å spesifisere en seminorm i det støygenererende funksjonsrom for hvilken hver støymodelleringsoperator etablerer hovedsakelig en isometrisk relasjon

mellom det støygenererende funksjonsrom og datarommet,

f) å definere en kostnadsfunksjon som kvantifiserer forskjellen mellom målingene på den ene side og overlagringen av modellresponsen og av den korrelerte

støy som er tilknyttet de støygenererende funksjoner, på den annen side, og

g) å justere modellen og de støygenererende funksjoner ved å minimalisere kostnadsfunksjonen, ved hjelp av en algoritmemetode som tar hensyn til de isometriske egenskaper ved støymodelleringsoperatorene.

I henhold til en første utførelsesmåte blir fordelingen av den akustiske impedans i mediet som en funksjon av dybden søkt, den korrelerte støy som påvirker dataene er rørbølger som hver identifiseres ved hjelp av parametere som kjenne-tegner deres forplantning, de målte data er av VSP-typen fremskaffet ved hjelp av følere innrettet for å detektere forskyvningen av partikler i mediet som reaksjon på en lokalisert seismisk eksitering, posisjonen til følerne, registreringstiden og de tidssamplingspunkter som er definert, og den valgte modelleringsoperator assosi-erer de syntetiske data med en akustisk impedansfordeling som en funksjon av den evaluerte dybde i forplantningstid og med den vertikale mekaniske spenning målt som en funksjon av tid ved dybden til den første føler.

Den kostnadsfunksjon som velges for å kvantifisere differansen mellom målingene på den ene side og overlagringen av modellresponsen og den korrelerte støy assosiert med de støygenererende funksjoner på den annen side, er f.eks. kvadratet av seminormen av denne differansen i datarommet.

I henhold til en utførelsesform blir justering av modellen og de støygenerer-ende funksjoner f.eks. oppnådd ved hjelp av en relaksasjonsmetode for å eliminere de ukjente som svarer til hver korrelert støygenererende funksjon, idet denne relaksasjonsmetoden blir implementert innenfor iterasjonene av en kvasi-Newtonsk algoritme for beregning av modellen.

I henhold til en utførelsesform blir numerisk beregning av bildet av en modell ved hjelp av denne operatoren utført f.eks. ved hjelp av en numerisk løsning av den endimensjonale bølgeligning for den betraktede modell, ved å velge verdier tatt ved forskyvning av partiklene ved følernes posisjoner og ved de tidligere defi-nerte tidssamplingspunkter, og ved å anvende en operator som sannsynligvis vil kompensere for de sfæriske divergens- og dempnings-virkninger.

I henhold til den utførelsesform er den numeriske støymodelleringsoperator en sentrert numerisk plan for endelig støydifferanse for å diskretisere støytrans-portligningen, og den støygenererende funksjon involvert som den innledende be-tingelse langs kanten av sonen assosiert med hver korrelert støy som et støygene-rerende funksjonsrom som består av de understøttende tidsfunksjoner i et gitt tidsintervall.

Forskjellige eksempler på normer eller seminormer som er valgt for datarommet og de støygenererende funksjonsrom er gitt i den følgende detaljerte beskrivelse.

I henhold til en annen utførelsesmåte blir fordelingen av forstyrrelser i relasjon til et på forhånd valgt referansemedium, for impedansen og hastigheten i ved-kommende sone av mediet søkt, idet den korrelerte støy som påvirker dataene skyldes multippelrefleksjoner hvis kinematiske og amplitudemessige variasjoner med forskyvningen tidligere er blitt estimert, de målte data blir mottatt av seismiske følere på overflaten, posisjonen til følerne, den seismiske eksiteringsmodus, registreringstiden og tidssamplingspunktene blir bestemt, og den modelleringsoperator som bestemmes via en linearisering av bølgeligningen omkring referansemediet.

Den kostnadsfunksjon som velges for å kvantifisere differansen mellom målingene på den ene side og overlagringen av modellresponsen og den korrelerte støy tilknyttet de støygenererende funksjoner på den annen side, er f.eks. kvadratet av seminormen av denne differansen i datarommet.

I henhold til en utførelsesform blir justering av modellen og av de støygene-rerende funksjoner oppnådd ved hjelp av en blokkrelaksasjonsmetode for å eliminere de ukjente som svarer til hver korrelert støygenererende funksjon, idet denne relaksasjonsmetoden blir implementert innenfor itereringene av en konjugert gradi-entalgoritme for beregning av modellen.

KORT BESKRIVELSE AV FIGURENE

Andre trekk og fordeler ved fremgangsmåten i henhold til oppfinnelsen vil fremgå av den følgende beskrivelse av en utførelsesform som er gitt som et ikke begrensende eksempel, under henvisning til de vedføyde tegninger, hvor: - Fig. 1 viser et eksempel på data fremskaffet ved hjelp av en vertikal seismisk prospekteringsmetode (VSP), - fig. 2 viser en modell over fordeling av den akustiske impedans med dybden, - fig. 3 viser syntetiske VSP-data fremskaffet på grunnlag av impedans-modellen på fig. 2, - fig. 4 viser et eksempel på VSP-data som er forurenset av en enkelt, korrelert støy, - fig. 5 viser et eksempel på VSP-data som er forurenset av to korrelerte støytyper, - fig. 6 viser impedansfordelingen som en funksjon av dybde, fremskaffet ved invertering av de støyholdige data på fig. 4, - fig. 7 viser inverteringsrestene (differanser mellom dataene på fig. 4 og den seismiske respons i modellen på fig. 6), - fig. 8 viser impedansfordelingen som en funksjon av dybde, fremskaffet ved invertering av de støyholdige data på fig. 5, - fig. 9 viser de tilsvarende inverteringsrester (forskjeller mellom dataene på fig. 5 og den seismiske responsen til modellen på fig. 8), - fig. 10 viser impedansfordelingen som en funksjon av dybde, fremskaffet ved invertering av de støyholdige data på fig. 4 ved å søke etter den korrelerte støy i form av overlagringen av to korrelerte støytyper som har unøyaktige forplantningsegenskaper, dvs. som er forskjellige fra de i den støy som opptrer i dataene på fig. 4, - fig. 11 viser de tilsvarende inverteringsrester (forskjeller mellom dataene på fig. 4 og den seismiske responsen til modellen på fig. 10), - fig. 12A, 12B viser henholdsvis seismiske data med multippelrefleksjoner og den seismiske responsen til modellen oppnådd etter den konvensjonelle, lineariserte invertering, - fig. 13 A, 13B viser henholdsvis et eksempel på impedansfordeling og forplantningshastighet for hvilken de seismiske data på fig. 12A utgjør den seismiske respons, og

fig. 14A, 14B viser henholdsvis sammenligningen av de seismiske respons-ene til de modeller som er fremskaffet ved konvensjonell invertering (14A) og ved invertering i henhold til den foreslåtte fremgangsmåte som innebærer å motta utflyttingen (move out) av multippelen og en estimering av amplitudevariasjonene med forskyvningen (offset) (14B).

DETALJERT BESKRIVELSE

Formulering av problemet

Vi har data som er et resultat av en samplet måling av en funksjon. Denne funksjonen er avhengig av flere variable (rom- og rom/tid-variable f.eks.).

Disse dataene som kalles d, svarer til målinger utført for å fremskaffe informasjon om en modell m. De innholder forskjellige typer støy:

- korrelert støy (eller en overlagring av korrelert støy),

- ikke-korrelert støy.

Problemet er å bestemme en kvantitativ modell m (eller funksjoner for denne modellen), fra dataene d.

Vi velger derfor en modelleringsoperator F (lineær eller ikke) som assosie-res med responsen til modellen m. Denne operatoren modellerer i virkeligheten det virkelige, fysiske fenomen på en ikke helt perfekt måte. Dette er hovedsakelig (men ikke utelukkende) grunnen til at den korrelerte støy opptrer i dataene: disse støytypene svarer til signal relatert til modellen, men relasjonen mellom dem viser seg å være for kompleks til å bli innbefattet i modelleringsoperatoren F, som vi ønsker å holde forholdsvis enkel av forskjellige grunner.

Under slike forhold modellerer vi støyen ved å innføre ett eller flere støy-genererende rom Bj(j er i området fra 1 til J) og de tilknyttede støymodellerende operatorer kalt Tj. For å finne modellen m fra dataene d, foreslår vi å søke etter denne modellen som løsningen på optimaliseringsproblemet:

hvor I I q er en norm (eller muligens en seminorm) i datarommet.

Formelen ovenfor atskiller seg fra den løsning som er foreslått av Nemeth mfl. 1999) ved at:

- modelleringsoperatoren F ikke nødvendigvis er lineær,

- vi har rett når det gjelder å betrakte en overlagring av korrelert støy av forskjellige typer (i den betydning at de blir modellert ved hjelp av forskjellige operatorer referert til ved subindekser j), til en økning i markedsprisen med hensyn til antall beregninger vedrørende antallet ukjente (som spesielt kompliserer løsnin-gen av optimaliseringsproblemet) så vel som antallet støymodelleringer som må utføres, - vi reserverer muligheten for å velge norm || || D eller eventuelt seminormen slik det passer best i datarommet.

Valget som vi skal foreta for || || D vil bli påført under betraktninger tilknyttet effektiviteten av løsningsmetoden (beskrevet nedenfor), idet denne effektiviteten gjør det mulig å håndtere tilfelle med en korrelert støyoverlagring. Dette er en viktig åpning: foruten muligheten av å behandle data som inneholder korrelert støy med komplekse karakteristikker, kan vi på denne måten overvinne de vanskelig-heter man møter i løsningen til Nemeth mfl. tilknyttet resultatets høye følsomhet for en unøyaktighet innført ved definisjon av støymodelleringsoperatoren: for å overvinne denne vanskeligheten må vi bare søke etter støyen ved overlagring av støy tilknyttet tilnærmede modelleringsoperatorer Tj.

Det skal bemerkes at valg av kvadratet av normen || || D som inngår i optimaliseringsproblemet, ikke er essensielt: vi endrer ikke løsningen ved i stedet å velge en funksjon som i likhet med kvadratfunksjonen er en økende funksjon av 9l<+> (eller en avtagende funksjon forutsatt at min blir endret til maks).

Løsningsmetoden

Fremgangsmåten består i på passende måte å velge:

- norm (eller seminorm) || || D i datarommet,

- normer || || D i hvert rom Bj

slik at det oppnås en algoritmisk løsning med høy ytelse på optimaliseringsproblemet (1). Uttrykket "på passende måte å velge" betyr å se til at hver operator Tj ut-gjør en isometri (eller en isometritilnærmelse) for normene || || i og || || D henholdsvis i det innledende rom og i sluttrommet. Hovedidéen ved bestemmelsen av normer som gjør det mulig å gjøre hver operator Tj isometrisk, er basert på forekomsten av likheter av den energibevarende type som er verifisert av løsningene på de partielle differensialligningene (eller diskrete energilikheter for løsningene på visse numeriske metoder som brukes til diskretisering av disse ligningene).

Hvis vi kan gjøre slike valg, er det mulig å gjøre minimaliseringen av kostnadsfunksjonen meget enkel ved å eliminere de ukjente som er tilknyttet de korrelerte, støygenererende funksjoner (bestemmelse av Schurs komplement). Denne elimineringen blir utført ved hjelp av en passende algoritme, slik som blokkrelaksa-sjonsmetoden, hvor en blokk blir tilordnet en støygenererende funksjon, eller den konjugerte gradientmetode med Gauss/Seidel-prekondisjonering av symmetriske blokker, osv., idet alle disse algoritmiske implementeringsmetoder er velkjente for fagkyndige på området, presentert f.eks. av: - Golub, G.H. et al. (1983) "Résolution numérique de grands systémes liné-aires" (Eyrolles).

Forenklet minimalisering av kostnadsfunksjonen gjør det mulig å redusere den tid som er nødvendig for numerisk løsning betydelig.

Første implementeringseksempel anvendt på endimensjonal invertering av VSP- data forurenset med en rørbølge

VSP-data (vertikale seismiske profil-data hører til konvensjonelle borehulls-undersøkelser. De har flere anvendelser, hvorav én viktig er deres bruk til å opp-rette en forbindelse mellom seismiske overflatedata og loggemålinger. Inverterin-gen av VSP-data, som beskrevet f.eks. av: - Macé, D. and Lailly, P. (1984) A Solution of an Inverse problem with 1D Wave Equation applied to the Inversion of Vertical Seismic Profile; Proe. of the 6th Intern. Conf. In "Analysis and Optimisation of Systems", Nice 2, 309-323 er blitt utviklet for dette formålet. I det endimensjonale inverse problem antar vi at under-grunnsmodellen er lateralt invariant og at en planbølgeeksitering forplantes verti-kalt. De ukjente i problemet er den akustiske impedansfordeling som en funksjon av dybde (målt i vertikal forplantningstid og over et intervall som begynner ved dybden til den første mottaker) og den seismiske eksiteringsmodus (akkurat den tidsfunksjon som karakteriserer grensebetingelsen ved dybden for den første mottaker). Dette er et ikke-lineært inverst problem, idet VSP-data er ikke-lineært av-hengige av impedansfordelingen.

VSP-data er ofte forurenset av korrelert støy med meget høy amplitude: fluidbølgen. Denne bølgen blir ledet i slammet som invaderer brønnen. Dens forplantningshastighet er lav i forhold til forplantningshastigheten i bergformasjonene som omgir brønnen. Forplantningshastigheten til denne bølgen er dessuten avhengig av frekvensen (spredningsforplantning). Endelig reflekteres denne bølgen spesielt ved bunnen av brønnen og den gir videre opphav til en annen forplant-ningsmodus. Typiske VSP-data er gitt i figuren nedenfor: hovedkarakteristikkene til rørbølgen kan ses. Dens amplitude og utstrekningen av den forurensede sone gjør det vanskelig å bruke det signal som befinner seg i de mange seismiske sampler som er forurenset av fluidbølgen.

Vi beskriver heretter implementeringen av fremgangsmåten for endimensjonal invertering av VSP-data.

Eksperimentell protokoll

Den består i å spesifisere:

- de forskjellige dybder ved hvilke mottakerne er posisjonert i brønnen (som antas å være vertikal): i våre forsøk dekker mottakerne det område av dybder målt i enveistid [xmin = 0,05s; xmax = 0,2s], med en mottaker for hver Ax=1 ms (i en-veis tid); vi oppnår således sampler nummerert fra 0 til I, - den fysiske beskaffenheten av målingen som utføres ved hjelp av disse mottakerne: i våre forsøk måler mottakerne den vertikale forskyvning som et resultat av bølgeforplantningen, - registreringstiden: i våre forsøk måler mottakerne vibrasjonstilstanden over tidsintervallet [0, T=1,5s], disse dataene blir samplet hver At=1 ms. Vi oppnår således sampler nummerert fra 0 til N.

Vi kaller d" den datasampel som er registrert ved dybden xmin + i Ax og ved tiden n At. Vi har selvsagt: T = N At og xmax = xmin + I Ax.

Innsamling av data i samsvar med denne eksperimentelle protokollen

Våre forsøk ble utført fra syntetiske data, dvs. fremskaffet ved numerisk modellering som selv ble utført i to trinn: Frembringelse av syntetiske data som ikke inneholder støy: denne frembrin-gelsen ble utført ved numerisk løsning av den endimensjonale akustiske bølgelig-ning idet modellen er den akustiske impedansfordeling som er vist på fig. 2 (dybden er målt i enveis tid) og eksiteringsmodusen (Neumanns grensebetingelse ved dybden 0) som er en konvensjonell Ricker-småbølge.

De syntetiske VSP-data som er et resultat av denne modelleringen, er vist på fig. 3: den vertikale aksen som representerer observasjonstiden er gradert fra 0 til 1,5 s og den horisontale aksen representerer dybden (i enveis forplantningstid) til de forskjellige mottakere, er gradert fra 0,05 til 0,2 s.

Tillegg av støy til dataene

Vi skal forstyrre VSP-dataene som er beregnet på denne måten ved å til-føye dem på den ene side en tilfeldig støy (men filtrert i det seismiske frekvens-bånd) med ganske høy amplitude, og på den annen side én eller flere korrelerte støytyper med meget høy amplitude. Hver støy vil forplante seg nedover med en lav hastighet som er avhengig av frekvensen (spredende forplantning): den korrelerte støyen antas å representere fluidbølger. De er blitt modellert ved hjelp av numerisk løsning (bruk av den endelige differansesentrerte metode) av en trans-portligning med konstant forplantningshastighet. Spredning av bølgene er blitt oppnådd ved bruk av store diskretiseringsintervaller i den endelige differansemetode. I tilfelle med overlagringen av flere korrelerte støytyper, er forplantningshastighet-ene tilknyttet hver støytype forskjellig. Fig. 4, 5 viser VSP-dataene forurenset med en enkelt korrelert støy (fig. 4) og av overlagringen av to korrelerte støytyper (fig- 5).

Spesifikasjon av modelleringsoperatoren

Modellering blir utført ved å løse bølgeligningen:

med Neumanns grensebetingelse: og startbetingelsene :

Definisjonen av modelleringsoperatoren krever først definisjon av observa-sjonsoperatoren som formaliserer den forsøksprotokoll som er beskrevet i §1. Ob-servasjonsoperatoren er således den operator som tilordnes funksjonen y(x,t), løsningen på systemet ovenfor, sampler y(Xj,t<n>) for Xi=xmin + i Ax og t<n>=n At, i=0 l;n=0,...N.

Modelleringsoperatoren som vi kaller F(m) er således den (ikke-lineære) operator som tilordnes funksjonsparet m=(<r(x),h(t)) sampler y(Xj,t<n>) for Xi=xmin +

i Axog t<n>=n At, i=0 l;n=0 N.

Spesifikasjon av modelleringsoperatoren tilknyttet hver korrelert støy

Vi spesifiserer i dette avsnittet den prosedyre som kan brukes for modellering av hver korrelert støy. Hver korrelert støy vil være karakterisert ved korrela-sjonsretninger som er spesifikke for disse, som vi antar er kjent, i det minste tilnærmet: disse korrelasjonsretningene blir spesifisert ved hjelp av et felt av korre-lasjonsvektorer Cj(x,t) av komponentene (Cj<x>(x,t), c^x.t)) som må defineres ved ethvert punkt i domenet [xmin, xmax]X[0,T]. Vi kan på ekvivalent måte spesifisere korrelasjonsretningene ved hjelp av en bunt av korrelasjonslinjer som vil representere de feltlinjer som er tilknyttet Cj(x,t). Slike korrelasjonslinjer kan oppnås i henhold til den teknikk som er beskrevet i patentene EP-354,112 (US-4,972,383) inngitt av herværende søker, fra et utvalg av flere fasekarakteristikker for støyen, idet informasjonen blir utvidet til hele domenet xmin, xmax]X[0,T] ved hjelp av konvensjonelle interpolerings- og ekstrapolerings-prosedyrer. Spesifikasjon av korrelasjonsretningene dreier seg om å spesifisere forplantningshastighetsfordelingen av støy-en Cj(x,t) som er relatert til korrelasjonsvektoren ved relasjonen

cf (x,t) / Cj(x,t) = J / t .Vi antar her at det ikke er noen bølgeamplitudevariasjoner

/ cj(x,t)

under forplantningen av bølgen (en annen situasjon blir presentert i det andre anvendelseseksempelet). Modellering av en korrelert støy som spesifisert ovenfor, er basert på følgende observasjon: en bølge som forplanter seg langs korrelasjonslinjer uten amplitudeendring er en løsning av transportligningen:

I denne forbindelse introduserer vi:

- et rom Bj for en støygenererende funksjon som vil være rommet for støtte-funksjoner <p>j(t) i [tj<min>, tj<max>] e [0,T] og at vi utvider ved 0 i hele intervallet [0,T],

- en støymodelleringsoperator Tj:

som er en løsning av transportligningen og som oppfyller startbetingelsene:

Det kan bemerkes at geometrien til bunten med korrelasjonslinjer (eller ekvivalent, forplantningshastighetsfordelingen) ikke kan være en hvilken som helst geometri: korrelasjonslinjene kan ikke skjære hverandre, ellers ville løsningen på transportligningen ikke bli korrekt. Av de samme grunner kan korrelasjonslinjene ikke to ganger skjære de kantene som startbetingelsene er spesifisert for. Sist-nevnte betraktning kan føre til (for å modellere en korrelert støy som svarer til en oppadgående bølge) å spesifisere startbetingelsen ikke lenger ved x=xmin, men ved x=xmax eller endog ved en mellomliggende verdi, selv om det betyr dekompo-nering av Cauchys problem i to problemer tilknyttet de domener som befinner seg på hver side av denne mellomliggende kanten.

Vi antar videre at geometrien til korrelasjonslinjene er slik at (mer generelle situasjoner kan tenkes, men de følgende resultater får da en annen form):

Endelig antar vi at bunten med korrelasjonslinjer som ved x=xmin skjærer intervallet [tj<mm>, tj<max>] ikke skjærer intervallet [xmiri,xmax] ved t=T.

I virkeligheten blir transportligningen løst ved hjelp av en numerisk metode. Det er f.eks. mulig å bruke den konvensjonelle endelige differansesentrerte metode. Vi velger derfor diskretiseringsintervaller Ax'j og At'j (som ikke nødvendigvis er lik Ax og At, men som vi antar er submultipler av disse størrelsene selv om mer generelle situasjoner kan betraktes) og vi innfører et gitter hvis knutepunkter eller noder er punktene til koordinatene (xmin+i'Ax'j, n'At'j) med i' og n' e N. Den konvensjonelle endelige differansesentrerte node som forklares nedenfor, gjør det mulig, ut i fra startbetingelsene, å beregne differanseverdiene trinn for trinn tatt ved funksjonen bj(x,t) ved de forskjellige noder i gitteret (for å forenkle notasjonene har vi utelatt subindeks j tilknyttet den korrelerte støy som betraktes).

I formlene ovenfor representerer størrelsen aj"' evalueringen av størrelsen a (a er et generisk uttrykk) ved koordinatpunktene (xmin + i'AXj, n'Atj').

Bruken av diskretiseringsintervaller AXj og Atj som er tilstrekkelig små i forhold til bølgelengden er selvsagt nødvendig hvis vi ønsker at den numeriske metode skal gi en nøyaktig tilnærmelse av funksjonsløsningen til transportligningen.

Bruken av større diskretiseringsintervaller (men likevel mindre enn bølge-lengden) gjør det mulig å modellere mer komplekse forplantningsfenomener ved å gjøre bølgeforplantningshastigheten avhengig av frekvensen: spredende forplant-ninger slik som forplantningen til rørbølgen kan således modelleres. Valg av eg-nede diskretiseringsintervaller for modellering av en spesiell modus av rørbølgen kan gjøres.

Ved å bestemme forplantningshastigheten til denne modusen etter å ha undersøkt dataene (som her ikke bare er avhengig av rom og tid, men også av frekvensen); kan tomografiteknikker brukes til dette formål, slik som presentert i følgende publikasjon: - Ernst, F. et al. (2000); Tomografphy of Dispersive Media; J. Acoustic Soc. Am, 108, 105-116.

Ved å kjenne de spredende forplantningsegenskaper tilknyttet den numeriske metode, kan egenskaper som følger av en analyse av den numeriske spred-ningsrelasjon utledes, som f.eks. beskrevet i følgende publikasjon: - Alford, R.M. et al. (1974), Accuracy of Finite Difference Modeling of the Acoustic Wave Equation; Geophysics, 6, 834-842.

Spesifikasjon av en norm eller en seminorm i datarommet

Et første valg består i å ta som normen i datarommet en hvilken som helst diskret norm som er ment å være en tilnærmelse (via en kvadraturformel) til den norm som er definert på kontinuerlig basis av:

Vi kan også bruke seminormen som er et bedre valg som vi skal se i neste avsnitt:

hvor u er en hvilken som helst vektor i datarommet (i og n er indekser som representerer sampelnumrene henholdsvis i rom og i tid).

Dessuten er andre valg mulige.

Spesifikasjon, i hvert rom Bs av støygenererende funksjoner, av en norm for hvilken hver støymodellerende operator Tj etablerer en isometrisk relasjon ( eller tilnærmelsen av en isometrisk relasjon) mellom de støygenererende funksjoners rom og datarommet ( tilveiebrakt med den halvnorm som er definert i avsnitt 5)

I dette avsnittet spesifiserer vi den prosedyre som kan brukes til å definere normen i det støygenererende funksjonsrom tilknyttet hver korrelert støy. Siden denne prosedyren er den samme for hver støy, beskriver vi den generelt og utelater subindeksene j som er tilknyttet den betraktede støy i formlene.

Et første valg består i å forsyne hvert støygenererende funksjonsrom B med en hvilken som helst diskret norm som er ment å være en tilnærmelse (via en kvadraturformel) til den norm som er definert på kontinuerlig basis, ved:

i hvilket tilfelle vi har, ved å bruke det faktum at, ved hjelp av de hypoteser som er angitt i avsnitt 4, bj(x,T)=0 for x e [xmin, xmax], slik den lineære operator Tj utfører en isometri mellom Bj og D. Siden beregningen av TjPj imidlertid utføres numerisk, vil den isometriske beskaffenheten til operatoren T ikke være perfekt, men bare tilnærmet, idet tilnærmelsen blir bedre når diskretiseringsintervallene Ax, At, Ax'j,

At'j er små. Det faktum at vi har bare en tilnærmet isometri, vil føre til lavere ytelse når det gjelder den algoritmiske implementering som presenteres i det følgende avsnitt 8.

Et bedre valg består i å forsyne hvert støygenererende funksjonsrom Bj med seminormen:

I dette tilfelle utfører operatoren Tj strengt en isometri mellom Bj og D, i det minste hvis Uj<N>=0Vi = 0,1-1. Dette er resultatene av den diskrete energiligning:

en ligning som er gyldig i det tilfelle (forenklet for presentasjonens skyld) hvor Ax' = Ax og At' = At og hvis ^-1/2 = ^1/2 er blitt definert.

Definisjon av kostnadsfunksjonen

Vi definerer kostnadsfunksjonen ved hjelp av følgende formel:

Søk etter den modell og de støygenererende funksjoner som minimaliserer kostnadsfunksjonen, idet dette søket blir utført ved hjelp av en algoritmisk metode som trekker fordel av, eksplisitt eller implisitt, de isometriske egenskapene til de støymodellerende operatorer ( se 6)

Den algoritmiske metode bruker spesifisiteten i Schurs komplement, en spesifisitet tilknyttet den isometriske karakter av operatorene Tj. Dette kan gjøres f.eks. ved å innse at minimalisering av C(m,p1, p2 Bj) dreier seg om å minimalisere C'(m) = C(m,p1(m),p2(m),...pJ(m)) hvor (p1(m),p2(m),...pJ(m))minimaliserer C(m, Pi, P2 Bj) for en gitt m. Det kan bemerkes at den Hessiske funksjon som er tilknyttet denne kvadratiske formen er Schurs komplement. C'(m) kan minimaliseres ved hjelp av en hvilken som helst optimaliseringsmetode, slik som BFGS-versjonen av en kvasi-Newtonsk metode.

Bestemmelsen av (p1(m),p2(m),...pJ(m) er meget lett takket være den isometriske beskaffenheten til operatoren Tj, spesielt hvis valgene (2) og (3) henholdsvis er blitt valgt for å definere || || D og || || B.. Hvis det er bare én type støy (J=1) og hvis isometrien er perfekt, krever bestemmelse av p.,(m) ganske enkelt evaluering av gradienten til den kvadratiske formen. Hvis det er en overlagring av flere støytyper (J>1), kan forskjellige algoritmer tas i betraktning for å trekke fordel av den isometriske beskaffenheten til operatoren Tj. (p1(m),p2(m)>...pJ(m) kan f.eks. bestemmes ved hjelp av en blokkrelaksasjonsmetode (også kalt Gauss/Seidel), idet en blokk blir tilknyttet en gruppe ukjente pv (m), idet en relaksa-sjonsiterering bare krever (fremdeles i tilfelle av perfekt isometri) en eneste evaluering av gradienten til den kvadratiske form tilknyttet den betraktede blokk. For problemer som er vanskeliggjort ved nærheten av korrelasjonsretningene til de forskjellige støytyper, kan en prekondisjonert konjugert gradientmetode betraktes, idet prekondisjoneringsmatrisen er av den symmetriske Gauss/Seidel-type (eller relaksasjonstypen). Igjen blir prekondisjonering meget enkelt implementert, idet løsningen av problemet tilknyttet en blokk bare krever evaluering av gradienten til den kvadratiske form tilknyttet den betraktede blokk.

Figurene 6 til 11 viser de resultater som er oppnådd med tre typer forsøk under bruk av fremgangsmåten.

I tilfelle med en invertering av de støyholdige data (fig. 4) både ved overlagring av en korrelert støy og en tilfeldig støy, gir fig. 6 impedansfordelingen som er fremskaffet, og fig. 7 viser inverteringsrestene.

I tilfelle med invertering av støyholdige data (fig. 5) både ved overlagring av to korrelerte støytyper og av en tilfeldig støy, gir fig. 8 impedansfordelingen som er fremskaffet, og fig. 9 viser inverteringsrestene.

I tilfelle med invertering av støyholdige data (fig. 4) både ved overlagring av en korrelert støy og en tilfeldig støy hvor forplantningsegenskapene til fluidbølgen ikke er nøyaktig kjent, er det naturlig å søke en korrelert støymodell som består av overlagringen av to korrelerte støytyper med unøyaktige forplantningshastigheter, men ved hjelp av hvilke den virkelige forplantningshastigheten til fluidbølgen blir funnet. Fig. 10 gir den fremskaffede impedansfordeling, og fig. 11 viser inverteringsrestene.

Annet eksempel på anvendelse av fremgangsmåten til å bestemme en modell ved hjelp av linearisert invertering av multioffset- data forurenset av multip-pel- refleksioner

Denne anvendelsen atskiller seg fra den første hovedsakelig ved å at den il-lustrerer de muligheter som fremgangsmåten gir for å ta i betraktning støyamplitu-devariasjoner langs korrelasjonsretningene. En annen forskjell ligger i forplantningsegenskapene til de korrelerte støytyper, idet forplantningen av multippelrefleksjonene ikke er spredende.

Linearisert invertering er en av de sofistikerte metoder som brukes av geo-fysikere til å fremskaffe en kvantitativ modell av de heterogene egenskapene i undergrunnen, idet denne type informasjon er særlig verdifull til karakterisering av reservoarer. De data som er gitt her, er seismiske overflatedata. Fremgangsmåten er f.eks. beskrevet i følgende publikasjon: - Bourgeois, A. et al. (1989) ("The Linearized Seismic Inverse Problem: an Attractive Method for a Sharp Description of Strategic Traps": 59th Ann. Intern. Mtg. Soc. Expl.Geoph. Expanded Abstract, pp. 973-976.

Videre er det nødvendig å ha en referansemodell som består (i forbindelse med en akustisk modell) av en hastighetsfordeling og en akustisk impedansfordeling: det er den modell omkring hvilken en linearisering vil bli utført i bølgeligningen (Borns tilnærmelse). For å forenkle presentasjonen tar vi det endimensjonale tilfelle, men denne hypotesen er likevel viktig ettersom de praktiske anvendelser hovedsakelig angår metoder i forbindelse med tredimensjonal seismikk. I forbindelse med den ene dimensjon befinner all seismisk informasjon seg i et enkelt skuddpunkt. Referansemodellen er dessuten også endimensjonal: den er bare avhengig av dybden. De ukjente i problemet er den akustiske impedansforstyrrelse og hastighetsfordeling som funksjon av dybde. I motsetning til det første anvendelseseksempelet, blir derimot den seismiske eksiteringsmodus (og dermed den seismiske småbølge) antatt å være kjent. Det er et inverst problem som gjøres lineært ved hjelp av linearisering.

Seismiske overflatedata er ofte forurenset av multippelrefleksjoner som kan ha ganske høy amplitude. Deres kinematikk som er kjennetegnet ved utflytting (move out) i den endimensjonale forbindelse, er generelt ganske forskjellig fra de primære refleksjoner: disse to typer bølger har generelt forplantet seg gjennom geologiske lag med forskjellige forplantningshastigheter. Dette er grunnen til at linearisert invertering i seg selv er en effektiv teknikk når det gjelder å dempe multippelrefleksjoner: kinematikken til primærrefleksjoner (de hendelser som modelleres ved hjelp av Borns tilnærmelse) er i sin helhet definert av hastighetsfordelin-gen i referansemodellen: de modellerte hendelser kan derfor ikke justeres til multippelrefleksjoner hvis utflyttingen av disse er forskjellig fra utflyttingen av primær-refleksjonene. På grunn av stillstanden ved null offset, er det imidlertid i praksis en delvis justering og de lineariserte inverteringsresultater viser seg å være forurenset av forekomsten av den korrelerte støy som består av multippelrefleksjonene. De seismiske data på fig. 12A er blitt modellert ved å ta hensyn til multippelrefleksjonene (det er bare tre primære refleksjoner som når null-offseten suksessivt ved tidene: 500; 1000; 1650 ms, idet den 2. ankomst har en spesielt høy amplitude).

I den seismiske responsen til modellen som er fremskaffet etter konvensjonell linearisert invertering (se fig. 12B), har den multippelen med høy amplitude som ankommer ved omkring 1500 ms ved null-offseten blitt bare svakt dempet og modellen er forurenset av multippelen. Det er så naturlig å forsøke å bruke de muligheter som gis av Nemeths metode for bedre å diskriminere multippelrefleksjoner og primærrefleksjoner, spesielt med de forbedringer som vår fremgangsmåte gir.

Vi beskriver heretter implementeringen av fremgangsmåten for endimensjonal linearisert invertering av seismiske overflatedata.

Forsøksprotokoll

Den består i å spesifisere:

den seismiske eksiteringsmodus: i våre forsøk er den seismiske kilde et kilde punkt som er tidsmodulert ved hjelp av en funksjon (seismisk småbølge) beteg-net med w(t), - de forskjellige posisjoner hvor mottakerne er posisjonert: i våre forsøk er mottakerne anordnet ved dybden 10 m og dekker offset-intervallet [Xmin = 0, xmax 1500 m], med en mottaker for hver Ax = 100 m: vi fremskaffer således seismiske traser nummerert fra 0 til I, - mottakerne måler det trykkfelt som er et resultat av bølgeforplantningen, - registreringstiden: i våre forsøk måler mottakerne vibrasjonstilstanden over tidsintervallet [0,T=1800 ms], idet disse data blir samplet hver At=1 ms. Vi fremskaffer således sampler nummerert fra 0 til N.

Vi kaller d" den datasampel som er registrert for offsetverdien xmin + i Ax og ved tiden n At. Vi har selvsagt: T = N At og xmax = xmin<+>l Ax.

Innsamling av data i samsvar med denne forsøksprotokollen

Våre forsøk ble utført med syntetiske data: disse dataene ble fremskaffet ved numerisk oppløsning (endelig differansemetode) av den todimensjonale bøl-geligning:

med grensebetingelsen:

P(z=0)=0

og startbetingelsene:

en ligning hvor:

- x, z, t henholdsvis betegner den laterale koordinat, dybden og tiden,

- a og c henholdsvis representerer den akustiske impedans- og forplant-ningshastighets-fordeling (funksjoner av dybden).

Den bølge som velges er en konvensjonell Ricker-bølge med senterfrek-vens 30 Hz og impedans a og hastighets c -fordelingene er gitt på figurene 13A, 13B. Den seismiske responsen til denne modellen består derfor i de data som er representert på fig. 12A. Vi kaller Fnl den operator som tilordner de seismiske data til funksjonsparet (a(z), c(z)).

Spesifikasjon av modelleringsoperatoren

Vi velger en referansemodell beskrevet ved hjelp av funksjonsparet (ao(z), Co(z)). I de forsøk som presenteres her, har vi valgt co(z)=c(z) og <ro(z)=cte (=1). Som modelleringsoperator velger vi den Jacobske operator for operatoren FNL ved punktet (ao(z).co(z)). Siden vi har valgt co(z)=c(z), er i virkeligheten den eneste ukjente 8a(z)=cr(z)-cro(z), og bare den tilsvarende Jacobske komponent er viktig.

Modelleringsoperatoren som vi kaller F(5m), er således den (lineære) operator som tilordner funksjonsparet 8m=8a(z), 8c(z)) til de sampler 8y(xi>t<n>) som er komponentene til vektoren F (8m) for Xi=xmin + i Ax og t<n>=n At, i=0 1; n=0 N.

Spesifikasjon av den modelleringsoperator som er tilknyttet hver korrelert støy

Vi spesifiserer i dette avsnittet den prosedyre som brukes til å modellere hver korrelert støy. Hver korrelert støy vil bli karakterisert ved korrelasjonsretning-er som er spesifikke for denne, som vi antar å være kjent, i det minste tilnærmet; disse korrelasjonsretningene blir spesifisert ved hjelp av et felt av korrelasjonsvek-torer Cj(x,t) av komponentene (Cj<x>(x,t), c/(x,t)) som må defineres ved ethvert punkt i domenet [xmin, Xmax]X[0,T]. Vi kan på ekvivalent mate spesifisere korrelasjonsretningene ved hjelp av en bunt med korrelasjonslinjer som vil representere feltlinje-ne tilknyttet Cj(x,t). Slike korrelasjonslinjer kan fremskaffes i henhold til den teknikk som er beskrevet i patentene EP-354,112 (US-4,972,383) inngitt av foreliggende søker, fra et utvalg av flere fasekarakteristikker for støyen, idet informasjonen blir utvidet til hele domenet [xmin, xmax]X(0,T] ved hjelp av konvensjonelle interpolerings- og/eller ekstrapolerings-prosedyrer, som beskrevet i det forannevnte patent EP-354,112 inngitt av søkeren. For dette annet anvendelseseksempel hvor vi ønsker å eliminere de forannevnte multippelrefleksjoner, velger vil denne mul-tippelrefleksjonen (f.eks. amplitudetoppen) som gjør oss i stand til å definere an-komsttidsvariasjonene som en funksjon av offset, og vi definerer et korrelasjons-linjekontinuum ved enkel vertikal translasjon av den valgte linje (under disse forhold er vektoren c(x,t) ikke avhengig avt). Spesifikasjon av korrelasjonsretningene dreier seg om å spesifisere forplantningshastighetsfordelingen til støyen Cj(x,t)

cx(x t)/

som er relatert til korrelasjonsvektoren ved relasjonen Cj(x,t) = J %t^x ^ ■

I motsetning til det første anvendelseseksempelet som er beskrevet ovenfor, har vi her støyamplitudevariasjoner langs korrelasjonslinjen. Vi antar at vi kan estimere disse amplitudevariasjonene fra en måling på dataene eller ved hjelp av teoretiske betraktninger: idet denne målingen definerer en funksjon g(x).

Støyen vil således bli modellert ved hjelp av sammensetningen av to operatorer: En transpotroperator som i det første anvendelseseksempel;

En amplitudemodulasjon, dvs. multiplikasjonen av løsningen på transportligningen med funksjonen g(x).

Vi bruker igjen den metode som er gitt i det første utførelseseksempelet (og spesielt hvis vi bruker de samme hypoteser og notasjoner), innfører vi: et rom Bj av støygenererende funksjoner som vil være rommet for støtte-funksjoner <p>j(t) i [t|min,tjmax] c [0,T] og at vi utvider med i hele intervallet [0,T];

en støymodellerende operator T,:

som er en løsning på transportligningen og som utfyller startbetingelsene :

I virkeligheten blir transportligningen løst ved hjelp av en numerisk metode. Det er f.eks. mulig å benytte den konvensjonelle endelige differansesentrerte metode. Vi velger derfor diskretiseringsintervaller Ax'j og At'j (som ikke nødvendigvis er lik Ax og At, men som vil antar er submultipler av disse størrelsene, selv om mer generelle situasjoner kan tas i betraktning), og vi innfører et gitter hvis knutepunkter eller noder er punkter for koordinatene (xmin + i'AXj, n'Atj) hvor i' og n' e N. Den konvensjonelle endelige differansesentrerte metode som forklares nedenfor, gjør det mulig ut i fra startbetingelsene å beregne trinn for trinn differanseverdiene som inntas av funksjonen bj(x,t) ved de forskjellige noder i gitteret (for å forenkle notasjonene har vi utelatt subindeksen j tilknyttet den korrelerte støy som betraktes):

I ligningen ovenfor representerer størrelsen «r/<1> evalueringen av størrelsen a (a er et generisk uttrykk) ved punktet for koordinatene (xmin+i'Ax'j, n'At'j).

Diskretiseringsintervallene Ax/ og At/ må her velges tilstrekkelig små i relasjon til bølgelengden fordi vi ønsker at den numeriske metode skal gi en nøyaktig tilnærmelse av funksjonsløsningen til transportligningen (vi ønsker ingen spredning).

Det siste trinn i støymodelleringsprosedyren består i å velge de sampler bj<n >som tilhører de noder som er felles for de to gitre, og ved å multiplisere dem med g(iAx); vi oppnår således de forskjellige komponenter for vektoren (i datarommet)

<T>j(ft).

Spesifikasjon av en norm eller en seminorm i datarommet

Et første valg vil bestå i å ta som norm i datarommet en hvilken som helst diskret norm som antas å være en tilnærmelse (via en kvadraturligning) til den norm som er definert på kontinuerlig basis, ved:

Vi kan også bruke seminormen som er et bedre valg som vi vil se i neste avsnitt:

hvor u er en hvilken som helst vektor i datarommet (i og n er de indekser som representerer sampelnumrene henholdsvis i rom og i tid).

Dessuten er andre valg også mulige.

Spesifikasjon, i hvert støygenererende funksjonsrom av en norm for hvilken hver støymodellerende operator oppretter en isometrisk relasjon ( eller tilnærmelsen til en isometrisk relasjon) mellom rommer for de støygenererende funksjoner og datarommet ( forsynt med den seminorm som er definert i avsnitt 5)

Vi spesifiserer i dette avsnittet den prosedyre som kan brukes til å definere normen i det støygenererende funksjonsrom tilknyttet hver korrelert støy.

Et første valg vil bestå i å forsyne hvert støygenererende funksjonsrom Bj med en diskret norm som antas å være en tilnærmelse (via en kvadraturligning) til den norm som er definert på kontinuerlig basis av (her har vi igjen utelatt subindeks j for å forenkle notasjonene):

i hvilket tilfelle den lineære operator Tj ved å benytte det faktum at, bj(x,T)=0 for x e [Xmin, Xmax], tilveiebringer en isometri mellom Bj og D. Siden beregningen av Tjft imidlertid blir utført numerisk, vil den isometriske karakteren av operatoren Tj ikke være perfekt, men bare tilnærmet, idet tilnærmelsen blir bedre jo mindre diskretiseringsintervallene Ax, At, Ax'j, At'j er. Det faktum at vi har bare har en tilnærmet isometri, vil føre til lavere ytelse vedrørende den algoritmiske implementering som er presentert i avsnitt 8.

Et bedre valg består i å forsyne hvert støygenererende funksjonsrom Bj med seminormen (her utelater vi igjen subindeks j for å forenkle notasjonene):

I dette tilfelle utfører operatoren Tj strengt en isometri mellom Bj og D, i det minste hvis løsningen på diskretiseringsmetoden for transportligningen er identisk lik null for n=N.

Definisjon av kostnadsfunksjonen

Vi definerer kostnadsfunksjonen ved hjelp av følgende formel:

Det kan bemerkes at i den ovenfor angitte funksjon er FNL(m0) en konstant vektor.

Søk etter den modell og de støygenererende funksjoner som minimaliserer kostnadsfunksjonen, idet dette søket utføres ved hjelp av en algoritmisk metode som trekker fordel av, eksplisitt eller implisitt, de isometriske egenskapene til støy-modelleringsoperatorene ( se avsnitt 6)

Den algoritmiske metode benytter det som er spesifisert i Schurs komplement, en spesifisitet tilknyttet den isometriske beskaffenheten til operatorene Tj. Dette kan f.eks. gjøres ved å innse at minimalisering av C(5m,p\, p2 p\j) dreier seg om å minimalisere

hvor (P1(8m),<p>2(8m),...pj(8m)) minimaliserer C(8m,p1, p2 Pu) for en gitt8m. Det kan bemerkes at det Hessiske uttrykk som er tilknyttet denne kvadratiske formen er Schurs komplement. C'(8m) kan minimaliseres ved hjelp av en hvilken som helst optimaliseringsmetode; idet kostnadsfunksjonen C'(Sm) er kvadratisk, er bruken av en konjugert gradientmetode her særlig anvendbar.

Bestemmelsen av (p1(m)>p2(m),...pJ(m) er meget enkel takket være den isometriske beskaffenheten til operatorene Tj, spesielt hvis valgene (4) and (5) hen-

holdsvis er blitt valgt til å definere <IIII> og IIII . Hvis det bare er én støytype (J=1),

II IlD II IlBj

som er tilfelle i denne illustrasjonen, og hvis isometrien er perfekt (noe som også

er tilfelle takket være de foretatte valg), krever bestemmelsen av ^(m) bare evaluering av gradienten til den kvadratiske form. Hvis det er en overlagring av flere støytyper (J>1), kan forskjellige algoritmer tas i betraktning for å trekke fordel av den isometriske beskaffenheten til operatorene Tj som forklart i forbindelse med det første anvendelseseksempel.

Fig. 14 viser de resultater som oppnås (den seismiske responsen til løsnings-modellen) ved å implementere fremgangsmåten for funksjon g(x) blir valgt på en meget enkel form (affin-funksjonen). Forbedringen i forhold til det konvensjonelle inverteringsresultat kan observeres (fig. 14A).

Utførelseseksemplene hvor den fysiske parameter hvis undergrunnsfordeling som modelleres er den akustiske impedans, er blitt beskrevet. Det er klart at fremgangsmåten i sin mest generelle form kan anvendes til å søke etter fordelingen av fysiske størrelser som påvirkes av korrelerte støytyper i et hvilket som helst heterogent medium.

Claims

1. Fremgangsmåte for å estimere, fra data fremskaffet ved undersøkelse av en sone i et heterogent medium, en modell som er representativ for fordelingen i sonen av minst én fysisk størrelse, idet denne modellen er fri for forekomsten av korrelert støy som kan befinne seg i dataene, karakterisert ved at den omfatter følgende trinn: a) innsamling av målinger gitt informasjon om visse fysiske karakteristikker i sonen ved å følge en forutbestemt, eksperimentell protokoll, b) å spesifisere en modelleringsoperator som tilordner, med en modell for hver fysisk størrelse, syntetiske data som utgjør responsen til modellen, idet målingene og de syntetiske data tilhører et datarom, c) for hver korrelert støy som det refereres til ved hjelp av en subindeks j som befinner seg i området fra 1 til J, å velge en modelleringsoperator som tilordner korrelert støy til en støygenererende funksjon som tilhører et forutbestemt rom av støygenererende funksjoner, d) å spesifisere en norm eller en seminorm i datarommet, e) å spesifisere en seminorm i det støygenererende funksjonsrom for hvilken hver støymodelleringsoperator etablerer hovedsakelig en isometrisk relasjon mellom det støygenererende funksjonsrom og datarommet, f) å definere en kostnadsfunksjon som kvantifiserer forskjellen mellom målingene på den ene side og overlagringen av modellresponsen og av den korrelerte støy som er tilknyttet de støygenererende funksjoner, på den annen side, og g) å justere modellen og de støygenererende funksjoner ved å minimalisere kostnadsfunksjonen, ved hjelp av en algoritmemetode som tar hensyn til de isometriske egenskaper ved støymodelleringsoperatorene.

2. Fremgangsmåte ifølge krav 1, karakterisert ved at hvor fordelingen som en funksjon av dybde av den akustiske impedans i mediet blir søkt, idet den korrelerte støy som påvirker dataene er rørbølger som hver identifiseres ved parametere som karakteriserer deres forplantning, hvor de målte data er VSP-data fremskaffet ved hjelp av mottakere innrettet for å detektere partikkelforskyvning i mediet som reaksjon på en lokalisert seismisk eksitering, idet lokaliseringen av mottakerne, registreringstiden og tidssamplingspunktene blir bestemt, og modelleringsoperatoren som velges, tilordner de syntetiske data til en akustisk impedansfordeling som en funksjon av den evaluerte dybde i forplantningstid og med den vertikale mekaniske spenning målt som en funksjon av tid ved dybden til den første mottaker.

3. Fremgangsmåte ifølge krav 2, karakterisert ved at kostnadsfunksjonen som kvantifiserer differansen, er kvadratet av seminormen til denne differansen i datarommet.

4. Fremgangsmåte ifølge krav 2 eller 3, karakterisert ved at justeringer av modellen og de støygenererende funksjoner blir oppnådd ved hjelp av en blokkrelaksasjonsmetode for å eliminere de ukjente som svarer til hver korrelert støygenererende funksjon, idet denne relaksasjonsmetoden blir implementert med iterasjonene av en kvasi-Newtonsk algoritme for beregning av modellen.

5. Fremgangsmåte ifølge noen av kravene 2 til 4, karakterisert ved at numerisk beregning av bildet av en modell ved hjelp av modelleringsoperatoren blir utført ved numerisk løsning av den endimensjonale bølgeligning for den betraktede modell, ved å velge verdier tatt ved hjelp av forskyvningen av partiklene ved mottakerposisjonene og ved de tidligere defi-nerte tidssamplingspunkter, og ved å anvende en operator som sannsynligvis vil kompensere for de sfæriske divergens- og dempnings-effekter.

6. Fremgangsmåte ifølge noen av kravene 2 til 5, karakterisert ved at den numeriske støymodelleringsoperator er en endelig differansesentrert numerisk metode for å diskretisere støytransportlignin-gen, og hvor den støygenererende funksjon som inngår som startbetingelsen langs kanten av observasjonssonen tilhører et rom (Bj) bestående av de bærende tidsfunksjoner i et gitt tidsintervall.

7. Fremgangsmåte ifølge noen av kravene 2 til 6, karakterisert ved at den valgte seminorm for datarommet er: og hvor den valgte seminorm for de støygenererende funksjonsrom er:

8. Fremgangsmåte ifølge krav 1, karakterisert ved at fordelingen av forstyrrelser i relasjon til en tidligere valgt referansemodell, for impedansen og hastigheten i nevnte sone i mediet, blir søkt, idet den korrelerte støy som påvirker dataene skyldes multippelrefleksjoner hvis kinematikk og amplitudevariasjoner med offsetverdien tidligere er blitt estimert, idet de målte data ble mottatt av seismiske overflatemottakere, der posisjonen til mottakerne, den seismiske eksiteringsmodus, registreringstiden og tidssamplingspunktene er definert, og hvor modelleringsoperatoren blir definert via linearisering av bølgeligningen omkring referansemodellen.

9. Fremgangsmåte ifølge krav 8, karakterisert ved at kostnadsfunksjonen som kvantifiserer differansen, er kvadratet av seminormen til denne differansen i datarommet.

10. Fremgangsmåte ifølge krav 8 eller 9, karakterisert ved at justering av modellen og av de støygenererende funksjoner blir oppnådd ved hjelp av en blokkeksiteringsmetode for å eliminere de ukjente som svarer til hver korrelert støygenererende funksjon, idet denne relaksasjonsmetoden blir implementert innenfor iterasjonene til en konjugert gradientalgo-ritme for beregning av modellen.