KR20010037958A - 음파를 이용한 온도측정시 센서위치의 최적 결정방법 - Google Patents

Abstract

본 발명은 EfI방법(Effective independence method)을 이용하여 주어진 오차한계를 만족시키는 최소의 센서개수를 구하고 오차를 최소화하는데 적합한 센서의 위치를 결정함으로써 정확한 온도분포를 측정한다.

위와 같은 목적을 달성하기 위한 본 발명은, N개의 센서를 임의로 측정면의 경계선상에 배치하는 제1단계와, 상기 센서들의 위치에 대해 전달행렬을 계산하는 제2단계와, 상기 전달행렬에 대해 특이치분해를 수행하여 각각의 경로에 대한 EfI값(EfI_path)들을 구하는 제3단계와, 각각의 경로에 대한 EfI값(EfI_path)들을 합하여 상기 센서들의 EfI값(EfI_sensor)을 각각 구하는 제4단계와, EfI값(EfI_sensor)이 가장 작은 센서를 제거하는 제5단계 및, 남아있는 센서의 개수(N_sensor)가 최종 목표로 하는 센서의 개수(N_target)와 같아 질때까지 제2단계 내지 제5단계를 반복하는 제6단계를 포함한다. 이 때, 최종 목표로 하는 센서의 개수는 센서의 개수를 줄여나가면서 전달행렬의 조건수의 변화를 계산하고, 그 때 얻어진 곡선에서 조건수가 급격하게 커지는 곳을 찾음으로써 알아낸 최소의 센서개수보다 크게 설정된다.

Description

음파를 이용한 온도측정시 센서위치의 최적 결정방법{Optimal selection method of sensor positions for the acoustic pyrometry}

본 발명은 음파를 이용한 온도측정시 센서위치의 최적 결정방법에 관한 것이며, 특히, 음향 홀로그래피(Holography)나 간접적 입력측정 등에서 간혹 사용되는 EfI방법(Effective independence method)을 이용하여 주어진 오차한계를 만족시키는 최소의 센서개수를 구하고 오차를 최소화하는데 적합한 센서위치를 결정하는 음파를 이용한 온도측정시 센서위치의 최적 결정방법에 관한 것이다.

음파를 이용한 온도 측정법(Acoustic Pyrometry)은 2차원 단면의 온도분포를 실시간으로 측정할 수 있는 유용한 방법이다. 이런 측정법은 보일러와 같은 고온의 장소나 화학반응기와 같은 유해환경에서의 온도의 공간적 분포와 이의 시간적 변화를 계측하는데 유용하게 쓰일 수 있다. 예를 들어, 발전소 등에 쓰이는 보일러의 온도분포는 보일러의 이상 작동유무 등의 판단과 정상적인 운행을 하도록 제어하는데 필요한 정보이다.

즉, 음파를 이용한 온도 측정법을 이용하여 보일러의 온도분포를 측정할 경우에는, 보일러 벽면에 부착된 다수의 음향방출기(센서 겸용)에서 방출된 소리를 다른 센서에서 측정되게 되는데, 이들의 조합에 따른 소리의 전파시간을 측정하여 적절한 수학적 계산과정을 거치면, 한 점의 온도가 아닌 내부의 2차원 온도분포를 측정할 수 있게 된다. 이 때, 측정된 온도분포의 오차는 센서들의 위치와 사용한 센서의 개수에 따라 큰 영향을 받게 된다.

아래에서는, 위와 같은 음파를 이용한 온도 측정법의 기본원리에 대해 상세히 설명하겠다.

음파를 이용한 온도 측정법은 소리의 전파속도가 온도의 함수라는 것을 이용하여 공간내의 온도를 측정하는 방법이다. 즉, 정상상태이고, 등엔트로피 과정이며, 이상기체라는 등의 가정을 하면, 연속 방정식, 운동량방정식, 상태방정식으로부터 소리의 속도와 온도사이에 수학식 1의 관계가 있음은 잘 알려진 사실이다.

여기에서, C = 음속, T = 매질의 온도[K],= 비열비, R₀= 기체상수, M = 분자량을 의미한다. 따라서, 수학식 1의 음속의 표현식을 이용하면, 음장내에서 전파하는 소리 펄스의 진행시간(t)과 진행거리(dl)의 사이에는 수학식 2와 같은 관계가 있다.

도 1은 센서의 위치와 음향전파 경로와의 관계를 도시한 그래프로서, 도 1과 같은 직사각형 모양의 단면에서 두 점 A(x₀,y₀), B(x₁,y₁) 위에 센서가 있다고 생각하면, A위치의 센서에서 나온 음파가 B위치의 센서에 도달할 때까지의 시간을 생각할 수 있다. 이 때의 음파의 실제 진행경로는 온도구배에 의해 굴절되기 때문에 두 점 A, B를 잇는 직선에서 약간 휘어지게 되지만 직선으로 가정한다. 따라서, 두 점 A-B경로상의 임의의 한 점은 수학식 3과 같이 나타낼 수 있다.

여기에서, L은 A, B 두 점 사이의 거리이고, l은 경로상의 임의의 한 점과 A 사이의 거리이다. 그리고, 수학식 3에서 x좌표계 및 y좌표계를 길이 X 및 Y로 각각 나누어 무차원화 좌표계인 u, v로 만들어 주면 수학식 4와 같다.

그리고, 온도가 위치(x,y), 즉 (u,v)의 함수이므로, 음속 또한 위치의 함수가 된다.

그러므로, 수학식 2에서 (x,y)를 (u,v)로 나타내고, 양변에 대해 ds(또는 dl)를 따라 적분해 주면 소리의 진행시간은 수학식 5와 같이 표현된다.

여기에서,이다. 이 때, F(u,v)를 푸리에 급수로 나타내면 수학식 6과 같이 나타낼 수 있다.

여기에서, G 및 H는 허용함수(admissible function)로서, 사각형 단면의 경우에는 G = cos(mu), H = cos(nv)를 쓸 수 있다. 그리고, 수학식 6을 수학식 5에 대입하면, 수학식 7과 같이 표현된다.

여기에서,이고, m과 n은 더미 인덱스(dummy index)이다.

그리고, N개의 센서에 대해 p개의 경로를 통과한 각각의 시간 t를 실험적으로 구하면 p개의 연립방정식(p개의 수학식7)을 얻을 수 있고, 이것을 행렬로 나타내면 수학식 8과 같이 나타낼 수 있다.

여기에서, {A} = {A₀,A₁,A₁₀,A₂,A₁₁,A₂₀,....}이고, q는 푸리에 계수(A_mn)가 충분히 수렴할 때까지 잡아주었을 때의 계수항의 개수로서 p보다는 같거나 작아야 한다.

그리고, 측정된 시간으로부터 수학식 9와 같이 푸리에 계수 벡터(coefficient vector) {A}를 얻을 수 있다.

예를 들어, 사각평면상에서의 온도측정의 경우에는 f_mn이 수학식 10과 같이 표현된다.

따라서, 수학식 6에서 온도분포 T(u,v)를 수학식 11과 같이 나타낼 수 있다.

위와 같은 방법으로 2차원 온도분포를 측정할 수 있다. 이 때, 측정되는 온도분포의 오차는 센서의 위치와 센서의 개수에 결정적으로 큰 영향을 받는다. 즉, 센서의 위치에 따라 측정되는 온도가 상이하고, 센서의 개수에 따라 측정된 온도의 정확도가 달라지게 된다. 극단적인 경우에는, 측정되는 온도분포를 찾지 못하거나 혹은 전혀 엉뚱한 분포를 나타낼 수가 있다. 따라서, 몇 개의 센서를 사용할 것인가 하는 문제와 센서들을 어떻게 배치할 것인가에 대한 문제가 제기된다. 그러나, 종래의 연구들이나 특허에서는 이 문제에 관한 해결방안이 제시되지 못했다.

따라서, 본 발명은 앞서 설명한 바와 같은 종래 기술의 문제점을 해결하기 위하여 안출된 것으로서, 음향 홀로그래피(Holography)나 간접적 입력측정 등에서 간혹 사용되는 EfI방법(Effective independence method)을 이용하여 주어진 오차한계를 만족시키는 최소의 센서개수를 구하고 오차를 최소화하는데 적합한 센서의 위치를 결정함으로써 정확한 온도분포를 측정하는 음파를 이용한 온도측정시 센서위치의 최적 결정방법을 제공하는 데 그 목적이 있다.

도 1은 센서의 위치와 음향전파 경로와의 관계를 도시한 그래프이고,

도 2는 EfI방법(Effective independence method)을 통해 센서개수를 줄이는 개념을 도시한 개념도이고,

도 3은 본 발명에 따른 최적의 센서위치를 선택하는 방법을 도시한 흐름도이고,

도 4a 및 도 4b는 본 발명의 모의실험을 위해 가정한 온도분포 T1, T2를 각각 도시한 온도분포도이고,

도 5는 본 발명의 모의실험을 위해 임의의 위치에 센서를 배열한 상태를 도시한 도면이고,

도 6은 본 발명의 방법으로 결정된 위치에 센서를 배열한 상태를 도시한 도면이고,

도 7a 내지 도 7e는 온도분포 T1에 대한 측정결과를 각각 도시한 온도분포도이며,

도 8a 내지 도 8e는 온도분포 T2에 대한 측정결과를 각각 도시한 온도분포도.

위와 같은 목적을 달성하기 위한 본 발명에 따르면, 음파를 이용한 온도측정시 센서위치의 최적 결정방법에 있어서, N개의 센서를 임의로 측정면의 경계선상에 배치하는 제1단계와, 상기 센서들의 위치에 대해 전달행렬을 계산하는 제2단계와, 상기 전달행렬에 대해 특이치분해(SVD ; singular value decomposition)를 수행하여 각각의 경로에 대한 EfI값(Effective independence value ; EfI_path)들을 구하는 제3단계와, 각각의 경로에 대한 EfI값(EfI_path)들을 합하여 상기 센서들의 EfI값(EfI_sensor)을 각각 구하는 제4단계와, EfI값(EfI_sensor)이 가장 작은 센서를 제거하는 제5단계 및, 남아있는 센서의 개수(N_sensor)가 최종 목표로 하는 센서의 개수(N_target)와 같아 질때까지 제2단계 내지 제5단계를 반복하는 제6단계를 포함한다.

또한, 본 발명에 따르면, 최종 목표로 하는 센서의 개수(N_target)는 센서의 개수를 줄여나가면서 전달행렬의 조건수(Condition number)의 변화를 계산하고, 그 때 얻어진 곡선에서 조건수가 급격하게 커지는 곳(또는 가장 최소점)을 찾음으로써 알아낸 최소의 센서개수보다 크게 설정된다.

그리고, 본 발명은 오차범위 내에서 필요로 하는 최소 센서의 개수를 파악할 수 있고, 주어진 센서의 개수에 대해 오차를 최소화하는 센서의 위치를 선택할 수 있도록 한 것이다. 즉, 본 발명은 센서들의 위치에 따른 상호 기하관계와 전파특성을 대변하는 전달행렬로부터 EfI값을 계산하여 최적의 센서위치를 선택하고, 전달행렬의 오차를 반영하는 조건수(Condition number)의 변화를 관찰함으로써 필요로 하는 최소의 센서개수를 결정하는 것이다.

아래에서, 본 발명에 따른 음파를 이용한 온도측정시 센서위치의 최적 결정방법의 양호한 실시예를 첨부한 도면을 참조로 하여 상세히 설명하겠다.

도면에서, 도 2는 EfI방법(Effective independence method)을 통해 센서의 개수를 줄이는 개념을 도시한 개념도이다.

도 2에 보이듯이, 초기에는 실제 사용하고자 하는 개수보다 많은 여러개의 가상적 센서들을 벽면에 배치하고, 센서들의 위치로부터 전달행렬을 계산하여 각 센서들의 EfI값을 계산한다. 그리고, 구해진 과결정(overdetermined) 전달행렬 [f]_{p x q}에 대해 EfI값을 계산하게 되는데, 그 방법을 설명하면 다음과 같다.

먼저, 수학식 12처럼 특이치분해(SVD ; singular value decomposition)를 통해 특이값들과 상호 직교특성을 갖는 특이벡터(Λ), U, V들을 구한다.

그리고, 라이트 싱귤러 벡터(Right singular vector ; U)로부터 각 경로의 EfI값은 수학식 14처럼 정의된다.

위에서 EfI값이 가장 적은 센서는 2차원 온도장을 재구성하는데 있어서 가장 적은 정보를 주고 있다는 의미이므로, 이렇게 가장 적은 정보를 주는 센서는 전체 시스템에 대해 잉여치(없어도 되는 센서임)라고 볼 수 있다. 즉, 이 센서는 다른 센서에서 주고 있는 정보와 거의 유사한 정보를 제공하고 있다고 물리적인 해석을 할 수 있다.

그러므로, 이런 센서를 제거함으로써 센서의 위치를 선택하게 된다. 즉, EfI값의 물리적인 의미는 온도장을 재구성하는데 각각의 경로들이 얼마만큼의 정보를 주고 있느냐의 정도로 파악한다는 것이다. 그리고, 각 경로의 EfI값(EfI_path)들로부터 관련된 센서의 총 EfI값(EfI_sensor)은 수학식 15처럼 정의된다.

그러면, 수학식 15와 같이 정의된 각 센서의 EfI값(EfI_sensor)들로부터 온도장을 측정하는데 기여하지 못하는 센서들을 찾아 낼 수 있다.

아래에서는, 최적의 센서위치를 선택하는 방법에 대해 도 3을 참조하여 상세히 설명하겠다.

도면에서, 도 3은 본 발명에 따른 최적의 센서위치를 선택하는 방법을 도시한 흐름도이다.

도 3에 보이듯이, 미리 많은 수의 센서 N개를 임의로 측정면의 경계선상에 배치하고(S1), 모든 센서의 위치에 대해 전달행렬을 계산한다(S2). 그리고, 전달행렬에 대해 SVD를 수행하여 각각의 경로에 대한 EfI값(EfI_path)들을 구한 후(S3), 각각의 경로에 대한 EfI값(EfI_path)들을 합하여 센서들의 EfI값(EfI_sensor)을 각각 구하여 각각의 센서가 온도장을 구성하는데 기여하는 정도를 계산해 낸다(S4).

그런 다음, EfI값(EfI_sensor)이 가장 작은 센서를 제거하고(S5), 남아있는 센서의 개수(N_sensor)가 최종 목표로 하는 센서의 개수(N_target)와 같아 질때까지 S2 내지 S5를 반복한다. 그러다가, 원하는 센서의 개수 만큼 남으면, 이 위치에 센서들을 위치시키고, 위에서 설명한 기초이론처럼 계수벡터(coefficient vector) 및 온도장을 계산한다(S6, S7).

도 3에 도시된 최적의 센서위치를 선택하는 방법은 위와 같은 일련의 과정을 따라 실행될 수 있도록 프로그램으로 기록되어 있어 컴퓨터로 읽을 수 있다.

그리고, 최종 목표로 하는 센서의 개수(N_target)는 최소의 센서개수보다 큰 값으로서, 최소의 센서개수는, S1 이후에 센서의 개수를 줄여나가면서 전달행렬의 조건수의 변화를 계산하고, 그 때 얻어진 곡선에서 조건수가 급격하게 커지는 곳(또는 가장 최소점), 즉 온도장의 오차도 급격하게 커지는 곳을 찾음으로써 알아낸다. 즉, 전달행렬의 조건수의 변화가 센서개수의 오차의 변화와 상관관계가 있으므로, 이로부터 필요한 최소의 센서개수를 알아낼 수 있는 것이다. 그러므로, 최종 목표로 하는 센서의 개수(N_target)는 이와 같은 최소의 센서개수를 구하는 방법으로 구할 수 있다.

아래에서는, 앞서 설명한 바와 같이, 본 발명에서 주장하는 방법의 효과를 검증하는 실험결과에 대해 설명하겠다.

도면에서, 도 4a 및 도 4b는 본 발명의 모의실험을 위해 가정한 온도분포T1, T2를 각각 도시한 온도분포도이다.

도 4a 및 도 4b에 보이듯이, 본 발명에서 주장하는 방법의 효과를 검증하기 위해 온도분포 T1과 T2를 가정한 후, 모의실험(Simulation)을 수행하였다. 그리고, 가정된 온도분포에서 임의의 두 센서 사이를 소리가 전파하는데 걸리는 시간을 수치적분을 통해 계산하였다. 이런 두 점 사이를 전달하는데 걸리는 시간은 수학식 16과 같은 직사각형 공식(rectangular formula)을 이용해 수치적분할 수 있는데, 정확도에 영향을 크게 주지 않는 한 어떠한 수치적분법도 사용이 가능하다.

한편, 소리의 전파경로상에 온도의 변화가 있을 때에는 온도가 높은 부분에서 낮은 부분으로 소리의 굴절이 생기게 된다. 이런 굴절에 의한 음향전파 경로의 휘어짐은 스넬(Snell)의 법칙 및 에이코넬(Eikonal) 방정식으로부터 수학식 17과 같이 표현된다.

여기에서, φ(x,y)는 각 점에서의 음향전파의 경로가 진행하는 각도를 나타낸다.

그리고, 이 모의실험에서는 수학식 16과 수학식 17을 이용해, 가정된 온도장 내에서 두 점 사이를 전파하는 시간에 대해 굴절을 고려하여 계산하였다.

또한, 본 발명에서 주장하는 방법에 근거해 선택한 센서의 위치와, 이와는 전혀 다른 4가지 방법으로 센서를 배열하여 온도장을 재구성한 결과들을 서로 비교하였다(도 5, 도 6 참조). 그리고, 수열(series)의 전개시에는 계수의 개수(q)를 11개로 하였고, 사용하는 센서의 개수는 8개로 정하였다. 도 5 및 도 6에 도시된 서로 다른 센서의 배열은 다음과 같은 기준을 따랐다.

위치 1 : 4개의 면에 동일한 수의 센서가 3:4:3의 간격으로 배치됨.

위치 2 : 4개의 면에 동일한 수의 센서가 등간격으로 배치됨.

위치 3 : 단면 전체 둘레 길이를 등간격으로 나누도록 센서가 배치됨.

위치 4 : 불규칙하게 센서가 배치됨.

위치 EfI : 본 발명에서 제안된 방법으로 센서가 배열됨.

도면에서, 도 5는 본 발명의 모의실험을 위해 임의의 위치에 센서를 배열한 상태를 도시한 도면이고, 도 6은 본 발명의 방법으로 결정된 위치에 센서를 배열한 상태를 도시한 도면이다. 그리고, 도 7a 내지 도 7e는 온도분포 T1에 대한 측정결과를 각각 도시한 온도분포도이고, 도 8a 내지 도 8e는 온도분포 T2에 대한 측정결과를 각각 도시한 온도분포도이다. 그리고, 표 1은 센서의 위치에 따른 RMS Error(Root Mean Square Error)를 나타낸 표이고, 표 2는 센서의 위치에 따라 측정된 평균온도, 최소온도 및 최대온도를 나타낸 표이며, 표 3은 계수의 개수(q)에 따른 온도분포를 측정하기 위해 필요한 최소의 센서개수를 나타낸 표이다.

도 7a 내지 도 7e, 도 8a 내지 도 8e, 표 1 및 표 2에 보이듯이, 본 발명으로 선택한 센서의 배열로 측정한 결과가 가장 작은 오차를 보이고 있으며(도 7e, 도 8e 참조), 센서의 배열이 잘못되었을 경우, 최악의 경우에는 온도분포를 전혀 엉뚱하게 예측하고 있다는 것을 알 수 있다(도 7c, 도 7d, 도 8c, 도 8d 참조).

그리고, 표 3에 나타난 바와 같이, 계수의 개수(q)에 따라 필요로 하는 센서의 개수가 달라지듯이, 계수의 개수(q)가 결정될 경우 필요로 하는 최소의 센서개수도 모의실험을 통해 알 수 있다.

앞서 상세히 설명한 바와 같이 본 발명의 음파를 이용한 온도측정시 센서위치의 최적 결정방법은 오차범위 내에서 필요로 하는 최소의 센서개수를 파악할 수 있고, 주어진 센서의 개수에 대해 오차를 최소화하는 센서의 위치를 선택할 수 있다. 그러므로, 본 발명을 이용할 경우에는 동일한 수의 센서를 사용하여 훨씬 더 정확한 온도분포를 측정할 수 있다.

이상에서 본 발명의 음파를 이용한 온도측정시 센서위치의 최적 결정방법에 대한 기술사상을 첨부도면과 함께 서술하였지만 이는 본 발명의 가장 양호한 실시예를 예시적으로 설명한 것이지 본 발명을 한정하는 것은 아니다.

또한, 이 기술분야의 통상의 지식을 가진 자이면 누구나 본 발명의 기술사상의 범주를 이탈하지 않는 범위내에서 다양한 변형 및 모방이 가능함은 명백한 사실이다.

Claims (3)

1. 음파를 이용한 온도측정시 센서위치의 최적 결정방법에 있어서,

   N개의 센서를 임의로 측정면의 경계선상에 배치하는 제1단계와, 상기 센서들의 위치에 대해 전달행렬을 계산하는 제2단계와, 상기 전달행렬에 대해 특이치분해(SVD ; singular value decomposition)를 수행하여 각각의 경로에 대한 EfI값(Effective independence value ; EfI_path)들을 구하는 제3단계와, 각각의 경로에 대한 EfI값(EfI_path)들을 합하여 상기 센서들의 EfI값(EfI_sensor)을 각각 구하는 제4단계와, EfI값(EfI_sensor)이 가장 작은 센서를 제거하는 제5단계 및, 남아있는 센서의 개수(N_sensor)가 최종 목표로 하는 센서의 개수(N_target)와 같아 질때까지 제2단계 내지 제5단계를 반복하는 제6단계를 포함하는 것을 특징으로 하는 음파를 이용한 온도측정시 센서위치의 최적 결정방법.
2. 제1항에 있어서, 최종 목표로 하는 센서의 개수(N_target)는 센서의 개수를 줄여나가면서 전달행렬의 조건수(Condition number)의 변화를 계산하고, 그 때 얻어진 곡선에서 조건수가 급격하게 커지는 곳(또는 가장 최소점)을 찾음으로써 알아낸 최소의 센서개수보다 크게 설정되는 것을 특징으로 하는 음파를 이용한 온도측정시 센서위치의 최적 결정방법.
3. 컴퓨터에, N개의 센서를 임의로 측정면의 경계선상에 배치하는 제1단계와, 상기 센서들의 위치에 대해 전달행렬을 계산하는 제2단계와, 상기 전달행렬에 대해 특이치분해(SVD ; singular value decomposition)를 수행하여 각각의 경로에 대한 EfI값(Effective independence value ; EfI_path)들을 구하는 제3단계와, 각각의 경로에 대한 EfI값(EfI_path)들을 합하여 상기 센서들의 EfI값(EfI_sensor)을 각각 구하는 제4단계와, EfI값(EfI_sensor)이 가장 작은 센서를 제거하는 제5단계 및, 남아있는 센서의 개수(N_sensor)가 최종 목표로 하는 센서의 개수(N_target)와 같아 질때까지 제2단계 내지 제5단계를 반복하는 제6단계를 실행시키기 위한 프로그램을 기록한 컴퓨터로 읽을 수 있는 기록매체.