KR101319996B1 - 유체 시뮬레이션 방법 - Google Patents

Abstract

본 발명은 (a) 유체를 구 입자로 모델링하는 단계; (b) 상기 구 입자를 타원형 구 입자로 변환하는 단계; (c) 상기 타원형 구 입자를 전역 좌표계로 변환하는 단계; 및 (d) 상기 전역 좌표계에서의 위치가 결정된 입자들을 사용하여 유체의 표면을 랜더링하는 단계;를 포함하되, 상기 (b) 단계는 상기 각 타원형 구 입자로부터 미리 설정된 거리 내에 있는 이웃 입자들과의 상호 작용을 고려하여 상기 각 입자를 중심으로 한 보간된 물리량을 구하는 것이며, 상기 (d) 단계는 상기 입자들로 결정되는 상기 유체의 표면을 렌더링하기 위해, 상기 타원형 구 입자의 표면 메쉬를 구하되, 상기 타원형 구 입자의 포텐셜 값을 부호가 있는 거리 함수로 바꾸어 상기 표면 메쉬의 곡률을 줄이는 것인 유체 시뮬레이션 방법을 제공한다.

Description

유체 시뮬레이션 방법{METHOD FOR SIMULATING FLUID}

본 발명은 유체 시뮬레이션 방법 및 그 기록 매체에 관한 것이다.

영화, 애니메이션, 게임 등 다양한 컨텐츠 제작 분야에서 유체 시뮬레이션은 큰 비중을 차지하고 있다. 예전에는 3차원 도형에 텍스쳐를 덧씌워 표현하는 등 시간과 노력이 많이 소모되면서도 사실감은 떨어지는 방법을 사용하였으나, 기술의 발달에 따라 근래에는 실제 물리에 기반을 둔 유체 시뮬레이션 방법을 사용하여 자동으로 훨씬 현실감 있는 움직임을 만들어내고 있다.

유체를 시뮬레이션 하는 방법에는 오일러(Euler) 방법에 기반을 둔 격자 기반 방식과 라그랑지(Lagrange) 방법에 기반을 둔 입자 기반 방식이 있다. 격자 기반 방식은 사실감 있는 움직임을 만들어낼 수 있지만 많은 계산을 필요로 하기 때문에 영화 제작에 주로 쓰이고, 입자 기반 방식은 실시간 계산이 필요한 게임 제작에 주로 쓰인다.

유체 운동 방정식인 나비에-스토크의 방정식(Navier-Stoke's equation)은 유체 시뮬레이션의 기본이 되는 방정식이다. 유체를 구 입자로 표현하는 방식인 SPH(Smoothed Particle Hydrodynamics)는 이 방정식을 이산화하여 각 구 입자들의 상호 작용에 의해 필요한 물리량을 계산한다.

입자 수는 해상도를 좌우하므로 유체의 움직임의 현실감과 물리적 정확도에 영향을 미친다. 하지만 입자 수를 늘리는 것은 계산 비용을 증가시키므로 적절한 선에서 타협해야 한다. 이에 따라 본 발명은 구 입자 대신 타원형 입자를 사용하여 입자 수를 늘리지 않으면서도 유체의 움직임을 사실적이고 섬세하게 표현해내는 방법을 제안한다.

또한 물리량 계산에 사용되는 입자 수를 줄여 계산 비용을 크게 낮추고, 렌더링시 표면을 좀더 사실적으로 표현해내는 방법을 제안한다.

이와 관련하여 한국공개특허 제10-2010-0066976호("비압축 상태의 유체 시뮬레이션 방법, 기록매체, 장치, 시스템")에는 비압축 상태의 유체를 시뮬레이션하는 구성이 개시되어 있다.

또한, 한국등록특허 제10-0568563호("입자동역학 해석기법과 볼륨렌더링 기법을 이용한 실시간 유체유동 시뮬레이션 및 렌더링 방법")는 유체의 운동 및 입체감을 표현하는 구성이 개시되어 있다.

본 발명은 전술한 문제를 해결하기 위한 것으로서, 그 목적은 적은 비용으로 유체의 움직임을 사실감 있게 표현해내는 유체 시뮬레이션 방법을 제공하는 것이다.

상기와 같은 목적을 달성하기 위한 본 발명의 제 1 측면에 따른 유체 시뮬레이션 방법은 (a) 유체를 구 입자로 모델링하는 단계; (b) 상기 구 입자를 타원형 구 입자로 변환하는 단계; (c) 상기 타원형 구 입자를 전역 좌표계로 변환하는 단계; 및 (d) 상기 전역 좌표계에서의 위치가 결정된 입자들을 사용하여 유체의 표면을 랜더링하는 단계;를 포함하되, 상기 (b) 단계는 상기 각 타원형 구 입자로부터 미리 설정된 거리 내에 있는 이웃 입자들과의 상호 작용을 고려하여 상기 각 입자를 중심으로 한 보간된 물리량을 구하는 것이며, 상기 (d) 단계는 상기 입자들로 결정되는 상기 유체의 표면을 렌더링하기 위해, 상기 타원형 구 입자의 표면 메쉬를 구하되, 상기 타원형 구 입자의 포텐셜 값을 부호가 있는 거리 함수로 바꾸어 상기 표면 메쉬의 곡률을 줄이는 것을 특징으로 한다.

상기와 같은 목적을 달성하기 위한 본 발명의 제 2 측면에 따른 기록 매체는 상기 제 1 측면에 따른 유체 시뮬레이션 방법을 수행하는 프로그램이 기록된 컴퓨터가 읽기 가능한 기록 매체임을 특징으로 한다.

본 발명은 유체 시뮬레이션 방법에 있어, 유체의 움직임을 좀더 사실감 있게 표현해내는 효과를 얻는다.

특히 빠르게 움직이는 유체의 움직임을 표현하는데 있어서, 계산 비용을 크게 증가시키지 않고도 상세한 움직임을 묘사할 수 있다.

구체적으로 모델링에 필요한 입자 수를 크게 늘리지 않고도 유체 움직임의 해상도를 늘릴 수 있다.

또한 물리량 계산에 사용되는 입자 수를 제한함으로써 계산 비용이 줄어드는 효과가 있다.

또한 유체 표면을 렌더링할 때의 굴곡을 줄일 수 있다.

도 1은 본 발명에 따른 유체 시뮬레이션 방법의 흐름을 도시함.
도 2는 구 입자를 타원형 구 입자로 변환하는 모습을 도시함.
도 3은 입자들이 서로의 물리량에 영향을 주는 모습을 도시함.
도 4는 입자의 물리량에 영향을 미치는 다른 입자의 수를 제한하는 모습을 도시함.
도 5는 표면 메쉬를 생성하는 모습을 도시함.
도 6은 표면 메쉬의 곡률을 감소시키는 모습을 도시함.
도 7은 본 발명에 따른 유체 시뮬레이션 방법의 실시예를 도시함.
도 8은 본 발명에 따른 유체 시뮬레이션 방법의 실시예를 도시함.

아래에서는 첨부한 도면을 참조하여 본 발명이 속하는 기술 분야에서 통상의 지식을 가진 자가 용이하게 실시할 수 있도록 본 발명의 실시예를 상세히 설명한다. 그러나 본 발명은 여러 가지 상이한 형태로 구현될 수 있으며 여기에서 설명하는 실시예에 한정되지 않는다. 그리고 도면에서 본 발명을 명확하게 설명하기 위해서 설명과 관계없는 부분은 생략하였으며, 명세서 전체를 통하여 유사한 부분에 대해서는 유사한 도면 부호를 붙였다.

명세서 전체에서, 어떤 부분이 다른 부분과 "연결"되어 있다고 할 때, 이는 "직접적으로 연결"되어 있는 경우뿐 아니라, 그 중간에 다른 소자를 사이에 두고 "전기적으로 연결"되어 있는 경우도 포함한다. 또한 어떤 부분이 어떤 구성요소를 "포함"한다고 할 때, 이는 특별히 반대되는 기재가 없는 한 다른 구성요소를 제외하는 것이 아니라 다른 구성요소를 더 포함할 수 있는 것을 의미한다.

도 1은 본 발명에 따른 유체 시뮬레이션 방법의 흐름을 도시하고 있다.

먼저 간략히 살펴보면, 유체를 구 입자로 모델링하고(S110), 타원형 구 입자로 변환(S120)한 다음, 전역 좌표계로 변환한다(S130). 이렇게 각 입자의 위치가 도출된 후에는 각 입자를 이용해 표면 메쉬를 생성하고 표면 메쉬의 곡률을 줄여 유체를 렌더링(S140)한다.

각 유체 입자는 서로에게 영향을 미치는 질량 m, 밀도 ρ, 점성 μ, 압력 p, 외력 f, 위치 r, 및 속도 u 등의 물리량을 갖는다. 이러한 물리량들은 전술한 바와 같이 유체 운동 방정식인 나비에-스토크 방정식(Navier-Stokes' equation)에 기초해서 표현된다. 유체의 운동량 보존 법칙과 질량 보존 법칙을 잘 보여주는 나비에-스토크 방정식은 유체의 흐름에 따른 속도 u의 변화를 다음 수식과 같이 나타낸다.

<수식1>

<수식2>

유체를 구 입자로 모델링하는 단계(S110)는 위와 같이 표현되는 연속 함수인 나비에-스토크 방정식을 이산화해서 구 입자로 표현하는 단계이다. 구 입자가 갖는 곡선 커널(smoothing kernel) 함수를 W라고 하면, 위치 r에서 주변의 거리가 h이하인 입자들이 갖고 있는 물리량들의 합으로 보간된(interpolated) 물리량 A(r)은 다음 수식으로 나타낼 수 있다.

<수식3>

본 발명에 따른 유체 시뮬레이션 방법은 곡선 커널 함수를 각 물리량에 맞게 정의하여 사용한다. 다음 수식들은 각각 밀도, 압력, 점성을 계산하기 위한 커널들이다.

<수식4>

<수식5>

<수식6>

구 입자를 타원형 구 입자로 변환하는 모습을 도시한 도 2를 통해 타원형 구 입자로 변환하는 단계(S120)를 살펴보자. 도면은 설명의 편의를 위해 2차원 평면에서의 원과 타원을 도시하고 있다.

전술한 바와 같이, 구 입자 대신에 구 입자를 이동 방향으로 속력에 따라 늘려 변형시킨 타원형 입자를 사용하면 입자 수를 늘리지 않고도 유체 움직임의 정확성과 사실감을 향상시킬 수 있다. 진행 방향에 따라 가중치가 증가하고 힘을 더 받게 되기 때문이다. 따라서 내리는 비나 샤워기의 물 등의 입자의 수가 많고, 속도가 빠른 유체를 효과적으로 모사할 수 있다.

이를 위해 본 발명에 따른 유체 시뮬레이션 방법은 도 2에 도시된 바와 같이 구 입자가 단위 시간 동안 움직인 거리를 타원의 두 초점 사이 거리로 설정한다. 장축의 길이를 a, 단축의 길이를 b라 할때 타원은 다음 수식으로 나타낼 수 있다.

<수식7>

또한 본 발명에 따른 유체 시뮬레이션 방법은 타원의 장축의 길이 a가 임계값을 넘지 않도록 제한한다. 즉, a는 다음과 같이 나타낼 수 있는데, 여기서 a는 기정된 a의 최대값과 다음 수식으로 도출된 값 중 작은 값으로 설정된다.

<수식8>

<수식9>

이는 각 입자에 영향을 미치는 이웃 입자들의 수를 줄이기 위함이다. 도 3과 도 4를 통해 알아보자.

도 3은 입자들이 서로의 물리량에 영향을 주는 모습을 도시하고 있다. 전술한 설명에서 입자를 사용하여 보간된 물리량을 구하는 수식이 도출될 수 있었던 근거가 여기에 있다. 하지만 입자간 거리가 멀수록 영향도 줄어들 것이므로, 어떤 입자 주위의 물리량을 계산할 때 유체를 구성하는 모든 입자들을 고려하는 것은 계산 낭비이다.

그러나 종래 기술에서는 물리적인 힘을 결정하기 위해 모든 입자들간의 거리를 계산해야 했기 때문에, 입자 수가 늘어나면 계산 시간이 크게 늘어났다. 즉, 입자가 n개이면 각 입자마다 모든 입자를 검색해야 하므로 O(n²)의 시간이 걸렸다.

반면 입자의 물리량에 영향을 미치는 다른 입자의 수를 제한하는 모습을 도시한 도 4에서 볼 수 있는 바와 같이, 본 발명에 따른 유체 시뮬레이션 방법에서는 탐색 공간을 타원체 입자에 맞춘 격자로 나누어 입자 주위로 기지정된 수의 격자 안에 있는 타원체 입자들간의 거리만 계산하면 된다. 이렇게 하면 기지정된 수의 격자 안에 위치한 입자 k개에 대해서만 물리량을 탐색하고 계산에 반영하면 되므로, 계산 시간을 O(kn)으로 크게 줄일 수 있다. 여기에서 탐색 공간을 타원체 입자에 맞춘 격자로 나눈다는 것은 타원형 구의 장축의 길이를 고려하여 격자를 설정한다는 것을 의미한다.

유체의 입자 모델을 타원형 구로 변형하여 필요한 물리량을 모두 구한 후에는(S120), 전역 좌표계로 변환하여 최종 위치를 결정한다(S130). 전역 좌표계로의 변환은 회전 행렬과 크기 변환 행렬의 곱으로 수행되는데, 크기 변환 행렬은 타원의 장축 및 단축의 길이를 요소로 갖는 대각선 행렬이다.

유체 모델에서 각 입자의 위치가 모두 결정되었다면, 이 위치 데이터를 가지고 실제로 유체를 렌더링해야 한다(S140). 본 발명에 따른 유체 시뮬레이션 방법은 유체의 표면을 메쉬로 표현한다. 도 5 및 도 6을 통해 알아보자.

도 5는 표면 메쉬를 생성하는 모습을 도시하고 있고, 도 6은 표면 메쉬의 곡률을 감소시키는 모습을 도시하고 있다.

메타볼 등 종래 기술은 표면에 굴곡이 생기는 단점을 가지고 있다. 이와 달리, 본 발명에 따른 유체 시뮬레이션 방법은 유체 표면을 메쉬로 표현하기 위해, 공간을 격자로 나누고 타원형 구 입자의 포텐셜(커널) 값을 격자의 꼭지점에 설정하여, 그 값을 기준으로 표면 메쉬를 생성한다. 포텐셜의 값이 음수이면 물 안으로 판정, 양수이면 물 밖으로 판정, 그리고 0이면 물 표면으로 판정한다. 도 5의 두번째 도면에 이렇게 생성된 메쉬의 실시예가 도시되어 있다.

이렇게 생성된 표면 메쉬는 종래의 메타볼에 비해서 굴곡이 작다. 그러나 격자의 개수가 적거나 유체가 합쳐지거나 갈라지는 등의 위상 변화가 심한 경우는 도 6의 첫번째 도면에 도시된 바와 같이 여전히 어색한 굴곡이 보일 수 있다.

이를 보완하여 부드러운 표면 메쉬를 생성하기 위해, 본 발명에 따른 유체 시뮬레이션 방법은 포텐셜 값을 부호가 있는 거리 함수로 바꾸고 곡률을 줄여 평평하게 해준다. 그러면 도 6의 두번째 도면과 같이 표면을 좀더 사실감 있게 시각화할 수 있다.

이를 위해 임의의 표면 장력이 유체 표면에 작용하여 빠르게 동적 평형 상태로 수렴된다고 가정한다.

는 표면의 위치이고,

은

에서의 표면 법선이며,

은 표면 장력 계수이다.

이 부호가 있는 거리 함수,

은 속도의 법선 방향 요소라고 하면, 이는 다음 수식들로 나타낼 수 있다.

<수식10>

<수식11>

<수식12>

따라서 본 발명에 따른 유체 시뮬레이션 방법은 표면 장력 계수를 조절하면 유체 표면의 날카로움 정도를 제어할 수 있다.

도 7 및 도 8은 본 발명에 따른 유체 시뮬레이션 방법의 실시예를 도시하고 있다.

도 7은 144,000개의 입자가 사용하여 3차원 댐 파괴 실험을 실시한 결과를 도시하고 있다. 30fps의 애니메이션에서 한 장의 프레임을 도출하기 위해 91.246초 정도가 소요되었다.

도 8은 830,000개의 입자를 사용하여 샤워 실험을 실시한 결과이다. 위쪽 도면들은 기본적인 구 입자 기반 시뮬레이션 방법의 실험 결과를, 아래쪽 도면들은 본 발명에 따른 타원형 구 입자 기반 시뮬레이션 방법의 실험 결과를 도시하고 있다. 도시된 바와 같이, 본 발명에 따른 유체 시뮬레이션 방법 쪽이 좀더 사실적이고 상세한 움직임을 표현해내고 있다.

전술한 본 발명의 설명은 예시를 위한 것이며, 본 발명이 속하는 기술분야의 통상의 지식을 가진 자는 본 발명의 기술적 사상이나 필수적인 특징을 변경하지 않고서 다른 구체적인 형태로 쉽게 변형이 가능하다는 것을 이해할 수 있을 것이다. 그러므로 이상에서 기술한 실시예들은 모든 면에서 예시적인 것이며 한정적이 아닌 것으로 이해해야만 한다. 예를 들어, 단일형으로 설명되어 있는 각 구성 요소는 분산되어 실시될 수도 있으며, 마찬가지로 분산된 것으로 설명되어 있는 구성 요소들도 결합된 형태로 실시될 수 있다.

본 발명의 범위는 상기 상세한 설명보다는 후술하는 특허청구범위에 의하여 나타내어지며, 특허청구범위의 의미 및 범위 그리고 그 균등 개념으로부터 도출되는 모든 변경 또는 변형된 형태가 본 발명의 범위에 포함되는 것으로 해석되어야 한다.

Claims (9)

1. 유체 시뮬레이션 방법에 있어서,
   (a) 유체를 하나 이상의 물리량을 갖는 구(sphere) 입자로 모델링하는 단계;
   (b) 상기 구 입자를 타원체(ellipsoid) 입자로 변환하는 단계;
   (c) 상기 타원체 입자의 좌표계를 전역 좌표계로 변환하는 단계; 및
   (d) 상기 전역 좌표계에서의 위치가 결정된 입자들을 사용하여 유체의 표면을 랜더링하는 단계;를 포함하되,
   상기 (b) 단계는
   상기 각 타원체 입자로부터 미리 설정된 거리 내에 있는 이웃 입자들이 갖고 있는 물리량의 합으로 보간된(interpolated) 물리량을 구하는 단계;를 포함하며,
   상기 (d) 단계는
   상기 타원체 입자의 포텐셜 값을 부호가 있는 거리 함수로 표현한 상기 유체의 표면 메쉬에 표면 장력의 작용을 시뮬레이션하여 상기 표면 메쉬의 곡률을 상기 표면 메쉬가 생성되었을 때의 곡률보다 줄이는 것이며,
   상기 표면 장력은 표면 장력 계수를 사용하여 모델링 되는 것인 유체 시뮬레이션 방법.
2. 제 1 항에 있어서,
   상기 구 입자 및 상기 타원체 입자가 갖는 하나 이상의 물리량은 외력, 질량, 밀도, 압력, 점성, 속도, 또는 위치인 유체 시뮬레이션 방법.
3. 제 1 항에 있어서,
   상기 (a) 단계는
   상기 모델링은 Navier-Stoke 방정식을 이산화하여 이루어지는 것인 유체 시뮬레이션 방법.
4. 제 1 항에 있어서,
   상기 (b) 단계는
   상기 구 입자를 상기 구 입자의 속도 및 이동 방향에 따라 타원체 입자로 변환하는 것인 유체 시뮬레이션 방법.
5. 제 1 항에 있어서,
   상기 (b) 단계는
   상기 타원체 입자의 초점 거리는 상기 구 입자의 단위 시간당 이동 거리와 같은 것인 유체 시뮬레이션 방법.
6. 제 1 항에 있어서,
   상기 (b) 단계는
   상기 타원체 입자의 장축의 길이는 기지정된 임계값을 넘지 않도록 설정되는 것인 유체 시뮬레이션 방법.
7. 제 1 항에 있어서,
   상기 (b) 단계는
   상기 타원체 입자의 장축의 길이에 맞추어 공간을 격자로 나누고 기지정된 수의 격자 안에 위치한 이웃 입자들만 선택해 물리량 계산에 반영하는 유체 시뮬레이션 방법.
8. 제 1 항에 있어서,
   상기 (c) 단계는
   크기 변환 행렬 및 회전 변환 행렬의 곱을 사용하여 좌표를 변환하되,
   상기 크기 변환 행렬은 타원의 장축 및 단축의 길이를 요소로 갖는 대각선 행렬인 유체 시뮬레이션 방법.
9. 제 1 항 내지 제 8 항 중 어느 하나의 항에 기재된 방법을 수행하는 프로그램이 기록된 컴퓨터가 읽기 가능한 기록 매체.

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