KR101988956B1

KR101988956B1 - 외부환경 변동을 고려한 적응적 다변량 통계적 공정 모니터링 기반 구조물 건전성 평가 방법

Info

Publication number: KR101988956B1
Application number: KR1020160165342A
Authority: KR
Inventors: 정형조; 진승섭
Original assignee: 한국과학기술원
Priority date: 2016-12-06
Filing date: 2016-12-06
Publication date: 2019-06-12
Also published as: KR20180064905A

Abstract

본 발명의 외부환경 변동을 고려한 적응적 다변량 통계적 공정 모니터링을 이용한 구조물 건전성 평가 방법에 관한 것으로서, 외부 환경 변동에 따른 구조물이 건전한 상태의 변화를 갱신시켜 나가도록 기존 계측 데이터로부터 새로 얻어지는 계측 데이터를 따라 이동하는 이동 창을 이용해 통계적 모델을 구축해나가되, 상기 구조물의 손상에 민감한 특징들 간의 비선형적인 관계가 발견되면 상기 구조물의 손상에 민감한 특성들이 비선형적으로 나타나는 구간을 국부적으로 분할하여 선형화시킬 수 있게 상기 이동 창의 사이즈를 가변시키는 가변 이동 창 주성분분석(VMWPCA; Variable Moving Window Principal Component Analysis)을 적용함으로써, 구조물의 구조물이 건전한 상태의 변화율을 반영할 수 있도록 함과 아울러 구조물이 건전한 상태의 변화율을 반영된 자료의 비선형 종속성을 처리할 수 있도록 하는 효과를 갖는다.

Description

외부환경 변동을 고려한 적응적 다변량 통계적 공정 모니터링 기반 구조물 건전성 평가 방법{Structural Health Monitoring Method Using Adaptive Multivariate Statistical Process Monitoring Under Environmental Variability}

본 발명은 구조물 건전성 평가 방법에 관한 것으로서, 좀더 상세하게는 외부환경의 변동을 고려한 적응적 다변량 통계적 공정 모니터링을 이용한 실시간 구조물 건전성 평가 방법에 관한 것이다.

주지된 바와 같이, 구조물 건전성 평가(SHM; Structural Health Monitoring)는 구조 시스템에 대한 손상을 모니터링하고 정량화시키는 것이다.

상기한 구조물 건전성 평가는 주로 기계 분야에서 계측 시스템을 통해 계측된 데이터를 통해 부품에 문제가 있는지를 확인하기 위해 사용하는 평가 개념을 토목이나 건축 분야의 구조물의 건전성을 평가해 구조물에 대한 지속적인 유지 보수를 수행할 수 있게 하기 위한 것이다.

구조물 건전성 평가(SHM) 과정은 계측 시스템(Sensor System)을 통해 주기적으로 주요 응답을 측정하고, 이들 응답으로부터 구조물의 손상에 민감한 특징을 추출하여 구조 시스템의 구조물이 건전한 상태(Healthy Condition)에 대한 실시간 평가를 수행하는 것을 포함한다.

계측 시스템은 진동 반응, 임피던스 또는 전기적 저항 변화와 같은 응답들을 주기적(또는 연속적으로)으로 계측한다. 그러나, 구조물의 손상에 민감한 특징들은 직접적으로 측정되지 않기 때문에 이들 특징들은 특징 추출 기법(Feature Extraction Techniques)을 이용해 측정된 응답들로부터 추출된다.

또한, 대부분 구조물은 외부에 노출되어 있고 시간에 따라 노출되는 주변 환경이 변하기 때문에 시간 경과에 따른 구조물에 대한 손상 및 열화 메커니즘 자체를 완벽하게 파악하는 것이 어렵고 불분명하다.

따라서, 전술한 외부 환경 변동을 반영하기 위한 데이터 정규화 방법(Data-Normalization Method)이 지속적으로 연구되어 오고 있다. 이러한 대표적인 정규화 방법은 크게 입/출력 관계를 규명하는 회귀분석(Regression Analysis)과 출력만 사용하는 다변량 통계적 분석(Multivariate Statistical Analysis) 으로 분류할 수 있다. 일반적으로 적용이 용이한 다변량 통계적 분석(Multivariate Statistical Analysis)에 더 주목하고 있다.

다변량 통계적 분석(Multivariate Statistical Analysis)은 주성분분석(PCA; Principal Component Analysis)와 요인 분석(FA: Factor Analysis)이 주로 사용되고, 이 방법들의 주요 이점은 단지 구조물의 손상에 민감한 특징들의 패턴을 분석하기 때문에 입력에 대한 데이터가 필요치 않다.

다변량 통계적 분석(Multivariate Statistical Analysis)은 구조물의 손상에 민감한 특징들의 변동성은 다양한 특성들에 기인하는 환경적 요소와 이와 상관성이 없는 다른 요소들의 선형 결합에 의해 기인하는 것으로 가정하고, 이러한 가정을 토대로 손상이 발생하면 선형 결합 패턴으로 설명할 수 없기 때문에 이는 구조물이 건전한 상태로부터 크게 벗어나는 값을 제공한다.

따라서, 구조물이 건전한 상태의 특징들로 이상 상태를 파악할 수 있는 통계적 모형을 구축하고, 구축된 통계적 모형의 패턴에 벗어나는 특징을 이상 상태가 발생한 것으로 인지하는 것이다.

따라서, 외부 환경적 변동성을 보다 효과적으로 반영하기 위해서는 주성분분석(PCA)를 기초로 하는 다변량 통계적 공정 모니터링(MSPM; Multivariate Statistical Process Monitoring)이 폭 넓게 사용되고 있다[3, 4, 7].

Yan, Kerschen, De Boe and Golinval [4]은 시뮬레이션된 고유진동수를 이용해 구조적 손상을 확인하기 위하여 선형 주성분분석(Linear PCA)에 기초한 제곱 예측 오차(Squared Prediction Error)를 사용하였다.

Mujica, Rodellar, Fernandez and Guemes [7]는 압전트랜스듀서 (Piezoelectric Transducers; PZT)에 의해 얻은 파형 신호를 사용하고, 이 신호를 결함 진단을 위해 선형 주성분분석(PCA)에 기초한 거리 지수로써, Q-statistic와 T2-statistic를 적용하였다.

Wursten 와 De Roeck는 실제 교량 구조물을 대상으로 장기 계측된 고유진동수를 활용하여 인위적인 손상을 포착하는데 활용하였다[3]. 해당 장기데이터의 고유진동수의 상관관계 비선형성을 갖기 때문에, 선형 주성분분석(Linear PCA)로는 이와 같은 상관관계의 비선형성을 처리할 수 없다.

따라서, 선형 주성분분석(Linear PCA)의 한계를 해결하고, 성공적으로 손상을 확인하기 위해 커널 주성분분석(Kernel PCA)과 국부 선형 주성분분석(Local Linear PCA)을 사용하였다[8]. 여기서, 국부적 선형 주성분분석(Local Linear PCA)은 비선형적 상관관계를 선형 관계를 가지는 몇 개의 부분 그룹으로 분할하는 방식이다.

Yan, Kerschen, De Boe 및 Golinval [8]는 비선형 상관관계를 계산하기 위해 국부 선형 주성분분석(Local Linear PCA)을 장기적 모니터링에 처음으로 적용하였다.

손상진단을 위한 통계적 모델을 개발하기 위해서는, 계측 데이터들로부터 교사 자료를 잘 구축하고 활용하는 것이 중요하다. 따라서, 기저 모델(Baseline Model)과 같은 통계적 모델의 개발은 구조물 건전성 평가(SHM)에 기초한 MSPM를 위해 가장 중요한 과제이다.

이론적으로 교사 자료를 통해 구축된 통계 모델은 구조물이 건전한 상태(Healthy Condition)의 주요 변동을 잘 표현할 수 있어야 한다. 다시 말하면, 교사 자료는 특징들과 환경적 조건들(온도에 따른 변동의 선형 또는 비선형 관계들) 사이의 변동 관계[3, 9]와 특징들 간의 상관성 변화 관계[10]를 포함하고 있어야 한다.

만약 구현된 통계 모델이 구조물이 건전한 상태를 표현하는 성능이 부족할 경우, 구조물이 건전한 상태에서의 외부변동을 손상으로 평가할 수 있는 오보가 많이 발생할 수 있다. 이로 인하여 구현된 통계적 모델의 신뢰성은 매우 결여될 수 있다. [11, 12]. 이러한 외부 환경 요인과의 관계는 완벽하게 이해할 수 없다. 이러한 영향성은 장기적인 계측을 통해 파악할 수 있다. 하지만 외부 환경의 변화는 시간에 따라 변화하는 특성을 가지기 때문에 구조물이 건전한 상태에 대한 정보는 부분적으로 파악된다. 또한, 모니터링 초기에는 충분한 교사 자료를 확보하는 것이 어렵다.

선형 주성분분석(Linear PCA)는 특징들의 선형관계라는 가정을 조건으로 만들어진 기법이기 때문에, 비선형성을 가지는 조건에서는 잘못된 해석 결과를 제공하게 된다.

이처럼, 종래 선형 주성분분석(Linear PCA)을 이용한 구조물 건전성 평가 방법들은 구조물이 건전한 상태의 시간 변화 및 특징들 간의 비선형적 상관관계를 처리할 수 없다는 문제점을 갖고 있다.

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상기한 문제점을 해결하기 위한 본 발명의 목적은, 구조물의 구조물이 건전한 상태의 변화율을 반영할 수 있도록 함과 아울러 사용되는 계측된 구조물의 손상에 민감한 특징들 간의 비선형적인 관계를 효과적으로 처리할 수 있는 외부환경 변동을 고려한 적응적 다변량 통계적 공정 모니터링 기반 구조물 건전성 평가 방법을 제공하는 것이다.

상기의 목적을 달성하기 위한 본 발명의 외부 환경 변동을 고려한 적응적 다변량 통계적 공정 모니터링을 이용한 구조물 건전성 평가 방법은, 구조물에 계측 시스템을 설치하는 단계; 상기 계측 시스템으로부터 계측된 데이터들로부터 구조물의 손상에 민감한 특징들을 추출하는 단계; 추출된 상기 구조물의 손상에 민감한 특징들을 이용해 구조물이 건전한 상태에 대한 통계적 모델을 구축하는 단계; 및 상기 통계적 모델을 기초로 하여 새롭게 계측된 특징들을 평가하여 구조물의 손상 발생 여부를 판단하는 구조물 이상 상태 진단 단계;를 포함하고, 상기 통계적 모델 구축 단계는 외부 환경 변동에 따른 구조물이 건전한 상태의 변화를 갱신시켜 나가도록 기존 계측 데이터로부터 새로 얻어지는 계측 데이터를 따라 이동하는 이동 창을 이용해 통계적 모델을 구축해나가되, 특징 벡터들 간의 비선형적인 관계가 발견되면 상기 구조물의 손상에 민감한 특성들이 비선형적으로 나타나는 구간을 국부적으로 분할하여 선형화시킬 수 있게 상기 이동 창의 사이즈를 가변시키는 가변 이동 창 주성분분석(VMWPCA; Variable Moving Window Principal Component Analysis)을 적용해 수행하는 것을 특징으로 한다.

여기서, 상기 이동 창의 사이즈는 상기 구조물이 건전한 상태의 변화가 클수록 작아지고, 상기 구조물이 건전한 상태의 변화가 느려질 수록 커지도록 하는 것이 바람직하다.

또한, 상기 이동 창의 최적 사이즈는 베이시안 정보 기준(Bayesian Information Criterion; BIC)를 가지는 Linde-Buzo-Gray 알고리즘(KMC-LBG) 이용한 k평균 군집화(k-means Clustering)를 통해 결정하는 것이 바람직하다

또한, 상기 k평균 군집화(k-means Clustering)를 위한 최적 군집의 수는 아래 수학식을 통해 계산될 수 있다.

여기서,

는 전체 군집 수이고,

는

번째 군집 내의 샘플 수고,

은 전체 샘플 수며,

는

번째 군집의 분산(variance)이다.

또한, 상기 군집의 분산은 아래 수학식을 통해 산출될 수 있다.

여기서,

는

번째 군집의 중심 평균이고, Linde-Buzo-Gray 알고리즘(KMC-LBG) 사전에 사용자 정의된 범위 내에 적용된다.

또한, 상기 최적 군집 수는 베이시안 정보 기준(Bayesian Information Criterion; BIC)를 사전 정의된 군집 수 범위로 수행하고, 각 군집 수 별로 베이시안 정보를 계산하고, 군집 수 크기 별로 나열하여 첫 번째 국부 최대값을 가지는 군집 수에 따라 선택되는 것이 바람직하다.

상기한 본 발명의 외부환경 변동을 고려한 적응적 다변량 통계적 공정 모니터링 기반 구조물 건전성 평가 방법에 따르면, 외부 환경 변동에 따른 구조물이 건전한 상태의 변화를 갱신시켜 나가도록 기존 데이터에서 새로 얻어진 데이터를 따라 이동하는 이동 창을 통해 통계적 모델을 구축해나가되, 외부환경에 따른 특징들의 비선형성을 국부적을 선형화시킬 수 있게 상기 이동 창의 사이즈를 가변시키는 가변 이동 창 주성분분석(VMWPCA; Variable Moving Window Principal Component Analysis)을 적용함으로써, 이러한 변화를 반영할 수 있도록 함과 아울러 특징들간의 비선형 상관관계를 처리할 수 있도록 하는 효과를 갖는다.

도 1은 본 발명의 일실시예에 따른 구조물 건전성 평가 과정을 개략적으로 도시한 흐름도이다.
도 2은 가변 이동 창 주성분분석(VMWPCA)의 개념적인 설명을 도시한 개략도이다.
도 3는 건전성 진단을 위한 블록 선형화에 기초한 가변 이동 창 주성분분석(VMWPCA) 과정을 나타낸 도표이다.
도 4는 주성분분석(Principal Component Analysis)의 기본 원리를 설명하는 그래프이다.
도 5는 주성분분석(PCA) 이용한 건전성 진단 과정을 나타내는 개략도이다.
도 6은 이동 창 선형 주성분분석(MWPCA)의 개념적인 설명을 도시한 개략도이다.
도 7은 고정된 이동 창 선형 주성분분석과 가변 이동 창 선형 주성분분석을 비교하여 도시한 개략도이다.
도 8는 적응적 공정 모니터링을 위한 블록 선형화 과정을 도시한 그래프이다.
도 9는 BIC를 가지는 Linde-Buzo-Gray 알고리즘(KMC-LBG)을 이용한 k-평균 군집화 과정을 예시한 그래프이다.
도 10은 BIC와 KMC-LBG을 이용한 가변 이동 창 주성분분석(VMWPCA) 과정을 나타내는 도표이다.
도 11은 Z24 교량에 대한 측면도와 정단면도이다.
도 12는 Z24 교량의 장기 모니터링(약 1년)한 고유진동수를 나타낸 그래프이다.
도 13은 Z24 교량의 점진적으로 손상 테스트를 수행한 과정을 나타내는 도표이다.
도 14는 초기 교사 자료의 영향을 분석하기 위해 사용된 초기 교사 자료들을 나타낸 도표이다.
도 15는 고유진동수와 온도 사이의 이중 선형 종속성을 도시한 그래프이다.
도 16은 고유진동수들 사이의 상관관계를 도시한 그래프이다.
도 17은 초기 교사 자료 구성에 따른 영향을 분석하고자 사용한 다른 교사 자료들을 가시화한 그래프이다.
도 18은 본 발명의 가변 이동 창 주성분분석(VMWPCA)를 이용한 Z24교량의 출력 전용 구조물 건전성 평과 결과를 나타낸 그래프이다.

이하, 첨부한 도면을 참조하여 본 발명의 실시예에 대하여 본 발명이 속하는 기술 분야에서 통상의 지식을 가진 자가 용이하게 실시할 수 있도록 상세히 설명한다. 그러나 본 발명은 여러 가지 상이한 형태로 구현될 수 있으며 여기에서 설명하는 실시예에 한정되지 않는다. 도면에서 본 발명을 명확하게 설명하기 위해서 설명과 관계없는 부분은 생략하였으며, 명세서 전체를 통하여 동일 또는 유사한 구성요소에 대해서는 동일한 참조부호를 붙였다.

도 1은 본 발명의 일실시예에 따른 구조물 건전성 평가 과정을 개략적으로 도시한 흐름도이다.

도 1을 참조하여 설명하면, 본 발명의 일실시예에 따른 외부환경 변동을 고려한 적응적 다변량 통계적 공정 모니터링을 이용한 구조물 건전성 평가 방법(이하, "구조물 건전성 평가 방법"이라 함)은 크게 계측 시스템을 통한 계측 단계(ST10), 구조물의 손상에 민감한 특징 추출 단계(ST20), 통계적 모델 구축 단계(ST30) 및 구조물 이상 상태 진단 단계(ST40)로 이루어질 수 있다.

먼저, 계측 시스템을 통한 계측 단계(ST10)에서는, 건전성을 평가하고자 하는 구조물에 구조물의 손상에 민감한 특징을 추출할 수 있는, 예를 들어 진동 반응, 전기기계적 임피던스 또는 전기적 저항 변화와 같은 주요 응답들을 주기적(또는 연속적으로)으로 측정할 수 있는 구조물 내에 각각의 센서들을 설치하도록 한다.

구조물의 손상에 민감한 특징들 추출 단계(ST20)에서는 상기 계측 시스템으로부터 계측된 응답 데이터들로부터 구조물의 손상에 민감한 특징들을 추출하도록 한다.

통계적 모델 구축 단계(ST30)에서는 추출된 상기 구조물의 손상에 민감한 특징들을 이용해 이상 상태 판단을 위한 구조물이 건전한 상태의 통계적 모델을 구축한다.

그리고, 구조물 건전성 진단 단계(ST40)에서는 상기 통계적 모델을 기초로 하여 새롭게 계측된 특징들을 평가하여 구조물의 손상 발생 여부를 판단하도록 한다.

특히, 본 발명에서는 상기한 통계적 모델 구축 단계(ST30)에서 가변 이동 창 주성분분석(VMWPCA; Variable Moving Window Principal Component Analysis)을 적용하도록 하는 것을 특징으로 한다.

도 2은 가변 이동 창 주성분분석(VMWPCA)의 개념적인 설명을 도시한 개략도이고, 도 3는 건전성 진단을 위한 블록 선형화에 기초한 가변 이동 창 주성분분석(VMWPCA) 과정을 나타낸 도표이다.

도 2 및 도 3을 참조하여 설명하면, 가변 이동 창 주성분분석(VMWPCA)은 외부 환경 변동에 따른 구조물이 건전한 상태의 변화를 갱신시켜 나가도록 기존 계측데이터로부터 새로 얻어지는 계측 데이터를 따라 이동하는 이동 창을 이용해 통계적 모델을 구축해나가되, 상기 구조물의 손상에 민감한 특징들 간의 비선형적인 관계가 발견되면 상기 구조물의 손상에 민감한 특성들이 비선형적으로 나타나는 구간을 국부적으로 분할하여 선형화시킬 수 있게 상기 이동 창의 사이즈를 가변시키는 것이다.

가변 이동 창 주성분분석(VMWPCA; Variable Moving Window Principal Component Analysis)은 출력 전용 통계적 공정 모니터링의 주성분분석(Principal Component Analysis)과 이동 창 선형 주성분분석(VMWPCA; Moving Window Principal Component Analysis)을 기초로 하여 이루어진다.

따라서, 전술한 가변 이동 창 주성분분석(VMWPCA; Variable Moving Window Principal Component Analysis)을 설명하기 위한 상기 주성분분석(Principal Component Analysis)과, 이동 창 선형 주성분분석(VMWPCA; Moving Window Principal Component Analysis)의 기본 원리를 먼저 설명하면 다음과 같다.

주성분분석(PCA)는 대표적인 다변량 통계적 분석으로, 다변량 변수들은 일반적으로 서로 상호 관계를 갖는다.

데이터들(특징들) 사이의 상관 관계는 공정에 대한 정보를 포함하는 숨겨진 공정들처럼 처리될 수 있다.

도 4는 주성분분석(Principal Component Analysis)의 기본 원리를 설명하는 그래프이다.

도 4에 도시한 바와 같이, 주성분분석(PCA)의 목표는 원본 데이터의 높은 가변성에 대한 새로운 좌표계(Coordinate System)의 좌표축(P1, P2 등)을 확인하기 위한 것이다. 여기서, 확인된 좌표축은 주성분(PC)에 참조되고, 비상관 변수들(Uncorrelated Variables)의 부분 공간(Subspace)이다.

수학적으로 주성분(PC)들은 원본 데이터와 최소 자승법(Least-square Sense)에 의해 부분 공간으로 투영된 이들 투영 사이의 제곱 거리의 합을 최소화시켜 구할 수 있다. 아래 수학식 1은 투영들의 변수를 최소화하는 부분 공간을 찾기 위한 등가식이다.

여기서, X는 원본 데이터이고, T는 부분 공간(

)으로 투영된 선형 조합이다.

상기한 부분 공간(Subspace)은 X에 대한 공분산 행렬(Covariance Matrix)을 대각선화하여 얻을 수 있다. X에 대한 공분산 행렬(Covariance Matrix)은 아래 수학식 2를 통해 구할 수 있다.

여기서, N은 원본 데이터의 숫자이고, 원본 데이터(X)는

-변수들을 갖는

행렬이며, 위 첨자 T는 전치 행렬(Transpose)이다.

부분 공간(Subspace)은 다음의 수학식 3을 통해 고유값 문제(Eigenvalue Problem)를 해결함으로써 얻을 수 있다.

여기서,

는 고유값이고,

는

고유 벡터와 일치한다. 대수학적으로 수학식 3은 공분산 행렬(C)의 고유치 분해(Eigen-Decomposition)나 특이치 분해(SVD; Singular Value Decomposition)를 통해 수행될 수 있다. 상기한 공분산 행렬(C)은 아래 수학식 4를 통해 구할 수 있다.

여기서,

는 고유값 (

의 대각선 행렬이고,

는 고유벡터 행렬 (

)과 일치한다.

고유값들과 고유벡터들은 주성분(PC)와 일치하고, 이들은 각각 잠재 변수와 주요 벡터이다.

주성분들의 개수(

)는 변수(

)의 개수와 같거나 더 작다, 여기서

이고 PC들은 다음과 같은 특징들을 갖는다.

일 때

이고

이다.

도 1은 2차원 공간에서 주성분분석(PCA)의 결과를 나타낸다. 각각의 점들은 원본 데이터(X)를 나타내고, 두 개의 화살표는 각각 주성분(PC)들에 대한 첫 번째와 두 번째의 좌표축(1st PC(P1), 2stPC(P2))을 나타낸다.

는 변동성의 총합이다. 여기서,

.

는 부분 공간의

번째 축들이고, 이들은 서로 직교한다. 첫 번째 주성분(

)는 원본 데이터(

)의 가장 큰 변동성을 표현한 것이고, 첫 번째 주성분(1stPC(P1)) 원본 데이터에서 관찰된 주된 효과와 일치하는 것으로 해석할 수 있고, 두 번째 주성분(2stPC(P2);

)는 첫 번째 주성분(1st PC(P1))과 비상관된 2차적 효과를 나타낸다.

주성분분석(PCA)를 수행하기 이전에, 변수들이 동등한 효과를 갖도록 하기 위해 원본 데이터에 대한 표준화(Scaling)가 이루어져야만 한다.

구조물 건전성 평가(SHM)에서, 상기한 표준화 공정은 데이터 정규화 기법(Data-Cleansing)를 참조할 수 있다. 이전 연구들에서는 표준화 과정은 평균 기반 표준화(Mean-Centering)[4]과 정규분포 표준화(Auto-Scaling)[7] 두 개의 표준화 방법들이 폭넓게 사용되고 있다.

평균 기반 표준화(Mean-Centering)는 각각의 변수들에 대하여 평균을 0이 되도록 원본 데이터를 표준화하는 것인데 반하여, z-Scaling으로 알려진 정규분포 표준화(Auto-Scaling)은 각각의 변수들에 대해 제로 평균과 단위 분산(Unit Variance)을 갖도록 원본 데이터를 각각 표준화하는 것이다.

일반적으로, 평균 기반 표준화(Mean-Centering)는 원본 데이터의 분산(변동성)이 균일한 경우 추천되고, 정규분포 정규화(Auto-Scaling)는 원본 데이터가 이질적인 분산(변동성)을 갖는 상황에 적합하다[14].

종종, 데이터의 통계적 특징들은 사전에 알려지지 않는다. 일반적인 상황들을 처리하기 위해서는, 정규분포 정규화(Auto-Scaling)는 데이터 정규화 기법(Data Cleansing)를 위해 사용된다. 정규분포 정규화(Auto-Scaling)은 다음과 수학식 5 내지 수학식 7를 통해 수행될 수 있다.

여기서,

와

는 각각 원본 데이터의 평균과 변동성이다.

는

번째에 연속하는

번째 변수의 정규분포 표준화(auto-scaling)된 데이터이다.

구조물 건전성 평가(SHM)를 수행하기 위해,

우선 주성분들(PCs)의 (

)를 구하기 위해 두 개의 모니터링 통계가 사용된다.

첫 번째는

고, 이는 가장 중요한 주성분들의 (

)를 이용해 표준화된 데이터(

)와 재구성된 데이터(

) 사이의 유클리디안 거리(Euclidean Distance)이다.

상기한 유클리디안 거리(Euclidean Distance) 아래 수학식 8을 통해 구할 수 있다.

여기서,

는 표준화된 데이터 행렬 (

)이고,

는

PCs가 유지된 행렬 (

)이며,

는 항등 행렬(

) 이고,

는 유클리디안 거리를 나타낸다.

도 1에 도시한 바와 같이,

-statistic는 첫 번째 PC의 정사각 모양의 직교 거리이고,

-statistic는 유지된 주성분들(

)에 의해 구할 수 없는 변수들의 합계를 구할 수 있다.

두 번째 측정은 Hotelling의

-statisticd이고, 이는 중심으로부터 재구성된 데이터(

)의 거리를 측정한다. 상기 재구성된 데이터(

)의 거리는 아래 수학식 9를 통해 구할 수 있다.

여기서,

는

우선 PCs 유지하는 대각선 행렬(

)이다. 도 1에 도시한 바와 같이.

-statistic는 중심과 재구성된 데이터 (

) 사이의 마할라노비스 거리(Mahalanobis Distance)이다.

-statistic는 유지된 PC들의 변수들을 측정하고, 부분 공간(주성분들 등의)의 중심으로부터 가장 떨어진 정도를 진단할 수 있다.

유의수준

(

)을 가지는

-statistic 과

-statistic의 상한값은 시간 독립성(Temporal Independence)과 투영된 데이터 (

)의 정규성(Normality)을 가정함으로써 구할 수 있다[15].

-statistic(

)의 상한값은 아래 수학식 10의 카이제곱분포(Chi-Squared Distribution)를 통해 구할 수 있다[16].

여기서,

이고,

과

는 표본 평균(Sample Mean)과

-statistic의 변동성을 각각 나타낸다, 그리고,

는 자유도

와 유의수준

를 가지는 카이제곱분포이다.

다른 한편으로,

-statistic (

) 의 상한 값은 아래 수학식 11과 같다

여기서,

과

자유도를 가지는

-분포이다

주성분분석(PCA)를 수행하기 위해, 주성분(PC)들 (

)의 최적 수는 선택될 수 있다. 변동성 누적률(CPV; Cumulative Percentage of Variance)이 많은 연구에서 폭 넓게 사용되었다. 변동성 누적률(CPV)은 최초 r 잠재변수들(

)에 의해 변동량을 측정한다.

그러나, 상기한 변동성 누적률(CPV)은 주관적인 접근이다. 따라서, 변동성 누적률(CPV)의 값은 일반적으로 이전 연구들에서는 80% 에서 99%까지 구해진다[3, 12, 17-19].

변동성 누적률(CPV)의 휴리스틱한 선택(Heuristic choice)을 사용하는 것보다 본 연구에서는 PC들의 최적수에 대한 고유치 차이 기법(Eigengap Technique)을 사용하였다[20-23].

고유값이 내림차순으로 정렬될 때, 고유치 차이는 수학식 12에 의해 계산된다.

여기서,

. 가장 큰

고유치 차이(Eigengap)은 투영과 재구성(

)에 대해 주성분들을 유지하도록 선택된다.

구조물 건전성 평가(SHM) 과정에서 주성분분석(PCA)를 이용한 새로운 진단이 폭넓게 사용될 수 있고, 새로운 진단의 근본적 이유(논리적 근거)는 모니터링 통계의 값이 구조물이 건전한 상태 동안에 작다는 것이다. 새로운 특징을 획득하면 이 새로운 특징은 기저 모델(교사 자료로부터의 주성분분석(PCA))의 부분 공간 내에 투영되고 재구성된다.

새로운 특징들에 대한 모니터링 통계가 이들의 상한 값보다 크다면(

and/or

), 이 것은 구조적 손상이 존재하는 것을 나타낸다. 그렇지 않으면, 구조 시스템은 현재 구조물이 건전한 상태와 같이 비손상 상태이다.

도 5는 주성분분석(PCA) 이용한 건전성 진단 과정을 나타내는 개략도이다.

도 5을 참조하여 설명하면, 주성분분석(PCA)을 이용한 구조물의 건전성 평가는 (a)주성분(PC)를 추출하고, (b)첫 번째 주성분(1^thPC)의 좌표축에 1차원적으로 투영하며, (c) 원래 공간에 2차원적으로 복원하고, (d) 정보 손실 등의 나머지를 계산 한 후, (e) 모니터링 차트를 통해 새로움 결함을 진단하는 과정을 통해 이루어진다.

도 6은 이동 창 선형 주성분분석(MWPCA)의 개념적인 설명을 도시한 개략도이고, 도 7은 고정된 이동 창 선형 주성분분석과 가변 이동 창 선형 주성분분석을 비교하여 도시한 개략도이다.

도 6 및 도 7을 참조하여 설명하면, 이동 창 선형 주성분 분석(MWPCA)은 초기 계측 데이터(

)와 함께 시작한다.

을 토대로, 초기 기저 모델 (

)이 구성된다.

새로운 데이터(

)가 획득된 후 구조물이 건전한 상태로 평가되면, 이동 창은 최신 데이터를 따라 이동한다.

이는 새 이동 창은

이고, 기저 모델(

)이 새로운 계측데이터에 의해 획득되는 것을 말한다.

이동 창의 메커니즘은 새로운 데이터가 유용할 때까지 반복된다. 이렇게 함으로써 기저 모델(

)은 구조물이 건전한 상태의 변화를 채택할 수 있게 된다.

만약 구조물이 건전한 상태들이 급격하게 변화하는데 이동 창 사이즈가 커지면, 이동 창이 너무 오래된 데이터를 포함하게 되기 때문에 현재 기저 모델은 구조물이 건전한 상태의 변화를 반영할 수 없다. 이와 관련해, 고정된 이동 창을 이용하는 이동 창 선형 주성분분석(MWPCA)은 구조물이 건전한 상태의 변화를 포착하기에는 부족하다.

이동 창 사이즈는 구조물이 건전한 상태의 변화율과 연관된다. 구조물이 건전한 상태가 급격하게 변할 때는 더 작은 이동 창의 사이즈가 적합하고, 반면에 구조물이 건전한 상태가 천천히 변화할 때는 더 큰 이동 창의 사이즈가 바람직하다. 종종, 구조물이 건전한 상태의 변화율은 사전에 알 수 없다. 즉, 구조물이 건전한 상태의 변화는 시간 가변성을 갖기 때문이다.

따라서, 본 발명에서는 가변 이동 창 선형 주성분분석(VMWPCA)을 제안한 하고 있다.

여기서, 상기 이동 창의 가장 일반적인 방법은 변화되는 구조물이 건전한 상태의 평균과 공분산을 갱신하고 이를 기반으로 주성분을 추출하는 것이다.

그리고, 전술한 주성분분석(PCA)는 본질적으로 선형 툴이다. 따라서, 이동 창 내에서 만약 교사 자료가 비선형 종속성을 갖는다면, 샘플 평균의 변화와 공분산을 토대로 한 이동 창 선형 주성분분석(MWPCA)으로는 비선형 종속성을 효과적으로 처리할 수 없다[15, 23, 27, 29].

한편, 주성분석(PCA)의 골격 내에서 비선형 종속성을 해결하기 위해 (a) 커널 주성분분석(Kernel PCA) 방법과, (b) 국부 선형 주성분분석(Local Linear PCA) 방법이 사용된다.

(a) 커널 주성분분석(Kernel PCA)은 원본 데이터를 미래 공간[3, 31] 내에 도해하기 위한 커널 기법(

을 사용하는 것이 한 가지 방법이고, (b) 국부 선형 주성분분석(Local Linear PCA)은 비선형 시스템에 선형 PCA를 확장하는 것이 다른 한 가지 방법이다[8, 32, 33].

또한, 본 발명에서 제안된 가변 이동 창 전략은 국부 선형 주성분분석(Local Linear PCA)의 개념을 사용하여 개발되었다. 즉, 가변 이동 창 사이즈의 기본 목표는 이동 창의 블록 선형화이다.

도 8는 적응적 공정 모니터링을 위한 블록 선형화 과정을 도시한 그래프이고, 도 9는 BIC를 가지는 Linde-Buzo-Gray 알고리즘(KMC-LBG)을 이용한 k-평균 군집화 과정을 예시한 그래프이며, 도 10은 BIC와 KMC-LBG을 이용한 가변 이동 창 주성분분석(VMWPCA) 과정을 나타내는 도표이다.

도 8 내지 도 10을 참조하여 설명하면, 비선형 데이터는 국부적으로 분할되고, 이 국부적으로 분할된 부분들은 선형 데이터에 근접할 수 있다.

블록 선형화를 수행하기 위해, Linde-Buzo-Gray 알고리즘(KMC-LBG)을 이용한 k-평균 군집화가 사용된다[34, 35].

KMC-LBG 알고리즘은 k-평균 군집화(KMC) 알고리즘의 확장된 버전이다. KMC-LBG 알고리즘은 k군집을 찾기 위한 중심 기반 군집화(Centroid-based Clustering)이다.

일반적으로, 중심 궤적(Centroid)은 각 군집의 평균이다. 이들은 k군집의 중심 궤적들을 찾기 위한 가장 적합한 조건을 필요로 하고, 가장 가까운 군집 중심 궤적에 샘플들을 위치시킨다.

샘플들을 위치시키기 위하여, 기하학적이고 수학적인 거리와 같은 거리 측정이 군집의 중심 궤적으로부터 산출된다.

산출된 거리를 토대로, 샘플들은 군집의 최소 거리에 배치된다. KMC-LBG와 KMC의 주된 차이는 KMC-LBG알고리즘은 중심 궤적을 얻기 위해 이진 분할 알고리즘(Binary Splitting Algorithm)을 사용하는 것인데 반해 KMC 알고리즘은 초기 중심 궤적에 대한 임의의 지점들을 사용하는 것이다.

이진 분할 알고리즘을 활용하기 때문에, KMC-LBG 알고리즘은 KMC 알고리즘보다 더 좋게 분산된 군집을 제공한다.

군집 알고리즘의 주된 사용 목적은 최적의 군집(

)을 구할 수 있다는 것이다. 베이시안 정보 기준(BIC)은 다양한 모델 군에서 최적의 모델을 선택하는데 기준으로 활용된다. BIC는 모델들의 특징들에 대한 정보를 담고 있기 때문에 BIC는 모델 기반 군집(Model-Based Clustering)에 폭넓게 적용되어 왔다[36]. 최적 군집 수는 다음 수학식 13과 같이 계산된다.

여기서,

는 전체 군집 수이고,

는

번째 군집 내의 샘플 수이며,

은 전체 샘플 수이고,

는

번째 군집의 분산(variance)이다.

여기서,

는

번째 군집의 중심 궤적(평균)이고, KMC-LBG알고리즘이 미리 정의된 범위 내에 적용되며, BIC의 값들이 산출된다.

수학식 13을 사용할 때, BIC 값은 음수(Negative Value)이다.

BIC의 첫 번째 국부 최대값은 최적 군집 수를 의미한다[36,37]. 따라서, 최적 군집 수들은 첫 번째 최대값에서 군집 수에 따라 선택될 수 있다.

최적 군집 수에 대해 BIC를 가지는 KMC-LBG 알고리즘의 성능을 평가하기 위해, 도 8에 도시한 바와 같이 세 개의 군집화 문제에 적용하였다.

군집의 미리 예측된 범위는 셋 중 하나를 형성하도록 설정하였다. 첫 번째 문제에서, 데이터는 이차원 공간 내에서 단일 정규분포(Uni-modal Gaussian distribution)에 의해 생성된다.

BIC를 가지는 KMC-LBG가 수행되고, 단일 군집은 BIC 값에 의해 올바르게 선택된다. BIC를 가지는 KMC-LBG는 다른 군집 문제들에 대해 올바른 군집 수를 제공할 수 있다. 따라서, 두 번째 문제(비선형 경향)에 대해서는 세 개의 군집을 제공하고, 세 번째 문제(두 개의 정규분포의 혼합모델: Bi-modal Gaussian Distribution)에 대해서는 두 개의 군집을 제공한다.

두 번째 문제는 블록 선형화에 대한 좋은 예를 나타낸다. 최적 군집 수(일예로 3개)에 의해서, 비선형 경향을 가지는 데이터는 선형 경향을 가지는 국부 집단으로 분할된다(도 8).

가변 이동 창 방법에 대해, 이동 창 사이즈는 최근 데이터를 포함할 수 있도록 군집에 의해 구해질 수 있다. 이 군집을 사용하는 주된 이유는 이 군집 내의 데이터가 최근에 측정된 것이고, 이들은 구조물이 건전한 상태의 최근 변화를 포함하고 있기 때문이다.

본 발명에서 제안하고 있는 가변 이동 창 주성분분석(VMWPCA)은 두 개의 주된 메커니즘을 포함한다. 첫 번째 메커니즘은 구조물이 건전한 상태를 갱신하기 위한 이동 창이고, 나머지 메커니즘은 최적 이동 창 수를 제공하기 위한 BIC를 가지는 KMC-LBG를 사용한 가변 이동 창이다.

여기서, 가변 이동 창 사이즈와 계산 효율(computational efficiency)에 따라서, 최대 이동 창 사이즈(

)를 산정한다.

본 발명의 가변 이동 창 주성분분석(VMWPCA)을 장기적 모니터링의 말기에 인공적으로 손상이 가해진 실제 교량에 적용하여 구조물이 건전한 상태의 변화율과 구조물의 손상에 민감한 특징들의 비선형 종속성 모두를 고려할 수 있는지를 비교 실험하였다.

실험예

토목 공학 구조물을 모니터링 하기 위한 시스템 식별 관련 프로젝트인(번호 BE96-3157)의 Brite Euram 프로젝트의 프레임워크 내에서 장기 모니터링을 Z24 교량에 대해 수행되었다[38].

인위적인 손상 시나리오들이 모니터링 말기에 적용되었다[3, 39]. 제안된 방식을 Z24 교량에 적용하였다. Z24 교량은 스위스에 있는 세 개의 경간을 가지는 프리스트레스 콘크리트 교량이다

도 11은 Z24 교량에 대한 측면도와 정단면도이고, 도 12는 Z24 교량의 장기 모니터링(약 1년)한 고유진동수를 나타낸 그래프이다.

도 11 및 도 12를 참조하여 설명하면, Z24 교량은 후 포스트 텐셔닝 프리스트레스 콘크리트 박스 거더 교량(Post-Tensioned Concrete Box Girder Bridge)이다[13, 38].

교량 붕괴 이전(1999년 후반)에, 1997년 11월 11일부터 1998년 9월 11일 까지 305일 동안 교량 동적 특성의 환경적 변화를 정량화하기 위해 장기 모니터링이 수행되었다. 진동 응답들과 환경적 변수들은 매 시간마다 측정되었다[3].

실제 적용된 손상 과정을 하기한 도 13에 나타내었다. Reynders, Wursten 및 De Roeck [3]은 초기의 구조적 결합은 8월 9일에 수행된 교각 침하 시스템(Pier Settlement System)의 설치 과정에서 교각의 휨 강성의 불가피한 손실에 의해 발생할 수 있다.

4개 구조물의 손상에 민감한 특징들(

)인 고유진동수 추계론적 부공간 식별기법(SSI; Stochastic Subspace Identification)과 아스팔트 층의 온도(T)에 의해 확인될 수 있다.

여기서, 아스팔트 층이

이하일 때, 4개의 고유진동수(Natural Frequencies)가 급하게 변화되는 것을 나타낸다.

고유진동수 (

)와 온도 (

) 사이의 상관 관계를 실험하기 위해, 도 12에서와 같이

와

사이에 산점도(Scatter Plots)들을 설명하였다.

여기서,

를 기준으로 모든 고유진동수에 대해

와

사이의 이중 선형 관계가 관측되었다. 추가적으로, 몇몇 고유진동수는 비선형적인 상관관계를 갖고 있다. 이들이 관찰되는 이유는 아스팔트 층의 탄성계수(Young's Modulus)가 온도 종속성을 갖기 때문이다[3].

도 13은 Z24 교량의 점진적으로 손상 테스트를 수행한 과정을 나타내는 도표이고, 도 14는 초기 교사 자료의 영향을 분석하기 위해 사용된 초기 교사 자료들을 나타낸 도표이며, 도 15은 고유진동수와 온도 사이의 이중 선형 종속성을 도시한 그래프이고, 도 16는 고유진동수들 사이의 상관관계를 도시한 그래프이며, 도 17은 초기 교사 자료 구성에 따른 영향을 분석하고자 사용한 다른 초기 교사 자료들을 가시화한 그래프이다.

도 13 내지 도 17을 참조하여 설명하면, 아스팔트층의 탄성계수(Young's Modulus)는 0℃ 이상에서 상대적으로 낮은 값을 갖는 반면에 0℃ 이하에서는 급격하게 증가한다.

손상 감지 특징에 따라, 4개의 저차 고유진동수가 사용된다. 초기 교사 자료를 효과적으로 평가하기 위해, 제안기법을 서로 다른 수의 초기 교사 자료와 함께 실행하였다.

이와 관련해서, 세 가지 경우들(Case 1-Case 3)에 대한 연구들은 도 14에 나타낸 바와 같이 고려될 수 있다.

첫 번째의 경우 초기 교사 자료는 0℃ 이상의 계측 데이터를 구성하기 때문에, 0℃ 이하에서 비선형적으로 바뀌는 정보를 갖지 못한다.

두 번째의 초기 교사 자료는 0℃이상의 계측 데이터와 0℃이하의 계측 데이터 일부를 포함하기 때문에 작은 비 선형적 변화 특성을 가지고 있다.

마지막으로 세 번째의 초기 교사 자료는 0℃ 이상의 자료와 0℃이하의 충분한 계측 데이터를 모두 가지기 때문에 강한 비선형적 변화 특성을 갖는다.

제안 방법을 적용하기 위해, 수학식 7을 이용한 정규분포 표준화(Auto-Scaling)를 계측 데이터에 적용한다. 사용될 주성분(PC)의 개수는 전술한 고유치 차이 기법에 의해 선택한다.

모니터링 통계에서 T2-statistic 통계는 본 연구에서 고려되지 않았다. 전형적으로 T2-statistic 는 PC 모델 내부의 일반적이지 않은 변화나 큰 편차의 민감도를 측정하다.

추출된 특징들은 계측 시스템의 고장으로 인한 계측의 불연속 구간을 갖는다. 구조물이 건전한 상태하에서도 이러한 계측의 불연속 구간은 큰 변동성에 의해 기인하여 발생하기 때문에 T²-statistic 는 이러한 경우 사용하기에는 적합하지 않다.

이러한 이유로 수학식 8의 Q-statistic는 95% 신뢰수준을 가지는 모니터링 통계를 위해 사용된다. Q-statistic은 다섯 개의 연속되는 데이터가 허용치 밖의 값을 가진다면, 현재 조건은 결함이 발생한 것으로 간주하고, 제안 기법에서 기저 모델(PC 모델)의 갱신을 중지시킨다.

가변 이동 창 주성분분석(VWMPCA)에서 두 달간 변화 경향을 나타내기 위해 이동 창의 최대 사이즈(L_max)는 1,500으로 예정되어 있다. 최대 사이즈는 사용자가 정의하여 변경할 수 있다. 따라서, 이동 창의 최대 사이즈(L_max)는 아래 수학식 15를 통해 구할 수 있다.

여기서, 이동 창의 최대 사이즈(L_max)는 조절될 수 있다.

도 18은 본 발명의 가변 이동 창 주성분분석(VMWPCA)를 이용한 Z24교량의 출력 전용 구조물 건전성 평과 결과를 나타낸 그래프이다.

도 18을 참조하여 설명하면, 가변 이동 창 주성분분석(VMWPCA)의 모든 경우(Case 1-Case 3)들이 손상을 진단하는데 성공적이었다.

다시 말해, 제안된 가변 이동 창 주성분분석(VMWPCA)는 구조물이 건전한 상태들의 변화를 설명할 수 있고 기저 모델을 적절히 갱신시킬 수 있다. 이들의 관찰을 통해 제안된 가변 이동 창 주성분분석(VMWPCA)는 초기 교사 자료에 의해 영향을 받지 않는다는 것을 알 수 있다.

즉, 구조물이 건전한 상태의 변화가 급격할 때, 이동 창의 사이즈는 최근 데이터에 비중을 둘 수 있도록 작아져야만 하고, 반면에 구조물이 건전한 상태의 변화가 완만할 때는 구조물이 건전한 상태에 대한 필수 정보들이 장기간 포함될 수 있도록 이동 창 사이즈가 증가 되어야 한다. 또한, 특징들에 비선형 종속성이 나타날 때에는, 더 작은 이동 창의 사이즈가 선택된다.

이처럼, 본 발명의 외부환경 변동을 고려한 적응적 다변량 통계적 공정 모니터링을 이용한 출력 전용 구조물 건전성 평가 방법에서는 가변 이동 창 주성분분석(VMWPCA; Variable Moving Window Principal Component Analysis)을 적용함으로써, 구조물이 건전한 상태의 변화를 갱신시켜 나가도록 연속적인 데이터를 따라 이동하는 이동 창을 통해 통계적 모델을 구축해나가되, 구조물이 건전한 상태의 비선형 특징을 국부적을 선형화시킬 수 있게 상기 이동 창의 사이즈를 가변시켜 구조물의 구조물이 건전한 상태의 변화율을 반영할 수 있고 아울러 구조물이 건전한 상태의 변화율을 반영된 자료의 비선형 종속성을 처리할 수 있도록 하는 효과를 가지게 된다.

이상을 통해 본 발명의 바람직한 실시예에 대하여 설명하였지만, 본 발명은 이에 한정되는 것이 아니고 특허청구범위와 발명의 상세한 설명 및 첨부한 도면의 범위 안에서 여러 가지로 변형 또는 변경하여 실시하는 것이 가능하고 이 또한 본 발명의 범위에 속하는 것은 당연하다.

Claims

구조물에 계측 시스템을 설치하여 주요 응답을 계측하는 단계;
상기 계측 시스템으로부터 계측된 데이터들로부터 구조물의 손상에 민감한 특징들을 추출하는 단계;
추출된 상기 구조물의 손상에 민감한 특징들을 이용해 이상 상태 판단을 위한 구조물이 건전한 상태의 통계적 모델을 구축하는 단계; 및
상기 통계적 모델을 기초로 하여 새롭게 계측된 특징들을 평가하여 구조물의 손상 발생 여부를 판단하는 구조물 이상 상태 진단 단계;를 포함하고,

상기 통계적 모델 구축 단계는,
외부 환경 변동에 따른 구조물이 건전한 상태의 변화를 갱신시켜 나가도록 기존 계측 데이터로부터 새로 얻어지는 계측 데이터를 따라 이동하는 이동 창을 이용해 통계적 모델을 구축해나가되,
상기 구조물의 손상에 민감한 특징들 간의 비선형적인 관계가 발견되면 상기 구조물의 손상에 민감한 특성들이 비선형적으로 나타나는 구간을 국부적으로 분할하여 선형화시킬 수 있게 상기 이동 창의 사이즈를 가변시키는 가변 이동 창 주성분분석(VMWPCA; Variable Moving Window Principal Component Analysis)을 적용해 수행하는 외부환경 변동을 고려한 적응적 다변량 통계적 공정 모니터링을 이용한 구조물 건전성 평가 방법.
제1항에서,
상기 이동 창의 사이즈는,
상기 구조물이 건전한 상태의 변화가 클수록 작아지고, 상기 구조물이 건전한 상태의 변화가 작을수록 커지는 외부환경 변동을 고려한 적응적 다변량 통계적 공정 모니터링을 이용한 구조물 건전성 평가 방법.
제2항에서,
상기 이동 창의 최적 사이즈는,
베이시안 정보 기준(Bayesian information criterion; BIC)를 가지는 Linde-Buzo-Gray 알고리즘(KMC-LBG)을 이용한 k평균 군집화(k-means clustering)를 통해 결정하는 외부환경 변동을 고려한 적응적 다변량 통계적 공정 모니터링을 이용한 구조물 건전성 평가 방법.
제3항에서,
상기 k평균 군집화(k-means clustering)를 위한 최적 군집의 수는 아래 수학식을 통해 산출되는 외부환경 변동을 고려한 적응적 다변량 통계적 공정 모니터링을 이용한 구조물 건전성 평가 방법.

여기서,
는 전체 군집 수이고,
는
번째 군집 내의 샘플 수고,
은 전체 샘플 수며,
는
번째 군집의 분산(variance)이다.
제4항에서,
상기 군집의 분산은 아래 수학식을 통해 산출되는 외부환경 변동을 고려한 적응적 다변량 통계적 공정 모니터링을 이용한 구조물 건전성 평가 방법.

여기서,
는
번째 군집의 중심이고, Linde-Buzo-Gray 알고리즘(KMC-LBG)은 사전에 사용자 정의된 범위 내에 적용된다.
제5항에서,
상기 최적 군집의 수는,
베이시안 정보 기준(Bayesian information criterion; BIC)를 사전에 정의된 군집 수 범위로 수행하고, 각 군집 수 별로 베이시안 정보를 계산하며, 군집 수 크기 별로 나열하여 첫 번째 국부 최대값을 가지는 군집 수에 따라 선택되는 외부환경 변동을 고려한 적응적 다변량 통계적 공정 모니터링을 이용한 구조물 건전성 평가 방법.