JPH07504541A - データのフラクタル・コーディング方法およびシステム - Google Patents
データのフラクタル・コーディング方法およびシステムInfo
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Abstract
(57)【要約】本公報は電子出願前の出願データであるため要約のデータは記録されません。
Description
【発明の詳細な説明】
データのフラクタル・コーディング方法およびシステム(技術分野)
本発明は、イメージ・データまたは音声を表わすデータの如きデータの7ラクタ
ル・コーディング方法(methods of fractalcoding
or data)に関し、かつかかる方法を実施するための装置に関する。
(背景技術)
用語「データ」とは、本文においては非制限的な意味で用いられ、2進コ一ド化
電気信号の形態におけるデータのみならず他の形態のデータまたは情報をも含む
ことを意図することを理解すべきである。このような他の形態のデータまたは情
報は、電気信号以外の物理的形態を取り得、かつイメージ、音声、数あるいは形
状の如き要求される現象を表わし得る。
従来は、コンピュータのスクリーン上に表示されるイメージは、スクリーン表示
の各ピクセルの位置およびトーンまたはカラーを特徴付けるディジタル・データ
の形態で記憶されあるいは送信される。このようなデータに対しては、かなりの
記憶容量が要求される。イメージが遠く離れた場所で表示されるならば、データ
は適当なキャリヤを用いて送信され、このためには送信のため長時間が許容され
なければ、データを収容するのにかなりの帯域幅を必要とする。表示されたイメ
ージが規則的な幾何学的形状を含むある状況においては、記憶されることを必要
とする唯一のデータは幾何学的形状およびディスプレイ中のその位置を定義する
数式を特徴付けるデータである。この場合は、データに対してはるかに少ない記
憶容量が要求される。明らかに、後者の技術は、イメージを数式により適当に特
徴付は得る時にのみ、イメージの記憶または送信のために使用することができる
。更に複雑なイメージの場合は、いわゆる適応離散的余弦変換(Adaptiv
c DiscreLe Co51ne Transrorm(ADCT))法に
よりコード化されることが既に知られ、この技法は静止イメージ圧縮法に対する
JPEG規格としての適用が保証されている(G、に、Wallace著[JP
EG静止画像圧縮規格(The JPEG 5till Picture Co
mpression 5tandard)J (Comm、ACM、第34巻、
第4部、30〜44頁、1991年))。
しかし、フラクタル・コーディング法による複雑なイメージの特徴付けにおいて
示される関心もまた存続している(M、F、Barns IcyおよびS、De
mko著r(Iterated Function Systems andt
he Global Con5trucLion オリフィス FractaI
s)J (Proc、Roy、Soc、、London、第A399巻、243
〜275頁、1985年))。
フラクタルは、高度の自己類似性を持つ構造であり、これにおいては、構造全体
にわたり反復され、かつ一連の変換により形成されるものと見做すことができ、
構造の連続的な各部を生成するためモチーフに加えられる変換、回転、反射、サ
イズの減少あるいは捻りを含み得る基本的モチーフからなっている。イメージの
フラクタル・コーディングにおいては、イメージは、このイメージを一連の主要
ブロックへ分解するフラクタル変換によってコード化され、前記ブロックの各々
が、数式として記憶されるアフィン・マツプ(af[inc map)によって
イメージの他の部分と関連付けられる。
A、E、Jacquin著「ディジタル・イメージに対する新規なフラクタル・
ブロック・コーディング法(A Novel Fractal Block−C
oding Technique for Digital Irr+agcs
)J(Proc IEEE ICASSP、2225〜2228頁、1990年
)は、各イメージ・ブロックを[レンジ・ブロック(range block)
Jとして取扱い、処理時間および複雑さに太き(関与する探索プロセスを用いて
前記レンジ・ブロックとの類似性を持つ主要ブロックを見出すフラクタ、ル・コ
ーディング法を開示している。しかし、この技法は、レンジ・ブロックと主要ブ
ロックとの間に見出される良好な一致に依存し、また良好な一致が見出されなけ
れば、イメージ品質における著しい劣化が生じる。
(発明の概要)
本発明の目的は、コーディング効率が高く、かつ良好な忠実度を保持しながら実
質的な圧縮が得られる新たなフラクタル・コーディング方法および装置の提供に
ある。
本発明によれば、データのフラクタル・コーディング方法が提供され、本方法は
、データを定義域(domain)へ分割し、この定義域をデータに関連付ける
1組の変換を決定してデータと前記変換の適用により得られるデータに対する近
似値との間のエラーを最小化し、前記変換を特徴付ける一連の量子化されたフラ
クタル定数の式を提供することからなる。
当該方法は、広い応用分野を持ち、種々の現象を表わす種々の物理的形態にお夕
のコード化とは別の他の重要な応用分野は、音声および手書きのコード化、およ
び更に物体の形状を表わす情報のコード化をも含んでいる。
変換は、2つ以上の部分で特徴付けられ、少なくとも1つの部分は特定の定義域
またはその特質で連想し得る測定値を示す少なくとも別の(関数)部分における
定義域を示す。
当該方法において用いられる組をなす変換は、パス(Bath)の7ラクタル変
換(BFT)と呼ばれ、1つ以上の関数gと、決定的なフラクタルに対する標準
的表現であるいわゆる反復関数系(Iterated Function Sy
s tem (IFS))として表わされる関数(単数または複数)に対する近
似値rとの間のエラーd (f、g)を最小化する解と対応している。このIF
Sは、1つの主要部分と、1つ以上の関数部分とに分けられる。
前記変換は、分析的に、かつ望ましくはサーチによることなく決定することがで
きる。この変換定数は、1組の一次方程式から見出すことができる。変換定数は
、直線時間において得ることができる。この変換定数は、コード化の複雑さとイ
メージのサイズとの間の直線的関係の結果である。
提供される一連の量子化フラクタル定数は、ストアに保持されまたは変換経路を
通して送ることができる。
更に、記憶されあるいは送信された定数は、適切なものとして、かつこれから再
生されるデータの表示あるいはシミュレーションとして検索されあるいは受信さ
れる。
本発明の望ましい一実施態様においては、1組の変換がデータに対する少なくと
も2乗近似(squares approximation)により決定される
。
本発明は、イメージの7ラクタル・ブロック・コーディングに対して特に適用し
得、この場合、イメージはイメージ・ブロックに分けられ、各イメージ・ブロッ
クを表わすデータは1組のアフィン変換(arfine transforma
tions)によりイメージ・ブロックと関連付けられる複数の定義域へ分けら
れる。
この場合、定義域の大きさおよび形状は相互に対して変化し得るが、各イメージ
・ブロックは、一般に直角である。
本発明の一実施態様においては、ある用途においては、イメージ・ブロックの異
なる定籏域間のエラーの分布を最適化するかあるいはイメージ・ブロックの全エ
ラーを低減するように定義域が異なるサイズであることが望ましいことを理解す
べきであるが、各イメージ・ブロックは、イメージ・コード化の目的のため複数
の等しい重ならない定義域へ分けられる。
グレースケール・イメージのコード化のためには、ブロック・データは、グレー
スケール・データ、ならびに位置データを含み、この場合、位置データに基きか
つグレースケール・データに基いて組をなす変換が決定される。カラー・イメー
ジのコード化のためには、カラー・データはグレースケール・データの代わりに
、あるいはグレースケール・データに加えて含まれることになる。
本発明はまた、データのフラクタル・コーディング法のための7ラクタル・コー
ディング装置を提供し、この装置は、データを定義域へ分ける区分手段と、デー
タと変換の印加により得られるデータに対する近似値との間のエラーを最小化す
るように前記定義域をデータに関連付ける1組の変換を決定する変換手段と、前
記変換を特徴付ける一連の量子化フラクタル定数の式を提供する量子化手段とか
らなっている。
本発明のコード化手法は、実現が簡単明瞭であり、イメージのコード化に用いら
れる時、典型的には12:1の次数のイメージ・データの然るべき圧縮を提供す
ることができる。当該手法は、非常に複雑なコード化装置を使用することなく高
速なコード化を必要とするシステムにおいて特に有効にする(イメージ・ビクセ
ル数に正比例する)その計算効率に関して特に有望である。マルチ・メディア・
システムにおける如きディジタル・コーディングおよびイメージのアーカイブ(
archiving)または静止イメージの圧縮を必要とするイメージ・コーデ
ィング用途において有効であると同様に、本手法は、ビデオ・メール・システム
における如く動(イメージがリアルタイムにコード化し復号されるイメージ・コ
ーディング用途においてもまた有効である。
本発明は更に、短縮形態における記憶または送信のための情報を近似化する方法
を提供するものであり、本方法は、情報を表わす関数を提供し、これから前記の
短縮形態を定義域部分と関数部分とを持つ反復関数系として得るステップを含む
。
本発明はまたフラクタルのそのコードからの順方向処理方法を提供するものであ
り、本方法は、フラクタルに対して必要な全ての変換の固定点を得ること、各点
に対する丸め近似ビクセルを形成すること、およびこのビクセルをフラクタルの
アトラクタ(a t L rac to r)に対する微小近似値としてプロッ
トすることを含む。
本方法は、唯一つのビクセルが丸められた各近似値に対してプロット(pl。
t)されるステシブを含み得る。計算数は、近似値における少数のビクセルと線
形的に関連させ得る。本方法は、フラクタル関数に対して、全ビクセルにビクセ
ル内の1つの点に対して計算された関数の最初の値を割当てることを含む。本方
法は、1つのビクセルに対するフラクタル関数の全体値を厳密に近似化すること
を講じるもので、ビクセル数に略々等しい整数個のタイル(L i I e)
(M)を選択すること、M個のタイルにわたるフラクタル関数の積分値を評価す
ること、および1つのビクセルに対する関数値をこれが交差するタイルにわたる
前記積分値の加重和として決定することを含み、この加重は前記交差の大きさに
比例する。
少なくとも1つがタイルに対する親のブロック内にない、完全にタイル状にされ
たイメージがタイルにより分けられる方法の形態においては、本方法は、イメー
ジの全ての部分を調べさせるのに充分な数の種(seed)ビクセル値を提供す
ることを含む。
本発明の更に別の特質によれば、定義域が全て1つの大きさでない方法が提供さ
れ、この大きさが定義域に測定値を等化させるためデータにわたる1つの測定値
に従って選定される。
前記測定値は、エラー推定出力を行うためデータをフィルタに通過させることに
より決定されるコード化エラーの予測である。
本発明はまた、上記の手法によるデータの7ラクタル・コーディングにより記録
される記憶媒体をも提供する。
本発明はまた、全てがアトラクタの一部を含む少数のビクセルを決定する手段と
、少数の各々を1回以上はプロットしない手段とを含む、フラクタル・コード化
されたデータを復号する装置をも提供する。
本発明はまた、データのフラクタル・コーディングと、コード化データの記憶お
よび(または)送信と、データのコーディングと上記の手法によるコーディング
の復号とを含む、前記データを再構成するため前記記憶および(または)送信後
の前記フラクタル・コーディングの復号とのためのシステムをも提供する。
メーク・コーディング手法について、添付図面に関して例示として次に記述する
。
図面の簡単な説明
図1は、コード化されるべきイメージ・ブロックの概略図、図2は、使用される
コード化/復号装置のブロック図、図3は、コード化されるべ波形の概略図、図
4および図5は、音声のコーディングにおけるエラーのグラフ、および図6乃至
図20は、本発明による手法の記述において触れる方程式および他の数式である
。
(実施例)
図1において例示として略図的に示されるイメージ・コーディング法においては
、1組の4つのアフィン変換w、(A) 、w2(A)およびW4(A)は、直
角のイメージ片1に対する最小2乗近似値を与える。この変換は、イメージ片1
を覆う4つの重ならない直角定義域2.3.4および5を定義し、大きさの減少
および変位による前記イメージ片1の定義域2に対するマツピングが、−例とし
て4本の線6により図1に略図的に示されている。定義域2.3.4および5の
各々は、次に同様の一連の4つの変換によってそれ自体マツプされる。イメージ
片1は典型的に、8×8のビクセル・ブロックである。
ユークリッド面に点V= (x、y)をマツプするアフィン変換(wb : k
= 1 。
2、、、、lのシステムは、下記のように書くことができる。
Wb: v−TbV+5h
TkはITI<1による収縮線形マツピングであり、Sbは偏移ベクトルである
。
TkおよびSkは、それぞれ図6および図7に示されている。
これは、本例のイメージ・コーディング法の定義域部分を定義する。
幾何学的には、M、およびM、はXおよびyの倍率であり、θ、およびθ、は回
転であり、S、、S、は変換Wを一緒に構成する偏移である。N回のアフィン変
換が存在する場合、これはオーダN(order N)の自己アフィン系(SA
S)と呼ばれる。SASと関連するのは、一般に無限に多くの点を含む一義的な
アトラクタ・セットで(a unique attractor 5et)ある
。このアトラクタ・セットは、これが自己類似性の特性を満たす意味ではフラク
タルであり、しばしば整数でないフラクタル指数を持つ。図形的な目的のために
、アトラクタを網羅しかつ多数のアルゴリズムの1つにより構成される少数セッ
トのビクセルが存在する。
イメージにおけるグレースケール変分のコーディングに対しては、イメージ・コ
ーディング法の関数部分を規定するためSASが3次元2へ拡張される。このた
め、Aが面内のSASのアトラクタである場合、拡張SASは図8に示される変
換によって規定される。
Aが重ならない条件を満たすならば、またla:+l<1ならば、このSASの
アトラクタはイメージにおけるグレースケール変分を表わすフラクタル面である
。
イメージは、これを一連の直角ブロックへ区分することによりコード化され、こ
の場合グレースケールは先に規定された形態のSASにより近似化されて、イメ
ージに対するフラクタル・ブロック・コーディングを与える。定義域アトラクタ
が直角であるSASは規定が容易であり(図1)、問題は、イメージ・ブロック
のグレースケール関数に対する最良の7ラクタル近似を規定する定数a1、a2
、a5、Bを見出すことである。
gが所与のイメージに対するグレースケール関数であり、そρ結果g(x、y)
が(x、y)におけるビクセルのグレースケール値であるならば、イメージと式
(1)のSASによるそのマツピングとの間の平均2乗平方根(root−me
an−square)の差は、k=1.、、、Hの各々に対して下式を最小化す
ることにより最小化される。
但し、HはAに対するハウスドルフ(Hausdorf[)測度である。フラク
タル・パラメータに関する部分偏差が図9に示され、最小では全てゼロとなる。
図9における式から、図10における式を得ることができる。図10においては
、全ての積分値がハウスドルフ測度に関してA全体にわたっている。図10の式
は、次にa、”’、a2′に’、aj′1.b”’を?3るため解<:とができ
る。
この場合、2つの変数の関数が最小2乗近似値によりフラクタル関数によって近
似化される。同様な手法が、いかなる数の変数のフラクタル関数に対しても適用
でき、また音声の近似化に対して適用することができる。
このように、本方式に従ってタイル状にされたイメージ・ブロックに対する最小
2乗近似値は、各ブロックに対する4組の4つの一次方程式の解を要求する。
a、+に′=0が平面の小面(racet)によるタイルにの記述に等価である
ことを知るべきである。このように、平面によるイメージの最小2乗の適合は本
近似法の特殊なケースであり、定数a、は、「曖昧(f u z z)因子(フ
ーズ因子)」と呼ばれるタイルへ組成(texture)を導入するパラメータ
として視認することができる。
差w、が異なるフラクタル解を与えるので、直角タイリング(t i l in
g)の種々の最適化がフラクタル近似を改善し得る。これらは、等しくないタイ
ルを生じるため1つのブロックの最適な***点を見出すこと、およびπ/2の倍
数による1つのブロック内の各タイルの最良の回転を選定することを含んでいる
。
フラクタル定数は、実数値であり、記憶または送信前に量子化されねばならない
。しかし、定数に対する絶対境界を欠くと、あり得る量子化の分析を複雑にする
。
問題は、フラクタル定数が復元できる適当な組の関数値を計算することにより簡
単化される。これは、f(α、)を記憶することにより行われるが、α、は、「
(Wl(α、))の値と共に常にブロックの隅部であるW、の固定点であり、i
#にであり、その結果16のフラクタル定数が16の関数値により置換される。
このフラクタル定数は、4組の4つの一次方程式を解くことにより関数値から復
元することができる。この関数値はフラクタル近似のグレースケール値であるた
め、それらの範囲はちょうど元のイメージのそれである。このため、これらの関
数値は整数へ更に容易に量子化することができる。
更なる圧縮を達成するために、量子化された関数値はブロック単位の組で記憶さ
れる。各ブロックにおいては、1つの関数値が明瞭に記憶され、他の値はそれら
の相違によって記憶される。次に、イメージの近似化のための最終的コード化を
与えるため、ハフマン(Huffman)またはエントロピ・コーディングの如
き統計的コーディングを差の値の組について行うことができる。
テストにおいては、ピクセル当たり8ビツトでディジタル化された強度成分と、
4つの生成された重ならないタイルが等しい大きさであるように、全てのkに対
してM、 L ’ l ;M 、 I ’ lに1/2.θ、 fkl =θ、
(kl=Q、また3%kl、S、Bゝとにより標準的なテスト・イメージ「ゴー
ルド・ヒル(Gold Hill)Jから得た8×8ビクセル・イメージに対し
て、図10における式による最小2乗近似値が適用された。平坦な小面、a3(
1)=0によるイメージ・ブロックのマツチングの如きこの手法の変形もまた用
いられた。M、およびM、を最適化することにより、ならびにθヨおよびθ、を
最適化することによって、改善を得ることができる。
」1記の近似法は、完全なディジタル・イメージをブロック・コード化するため
に用いることができる。1つのイメージの直角ブロックへの区分を行うと、各ブ
ロックはフラクタルにより個々に近似化される。イメージの一定サイズのブロッ
クへの区分は、エラーの不均一な分布を生じる結果となるが、最適な区分(最小
限の全体的劣化を生じる)を見出すには、標準的な推定法が用いられるかどうか
の非常に大きな探索を必要とする。妥当な計算コストで適当な区分を推定するた
めの推定法については、本明細書のどこかに記載されている。
図2は、その上部にこのようなイメージ・コーディングを実施するために用いら
れるコーディング・システム10を示し、その下部にイメージを後で復号するた
め用いられる復号システム20を示すブロック図である。このコーディング・シ
ステム10は、イメージIMを直角イメージ片IFへ分割するための区分ユニッ
ト12と、先に述べた如く最小2乗近似値で各イメージ片をコーディングするた
めフラクタル関数を決定するフラクタル変換ユニット14とを含んでいる。次に
この関数を特徴付けるフラクタル定数FCが、ユニット14によりコーディング
/量子化ユニット16へ与えられ、このユニットにおいて前記定数がコード化さ
れ量子化されて、ユニット18により示される適当な変換経路または記憶媒体に
おける送信または記憶のためフラクタル・コードFDをユニット16の出力とし
て生じる。
イメージを再生するため記憶されあるいは送信されるフラクタル・コードRFD
の以後の復号は、先に述べた手法によりフラクタル定数RFCを復元する復号シ
ステム20の復号ユニット22ヘコードが与えられることを要求する。復元され
たフラクタル定数は、次にフラクタル描画ユニット24へ与えられ、このユニッ
トがこれらの7ラクタル定数からコード化されたイメージ片RIFを再生して、
イメージ片を完全な復号イメージDMを再生する再結合ユニット26へ与える。
このようなシステムを用いて2つの標準的なイメージ「ゴールド・ヒル(G。
IdHill)Jおよび「バーバラ2(Barbara 2)Jをコード化し復
号するテストが行われた。元のイメージは576行×720列の解像度でサンプ
ルされ、これが8×8ビクセルの72X90ブロツクへ区分された。各ブロック
毎に、回転と拡大の最適な組合わせが決定された。カラー成分のコード化に対す
る簡単な拡張は当業者には明らかであろうが、輝度コーディングのみが行われた
。
ADCTアルゴリズムにより導入された劣化の事例もまた、イメージ「ゴールド
・ヒル」および「バーバラ2」に対して生じた。表1は、フラクタル・コードと
ADCTコードとを比較するものである。
表 1
標準テスト RMSエラー RMSエラー画像 15 : IADCTコード
フラクタル・コードゴールド・ヒル 5.78 5. 96バーバラ2 8.4
2 10.04
このように、フラクタル近似のための上記の最小2乗法は、明らかにイメージ・
コーディングに対する実際的な試みである。この近似法は、その定数が線形時間
で見出すことができる1組の一次方程式を解くことにより見出され、従って本方
法は実現が容易である。このような計算のための時間は、探索プロセスに依存す
る手法よりもはるかに予測し得るものと考えられる。変更可能なサイズの72×
90=6480ブロツクで得ることができる圧縮の控えめの評価は、8:lであ
る。このような圧縮においては、現在のテストは、このような早期の開発段階に
おいて予期されるように、ADCTコーディングにより得られる結果よりも劣っ
た量的忠実度を呈する。最適化がフラクタル・コードの忠実度を改善し、より高
い圧縮率をもたらすことになり、またこのような展開は当業者には明らかであろ
う。従って、フラクタル近似法はADCTと比肩し得る。
しかし、この手法はまた、コーディングの複雑性と(ビクセルの総数に関する)
イメージ・サイズとの間の直線的関係の利点をも持っており、これにおいてはイ
メージ・ブロックを近似化する計算コストがブロックにおけるピクセル数と比例
する。Jacquinのフラクタル・アルゴリズムではコード化段階で探索が要
求されるが、復号は同一である。現在の手法は、各ブロックが線形時間でコード
化できかつ復号できるため、Jacquinのアルゴリズムよりも更に対称的で
ある。
このように、本手法は、高速のコード化と非常に早い復号を持つ有効なイメージ
近似法として有望である。この手法は、コード化の効率が優先される用途に対し
て、特に対話的状況において最も適している。ビデオ・メールは、その最も有望
な用途であることが証明され、運動するイメージを固定された区分方式でコード
化することができ、一連のイメージにわたるフラクタル定数の差分量子化は低ビ
ツト速度を提供することになろう。本発明を具現する1つの構成においては、ネ
ットワーク接続上の1つの従来のパーソナル・コンピュータと別の同様な装置と
の間で、イメージを略々12フレ一ム/秒で転送し得る。当業者にとって明らか
な手法を用いる最適化により、略々64キロバイトの接続容量がこのような用途
、更にはより高いフレーム速度に対しても充分であることが予期される。
上記のイメージ・コーディング手法が本発明によるフラクタル・コーディングの
方法の一用例としてのみ提示されることを理解すべきである。実際に、本発明の
方法は、本発明に関する下記の一般的理論を照合することにより判るように、非
常に広い応用範囲を持つ。
−M煎■論
バス・フラクタル変換(BFT)は、1つ以上の連続的なあるいは離散的な関数
gと、1つの定義域部分と1つ以上の関数部分とに分けることができる反復関数
系として表わされる前記関数に対する近似値fとの間のエラ、−測定値d (f
。
g)を最小化する何らかの解決法である。
−例は、カラー成分Y、 U、 V (または、他の表示)を不変関数として規
定することにより1つのカラー・イメージに対する近似法である。
’ (XIn X2+ 0.−− X1l−1)が(N−1)個の変数の関数で
あるとすれば、(XIn X2l −−−−xs−1+ f)が、N次元の反復
関数系により定義すル、1−とができるN次元の空間内の1つの点である。
オーダM(order M)の反復関数系(IFS)Wは、M個の関数(w+:
i=1. 2.、、、、M)の集合である。このIFSは、下式の如き新たな関
数f′へ変換するため関数fに対して用いられる。
もしf′=fならば、この関数は不変であり、一義的な不変関数fは適当な収縮
性Wの条件下で存在することが文献に示されている。
BFTは、IR3を用いて不変関数f (x++ X2+ 、 −、−XN)と
その定義域との両者について記述する。IFSが1つの定義域部分tと関数部分
Vとに分けられるならば、この不変関数は、
これは、「とは独立的な定義域部分であり、r =v f (XI、X21 、
、 、 、XN−1)これが関数部分である。
一例として、1つの変数の2次元の単一値の不変関数である波形の場合は、定義
域は、−1≦X≦1であり得、2つの等しい領域へ分割される。この関数は、X
およびgの両方における多項式であり得る。これは、2次元における次数2のI
FSを提供する。
t + = x / 2 1 / 2 t 2 = X / 2 + 1 /
2v、=ao+a、x+a2x”、 、 v2=c、+c、x+c2x”、。
+b、r+b2r”−、+a、r+d2r”、。
Y=w (Y)である不変関数は、音声の離散的サンプルか、あるいはある連続
関数に対する近似値であり得る。種々の値al+ bIn C++ dlは、I
FSの関数部分のパラメータである。
所与の関数g (XIn Xz+ 9. 、 、XN)に対するBFTを得るこ
とで、エラーの測定値dery(flg)を定義する。
−例として、dlFTは、[とgのサンプル間の差の2乗和であり得、近似され
るべき関数fおよびその変形w(f)にエラー測定値を加えると、empt=d
spy (g、 W (g) )BFTを得るため、IFSのパラメータW、α
、に関するCの最小値を見出す。
この最小値は、IFSパラメータa1に関するdIIFTの導関数をゼロに等し
くする一連の式を解(ことと対応する。即ち、α、に対してこのように得た解は
IFSのWS、Tを規定し、その不変関数Yがgに対する近似値である。W s
r Tはバス・フラクタル変換(Bath Fractal Transfo
rm)である。
このような手法の更なる使用を例示するため、本方法が音声波形の如き波形の近
似に用いられる1つの方法の特定の一例について、図3に関して次に記述する。
このような近似が行われる他の定義域および(または)関数を用いる他の方法が
あることを理解すべきである。
この場合、波形30は2つの反復関数系W+(g)およびWz(g)により近似
化される。ここで、
(t+=X/2 (t、=X/2+t。
W、(g)= (W2(g)= (
(v、=a++b+X+c、g (vz=a2+b、XIC,g問題は、a、b
、cを決定することである。
この目的のため、加箕によって、略々図12の式により示される如きであり、か
つ更に図13に示される如く表わすことができる図11における式により示され
るエラー測定値を定義する。次いで、図14に示した如く微分を行う。最小値に
おけるゼロに等しくうることで、a2+ b2+ C2に対する非常に似た解で
ある図15に示されるal+ bIn CIに対する解を与える。
これを「フラクタル」にするのはC3のみである。
図4および図5は、それぞれ音声「dO」と「8口」に対する音声と、種々のコ
ーディング法(coding Lechniqucs)によるコーディング後に
再生された音声との間の音声サンプルの長さに対する平均率RMSエラーERR
のグラフ表示である。図4においては、音声rdoJが英語で発音された単語r
dogJの音声からであるが、図5においては、音声ranJが同様に英語で発
音された単語「andJの音声からのものである。図4において、信号は発音さ
れた22050Hzの音声の4000個のサンプルであり、図5においては信号
は2500個のサンプルである。カーブしは線形適合(非フラグタル)に対する
ものであり、カーブLFは線形フラクタルに対するものであり、カーブSFは平
方フラクタル、カーブCFは立方フラクタル、SCは標準的な立方(非フラクタ
ル)に対し、またCxyFは立方Xおよびyフラクタルに対するものである。
最良の結果は立方フラクタル・コーディングおよび立方Xおよびyフラクタル・
コーディングにより得られることが判るであろう。
先に考察したものと「逆方向の」問題は、例えばイメージ自体の変形されたコピ
ーのコラ−シュ(collage)として1つのイメージを描写するフラクタル
・コードを発見することである。明らかに、例えば圧縮されたイメージの記録を
提供するためフラクタルが生成された時、このイメージを復元するためにある手
法が必要である。「順方向の」問題は、フラクタルのそのコードからのグラフィ
カル・レンダリング(graphical rendering)である。
反復関数系(IFS)は、参考のため本文に援用されるBarnsleyの研究
、例えば米国特許第4941193号および同第4065447号、および[至
るところフラクタル(FracLals Everywhere)J (Aca
demic Press、New York、1988年)から周知のように、
圧縮マツピングによるイメージの変形された(例えば、縮小されあるいは回転さ
れた)コピーのコラ−シュにより構成されたフラクタルを規定する。
BarnsleyおよびDemkoは有効な近似を非常に迅速に生成することが
でき、かつ結局は完了し得る確率論的方法について記述している。この手法およ
び他の周知の手法、例えば、決定的なアルゴリズム(Fract、als Ev
crywhcre、上記)は、無限に多くの点のコンピュータ操作されたvdu
(視覚的表示装置:visual display unit)上に表示を最終
的に生じることができた。しかし、無数の資源を必要とする。
比較的少ない資源(装備、時間、プログラムの複雑性)を使用する充分な近似法
が望ましい8このような近似法について次に提起する。即ち、a)どんなに小さ
くともフラクタルの一部を含みかつ他を含まない各ビクセル(これは、フラクタ
ルを網羅する最小限のビクセル・セットとなろう)を見出すこと、
b)フラクタルの特定の比率(測度)を含む各ビクセルを見出すことこれらの近
似法は、レンダリングと呼ばれる。特定の比率は、適当なカラーまたはグレース
ケール・レベルとして表示することができる。
本発明は、略々1つの7ラクタルを構成する最小数の数学的演算を行うアルゴリ
ズムを提供する。更に別の形態のアルゴリズムは、カラーおよびグレースケール
のレンダリングを提供する。
イメージのフラクタル・コーディングを生じる手法は、今日では公知であり、こ
れ以上記述しない。
1つの公知の「順方向」アルゴリズムは、ランダム反復アルゴリズムである(上
記のrFractals EverywhereJ参照)。このアルゴリズムに
おいては、任意に選択された1つの初期点から、IFS(上記)からランダムに
選択されたマツピングを用いることにより連続点が計算される。これらの点は、
フラクタルの「アトラクタ」を捨てる必要がある少数の手前の点だけ近づける。
点を計算することにより見出されたビクセルでアトラクタを覆うだけの反復数の
下限が計算されるが、明確な停止基準は存在しない。このため、アトラクタの充
分に迅速な描画を生じることができる。また、このアルゴリズムは、非常に拡大
されたフラクタルの小さな部分を多くの場合非常にゆっ(りではあるが描画する
のに必要である。更に、このアルゴリズムは、最終的には実際に1つのアトラク
タにおけるほとんど全てのビクセルを見出すことができる。RIAの弱点は、ス
パイラルを生じるテストによって例示される。フラクタルは、(他のアルゴリズ
ムから)57518個のビクセルを必要とする。約670000回の繰返しの後
、本例では、およそ僅かに73%が描画されたに過ぎない。1つの理由は、点を
計算する間、多数のビクセルが、頻繁に(38106個のビクセルが照合されね
ばならない時、1つのビクセルに対して255回まで)照合されたためである。
別の公知の形態は、決定論的反復アルゴリズムである(上記のrFractaI
s EverywhcreJ参照)。これは、単一点ではなく組をなす点を使用
する。多くの繰返しの後、点の組がアトラクタに接近する。しかし、連続的な反
復のためには2つのバッファが要求される。点の組が離散的近似法で置換される
ため、エラーが連続的な反復中に蓄積し、ある場合にはアトラクタ全体が構成さ
れず、幾組かの点が決して生成されない。また拡大されたイメージ片はDIAで
は描画され得ない。
点ではな(明確にビクセルについて演算するアルゴリズムが用いられること、お
よび典型的なビクセルの組のみが見出されることが提案される。この組は、有限
の時間内でこのように構成可能なように限定されよう。
この提案されたアルゴリズムである最小プロッティング・アルゴリズム(MPA
)は、フラクタルの生成のための全ての変換の固定点(上記のw、)を見出すこ
とで開始する。これらの点と対応するビクセルがプロットされる。値に=1乃セ
ルから形成される待ち行列の終りに置かれる。この待ち行列が空である時にプロ
セスが終了する。
MPAの精度の上限は規定可能である。レンダリングRAは、どれだけ小さくと
もアトラクタの一部を含む全てのビクセルである。MPAは、RAに対する近似
である1組のビクセルを生成する。ビクセル■からRAまでの距離は下式の如く
定義される。即ち、
但し、すは面内のある計量、通常はユークリッド計量(Euclidian m
etric)である。
玄が計ff1dにおけるビクセルの直径である時、全てのビクセル且がMPAに
より生成され、
ρ(p、RA’)≦δ/ (1−8)
但し、王はIFSマッピングハの最大の収縮比である。
導入により最後のステートメントを2明することができ、プロットされたRAに
対する近接度と関連する。これは、近接理論と呼ばれる。
MPへの性能は、シェルビンスキ(Sierpinski)の三角形に基く事例
を用いて、下記の如く示すことができる。DIAを用いて、RAにおけるピクセ
ル数を推定することができる。ディスプレイのスクリーンは、1024X102
4ピクセル(即ち、1048576ビクセル)を持ち、初期の設定はこの正方形
で、アトラクタに対する最も小さな囲みブロックである。各アフィン変換は、1
/4の収縮性を持ち、その結果各反復毎にビクセル数の3/4を生じる。(ある
いはまた、この構成は各反復時のビクセルの1/4を除去するものと見做すこと
ができる。)DIAの9回の反復後、これ以上の反復してもこれ以上のビクセル
を除去することがない。このため、RAは、1024”X (3/4)’=78
732である。MPAは、101258ビクセル、必要とされる以上の約1/4
をプロットし、丸めエラー(rounding error)の伝搬が不正−な
近似を生じる。しかし、S=1/4であるため、プロットされるビクセルはRA
からの
以上にはならず、このため精度は良好なままである。
近接理論からの重要な結果は、「終了特性(TcrminaLion Pr。
perty)Jおよび「最適性特性(Optimality Property
)」である。
[終了特性(Termination Property)J ニアトラクタは
拘束された組RAであり、このため、有限数のビクセルを含んでいる。MPAは
、有限数のビクセルをプロットする。MPAは、各ビクセルを1回だけプロット
し、従って、このアルゴリズムは有限時間で終了することになる。
「最適性特性(OpLionality Property)J:MPAにより
構成されるレンダリング(Rendering)は不変であり、即ち、どのビク
セルの変換もこのレンダリングにおける別のビクセルを生じる。Pがこのレンダ
リングにおけるビクセル数であるならば、要求されるプロット演算の最小数はP
であり、不変性を確立するため必要な変換の最小数はN、P(ここで、NはIF
Sのオーダ(order))である。MPAは、各ビクセルを一回だけプロット
し、従って、1つのビクセルは1つのキュー(q u e u e)にのみあり
得、このため、変換の合計数はまさしくN、Pとなる。このことは、MPAが最
適であることを示す:MPAの「コスト」はC(P)であり、ここでCはビクセ
ル計算のコストである。RIAの場合は、下限に対する「コスト」がビクセル計
算当たり同じコストに対してC(PlogP)であることが判る。
シェルビンスキ(Sierpinski)の三角形の事例をRIA上方に継続す
ることで、同数即ち101258の点プロット動作後に、MPA性能の56%を
達成するに過ぎない。MPAは、101258の点に達するのに303774回
の変換を必要とする。RIAの反復数(PIogP)に対する近似式は、RIA
に対して約100万回の反復を完了することを示唆し、実際に100万回の反復
において点の約94%に達する。
MPAは、ある極端な場合において、完全なアトラクタを構成することができな
い。ピクセル単位のマツピングを再定義することで、ある場合における問題を回
避することができる。ビクセルは、面内における点の組の2乗と見做すことがで
き、これらの点の全てが画素化の前に変換される。更に多くの計算が必要とされ
、結果として得るアトラクタは充分に定義されない。それにも拘わらず、MPA
は一般的な用途には有利である。
フラクタルにおけるビクセルは、本文では[密度(dens i Ly)Jとし
て示される特性を持ち得る。RIAを用いて、ビクセルが照合される頻度を示す
ヒストグラムを生じることができる。密度の測度は、例えば、ビクセルに割当て
られるグレースケールまたはカラー値を表わすために用いることができる。確率
P、をIFSのマツピングWkに割当てることが知られている。これは、レンダ
リング中に、単純な2進イメージより多くの反復を含む。MPAは、単に各ビク
セルを一回プロットするに過ぎず、従ってこの手法を用いることができない。
DIAは、この手法の一形態を用いることができる。イメージに対する測定、即
ち「質量」の合計値は既知であり、適応DIAがビクセルにおける測定の最初に
仮定された分布について演算する。各反復毎に、この質量がビクセルに再分布さ
れて、確率P、により加重される。確率が1.0まで加算する限り、測定(即ち
、「質量」)の合計値は再分布される間保留される。これは、一定質量アルゴリ
ズム(CMA)である。(D、M、Monro、F、Dudbridgcおよび
A、Wilsonの「自己アフィン・フラクタルの決定論的レンダリング(De
terrninistic rendering or 5elf affin
e fractals)J (IEEE CCo11oquiu on Fra
ctal Techniques in Image Processing、
1990年)参照)。以後の反復におけるビクセルに対する繰返される照合は、
レンダリングに対してカラーを付加し得る。例えば、フラグタルのカエデ葉(当
技術において広(用いられる周知のテスト・イメージ)をカラーに対する各ピク
セル毎に0から255間の実数でレンダリングする256X256アレイについ
て考察しよう。「カエデの葉」の事例の場合、15回の反復後に、合計2044
01回の測度の再分布が生じて、24330個のビクセルが全て照合される。2
1回目の反復時に、合計350381回の測度再分布により、24より少ないビ
クセルが最大で8ビツトの解像度の値を変化する。このため、レンダリングは有
効に完了される。例えCMAを用いても、重なる部分のコラ−シュが存在する時
は、測度の挙動は予測し得ない。従って、CMAが一般にRIAより良好である
が、更に有効な方法が必要とされる。
フラクタル関数(γ)は、グレースケールまたはカラーをアトラクタ上に表わす
ための実際的な方法を提供する。フラクタル関数は、タイリングに対して別の次
元を加えるものとしてIFSにより規定されるタイリングのため照合され得る。
例えば、フラクタル関数は、タイリング面にわたって存在する面となる。先に述
べたように、全てのフラクタル定数が計算される必要があり、これはこれまでは
行われなかったか、あるいは非常に近似的に行われてきた。
グレースケールを規定するフラクタル関数を含むフラクタルを描画するため、選
択されるレンダリング・アルゴリズムが3次元で用いられる。簡単な方法は、イ
メージのタイリングが重ならないこと、またフラクタル関数がこれにより単一値
を持つことを仮定することである。従って、簡単な方法は、その1つの点(X。
y)における1つのビクセルにヒツトすると同時に、f (x、y)がビクセル
の値であると仮定することである。この選択されたグレースケールは、1つのピ
クセル内に生じる多くのものの1つに過ぎず、このビクセル内の平均的グレース
ケール・レベルに近いかそうでないかである。
MPAは、僅かな修正を必要とする。マツピングW、の固定点が計算されて、1
、の固定点とこれらの点における工の値とを与え、この値が対応するビクセルへ
割当てられる。定義域部分(上記のし、またはT、)のアトラクタが次に生成さ
れる時、関数部分(上記のV、または+1.)により与えられる各ビクセルが1
つの確率値を割当てられる。このため、1つのビクセルの割当てられたグレース
ケール値は、このビクセル内のある点におけるフラクタル関数の値である。
この最後の手法は、一般には有効ではあるが、あらゆる場合、例えば、エツジの
再構成における高いエツジ付近の値、あるいはタイルが高いフラクタル指数を持
つ場合には満足し得るものではない。この手法は、グレースケールの任意の選択
を用いて、僅かにその回転または反射において異なる2つのイメージ・ブロック
をレンダリングする際に異なる結果を生じ得る。効率を維持しながらMPAを強
化する手法について次に述べる。
図1に示される如き1つの点で接して原点を中心とする4つのタイルからなる矩
形ブロックについて考察しよう。(この分析は、当業者によって更に一般的な矩
形に対して容易に拡張されよう。)
中心(i、j)を持つ各ビクセル毎に、グレースケールp(i、j)をビクセル
上のフラクタル関数の平均値となるように定義する。即ち、親のブロックを覆う
4つのタイルについて加算すると、下式の如き親のブロックにわたる正確にフラ
クタル関数の積分である図16の式を生じ、これはまさにブロックの面積である
。
イルの各々にわたって積分される。同様に、工はへの不変条件の示唆に関してM
回の変換t□(tB(、、、(tiM(A))、、、))のどれかの成分につい
て積分される。
Mは、これらタイルth(A)の数がビクセルの数と略々一致するように選択さ
れ、即ち、MはIOgJJ’Adxdyに最も近い整数である。次に工の積分は
全てのタイルtb(八)に対して評価され、使用する旦および4の正しい値が複
合マツピングを計算することにより決定される。従って、1つのビクセルのグレ
ートーンが、これが交差するタイルについての積分の加重和であり、この加重は
交差の大きさに比例する。人がその辺が2の幕である正方形である時、各タイル
は1つのビクセルに正確に一致して、このように当該手順が正確である。一般的
な矩形の場合には、ビクセルが方形であるため正確さは保証されない。それにも
拘わらず、この手順は非常に正確な状態を維持する。
図18は、「疑似コード」における手順を要約している。
−例は、256の強度レベルを持つYUV形態における720X576ビクセル
の標準的イメージ「ゴールド・ヒル」のオリジナルである。カラー成分(trv
)は、強度(Y)の水平分解能の半分にディジタル化される。Yイメージは、3
つの成分に個々に適用される最小2乗法(上記)によって近似化される。その結
果は、最初に述べた強調を用いるMPAによって描画されてトーン・レンダリン
グ精度を改善する。タイリング方式は、変更可能なブロック・サイズを持ち、原
点は必ずしもブロックの中心にはない。(この手法については、本明細書のどこ
かに記載されている。)このように、タイルはまたサイズが変化し得る。ブロッ
ク数は、Y成分に対して6480でありかつUおよびVの各々に対して3240
であり、これはあたかも均一な8×8ピクセルの親ブロックが用いられるかの如
き合計となる。イメージの結果として描画されたフラクタル再構成は、おそらく
は画像にわたってできるだけ均一にエラーを分散することにより改善される。
先に述べたMPAの簡単な形態は、イメージに対する更に一般的な矩形状ブロッ
ク方式に対して適用され得る。フラクタル関数を記述するマツピングの定義域部
分が親のブロックをそれ自体に含まれない1つのタイルヘマップするならば、イ
メークが完全にタイル状に配列されることになるが、親のブロックはどこでもよ
い。従って、不変マツプがイメージ周囲の複雑な軌跡に従うので、固定点は容易
に規定され得ない。MPAの簡単な形態で描画するためには、図19に示される
アルゴリズムが用いられる。このアルゴリズムは、画像の領域が判らなくならな
いように種ビクセル値を充分に保証する。
大きさおよび(または)形状、およびこのような分割から生じる最適化において
等しくない定義域へのイメージ・ブロックのスプリット即ち分割については先に
触れた。
本発明は、可変ブロック・サイズでの操作、およびイメージの局部的な特性を勘
案するブロック・サイズを選択するための手法を提供する。特に、コーディング
法において局部的に生じるコーディング・エラーを前取て予測するイメージ処理
手法が提供される。例えば、比較的大きいあるいは最大のエラーが生じ得るイメ
ージの領域においては、より小さなブロックがこのようなエラーを減じるが、よ
り大きなブロックはより小さなエラーが生じ得る領域に対して用いられる。均一
なブロック・サイズにおけると同じ合計数のブロックを用いることにより、エラ
ーが再分散され、圧縮損失が僅かかあるいは損失なしに忠実度が改善される。
このため、同じ忠実度に対してより大きな圧縮比を可能にする。また、RMSエ
ラーまたは信号対エラー比の如き尺度により測定されるエラーを低減することが
できる。
このように、ディジタル・テレビジョン・システム、情報の検索、および他の記
憶および送信システムに対するディジタル的に圧縮されるブロックのコード化イ
メージの忠実度における改善が達成し得る。
一般に、当訪手法は、コード化イメージにおけるエラーの分布または他の品質の
分布を予測し、この予測を用いて区分を決定することによって操作される。1つ
の形態では、本手法は、帰納的に構成される有限インパルス応答(F I R)
フィルタ、あるいは可動平均フィルタ、あるいは無限インパルス応答(IIR)
フィルタの如きディジタル・フィルタを用いる。定数列に基<FIRは、コンピ
ュータが図20における式に従ってエラー、C1を予測し得るように構成される
。別のフィルタは、イメージの全であるいは一部の変換の定義域において構成す
ることができる。これは、イメージのフーリエ変換、あるいは離散的余弦変換、
あるいは他のディジタル変換でよい。フィルタされたイメージは、逆変換を受け
て誤りまたは品質イメージの測定を生じる。次に、この測定を用いてイメージの
最初の分割即ち区分を制御して、予測エラーまたは他の測定を等しく、あるいは
他のある望ましい方法でイメージが分割される各部間へ分布させる。各部は、更
に同じように分割され、このような分割は要求される段階数だけ継続される。
本発明の用途の一例として、標準的なテスト・イメージ「ゴールド・ヒル」が固
定された大きさ、8X8ビクセルのブロックを用いてコード化された。イメージ
の再構成後の全てのブロックにわたるRMSエラーの平均は、7.43であった
。ソーベル・エツジ演算子(Sobell edge operator)が可
動平均フィルタとして用いられ、8X8ブロツクにおけるエラーのプロットを生
じることが可能であったエツジ・イメージを生成するためイメージに適用された
。このエラー予測は、予測されたエラーを区分された部分へ均等に分布させるよ
うコーディングするために、イメージを変更可能なサイズのブロックへ区分する
ため用いられた。結果として得たRMSエラーは、5.75の低減値にあり、画
像の品質は忠実度が改善されたと判断された。このソーベルの装侭はまた、固定
された8×8ピクセルのブロックの要件が緩和されることを前提に、JPEGA
DCT圧縮法に対しても適用し得る。
先に述べた手法は、イメージ圧縮のための逆方向および順方向の操作の改善を可
能にする。アトラクタを構成するための決定論的図形アルゴリズムは、効率を改
善することができる。精度における控えめの上限は、終了および最適化に照らし
て確立することができる。
アトラクタに対するグレースケールの描画は、フラクタル関数の使用による手法
によって改善される。アトラクタの場合は、フラクタル・コード化されたイメー
ジの再構成におけるビクセル値の矩形の正確な割当てが可能である。
Fig、3
FIG、S
Fig、7
Fig、8
=〉
Fig、12
Fig、13
Fig、14
Fig、16
Fig、17
ブロックエリアと積分関数を計算(図16の式)犬の全てのビクセルを零1こセ
・ソト
だけPのグレースケールを増加
Pの終わり
KMの終わり
に1の終わり
Fig、18
補正書の翻訳文提出書
(緋詐津箪184冬の8)
最初の位置の組を捜す
これらの位11こ対応するピクセルをプロットこれらの位lでキューを初期化
反復する
キューの最初からビクセルを取る
平成 6年 8月29−回
Claims (1)
- 【特許請求の範囲】 1.データを定義域へ分割することと、データと変換の使用により得るデータに 対する近似との間のエラーを最小化するように定義域をデータに関連付ける1組 の変換を決定することと、前記変換を特徴付ける一連の量子化されたフラクタル 係数の式を提供することとを含む、データのフラクタル・コーディング方法。 2.前記データが種々の現象を表わす種々の物理的形態についての情報である請 求の範囲第1項記載の方法。 3.前記データが、イメージ、音声、手書きおよび物体の形状を表わす情報の少 なくとも1つと関連する請求の範囲第1項記載の方法。 4.変換が少なくとも2つの部分において特徴付けられ、少なくとも1つの部分 が1つの定義域を示し、かつ少なくとも別の(開数)部分がその特定の定義域ま たは特質を連想し得る測定に対する値を示す、請求の範囲第1項記載の方法。 5.前記変換の紐が、1つ以上の関数g(連続的であるか離散的であるかに拘わ らず)と、決定論的フラクタルに対する標準的表示である、いわゆる反復関数系 (IFS)として表わされる関数に対する近似fとの間のエラーd(f,g)を 最小化する解と対応する、請求の範囲第1項記載の方法。 6.前記1FSが1つの定義域部分と1つ以上の関数部分とに分割される請求の 範囲第5項記載の方法。 7.前記変換が、分析的に、かつ望ましくはサーチによることなく決定される請 求の範囲第1項記載の方法。 8.前記変換係数が1組の一次方程式から見出される請求の範囲第7項記載の方 法。 9.前記変換係数が線形時間で得られる請求の範囲第7項記載の方法。 10.前記変換係数が、コーディングの複雑性とイメージ・サイズとの間の線形 関係の結果である請求の範囲第7項記載の方法。 12.提供される一連の量子化されたフラクタル定数が、ストアに保持可能であ り、あるいは送信経路に送出可能である請求の範囲第1項記載の方法。 13.記憶されまたは送信された係数が、適当に検索可能でありあるいは受信可 能であり、これからデータの表示またはシミュレーションが再生可能である請求 の範囲第12項記載の方法。 14.前記変換の組が、データに対する少なくとも2乗近似法によって決定可能 である請求の範囲第1項記載の方法。 15.イメージがイメージ・ブロックへ分割され、かつ各イメージ・ブロックを 表わすデータが1組のアフィン変換によりイメージ・ブロックと開運つけられる 複数の定義域へ分割可能である、イメージのフラクタル・ブロック・コーディン グのための請求の範囲第1項記載の方法。 16.各イメージ・ブロックが略々矩形状である請求の範囲第15項記載の方法 。 17.前記定義域のサイズおよび形状が相互に変更可能である請求の範囲第16 項記載の方法。 18.各イメージ・ブロックが、イメージ・コーディングの目的のため複数の等 しい重ならない定義域へ分割可能である請求の範囲第15項記載の方法。 19.1つのイメージ・ブロックの異なる定義域間のエラーの分布を最適化する ように、あるいは該イメージ・ブロックのエラー全量を低減するように、前記定 義域が異なるサイズである請求の範囲第15項記載の方法。 20.前記ブロック・データが、グレースケール・データならびに位置データを 含むグレースケール・イメージのコーディングのための、前記変換の組が前記位 置データに基いて、かつ前記グレースケール・データに基いて決定される、請求 の範囲第15項記載の方法。 21.前記ブロック・データが、カラー・データならびに位置データを含み、前 記変換の組が位置データと、少なくともカラー・イメージのカラー・データの両 方に基いて決定される請求の範囲第15項記載の方法。 22.データを定義域へ分割する区分手段と、該データと、変換の使用により得 られるデータに対する近似との間のエラーを最小化するように前記定義域をデー タに関連付ける1組の変換を決定する変換手段と、前記変換を特徴付ける一連の 量子化フラクタル係数の式を提供する量子化手段とを備える、フラクタル・コー ディングのための装置。 23.イメージ・データを12:1のオーダに圧縮する請求の範囲第1項記載の イメージをコーディングするシステム。 24.前記計算がイメージのピクセル数と正比例するイメージ・コーディング・ システム。 25.縮小された形態で記憶または送信を行うため情報を近似化する方法におい て、前記情報を表示する関数を提供するステップと、これから前記縮小形態を定 義域部分と関数部分とを持つ反復関数系として得るステップとを含む方法。 26.フラクタルをそのコードから順方向に処理する方法において、該フラクタ ルに必要な全ての変換の固定点を得て、各点に対する丸められた近似ピクセルを 形成し、該ピクセルを前記フラクタルのアトラクタに対する有限近似としてプロ ットすることを含む方法。 27.唯一つのピクセルが丸められた各近似毎にブロットされる請求の範囲第2 6項記載の方法。 28.計算数が、近似における有限数のピクセルと直線的に関連させられる請求 の範囲第26項記載の方法。 29.フラクタル関数に対しては、前記ピクセル内の点に対して計算された関数 の第1の値を1つのピクセル全体へ割当てることを含む請求の範囲第26項記載 の方法。 30.ピクセルに対するフラクタル関数の全値の密な近似化に対しては、ピクセ ル数に略々等しい整数個のタイル(M)を選択し、M個のタイルにおけるフラク タル関数の積分を評価し、ピクセルに対する関数の値をこれが交差するタイルに おける前記積分の加重和として決定することを含み、前記加重は前記交差の大き さに比例する、請求の範囲第26項記載の方法。 31.完全にタイル状に配列されたイメージが、少なくとも1つがタイルに対す る親ブロック内に無いタイル単位に並べられ、イメージの全ての部分を照合させ るのに充分な量の種ピクセル値を提供することを含む請求の範囲第26項記載の 方法。 32.前記定義域が全て1つのサイズではなく、該定義域における測定値を等し くするため、サイズがデータにわたる測定位に従って選定される請求の範囲第1 項記載の方法。 33.前記測定値が、コラー推定出力を提供するため、フィルタにデータを通す ことにより決定されるコーディング・エラーの予測である請求の範囲第32項記 載の方法。 34.請求の範囲第1項または同第22項のいずれかにおけるデータのフラクタ ル・コーディングにより記録される記憶媒体。 35.全てが前記アトラクタの一部を含む有限数のピクセルを決定する手段と、 1回ではなく有限数の各々をプロットする手段とを含む、フラクタル・コード化 されたデータを復号する整置。 36.請求の範囲第1項または同第22項のいずれかによるデータのコーディン グと、同第26項または同第36項のいずれかによるコーディングの復号を含む 、データのフラクタル・コーディング、コード化されたデータの記憶および(ま たは)送信、および前記記憶および(または)送信後の前記フラクタル・コーデ ィングの復号のためのシステム。
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