KR101909383B1 - 압축성 볼츠만 해석 기법의 벽면 경계 조건 모델링 방법 - Google Patents

Abstract

압축성 볼츠만 해석 기법의 벽면 경계 조건 모델링 방법이 개시된다. 본 발명에 따른 압축성 볼츠만 해석 기법의 벽면 경계 조건 모델링 방법은, 속도 격자로 형성되는 속도 위상 공간 상에서 속도 격자점에 대한 벡터와 벽면 경계의 노멀 벡터의 내적이 양수인지 음수인지 판단하는 단계; 상기 판단하는 단계에서 상기 내적이 음수인 경우, 현재 시간 단계로부터 기 설정된 시간 후의 다음 시간 단계에서의 제1 분포함수를 산출하는 단계; 상기 판단하는 단계에서 상기 내적이 양수인 경우, 수밀도, 평형상태 함수 및 비평형상태 함수를 이용하여 제2 분포함수를 산출하는 단계; 및 상기 제1 및 제2 분포함수를 이용하여 상기 벽면 경계 근처에서의 기체 유동의 거시적 속도와 온도를 산출하는 단계;를 포함한다.

Description

압축성 볼츠만 해석 기법의 벽면 경계 조건 모델링 방법{MODELLING METHOD OF SOLID WALL BOUNDARY CONDITION IN COMPRESSIBLE BOLTZMANN METHOD}

본 발명은 압축성 볼츠만 해석 기법의 벽면 경계 조건 모델링 방법에 관한 것으로, 보다 상세하게는 압축성 볼츠만 해석 기법을 기반으로 하는 희박기체 유동 해석에서 벽면 경계에서 발생하는 속도 슬립과 온도 점프를 모사하기 위한, 압축성 볼츠만 해석 기법의 벽면 경계 조건 모델링 방법에 관한 것이다.

기체 유동을 수치적으로 모사하는 방법은 크게 밀도, 운동량, 에너지와 같은 물리량에 대한 보존 법칙을 기반으로 하는 거시적인(macroscopic) 방법과, 각각의 기체 입자들이 가지는 움직임들에 대한 통계적인 접근을 통한 거시적인 물리량의 변화를 예측하는 미시적인(microscopic) 방법으로 나눌 수 있다.

볼츠만 수송 방정식은 압력이나 밀도와 같은 거시적인 물리량 대신 기체 입자의 분포 함수(particle distribution function)가 시간이 지남에 따라 어떻게 바뀌어 나가는지에 대한 정보를 서술하는 방정식이다.

볼츠만 해석 기법은 볼츠만 수송 방정식(Boltzmann transport equation)의 직접 수치 해(direct numerical solution)를 기반으로 하는 유체 수치 해석 방법으로 기체 유동을 미시적으로 모사하는 대표적인 방법 중 하나이다.

기체 입자의 분포 함수는 일정한 속도 위상(velocity phase)을 가지는 입자가 확률적으로 얼마나 존재하는가를 확률적으로 나타낸 스칼라 물리량으로, 모든 속도 위상 공간에 있는 기체 입자들의 분포 함수들을 통계적으로 이용하면 거시적인 물리량을 계산할 수 있다.

예를 들어, 특정 시간 단계에서 속도 위상 공간에 존재하는 모든 속도 격자점들에 대한 분포 함숫값들을 전부 합하면 해당 시간 단계에서의 거시적인 수밀도를 계산할 수 있다.

볼츠만 해석 기법은 볼츠만 방정식의 수치 해를 기반으로 기체 입자들의 통계적인 변화를 서술하기 때문에, 연속체 가정의 지배방정식을 기반으로 하는 수치 기법들과 다르게 유동의 희박한 정도와 관계없이 해석 정확도가 일정한 면이 있다.

하지만, 압축성 유동을 해석하기 위해 제시된 종래의 볼츠만 해석 기법들은 희박한 기체 유동장의 벽면 경계에서 자연스럽게 발생하는 기체 유동의 거시적인 속도 슬립과 온도 점프를 모사할 수 없다는 문제점이 있었다.

이에 따라, 압축성 볼츠만 해석 기법에서 희박한 기체 유동 해석에 대한 정확도를 확보하기 위해 속도 슬립과 온도 점프를 계산하기 위한 벽면 경계 조건의 구현이 필요한 실정이다.

본 발명은 전술한 필요성을 위해 안출된 것으로, 희박한 기체 유동 해석을 위한 압축성 볼츠만 해석 기법에서 벽면 경계에서 발생하는 속도 슬립과 온도 점프를 모사하기 위한 경계 조건을 구현할 수 있는, 압축성 볼츠만 해석 기법의 벽면 경계 조건 모델링 방법을 제공하기 위한 것이다.

전술한 기술적 과제를 해결하기 위한 본 발명에 따른 압축성 볼츠만 해석 기법의 벽면 경계 조건 모델링 방법은, 속도 격자로 형성되는 속도 위상 공간상에서 속도 격자점에 대한 벡터와 벽면 경계의 노멀 벡터의 내적이 양수인지 음수인지 판단하는 단계; 상기 판단하는 단계에서 상기 내적이 음수인 경우, 현재 시간 단계로부터 기 설정된 시간 후의 다음 시간 단계에서의 제1 분포함수를 산출하는 단계; 기 판단하는 단계에서 상기 내적이 양수인 경우, 수밀도, 평형상태 함수 및 비평형상태 함수를 이용하여 제2 분포함수를 산출하는 단계; 및 기 제1 및 제2 분포함수를 이용하여 상기 벽면 경계 근처에서의 기체 유동의 거시적 속도와 온도를 산출하는 단계;를 포함한다.

상기 속도 위상 공간의 격자점들은 원점을 기준으로 대칭되는 지점에서 짝을 이루는 격자점이 존재하도록 속도 격자계를 형성하는 것을 특징으로 한다.

상기 제1 분포함수를 산출하는 단계는, 상기 속도 격자점에 1차 분포함수를 산출하여 저장하는 단계; 상기 1차 분포함수들에서 해당 격자점에 짝을 이루는 격자점에 저장된 분포 함수값과 교환하여 제1 비평형상태 함수를 산출하는 단계; 및 내적이 음수인 모든 격자점에 대해 대류 플럭스 항들을 산출하여 상기 대류 플럭스 항들의 합을 저장하는 단계;를 포함하는 것을 특징으로 한다.

상기 1차 분포함수는 속도 격자 벡터의 방향과 크기에 무관하게 공간에 대한 정확도에 따라 외삽하여 산출되는 것을 특징으로 한다.

상기 제2 분포함수를 산출하는 단계는, 상기 내적이 음수인 모든 격자점들에 대한 대류 플럭스들의 합과 상기 내적이 양수인 모든 격자점들에 대한 대류 플럭스들의 합의 비를 이용하여 수밀도를 산출하는 것을 특징으로 한다.

상기 제2 분포함수를 산출하는 단계는, 상기 수밀도와 상기 벽면 경계에서의 거시적 온도를 이용하여 평형상태 함수를 산출하는 것을 특징으로 한다.

상기 제2 분포함수를 산출하는 단계는, 각각의 속도 격자점에 해당하는 제2 비평형상태 함수를 산출하는 것을 특징으로 한다.

상기 제2 비평형상태 함수는 짝을 이루는 격자점에 저장된 분포 함수들의 비평형 상태 함수에 해당하는 값으로 대체되는 것을 특징으로 한다.

상기 각각의 속도 격자점에 해당하는 비평형 상태 함수는 해당 격자점에 할당된 분포 함수에서 평형 상태의 분포 함수를 제외한 값인 것을 특징으로 한다.

상기 제2 분포함수를 산출하는 단계는, 상기 평형상태 함수와 상기 제2 비평형상태 함수를 이용하여 현재 시간 단계로부터 기 설정된 시간 후의 다음 시간 단계에서의 제2 분포함수를 산출하는 것을 특징으로 한다.

본 발명에 따르면, 압축성 볼츠만 해석 기법을 기반으로 하는 유동의 수치 해석에 벽면 경계 조건을 구현하면 일정한 속도와 온도를 가지는 노슬립 경계를 모사할 수 있다.

또한, 본 발명에 따르면, 압축성 볼츠만 해석 기법을 기반으로 하는 유동의 수치 해석에 벽면 경계 조건을 구현하면 벽면 경계에서 발생하는 속도 슬립과 온도 점프를 계산할 수 있다.

또한, 본 발명에 따르면, 압축성 볼츠만 해석 기법을 기반으로 하는 유동의 수치 해석에 벽면 경계 조건을 구현하면 희박기체 유동의 수치 해석에 대한 정확도를 확보할 수 있다.

도 1은 본 발명에 따른 압축성 볼츠만 해석 기법의 벽면 경계 조건 모델링 방법을 나타내는 순서도이다.

본 명세서 및 청구범위에서 사용된 용어나 단어는 통상적이거나 사전적인 의미로 한정되어서는 아니 되며, 발명자는 그 자신의 발명을 가장 최선의 방법으로 설명하기 위해 용어의 개념을 적절하게 정의할 수 있다는 원칙에 입각하여 본 발명의 기술적 사상에 부합하는 의미와 개념으로 해석되어야만 한다. 따라서, 본 명세서에 기재된 실시 예와 도면에 도시된 구성은 본 발명의 가장 바람직한 실시 예에 불과할 뿐이고 본 발명의 기술적 사상을 모두 대변하는 것은 아니므로, 본 출원시점에 있어서 이들을 대체할 수 있는 다양한 균등물과 변형 예들이 있을 수 있음을 이해하여야 한다. 또한, 본 발명의 요지를 불필요하게 흐릴 수 있는 공지 기능 및 구성에 대한 상세한 설명은 생략한다. 이하 본 발명의 바람직한 실시 예를 첨부된 도면을 참조하여 상세히 설명하기로 한다.

본 발명에서, 속도 위상 공간(velocity phase space)은 위치의 좌표와 대응하는 물리적 공간(physical space)과는 다르게 속도의 성분을 좌표로 하는 위상 공간을 의미한다.

기체 입자들의 통계적 분포 상태는 물리적 공간의 차원과 관계없이 삼차원 직교좌표계로 이루어진 속도 위상 공간의 한 점 위에 분포 함수(distribution function)의 형태로 저장된다.

본 발명의 압축성 유동 해석을 위한 볼츠만 해석 기법은 유한한 수의 속도 격자로 대표되는 속도 위상 공간 상에서 기체 입자들의 미시적 분포 상태에 관한 것이다.

이하, 본 발명의 컴퓨터가 수행하는 일 측면에 따른 볼츠만 해석 기법을 기반으로 하는 기체 유동 해석에서 벽면 경계 조건 구현에 대해 자세히 설명한다.

도 1은 본 발명에 따른 압축성 볼츠만 해석 기법의 벽면 경계 조건 모델링 방법을 나타내는 순서도이다.

도 1을 참조할 때, 본 발명에 따른 압축성 볼츠만 해석 기법의 벽면 경계 조건 모델링 방법은, 속도 격자로 형성되는 속도 위상 공간 상에서 속도 격자점에 대한 벡터와 벽면 경계의 노멀 벡터의 내적이 양수인지 음수인지 판단하는 단계(S100); 판단하는 단계에서 내적이 음수인 경우, 현재 시간 단계로부터 기 설정된 시간 후의 다음 시간 단계에서의 제1 분포함수를 산출하는 단계(S200); 판단하는 단계에서 내적이 양수인 경우, 수밀도, 평형상태 함수 및 비평형상태 함수를 이용하여 제2 분포함수를 산출하는 단계(S300); 및 제1 및 제2 분포함수를 이용하여 상기 벽면 경계 근처에서의 기체 유동의 거시적 속도와 온도를 산출하는 단계(S400);를 포함한다.

여기서, 속도 위상 공간의 격자점들은 원점을 기준으로 대칭되는 지점에서 짝을 이루는 격자점이 존재하도록 속도 격자계를 형성하게 된다.

제1 분포함수를 산출하는 단계(S200)는, 속도 격자점에 1차 분포함수를 산출하여 저장 후 차 분포함수들에서 해당 격자점에 짝을 이루는 격자점에 저장된 분포 함수값과 교환하여 제1 비평형상태 함수를 산출하는 단계(S210)와, 적이 음수인 모든 격자점에 대해 대류 플럭스 항들을 산출하여 상기 대류 플럭스 항들의 합을 저장하는 단계(S220)를 포함한다.

즉, 현재 시간 단계에서 각각의 속도 격자점에 저장된 분포 함수들은 속도 격자 벡터의 방향과 크기에 관계없이 공간에 대한 정확도에 따라 외삽하여 새로운 분포 함수로 산출되어 저장되며,

이후, 각각의 속도 격자점에 저장된 분포 함수들은 해당 격자점에 짝을 이루는 격자점에 저장된 분포 함수 값과 서로 교환하는 형태로 새로운 값으로 변경되며,

다음으로 벽면 경계의 노멀 벡터와 속도 격자점에 대한 벡터의 내적이 음수인 모든 격자점에 대해 하기 수학식 1과 같이 대류 플럭스(convective flux) 항들을 계산하여 그 합을 저장부(미도시)에 저장한다.

여기서,

는 속도 격자점

에 대한 속도 위상 공간 상의 벡터,

은 벽면 경계의 노멀 벡터,

는 속도 격자점

에 해당하는 기체 입자의 분포 함수를 의미한다.

제2 분포함수를 산출하는 단계(S300)는, 내적이 음수인 모든 격자점들에 대한 대류 플럭스들의 합과 상기 내적이 양수인 모든 격자점들에 대한 대류 플럭스들의 합의 비를 이용하여 수밀도를 산출하는 단계(S310)를 포함한다.

즉, 경계 조건 입력 값으로 주어진 벽면에서의 거시적 온도를 이용하여 계산된 평형 상태 함수들을 이용하고, 상기 합의 비를 통해 새로운 수밀도를 정의하는 것이다.

여기서, 속도 격자점에 대한 벡터와 벽면 경계의 노멀 벡터의 내적이 양수인 모든 격자점에 대해 대류 플럭스 항들을 산출하여 그 합을 구하는 과정은 하기 수학식 2와 같이 표현된다.

여기서,

는 속도 격자점

에 대한 속도 위상 공간 상의 벡터,

은 벽면 경계의 노멀 벡터,

는 속도 격자점

에 해당하는 계산된 평형 상태 함수를 의미한다.

제2 분포함수를 산출하는 단계는(S300) 상기 수밀도와 상기 벽면 경계에서의 거시적 온도를 이용하여 평형상태 함수를 산출하는 단계(S320)를 포함한다.

또한, 제2 분포함수를 산출하는 단계(S300)는, 각각의 속도 격자점에 해당하는 제2 비평형상태 함수를 산출하는 단계(S330)를 포함한다.

여기서, 제2 비평형상태 함수는 짝을 이루는 격자점에 저장된 분포 함수들의 비평형 상태 함수에 해당하는 값으로 대체되며, 각각의 속도 격자점에 해당하는 비평형 상태 함수는 해당 격자점에 할당된 분포 함수에서 평형 상태의 분포 함수를 제외한 값이다.

이후, 하기 수학식 3과 같이 평형상태 함수와 상기 제2 비평형상태 함수를 이용하여 현재 시간 단계로부터 기 설정된 시간 후의 다음 시간 단계에서의 제2 분포함수를 산출하게 된다.

수학식 3은 속도 격자점

에서의 분포 함수는 해당 격자점에서의 평형 상태 함수와 짝을 이루는 격자점

대한 비평형 상태 함수의 합으로 나타낼 수 있다.

이후, 모든 속도 격자점에 저장된 다음 시간 단계에서의 분포 함수를 이용하여 벽면 경계 근처에서의 기체 유동의 거시적 속도와 온도를 산출하게 된다.

이에, 본 발명에 따르면, 압축성 볼츠만 해석 기법을 기반으로 하는 유동의 수치 해석에 벽면 경계 조건을 구현하면 일정한 속도와 온도를 가지는 노슬립 경계를 모사할 수 있다.

또한, 본 발명에 따르면, 압축성 볼츠만 해석 기법을 기반으로 하는 유동의 수치 해석에 벽면 경계 조건을 구현하면 벽면 경계에서 발생하는 속도 슬립과 온도 점프를 계산할 수 있다.

또한, 본 발명에 따르면, 압축성 볼츠만 해석 기법을 기반으로 하는 유동의 수치 해석에 벽면 경계 조건을 구현하면 희박기체 유동의 수치 해석에 대한 정확도를 확보할 수 있다.

앞서 살펴본 실시 예는 본 발명이 속하는 기술분야에서 통상의 지식을 가진 자(이하 '당업자'라 한다)가 본 발명을 용이하게 실시할 수 있도록 하는 바람직한 실시 예일 뿐, 전술한 실시 예 및 첨부한 도면에 한정되는 것은 아니므로 이로 인해 본 발명의 권리범위가 한정되는 것은 아니다. 따라서, 본 발명의 기술적 사상을 벗어나지 않는 범위 내에서 여러 가지 치환, 변형 및 변경이 가능하다는 것이 당업자에게 있어 명백할 것이며, 당업자에 의해 용이하게 변경 가능한 부분도 본 발명의 권리범위에 포함됨은 자명하다.

S100: 내적이 양수인지 음수인지 판단하는 단계
S200: 제1 분포함수를 산출하는 단계
S300: 제2 분포함수를 산출하는 단계
S400: 벽면 경계 근처에서의 기체 유동의 거시적 속도와 온도를 산출하는 단계

Claims (10)

1. 속도 격자로 형성되는 속도 위상 공간 상에서 속도 격자점에 대한 벡터와 벽면 경계의 노멀 벡터의 내적이 양수인지 음수인지 판단하는 단계;
   상기 판단하는 단계에서 상기 내적이 음수인 경우, 현재 시간 단계로부터 기 설정된 시간 후의 다음 시간 단계에서의 제1 분포함수를 산출하는 단계;
   상기 판단하는 단계에서 상기 내적이 양수인 경우, 수밀도, 평형상태 함수 및 비평형상태 함수를 이용하여 제2 분포함수를 산출하는 단계; 및
   상기 제1 및 제2 분포함수를 이용하여 상기 벽면 경계 근처에서의 기체 유동의 거시적 속도와 온도를 산출하는 단계;를 포함하며,
   상기 제1 분포함수를 산출하는 단계는,
   상기 속도 격자점에 1차 분포함수를 산출하여 저장하는 단계;
   상기 1차 분포함수들에서 해당 격자점에 짝을 이루는 격자점에 저장된 분포 함수값과 교환하여 제1 비평형상태 함수를 산출하는 단계; 및
   내적이 음수인 모든 격자점에 대해 대류 플럭스 항들을 산출하여 상기 대류 플럭스 항들의 합을 저장하는 단계;를 포함하는 것을 특징으로 하는 압축성 볼츠만 해석 기법의 벽면 경계 조건 모델링 방법.
2. 제1항에 있어서,
   상기 속도 위상 공간의 격자점들은 원점을 기준으로 대칭되는 지점에서 짝을 이루는 격자점이 존재하도록 속도 격자계를 형성하는 것을 특징으로 하는 압축성 볼츠만 해석 기법의 벽면 경계 조건 모델링 방법.
3. 삭제
4. 제1항에 있어서,
   상기 1차 분포함수는 속도 격자 벡터의 방향과 크기에 무관하게 공간에 대한 정확도에 따라 외삽하여 산출되는 것을 특징으로 하는 압축성 볼츠만 해석 기법의 벽면 경계 조건 모델링 방법.
5. 제1항에 있어서,
   상기 제2 분포함수를 산출하는 단계는,
   상기 내적이 음수인 모든 격자점들에 대한 대류 플럭스들의 합과 상기 내적이 양수인 모든 격자점들에 대한 대류 플럭스들의 합의 비를 이용하여 수밀도를 산출하는 것을 특징으로 하는 압축성 볼츠만 해석 기법의 벽면 경계 조건 모델링 방법.
6. 제5항에 있어서,
   상기 제2 분포함수를 산출하는 단계는,
   상기 수밀도와 상기 벽면 경계에서의 거시적 온도를 이용하여 평형상태 함수를 산출하는 것을 특징으로 하는 압축성 볼츠만 해석 기법의 벽면 경계 조건 모델링 방법.
7. 제5항에 있어서,
   상기 제2 분포함수를 산출하는 단계는,
   각각의 속도 격자점에 해당하는 제2 비평형상태 함수를 산출하는 것을 특징으로 하는 압축성 볼츠만 해석 기법의 벽면 경계 조건 모델링 방법.
8. 제7항에 있어서,
   상기 제2 비평형상태 함수는 짝을 이루는 격자점에 저장된 분포 함수들의 비평형 상태 함수에 해당하는 값으로 대체되는 것을 특징으로 하는 압축성 볼츠만 해석 기법의 벽면 경계 조건 모델링 방법.
9. 제8항에 있어서,
   상기 각각의 속도 격자점에 해당하는 비평형 상태 함수는 해당 격자점에 할당된 분포 함수에서 평형 상태의 분포 함수를 제외한 값인 것을 특징으로 하는 압축성 볼츠만 해석 기법의 벽면 경계 조건 모델링 방법.
10. 제7항에 있어서,
    상기 제2 분포함수를 산출하는 단계는,
    상기 평형상태 함수와 상기 제2 비평형상태 함수를 이용하여 현재 시간 단계로부터 기 설정된 시간 후의 다음 시간 단계에서의 제2 분포함수를 산출하는 것을 특징으로 하는 압축성 볼츠만 해석 기법의 벽면 경계 조건 모델링 방법.

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