JPH11203489A - ベジェ曲線の描画方法、ベジェ曲線の描画装置およびベジェ曲線の描画プログラムを記録した記録媒体 - Google Patents
ベジェ曲線の描画方法、ベジェ曲線の描画装置およびベジェ曲線の描画プログラムを記録した記録媒体Info
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- JPH11203489A JPH11203489A JP798798A JP798798A JPH11203489A JP H11203489 A JPH11203489 A JP H11203489A JP 798798 A JP798798 A JP 798798A JP 798798 A JP798798 A JP 798798A JP H11203489 A JPH11203489 A JP H11203489A
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Abstract
(57)【要約】
【課題】 不適切な状態で直線近似を終了してしまう不
具合を生じさせることなく、従来よりも少ない演算量で
ベジェ曲線の直線近似を行い、その描画を行うことがで
きるベジェ曲線の描画方法を提供する。 【解決手段】 ベジェ曲線データにより特定される３次
のベジェ曲線を予め２分割し、第１および第２のベジェ
曲線とする（ステップＳ２１）。次いで各ベジェ曲線に
ついて、誤差判定ステップと分割ステップからなる直線
近似処理を再帰的に繰り返し（ステップＳ２２）、最終
的に得られた各ベジェ曲線の各定義多角形の外郭辺を元
のベジェ曲線の近似直線群の直線線分データファイルＦ
２として保存し、その描画を行う。
具合を生じさせることなく、従来よりも少ない演算量で
ベジェ曲線の直線近似を行い、その描画を行うことがで
きるベジェ曲線の描画方法を提供する。 【解決手段】 ベジェ曲線データにより特定される３次
のベジェ曲線を予め２分割し、第１および第２のベジェ
曲線とする（ステップＳ２１）。次いで各ベジェ曲線に
ついて、誤差判定ステップと分割ステップからなる直線
近似処理を再帰的に繰り返し（ステップＳ２２）、最終
的に得られた各ベジェ曲線の各定義多角形の外郭辺を元
のベジェ曲線の近似直線群の直線線分データファイルＦ
２として保存し、その描画を行う。
Description
【０００１】
【発明の属する技術分野】この発明は、コンピュータグ
ラフィックス等において用いられるベジェ（Bezier）曲
線の描画方法、ベジェ曲線の描画装置およびベジェ曲線
の描画プログラムを記録した記録媒体に関する。
ラフィックス等において用いられるベジェ（Bezier）曲
線の描画方法、ベジェ曲線の描画装置およびベジェ曲線
の描画プログラムを記録した記録媒体に関する。
【０００２】
【従来の技術】コンピュータグラフィックスやＣＡＤ
（Computer Aided Design）等の分野では、ユーザが対
話形式により車体、建造物等の所望の対象物の造形を行
うということが一般的に行われている。このようなコン
ピュータを使用した造形を行う場合、所望の形状の滑ら
かな曲線を所望の箇所に描くことが必要とされる。かか
る場合、ベジェ曲線が一般的に用いられる。
（Computer Aided Design）等の分野では、ユーザが対
話形式により車体、建造物等の所望の対象物の造形を行
うということが一般的に行われている。このようなコン
ピュータを使用した造形を行う場合、所望の形状の滑ら
かな曲線を所望の箇所に描くことが必要とされる。かか
る場合、ベジェ曲線が一般的に用いられる。
【０００３】ここで、図９を参照し、３次のベジェ曲線
について説明する。図９には４個の頂点Ｐ0、Ｐ1、Ｐ2
およびＰ3からなる四角形と、この四角形Ｐ0Ｐ1Ｐ2Ｐ3
の頂点Ｐ0からＰ3に至る曲線Ｐ（ｔ）とが示されてい
る。これらのうち曲線Ｐ（ｔ）が３次のベジェ曲線であ
る。このベジェ曲線Ｐ（ｔ）上の各点の位置ベクトル
は、四角形Ｐ0Ｐ1Ｐ2Ｐ3の各頂点の位置ベクトルＰ0〜
Ｐ3を用いて次式のように表される。 Ｐ（ｔ） ＝（１−ｔ）3Ｐ0＋３（１−ｔ）2ｔＰ1＋３（１−ｔ）ｔ2Ｐ2＋ｔ3Ｐ3 ……（１）
について説明する。図９には４個の頂点Ｐ0、Ｐ1、Ｐ2
およびＰ3からなる四角形と、この四角形Ｐ0Ｐ1Ｐ2Ｐ3
の頂点Ｐ0からＰ3に至る曲線Ｐ（ｔ）とが示されてい
る。これらのうち曲線Ｐ（ｔ）が３次のベジェ曲線であ
る。このベジェ曲線Ｐ（ｔ）上の各点の位置ベクトル
は、四角形Ｐ0Ｐ1Ｐ2Ｐ3の各頂点の位置ベクトルＰ0〜
Ｐ3を用いて次式のように表される。 Ｐ（ｔ） ＝（１−ｔ）3Ｐ0＋３（１−ｔ）2ｔＰ1＋３（１−ｔ）ｔ2Ｐ2＋ｔ3Ｐ3 ……（１）
【０００４】上記式（１）において、ｔの変域は０から
１までである。そして、ｔを０から１まで変化させる
と、上記式（１）により与えられる位置ベクトルＰ
（ｔ）は、点Ｐ0から点Ｐ3まで移動する。すなわち、Ｐ
0がベジェ曲線Ｐ（ｔ）の始点であり、Ｐ3がベジェ曲線
Ｐ（ｔ）の終点である。そして、上記式（１）から明ら
かなように、ベジェ曲線Ｐ（ｔ）は四角形Ｐ0Ｐ1Ｐ2Ｐ3
の各頂点Ｐ0〜Ｐ3の位置ベクトルにより一義的に決定さ
れる。このため、四角形Ｐ0Ｐ1Ｐ2Ｐ3は、ベジェ曲線Ｐ
（ｔ）の定義多角形と呼ばれ、その頂点Ｐ0〜Ｐ3は制御
点と呼ばれる。また、定義多角形の各辺のうちベジェ曲
線Ｐ（ｔ）の始点Ｐ0と終点Ｐ3とを結ぶ直線Ｐ0Ｐ3はベ
ースラインと呼ばれる。
１までである。そして、ｔを０から１まで変化させる
と、上記式（１）により与えられる位置ベクトルＰ
（ｔ）は、点Ｐ0から点Ｐ3まで移動する。すなわち、Ｐ
0がベジェ曲線Ｐ（ｔ）の始点であり、Ｐ3がベジェ曲線
Ｐ（ｔ）の終点である。そして、上記式（１）から明ら
かなように、ベジェ曲線Ｐ（ｔ）は四角形Ｐ0Ｐ1Ｐ2Ｐ3
の各頂点Ｐ0〜Ｐ3の位置ベクトルにより一義的に決定さ
れる。このため、四角形Ｐ0Ｐ1Ｐ2Ｐ3は、ベジェ曲線Ｐ
（ｔ）の定義多角形と呼ばれ、その頂点Ｐ0〜Ｐ3は制御
点と呼ばれる。また、定義多角形の各辺のうちベジェ曲
線Ｐ（ｔ）の始点Ｐ0と終点Ｐ3とを結ぶ直線Ｐ0Ｐ3はベ
ースラインと呼ばれる。
【０００５】コンピュータグラフィックス等では、例え
ばユーザがマウス等のポインティングデバイスにより定
義多角形の頂点の位置ベクトルの指定を行い、コンピュ
ータ側でこの定義多角形に対応したベジェ曲線を演算
し、ディスプレイにそのベジェ曲線の描画を行う、とい
うことが一般的に行われている。
ばユーザがマウス等のポインティングデバイスにより定
義多角形の頂点の位置ベクトルの指定を行い、コンピュ
ータ側でこの定義多角形に対応したベジェ曲線を演算
し、ディスプレイにそのベジェ曲線の描画を行う、とい
うことが一般的に行われている。
【０００６】ここで、ベジェ曲線の形状は、ユーザが入
力する定義多角形の形に大体従う。また、ベジェ曲線の
始点と終点における接線ベクトルの方向は、定義多角形
の最初と最後の辺（図９の例では辺Ｐ0Ｐ1と辺Ｐ2Ｐ3）
の方向と各々同じである。従って、ユーザは、出来上が
るベジェ曲線を予測しながら定義多角形の入力を行うこ
とができ、容易に所望の形状のベジェ曲線を得ることが
できるのである。
力する定義多角形の形に大体従う。また、ベジェ曲線の
始点と終点における接線ベクトルの方向は、定義多角形
の最初と最後の辺（図９の例では辺Ｐ0Ｐ1と辺Ｐ2Ｐ3）
の方向と各々同じである。従って、ユーザは、出来上が
るベジェ曲線を予測しながら定義多角形の入力を行うこ
とができ、容易に所望の形状のベジェ曲線を得ることが
できるのである。
【０００７】さて、以上説明したベジェ曲線をコンピュ
ータのディスプレイ等に表示したり、あるいはプロッタ
により印刷する場合、ベジェ曲線を直線の集りによって
近似して表示や印刷を行うのが一般的である。
ータのディスプレイ等に表示したり、あるいはプロッタ
により印刷する場合、ベジェ曲線を直線の集りによって
近似して表示や印刷を行うのが一般的である。
【０００８】ここで、ベジェ曲線を直線の集りによって
近似する手法については、幾つかの手法が開示されてい
る。特に一般的に知られているのは、ド・カステリョ
（de Castelijau）が開発したベジェ曲線の分割手法を
利用した直線近似手法である。この種の直線近似手法で
は、ベジェ曲線を複数のベジェ曲線に分割し、例えば各
ベジェ曲線の各定義多角形の各ベースラインにより、元
のベジェ曲線の近似を行う。この場合、分割された各ベ
ジェ曲線と各々に対応した各ベースラインとがほぼ一致
していれば、各ベースラインは元のベジェを近似するも
のであると言える。しかし、各ベースラインの中に元の
ベジェ曲線との間に例えば大きな隙間があるようなもの
が含まれている場合、そのようなベースラインは近似直
線として相応しくない。その一方、ベジェ曲線をあまり
に細かく分割したのでは、近似が終了するまでの演算時
間が膨大になるという問題がある。
近似する手法については、幾つかの手法が開示されてい
る。特に一般的に知られているのは、ド・カステリョ
（de Castelijau）が開発したベジェ曲線の分割手法を
利用した直線近似手法である。この種の直線近似手法で
は、ベジェ曲線を複数のベジェ曲線に分割し、例えば各
ベジェ曲線の各定義多角形の各ベースラインにより、元
のベジェ曲線の近似を行う。この場合、分割された各ベ
ジェ曲線と各々に対応した各ベースラインとがほぼ一致
していれば、各ベースラインは元のベジェを近似するも
のであると言える。しかし、各ベースラインの中に元の
ベジェ曲線との間に例えば大きな隙間があるようなもの
が含まれている場合、そのようなベースラインは近似直
線として相応しくない。その一方、ベジェ曲線をあまり
に細かく分割したのでは、近似が終了するまでの演算時
間が膨大になるという問題がある。
【０００９】そこで、この種のベジェ曲線を分割して近
似直線を求める手法では、誤差判定ステップと分割ステ
ップからなる直線近似処理を再帰的に繰り返すという手
順が採られる。以下、その手順について図１０（ａ）〜
（ｄ）を参照し説明する。
似直線を求める手法では、誤差判定ステップと分割ステ
ップからなる直線近似処理を再帰的に繰り返すという手
順が採られる。以下、その手順について図１０（ａ）〜
（ｄ）を参照し説明する。
【００１０】まず、図１０（ａ）に示すような定義多角
形Ｐ0Ｐ1Ｐ2Ｐ3により定義されたベジェ曲線Ｐ（ｔ）が
与えられているものとすると、何等かの誤差評価関数を
使用してこのベジェ曲線Ｐ（ｔ）と当該ベジェ曲線の定
義多角形との誤差（例えばベジェ曲線と定義多角形のベ
ースラインとの誤差）を求める。そして、この誤差が許
容範囲に収っているか否かを判定する。以上が上記誤差
判定ステップである。
形Ｐ0Ｐ1Ｐ2Ｐ3により定義されたベジェ曲線Ｐ（ｔ）が
与えられているものとすると、何等かの誤差評価関数を
使用してこのベジェ曲線Ｐ（ｔ）と当該ベジェ曲線の定
義多角形との誤差（例えばベジェ曲線と定義多角形のベ
ースラインとの誤差）を求める。そして、この誤差が許
容範囲に収っているか否かを判定する。以上が上記誤差
判定ステップである。
【００１１】次に上記誤差が許容範囲を越えている場合
には、上記分割ステップを実行する。すなわち、上記ド
・カステリョの分割手法により、図１０（ｂ）に例示す
るように、ベジェ曲線Ｐ（ｔ）上に分割点Ｐ4を求め
る。そして、元のベジェ曲線Ｐ（ｔ）を、始点をＰ0と
し、かつ、終点をＰ4とするベジェ曲線と、始点をＰ4と
し、かつ、終点をＰ3とするベジェ曲線とに２分割する
のである。
には、上記分割ステップを実行する。すなわち、上記ド
・カステリョの分割手法により、図１０（ｂ）に例示す
るように、ベジェ曲線Ｐ（ｔ）上に分割点Ｐ4を求め
る。そして、元のベジェ曲線Ｐ（ｔ）を、始点をＰ0と
し、かつ、終点をＰ4とするベジェ曲線と、始点をＰ4と
し、かつ、終点をＰ3とするベジェ曲線とに２分割する
のである。
【００１２】次に、２分割した各ベジェ曲線を処理対象
として上記誤差判定ステップを再び実行する。すなわ
ち、始点をＰ0とし、かつ、終点をＰ4とするベジェ曲線
と当該ベジェ曲線のベースラインＰ0Ｐ4との間の誤差を
求める。そして、この誤差が許容範囲を越えている場合
には、図１０（ｃ）に例示するように、分割点Ｐ5を求
め、当該ベジェ曲線を２分割する。同様に、始点をＰ4
とし、かつ、終点をＰ3とするベジェ曲線についてもベ
ースラインＰ4Ｐ3との間の誤差を求め、誤差が許容範囲
を越えている場合には、図１０（ｄ）に例示するよう
に、分割点Ｐ6により当該ベジェ曲線を２分割する。
として上記誤差判定ステップを再び実行する。すなわ
ち、始点をＰ0とし、かつ、終点をＰ4とするベジェ曲線
と当該ベジェ曲線のベースラインＰ0Ｐ4との間の誤差を
求める。そして、この誤差が許容範囲を越えている場合
には、図１０（ｃ）に例示するように、分割点Ｐ5を求
め、当該ベジェ曲線を２分割する。同様に、始点をＰ4
とし、かつ、終点をＰ3とするベジェ曲線についてもベ
ースラインＰ4Ｐ3との間の誤差を求め、誤差が許容範囲
を越えている場合には、図１０（ｄ）に例示するよう
に、分割点Ｐ6により当該ベジェ曲線を２分割する。
【００１３】このようにベジェ曲線とこれに対応するベ
ースラインとの間の誤差判定ステップおよび誤差が許容
範囲外である場合のベジェ曲線の分割ステップという２
ステップからなる処理を再帰的に繰り返し、誤差が許容
範囲内に収ることを以て分割を終了する。そして、この
分割終了時点において、分割された各ベジェ曲線の各ベ
ースラインを元のベジェ曲線の近似直線とするのであ
る。
ースラインとの間の誤差判定ステップおよび誤差が許容
範囲外である場合のベジェ曲線の分割ステップという２
ステップからなる処理を再帰的に繰り返し、誤差が許容
範囲内に収ることを以て分割を終了する。そして、この
分割終了時点において、分割された各ベジェ曲線の各ベ
ースラインを元のベジェ曲線の近似直線とするのであ
る。
【００１４】以上説明したベジェ曲線の直線近似手法に
おいて、誤差評価関数は、ベジェ曲線の直線近似を終了
するか否かの判断の基準として使用するものであるか
ら、これを如何に定めるかは極めて重要である。この場
合、適当なｔ（例えばｔ＝０．５）に対応したベジェ曲
線上の点とベースラインとの間の距離を誤差とする等の
簡便な方法も考えられないではない。しかし、３次以上
のベジェ曲線の場合、図９に例示するような凸閉包の定
義多角形によって定義された単純な形状のものだけでは
なく、図１１や図１２に例示するような凸閉包でない定
義多角形により定義された複雑に曲がりくねったベジェ
曲線も存在する。このような複雑な形状のベジェ曲線の
直線近似を行う場合、誤差評価に使用するベジェ曲線上
の点の選択が不適切であると、ベジェ曲線とベースライ
ンとが掛け離れたものであるにも拘わらず両者の誤差が
小さいと判定し、ベジェ曲線の分割を行うことなく近似
を終了してしまうおそれがある。従って、ベジェ曲線の
直線近似を行う場合には、このような不都合が生じない
よう適切な誤差評価関数を使用し、近似終了の判断をす
る必要があるのである。以下、従来用いられてきた誤差
評価関数の例について説明する。
おいて、誤差評価関数は、ベジェ曲線の直線近似を終了
するか否かの判断の基準として使用するものであるか
ら、これを如何に定めるかは極めて重要である。この場
合、適当なｔ（例えばｔ＝０．５）に対応したベジェ曲
線上の点とベースラインとの間の距離を誤差とする等の
簡便な方法も考えられないではない。しかし、３次以上
のベジェ曲線の場合、図９に例示するような凸閉包の定
義多角形によって定義された単純な形状のものだけでは
なく、図１１や図１２に例示するような凸閉包でない定
義多角形により定義された複雑に曲がりくねったベジェ
曲線も存在する。このような複雑な形状のベジェ曲線の
直線近似を行う場合、誤差評価に使用するベジェ曲線上
の点の選択が不適切であると、ベジェ曲線とベースライ
ンとが掛け離れたものであるにも拘わらず両者の誤差が
小さいと判定し、ベジェ曲線の分割を行うことなく近似
を終了してしまうおそれがある。従って、ベジェ曲線の
直線近似を行う場合には、このような不都合が生じない
よう適切な誤差評価関数を使用し、近似終了の判断をす
る必要があるのである。以下、従来用いられてきた誤差
評価関数の例について説明する。
【００１５】まず、特開平４−２２３５７７号公報は、
図１３に例示するように、定義多角形Ｐ0Ｐ1Ｐ2Ｐ3によ
り定義されたペジェ曲線Ｐ（ｔ）が与えられた場合に、
ベジェ曲線Ｐ（ｔ）の始点および終点を除く２個の制御
点Ｐ1およびＰ2の各々からベースラインＰ0Ｐ3までの各
距離ｄ1およびｄ2の両方を誤差とし、その誤差に基づき
近似終了の判定を行う技術を開示している。
図１３に例示するように、定義多角形Ｐ0Ｐ1Ｐ2Ｐ3によ
り定義されたペジェ曲線Ｐ（ｔ）が与えられた場合に、
ベジェ曲線Ｐ（ｔ）の始点および終点を除く２個の制御
点Ｐ1およびＰ2の各々からベースラインＰ0Ｐ3までの各
距離ｄ1およびｄ2の両方を誤差とし、その誤差に基づき
近似終了の判定を行う技術を開示している。
【００１６】上述した通り、ペジェ曲線の形は定義多角
形の形に大体従うので、この公報に記載の技術によれ
ば、ペジェ曲線とベースラインとの誤差を適切に評価す
ることができると考えられる。
形の形に大体従うので、この公報に記載の技術によれ
ば、ペジェ曲線とベースラインとの誤差を適切に評価す
ることができると考えられる。
【００１７】また、特開平５−２２３５７７号公報は、
ベジェ曲線の定義多角形のベースラインから当該ベジェ
曲線上の最遠点までの距離を誤差とし、その誤差に基づ
き近似終了の判定を行う技術を開示している。ここで、
ベジェ曲線上においてベースラインからの最遠点となる
点を求めることは一般的に容易でない。そこで、同公報
においては、以下概略を説明するような複雑な処理によ
り最遠点を求めている。
ベジェ曲線の定義多角形のベースラインから当該ベジェ
曲線上の最遠点までの距離を誤差とし、その誤差に基づ
き近似終了の判定を行う技術を開示している。ここで、
ベジェ曲線上においてベースラインからの最遠点となる
点を求めることは一般的に容易でない。そこで、同公報
においては、以下概略を説明するような複雑な処理によ
り最遠点を求めている。
【００１８】まず、図１４に例示するように、ＸＹ座標
系において定義多角形Ｐ0Ｐ1Ｐ2Ｐ3により定義されたペ
ジェ曲線Ｐ（ｔ）が与えられたとする。この場合、この
ベジェ曲線Ｐ（ｔ）の始点が原点Ｏに位置し、かつ、ベ
ースラインＰ0Ｐ3がＸ軸と一致するように定義多角形Ｐ
0Ｐ1Ｐ2Ｐ3およびペジェ曲線Ｐ（ｔ）を回転するのであ
る。
系において定義多角形Ｐ0Ｐ1Ｐ2Ｐ3により定義されたペ
ジェ曲線Ｐ（ｔ）が与えられたとする。この場合、この
ベジェ曲線Ｐ（ｔ）の始点が原点Ｏに位置し、かつ、ベ
ースラインＰ0Ｐ3がＸ軸と一致するように定義多角形Ｐ
0Ｐ1Ｐ2Ｐ3およびペジェ曲線Ｐ（ｔ）を回転するのであ
る。
【００１９】次に、この回転後のペジェ曲線Ｐ（ｔ）に
おいて、ｄＹ／ｄＸ＝０となるときのｔの値τを求め
る。そして、このτに対応したペジェ曲線上の点Ｐ
（τ）を上記最遠点とし、そのＹ座標を誤差として求め
るのである。
おいて、ｄＹ／ｄＸ＝０となるときのｔの値τを求め
る。そして、このτに対応したペジェ曲線上の点Ｐ
（τ）を上記最遠点とし、そのＹ座標を誤差として求め
るのである。
【００２０】
【発明が解決しようとする課題】以上概観したように、
従来のベジェ曲線の描画方法においては、誤差評価ステ
ップと分割ステップからなる処理を再帰的に繰り返すこ
とにより、ベジェ曲線の直線近似を行っている。このよ
うな再帰的な処理によりベジェ曲線の直線近似を行う場
合には、不適切な状態で近似終了をしてしまう不具合を
避ける必要がある。そのためには、上記特開平４−２２
３５７７号公報や特開平５−２２３５７７号公報に開示
されているような誤差評価関数を使用し、ベジェ曲線と
定義多角形との誤差を正確に求めることが望まれる。
従来のベジェ曲線の描画方法においては、誤差評価ステ
ップと分割ステップからなる処理を再帰的に繰り返すこ
とにより、ベジェ曲線の直線近似を行っている。このよ
うな再帰的な処理によりベジェ曲線の直線近似を行う場
合には、不適切な状態で近似終了をしてしまう不具合を
避ける必要がある。そのためには、上記特開平４−２２
３５７７号公報や特開平５−２２３５７７号公報に開示
されているような誤差評価関数を使用し、ベジェ曲線と
定義多角形との誤差を正確に求めることが望まれる。
【００２１】しかし、その一方、ベジェ曲線の直線近似
は、誤差評価ステップおよび分割ステップの再帰的繰り
返しにより行われるものであるため、直線近似が終了す
るまでの時間を短くするためには、誤差評価ステップの
実行時間を極力短くすることが望まれるのである。しか
るに例えば上記特開平４−２２３５７７号公報に開示の
技術では、誤差評価の際に定義多角形の２つの頂点から
ベースラインまでの距離を求める演算をしなけらばなら
ないため、１回の誤差評価当りの演算時間が長くなって
しまう。また、特開平５−２２３５７７号公報に開示の
技術では、ベースラインからペジェ曲線上の最遠点まで
の１種類の距離を求めればよいのであるが、この最遠点
を求めるために図形回転処理を行わねばならず、１回の
誤差評価当りの演算時間が長くなってしまう。
は、誤差評価ステップおよび分割ステップの再帰的繰り
返しにより行われるものであるため、直線近似が終了す
るまでの時間を短くするためには、誤差評価ステップの
実行時間を極力短くすることが望まれるのである。しか
るに例えば上記特開平４−２２３５７７号公報に開示の
技術では、誤差評価の際に定義多角形の２つの頂点から
ベースラインまでの距離を求める演算をしなけらばなら
ないため、１回の誤差評価当りの演算時間が長くなって
しまう。また、特開平５−２２３５７７号公報に開示の
技術では、ベースラインからペジェ曲線上の最遠点まで
の１種類の距離を求めればよいのであるが、この最遠点
を求めるために図形回転処理を行わねばならず、１回の
誤差評価当りの演算時間が長くなってしまう。
【００２２】このように、従来の技術においては、ベジ
ェ曲線の直線近似を正確に行おうとすると、そのために
誤差評価ステップにおける演算時間が長くなってしま
い、直線近似が終了し描画が行われるまでの所要時間が
長くなってしまうという問題があったのである。
ェ曲線の直線近似を正確に行おうとすると、そのために
誤差評価ステップにおける演算時間が長くなってしま
い、直線近似が終了し描画が行われるまでの所要時間が
長くなってしまうという問題があったのである。
【００２３】この発明は以上説明した事情に鑑みてなさ
れたものであり、従来よりも少ない演算量で正確にベジ
ェ曲線の直線近似を行い、その描画を行うことができる
ベジェ曲線の描画方法、ベジェ曲線の描画装置およびベ
ジェ曲線の描画プログラムを記録した記録媒体を提供す
ることを目的としている。
れたものであり、従来よりも少ない演算量で正確にベジ
ェ曲線の直線近似を行い、その描画を行うことができる
ベジェ曲線の描画方法、ベジェ曲線の描画装置およびベ
ジェ曲線の描画プログラムを記録した記録媒体を提供す
ることを目的としている。
【００２４】
【課題を解決するための手段】上記課題を解決するた
め、この発明においては、描画対象であるベジェ曲線を
予め複数に分割し、この分割により得られた複数のベジ
ェ曲線の各々について、当該ベジェ曲線と当該ベジェ曲
線の定義多角形との誤差が許容範囲内に収るまで当該ベ
ジェ曲線を分割する処理を再帰的に繰り返し、最終的に
得られた複数のベジェ曲線の各定義多角形から前記描画
対象であるベジェ曲線を近似する直線群を求め、該直線
群の描画を行う。
め、この発明においては、描画対象であるベジェ曲線を
予め複数に分割し、この分割により得られた複数のベジ
ェ曲線の各々について、当該ベジェ曲線と当該ベジェ曲
線の定義多角形との誤差が許容範囲内に収るまで当該ベ
ジェ曲線を分割する処理を再帰的に繰り返し、最終的に
得られた複数のベジェ曲線の各定義多角形から前記描画
対象であるベジェ曲線を近似する直線群を求め、該直線
群の描画を行う。
【００２５】
【発明の実施の形態】以下、図面を参照し、本発明の実
施の形態について説明する。図１はこの発明の一実施形
態である描画装置の構成を示すブロック図である。この
描画装置は、描画対象である曲線や図形を直線の集合に
よって近似し、その描画を行う機能を有するものであ
り、ＣＰＵ１０１、ＲＯＭ１０２、ＲＡＭ１０３、入力
部１０４、出力部１０５およびこれらを相互に接続する
バス１０６により構成されている。
施の形態について説明する。図１はこの発明の一実施形
態である描画装置の構成を示すブロック図である。この
描画装置は、描画対象である曲線や図形を直線の集合に
よって近似し、その描画を行う機能を有するものであ
り、ＣＰＵ１０１、ＲＯＭ１０２、ＲＡＭ１０３、入力
部１０４、出力部１０５およびこれらを相互に接続する
バス１０６により構成されている。
【００２６】入力部１０４は、描画対象である曲線や図
形を特定する情報（以下、便宜上、描画対象特定情報と
称する）をホストコンピュータ（図示略）から通信路１
０７を介して受け取る手段である。ここで、描画対象に
はベジェ曲線が含まれている。このベジェ曲線の描画を
行う場合には、そのベジェ曲線の各制御点の位置座標か
らなるベジェ曲線データが描画対象特定情報として入力
部１０４に与えられる。
形を特定する情報（以下、便宜上、描画対象特定情報と
称する）をホストコンピュータ（図示略）から通信路１
０７を介して受け取る手段である。ここで、描画対象に
はベジェ曲線が含まれている。このベジェ曲線の描画を
行う場合には、そのベジェ曲線の各制御点の位置座標か
らなるベジェ曲線データが描画対象特定情報として入力
部１０４に与えられる。
【００２７】ＣＰＵ１０１は、入力部１０４を介して描
画対象特定情報を受け取り、ＲＯＭ１０３に記憶された
描画プログラムに従って、当該描画対象を直線の集合に
よって近似し、その直線線分データを生成する描画処理
を行う。
画対象特定情報を受け取り、ＲＯＭ１０３に記憶された
描画プログラムに従って、当該描画対象を直線の集合に
よって近似し、その直線線分データを生成する描画処理
を行う。
【００２８】ＲＡＭ１０３は、描画対象特定情報や描画
対象を近似する直線群を表す情報の記憶手段として使用
される他、描画処理の際にＣＰＵ１０１によってワーク
メモリとして使用される。
対象を近似する直線群を表す情報の記憶手段として使用
される他、描画処理の際にＣＰＵ１０１によってワーク
メモリとして使用される。
【００２９】出力部１０５は、ＣＰＵ１０１による制御
の下、描画対象を近似する直線群の描画を行う手段であ
り、当該直線群を表す直線線分データから描画用のビッ
トマップデータを作成し、可視情報として出力する。例
えば、かかる可視情報を記録紙に印刷する電子写真方
式、インクジェット方式などのプリンタ、あるいはＣＲ
Ｔなどのディスプレイ装置がこの出力部１０５として使
用される。
の下、描画対象を近似する直線群の描画を行う手段であ
り、当該直線群を表す直線線分データから描画用のビッ
トマップデータを作成し、可視情報として出力する。例
えば、かかる可視情報を記録紙に印刷する電子写真方
式、インクジェット方式などのプリンタ、あるいはＣＲ
Ｔなどのディスプレイ装置がこの出力部１０５として使
用される。
【００３０】次に本実施形態の動作について説明する。
図２は、描画対象がベジェ曲線である場合にＣＰＵ１０
１により実行される描画処理の内容を示すものである。
この図２に示すように、本実施形態におけるベジェ曲線
の描画処理は、曲線データ入力処理（ステップＳ１）、
ベジェ曲線の直線近似処理（ステップＳ２）および出力
処理（ステップＳ３）から成り立っている。
図２は、描画対象がベジェ曲線である場合にＣＰＵ１０
１により実行される描画処理の内容を示すものである。
この図２に示すように、本実施形態におけるベジェ曲線
の描画処理は、曲線データ入力処理（ステップＳ１）、
ベジェ曲線の直線近似処理（ステップＳ２）および出力
処理（ステップＳ３）から成り立っている。
【００３１】曲線データ入力処理（ステップＳ１）で
は、描画対象であるベジェ曲線を特定するベジェ曲線デ
ータを外部から取り込み、ベジェ曲線データファイルＦ
１としてＲＡＭ１０３内に保存する。ここで、ベジェ曲
線データは、当該ベジェ曲線の各制御点の位置座標を含
んでいる。次に直線近似処理（ステップＳ２）では、ベ
ジェ曲線データファイルＦ１内のベジェ曲線データによ
って表される３次のベジェ曲線を直線の集合によって近
似し、各直線を表す直線線分データを直線線分データフ
ァイルＦ２としてＲＡＭ１０３内に保存する。そして、
出力処理（ステップＳ３）では、直線線分データファイ
ルＦ２内の各直線線分データに従って、３次ベジェ曲線
を近似する直線群の描画を行うのである。以上がＣＰＵ
１０１により実行されるベジェ曲線の描画処理の概要で
ある。
は、描画対象であるベジェ曲線を特定するベジェ曲線デ
ータを外部から取り込み、ベジェ曲線データファイルＦ
１としてＲＡＭ１０３内に保存する。ここで、ベジェ曲
線データは、当該ベジェ曲線の各制御点の位置座標を含
んでいる。次に直線近似処理（ステップＳ２）では、ベ
ジェ曲線データファイルＦ１内のベジェ曲線データによ
って表される３次のベジェ曲線を直線の集合によって近
似し、各直線を表す直線線分データを直線線分データフ
ァイルＦ２としてＲＡＭ１０３内に保存する。そして、
出力処理（ステップＳ３）では、直線線分データファイ
ルＦ２内の各直線線分データに従って、３次ベジェ曲線
を近似する直線群の描画を行うのである。以上がＣＰＵ
１０１により実行されるベジェ曲線の描画処理の概要で
ある。
【００３２】図３は、上記直線近似処理（ステップＳ
２）の詳細な処理内容を示すものである。この図３に示
すように、本実施形態では、ベジェ曲線データファイル
Ｆ１（図２参照）内のベジェ曲線データにより特定され
る３次のベジェ曲線を予め２分割し、第１および第２の
ベジェ曲線とする（ステップＳ２１）。ここで、３次の
ベジェ曲線を２分割するための方法としては、ド・カス
テリョの分割手法を用いることができる。
２）の詳細な処理内容を示すものである。この図３に示
すように、本実施形態では、ベジェ曲線データファイル
Ｆ１（図２参照）内のベジェ曲線データにより特定され
る３次のベジェ曲線を予め２分割し、第１および第２の
ベジェ曲線とする（ステップＳ２１）。ここで、３次の
ベジェ曲線を２分割するための方法としては、ド・カス
テリョの分割手法を用いることができる。
【００３３】図４はこのステップＳ２１におけるベジェ
曲線の分割手法を説明するフローチャートである。以
下、図５に例示する定義多角形Ｐ0Ｐ1Ｐ2Ｐ3により定義
された３次のベジェ曲線Ｐ（ｔ）の２分割を行う場合を
例に、本実施形態におけるベジェ曲線の分割方法につい
て説明する。
曲線の分割手法を説明するフローチャートである。以
下、図５に例示する定義多角形Ｐ0Ｐ1Ｐ2Ｐ3により定義
された３次のベジェ曲線Ｐ（ｔ）の２分割を行う場合を
例に、本実施形態におけるベジェ曲線の分割方法につい
て説明する。
【００３４】まず、ステップＳ１０１では、制御点Ｐ0
〜Ｐ3の各位置ベクトルを用いて下記の式（２）〜
（４）の演算を行う。 Ｌ1＝（Ｐ0＋Ｐ1）／２ ……（２） Ｈ＝（Ｐ1＋Ｐ2）／２ ……（３） Ｒ2＝（Ｐ2＋Ｐ3）／２ ……（４）
〜Ｐ3の各位置ベクトルを用いて下記の式（２）〜
（４）の演算を行う。 Ｌ1＝（Ｐ0＋Ｐ1）／２ ……（２） Ｈ＝（Ｐ1＋Ｐ2）／２ ……（３） Ｒ2＝（Ｐ2＋Ｐ3）／２ ……（４）
【００３５】この演算により、定義多角形Ｐ0Ｐ1Ｐ2Ｐ3
におけるベースラインＰ0Ｐ3を除く３辺、すなわち、図
６に示す辺Ｐ0Ｐ1、Ｐ1Ｐ2およびＰ2Ｐ3の中点Ｌ1、Ｈ
およびＲ2の位置ベクトルが得られる。
におけるベースラインＰ0Ｐ3を除く３辺、すなわち、図
６に示す辺Ｐ0Ｐ1、Ｐ1Ｐ2およびＰ2Ｐ3の中点Ｌ1、Ｈ
およびＲ2の位置ベクトルが得られる。
【００３６】次に、ステップＳ１０２では、ステップＳ
１０１において得られた各中点Ｌ1、ＨおよびＲ2の位置
ベクトルを用いて以下の演算を行い、中点Ｌ1およびＨ
を結ぶ辺の中点Ｌ2並びに中点ＨおよびＲ2を結ぶ辺の中
点Ｒ1の各位置ベクトルを求める。 Ｌ2＝（Ｌ1＋Ｈ）／２ ……（５） Ｒ1＝（Ｈ＋Ｒ2）／２ ……（６）
１０１において得られた各中点Ｌ1、ＨおよびＲ2の位置
ベクトルを用いて以下の演算を行い、中点Ｌ1およびＨ
を結ぶ辺の中点Ｌ2並びに中点ＨおよびＲ2を結ぶ辺の中
点Ｒ1の各位置ベクトルを求める。 Ｌ2＝（Ｌ1＋Ｈ）／２ ……（５） Ｒ1＝（Ｈ＋Ｒ2）／２ ……（６）
【００３７】次に、ステップＳ１０３では、ステップＳ
１０２において得られた各中点Ｌ2およびＲ1を結ぶ中点
Ｌ3の位置ベクトルを次式により求める。 Ｌ3＝（Ｌ2＋Ｒ1）／２ ……（７）
１０２において得られた各中点Ｌ2およびＲ1を結ぶ中点
Ｌ3の位置ベクトルを次式により求める。 Ｌ3＝（Ｌ2＋Ｒ1）／２ ……（７）
【００３８】ここで、上記中点Ｌ3は、ベジェ曲線Ｐ
（ｔ）上のｔ＝０．５に対応した点と一致する。そこ
で、この中点Ｌ3を分割点とし、元のベジェ曲線Ｐ
（ｔ）を分割点Ｌ3の左側のベジェ曲線Ｌｅｆｔ（ｔ）
と右側のベジェ曲線Ｒｉｇｈｔ（ｔ）に分割する。
（ｔ）上のｔ＝０．５に対応した点と一致する。そこ
で、この中点Ｌ3を分割点とし、元のベジェ曲線Ｐ
（ｔ）を分割点Ｌ3の左側のベジェ曲線Ｌｅｆｔ（ｔ）
と右側のベジェ曲線Ｒｉｇｈｔ（ｔ）に分割する。
【００３９】次に、ステップＳ１０４では、上記分割に
より得られたベジェ曲線Ｌｅｆｔ（ｔ）およびベジェ曲
線Ｒｉｇｈｔ（ｔ）の各曲線データを作成する。ここ
で、ベジェ曲線Ｌｅｆｔ（ｔ）の曲線データは、当該ベ
ジェ曲線の制御点Ｌ0、Ｌ1、Ｌ2およびＬ3の各位置ベク
トルにより構成されている。なお、制御点Ｌ0は、元の
ベジェ曲線の制御点Ｐ0に対応している。従って、制御
点Ｐ0の位置ベクトルがそのまま制御点Ｌ0の位置ベクト
ルとして用いられる。また、ベジェ曲線Ｒｉｇｈｔ
（ｔ）の曲線データは、当該ベジェ曲線の制御点Ｒ0、
Ｒ1、Ｒ2およびＲ3の各位置ベクトルにより構成されて
いる。なお、ベジェ曲線Ｒｉｇｈｔ（ｔ）の制御点Ｒ0
は、ベジェ曲線Ｌｅｆｔ（ｔ）の制御点Ｌ3と一致して
いる。従って、前掲式（７）により得られた制御点Ｌ3
の位置ベクトルがそのまま制御点Ｒ0の位置ベクトルと
して用られる。また、制御点Ｒ3は元のベジェ曲線の制
御点Ｐ3に対応している。従って、この制御点Ｐ3の位置
ベクトルがそのまま制御点Ｒ3の位置ベクトルとして用
いられる。
より得られたベジェ曲線Ｌｅｆｔ（ｔ）およびベジェ曲
線Ｒｉｇｈｔ（ｔ）の各曲線データを作成する。ここ
で、ベジェ曲線Ｌｅｆｔ（ｔ）の曲線データは、当該ベ
ジェ曲線の制御点Ｌ0、Ｌ1、Ｌ2およびＬ3の各位置ベク
トルにより構成されている。なお、制御点Ｌ0は、元の
ベジェ曲線の制御点Ｐ0に対応している。従って、制御
点Ｐ0の位置ベクトルがそのまま制御点Ｌ0の位置ベクト
ルとして用いられる。また、ベジェ曲線Ｒｉｇｈｔ
（ｔ）の曲線データは、当該ベジェ曲線の制御点Ｒ0、
Ｒ1、Ｒ2およびＲ3の各位置ベクトルにより構成されて
いる。なお、ベジェ曲線Ｒｉｇｈｔ（ｔ）の制御点Ｒ0
は、ベジェ曲線Ｌｅｆｔ（ｔ）の制御点Ｌ3と一致して
いる。従って、前掲式（７）により得られた制御点Ｌ3
の位置ベクトルがそのまま制御点Ｒ0の位置ベクトルと
して用られる。また、制御点Ｒ3は元のベジェ曲線の制
御点Ｐ3に対応している。従って、この制御点Ｐ3の位置
ベクトルがそのまま制御点Ｒ3の位置ベクトルとして用
いられる。
【００４０】このように本分割手法によれば、元のベジ
ェ曲線の各制御点の位置ベクトルのみを用いた演算を行
うことにより、当該ベジェ曲線を２分割し、分割した各
ベジェ曲線について各々の制御点の位置ベクトルからな
る曲線データを求めることができるのである。
ェ曲線の各制御点の位置ベクトルのみを用いた演算を行
うことにより、当該ベジェ曲線を２分割し、分割した各
ベジェ曲線について各々の制御点の位置ベクトルからな
る曲線データを求めることができるのである。
【００４１】以上が図３のステップＳ２１において行わ
れるベジェ曲線の２分割処理の詳細である。
れるベジェ曲線の２分割処理の詳細である。
【００４２】このようにして描画対象であるベジェ曲線
の２分割処理が終了すると、ステップＳ２１では、分割
により得られた第１のベジェ曲線の各制御点の位置ベク
トルからなる第１のベジェ曲線データファイルＦ２１
と、第２のベジェ曲線の各制御点の位置ベクトルからな
る第２のベジェ曲線データファイルＦ２１とをＲＡＭ１
０３内に保存する。
の２分割処理が終了すると、ステップＳ２１では、分割
により得られた第１のベジェ曲線の各制御点の位置ベク
トルからなる第１のベジェ曲線データファイルＦ２１
と、第２のベジェ曲線の各制御点の位置ベクトルからな
る第２のベジェ曲線データファイルＦ２１とをＲＡＭ１
０３内に保存する。
【００４３】なお、上記ステップＳ２１では描画対象で
あるベジェ曲線の２分割を行ったが、これはあくまでも
例示であり、描画対象であるベジェ曲線を３以上のベジ
ェ曲線に分割することを妨げるものではない。上記ステ
ップＳ２１において３以上のｎ個のベジェ曲線への分割
を行う場合には、第１〜第ｎの各ベジェ曲線が、次に説
明するステップＳ２２の処理対象となる。
あるベジェ曲線の２分割を行ったが、これはあくまでも
例示であり、描画対象であるベジェ曲線を３以上のベジ
ェ曲線に分割することを妨げるものではない。上記ステ
ップＳ２１において３以上のｎ個のベジェ曲線への分割
を行う場合には、第１〜第ｎの各ベジェ曲線が、次に説
明するステップＳ２２の処理対象となる。
【００４４】次にステップＳ２２では、ステップＳ２１
により得られた第１のベジェ曲線および第２のベジェ曲
線の各々について、直線近似処理を実行する。以下、図
６に示すフローチャートを参照し、この直線近似処理の
処理内容について説明する。
により得られた第１のベジェ曲線および第２のベジェ曲
線の各々について、直線近似処理を実行する。以下、図
６に示すフローチャートを参照し、この直線近似処理の
処理内容について説明する。
【００４５】まず、ステップＳ２０１では、直線近似の
対象であるベジェ曲線（最初は上記第１のベジェ曲線ま
たは第２のベジェ曲線）と当該ベジェ曲線の定義多角形
との間の誤差を所定の誤差評価関数により演算する。な
お、この誤差評価関数の具体例については後述する。
対象であるベジェ曲線（最初は上記第１のベジェ曲線ま
たは第２のベジェ曲線）と当該ベジェ曲線の定義多角形
との間の誤差を所定の誤差評価関数により演算する。な
お、この誤差評価関数の具体例については後述する。
【００４６】次にステップＳ２０２では、ステップＳ２
０１において求めた誤差が許容範囲内か否かを判定す
る。ここで、誤差が許容範囲を越えている場合には、以
下説明するステップＳ２０３〜Ｓ２０５を実行する。
０１において求めた誤差が許容範囲内か否かを判定す
る。ここで、誤差が許容範囲を越えている場合には、以
下説明するステップＳ２０３〜Ｓ２０５を実行する。
【００４７】まず、ステップＳ２０３では、直線近似の
対象であるベジェ曲線を２個のベジェ曲線Ｌｅｆｔ
（ｔ）およびＲｉｇｈｔ（ｔ）に分割する。このベジェ
曲線の２分割は、既に図４および図５を参照して説明し
たド・カステリョの分割手法により行うことができる。
対象であるベジェ曲線を２個のベジェ曲線Ｌｅｆｔ
（ｔ）およびＲｉｇｈｔ（ｔ）に分割する。このベジェ
曲線の２分割は、既に図４および図５を参照して説明し
たド・カステリョの分割手法により行うことができる。
【００４８】次にステップＳ２０４では、ステップＳ２
０３において分割された一方のベジェ曲線Ｌｅｆｔ
（ｔ）を直線近似の対象として、この図６に示すルーチ
ンを再帰的に呼び出す。
０３において分割された一方のベジェ曲線Ｌｅｆｔ
（ｔ）を直線近似の対象として、この図６に示すルーチ
ンを再帰的に呼び出す。
【００４９】次にステップＳ２０５では、ステップＳ２
０３において分割された他方のベジェ曲線Ｒｉｇｈｔ
（ｔ）を直線近似の対象として、この図６に示すルーチ
ンを再帰的に呼び出す。
０３において分割された他方のベジェ曲線Ｒｉｇｈｔ
（ｔ）を直線近似の対象として、この図６に示すルーチ
ンを再帰的に呼び出す。
【００５０】このような再帰的呼び出しは、呼び出され
た後のステップＳ２０１の判定処理において、直線近似
の対象であるベジェ曲線と当該ベジェ曲線の定義多角形
との間の誤差が許容範囲内であると判定されるまで繰り
返すこととなる。
た後のステップＳ２０１の判定処理において、直線近似
の対象であるベジェ曲線と当該ベジェ曲線の定義多角形
との間の誤差が許容範囲内であると判定されるまで繰り
返すこととなる。
【００５１】そして、上記誤差が許容範囲内になった場
合には、ステップＳ２０２からステップＳ２０６へと進
む。そして、分割の繰り返しにより最終的に得られた各
ベジェ曲線の定義多角形の外郭辺、すなわち、各定義多
角形の各ベースラインを除く各辺（例えば図５に示す定
義多角形Ｐ0Ｐ1Ｐ2Ｐ3では、辺Ｐ0Ｐ1、Ｐ1Ｐ2およびＰ
2Ｐ3）の直線線分データを直線線分データファイルＦ２
としてＲＡＭ１０３内に保存し、出力処理（図２におけ
るステップＳ３）に引き渡す。
合には、ステップＳ２０２からステップＳ２０６へと進
む。そして、分割の繰り返しにより最終的に得られた各
ベジェ曲線の定義多角形の外郭辺、すなわち、各定義多
角形の各ベースラインを除く各辺（例えば図５に示す定
義多角形Ｐ0Ｐ1Ｐ2Ｐ3では、辺Ｐ0Ｐ1、Ｐ1Ｐ2およびＰ
2Ｐ3）の直線線分データを直線線分データファイルＦ２
としてＲＡＭ１０３内に保存し、出力処理（図２におけ
るステップＳ３）に引き渡す。
【００５２】以上がステップＳ２２における直線近似処
理の詳細である。
理の詳細である。
【００５３】既に説明したように、本実施形態では、描
画対象であるベジェ曲線が予め第１および第２のベジェ
曲線に２分割され、この分割された第１および第２のベ
ジェ曲線の各々が上記直線近似処理の対象となる。この
ため、たとえ描画対象であるベジェ曲線が図１１や図１
２に例示するような複雑な形状を有していたとしても、
ステップＳ２１における直線近似処理の対象となる各ベ
ジェ曲線は、図９に例示するような単純な形状のものと
なる。従って、ステップＳ１０１の誤差演算において必
要演算量の少ない簡便な誤差評価関数を用いても、何等
問題を生じることなく、正確な直線近似を行うことがで
きる。
画対象であるベジェ曲線が予め第１および第２のベジェ
曲線に２分割され、この分割された第１および第２のベ
ジェ曲線の各々が上記直線近似処理の対象となる。この
ため、たとえ描画対象であるベジェ曲線が図１１や図１
２に例示するような複雑な形状を有していたとしても、
ステップＳ２１における直線近似処理の対象となる各ベ
ジェ曲線は、図９に例示するような単純な形状のものと
なる。従って、ステップＳ１０１の誤差演算において必
要演算量の少ない簡便な誤差評価関数を用いても、何等
問題を生じることなく、正確な直線近似を行うことがで
きる。
【００５４】次に図７を参照し、誤差評価関数の第１の
具体例について説明する。まず、図７に例示するよう
に、定義多角形Ｐ0Ｐ1Ｐ2Ｐ3により定義されたベジェ曲
線Ｐ（ｔ）が直線近似の対象として与えられているとす
る。この第１の具体例では、ベジェ曲線Ｐ（ｔ）上の任
意の点Ｃを評価点として求める。この場合、全体として
の演算処理量を少なくするため、ステップＳ２０３（図
６）において求められるベジェ曲線の分割点をこの評価
点Ｃとして使用するのが得策である。次にこの評価点Ｃ
と定義多角形のベースラインとの間の距離ｄを誤差とし
て求める。
具体例について説明する。まず、図７に例示するよう
に、定義多角形Ｐ0Ｐ1Ｐ2Ｐ3により定義されたベジェ曲
線Ｐ（ｔ）が直線近似の対象として与えられているとす
る。この第１の具体例では、ベジェ曲線Ｐ（ｔ）上の任
意の点Ｃを評価点として求める。この場合、全体として
の演算処理量を少なくするため、ステップＳ２０３（図
６）において求められるベジェ曲線の分割点をこの評価
点Ｃとして使用するのが得策である。次にこの評価点Ｃ
と定義多角形のベースラインとの間の距離ｄを誤差とし
て求める。
【００５５】ここで、距離ｄの算出手順について説明す
ると次の通りである。まず、ベジェ曲線の始点Ｐ0の位
置座標を（ＸA，ＹA）、終点Ｐ3の位置座標を（ＸB，Ｙ
B）、評価点Ｃの位置座標を（ＸC，ＹC）とした場合、
次式により与えられるαおよびβを求める。 α＝（ＸC−ＸA）（ＸB−ＸA）＋（ＹC−ＹA）（ＹB−ＹA） ……（８） β＝（ＸB−ＸA）2＋（ＹB−ＹA）2 ……（９）
ると次の通りである。まず、ベジェ曲線の始点Ｐ0の位
置座標を（ＸA，ＹA）、終点Ｐ3の位置座標を（ＸB，Ｙ
B）、評価点Ｃの位置座標を（ＸC，ＹC）とした場合、
次式により与えられるαおよびβを求める。 α＝（ＸC−ＸA）（ＸB−ＸA）＋（ＹC−ＹA）（ＹB−ＹA） ……（８） β＝（ＸB−ＸA）2＋（ＹB−ＹA）2 ……（９）
【００５６】次にこれらのαおよびβを用い、下記式に
より、評価点ＣのベースラインＰ0Ｐ3上の投影点Ｌの位
置座標（ＸL，ＹL）を求める。 ＸL＝ＸA＋α（ＸB−ＸA）／β ……（１０） ＹL＝ＹA＋α（ＹB−ＹA）／β ……（１１）
より、評価点ＣのベースラインＰ0Ｐ3上の投影点Ｌの位
置座標（ＸL，ＹL）を求める。 ＸL＝ＸA＋α（ＸB−ＸA）／β ……（１０） ＹL＝ＹA＋α（ＹB−ＹA）／β ……（１１）
【００５７】距離ｄは、このようにして得られた投影点
Ｌの位置座標（ＸL，ＹL）と、評価点Ｃの位置座標（Ｘ
C，ＹC）とから下記式により求めることができる。 ｄ＝√｛（ＸL−ＸC）2＋（ＹL−ＹC）2｝ ……（１２）
Ｌの位置座標（ＸL，ＹL）と、評価点Ｃの位置座標（Ｘ
C，ＹC）とから下記式により求めることができる。 ｄ＝√｛（ＸL−ＸC）2＋（ＹL−ＹC）2｝ ……（１２）
【００５８】次に図８を参照し、誤差評価関数の第２の
具体例について説明する。まず、図８に例示するよう
に、定義多角形Ｐ0Ｐ1Ｐ2Ｐ3により定義されたベジェ曲
線Ｐ（ｔ）が直線近似の対象として与えられているとす
る。この第２の具体例においても、ベジェ曲線Ｐ（ｔ）
上の任意の点Ｃを評価点として求める。この場合も、上
記第１の具体例と同様、ステップＳ２０３（図６）にお
いて求められるベジェ曲線の分割点をこの評価点Ｃとし
て使用するのが得策である。
具体例について説明する。まず、図８に例示するよう
に、定義多角形Ｐ0Ｐ1Ｐ2Ｐ3により定義されたベジェ曲
線Ｐ（ｔ）が直線近似の対象として与えられているとす
る。この第２の具体例においても、ベジェ曲線Ｐ（ｔ）
上の任意の点Ｃを評価点として求める。この場合も、上
記第１の具体例と同様、ステップＳ２０３（図６）にお
いて求められるベジェ曲線の分割点をこの評価点Ｃとし
て使用するのが得策である。
【００５９】次にベジェ曲線Ｐ（ｔ）の終点Ｐ3の位置
ベクトルから始点Ｐ0の位置ベクトルを減算し、さらに
減算結果の１／２を求める。このベクトル演算により、
始点Ｐ0からベースラインＰ0Ｐ3の中点に至る変位ベク
トルＡが得られる。次にベジェ曲線Ｐ（ｔ）の始点Ｐ0
から上記評価点Ｃに至る変位ベクトルＢを求める。
ベクトルから始点Ｐ0の位置ベクトルを減算し、さらに
減算結果の１／２を求める。このベクトル演算により、
始点Ｐ0からベースラインＰ0Ｐ3の中点に至る変位ベク
トルＡが得られる。次にベジェ曲線Ｐ（ｔ）の始点Ｐ0
から上記評価点Ｃに至る変位ベクトルＢを求める。
【００６０】そして、このようにして得られたベクトル
ＢからベクトルＡを減算する。このベクトル演算によ
り、ベースラインＰ0Ｐ3の中点からベジェ曲線Ｐ（ｔ）
上の評価点Ｃに至る変位ベクトルＥが得られる。このベ
クトルＥの絶対値をベジェ曲線Ｃ（ｔ）と定義多角形Ｐ
0Ｐ1Ｐ2Ｐ3との間の誤差とするのである。
ＢからベクトルＡを減算する。このベクトル演算によ
り、ベースラインＰ0Ｐ3の中点からベジェ曲線Ｐ（ｔ）
上の評価点Ｃに至る変位ベクトルＥが得られる。このベ
クトルＥの絶対値をベジェ曲線Ｃ（ｔ）と定義多角形Ｐ
0Ｐ1Ｐ2Ｐ3との間の誤差とするのである。
【００６１】既に説明したように、直線近似処理の対象
は、元の描画対象であるベジェ曲線を２分割した第１お
よび第２のベジェ曲線であるため、図７および図８に例
示するような単純な形状をなしている。このため、以上
の具体例において説明したような簡単な誤差評価関数を
用いたとしても、ベジェ曲線と定義多角形との間の誤差
を適切に求めることができ、不適切な状態で直線近似を
終了してしまう不具合を防止することができる。従っ
て、本実施形態によれば、少ない演算量で、正確にベジ
ェ曲線の直線近似を行い、その描画を行うことができ
る。
は、元の描画対象であるベジェ曲線を２分割した第１お
よび第２のベジェ曲線であるため、図７および図８に例
示するような単純な形状をなしている。このため、以上
の具体例において説明したような簡単な誤差評価関数を
用いたとしても、ベジェ曲線と定義多角形との間の誤差
を適切に求めることができ、不適切な状態で直線近似を
終了してしまう不具合を防止することができる。従っ
て、本実施形態によれば、少ない演算量で、正確にベジ
ェ曲線の直線近似を行い、その描画を行うことができ
る。
【００６２】なお、以上説明した本実施形態はあくまで
も本発明の例示である。本発明はその趣旨を逸脱しない
範囲で上記実施形態に様々な変形を加えて実施すること
ができる。例えば以下のような他の実施形態が考えられ
る。
も本発明の例示である。本発明はその趣旨を逸脱しない
範囲で上記実施形態に様々な変形を加えて実施すること
ができる。例えば以下のような他の実施形態が考えられ
る。
【００６３】（１）上記実施形態では、ド・カステリョ
の分割手法によりベジェ曲線の分割を行ったが、本発明
の実施に当っては、これに限らず、他の分割手法を用い
てもよい。
の分割手法によりベジェ曲線の分割を行ったが、本発明
の実施に当っては、これに限らず、他の分割手法を用い
てもよい。
【００６４】（２）上記実施形態では、３次のベジェ曲
線を描画対象として挙げたが、４次以上のベジェ曲線の
描画に本発明を適用してもよい。この場合、さらに複雑
な形状のベジェ曲線が描画対象となることが予想される
ので、直線近似の前にベジェ曲線の分割（前掲図３にお
けるステップＳ２１）を予め行う際に、描画対象である
ベジェ曲線を３以上のなるべく多数のベジェ曲線に分割
することが好ましい。
線を描画対象として挙げたが、４次以上のベジェ曲線の
描画に本発明を適用してもよい。この場合、さらに複雑
な形状のベジェ曲線が描画対象となることが予想される
ので、直線近似の前にベジェ曲線の分割（前掲図３にお
けるステップＳ２１）を予め行う際に、描画対象である
ベジェ曲線を３以上のなるべく多数のベジェ曲線に分割
することが好ましい。
【００６５】（３）上記実施形態では、直線近似が終了
した時点で、最終的に分割された各ベジェ曲線の定義多
角形の外郭辺を近似直線群として出力するようにした
が、各ベジェ曲線のベースラインを近似直線群として出
力するようにしてもよい。
した時点で、最終的に分割された各ベジェ曲線の定義多
角形の外郭辺を近似直線群として出力するようにした
が、各ベジェ曲線のベースラインを近似直線群として出
力するようにしてもよい。
【００６６】（４）上記実施形態における描画プログラ
ムをＦＤ（フロッピーディスク）等の記録媒体に記録し
てユーザに配付し、ユーザが描画プログラムをパーソナ
ルコンピュータ等にインストールし、本発明に係るベジ
ェ曲線の描画方法を実施するようにしてもよい。
ムをＦＤ（フロッピーディスク）等の記録媒体に記録し
てユーザに配付し、ユーザが描画プログラムをパーソナ
ルコンピュータ等にインストールし、本発明に係るベジ
ェ曲線の描画方法を実施するようにしてもよい。
【００６７】
【発明の効果】以上説明したように、この発明によれ
ば、描画対象であるベジェ曲線を予め複数に分割し、こ
の分割により得られた複数のベジェ曲線の各々につい
て、当該ベジェ曲線と当該ベジェ曲線の定義多角形との
誤差が許容範囲内に収るまで当該ベジェ曲線を分割する
処理を再帰的に繰り返し、最終的に得られた複数のベジ
ェ曲線の各定義多角形から前記描画対象であるベジェ曲
線を近似する直線群を求め、該直線群の描画を行うよう
にしたので、必要演算量の少ない簡単な誤差評価関数を
用いたとしても、不適切な状態で直線近似を終了してし
まう不具合を生じさせることなく、正確にベジェ曲線の
直線近似を行い、その描画を行うことができるという効
果が得られる。
ば、描画対象であるベジェ曲線を予め複数に分割し、こ
の分割により得られた複数のベジェ曲線の各々につい
て、当該ベジェ曲線と当該ベジェ曲線の定義多角形との
誤差が許容範囲内に収るまで当該ベジェ曲線を分割する
処理を再帰的に繰り返し、最終的に得られた複数のベジ
ェ曲線の各定義多角形から前記描画対象であるベジェ曲
線を近似する直線群を求め、該直線群の描画を行うよう
にしたので、必要演算量の少ない簡単な誤差評価関数を
用いたとしても、不適切な状態で直線近似を終了してし
まう不具合を生じさせることなく、正確にベジェ曲線の
直線近似を行い、その描画を行うことができるという効
果が得られる。
【図１】この発明の一実施形態であるベジェ曲線の描画
装置の構成を示すブロック図である。
装置の構成を示すブロック図である。
【図２】同実施形態における描画プログラムの処理内容
を示すフローチャートである。
を示すフローチャートである。
【図３】同実施形態における直線近似処理の処理内容を
示すフローチャートである。
示すフローチャートである。
【図４】同実施形態におけるベジェ曲線の分割手法を示
すフローチャートである。
すフローチャートである。
【図５】同実施形態におけるベジェ曲線の分割手法を示
す図である。
す図である。
【図６】同実施形態における分割後のベジェ曲線の直線
近似処理の処理内容を示すフローチャートである。
近似処理の処理内容を示すフローチャートである。
【図７】同実施形態における誤差評価関数の第１の具体
例を示す図である。
例を示す図である。
【図８】同実施形態における誤差評価関数の第２の具体
例を示す図である。
例を示す図である。
【図９】３次のベジェ曲線の例を示す図である。
【図１０】従来のド・カステリョの分割手法を用いたベ
ジェ曲線の直線近似方法を説明する図である。
ジェ曲線の直線近似方法を説明する図である。
【図１１】３次のベジェ曲線の他の例を示す図である。
【図１２】３次のベジェ曲線の他の例を示す図である。
【図１３】従来のベジェ曲線の描画方法においてベジェ
曲線の直線近似終了判定に使用している誤差評価関数の
例を示す図である。
曲線の直線近似終了判定に使用している誤差評価関数の
例を示す図である。
【図１４】従来のベジェ曲線の描画方法においてベジェ
曲線の直線近似終了判定に使用している誤差評価関数の
他の例を示す図である。
曲線の直線近似終了判定に使用している誤差評価関数の
他の例を示す図である。
【符号の説明】 １０１……ＣＰＵ、１０２……ＲＯＭ、１０３……ＲＡ
Ｍ、１０４……入力部、１０５……出力部、１０６……
バス、Ｓ１……曲線データ入力処理、Ｓ２……ベジェ曲
線の直線近似処理、Ｓ３……出力処理、Ｓ２１……ベジ
ェ曲線の２分割処理、Ｓ２２……各ベジェ曲線の直線近
似処理、Ｆ１……ベジェ曲線の曲線データファイル、Ｆ
１１……第１のベジェ曲線の曲線データファイル、Ｆ１
２……第２のベジェ曲線の曲線データファイル、Ｆ２…
…直線線分データファイル。
Ｍ、１０４……入力部、１０５……出力部、１０６……
バス、Ｓ１……曲線データ入力処理、Ｓ２……ベジェ曲
線の直線近似処理、Ｓ３……出力処理、Ｓ２１……ベジ
ェ曲線の２分割処理、Ｓ２２……各ベジェ曲線の直線近
似処理、Ｆ１……ベジェ曲線の曲線データファイル、Ｆ
１１……第１のベジェ曲線の曲線データファイル、Ｆ１
２……第２のベジェ曲線の曲線データファイル、Ｆ２…
…直線線分データファイル。
Claims (7)
- 【請求項１】 ベジェ曲線を直線の集合により近似し描
画するベジェ曲線の描画方法において、 対象であるベジェ曲線を予め複数に分割する分割処理
と、 前記分割処理により得られた複数のベジェ曲線の各々に
ついて、当該ベジェ曲線と当該ベジェ曲線を定義する定
義多角形との誤差を判定する誤差判定ステップと、前記
誤差が許容範囲を越えている場合に当該ベジェ曲線を分
割し、分割により新たに得られたベジェ曲線を前記誤差
判定ステップの判定対象とする分割ステップとからなる
処理を、前記誤差が許容範囲内に収るまで再帰的に繰り
返し、最終的に得られた複数のベジェ曲線の各定義多角
形から前記描画対象であるベジェ曲線を近似する直線群
を求める直線近似処理とを具備することを特徴とするベ
ジェ曲線の描画方法。 - 【請求項２】 前記直線近似処理において、前記最終的
に得られた複数のベジェ曲線の各定義多角形の各外郭辺
を前記描画対象であるベジェ曲線を近似する直線群とす
ることを特徴とする請求項１に記載のベジェ曲線の描画
方法。 - 【請求項３】 前記直線近似処理において、前記最終的
に得られた複数のベジェ曲線の各定義多角形の各ベース
ラインを前記描画対象であるベジェ曲線を近似する直線
群とすることを特徴とする請求項１に記載のベジェ曲線
の描画方法。 - 【請求項４】 前記誤差判定ステップにおいて、前記分
割ステップにおける前記ベジェ曲線の分割を行う点から
当該ベジェ曲線を定義する定義多角形のベースラインま
での距離を前記誤差として判定することを特徴とする請
求項１〜３のいずれか１の請求項に記載のベジェ曲線の
描画方法。 - 【請求項５】 前記誤差判定ステップにおいて、前記分
割ステップにおける前記ベジェ曲線の分割を行う点と当
該ベジェ曲線を定義する定義多角形のベースラインの中
点との距離を前記誤差として判定することを特徴とする
請求項１〜３のいずれか１の請求項に記載のベジェ曲線
の描画方法。 - 【請求項６】 ベジェ曲線を直線の集合により近似し描
画するベジェ曲線の描画装置において、 対象であるベジェ曲線を予め複数に分割する分割手段
と、 前記分割処理により得られた複数のベジェ曲線の各々に
ついて、当該ベジェ曲線と当該ベジェ曲線を定義する定
義多角形との誤差を判定する誤差判定ステップと、前記
誤差が許容範囲を越えている場合に当該ベジェ曲線を分
割し、分割により新たに得られたベジェ曲線を前記誤差
判定ステップの判定対象とする分割ステップとからなる
処理を、前記誤差が許容範囲内に収るまで再帰的に繰り
返し、最終的に得られた複数のベジェ曲線の各定義多角
形から前記描画対象であるベジェ曲線を近似する直線群
を求める直線近似手段とを具備することを特徴とするベ
ジェ曲線の描画装置。 - 【請求項７】 ベジェ曲線を直線の集合により近似し描
画するベジェ曲線の描画プログラムを記録した記録媒体
において、 前記描画プログラムが、 対象であるベジェ曲線を予め複数に分割する分割処理
と、 前記分割処理により得られた複数のベジェ曲線の各々に
ついて、当該ベジェ曲線と当該ベジェ曲線を定義する定
義多角形との誤差を判定する誤差判定ステップと、前記
誤差が許容範囲を越えている場合に当該ベジェ曲線を分
割し、分割により新たに得られたベジェ曲線を前記誤差
判定ステップの判定対象とする分割ステップとからなる
処理を、前記誤差が許容範囲内に収るまで再帰的に繰り
返し、最終的に得られた複数のベジェ曲線の各定義多角
形から前記描画対象であるベジェ曲線を近似する直線群
を求める直線近似処理とを具備することを特徴とする記
録媒体。
Priority Applications (1)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| JP798798A JPH11203489A (ja) | 1998-01-19 | 1998-01-19 | ベジェ曲線の描画方法、ベジェ曲線の描画装置およびベジェ曲線の描画プログラムを記録した記録媒体 |
Applications Claiming Priority (1)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| JP798798A JPH11203489A (ja) | 1998-01-19 | 1998-01-19 | ベジェ曲線の描画方法、ベジェ曲線の描画装置およびベジェ曲線の描画プログラムを記録した記録媒体 |
Publications (1)
| Publication Number | Publication Date |
|---|---|
| JPH11203489A true JPH11203489A (ja) | 1999-07-30 |
Family
ID=11680785
Family Applications (1)
| Application Number | Title | Priority Date | Filing Date |
|---|---|---|---|
| JP798798A Pending JPH11203489A (ja) | 1998-01-19 | 1998-01-19 | ベジェ曲線の描画方法、ベジェ曲線の描画装置およびベジェ曲線の描画プログラムを記録した記録媒体 |
Country Status (1)
| Country | Link |
|---|---|
| JP (1) | JPH11203489A (ja) |
Cited By (2)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| CN100388290C (zh) * | 2006-06-02 | 2008-05-14 | 胡平 | 一种快速建立车身概念设计几何模型的方法 |
| JP2012053691A (ja) * | 2010-09-01 | 2012-03-15 | Canon Inc | 画像処理方法、画像処理装置、及び、プログラム |
-
1998
- 1998-01-19 JP JP798798A patent/JPH11203489A/ja active Pending
Cited By (3)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| CN100388290C (zh) * | 2006-06-02 | 2008-05-14 | 胡平 | 一种快速建立车身概念设计几何模型的方法 |
| JP2012053691A (ja) * | 2010-09-01 | 2012-03-15 | Canon Inc | 画像処理方法、画像処理装置、及び、プログラム |
| US8787677B2 (en) | 2010-09-01 | 2014-07-22 | Canon Kabushiki Kaisha | Image processing method, image processing apparatus, and program |
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