NL9100483A

NL9100483A - Werkwijze voor het bepalen van vrije deelvlakken op een gedeeltelijk met rechthoekige voorwerpen bedekt vlak alsmede een werkwijze voor het bepalen van vrije ruimten in een gedeeltelijk met voorwerpen in de vorm van een rechthoekig parallelepipedum gevulde ruimte.

Info

Publication number: NL9100483A
Application number: NL9100483A
Authority: NL
Original assignee: Nederland Ptt
Priority date: 1991-03-19
Filing date: 1991-03-19
Publication date: 1992-10-16
Also published as: ATE157184T1; DK0507375T3; DE69221658D1; EP0507375B1; GR3025425T3; EP0507375A2; ES2106126T3; DE69221658T2; EP0507375A3

Description

Titel: Werkwijze voor het bepalen van vrije deelvlakken op een gedeeltelijk met rechthoekige voorwerpen bedekt vlak alsmede een werkwijze voor het bepalen van vrije ruimten in een gedeeltelijk met voorwerpen in de vorm van een rechthoekig parallelepipedum gevulde ruimte.

De uitvinding heeft betrekking op een werkwijze voor het bepalen van vrije deelvlakken op een gedeeltelijk met rechthoekige voorwerpen bedekt vlak alsmede op' een werkwijze voor het bepalen van vrije ruimten in een gedeeltelijk met voorwerpen in de vorm van een rechthoekig parallelepipedum gevulde ruimte.

Het bepalen van de meest gunstige vlakverdeling bij het uitsnijden van in hoofdzaak rechthoekige voorwerpen uit een vel of plaat materiaal, zoals leer of metaal, alsook het plaatsen van voorwerpen in een ruimte, zoals het plaatsen van postpakketten in een door de posterijen gebruikte container, en het plaatsen van containers met verschillende afmetingen in een laadruimte van bijvoorbeeld een schip, geschiedt tot op heden in hoofdzaak handmatig, waarbij een bedieningspersoon op grond van zijn ervaring een optimale materiaalbenutting of pakkingsdichtheid tracht te bereiken. Het zal duidelijk zijn, dat het gewenst is om dit snijden of pakken ten minste gedeeltelijk te automatiseren, in het bijzonder wanneer dit gepaard zou gaan met een vermindering van het materiaal-verlies, respectievelijk een vergroting van de pakkingsdichtheid, dat wil zeggen een meer optimaal gebruik van het beschikbare materiaal of de beschikbare ruimte. Een probleem hierbij is, dat het berekenen van de op een gedeeltelijk met voorwerpen gevuld vlak of in een gedeeltelijk met voorwerpen gevulde ruimte, nog beschikbare vrije deelvlakken of vrije ruimten zeer complex is, in het bijzonder wanneer de reeds geplaatste voorwerpen verschillende afmetingen hebben. Bovendien moeten de berekeningen na het plaatsen van een nieuw voorwerp steeds opnieuw worden uitgevoerd.

De uitvinding beoogt het voornoemde probleem zover te vereenvoudigen, dat het mogelijk is om met een acceptabele rekentijd de vrije deelvlakken op een gedeeltelijk met in hoofdzaak rechthoekige voorwerpen gevuld in hoofdzaak rechthoekig vlak of de vrije ruimten in een gedeeltelijk met in hoofdzaak de vorm van een parallelepipedum bezittende voorwerpen gevulde, in hoofdzaak de vorm van een rechthoekig parallelepipedum bezittende ruimte te berekenen, waarbij ook de berekening van de vrije deelvlakken of ruimten die steeds na het plaatsen van een nieuw voorwerp ontstaan, relatief eenvoudig is.

De uitvinding voorziet hiertoe in een werkwijze voor het bepalen van vrije deelvlakken op een gedeeltelijk met voorwerpen in de vorm van een rechthoek bedekt vlak, waarbij een te bedekken, in hoofdzaak rechthoekig vlak met afmetingen X en Y wordt weergegeven in de vorm van een twee-dimensionale matrix (x,y), met x rijen en y kolommen, waarbij ieder element van de matrix een rechthoek op het vlak representeert en voor ieder element wordt vastgesteld of de overeenkomstige rechthoek in het vlak vrij of bezet is, waarbij in het eerstgenoemde geval het overeenkomstige element van de matrix een eerste logische waarde (A) krijgt toegekend en in het als tweede genoemde geval een tweede logische waarde (B), waarbij op het vlak een vrij deelvlak aanwezig is, indien voor het overeenkomstige element in de matrix geldt: (xi,Yl) = B en (xi-lfYi) = A en (xi/Yi-i) = A en (xi+lfYi) = Aen (xi/Yi+i) = A (I); waarbij na het bepalen van de elementen xi,yif die aan (I) voldoen een matrixreductie wordt uitgevoerd door in een tevoren bepaalde volgorde in opeenvolgende stappen het aantal rijen of het aantal kolommen van de matrix steeds met één te verminderen totdat een (1,1) matrix resteert, waarbij steeds na een reductiestap met behulp van (I) de mogelijke vrije deelvlakken worden bepaald; waarbij het verminderen van het aantal rijen geschiedt door voor ieder element (xi,yi) van iedere rij te bepalen of (xifYi) = B en (xi+i,yi) = B (II) in welk geval in de gereduceerde matrix (x,y)' het element (xi/Yl)': = B terwijl indien niet aan (II) wordt voldaan het element (xi,yi)': = A; waarbij het verminderen van het aantal kolommen geschiedt door voor ieder element (xi,yi) van iedere kolom te bepalen of (xi,yi) = b en (xi,yi+i) = b (iii) in welk geval in de gereduceerde matrix (x,y)' het element (xi,yi) ' := B terwijl indien niet aan (III) wordt voldaan het element (xi,yi)': = A; waarbij de afmetingen van de met (I) bepaalde vrije deelvlakken worden bepaald door voor zowel de rijen als voor de kolommen van de matrix een afmetingtabel bij te houden, en de afmetingtabel voor de rijen of voor de kolommen aan te passen bij een overeenkomstige stap tijdens de matrixreductie.

De uitvinding voorziet tevens in een werkwijze voor het bepalen van vrije ruimten in een gedeeltelijk met voorwerpen met in hoofdzaak de vorm van een rechthoekig parallelepipedum gevulde ruimte waarbij de te vullen, in hoofdzaak de vorm van een rechthoekig parallelepipedum bezittende ruimte met afmetingen X, Y en Z wordt weergegeven in de vorm van een drie-dimensionale matrix (x, y, z), met x rijen, y kolommen en z lagen, waarbij ieder element van de matrix een rechthoekig parallelepipedum in de ruimte representeert en voor ieder element wordt vastgesteld of het overeenkomstige rechthoekig parallelepipedum in de ruimte vrij is of bezet is, waarbij in het eerstgenoemde geval het overeenkomstige element van de bijbehorende matrix een eerste logische waarde (A) krijgt toegekend en in het als tweede genoemde geval een tweede logische waarde (B), waarbij in de ruimte een vrij ruimte aanwezig is, indien voor het overeenkomstige element in de matrix geldt: (χΐ^Υΐ,ζΐ) = B en (xi-l,yifZl) = A en (xi,yi-ifzi) = A en (xi+i,yi,zi) = A en (xi,yi+lfzi) = A en (χι,Υΐ,ζι-χ) = A en (xi,yirzi+i) = A (IV); waarbij na het bepalen van de elementen (xi,yi,zi)f die aan (IV) voldoen een matrixreductie wordt uitgevoerd door in een tevoren bepaalde volgorde in opeenvolgende stappen of het aantal rijen of het aantal kolommen of het aantal lagen van de matrix met één te verminderen totdat een (1,1,1) of een nulmatrix resteert, waarbij steeds na een reductiestap met behulp van (IV) de mogelijke vrije ruimten worden bepaald; waarbij het verminderen van het aantal rijen geschiedt door voor ieder element (xi, yi, zi) van de matrix te bepalen of: (xi, Yir ζχ) = B en (xi+i, yi, zi) = B (V)

in welk geval in de gereduceerde matrix (x, y, z)' het element (xi, yi, ζχ) ' :== B, terwijl indien niet aan (V) wordt voldaan het element (xi, yi, zi) ' = A

waarbij het verminderen van het aantal kolommen geschiedt door te bepalen of: (xi, yi, ζχ) = B en (xlf y1+1, zi) = B (VI) in welk geval in de gereduceerde matrix (x, y, z)' het element (xi, yi, ζχ)':= B, terwijl indien niet aan (VI) wordt voldaan het element (χχ, yi, ζχ) ' = A; waarbij het verminderen van het aantal lagen geschiedt door te bepalen of: (xi, Yi, zi) = B en (χχ, yi, z1+1) = B (VII) in welk geval in de gereduceerde matrix (x, y, z)' het element (χχ, yx, ζχ)':= B, terwijl indien niet aan (VII) wordt voldaan het element (χχ, yx, ζχ) ' = A; waarbij de afmetingen van de met (IV) bepaalde vrije ruimten worden bepaald door voor zowel de rijen als voor de kolommen als voor de lagen van de matrix een afmetingtabel bij te houden, en de afmetingtabel voor de rijen, of de kolommen of de lagen aan te passen bij een overeenkomstige stap tijdens de matrixreductie.

Zoals onderstaand nader zal worden toegelicht is het dankzij de maatregelen volgens de uitvinding mogelijk om bij het in de praktijk zeer vaak voorkomende geval van het plaatsen van in hoofdzaak rechthoekige voorwerpen op een in hoofdzaak rechthoekig vlak of het plaatsen van in hoofdzaak rechthoekig parallelepipedum-vormige voorwerpen in een in hoofdzaak rechthoekig parallelepipedum-vormige ruimte steeds de resterende vrije vlakken of ruimten nauwkeurig te bepalen, zodat het mogelijk wordt om aan de hand van de bijvoorbeeld in een geheugen opgeslagen afmetingen van de nog op het vlak of in de ruimte te plaatsen voorwerpen, automatisch het voorwerp te kiezen waarvan de afmetingen die van een van de gevonden vrije vlakken of ruimten het beste benaderen. Ook is het mogelijk op grond van de beschikbare gegevens van de te plaatsen voorwerpen een laadruimte of container met optimale afmetingen te kiezen.

De uitvinding zal in het hiernavolgende nader worden toegelicht aan de hand van een uitvoeringsvoorbeeld onder verwijzing naar de tekening, waarbij ter wille van de eenvoud en overzichtelijkheid gekozen is voor het bepalen van de vrije deelvlakken op een rechthoekig grondvlak, het principe volgens de uitvinding is echter, zoals onderstaand schematisch zal worden toegelicht, zonder meer ook toepasbaar voor driedimensionale ruimten.

In de tekening toont:

Figuur la: Schematisch een met een tiental pakketten gevuld vlak;

Figuur lb: Schematisch een matrixrepresentatie van de in figuur la getoonde situatie; en

Figuur 2: Schematisch de met behulp van de werkwijze volgens de uitvinding gevonden vrije deelvlakken.

Figuur la toont een rechthoekig vlak waarop een tiental rechthoekige voorwerpen 1 t/m 10 liggen die samen met de begrenzing van het vlak de vrije deelvlakken bepalen. Figuur lb maakt de omzetting van de in figuur la getoonde situatie naar een matrixrepresentatie duidelijk, welke representatie als volgt kan worden weergegeven, wanneer voor de eerste logische waarde A = 0 wordt gesteld en de tweede logische waarde B = 1: y= 123456 7 89 x= 1 1000011100 2 1110011100 3 1110011111 4 1111111111 5 1111111000 6 1000110000 7 1000111110 8 1011111110 9 1011111100

Voor het bepalen van de afmetingen van gevonden vrije ruimten worden twee tabellen bijgehouden waarvan de lengte overeenkomt met respectievelijk het aantal rijen en kolommen van de matrix: x y 0 - xl 0 - yl xl - x2 yl - y2 x2 - x3 y2 - y3 x3 - x4 y3 - y4 x4 - x5 y4 - y5 x5 - x6 y5 - y6 χβ - x7 y6 - y7 x7 - x8 y7 - y8 x8 - xm y8 - ym

Volledigheidshalve wordt erop gewezen, dat het getoonde uitvoeringsvoorbeeld slechts een momentopname toont tijdens het proces van het plaatsen van voorwerpen. Geheel aan het begin is het vlak leeg en is de matrix een (1,1) matrix en bevatten de afmetingtabellen elk een afmeting, respectievelijk 0 - xm en 0 - ym; steeds na het plaatsen van een voorwerp neemt dan de afmeting van de matrix toe met maximaal twee rijen en twee kolommen en de afmetingtabellen elk met maximaal twee afmetingen, tenzij het geplaatste voorwerp aan een reeds aanwezig voorwerp grenst, in welk geval, zoals nog nader zal worden toegelicht, de toename van de matrixgrootte en van de lengte van de afmetingtabellen kleiner is.

Om in het getoonde uitvoeringsvoorbeeld de vrije ruimten te vinden wordt in de matrix gekeken naar die 'enen' die aan vier zijden begrensd zijn door 'nullen'. Er is dus een vrij deelvlak indien voor een willekeurig element xi,yi van de matrix geldt: (xi,yi) = 1 en (xi-lrYl) = 0 en (xi,yi-i) = 0 en (xi+ifYi) = 0 en (xi,yi+i) = 0 (I) ;

Uitgaande van de oorspronkelijke matrix vindt men op deze wijze de vrije vlakken met de kleinste afmetingen. Het op deze wijze zoeken naar grotere vrije deelvlakken zou hierbij echter reeds snel vrij complex worden en bovendien voor iedere mogelijke afmeting van een vrij deelvlak steeds een andere functie dan die volgens (I) vragen. Volgens de uitvinding wordt dit probleem opgelost door de matrix rij- en kolomgewijs te reduceren, waarbij, zoals onderstaand verder zal worden toegelicht, na het eenmaal reduceren in de x-richting met (I) vrije deelvlakken gevonden worden met als afmeting x = 2 en y =1, na het tweemaal reduceren in de x-richting met (I) worden vrije deelvlakken gevonden met als afmeting x = 3 en y = 1, na het eenmaal reduceren in de y-richting met (I) worden vrije deelvlakken gevonden met als afmeting x = 1 en y = 2 enzovoorts. Bij het op deze wijze bepalen van de vrije deelvlakken bestaat de mogelijkheid, dat elkaar ten dele overlappende vrije deelvlakken worden gevonden, dit is echter geen bezwaar indien steeds na het berekenen van de vrije deelvlakken en het op basis daarvan plaatsen van een pakket alle daarna beschikbare vrije deelvlakken weer opnieuw met (I) en met de opeenvolgende stappen van de volledige matrixreductie worden berekend.

De matrix die een representatie is van de volgens figuur la geplaatste pakketten wordt gereduceerd volgens de onderstaande 'boom'.

(9, 9)_(8, 9)_(7, 9)_(6, 9)_(5, 9)_(4, 9)_(3, 9)_<2, 9)_(1, 9) (9,8)_(8,8)_(7,8)_(6,8)_(5,8)_(4,8)_(3,8)_(2,8)_(1,8) (9,7)_(8,7)_(7,7)_(6,7)_(5,7)_(4,7)_(3,7)_<2,7)_(1,7) (9,6)_(8,6)_(7,6)_(6,6)_(5,6)_(4,6)_(3,6)_<2,6)_(1,6) (9,5)_(8, 5)_(7,5)_(6, 5)_(5, 5)_(4,5)_(3,5)__(2,5)_(1,5) (9, 4)_(8, 4)_(7,4)_(6, 4)_(5, 4)_(4,4)_(3, 4)_(2,4)_(1,4) (9,3)_(8,3)_(7,3)_(6,3)_(5,3)_(4,3)_(3,3)_(2,3)__(1,3) (9,2)_(8,2)_(7,2)_(6,2)_(5,2)_(4,2)_(3,2)_(2,2)_(1,2) (9,1)_(8,1)_(7,1)_(6,1)_(5,1)_(4,1)_(3,1)_(2,1)_(1,1)

Het reduceren gebeurt voor de rij- oftewel x-richting volgens de onderstaande formule:

Als (x,y)=l en (x+l,y)=l dan (x,y):=1 anders (x,y):=0

Het reduceren in de kolom- oftewel y-richting geschiedt mutatis mutandis op dezelfde wijze.

De verschillende stappen tijdens de reductie van de matix zijn opeenvolgend genummerd en elk onderverdeeld in a) : het reduceren en b) : het zoeken naar vrije deelvlakken.

Tevens wordt na iedere reductiestap in de x- of y-richting de desbetreffende afmetingtabel aangepast door de rechterkolom van deze tabel een positie omhoog te schuiven en het laatste (onderste) element van de linkerkolom te schrappen.

Begonnen wordt met het zoeken naar vrije deelvlakken in de oorspronkelijke matrix: lb) Zoeken naar vrije deelvlakken.

In de oorspronkelijke matrix zijn geen 'enen' aan alle zijden begrensd door 'nullen' en dus geen vrije deelvlakken. 2a) De afmeting van de matrix wordt in X-richting gereduceerd tot een (8x9) matrix: y= 123456789 x y x = _ _ _ 1 1000011100 0 - x2 0-yl 2 1110011100 xl - x3 yl - y2 3 1110011111 x2-x4 y2-y3 4 1111111000 x3 -x5 y3-y4 5 1000110000 x4-x6 y4-y5 6 1000110000 x5-x7 y5-y6 7 1000111110 x6-x8 y6-y7 8 1011111100 x7-xm y7-y8 y8 - ym 2b) Er zijn geen vrije deelvlakken.

3a) De afmeting van de matrix wordt in X-richting gereduceerd tot een (7x9) matrix:: y= 123456789 x y x = 1 1000011100 0 - x3 0-yl 2 1110011100 xl - x4 yl-y2 3 1110011100 x2-x5 y2-..

4 1000110000 x3-x6 5 1000110000 x4-x7 ..-y8 6 1000110000 x5-x8 y8-ym 7 1000111100 x6 - xm 3b) Er zijn geen vrije deelvlakken.

4a) De afmeting van de matrix wordt in X-richting gereduceerd tot een (6x9) matrix: y= 123456789 x y x = 1 1000011100 0 - x4 0-yl 2 1110011100 xl - x5 yl - y2 3 1000010000 x2-x6 y2-..

4 1000110000 x3-x7 5 1000110000 x4-x8 ..-y8 6 1000110000 x5-xm y8-ym 4b) Er zijn geen vrije deelvlakken.

5a) De afmeting van de matrix wordt in X-richting gereduceerd tot een (5 x 9) matrix: y= 123456789 x y x = 1 1000011100 0 - x5 0-yl 2 1000010000 xl-x6 yl-y2 3 1000010000 x2-x7 y2-..

4 1000110000 x3 -x8 . . - y8 5|000110000 x4-xm y8-ym 5b) Er zijn geen vrije deelvlakken.

6a) De afmeting van de matrix wordt in X-richting gereduceerd tot een (4 x 9) matrix: y= 123456789 x y x = 1 1000010000 0 - x6 0-yl 2 1000010000 xl - x7 yl-y2 3 1000010000 x2-x8 y2-..

4 1000110000 x3-xm ..-y8 y8 - ym 6b) Er zijn geen vrije deelvlakken.

7a) De afmeting van de matrix wordt in X-richting gereduceerd tot een (3x9) matrix: y= 123456789 x y x = 1 1000010000 0 - x7 0-yl 2 looooioooo xi - x8 yi-..

3 1000010000 x2-xm .. - y8 y8 - ym 7b) Er zijn geen vrije deelvlakken.

8a) De afmeting van de matrix wordt in X-richting gereduceerd tot een (2 x 9) matrix:

y= 123456789 x Y

x =_ _ _ 1 1000010000 0 - x8 0-..

2 1000010000 xl-xm . . - ym 8b) Er zijn geen vrije deelvlakken.

9a) De afmeting van de matrix wordt in X-richting gereduceerd tot een (1x9) matrix: y= 123456789 x y x =_ _ _ 1 1000010000 0-xm 0-..

. . - ym 9b) Er is een vrij deelvlak : (0,y4) - (xm,y5) [1] 10a) De afmeting van de matrix wordt nu overeenkomstig het bovenstaand gegeven schema in de Y-richting gereduceerd tot een (9x8) matrix: y= 12345678 x y x = 1 100001100 0-xl 0 - y2 2 110001100 xl - x2 yl - y3 3 110001111 x2 -x3 y2-y4 4 111111111 x3-x4 y3-y5 5 111111000 x4-x5 y4-y6 6 100010000 x5-x6 y5-y7 7 100011110 x6-x7 y6-y8 8 101111110 x7-x8 y7-ym 9 101111100 x8-xm 10b) Er zijn geen vrije deelvlakken.

lla) De afmeting van de matrix wordt in de X-richting gereduceerd tot een (8 x 8) matrix: y= 12345678 x y x =_ _ _ 1 100001100 0 - x2 0 - y2 2 110001100 xl - x3 yl - y3 3 110001111 x2-x4 y2-y4 4 111111000 x3-x5 y3-y5 5 100010000 x4-x6 y4-y6 6 100010000 x5-x7 y5-y7 7 100011110 x6-x8 y6 - y8 8 101111100 x7 - xm y7-ym llb) Er zijn geen vrije deelvlakken.

12a) De afmeting van de matrix wordt in de X-richting gereduceerd tot een (7 x 8) matrix: y= 12345678 x y x = 1 100001100 0 - x3 0-y2 2 110001100 xl - x4 yl - . .

3 110001000 x2-x5 4 100010000 x3 -x6 . . - y8 5 100010000 x4-x7 y7-ym 6 100010000 x5 -x8 7 100011100 x6 - xm 12b) Er zijn geen vrije deelvlakken.

13a) De afmeting van de matrix wordt in de X-richting gereduceerd tot een (6x8) matrix: y= 12345678 x y x = 1 100001100 0 - x4 0-y2 2 110001000 xl - x5 yl - . .

3 100000000 x2-x6 4 100010000 x3 -x7 . . - y8 5 100010000 x4-x8 y7-ym 6 100010000 x5-xm 13b) Er is een vrij deelvlak: (xl,0) - (x5,y2) [2] 14a) De afmeting van de matrix wordt in de X-richting gereduceerd tot een (5 x 8) matrix: y= 12345678 x y x =_ _ _ 1 100001000 0 - x5 0-y2 2 100000000 xl - x6 yl - . .

3 100000000 x2-x7 4 100010000 x3-x8 .. - y8 5 100010000 x4-xm y7-ym 14b) Er is een vrij deelvlak: (0,y4) - (x5,y6) [3] 15a) De afmeting van de matrix wordt in de X-richting gereduceerd tot een (4 x 8) matrix: y= 12345678 x y x = 1 100000000 0 - x6 0-y2 2 100000000 xl - x7 yl-..

3 100000000 x2-x8 4 100010000 x3-xm ..-y8 y7 - ym 15b) Er is een vrij deelvlak: (x3,y3) - (xm,y5) [4] 16a) De afmeting van de matrix wordt in de X-richting gereduceerd tot een (3 x 8) matrix: y= 12345678 x y x =_ 1 100000000 Ö - x7 0 - y2 2 10 0 0 0 0 0 0 0 xl - x8 yl - . .

3 100000000 x2-xm y7 - ym 16b) Er zijn geen vrije deelvlakken.

17a) Verder reduceren in de X-richting heeft geen zin omdat de matrix nul is geworden. De matrix uit 10) wordt nu gereduceerd in de Y-richting tot een (9x7) matrix: y= 1234567 x y x =_ _ _ 110000100 0-xl 0-y3 2 10000100 xl - x2 yl - y4 3 10 0 0 0 1 1 1 x2 - x3 y2 - y5 4 11111111 x3-x4 y3 - y6 5 11 1 1 1 0 0 0 x4 - x5 y4 - y7 6 10000000 x5 - x6 y5 - y8 7 10001110 x6-x7 y6-ym 8 10111110 x7-x8 9 10111100 x8 - xm 17b) Er zijn geen vrije deelvlakken.

18a) De afmeting van de matrix wordt in de X-richting gereduceerd tot een (8x7) matrix: y= 1234567 x y x = 110000100 0 - x2 0 - y3 2 10000100 xl - x3 yl - y4 3 10 0 0 0 1 1 1 x2 - x4 y2 - y5 4 11111000 x3 - x5 y3 - y6 5 10 0 0 0 0 0 0 x4 - x6 y4 - y7 6 10 0 0 0 0 0 0 x5 - x7 y5 - y8 7 10001110 x6 - x8 y6 - ym 8 10111100 x7-xm 18b) Er zijn geen vrije deelvlakken.

19a) De afmeting van de matrix wordt in de X-richting gereduceerd tot een (7 x 7) matrix: y= 1234567 x y x = 110000100 0 - x3 0 - y3 2 10000100 xl - x4 yl - y4 3 10 0 0 0 0 0 0 x2 - x5 y2 - y5 4 10000000 x3 - x6 y3 - y6 5 10 0 0 0 0 0 0 x4 - x7 y4 - y7 6 10 0 0 0 0 0 0 x5 - x8 y5 - y8 7 10001100 x6 - xm y6 - ym 19b) Er zijn geen vrije deelvlakken.

20a) De afmeting van de matrix wordt in de X-richting gereduceerd tot een (6x7) matrix: y= 1234567 x y x =_ _ _ 110000100 0 - x4 0 - y3 2 10 0 0 0 0 0 0 xl - x5 yl - y4 310000000 x2 - x6 y2 - y5 4 10000000 x3 - x7 y3 - y6 5 10 0 0 0 0 0 0 x4 - x8 y4 - y7 6 10 0 0 0 0 0 0 x5 - xm y5 - y8 y6 - ym 20b) Er is een vrij deelvlak: (0,y4) - (x4,y7) [5] 21a) De afmeting van de matrix in de X-richting gereduceerd tot een (5 x 7) matrix: y= 12345 6 7 x y x = 110000000 0 - x5 0 - y3 2 10000000 xl - x6 yl - y4 3 10 0 0 0 0 0 0 x2 - x7 y2 - y5 4 10000000 x3 - x8 y3 - y6 5 10000000 x4 - xm y4 - y7 y5 - y8 y6 - ym 21b) Er zijn geen vrije deelvlakken.

22a) Reduceren in de X-richting heeft geen zin omdat de matrix nul is. De matrix uit 17) wordt nu in de Y-richting gereduceerd tot een (6x6) matrix: y= 123456 x y x = 11000000 0 - xl 0 - y4 21000000 xl - x2 yl - y5 31000011 x2 - x3 y2 - y6 4 1111111 x3 - x4 y3 - y7 5 11 1 1 0 0 0 x4 - x5 y4 - y8 61000110 x6-x7 81011110 x7-x8 91011100 x8 - xm 22b) Er zijn geen vrije deelvlakken.

23a) De afmeting van de matrix wordt in de X-richting gereduceerd tot een (8x6) matrix:

y= 1 2 3 4 5 6 x Y

x =_ _ _ 11000000 0 - x2 0 - y4 21000000 xl - x3 yl - y5 31000011 x2 - x4 y2 - y6 4 11 1 1 0 0 0 x3 - x5 y3 - y7 51000000 x4 - x6 y4 - y8 61000000 x5 - x7 y5 - ym 71000110 x6-x8 8|011100 x7-xm 23b) Er zijn geen vrije deelvlakken.

24a) De afmeting van de matrix wordt in de X-richting gereduceerd tot een (7 x 6) matrix: y= 1 2 3 4 5 6 x y x = _ 11000000 0 - x3 0 - y4 21000000 xl - x4 yl - y5 31000000 x2 - x5 y2 - y6 4|000000 x3 - x6 y3 - y7 5 10 0 0 0 0 0 x4 - x7 y4 - y8 61000000 x5 - x8 y5 - ym 71000100 x6-xm 24b) Er is een vrij deelvlak: (x6,y3) - (xm, y7) [6] 25a) De afmeting van de matrix wordt in de X-richting gereduceerd tot een (5x6) matrix: y= 123456 x y x =_ _ _ 11000000 0 - x4 0 - y4 2 10 0 0 0 0 0 xl - x5 yl - y5 31000000 x2 - x6 y2 - y6 4 10 0 0 0 0 0 x3 - x7 y3 - y7 5 10 0 0 0 0 0 x4 - x8 y4 - y8 61000000 x5 - xm y5 - ym 26b) Er zijn geen vrije deelvlakken.

27a) Reduceren in de X-richting heeft geen zin omdat de matrix nul is. De matrix uit 23) wordt nu in de Y-richting gereduceerd tot een (9x5) matrix: y= 12345 x y x =_ _ _ 1100000 0-xl 0 - y5 2100000 xl - x2 yl - y6 3 10 0 0 0 1 x2 - x3 y2 - y7 4111111 x3 - x4 y3 - y8 5|11000 x4 - x5 y4 - ym 6100000 x5-x6 7100010 x6-x7 8101110 x7-x8 9101100 x8 - xm 27b) Er zijn geen vrije deelvlakken.

28a) De afmeting van de matrix wordt in de X-richting gereduceerd tot een (5 x 8) matrix: y= 12345 x y x = 1100000 0 - x2 0 - y5 2100000 xl - x3 yl - y6 3100001 x2 - x4 y2 - y7 4|1 1 0 0 0 x3 - x5 y3 - y8 5100000 x4 - x6 y4 - ym 6100000 x5-x7 7100010 x6-x8 8101100 x7 - xm 28b) Er zijn twee vrije deelvlakken : (x2,y4) - (x4,ym) [7] (x6,y3) - (x8,y8) [8] 29a) De afmeting van de matrix wordt in de X-richting gereduceerd tot een (5 x 7) matrix: y= 12345 x y x =_ _ _ 1100000 0 - x3 0 - y5 2|00000 xl - x4 yl - y6 3 10 0 0 0 0 x2 - x5 y2 - y7 4|00000 x3 - x6 y3 - y8 5100000 x4 - x7 y4 - ym 6100000 x5-x8 7100000 x6-xm 29b) Er zijn geen vrije deelvlakken.

30a) Reduceren in de X-richting heeft geen zin omdat de matrix nul is. De matrix uit 27) wordt nu gereduceerd in de Y-richting tot een (9 x 4) matrix: y= 1 2 3 4 x y x = _ _ 110000 0-xl O - y6 2|0000 xl - x2 yl - y7 3 10 0 0 0 x2 - x3 y2 - y8 4 11111 x3 - x4 y3 - ym 5|1000 x4 - x5 610000 x5 - x6 710000 x6 - x7 810110 x7 - x8 910100 x8 - xm 30b) Er zijn geen vrije deelvlakken.

31a) De afmeting van de matrix wordt in de X-richting gereduceerd tot een (8 x 4) matrix: y= 1 2 3 4 x y x =_ __ _ 110000 0 - x2 0 - y6 210000 xl - x3 yl - y7 3 10 0 0 0 x2 - x4 y2 - y8 4 | 1 0 0 0 x3 - x5 y3 - ym 510000 x4 - x6 6|0000 x5 - x7 710000 x6 - x8 8|0100 x7 - xm 31b) Er zijn twee vrije deelvlakken: (x3,0) - (x5,y6) [9] (x7, yl) - (xm, y7) [10] 32a) De afmeting van de matrix wordt in de X-richting gereduceerd tot een (5 x 7) matrix: y= 1 2 3 4 x y x = 110000 0 - x3 0 - y6 210000 xl - x4 yi - y7 3|0 0 0 0 x2 - x5 y2 - y8 4|0000 x3 - x6 y3 - ym 510000 x4 - x7 610000 x5 - x8 7 | 0 0 0 0 x6 - xm 32b) Er zijn geen vrije deelvlakken.

33a) Reduceren in X-richting heeft geen zin omdat de matrix nul is. De matrix uit 30) wordt nu gereduceerd in de Y-richting tot een (9x3) matrix: y= 1 2 3 x y x =_ _ '_ 11000 0-xl 0 - y7 2|000 xl - x2 yl - y8 3 10 0 0 x2 - x3 y2 - ym 4 1111 x3 - x4 5 | 0 0 0 x4 - x5 6|000 x5 - x6 71000 x6 - x7 81010 x7 - x8 9 | 0 0 0 x8 - xm 33b) Er is een vrij deelvlak: (x7, yl) - (x8,y8) [11] 34a) De afmeting van de matrix wordt in de X-richting gereduceerd tot een (8 x 3) matrix: y= 1 2 3 x y x =_ _ _ 110 0 0 0 - x2 0 - y7 2|000 xl - x3 yl - y8 3 10 0 0 x2 - x4 y2 - ym 4 | 0 0 0 x3 - x5 5 | 0 0 0 x4 - x6 6|0 0 0 x5 - x7 71000 x6 - x8 8|000 x7 - xm 34b) Er zijn geen vrije deelvlakken.

35a) Reduceren in de X-richting heeft geen zin omdat de matrix nul is. De matrix uit 33) wordt nu gereduceerd in de Y-richting tot een (9x2) matrix: y= 1 2 x y x =_ _ _ 1 |00 0-xl 0 - y8 2 | 0 0 xl - x2 yl - ym 3100 x2 - x3 4 | 1 1 x3 - x4 5 | 0 0 x4 - x5 6 | 0 0 x5 - x6 7|00 x6 - x7 8 | 0 0 x7 - x8 9 | 0 0 x8 - xm 35b) Er zijn geen vrije deelvlakken.

36a) De afmeting van de matrix wordt in de X-richting gereduceerd tot een (8 x 2) matrix: y= 1 2 x y x = 1100 0 - x2 O - y8 2 | 0 0 xl - x3 yl - ym 3|00 x2 - x4 4|00 x3 - x5 5100 x4 - x6 6 | 0 0 x5 - x7 7|00 x6 - x8 8 | 0 0 x7 - xm 36b) Er zijn geen vrije deelvlakken.

37a) Verder reduceren in de X-richting heeft geen zin.

De afmeting van de matrix wordt in de Y-richting gereduceerd tot een (8x1) matrix: y= 1 x y x =_ _ _ 1 | 0 0-xl 0 - ym 2 | 0 xl - x2 3 | 0 x2 - x3 4 | 1 x3 - x4 5 | 0 x4 - x5 6 | 0 x5 - x6 7 | 0 x6 - x7 8 | 0 x7 - x8 9 | 0 x8 - xm 37b) Er is een vrij deelvlak: (x3, 0) - (x4,ym) [12] 38a) De afmeting van de matrix wordt in de X-richting gereduceerd tot een (8 x 1) matrix: y= 1 x y x =_ _ _ 1 I 0 0 - x2 0 - ym 2 | 0 xl - x3 3 | 0 x2 - x4 4|0 x3 - x5 5 | 0 x4 - x6 6 | 0 x6 - x8 8 | 0 x7 - xm 38b) Er is geen vrij deelvlak.

39a) Verder reduceren in de X-richting heeft geen zin.

Ook kan 37) niet verder worden gereduceerd in de Y-richting. De matrixreductie is dus voltooid.

Van de maximaal 9 x 9 = 81 mogelijke reductiestappen zijn er slechts 39 nodig geweest om alle vrije deelvlakken te vinden.

Totaal zijn door middel van de matrixreductie en door het aflezen van de steeds aangepaste afmetingtabellen 12 vrije deelvlakken gevonden die hieronder nogmaals worden weergegeven. De plaats van de gevonden vrije deelvlakken in de matrix is in figuur 2 getoond.

[1] (0,y4)-(xm,y5) [2] (xl, 0) - (x5, y2) [3] (0,y4)-(x5,y6) [4] (x3,y3)-(xm,y5) [5] (0,y4)-(x4,y7) [6] (χβ,y3)-(xm,y7) [7] (x2,y4)-(x4,ym) [8] (x6,y3) - (x8,y8) [9] (x3,0)-(x5,y6) [10](x7,yl)-(xm,y7) [11](x7,yl)-(x8,y8) [12] (x3,0) - (x4, ym)

Op een analoge wijze kunnen ook de vrije ruimten in een drie-dimensionale rechthoekig parallelepipedum-vormige ruimte worden bepaald. Indien de derde dimensie, bijvoorbeeld de hoogte van te te vullen ruimte, z wordt genoemd, dient dan een drie-dimensionale matrix met z = zl, z2, .....zm te worden bepaald. Analoog aan het bovenstaand voor het tweedimensionale geval beschreven principe is er een vrije ruimte op de positie (xi, yi, zi) in de ruimte als geldt: (xi, Yi, zi) = 1 en (xi-i, yi, zi) = 0 en (xi+i, yi, zi) = 0 en (xif yi-i, zi) = 0 en (xi, yi+i, ζχ) = 0 en (xi, yi, ζι-χ) = 0 en (xi, yi, ζχ+χ) =0. (IV)

Door reductie van de matrix in de x-, y-, of z-richting kan nu met (IV) weer gezocht worden naar grotere ruimten, waarbij de afmetingen van die ruimten op dezelfde wijze als in het twee-dimensionale geval weer bepaald wordt door het aantal malen dat in respectievelijk de x-richting en/of de y-richting en/of de z-richting gereduceerd is.

Analoog aan het twee-dimensionale geval wordt de matrix in de x-richting gereduceerd door voor ieder element (χχ, Yl, ζχ) van de matrix te bepalen of: (xif Yi, ζχ) = 1 en (xi+i, yi, ζχ) = 1 (V) in welk geval (χχ, yx, ζχ) ' := 1, terwijl indien niet aan (V) wordt voldaan (χχ, yx, ζχ) ' = 0.

(Xlf yif zl) = 1 en (XI, yi+1, zi) = 1 (VI) in welk geval (χχ, yi, ζχ) ' := 1, terwijl indien niet aan (VI) wordt voldaan (χχ, yx, ζχ) ' =0.

Tenslotte wordt bij de reductie in de z-richting bepaald of: (xif Yif zi) = 1 en (χχ, yx, ζχ+χ) = 1 (VII) in welk geval (χχ, yx, ζχ) 1 := 1, terwijl indien niet aan (VII) wordt voldaan (χχ, γχ, ζχ) 1 = 0.

Voor het bepalen van de exacte positie van de met (IV) gevonden vrije ruimten worden ook in het drie-dimensionale geval afmetingtabellen voor de x-, y-, en z-richting bijgehouden die worden aangepast bij respectievelijk een reductie van de matrices in de x-, y-, en z-richting.

De reductie van een drie-dimensionale matrix verloopt volgens het onderstaande schema:

(X-2,Y,Z) (X,Y-2,Z) (X-1,Y,Z-1) (X,Y,Z-2) (X-1,Y-1,Z) (X,Y-1,Z-1)

Vanaf de tweede "laag" in dit schema kan een gereduceerde matrix via verschillende wegen bereikt worden, waardoor het in principe mogelijk is vrije ruimten via de verschillende wegen te vinden; zeker is dat alle aanwezige vrije ruimten gevonden worden, indien de gehele reductie wordt uitgevoerd totdat hetzij de (1, 1, 1) matrix is bereikt, hetzij in iedere dimensie de laatste gereduceerde matrix een nulmatrix is.

Na het plaatsen van een voorwerp in een van de gevonden vrije ruimten moet de matrix aan de nieuwe situatie worden aangepast, waarna voor een volgend voorwerp naar vrije ruimten kan worden gezocht. Het aanpassen van de matrix geschiedt als volgt: Bij het plaatsen van een pakket in een gevonden vrije ruimte moet in de nieuwe situatie in elk van de dimensies rekening gehouden worden met ten hoogste twee nieuwe coördinaten, die de grenzen van het geplaatste pakket aangeven. Deze coördinaten zijn xa, Var za en xb* Ybr zb! tenminste een aantal van de nieuwe coördinaten komt overeen met coördinaten die reeds in een van de afmetingtabellen waren opgenomen, omdat een nieuw voorwerp nooit los in de ruimte komt te hangen, maar altijd tegen een of meer van de wanden van de te vullen ruimte en/of tegen de zijden van aangrenzende, reeds geplaatste voorwerpen. Op basis van de beschikbare afmetingtabel van de oorspronkelijke matrix kan bepaald worden waar de coördinaten van het nieuw geplaatste voorwerp in die tabellen geplaatst dienen te worden. Doordat de nieuwe coördinaten op de desbetreffende plaats in de afmetingtabel zijn ingevoegd, neemt de matrix in elke dimensie met maximaal twee elementen toe. Het aanpassen van de matrixrepresentatie kan op deze wijze na het plaatsen van een nieuw voorwerp direct in die representatie worden uitgevoerd, zodat niet telkens de volledige representatie opnieuw behoeft te worden uitgerekend. De complexiteit van het benodigde rekenwerk neemt toe met de toename van de afmetingen van de matrix, maar dit effekt wordt door de volgende twee oorzaken ten minste ten dele teniet gedaan. In de eerste plaats worden vrije ruimten met afmetingen die kleiner zijn dan tevoren bepaalde minimale afmetingen uit de matrix en de tabellen geschrapt, bijvoorbeeld omdat bekend is dat er geen voorwerpen met kleinere afmetingen dan deze minimale afmetingen beschikbaar zijn, in de tweede plaats worden tijdens het beladen van de ruimte door het plaatsen van een voorwerp dikwijls aangrenzende lagen aan elkaar gelijk en kunnen in dat geval die twee lagen vervangen worden door een van die lagen, zodat de matrixrepresentatie en dus ook de bijbehorende afmetingtabellen worden vereenvoudigd. Op deze wijze kan het toenemen van de complexiteit van de matrix en dus de toename van het benodigde rekenwerk tengevolge van het plaatsen van nieuwe paketten ten minste ten dele worden gecompenseerd.

Claims

1. Werkwijze voor het bepalen van vrije deelvlakken op een gedeeltelijk met in hoofdzaak rechthoekige voorwerpen bedekt vlak, met het kenmerk, dat een te bedekken, in hoofdzaak rechthoekig vlak met afmetingen X en Y wordt weergegeven in de vorm van een twee dimensionale matrix (x,y), met x rijen en y kolommen, waarbij ieder element van de matrix een rechthoek op het vlak representeert en voor ieder element wordt vastgesteld of de overeenkomstige rechthoek in het vlak vrij of bezet is, waarbij in het eerstgenoemde geval het overeenkomstige element van de matrix een eerste logische waarde (A) krijgt toegekend en in het als tweede genoemde geval een tweede logische waarde (B), waarbij op het vlak een vrij deelvlak aanwezig is, indien voor het overeenkomstige element in de matrix geldt: (xi*Yi) = B en (xi-ifYi) = A en (xi,yi-i) = A en (xi+i/Yi) = A en (xi,yi+i) = A (I) ; waarbij na het bepalen van de elementen xi,yif die aan (I) voldoen een matrixreductie wordt uitgevoerd door in een tevoren bepaalde volgorde in opeenvolgende stappen het aantal rijen of het aantal kolommen van de matrix steeds met één te verminderen totdat een (1,1) matrix resteert, waarbij steeds na een reductiestap met behulp van (I) de mogelijke vrije deelvlakken worden bepaald; waarbij het verminderen van het aantal rijen geschiedt door voor ieder element (xi,yi) van iedere rij te bepalen of (χι,Υΐ) = B en (xi+i,yi) = B (ii) in welk geval in de gereduceerde matrix (x,y)' het element (xi,yi)':= B terwijl indien niet aan (II) wordt voldaan het element (xi,yi)':= A; waarbij het verminderen van het aantal kolommen geschiedt door voor ieder element (xi,yi) van iedere kolom te bepalen of (χι,Υΐ) = B en (xi,yi+i) = B (III) in welk geval in de gereduceerde matrix (x,y)' het element (xi/Yl)':= B terwijl indien niet aan (III) wordt voldaan het element (xi,yi)': = A; waarbij de afmetingen van de met (I) bepaalde vrije deelvlakken worden bepaald door voor zowel de rijen als voor de kolommen van de matrix een afmetingtabel bij te houden, en de afmetingtabel voor de rijen of voor de kolommen aan te passen bij een overeenkomstige stap tijdens de matrixreductie.

2. Werkwijze voor het bepalen van vrije ruimten in een gedeeltelijk met in hoofdzaak de vorm van een rechthoekig parallelepipedum bezittende voorwerpen gevulde ruimte, met het kenmerk, dat een te vullen, in hoofdzaak de vorm van een rechthoekig parallelepipedum bezittende ruimte met afmetingen X, Y en Z wordt weergegeven in de vorm van een driedimensionale matrix (x, y, z), met x rijen, y kolommen en z lagen, waarbij ieder element van de matrix een rechthoekig parallelepipedum in de ruimte representeert en voor ieder element wordt vastgesteld of het overeenkomstige rechthoekig parallelepipedum in de ruimte vrij of bezet is, waarbij in het eerstgenoemde geval het overeenkomstige element van de bijbehorende matrix een eerste logische waarde (A) krijgt toegekend en in het als tweede genoemde geval een tweede logische waarde (B), waarbij in de ruimte een vrije ruimte aanwezig is, indien voor het overeenkomstige element in de matrix geldt: Ul/yi,zi) = B en (xi-l^yiAZi) = A en (xi,yi-ifzi) = A en (xi+i,yirzi) = A en (xifyi+ι,ζι) = A en (xi,yi,zi_i) = A en (xi,yi,zi+i) = A (IV); waarbij na het bepalen van de elementen (xi/yi,zi)f die aan (IV) voldoen een matrixreductie wordt uitgevoerd door in een tevoren bepaalde volgorde in opeenvolgende stappen of het aantal rijen of het aantal kolommen of het aantal lagen van de matrix met één te verminderen totdat een (1,1,1) of een nulmatrix resteert, waarbij steeds na een reductiestap met behulp van (IV) de mogelijke vrije ruimten worden bepaald; waarbij het verminderen van het aantal rijen geschiedt door voor ieder element (xi, yi, zi) van de matrix te bepalen of: (XI, yi, zi) = B en (xi+l, yi, Zi) = B (V) in welk geval in de gereduceerde matrix (x, y, z)' het element (χχ, Ylr zi)':= B, terwijl indien niet aan (V) wordt voldaan het element (xi, yi, zi) ' = A; waarbij het verminderen van het aantal kolommen geschiedt door te bepalen of: (xi, yi, zi) = B en (xi, yi+i, ζχ) = B (VI) in welk geval in de gereduceerde matrix (x, y, z)' het element (χχ, yx, ζχ)':= B, terwijl indien niet aan (VI) wordt voldaan het element (χχ, yx, ζχ) ' = A; waarbij het verminderen van het aantal lagen geschiedt door te bepalen of: (xir Ylr zl) = B en (χχ, yx, ζχ+χ) = B (VII) in welk geval in de gereduceerde matrix (x, y, z)' het element (χχ, yx, ζχ)':= B, terwijl indien niet aan (VII) wordt voldaan het element (χχ, yx, ζχ) ' = A; waarbij de afmetingen van de met (IV) bepaalde vrije ruimten worden bepaald door voor zowel de rijen als voor de kolommen als voor de lagen van de matrix een afmetingtabel bij te houden, en de afmetingtabel voor de rijen, of de kolommen of de lagen aan te passen bij een overeenkomstige stap tijdens de matrixreductie.