JPS63271578A - 領域の集合演算装置 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】本公報は電子出願前の出願データであるた
め要約のデータは記録されません。

Description

【発明の詳細な説明】 〔産業上の利用分野〕 本発明は、領域の集合演算装置に関する。

特に３次元の場合には、機械設計、数値制御工作機械の
動作シミュレーション、ロボットの動作シミュレーショ
ン等に用いる。３次元物体の集合演算及び表示の方法に
関する。

さらに具体的にいえば、３次元物体を規定するデータを
入力し、必要に応じてこれらの物体の集合演算を行ない
、ＩＨ５者から見て陰になる面を消去した状態で表示す
るための方法に関する。また、数値制御工作機械の動作
シミュレーションにおいては、加工素材の形状データと
カッターの形状データを入力し、それらの間の差集合演
算を行ない、加工後の形状を表示する装置に関する。

〔従来の技術〕

現在、種々の集合演算方法及び表示方法が知られている
が、これらのほとんどは、スピードが問題となっている
。これは、集合演算や表示を行なう際に必要な１面の相
互干渉の検出や隠れた面の除去に非常に多くの演算を行
なう必要があるためである。スピードが問題とならない
適用分野も存在するが、動作シミュレーション等の動作
画像が必要とされる分野では、より高速の処理方法が要
求されている。

高速な処理を行なう方法として、２次元領域を扱うクワ
ドツリー（Ｑｕａｄｔｒｅｅ）　、　３次元領域を扱う
オクトツリー（Ｏｃｔｔｒｅｅ）がある。これらの方法
は、数学的には全く同一の原理を用いている。クワドッ
リーはワーノック（ｗａｒｎｏｃｋ）が発明したもので
あり（米国特許第３６０２７０２号（１９７１年８月３
１日発行））、オクトツリーは、ハンター（Ｈｕｎｔｅ
ｒ　Ｇ、Ｍ）がクワドッリーの概念を３次元に適用した
ものである（プリンストン大学電子工学・コンピュータ
科学学科提出学位論文「グラフィックスのための効果的
なコンピュータ利用とデータ構造」）、また、ドナルド
・ジエイ・マハーは。

オクトツリーの概念から、実際に形状の入力９表示等を
行なう方法を提案している（特開昭６０−２３７５７８
号公報）。

〔発明が解決しようとする問題点〕

これ等クワドツリー法とオクトツリー法には、以下のよ
うな問題点が存在する。

ａ）データ量が膨大になり、事実上、複雑な形状の物体
を取り扱うことは不可能である。

ｂ）オクトツリーでは、座標系に依存するいくつかの特
定の方向から見た表示を行なう処理は高速であるが、任
意の方向から見た２次元イメージを生成する処理は高速
ではない。

Ｃ）あらかじめ、物体を表現するデータの分解能を設定
する必要があり、後で部分的拡大表示を行なおうとして
も、最初に設定した分解能以上に拡大する場合には、多
くの処理をやり直す必要がある。

ｄ）計算機援用設計（ＣＡＤ）等での利用に際しては、
画面に表示投影されたイメージ上の点から、表示されて
いる３次元物体の表面の対応する点、及び入力データ中
の対応部分を特定する手段が不可欠であるが、オクトツ
リーでは非常に困難である。

本発明の目的は、これらの問題点を解決し、高速に、少
ない記憶装置で、任意の分解能で、領域の集合演算が可
能な装置、及び任意の方向から見た表示が可能で、しか
も表示した２次元イメージ上の任意の点から３次元物体
の表面の対応する点及び入力データ中の対応部分を特定
することのできる装置を提供することである。

〔問題点を解決するための手段〕

上記問題点は、自然数ｎに対して、 ｎ次元有限空間中に位置するｎ次元領域を規定する複数
のデータを入力する手段と、 領域を規定する前記複数のデータが、空部分及び実部分
を有する領域を表わすデータの条件及び空領域を表わす
データの条件及び実領域を表わすデータの条件の組合せ
によって定められる条件を満たすまで、前記空間を順次
分割し、前記複数の領域を、それぞれかかる分割された
各空間ごとに分割し、かかる各空間ごとに、前記領域を
規定する複数の各データから、かかる分割された領域を
規定する複数の各データを発生させる処理を繰り返す手
段と、 前記複数の領域の集合演算を、空間的に対応する、前記
分割された領域を規定するデータの集合演算によって行
なう手段と、 を有するｎ次元有限空間中に位置する複数のｎ次元領域
の集合演算装置により解決できる。

特に３次元の場合、上記問題点は。

３次元有限空間中に位置する３次元物体の形状を規定す
る複数のデータを入力する手段と。

物体の形状を規定する前記複数のデータが、空部分及び
実部分を有する領域を表わすデータの条件及び空領域を
表わすデータの条件及び実領域を表わすデータの条件の
組合せによって定められる条件を満たすまで、前記空間
を順次分割し、前記複数の物体を、それぞれかかる分割
された各空間ごとに分割し、かかる各空間ごとに、前記
物体の形状を規定する複数の各データから、かかる分割
された物体の形状を規定する複数の各データを発生させ
る処理を繰り返す手段と。

前記複数の物体の集合演算を、空間的に対応する、前記
分割された物体の形状を規定するデータの集合演算によ
って行なう手段と。

前記分割された空間について、あらかじめ定められた空
間の順序に従って、かかる空間内に位置する物体の表面
を、表示面に投影する手段と、ある場合には、入力デー
タ中の面に相当する情報と、３次元物体の表面の情報と
、表示した面の情報の間の対応関係の情報を設け、これ
を用いて２次元イメージ上の点から、対応する３次元物
体の表面の点、及び入力データ中の対応部分を特定する
手段と。

を有する領域の集合演算装置により解決できる。

〔作用〕

ｎ次元有限空間中に位置するｎ次元領域を規定する複数
のデータが入力され、 次に、領域を規定する前記複数のデータが、空部分及び
実部分を有する領域を表わすデータの条件及び空領域を
表わすデータの条件及び実領域を表わすデータの条件の
組合せによって定められる条件を満たすまで、前記空間
が順次分割され、前記複数の領域が、それぞれかかる分
割された各空間ごとに分割され、かかる各空間ごとに、
前記領域を規定する複数の各データから、かかる分割さ
れた領域を規定する複数の各データを発生させる処理が
繰り返され、 最後に、前記複数の領域の集合演算が、空間的に対応す
る、前記分割された領域を規定するデータの集合演算に
よって行われることによって、領域の集合演算が行なわ
れる。

特に３次元の場合、 ８次元有限空間中に位置スる３次元物体の形状を規定す
る複数のデータを入力され。

次に、物体の形状を規定する前記複数のデータが、空部
分及び実部分を有する領域を表わすデータの条件及び空
領域を表わすデータの条件及び実領域を表わすデータの
条件の組合せによって定められる条件を満たすまで、前
記空間が順次分割され、前記複数の物体が、それぞれか
かる分割された各空間ごとに分割され、かかる各空間ご
とに。

前記物体の形状を規定する複数の各データから。

かかる分割された物体の形状を規定する複数の各データ
を発生させる処理が繰り返され、前記複数の物体の集合
演算が、空間的に対応する、前記分割された物体の形状
を規定するデータの集合演算によって行なわれ。

前記分割された空間について、あらかじめ定められた空
間の順序に従って、かかる空間内に位置する物体の表面
が１表示面に投影されることによって、領域の集合演算
及び領域の表示が行なわれる。

また、ある場合には、入力データ中の面に相当する情報
と、３次元物体の表面の情報と１表示した面の情報の間
の対応関係の情報が設けられ、これを用いて２次元イメ
ージ上の点から、対応する３次元物体の表面の点、及び
入力データ中の対応部分を特定される。

〔実施例〕

本発明の１実施例は、３次元有限空間中に位置する３次
元物体の形状データを入力し、陰面消去して２次元的に
表示する方法である。

第２図は、図示しないディジタル計算装置等の情報処理
装置においてこの方法で行なう処理の概要を示したもの
である。この処理の手順は、まず形状データ図示しない
入力手段より入力しく２０１）、次にこの形状データが
、定められている条件を満たすまで（２０２）、空間の
８分割（２０３）と物体の分割（２０４）を行ない、条
件が満たされたならば（２０２）、物体の面を図示しな
いＣＲＴ、平面ディスプレイ（液晶、プラズマ、ＥＬ等
）等の表示手段の表示面に投影する（２０５）ものであ
る。

この方法の処理する物体の例として、第３図に示すよう
な例えば図示しない外部記憶装置中におけるｘｙｚ直交
座標系中の、 （−１００≦Ｘ≦１００）。

（−１００≦ｙ≦Ｚｏｏ）。

（−１００≦２≦１００） の範囲の立方体形の３次元有限空間１の中に位置する。

（２５，−２５，Ｏ）。

（−５０，５０，Ｏ）。

（−５０，−５０，Ｏ）。

（２５，−２５，５０）。

（−５０，５０，５０）。

（−５０，−５０，５０）。

を６頂点とする三角柱を考える。

本実施例の方法の最も好ましい入力データの形式は、物
体の形状を、領域を表わす不等式とそれらの間の関係で
表現する形式である。前記の三角柱の場合、形状情報を
この形式で表現すると、（Ｘ　　　≧−５０） ａｎｄ　（ｘ−３ｙ≦１００） ａｎｄ　（ｘ＋ｙ　　≦　　０） ａｎｄ（ｚ　　　　≧　　０） ａｎｄ　　（ｚ　　　　　≧　　５０）のような、５本
の不等式と、各不等式で表現される領域の共通部分であ
ることを示す関係（ａｎｄ）の記述のデータとなる。し
かし、本発明は、入力データの形式を本形式に限定する
ものではない。

例えば、境界表現と呼ばれる。点の座標値と、面の方程
式と１点と稜線と面の間の位相的関係との組のデータで
もよいし、立方体２円柱等のような基本的な形状要素の
組合せのデータでもよい。ただし、物体の内部と外部が
識別可能な、いわゆるソリッドモデル形式データである
必要がある。

本実施例の方法は、まず、このような、物体の形状を規
定するデータを入力する（２０１）。

次に、この形状データが定められた条件を満たすかどう
かを判定する（２０２）。本実施例の場合、定められた
条件とは、「形状が１本の不等式で表現できること、ま
たは空間全体が物体で満たされていること、または空間
に物体が全く存在しないこと」である。

この条件は、実施する方法に応じて、場合ごとに変更す
ることができる。また、１つの方法で複数の条件を用意
しておき、必要に応じて変更できるようにすることもで
きる。他の条件の例としては、［形状が２本以下の不等
式で表現できること、または空間全体が物体で満たされ
ていること、または空間に物体が全く存在しないこと」
、［形状が３本以下の不等式で表現できること、または
空間全体が物体で満たされていること、または空間に物
体が全く存在しないこと」、・・・・・・とすること。

また、不等式の種類に応じて、「形状が１本の２次不等
式で表現できること、または形状が２本以下の１次不等
式で表現できること、または空間全体が物体で満たされ
ていること、または空間に物体が全く存在しないこと」
等、入力データ形式を境界表現にした場合、面の数、稜
線の数１点の数。

あるいはそれらの関係等とすること等があげられる。こ
れらの条件は、形状を表現するデータが、面を投影する
処理（２０５）において取り扱い易いほど簡単になって
いるかどうかを判定する条件である。

さて１本例においては、形状データは５本の不等式から
構成されており、条件は満たされていない、そこで、「
否」を選択し１次に処理に進む（２０２）。

第４図に示すように１例えば記憶装置内の空間１を８分
割する（２０３）。空間１は、１辺が２００の立方体で
あるので、これを、 Ｘ＝Ｏ ｙ＝。

ｚ　＝０ の３枚の平面で８等分する。この結果、１−１：　　（
−１００≦Ｘ≦　　０）。

（−１００≦ｙ≦　　Ｏ）。

（−１００≦２≦　　０） １−２：（０≦Ｘ≦１００）。

（−１００≦ｙ≦　　０）。

（−１００≦２≦　　０） １−３：　　（−１００≦Ｘ≦　　０）。

（０≦ｙ≦１００）。

（−１００≦２≦　　０） １−４：（Ｑ≦Ｘ≦１００）、。

（０≦ｙ≦１００）。

（−１００≦２≦　　　０） １−５：　　（−１００≦Ｘ≦　　　ｏ）。

（−１００≦ｙ≦　　　０）。

（０≦楓≦１００） １−６：（０≦Ｘ≦１００）。

（−１００≦ｙ≦　　　Ｏ）。

（０≦２≦１００） １−７：　　（−１００≦Ｘ≦　　　０）。

（０≦ｙ≦１００）。

（Ｏ≦２≦１００） １−８：（０≦Ｘ≦１００）。

（０≦ｙ≦１００）。

（０≦２≦１００） の８つの空間ができる。

次に、前記物体を前記８空間に分割し、各空間内での形
状を規定するデータを作成する（２０４）。物体は、す
べて（２≧０）の領域に位置しているので、１−１．１
−２．１−３．１−４の空間はすべで空である。１−５
の空間には、三角柱の一部がかかつており、その形状は
、 （Ｘ　　　≧−５０） ａｎｄ　（Ｘ−３ｙ≦１ｏＯ） ａｎｄ（ｚ　　　　≦　５０） というデータで表現される。この１−５の空間は、形状
表現データから消えた２本の不等式で表わされる領域に
完全に含まれており、この１−５の空間内のみを考える
時、もはやこの２本の不等式は必要なくなる。同様に処
理すると、１−６．１−７の空間の形状表現データは、 １−６：　　　、（ｘ−３ｙ≦１００）ａｎｄ　（ｘ＋
ｙ　　≦　　０） ａｎｄ（ｚ　　　　≦　５０） １−７：（ｘ　　　　≧−５０） ａｎｄ　（ｘ＋ｙ　　≦　　−０） 、ａｎｄ（ｚ　　　　≦　５０） となり、１−８の空間は空となる。

これで物体の分割（２０４）が終了したので、形状デー
タの条件判定（２０２）に進む。形状データの条件判定
（２０２）は、さきほど分割した各空間（１−１，１−
２，１−３，１−４，１−５、ｌ−６，ｌ−７，１−８
）ごとに、最初の判定と同様に行なう。

空間１−１．１−２．１−３．ｌ−４，ｌ−８はすでに
空となっているので、もはや繰り返し処理は行なわない
。空間１−５内の形状データは、３本の不等式で構成さ
れており、条件は満たされていない。そこで、「否」を
選択し、次の処理に進む（２０２）。

第５図に示すように、空間１−５を８分割する（２０３
）。空間１−５は、いま、１辺が１００の立方体である
ので、これを、 ｘ＝−５０ ｙ＝−５０ ｚ＝　５０ の３枚の平面で８等分する。この結果、１−５−１：　
　（−１００≦Ｘ≦−５０）。

（−１００≦ｙ≦−５０）。

（０≦２≦　５０） １−５−２：　　（−５０≦Ｘ≦　　　０）。

（−１００≦ｙ≦−５０）。

（０，≦２≦　　５０） １−５−３：　　（−１００≦Ｘ≦−５０）。

（−５０≦ｙ≦　　　０）。

（０≦２≦　　５０） １−５−４：　　（−５０≦Ｘ≦　　　０）。

（−５０≦ｙ≦　　　Ｏ）。

（０≦２≦　５０） １−５−５：　　（−１００≦Ｘ≦−５０）。

（−１００≦ｙ≦−５０）。

（５０≦２≦１００） １−５−６：　　（−５０≦Ｘ≦　　　０）。

（−１００≦ｙ−≦−５０）。

（５０≦２≦１００） １−５−７：　　（−１００≦Ｘ≦−５０）。

（−５０≦ｙ≦　　　ｏ）。

（５０≦２≦１００） １−５−８：　　（−５０＜：ｘ≦　　　０）。

（−５０≦ｙ≦　　　０）。

（５０≦２≦１００） の８つの空間ができる。

次に、前記物体を前記８空間に分割し、各空間内での形
状の規定するデータを作成する（２０４）。

物体は、すべて、（２≧−５０）、（ｙ≧−５０）。

（２≦５０）の領域に位置しているので、１−５−１．
ｌ−５−２，１−５−３，１−５−５，１−５−６，ｌ
−５−７，１−５−８の空間はすべて空である。ｌ−５
−４の空間には、物体の一部がかかつており、その形状
は。

（ｘ−３ｙ≦１００） というデータで表現される。

これで物体の分割（２０４）が終了したので、形状デー
タの条件判定（２０２）に進む、空間１−５−１．１−
５−２．１−５−３．１−５−５゜１−５−６．ｌ−５
−７，１−５−８はすでに空となっているので、もはや
繰り返し処理は行なわない、また、空間１−５−４内の
形状データは、１本の不等式で構成されており、条件は
満たされている。

これで、空間１−５の内部はすべて条件が満たされたこ
とになる。同様にして、空間１−６．１−７を処理する
。これらの結果をまとめると、以下のようになる。空間
１−６は、８分割してもまだ条件を満たさない空間１−
６−３が存在するので、この空間のみは、さらに８分割
することになる。

１−１＝空 １−２：空 １−３：空 １−４：空 １−５−１：空 １−５−２：空 １−５−３：空 １−５−４　：　　（ｘ−３７≦１００）１−５−５：
空 １−５−８：空 １−５−７：空 １−５−８：空 １−６−１：空 １−６−２２空 １−６−３−１　：　　（ｘ−３ｙ≦１００）１−６−
３−２：空　　　　　　　　。

１−６−３−３　：　　（ｘ＋ｙ　　≦　　　０）１−
６−３−４：空 １−６−３−５　：　　（ｘ−３７≦１００）１−６−
３−６：空 １−６−３−７　：　　（ｘ＋ｙ　　≦　　　０）１−
６−３−８：空 １−６−４：空 １−６−５：空 １−６−６：空 １−６−７：空 １−６−８：空 １−７−１：空 １−７−２　：　　（ｘ＋ｙ　　≦　　　０）１−７−
３：空 １−７−４：空 １−７−５：空 １−７−”６　：空 １−７−７：空 １−７−８：空 １−８＝空 この結果は、別の表現形式によれば、第６図のような８
進水や、以下に示す形式で表現可能である。ただし、空
は０．満は１として表現している。

（ＯＯＯＯ（ＯＯ０（ｘ−３７≦ １００）ＯＯＯ０）（Ｏ０（（ｘ−３ｙ≦１００）Ｏ（
ｘ＋ｙ≦０）Ｏ（ｘ−３ｙ≦１００）０（ｘ＋ｙ≦０）
Ｏ）ＯＯＯＯ０）（０（ｘ＋ｙ≦Ｏ）ＯＯＯＯＯ０）Ｏ
） この方式は、ルベルの８つの空間の形状データを括弧で
囲んで表現したものである。

次に物体の面の表示処理（２０５）に進む。

３次元物体の面を２次元の表示面に投影するにあたり、
陰に隠れる面を隠した状態で表示する、いわゆる陰面消
去表示を行なう最も簡便で実用的な方法は、視点から最
も遠い面から順番に投影し、表示面上で先に投影された
面と後で投影された面が重なる場合には後の面を有効と
するという方法である。この方法で最も手数のかかる処
理は、視点と面の間の距離を計算し、面を遠い順番に並
べ変える処理である。

ところが１本実施例の方法によれば、この処理を大幅に
軽減することができる。３次元物体を定義している空間
１は、８分割され、さらに、その分割された空間（１−
１，ｌ−２，１−３，１−４，１−５，１−６，１−７
，１−８）のうちのいくつかは再び８分割され、という
ように、再帰的に８分割されている。そこで、まず、最
初に８分割された８つの空間のうち、視点から最も遠い
空間内の面を投影し、次に、その次に遠い空間内の面を
投影し、というように、第ルベルの投影順序を決定する
。次に、されらの各空間がさらに８分割されている場合
には、その中で遠い空間から処理することにする。

例えば本実施例の物体の例とした三角柱のデータでは、
視点を（１００，１２０，１３０）とする平行投影の場
合、第ルベルの投影順序として、空間１−１．１−５．
１−３．１−２．１−７゜１−４．１−６．１−８の順
序が決まる。そして。

その順序の中で１例えば空間１−５の分割された空間は
、１−５−１．１−５−５．ｌ−５−３゜１−５−２．
１−５−７．１−５−４．１−５−６．１−５−８の順
序となる。これらをまとめると、空間１−１．１−５−
１．１−５−５．１−５−３．１−５−２．１−５−７
．１−５−４゜１−５−６．１−５−８．１−３．ｌ−
２，・・・・・・という順序となる。

完全に距離から計算するとこの順序になるが、投影する
面の上下関係が変わらない範囲では、順序を変更しても
問題は無い１例えば、空間１−５の内部の物体と物量１
−３の内部の物体とは投影しても重なることはないので
、順序を変更しても問題無い、この点を考慮すると、視
点位置のＸ。

ｙ、ｚ各座標値の正負によって、８通りの順序を用意し
ておけば、すべての場合を用意したことになる。

さて、このようにして投影処理を行なう空間の順序が決
まるので、次に各空間についての処理を行なう。すなわ
ち、空間の中に存在する物体の表面を抽出し、これを２
次元の表示面に陰面消去的に投影する。この時の陰面消
去は、ここまでの処理で１つの空間の中の形状の定義デ
ータが十分に簡単になっているので、全空間中の物体を
同時に陰面消去表示することに比較すると格段に容易で
ある。

本実施例では、物体の面を、多角形の面は分割して、曲
面や曲線で囲まれた面は近似して、三角形に変換し、次
にこれらの三角形のうち、視点から見て表向きの面のみ
が選択し、視点から遠い面から順に投影した。裏向きの
面は必ず後で上描きされるので、表示する必要は無い。

例えば空間１−５−４内の物体では、第７図に示す６つ
の三角形を作成し１表示面に投影する。

本発明の第２の実施例は、３次元有限空間中に位置する
複数の３次元物体の形状データを入力し。

集合演算を行なった結果の物体を２次元的に表示するも
のである。

第１図は、図示しないディジタル計算装置等の図示しな
い情報処理装置において、この方法の行なう処理の概要
を示したものである。この処理の。

手順は、まず複数の形状データを図示しない久方手段に
よって入力しく１０１）、次にこれらの形状データが定
められた条件を満たすまで（１０２）、空間の８分割（
１０３）と複数の各物体の分割（１０４）を行ない、条
件が満たされたならば（１０２）、集合演算を行ない（
１０５）、演算結果の物体の面を表示手段によって表示
面に投影する（１０６）ものである。

この方法で処理する物体の例として、第８図（ａ）、（
ｂ）に示すような、ｘｙｚ直交座標系中の。

（−１００≦Ｘ≦１００）。

（−１００≦ｙ≦１００）。

（−１００：ｉ＊ｚ≦１００） の範囲の立方体形の３次元有限空間２の中に位置する、 ゛中心が（０，５，Ｏ）で、半径３ｏの球と半径５の球
の間の物体、及び 中心が（Ｑ、４５．Ｏ）で、半径３０の球と半径５の球
の間の物体 の和集合を考える。この演算の結果は、第８図（Ｑ）の
ようになり、断面を拡大すると、第９図のようになる。

これらの２つの物体の形状を規定するデータは、（ｘ２
＋（ｙ−５）”＋ｚ”≦３０ｚ）ａｎｄ　（ｘ”＋（ｙ
−５）”＋ｚ”≧　５２）及び （ｘ”＋（ｙ−４５）”＋ｚ”≦３０２）ａｎｄ　（ｘ
”＋（ｙ−４５）”＋ｚ”≧　５２）である。

本発明の本実施例の方法では、まず、このような、物体
の形状を規定する複数のデータを入力する（１０１）。

次に、この形状データ、が、定められた条件を満たすか
どうかを判定する（１０２）、本実施例での条件は、［
形状が１本の不等式で表現できる、または空間全体が物
体で満たされている、または空間に物体が全く存在しな
い、または空間の太きさが規定値以下になっている」で
ある・本例においては、各形状データはそれぞれ２本の
不等式から構成されており１条件は満たされていない、
そこで、第１の実施例と同様に処理すると、２つの物体
の形状デニタは、以下のようになる。

（ＡＡ（ＯＯＯＯＯ（ＯＡ　　０ ０　　Ａ（ＡＡＡＡ　　Ｉ　　　Ｂ　　Ａ　　１）ＯＡ
）Ｏ０）（ＯＯＯＯ（ＡＯ０ Ｏ（ＡＡＡＡＢ　　　ｌ　　　Ｉ　　　Ａ）ＡＡＯ）Ｏ
ＯＯ）Ａ　　Ａ（０（Ａ（Ｉ　　　Ｂ　　ＡＩＡＡＡＡ
）ＯＡＯＡＯＯ） ００００００）　　（（（Ｂ　　　１　　１ＡＡＡＡＡ
）ＡＡＯＡＯＯＯ） ０　０　０　０　０　０　０））、 及び、 ｃｏｃｃ（ｃｃｃｃｃｉｉ Ｄ））ＯＣ）　　（ＯＯＯＯ（ＯＯＣ ０ＣＯ（ＣＧＣＧＩＣＤＩ） Ｃ）ＯＣＯ）Ｏ０（０（ＯＣＣＣＣ １１ＤＣＣＣＣ）ＯＯＱＣ） ＯＣＯＯＯＯ）（（Ｃｏ（ＩＣ ＤＩＣＧＣＧ）ＣＯＯＣＯ） ＯＣＯＯＯＯＯ）） ただし、Ａ：　　（ｘ”＋（ｙ−５）”十ｚ”≦３０２
）Ｂ　：　　（ｘ”＋（ｙ　−５）”＋ｚ”≧　５２）
Ｃ：　　（ｘ”＋（ｙ−４５）”＋ｚ”≦３ｏｚ）Ｄ：
　　（ｘ”＋（ｙ−４５）”＋ｚ”≧　５ａ）次にこれ
らの２つの物体の和集合を計算する（１０５）、これは
、以下の方法で行なう。

ａ）どちらか一方が１なら、結果を１とする。

ｂ）どちらか一方が０なら、もう一方を結果とする。

Ｃ）両方が８分割されているなら、各項ごとに和集合を
求め、結果をまとめる。

ｄ）一方のみが８分割されているなら、もう一方を８分
割し、各項ごとに和集合を求め、結果をまとめる。

ｅ）そうでない場合は両方が不等式などので、最初の形
状データの入力時と同様に、２つの不等式で規定される
領域を表わすデータがあらかじ。

め定められた条件を満たすまで、空間及び物体の分割を
行なう。

先の例では、まず゛、両方が８分割されているので、Ｃ
）を実行する。この処理の中では、再帰的に、第１項の
和集合を求める。第１項は、ＡとＯであり、一方が０な
ので、ｂ）を実行する。すなわち、Ａを結果とする。第
２項は同様にして、ＡとＯより、Ａとなる。

第３項は、 （ＯＯＯＯ０（ＯＡＯ０Ａ（Ａ ＡＡＡＩＢＡＩ）ＯＡ）００） と （０００００（ＯＯＯＣＯＣ Ｃ（ＣＣＣＣＣ１１Ｄ））Ｏ Ｃ） であり、両方が８分割されているので、再帰的にＣ）を
実行する。

第１項から第５項まではともに０なので、結果は０であ
る。第６項（元データの第３項の第６項）は、 （ＯＡＯＯＡ（ＡＡＡＡＩＢ Ａｌ）ＯＡ） と （ＯＯＯＣＯＣＣ（ＣＣＣＣ Ｃ１１Ｄ））なので、第１項から第５項までは、 ０とＯよりＣ９ ＡとＯよりＡ。

０とＯより０゜ ０とＣよりＣ２ Ａと０よりＡとなる。第６項（元データの第３項の第６
項の第６項）は、 （Ａ　　Ａ　　Ａ　　Ａ　　Ｉ　　Ｂ　　Ａ　　１）と
Ｃで一方が８分割されているので、ｄ）を実行する。す
なわち、Ｃを分割して（ＯＯＯＯ００ ＣＣ）を作成し、 （Ａ　Ａ　　Ａ　　Ａ　　Ｉ　　Ｂ　　Ａ　　１）と（
ＯＯＯＯＯＯＣＣ）の間の演算 を行なう、これらは、両方が８分割されて・いるので、
各項ごとに演算を行なう。

まず、第１項から第６項までは。

ＡとＯより０゜ Ａと０よりＯ２ ＡとＯよりＯ９ Ａと０よ、す０゜ １と０より０゜ Ｂと０より０となる。第７項（元データの第３項の第６
項の第６項の第７項）は、ＡとＣであり、これらは、両
方不等式なので、ｅ）を行なう。このままでは不等式が
２本で条件を満たさないので、空間及び物体を分割し１
分割した各項ごとに演算を行なう。そして、先の条件を
満たすまでこれを行なう。

このような場合、最終的には、空間の大きさが規定値以
下になるという条件で停止することがある。この時には
、その項の結果として、近似的に０または１にしてしま
う方法と、複数の不等式とそれらの間の関係をそのまま
記録しておき、必要な時に展開できるようにしておく方
法が考えられる。本実施例では、後者の方法を採用して
いる。

空間の大きさの規定値としては、表示上の分解能に相当
する値を設定しておき、後の表示処理においては、この
項は０または１として扱うが、拡大表示の要求が生じた
時、再度この項を必要なだけ展開できるようにするため
である。この方法により、表示において最低限必要な処
理のみを行なうことが可能となっている。

以下、同様にして、他の部分も集合演算を行なうと、結
果は以下のようになる。

（ＡＡ（０００００（ＯＡＯ ＣＡ（ＡＡＡＡＩＢ・・・・・・ 次に物体の面の表示処理（１０５）を行なう。

本実施例でも、表示処理は、第１の実施例と同様に、空
間ごとに、しかもあらかじめ定められる空間の順序で１
表示のための物体の面を分割近似した三角形を作成して
行なうため、面を遠い順に並べ変える処理を省略できた
。

しかも、本実施例では、物体の面が空間の境界の面と一
致しないので、すべての分割した空間のうち、部分的に
物体が満たしている空間について。

のみ、しかもその空間において、空部分と実部分の境界
となっている面、すなわち、空間の境界と重なっていな
い面についてのみ三角形を作成して表示すればよい、言
い変えれば、空間をたどる際に、空の空間及び完全に満
の空間では、何もしないで次の空間の処理に移り、不等
式が記録されている空間では、不等式で表現されている
面についてのみ表示の処理を行なえばよい、この結果、
第１の実施例にも増して高速な表示が可能となった。

この方法は、本実施例のような、曲面のみで囲まれる物
体の処理では、無条件に適用可能である。

また、平面を有する物体の処理においても、それらの面
がすべて空間の境界と重ならないならば適用可能である
。そこで、あらかじめ、すべての平面が座標軸と垂直に
ならない方向に物体または座標系を回転させれば、適用
可能となる。

本実施例では、このような集合演算及び表示の処理の途
中で、入力データ中の不等式と、３次元の分割した物体
の面と、表示面に投影した２次元形状の間の関係のデー
タを作成しておいた。このため１表示された２次元イメ
ージ上の１点が与えられた時、まずこの点が表示面に投
影されたどの２次元形状に含まれるかを検索し、次に先
のデータを利用して、検索した２次元形状に対応する不
等式と３次元の物体の面を取り出し、次に２次元の表示
面上の座標と視線方向とから視線を計算し。

この視線の式と、不等式の不等号を等号に変更して求め
られる面の式との連、立方程式を解くことによって、与
えられた表示面上の点に対応する不等式と物体の面と面
上の座標値を得ることができた。

〔発明の効果〕

本発明によれば、ｎ次元有限空間中に位置する複数のｎ
次元領域の集合演算を高速に行なうことができる。

特に３次元の場合、゛３次元有有限間中に位置する複数
の３次元物体の集合演算及びその結果の表示を高速に行
なうことができる。

【図面の簡単な説明】

第１図は、本発明の第２の実施例の集合演算及びその結
果の表示の処理のフローチャート、第２図は３次元物体
の表示の処理のフローチャート、第３図は入力するデー
タに対応する物体を示す図、第４図は物体及び空間の分
割の方法を示す図、第５図は物体及び空間の分割の方法
を示す図、第６図は分割した物体を表現するデータの８
進水表児を示す図、第７図は物体の表示のために作成す
る三角形を示す図、第８図は入力するデータに対応する
物体を示す図、第９図は入力するデータに対応する物体
の拡大断面図である。 １・・・３次元有限空間、１−１．１−２．・・・・・
・・・・分割された３次元有限空間の各部分、７１−７
６・・・第　ｌ　囚 第　３　口 ＊　４　凹 Ｔ 第　５　圀 第　３　目 第　９　目 手続補正書（自発） １．６２エフ、Ｌら

Claims (1)

1. 【特許請求の範囲】 １、自然数ｎ（ｎ≧２）に対して、ｎ次元有限空間中に
   位置する複数のｎ次元領域の、集合演算を行なうもので
   あつて、 ｎ次元有限空間中に位置するｎ次元領域を規定する複数
   のデータを入力する手段と、 領域を規定する前記複数のデータが、空部分及び実部分
   を有する領域を表わすデータの条件及び空領域を表わす
   データの条件及び実領域を表わすデータの条件の組合せ
   によつて定められる条件を満たすまで、前記空間を順次
   分割し、前記複数の領域を、それぞれかかる分割された
   各空間ごとに分割し、かかる各空間ごとに、前記領域を
   規定する複数の各データから、かかる分割された領域を
   規定する複数の各データを発生させる処理を繰り返す手
   段と、 前記複数の領域の集合演算を、空間的に対応する、前記
   分割された領域を規定するデータの集合演算によつて行
   なう手段と、 を有することを特徴とする領域の集合演算装置。 ２、特許請求の範囲第１項において、ｎ≧３であること
   を特徴とする領域の集合演算装置。 ３、３次元有限空間中に位置する複数の３次元物体の集
   合演算を行ない、その結果を表示するものであつて、 ３次元有限空間中に位置する３次元物体の形状を規定す
   る複数のデータを入力する手段と、物体の形状を規定す
   る前記複数のデータが、空部分及び実部分を有する領域
   を表わすデータの条件及び空領域を表わすデータの条件
   及び実領域を表わすデータの条件の組合せによつて定め
   られる条件を満たすまで、前記空間を順次分割し、前記
   複数の物体を、それぞれかかる分割された各空間ごとに
   分割し、かかる各空間ごとに、前記物体の形状を規定す
   る複数の各データから、かかる分割された物体の形状を
   規定する複数の各データを発生させる処理を繰り返す手
   段と、 前記複数の物体の集合演算を、空間的に対応する、前記
   分割された物体の形状を規定するデータの集合演算によ
   つて行なう手段と、 前記分割された空間について、あらかじめ定められた空
   間の順序に従つて、かかる空間内に位置する物体の表面
   を、表示面に投影する手段と、 を有することを特徴とする領域の演算装置。 ４、３次元有限空間中に位置する３次元物体の形状を規
   定するデータを入力する手段と、 物体の形状を規定する前記データが、空部分及び実部分
   を有する領域を表わすデータの条件及び空領域を表わす
   データの条件及び実領域を表わすデータの条件の組合せ
   によつて定められる条件を満たすまで、前記空間を、順
   次分割し、前記物体を、かかる分割された各空間ごとに
   分割し、かかる各空間ごとに、前記物体の形状を規定す
   るデータから、かかる分割された物体の形状を規定する
   データを発生させる処理を繰り返す手段と、 前記分割された空間について、あらかじめ定められた空
   間の順序に従つて、かかる空間内に位置する物体の表面
   を、表示面に投影する手段と、 を有することを特徴とする領域の演算装置。 ５、物体の表面を表示面に投影する際に、前記分割され
   た空間について、あらかじめ定められた空間の順序に従
   つて、かかる各空間内に位置する物体がかかる空間を部
   分的に満たしている場合のみ、かかる物体の表面のうち
   、かかる空間の境界面と一致していない部分のみを、表
   面に投影する手段を有することを特徴とする特許請求の
   範囲第３項または第４項記載の領域の演算装置。 ６、表示面に投影された２次元イメージ上の任意の点に
   対応する、３次元物体の表面の点、及び入力データ中の
   対応部分を特定するために、入力データ中の面に相当す
   る情報と、３次元物体の表面の情報と、表示した面の情
   報の間の対応関係の情報を設け、これを用いて２次元イ
   メージ上の点から、対応する３次元物体の表面の点、及
   び入力データ中の対応部分を特定する手段を、さらに有
   することを特徴とする、特許請求の範囲第３項または第
   ４項記載の領域の演算装置。