JPH1166039A

JPH1166039A - 線形・非線形最適化問題を解くコンピュータ・ソフトウエア

Info

Publication number: JPH1166039A
Application number: JP24927897A
Authority: JP
Inventors: Hiroseki Tanaka; 宏績田中
Original assignee: Individual
Current assignee: Individual
Priority date: 1997-08-12
Filing date: 1997-08-12
Publication date: 1999-03-09

Abstract

(57)【要約】【目的】最適化手法としての数理計画法は、１９４７年
のＧ．Ｂ．Ｄａｎｔｚｉｇによる線形計画法のシンプレ
ックス法の提案以来、意欲的に研究され、コンピュータ
の進歩とともに急速に発展してきている［参考文献］
（４）。しかし計算（プログラム）が一層複雑難解にな
り、一般使用者が理解し活用することが困難である。こ
れを解決するコンピュータ・ソフトウエアを提供する。【構成】次の簡単な仮説が立てられる。“点Ｘを逐次移
動させて解に向かわせるのであるがこの時、最適化問題
を構成する目的関数と幾つかの制約条件をそれぞれ独立
なものと考える事ができる。即ち、目的関数を取り上げ
ている時には他の制約条件には関係なく、この目的関数
だけに注目して点Ｘを移動させる方向が決定でき、幾つ
かの制約条件の中の１つを取り上げている時にはここで
もまた目的関数や他の制約条件には関係なく、その制約
条件だけに注目して点Ｘを移動させる方向ならびに距離
が決定できる。”

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【産業上の利用分野】例えば高速艇船型を設計するに
は、いろいろな設計条件や要求に基ずく制約事項があ
り、その条件下で問題を解決しなければならない。船首
加速度ａｃｃ（Ｘ）、航走中仰角α（Ｘ）、旋回中船体
横傾斜θ（Ｘ）をある計画値より小さくするという条件
下で抵抗Ｒ（Ｘ）を最小にする問題が生ずる。但し、Ｘ
は船型等を表す設計変数。この場合、目的関数Ｒおよび
制約関数ａｃｃ、α、θが既知ならば、最適化の手法を
用いて問題を解くことができる。

【０００２】

【従来の技術】線形・非線形最適化問題は次のように表
される。最小化：Ｃ但し、＃：＜＝（以後＜と書く）または＞＝（以後＞と
書く）または＝。Ｃ：目的関数。関数はＸの関数。Ａ
（Ｍ）：Ｍ番目の制約関数。関数はＸの関数。Ｂ
（Ｍ）：Ｍ番目の右辺定数。Ａ（Ｍ）＃Ｂ（Ｍ）：Ｍ番
目の制約条件。Ｍ０：制約条件の数。与えられた制約条
件のもとで、ある１つの目的関数を最大あるいは最小に
するという最適化手法としての数理計画法は、１９４７
年のＧ．Ｂ．Ｄａｎｔｚｉｇ（ＲＡＮＤ研究所、現、Ｓ
ｔａｎｆｏｒｄＵｎｉｖ．）による線形計画法のシン
プレックス法の提案以来、意欲的に研究され、コンピュ
ータの進歩とともに急速に発展してきている。このよう
な数理計画法の２つの重要な分野である線形計画法と非
線形計画法に関する教科書や参考書はＧ．Ｂ．Ｄａｎｔ
ｚｉｇの著名な著書以来、今日に至るまで数多く出版さ
れてきている［参考文献］（４）。線形の方はシンプレ
ックス法が最も有力な手法とされている。しかし多く
の、そしていろいろな種類の問題を解いていくうちに、
思いもよらぬさまざまなことが生ずる。結局、たくさん
練習することだとのことである［参考文献］（８）。一
方、数学的モデルが非線形になると、格段に難しくな
る。しかし、とくにこの十数年の間に非線形最適化問題
に対する有効な数値解法の研究が進み、今や十分に実用
に耐えるところまできたと考えられる。しかしながら、
まだまだ、応用面への普及は不十分なのが現状である。
今後は、汎用性の高いソフトウエアの整備が課題となる
だろうとのことである［参考文献］（２）。ＳＱＰ法が
最も有力な手法とされている。［参考文献］線形・非線形の場合。（１）茨木俊秀・福島雅夫著「ＦＯＲＴＲＡＮ最適化プ
ログラミング」岩波書店。（２）ＡＳＮＯＰ研究会編「パソコンＦＯＲＴＲＡＮ版
非線形最適化プログラミング」日刊工業新聞社。（３）相吉英太郎・志水清孝著「数理計画法演習」朝倉
書店。（４）馬場則夫・坂和正敏著「数理計画法入門」共立出
版（株）。（５）相良信子著「数理計画法入門」森北出版（株）。（６）坂和正敏著「非線形システムの最適化」森北出版
（株）。線形の場合。（７）バシェク・フバータ著／坂田省二郎・藤野和建訳
「線形計画法（上）」啓学出版。（８）Ｊ・Ｐ・イグナチオ著／高桑宗右エ門訳「単一目
標・多目標システムにおける線形計画法」コロナ社。（９）玄光男・井田憲一著「ＢＡＳＩＣによる線形計
画」共立出版（株）。

【０００３】

【発明が解決しようとする主な課題】実際に遭遇する問
題は、例えば高速艇船型設計の場合の［００１０］問題
［Ａ］のように、元数や項数が［参考文献］で見られる
ような問題に較べて数段多い上に、必ずしもシンプレッ
クス法やＳＱＰ法等による計算に都合がよい形であると
は限らない。此のような問題でも確実に解くことができ
る“頑健性”がほしい。また、ブラックボックス化する
ことができれば解決する事だと思うが、一般の使用者が
容易に習得でき活用できる“ユーザー・フレンドリー
性”がほしい。発明が解決しようとする主な課題は、
“頑健性”、“ユーザー・フレンドリー性”の優れたコ
ンピュータ・ソフトウエアを提供することである。

【０００４】

【課題を解決するための手段】シンプレックス法やＳＱ
Ｐ法等とは全く異なる考え方による以下に示した仮説が
考えられる。（１）初期の点Ｘをきめる。（２）点ＸにおけるＣの最大傾斜方向にステップ幅Ｃ０
だけ降下させて新たな点Ｘとする。（３）次いで、１番最初の制約条件Ａ（１）＃Ｂ（１）
に注目して、今（２）で得られた点Ｘがこの制約条件を
満足させているかいないかを調べて、満足させていない
ときにはＡ（１）＝Ｂ（１）まで最短距離またはこれに
準じた方法でこの点Ｘを移動させて新たな点Ｘとする。
これに反して満足させているときは（２）で得られた点
Ｘをそのまま新たな点Ｘとする。（４）２番目の制約条件Ａ（２）＃Ｂ（２）についても
今（３）で得られた点Ｘについて同様な事を繰り返して
新たな点Ｘとする。（５）このようにして、Ｍ０個の制約条件全部について
同様なことを繰り返す。（６）このようにして得られた点Ｘを（１）の初期の点
Ｘと考える。（７）以上のことを繰り返す。初期の点Ｘが適当でＣ０が小さい場合、点Ｘは少なくと
も局所的最適解に収束する。

【０００５】

【発明の効果】

（１）［参考文献］にある多くの例題について実験的に
解いて見たところ例外なく満足な解が得られた。（２）
計算（プログラム）が比較にならないほど簡単になっ
た。（３）高度な数学の予備知識が不要になった。

【０００６】

【実施の詳細１】目的関数Ｃや制約関数Ａ（Ｍ）は、次
のように分けられる。（イ）線形関数。（ロ）２次形式
の非線形関数。（ハ）２次形式以外の非線形関数。
（ニ）最も簡単な関数。即ち一つの変数。以後これ等
を、「ダッシュ」記号を用いる事によって次のように表
す。（イ）線形関数：（’）。（ロ）２次形式の非線形
関数：（’’）。（ハ）２次形式以外の非線形関
数：（’’’）。（ニ）最も簡単な関数。即ち一つの変
数：（’’’’）。以下（’’’’）からなる制約条件が含まれている場合
最後に処理することにして此れ等は無いものとし、残り
の制約条件を（＜）、（＞）、（＝）の順に次の如く並
び変える。最小化：Ｃ但し、Ｍ１：制約条件Ａ（Ｍ）＜Ｂ（Ｍ）の数。Ｍ２：
制約条件Ａ（Ｍ）＞Ｂ（Ｍ）の数。Ｍ３：制約条件Ａ
（Ｍ）＝Ｂ（Ｍ）の数。

【０００７】

【実施の詳細２】この最適化問題において特にＣやＡ
（Ｍ）が（’’）だけによって構成されている問題を
［Ａ］型の問題という。［Ａ］型の問題は今後実用に向
けて一層重要になると予想されるので、この種の問題を
解くための［定形プログラム］を作成した。［プログラ
ム１］〜［プログラム４］参照。此のプログラムの中で、ＤＥＦＤＥＬ：倍精度宣言。Ｆ
ＩＸ（Ａ）：Ａで指定した値の整数部分。ＰＲＩＮＴ：
ヂィスプレイ表示。

【０００８】

【実施の詳細３】（’’）の場合は、Ｃ＝＋Ｃ２（１，１）＊Ｘ（１）＊Ｘ（１）＋Ｃ２（１，
２）＊Ｘ（１）＊Ｘ（２）・・・・・・・・・・・・・
・・＋Ｃ２（１，Ｎ）＊Ｘ（１）＊Ｘ（Ｎ）＋Ｃ２
（１，Ｎ＋１）＊Ｘ（１）＊Ｘ（Ｎ＋１）＋Ｃ２（２，２）＊Ｘ（２）＊Ｘ（２）＋Ｃ２（２，
３）＊Ｘ（２）＊Ｘ（３）・・・・＋Ｃ２（２，Ｎ）＊
Ｘ（２）＊Ｘ（Ｎ）＋Ｃ２（２，Ｎ＋１）＊Ｘ（２）＊
Ｘ（Ｎ＋１）・・・・・・・・＋Ｃ２（Ｎ，Ｎ）＊Ｘ（Ｎ）＊Ｘ（Ｎ）＋Ｃ２（Ｎ，Ｎ
＋１）＊Ｘ（Ｎ）＊Ｘ（Ｎ＋１）＋Ｃ２（Ｎ＋１，Ｎ＋
１）＊Ｘ（Ｎ＋１）＊Ｘ（Ｎ＋１）Ａ（Ｍ）＝＋Ａ２（１，１，Ｍ）＊Ｘ（１）＊Ｘ（１）＋Ａ２
（１，２，Ｍ）＊Ｘ（１）＊Ｘ（２）・・・・・・・・
・・＋Ａ２（１，Ｎ，Ｍ）＊Ｘ（１）＊Ｘ（Ｎ）＋Ａ２
（１，Ｎ＋１，Ｍ）＊Ｘ（１）＊Ｘ（Ｎ＋１）＋Ａ２（２，２，Ｍ）＊Ｘ（２）＊Ｘ（２）＋Ａ２
（２，３，Ｍ）＊Ｘ（２）＊Ｘ（３）・・・・＋Ａ２
（２，Ｎ，Ｍ）＊Ｘ（２）＊Ｘ（Ｎ）＋Ａ２（２，Ｎ＋
１，Ｍ）＊Ｘ（２）＊Ｘ（Ｎ＋１）・・・・・・・・＋Ａ２（Ｎ，Ｎ，Ｍ）＊Ｘ（Ｎ）＊Ｘ（Ｎ）＋Ａ２
（Ｎ，Ｎ＋１，Ｍ）＊Ｘ（Ｎ）＊Ｘ（Ｎ＋１）＋Ａ２
（Ｎ＋１，Ｎ＋１，Ｍ）＊Ｘ（Ｎ＋１）＊Ｘ（Ｎ＋
１）｝但し、Ｘ（Ｎ＋１）＝１。

【０００９】

【実施の詳細４】［定形プログラム］に、（Ａ），
（Ｇ）に示したデータを入力する。（Ａ）＊＊＊Ｅ８，Ｘ８，Ｃ０，Ｋ０，Ｎ＊＊＊但し、Ｅ８：これを大きくすると計算の精度は良くなる
が計算に要する時間が急激に増加する。実用的には１０
００００ぐらいが適当。Ｘ８：Ｅ８と同じにすると良
い。Ｃ０：−．１〜−．０００１ぐらいが適当。この絶
対値を大きくすると計算が早くなるが発散したり“鳥籠
現象”に似た現象を起こす惧れがある。−．１ぐらいか
ら試してみるとよい。ｋ０：計算回数の上限。Ｎ：元
数。（Ｂ）＊＊＊Ｘ（１），Ｘ（２）・・・・，Ｘ（Ｎ）の
初期値＊＊＊（Ｃ）＊＊＊Ｃ２（１、１），Ｃ２（１，２）・・・・
・・・・・・・・・・・・・，Ｃ２（１，Ｎ），Ｃ２
（１，Ｎ＋１）Ｃ２（２，２．），Ｃ２（２，３）・・・・，Ｃ２
（２，Ｎ），Ｃ２（２，Ｎ＋１）・・・・・・・・Ｃ２（Ｎ，Ｎ），Ｃ２（Ｎ，Ｎ＋１）Ｃ２（Ｎ＋１，Ｎ＋１）＊＊＊（Ｄ）＊＊＊Ｍ１，Ｍ２，Ｍ３＊＊＊（Ｅ）＊＊＊Ａ２（１，１，１），Ａ２（１，２，１）
・・・・・・・・・・・・・・・・，Ａ２（１，Ｎ，
１），Ａ２（１，Ｎ＋１，１）Ａ２（２，２，１），Ａ２（２，３，１）・・・・・・
・・，Ａ２（２，Ｎ，１），Ａ２（２，Ｎ＋１，１）・・・・・・・・Ａ２（Ｎ，Ｎ，１），Ａ２（Ｎ，Ｎ＋１，１）Ａ２（Ｎ＋１，Ｎ＋１，１）Ａ２（１，１，２），Ａ２（１，２，２）・・・・・・
・・・・・・・・・・，Ａ２（１，Ｎ，２），Ａ２
（１，Ｎ＋１，２）Ａ２（２，２，２），Ａ２（２，３，２）・・・・・・
・・，Ａ２（２，Ｎ，２），Ａ２（２，Ｎ＋１，２）・・・・・・・・Ａ２（Ｎ，Ｎ，２），Ａ２（Ｎ，Ｎ＋１，２）Ａ２（Ｎ＋１，Ｎ＋１，２）・・・・・・・・・・・・・・・・Ａ２（１，１，Ｍ８），Ａ２（１，２，Ｍ８）・・・・
・・・・・・・・・・，Ａ２（１，Ｎ，Ｍ８），Ａ２
（１，Ｎ＋１，Ｍ８）Ａ２（２，２，Ｍ８），Ａ２（２，３，Ｍ８）・・・・
・・，Ａ２（２，Ｎ，Ｍ８），Ａ２（２，Ｎ＋１，Ｍ
８）・・・・・・・・Ａ２（Ｎ，Ｎ，Ｍ８），Ａ２（Ｎ，Ｎ＋１，Ｍ８）Ａ２（Ｎ＋１，Ｎ＋１，Ｍ８）＊＊＊但し、Ｍ８＝Ｍ１＋Ｍ２＋Ｍ３。（Ｆ）＊＊＊Ｍ０＊＊＊（Ｇ）＊＊＊Ｂ（１），Ｂ（２）・・・・，Ｂ（Ｍ０）
＊＊＊（Ｈ）（’’’’）の場合の制約条件が含まれていると
き、行番号９１００〜９５００即ち［ｍａｉｎｐｒｏ
ｇｒａｍ］の一番最後に、此れらの（’’’’）からな
る制約条件にもとずいてプログラムを作成する。例えば
Ｘ（１）＞１２という制約条件の場合、Ｘ（１）がこの
制約条件を満足させているかいないかを調べて、満足さ
せていないときにはＸ（１）＝１２と置く。

【００１０】

【実施の詳細５】問題［Ａ］最小化：＊＊＊［（’’）］＊＊＊：［回帰関数。航海速度１５
ノットにおける抵抗馬力（ＰＳ）］＝＋．１３５３＊Ｘ
（１）＊Ｘ（１）＋．２３３２＊Ｘ（１）＊Ｘ（２）
＋．１６３１＊Ｘ（１）＊Ｘ（３）−１．９０３０＊Ｘ
（１）＊Ｘ（４）−．０１０２＊Ｘ（１）＊Ｘ（５）
−．０９１７＊Ｘ（１）＊Ｘ（６）−７．３９１５＊Ｘ
（１）＊Ｘ（７） −．０８０６＊Ｘ（２）＊Ｘ（２）＋．９０３２＊Ｘ
（２）＊Ｘ（３）＋．９３１１＊Ｘ（２）＊Ｘ（４）＋
１．１３２６＊Ｘ（２）＊Ｘ（５）−．０３１６＊Ｘ
（２）＊Ｘ（６）＋１．９２１７＊Ｘ（２）＊Ｘ（７）＋１．２２５９＊Ｘ（３）＊Ｘ（３）＋．７３７６＊Ｘ
（３）＊Ｘ（４）＋．０８１２＊Ｘ（３）＊Ｘ（５）
＋．３１２４＊Ｘ（３）＊Ｘ（６）−５５．３６７６＊
Ｘ（３）＊Ｘ（７）＋３．３８２４＊Ｘ（４）＊Ｘ（４）＋．０９２１＊Ｘ
（４）＊Ｘ（５）−．５６３３＊Ｘ（４）＊Ｘ（６）＋
１９．７１７９＊Ｘ（４）＊Ｘ（７）＋．１２５１＊Ｘ（５）＊Ｘ（５）＋．１７０４＊Ｘ
（５）＊Ｘ（６）−２．３８８７＊Ｘ（５）＊Ｘ（７）
−２８０．６９００＊Ｘ（６）＊Ｘ（６）＋４６０．７
２８０＊Ｘ（６）＊Ｘ（７）＋７１３．４８７０＊Ｘ（７）＊Ｘ（７）制約条件：＊＊＊［Ｍ＝１（’’）］＊＊＊：［本問題で用いられ
ている回帰関数が適用できる範囲をしめす関数。多くの
実験点を超楕円で囲むことによって得た。］＝＋．００
２６＊Ｘ（１）＊Ｘ（１）＋．００３１＊Ｘ（１）＊Ｘ
（２）−．００３１＊Ｘ（１）＊Ｘ（３）＋．０１３９
＊Ｘ（１）＊Ｘ（４）＋．０１０８＊Ｘ（１）＊Ｘ
（５）−．０８３９＊Ｘ（１）＊Ｘ（６）−．０４７９
＊Ｘ（１）＊Ｘ（７）＋．００２４＊Ｘ（２）＊Ｘ（２）−．００２４＊Ｘ
（２）＊Ｘ（３）＋．０１７４＊Ｘ（２）＊Ｘ（４）
＋．０１７６＊Ｘ（２）＊Ｘ（５）−．０５５２＊Ｘ
（２）＊Ｘ（６）−．０７５８＊Ｘ（２）＊Ｘ（７）＋．００９９＊Ｘ（３）＊Ｘ（３）−．００６３＊Ｘ
（３）＊Ｘ（４）−．０２２４＊Ｘ（３）＊Ｘ（５）
＋．１３８５＊Ｘ（３）＊Ｘ（６）−．２９３５＊Ｘ
（３）＊Ｘ（７）＋．０６８７＊Ｘ（４）＊Ｘ（４）＋．０５０３＊Ｘ
（４）＊Ｘ（５）−．２１９２＊Ｘ（４）＊Ｘ（６）
−．２４５５＊Ｘ（４）＊Ｘ（７）＋．１７３４＊Ｘ（５）＊Ｘ（５）＋．３７５５＊Ｘ
（５）＊Ｘ（６）−１．７１６４＊Ｘ（５）＊Ｘ（７）＋３．１１３６＊Ｘ（６）＊Ｘ（６）−７．２０６６＊
Ｘ（６）＊Ｘ（７）＋９．９５４９＊Ｘ（７）＊Ｘ（７）＜．１５０７＊＊＊［Ｍ＝２（’’）］＊＊＊：［回帰関数。最高速
度３５ノットで航走中の船体基線仰角（度）］＝＋．００３０＊Ｘ（１）＊Ｘ（１）＋．００３６＊Ｘ
（１）＊Ｘ（２）＋．０００４＊Ｘ（１）＊Ｘ（３）
＋．００３８＊Ｘ（１）＊Ｘ（４）−．００４３＊Ｘ
（１）＊Ｘ（５）＋．０００７＊Ｘ（１）＊Ｘ（６）
−．２４１４＊Ｘ（１）＊Ｘ（７） −．０１１９＊Ｘ（２）＊Ｘ（２）−．０００８＊Ｘ
（２）＊Ｘ（３）＋．００３２＊Ｘ（２）＊Ｘ（４）
＋．０１７５＊Ｘ（２）＊Ｘ（５）＋．００４８＊Ｘ
（２）＊Ｘ（６）＋．１５０２＊Ｘ（２）＊Ｘ（７）＋．００６３＊Ｘ（３）＊Ｘ（３）−．００１７＊Ｘ
（３）＊Ｘ（４）＋．００７９＊Ｘ（３）＊Ｘ（５）
＋．００１３＊Ｘ（３）＊Ｘ（６）−．３９３８＊Ｘ
（３）＊Ｘ（７）＋．１００５＊Ｘ（４）＊Ｘ（４）−．００２８＊Ｘ
（４）＊Ｘ（５）＋．００５６＊Ｘ（４）＊Ｘ（６）
＋．９２６０＊Ｘ（４）＊Ｘ（７）＋．１８８４＊Ｘ（５）＊Ｘ（５）＋．００６３＊Ｘ
（５）＊Ｘ（６）−２．２４８８＊Ｘ（５）＊Ｘ（７） −１３．００２９＊Ｘ（６）＊Ｘ（６）＋２４．６５８
２＊Ｘ（６）＊Ｘ（７）＋５．３６１７＊Ｘ（７）＊Ｘ
（７）＜２．３＊＊＊［Ｍ＝３（’’）］＊＊＊：［回帰関数。最高速
度３５ノットにおける抵抗馬力（ＰＳ）］＝＋１．１３２０＊Ｘ（１）＊Ｘ（１）＋．２３１９＊Ｘ
（１）＊Ｘ（２）−．１２９３＊Ｘ（１）＊Ｘ（３）
＋．９０７３＊Ｘ（１）＊Ｘ（４）＋．０３０３＊Ｘ
（１）＊Ｘ（５）＋．０８４２＊Ｘ（１）＊Ｘ（６）−
３０．１９６０＊Ｘ（１）＊Ｘ（７）＋２．８８２６＊Ｘ（２）＊Ｘ（２）＋．３０８４＊Ｘ
（２）＊Ｘ（３）−．２４８４＊Ｘ（２）＊Ｘ（４）
＋．９０２４＊Ｘ（２）＊Ｘ（５）−．２１３１＊Ｘ
（２）＊Ｘ（６）−５８．３３９６＊Ｘ（２）＊Ｘ
（７）＋８．９０３５＊Ｘ（３）＊Ｘ（３）＋．３３７４＊Ｘ
（３）＊Ｘ（４）−．０７５１＊Ｘ（３）＊Ｘ（５）
−．１９０３＊Ｘ（３）＊Ｘ（６）−２８８．３４１０
＊Ｘ（３）＊Ｘ（７）＋３２．５２０６＊Ｘ（４）＊Ｘ（４）＋．０８２５＊
Ｘ（４）＊Ｘ（５）−．２６３４＊Ｘ（４）＊Ｘ（６）
−２８．４０２２＊Ｘ（４）＊Ｘ（７）＋６．４４００＊Ｘ（５）＊Ｘ（５）＋．１３８１＊Ｘ
（５）＊Ｘ（６）＋９６．２６３８＊Ｘ（５）＊Ｘ
（７）＋２７１９．１＊Ｘ（６）＊Ｘ（６）−４６０７．６９
００＊Ｘ（６）＊Ｘ（７）＋５１６６．７０００＊Ｘ（７）＊Ｘ（７）＜１２５０・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
・・・・・・・・・・・＊＊＊［Ｍ＝４（’’’’）］＊＊＊：［船体中央部滑
走面幅（ｍ）］＝Ｘ（５）＝４．３５・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
・・・・・・・・・・・但し、Ｘ（７）＝１。本問は［Ａ］型の問題である。本問を解くプログラムを
作成した。［プログラム５］〜［プログラム６］はその
一部分である。本プログラムを実行してみたところＫ＝
１４２３９＋１となった時Ｃ０＝０となりプログラムを
終了した。その結果得たデイスプレイ表示は次の通り。＊＊＊ｔｉｍｅ０＄＝０９：４１：４６，＊＊＊ｔｉｍ
ｅ＄＝１１：４５：４７，＊＊＊Ｋ＝１４２３９，＊＊
＊Ｃ０＝−１Ｄ−３８，Ｘ（１）＝１７．６１８１５，
Ｘ（２）＝−．７０１２８，［滑走面全長（ｍ）］＝Ｘ
（３）＝１７．４３０４６，［重心位置］＝Ｘ（４）＝
−．３１６６９，Ｘ（５）＝４．３５，Ｘ（６）＝．８
２０３９，Ｃ＝２５５．００１２３，Ａ（１）＝．１５
０２（＜Ｂ（１）＝．１５０７），Ａ（２）＝２．３０
００１（＜Ｂ（２）＝２．３），Ａ（３）＝１２５０．
０００４６（＜Ｂ（３）＝１２５０）

【００１１】

【実施の詳細６】（’’）に限らず（’）、（’’’）
等も含んだ一般的な問題を［Ｂ］型の問題という。この
場合［００１３］〜［００１４］で述べるサブルーチン
を用いて［定形プログラム］を修正する。

【００１２】

【実施の詳細７】（’）の場合は、Ｃ＝Ｃ１（１）＊Ｘ（１）＋Ｃ１（２）＊Ｘ（２）・・
・・＋Ｃ１（Ｎ）＊Ｘ（Ｎ）＋Ｃ１（Ｎ＋１）＊Ｘ（Ｎ
＋１）Ａ（Ｍ）＝Ａ１（１，Ｍ）＊Ｘ（１）＋Ａ１
（２，Ｍ）＊Ｘ（２）・・・・＋Ａ１（Ｎ，Ｍ）＊Ｘ
（Ｎ）＋Ａ１（Ｎ＋１，Ｍ）＊Ｘ（Ｎ＋１）

【００１３】

【実施の詳細８】点ＸにおけるＣの最大傾斜方向にステ
ップ幅Ｃ０だけ降下させて新たな点Ｘとするサブルーチ
ン。（’）の場合は、ＦＯＲＩ＝１ＴＯＮＸ（Ｉ）＝Ｘ（Ｉ）＋Ｃ０＊Ｃ１（Ｉ）ＮＥＸＴＩＲＥＴＵＲＮ（’’）の場合は、ＦＯＲＩ＝１ＴＯＮ＋１ＦＯＲＪ＝Ｉ（注意：１ではない。以後Ｉ！で示す）
ＴＯＮ＋１Ｃ２（Ｊ，Ｉ）＝Ｃ２（Ｉ，Ｊ）ＮＥＸＴＪＮＥＸＴＩＦＯＲＩ＝１ＴＯＮＣ０（Ｉ）＝Ｃ２（Ｉ，Ｉ）＊Ｘ（Ｉ）ＦＯＲＪ＝１ＴＯＮ＋１Ｃ０（Ｉ）＝Ｃ０（Ｉ）＋Ｃ２（Ｉ，Ｊ）＊Ｘ（Ｊ）ＮＥＸＴＪＮＥＸＴＩＦＯＲＩ＝１ＴＯＮＸ（Ｉ）＝Ｘ（Ｉ）＋Ｃ０＊Ｃ０（Ｉ）ＮＥＸＴＩＲＥＴＵＲＮ（’’’）の場合は、ｄを偏微分記号として、ＦＯＲＩ＝１ＴＯＮＸ０（Ｉ）＝Ｘ（Ｉ）ＮＥＸＴＩＸ（１）＝Ｘ（１）＋Ｃ０＊（ｄＣ／ｄＸ（１））Ｘ（２）＝Ｘ（２）＋Ｃ０＊（ｄＣ／ｄＸ（２））・・・・・・・・Ｘ（Ｎ）＝Ｘ（Ｎ）＋Ｃ０＊（ｄＣ／ｄＸ（Ｎ））ＲＥＴＵＲＮ但し、（ｄＣ／ｄＸ（１）），（ｄＣ／ｄＸ（２））・
・・・，（ｄＣ／ｄＸ（Ｎ））の中のＸ（１）をＸ０
（１），Ｘ（２）をＸ０（２）・・・・，Ｘ（Ｎ）をＸ
０（Ｎ）と置きなおす。（’’’’）の場合は、例えば目的関数がＸ（３）の場
合、Ｘ（３）＝Ｘ（３）＋Ｃ０ＲＥＴＵＲＮ

【００１４】

【実施の詳細９】Ａ（Ｍ）＝Ｂ（Ｍ）まで最短距離また
はこれに準じた方法で点Ｘを移動させて新たな点Ｘとす
るサブルーチン。（’）の場合は、Ｑ＝０ＦＯＲＩ＝１ＴＯＮ＋１Ｑ＝Ｑ＋Ａ１（Ｉ，Ｍ）＊Ｘ（Ｉ）ＮＥＸＴＩＱ１＝０ＦＯＲＩ＝１ＴＯＮＱ１＝Ｑ１＋Ａ１（Ｉ，Ｍ）＾２ＮＥＸＴＩＱ０＝（Ｑ−Ｂ（Ｍ））／Ｑ１ＦＯＲＩ＝１ＴＯＮＸ（Ｉ）＝Ｘ（Ｉ）−Ｑ０＊Ａ１（Ｉ，Ｍ）ＮＥＸＴＩＲＥＴＵＲＮ（’’）の場合は、ＦＯＲＩ＝１ＴＯＮ＋１ＦＯＲＪ＝Ｉ！ＴＯＮ＋１Ａ２（Ｊ，Ｉ，Ｍ）＝Ａ２（Ｉ，Ｊ，Ｍ）ＮＥＸＴＪＮＥＸＴＩＦＯＲＩ＝１ＴＯＮＱ０（Ｉ）＝Ａ２（Ｉ，Ｉ，Ｍ）＊Ｘ（Ｉ）ＦＯＲＪ＝１ＴＯＮ＋１Ｑ０（Ｉ）＝Ｑ０（Ｉ）＋Ａ２（Ｉ，Ｊ，Ｍ）＊Ｘ
（Ｊ）ＮＥＸＴＪＮＥＸＴＩＱ１＝０ＦＯＲＩ＝１ＴＯＮＦＯＲＪ＝Ｉ！ＴＯＮＱ１＝Ｑ１＋Ａ２（Ｉ，Ｊ，Ｍ）＊Ｑ０（Ｉ）＊Ｑ０
（Ｊ）ＮＥＸＴＪＮＥＸＴＩＱ２＝０ＦＯＲＩ＝１ＴＯＮ＋１ＦＯＲＪ＝Ｉ！ＴＯＮ＋１Ｑ２＝Ｑ２＋Ａ２（Ｉ，Ｊ，Ｍ）＊（Ｘ（Ｉ）＊Ｑ０
（Ｊ）＋Ｘ（Ｊ）＊Ｑ０（Ｉ））ＮＥＸＴＪＮＥＸＴＩ８２９０Ｑ３＝−Ｂ（Ｍ）＋Ａ（Ｍ）：Ｑ４＝Ｑ２＾
２−４＊Ｑ１＊Ｑ３ＩＦＱ４＜０ＴＨＥＮ８２９２ＥＬＳＥ８２
９３８２９２ＰＲＩＮＴ“＊＊＊＊＊Ｑ４＜０＊＊＊＊
＊”：Ｑ４＝０８２９３Ｑ５＝（−Ｑ２＋Ｑ４＾．５）／（２＊Ｑ
１）ＦＯＲＩ＝１ＴＯＮＸ（Ｉ）＝Ｘ（Ｉ）＋Ｑ０（Ｉ）＊Ｑ５ＮＥＸＴＩＲＥＴＵＲＮ（’’’）の場合は、Ａ２（１，１，Ｍ），Ａ２（１，２，Ｍ）・・・・・・
・・・・・・・・・・・，Ａ２（１，Ｎ，Ｍ），Ａ２
（１，Ｎ＋１，Ｍ）Ａ２（２，２，Ｍ），Ａ２（２，
３，Ｍ）・・・・・・・・，Ａ２（２，Ｎ，Ｍ）Ａ２
（２，Ｎ＋１，Ｍ）・・・・・・・・Ａ２（Ｎ，Ｎ，Ｍ），Ａ２（Ｎ，Ｎ＋１，Ｍ）Ａ２（Ｎ＋１，Ｎ＋１，Ｍ）を次のようにわて求める。但し、［Ｉ］をＡ（Ｍ）のＸ
（Ｉ）による第１階偏導関数とし、［Ｉ］［Ｊ］をＡ
（Ｍ）のＸ（Ｉ）並びにＸ（Ｊ）による第２階偏導関数
とする。また、＋Ｆ（１，１）＋Ｆ（１，２）・・・・＋Ｆ（１，Ｎ）＋Ｆ（２，１）＋Ｆ（２，２）・・・・＋Ｆ（２，Ｎ）・・・・・・・・＋Ｆ（Ｎ，１）＋Ｆ（Ｎ，２）・・・・＋Ｆ（Ｎ，Ｎ）の代わりにＳＵＭ（Ｆ（Ｉ，Ｊ）），Ｊ＝１ＴＯ
Ｎ，Ｉ＝１ＴＯＮ＋Ｆ（１）＋Ｆ（２）・・・・＋
Ｆ（Ｎ）の代わりにＳＵＭ（Ｆ（Ｉ）），Ｉ＝１ＴＯ
Ｎというように表す。Ａ２（１，１，Ｍ）＝．５＊［１］［１］，Ａ２（１，
２，Ｍ）＝．５＊［１］［２］・・・・・・・・・・・
・・，Ａ２（１，Ｎ，Ｍ）＝．５＊［１］［Ｎ］Ａ２
（２，２，Ｍ）＝．５＊［２］［２］，Ａ２（２，３，
Ｍ）＝．５＊［２］［３］・・・・，Ａ２（２，Ｎ，
Ｍ）＝．５＊［２］［Ｎ］・・・・・・・・Ａ２（Ｎ，Ｎ，Ｍ）＝．５＊［Ｎ］［Ｎ］Ａ２（１，Ｎ＋１，Ｍ）＝．５＊（［１］−ＳＵＭ（Ｘ
（Ｉ）＊［Ｉ］［１］），Ｉ＝１ＴＯＮ）Ａ２（２，Ｎ＋１，Ｍ）＝．５＊（［２］−ＳＵＭ（Ｘ
（Ｉ）＊［Ｉ］［２］），Ｉ＝１ＴＯＮ）・・・・・・・・Ａ２（Ｎ，Ｎ＋１，Ｍ）＝．５＊（［Ｎ］−ＳＵＭ（Ｘ
（Ｉ）＊［Ｉ］［Ｎ］），Ｉ＝１ＴＯＮ）Ａ２（Ｎ＋１，Ｎ＋１，Ｍ）＝．５＊（ＳＵＭ（Ｘ
（Ｉ）＊Ｘ（Ｊ）＊［Ｉ］［Ｊ］），Ｊ＝１ＴＯ
Ｎ，Ｉ＝１ＴＯＮ）−（ＳＵＭ（Ｘ（Ｉ）＊
［Ｉ］），Ｉ＝１ＴＯＮ）＋Ａ（Ｍ）つづいて［００１４］（’’）の場合のサブルーチンに
ＧＯＳＵＢとし、つづいてＲＥＴＵＲＮとする。なお
［００１４］（’’）行番号８２９０のＡ（Ｍ）の計算
に注意。（’’’’）の場合は［０００９］（Ｈ）参
照。この場合サブルーチン化する必要はない。

【００１５】

【実施の詳細１０】問題［Ｂ］最小化：＊＊＊［（’’’）］＊＊＊：＋Ｘ（１）−Ｘ（３）＾
２＊ＬＯＧ（Ｘ（２）＾２）＋Ｘ（４）＊ＣＯＳ（Ｘ
（１））制約条件：＊＊＊［Ｍ＝１（’）］＊＊＊：−２＊Ｘ（１）−９＊
Ｘ（２）＋Ｘ（３）＋９＊Ｘ（４）＜−９＊＊＊［Ｍ＝２（’’’）］＊＊＊：＋１−２＊Ｘ
（３）−８＊Ｘ（３）＾２−１０＊Ｘ（４）＾２＋１８
＊Ｘ（４）＊Ｘ（３）＋ＥＸＰ（−Ｘ（３）−Ｘ
（４））＝３．７＊＊＊［Ｍ＝３（’’）］＊＊＊：＋Ｘ（１）＾２＋Ｘ
（２）＾２＋Ｘ（４）＾２＋Ｘ（１）−Ｘ（２）＋１．
７＊Ｘ（３）−Ｘ（４）＝７．５・・・・・・・・・・
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
・＊＊＊［Ｍ＝４（’’’’）］＊＊＊：Ｘ（１）＞０，
＊＊＊［Ｍ＝５’’’’）］＊＊＊：Ｘ（４）＜−１．
１・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
・・・・・・・・・・・・本問は［Ｂ］型の問題である。本問にもとづいて［プロ
グラム７］〜［プログラム１１］が得られる。本プログ
ラムを実行して得たデスプレイ表示は次の通り。＊＊＊ｔｉｍｅ０＄＝１２：００：２８，ｔｉｍｅ＄＝
１２：０８：４１，＊＊＊Ｋ＝１１１５，Ｃ０＝−１Ｄ
−３８，Ｘ（１）＝０，Ｘ（２）＝１．８５８８１，Ｘ
（３）＝−．８６６８５，Ｘ（４）＝−２．２６１７
５，Ｃ＝−３．１９３４３，Ａ（１）＝−３７．９５１
９５（＜Ｂ（１）＝−９），Ａ（２）＝３．７（＝Ｂ
（２）＝３．７），Ａ（３）＝７．５（＝Ｂ（３）＝
７．５）

【コンピュータ・プログラムの簡単な説明】

【プログラム１】〜

【プログラム４】定形プログラム

【プログラム５】〜

【プログラム６】定形プログラムの使用例（１）

【プログラム７】〜

【プログラム１１】定形プログラムの使用例（２）

Claims

【特許請求の範囲】

【請求項１】次に示した線形・非線形最適化問題を解
く、（１）〜（７）の計算法によるコンピュータ・ソフ
トウエア。最小化：Ｃ但し、＃：＜＝または＞＝または＝。Ｃ：目的関数。関
数はＸの関数。Ａ（Ｍ）：Ｍ番目の制約関数。関数はＸ
の関数。Ｂ（Ｍ）：Ｍ番目の右辺定数。Ａ（Ｍ）＃Ｂ
（Ｍ）：Ｍ番目の制約条件。Ｍ０：制約条件の数。（１）初期の点Ｘをきめる。（２）点ＸにおけるＣの最大傾斜方向にステップ幅Ｃ０
だけ降下させて新たな点Ｘとする。（３）次に、制約条件Ａ（１）＃Ｂ（１）に注目して、
今（２）で得られた点Ｘがこの制約条件を満足させてい
るかいないかを調べて、満足させていないときには、Ａ
（Ｘ，１）＝Ｂ（１）まで最短距離またはこれに準じた
方法でこの点Ｘを移動させて新たな点Ｘとする。これに
反して満足させているときは（２）で得られた点Ｘをそ
のまま新たな点Ｘとする。（４）制約条件Ａ（Ｘ，２）＃Ｂ（２）についても今
（３）で得られた点Ｘについて同様な事を繰り返して新
たな点Ｘとする。（５）このようにして、Ｍ０個の制約条件全部について
同様なことを繰り返す。（６）このようにして得られた点Ｘを（１）の初期の点
Ｘと考える。（７）以上のことを繰り返す。Ｃ０を小さくする事に依って点Ｘを局所的最適解に収束
させる。