JPH07282298A - Drawing and displaying method of mesh - Google Patents

Abstract

PURPOSE: To provide a method drawing the image of a mesh made of a Delaunay's tetrahedron. CONSTITUTION: In this method, a root of a partial differentiation equation to facilitate the interaction with the user. The user selects interactively an object area in the inside of a mesh and the area is displayed in this method. This method utilizes a specific characteristic of Delaunay's tetrahedron. In the 1st step, a circumscribed sphere of each tetrahedron of the mesh is calculated. It is required to obtain a value of a 4×4 determinant for the calculation of a center of circumcircle and an outer diameter of each tetrahedron and the calculation is made only once. When a lane including a 2-dimension plane of a convex polyhedron is decided, the tetrahedron is sequenced from a visual point. A power function of a visual point as to each circumscribed sphere is calculated for a given visual point and the tetrahedrons are classified in the ascending order of respective power functions. The efficiency is improved by calculating power functions independently of each visual point in advance. The tetrahedron is drawn from the rear side toward the front side.

Description

【発明の詳細な説明】Detailed Description of the Invention

【０００１】[0001]

【産業上の利用分野】本発明はメツシユの描画及び表示
方法に関し、特に有限要素解析についての対話式技術に
ついて、エンジニアリングワークステーシヨンでの標準
型ラスタ形デイスプレイ上に３次元ドローネメツシユ又
はその選択された部分を高速に表示する方法に適用して
好適なものである。本発明は偏微分方程式の解でユーザ
との対話を容易にするメツシユを高速に視覚化する手段
を提供し、技術解析のすべてのエリアで使用し得る。こ
こで３次元有限要素解析法は構造的機構、半導体デバイ
ス及びプロセスモデリング、熱分析並びに他の多くのも
の等を解析する。BACKGROUND OF THE INVENTION 1. Field of the Invention The present invention relates to a method of drawing and displaying meshes, and more particularly to an interactive technique for finite element analysis, in which a three-dimensional draw mesh or a selected part thereof is displayed on a standard raster type display in an engineering work station. Is suitable for application to a method for displaying at high speed. The present invention provides a fast visualization means of the mesh that facilitates user interaction with the solution of partial differential equations and can be used in all areas of technical analysis. Here the three-dimensional finite element analysis method analyzes structural features, semiconductor device and process modeling, thermal analysis, and many others.

【０００２】[0002]

【従来の技術】通常、３次元計算機援用設計（ＣＡＤ）
モデルの技術特性は有限要素法を用いて実行される。有
限要素法は、モデルを多数の（極めて多くの）単純な凸
「要素」に分割する必要がある。通常これらの要素は四
面体、角柱又は六面体であり、要素の集合を「メツシ
ユ」と呼ぶ。要素の境界は面（平面の多角形）、稜線
（線分）及び頂点（点）で構成される。要素は頂点、稜
線全体若しくは面全体を共有するか又は共有部分をもた
ない。2. Description of the Related Art Usually, three-dimensional computer aided design (CAD)
The technical characteristics of the model are implemented using the finite element method. The finite element method requires dividing the model into a large number (very many) of simple convex “elements”. Usually, these elements are tetrahedrons, prisms or hexahedrons, and the set of elements is called a “mesh”. The boundary of an element is composed of a surface (a polygon of a plane), a ridge (a line segment) and a vertex (a point). Elements share all or no vertices, edges, or faces.

【０００３】有限要素法を用いて実際的な問題を解決す
る最も労働集約的なステツプは、対象とする領域を非常
に多くの単純な要素に分離させることである。これをメ
ツシユの生成と呼ぶ。偏微分方程式の有効かつ正確な解
に対して、メツシユはこの解の予期した振る舞いを反映
しなければならない。すなわち、この解が急激に変化す
るところは稠密であり、それ以外は稠密でないというこ
とである。特に３次元問題の場合、良好なメツシユの生
成は、多少芸術的な部分があり、直観力を用いて偏微分
方程式を解くことにより、実際にメツシユを生成するプ
ログラムを案内するようにアナリストに要求する。これ
が対話式プロセスである。アナリストはメツシユ生成プ
ログラムに一定のパラメータを与え、次にその結果生成
されたメツシユを見て、そのメツシユの外観に基づいて
パラメータを修正してメツシユを再生する。満足のいく
メツシユを得た後、アナリストは偏微分方程式を用いて
この解を試験する。次にアナリストはこの解を用いてこ
のプロセスをさらに繰り返す。The most labor-intensive step of solving practical problems using the finite element method is to separate the area of interest into a large number of simple elements. This is called mesh generation. For a valid and exact solution of a PDE, the mesh must reflect the expected behavior of this solution. In other words, this solution is dense where it changes abruptly, and not dense elsewhere. Especially in the case of a three-dimensional problem, the generation of a good mesh has some artistic part, and the analyst is guided to actually guide the program that generates the mesh by solving the partial differential equation using intuition. Request. This is an interactive process. The analyst gives constant parameters to the mesh generation program, then looks at the resulting mesh and modifies the parameters based on the appearance of the mesh to reproduce the mesh. After obtaining a satisfactory mesh, the analyst tests this solution using partial differential equations. The analyst then uses this solution to repeat the process further.

【０００４】メツシユを得るための１つの手法はドロー
ネ四面体化（以下「三角形分割」と呼ぶ）の特性に依存
するが、数学的環境が３次元空間であるということが判
る。ドローネ三角形分割法はまずモデル空間に一群の点
を生成し、次にこれらの点が一緒に接続されて有限要素
でなるメツシユを作成する。３次元の場合、通常この有
限要素でなるメツシユは一群の四面体要素を意味する。
ドローネ三角形分割は、四面体の外接球がその体積内に
全くメツシユ点を含まないという特性を満足させる１つ
の手法である。One approach for obtaining meshes depends on the properties of Delaunay tetrahedronization (hereinafter "triangulation"), but it turns out that the mathematical environment is a three-dimensional space. The Delaunay triangulation method first creates a group of points in the model space and then connects these points together to create a mesh of finite elements. In the case of three dimensions, the mesh which is usually a finite element means a group of tetrahedral elements.
Delaunay triangulation is one technique that satisfies the property that the circumscribed sphere of a tetrahedron does not contain any mesh points in its volume.

【０００５】メツシユを視覚化するにはプロセス全体が
重要である。メツシユの視覚化が３次元で特に困難なの
は、実際に有用な３次元メツシユが非常に複雑だからで
ある。これを解決する１つの方法は図１に示すように陰
面が消去され、陰影をつけたメツシユの画像を描くこと
である。しかしながら、このような画像はメツシユの稠
密性の変化のような内部の重要な細部を隠してしまう。
モデルの内部に要素を含むように要素を視覚化すること
により、解析の前にメツシユの質を検査し得ると共に、
解析結果を表示し得るようにすることが不可欠である。
ある方法では、内部の要素を見るために、人が見たいと
思つている要素と人の目との間にある要素を「はぎ取
る」必要がある。メツシユのワイヤフレーム図面は、内
部の必要な細部を表しそうに思われるが、図２に示すよ
うにワイヤフレーム図面はその複雑性のためにほとんど
役に立たない。陰面が消去され、陰影をつけた画像を単
純化して、ワイヤフレーム図面の内部の細部を見ること
ができるような技術が必要である。The entire process is important for visualizing mesh. The visualization of meshes is particularly difficult in 3D because the actually useful 3D mesh is very complex. One way to solve this is to draw a shadowed mesh image as shown in FIG. However, such images hide important internal details such as changes in mesh density.
Visualizing the elements to include them inside the model allows you to check the quality of the mesh before analysis and
It is essential to be able to display the analysis results.
In one method, to see the internal elements, we need to "strip" the elements that are between what the person wants to see and the human eye. The mesh wireframe drawing of the mesh seems to represent the necessary details of the interior, but as shown in FIG. 2, the wireframe drawing is of little use due to its complexity. What is needed is a technique that allows the hidden surface to be erased and the shaded image to be simplified so that details within the wireframe drawing can be seen.

【０００６】これは、幾つかの種類の「優先順位アルゴ
リズム（painter's algorithm ）」を用いてなされ得、
このアルゴリズムにおいては、要素面は背面から前面に
かけて描かれ、所望の要素が見えてきたところでこのア
ルゴリズムを停止させる。1990年３月発行、IEEEＲコン
ピユータグラフイツクス及びアプリケーシヨンズ「コン
ピユータ断層撮影法のデータからの体積描画の原則及び
技術」24頁〜32頁に述べられているように、体積を視覚
化することによつて示唆された良好な解決法は、陰面が
消去され、陰影をつけた一連の画像に、消去されたメツ
シユのうちの選択された部分を表示することである。図
３はこのような画像の１つであり、内部のメツシユの稠
密性の重要な変化を見せている。実際に遭遇した複雑な
構造のメツシユをアナリストに調査させるには、このよ
うな画像を種々の視点から高速に生成すると共に、対象
とする種々の領域をもつようにこのような画像を高速に
生成し得るようにしなければならない。これらの画像を
高速に生成するには２つの規準がある。これは、（１）
対象とする新しい領域の画像を固定した視点から生成す
るのに要する時間と、（２）新しい視点から画像を生成
し始めるのに要する時間との２つの規準である。視覚化
を効果的にするには、第１の規準に対しては秒以下の応
答が必要であり、第２の規準に対してはせいぜい20秒か
30秒で応答する必要がある。This can be done using several types of "painter's algorithms",
In this algorithm, the element faces are drawn from back to front, stopping the algorithm when the desired element is visible. Volume visualization, as described in IEEER Computer Graphics and Applications, "Principles and Techniques of Volume Drawing from Computer Tomography Data," pages 24-32, March 1990. A good solution, thus suggested, is to display a selected portion of the erased mesh in a series of shaded images with the hidden surface erased. FIG. 3 is one such image, showing a significant change in internal mesh density. In order for analysts to investigate meshes with complicated structures that they have actually encountered, it is necessary to generate such images from various viewpoints at high speed, and to generate such images at high speed so as to have various regions of interest. It has to be able to generate. There are two criteria for fast generation of these images. This is (1)
There are two criteria: the time required to generate an image of a new area of interest from a fixed viewpoint, and (2) the time required to start generating an image from a new viewpoint. For the visualization to be effective, a sub-second response is required for the first criterion and at most 20 seconds for the second criterion.
You have to respond in 30 seconds.

【０００７】ほとんどのエンジニアリングワークステー
シヨンに使用されるこのような標準的な低コストのラス
タ形デイスプレイは中塗りされた平面多角形を描くこと
ができる。さらに、新しい輝度値が画面上の特定のピク
セルに描かれるとすぐに、これが、このピクセルで以前
に見ることができたものに取つて代わる。従つて、陰面
が消去され、陰影をつけた多面体の背景の画像、例えば
四面体でなるメツシユを生成する最も標準的な技術にお
ける重要なステツプは、1974年３月発行、ACMコンピユ
ータサーベイ、「10個の陰面アルゴリズムの特徴付け」
１頁〜55頁に説明されているように、多面体の面を背面
から前面にかけて分類することである。次に最も後ろの
面を最初に描くならば、その結果描かれた画像は正確で
あろう。Such standard low cost raster-type displays used in most engineering workstations are capable of drawing filled solid polygons. Moreover, as soon as a new intensity value is drawn at a particular pixel on the screen, this replaces what was previously visible at this pixel. Therefore, an important step in the most standard technique for producing hidden background image of shaded polyhedra, such as tetrahedral meshes, was published in March 1974, ACM Computer Survey, "10. Characterization of the Hidden Surface Algorithm "
As described on pages 1-55, the faces of the polyhedron are sorted from the back to the front. If you then draw the backmost surface first, the resulting image will be accurate.

【０００８】しかしながら、図４に示すようにこのよう
な方法で常に多面体の面を分類することができるとは限
らない。この問題に対しては基本的に２つの解決法があ
る。すなわち、多角形を分割して必要な順序付けをする
方法か又は画面ピクセルごとに１つの番号を配列するＺ
−バツフアを用いる方法である。Ｚバツフアを用いる方
法は、ピクセルに最後に書き込まれた多角形の点の奥行
きを記録する。新しい多角形を同じピクセルに書き込む
場合、このピクセルの奥行きとＺ−バツフアの値とを比
較し、新しい多角形の点が、最後に書き込まれた点より
も視点に近い場合にはこのピクセルにだけ書き込まれ
る。However, it is not always possible to classify the faces of a polyhedron by such a method as shown in FIG. There are basically two solutions to this problem. That is, either by dividing the polygon into the required ordering, or by arranging one number per screen pixel Z
-A method using a buffer. The Z-buffer method records the depth of the last polygon point written to a pixel. When writing a new polygon into the same pixel, compare the depth of this pixel with the Z-buffer value, and only if this new polygon's point is closer to the viewpoint than the last written point. Written.

【０００９】面を分割する最良の技術の１つは、1980年
７月発行、コンピユータグラフイツクス「優先順位木構
造による可視表面の生成」124 頁〜133 頁に説明されて
いる二元空間分割（ＢＳＰ）木であるが、この技術は複
雑な３次元メツシユを表示する際に用いるにはその描画
速度があまりにも遅すぎる。例えば、ＢＳＰ木を用いて
17,000個の要素でなるメツシユの陰面透視図を描くには
IBM RISC／システム6000型ワークステーシヨンでは38分
必要である。これは対話式で使用する場合にはあまりに
も遅すぎる。One of the best techniques for partitioning a surface is the binary space partitioning, described in Computer Graphics, "Generating a Visible Surface with a Priority Tree Structure", pages 124-133, published July 1980. Although it is a (BSP) tree, this technique has a drawing speed that is too slow for use in displaying a complicated three-dimensional mesh. For example, using the BSP tree
To draw a hidden perspective view of a mesh composed of 17,000 elements
The IBM RISC / System 6000 workstation requires 38 minutes. This is too slow for interactive use.

【００１０】Ｚ−バツフアに基づいた技術は、例えば、
1989年７月発行、ACM コンピユータグラフイツクス「ピ
クセル−平面５：プロセツサ−エンハンス型メモリを用
いる異機種マルチプロセツサ・グラフイツクス・システ
ム」79頁〜88頁において説明されている特殊な目的のハ
ードウエアにおいて実施される場合には十分速く作成す
ることができる。このハードウエアは技術環境で一般的
に使用するにはあまりにも高価すぎる。例えば、ほとん
どのワークステーシヨンで利用し得るＸウインドウズシ
ステムによつて与えられるような低コストで広範に利用
されている標準的なラスタ形のハードウエアを用いる技
術が必要となる。Techniques based on Z-buffers include, for example:
Special purpose hardware described on pages 79-88 of ACM Computer Graphics, "Pixel-Plane 5: Heterogeneous Multi-Processor Graphic Systems Using Processor-Enhanced Memory," issued July 1989. Can be made fast enough if implemented in. This hardware is too expensive for general use in a technical environment. For example, there is a need for low cost, widely used standard raster-type hardware techniques such as provided by the X Windows system available in most workstations.

【００１１】[0011]

【発明が解決しようとする課題】実際、アナリストは対
象とする領域を後方（すなわち目から離れる）及び前方
に移動させることができるようにしたいので、背面から
前面までの描画では不十分である。すなわち、アナリス
トは目に見える要素を「消去」して、これらの要素の背
後にある要素を露出させる得るようにしたい。このよう
に背後にある要素を見やすくした手法は、画面をクリア
にして要素を背面から前面まで再度描くことを停止して
から、消去すべき要素を描く。現在のワークステーシヨ
ンのハードウエアでの実際の大きさのメツシユに対して
は、これはあまりにも遅すぎるのでメツシユの回りを移
動できるような幻想をアナリストに与える。要素を消去
するための一段と効率的な技術もまた必要である。In practice, analysts want to be able to move the area of interest backwards (ie away from their eyes) and forwards, so drawing from the back to the front is not enough. . That is, analysts want to be able to "erase" visible elements to expose the elements behind them. In this way, it is easier to see the elements behind you by clearing the screen, stopping drawing the elements from back to front, and then drawing the elements to be erased. For the actual size mesh on the current workstation hardware, this is too slow to give the analyst the illusion of being able to move around the mesh. More efficient techniques for erasing elements are also needed.

【００１２】従つて本発明の目的はドローネの四面体で
なるメツシユを高速に描画する方法を提供することであ
る。Accordingly, it is an object of the present invention to provide a method for drawing a mesh of a Delaunay tetrahedron at high speed.

【００１３】本発明の他の目的はメツシユ内部の対象と
する領域を対話式で選択しかつ視覚化する方法を提供す
ることである。Another object of the present invention is to provide a method for interactively selecting and visualizing regions of interest within a mesh.

【００１４】本発明のさらに他の目的はアナリストが、
対象とする領域内で前後に対話式に移動し得るようにす
ることによつて、メツシユ内部の視覚化を支援するため
にメツシユの要素を高速に消去する技術を提供すること
である。Yet another object of the present invention is for an analyst to
It is to provide a technique for rapidly erasing mesh elements to aid visualization inside the mesh by allowing interactive movement back and forth within a region of interest.

【００１５】[0015]

【課題を解決するための手段】かかる課題を解決するた
め本発明おいては、例えば偏微分方程式の解のような、
メツシユに基礎を置くアプリケーシヨンにおいてユーザ
の対話を容易にするために、ユーザがメツシユの内部の
対象とする領域を対話式に選択して表示し得るようにす
ることによつて、ドローネ四面体でなるメツシユを高速
に描画して表示する表示方法を実行するコンピユータに
おいて、メツシユの各四面体の外接球を計算するステツ
プと、視点の選択についてのユーザ入力を監視するステ
ツプと、各外接球について、視点のパワー関数を、ユー
ザが選択した視点ごとに計算するステツプと、四面体を
そのパワー関数の昇順で分類するステツプと、分類され
た四面体を背面から前面にかけてコンピユータデイスプ
レイ上に描画するステツプとを含むようにする。In order to solve such a problem, in the present invention, for example, a solution of a partial differential equation,
To facilitate user interaction in a mesh-based application, a Delaunay tetrahedron is provided by allowing the user to interactively select and display a region of interest inside the mesh. In a computer that executes a display method that draws and displays the mesh at high speed, a step for calculating the circumscribing sphere of each tetrahedron of the mesh, a step for observing user input for viewpoint selection, and a circumscribing sphere, A step for calculating the power function of the viewpoint for each viewpoint selected by the user, a step for classifying the tetrahedron in ascending order of the power function, and a step for drawing the classified tetrahedron from the back to the front on the computer display. To include.

【００１６】[0016]

【作用】本発明によると、ドローネ四面体の特定の特性
を活用する方法が提案される。本発明による技術の第１
のステツプは、メツシユの各四面体の外接球を計算する
ことである。各四面体についての外心及び外径の計算は
４つの４×４の行列式の値を求める必要があり、この計
算は一度なされる。本発明による技術はドローネ四面体
の正則性を利用する。特に、凸形の多角形の４次元面を
含む平面が判つている場合、視点から四面体を順序付す
ることができる。所与の視点ごとに、各外接球について
視点のパワー関数が計算され、四面体はそのパワー関数
の昇順で分類される。パワー関数の、視点とは関係のな
い部分を前もつて計算することによつて幾らか効率がよ
くなる。According to the present invention, a method of utilizing the specific characteristics of the Delaunay tetrahedron is proposed. First technology according to the present invention
The step of is to compute the circumscribed sphere of each tetrahedron of the mesh. The calculation of the outer center and outer diameter for each tetrahedron needs to find the value of four 4 × 4 determinants, which is done once. The technique according to the invention takes advantage of the regularity of the Delaunay tetrahedron. In particular, the tetrahedrons can be ordered from the point of view if a plane containing the convex polygonal four-dimensional surface is known. For each given viewpoint, the viewpoint power function is calculated for each circumscribing sphere, and the tetrahedra are sorted in ascending order of their power functions. It is somewhat efficient to pre-compute the part of the power function that is independent of the viewpoint.

【００１７】２つの四面体が同じパワー関数をもつてい
る場合、この２つの四面体が退化している（すなわちそ
れらの頂点が共通の球面にある）か又はこれらの四面体
が可視性順序で比較できないかのいずれかを意味する。
この２つの四面体が退化していない場合、これらを任意
の順序で描画することができる。退化している四面体は
対ごとの比較によつて順序付けしなければならない。退
化している四面体の処理を除いて、ｎ個の四面体のメツ
シユの場合ｎlog ｎの順序で所与の視点ごとに四面体を
分類（パワー関数の計算を含む）することができる。こ
れは、各視点ごとにｎ² 時間を要した従来の最高の技術
を大幅に改善する。If two tetrahedra have the same power function, they are degenerate (ie their vertices are on a common sphere) or they are in visibility order. It means either incomparable.
If the two tetrahedra are not degenerate, they can be drawn in any order. Degenerate tetrahedra must be ordered by pair-wise comparisons. Except for degenerate tetrahedron processing, tetrahedrons can be classified (including power function calculation) for each given viewpoint in nlog n order for n tetrahedral meshes. This is a significant improvement over the best of the prior art, which required n ² hours for each viewpoint.

【００１８】四面体は背面から前面にかけて描画され
る。描画プロセスをいつ停止させても、ユーザはメツシ
ユ内部の重要な部分を見ることができる。本発明を実行
することによつて高速に可視性分類することができ、こ
れにより、四面体を前後逆にして描画した後、四面体を
前面から背面まで消去してこのプロセスを何度も繰り返
すことにより対象とする領域の前後の図を得る。四面体
を背面から前面まで描画するとき、前面に面している四
面体の面だけを描く必要がある。四面体の背面に面して
いる面を描くことによつて四面体を「消去する」ことが
できる。The tetrahedron is drawn from the back surface to the front surface. Whenever you stop the drawing process, the user can see the important parts inside the mesh. By performing the present invention, visibility classification can be performed at high speed, which allows the tetrahedron to be drawn upside down, then the tetrahedron to be erased from front to back, and the process repeated many times. By doing so, diagrams before and after the target region are obtained. When you draw a tetrahedron from the back to the front, you need to draw only the face of the tetrahedron that faces the front. A tetrahedron can be "erased" by drawing the surface facing the back of the tetrahedron.

【００１９】[0019]

【実施例】以下図面について、本発明の一実施例を詳述
する。DETAILED DESCRIPTION OF THE PREFERRED EMBODIMENTS An embodiment of the present invention will be described in detail below with reference to the drawings.

【００２０】従来の技術のところで説明したように、特
定の視点を与えることで、描画問題は四面体の面を背面
から前面にかけて分類することに帰着する。ドローネ三
角形分割はこれを高速に行うように活用し得る特殊な特
性を有する。従つて本発明の技術を説明する前にドロー
ネ四面体の幾つかの周知の特性を確認する。As explained in the prior art, by giving a specific viewpoint, the drawing problem results in classifying the faces of a tetrahedron from back to front. Delaunay triangulation has special properties that can be exploited to do this at high speed. Therefore, some well-known properties of the Delaunay tetrahedron will be identified before describing the technique of the present invention.

【００２１】すべての四面体の外接球の内部に点がない
場合、３次元において一群の点でなる三角形分割がドロ
ーネ三角形分割である。３次元において四面体の外接球
は４つの頂点を通る球である。ドローネ三角形分割は、
退化がなければ常に背面から前面までの順序付けが存在
するという特性を有する。これは、ドローネ三角形分割
が正三角形分割であるという事実の結果である。凸多面
体の下部を三角形分割の次元よりも１つ大きい次元の領
域に投影して表現し得る場合、正三角形分割と言う。ド
ローネ三角形分割は凸包の点の下部を放物面上に投影し
たものであることは知られている。When there are no points inside the circumscribing sphere of all tetrahedra, the Delaunay triangulation is the triangulation of a group of points in three dimensions. The circumscribed sphere of a tetrahedron in three dimensions is a sphere that passes through four vertices. Delaunay triangulation is
It has the property that there is always a back-to-front ordering if there is no degeneration. This is a result of the fact that the Delaunay triangulation is an equilateral triangulation. When the lower part of the convex polyhedron can be projected and expressed in a region having a dimension one dimension larger than the dimension of the triangulation, it is called an equilateral triangulation. It is known that the Delaunay triangulation is the projection of the lower part of the points of the convex hull onto a paraboloid.

【００２２】本発明による順序付け技術はドローネ四面
体の正則性に基づいている。３次元において正三角形分
割が与えられた場合、凸多面体の４次元面を含む平面が
判つていれば、四面体を視点から順序付けすることがで
きる。ドローネ三角形分割の場合、これらの平面は外心
と呼ばれる外接球の中心（ベクトルＰ_C ）と外径と呼ば
れる外接球の半径（Ｒ）とによつて与えられる。４次元
面を含み、四面体に投影する平面の方程式は次式（１）The ordering technique according to the invention is based on the regularity of the Delaunay tetrahedron. Given an equilateral triangulation in three dimensions, the tetrahedra can be ordered from the viewpoint if the plane containing the four-dimensional surface of the convex polyhedron is known. In the case of Delaunay triangulation, these planes are given by the center of the circumscribing sphere called the eccentricity (vector P _C ) and the radius of the circumscribing sphere called the outer diameter (R). The equation of the plane including the four-dimensional surface and projected on the tetrahedron is the following equation (1).

【００２３】[0023]

【数１】 である。ここで４次元の点は（ベクトルＰ、Ｗ）によつ
て与えられ、ベクトルＰは、1991年６月、ニユーハンプ
シヤー、ノース・コンウエイで開催されたACM 計算幾何
学会議「Ｒ^d におけるドローネ三角形分割の最適性」に
よつて説明されているように、３次元空間の点である。
視点（ベクトルＰ_V ）が与えられると、可視性順序はベ
クトルＰをベクトルＰv にセツトし、Ｗを解き、その後
四面体をそのＷ値で分類することによつて判る。四面体
の外心及び外径は視点と無関係であるので、各四面体ご
とに、値Ｒ₂ −ベクトルＰ_C ×ベクトルＰ_C を予め計算
することができる。[Equation 1] Is. Here, the four-dimensional point is given Te (vector P, W) Niyotsu, vector P is, in June 1991, Niyu hump shear, ACM computational geometry conference, which was held in North Kon'uei "Delaunay in R ^d triangle As described in "Optimization of division", it is a point in a three-dimensional space.
Given a viewpoint (vector P _V ), the visibility order is known by setting vector P to vector P _v , solving W, and then classifying the tetrahedron by its W value. Since the outer center and outer diameter of the tetrahedron are independent of the viewpoint, the value R ₂ −vector P _C × vector P _C can be calculated in advance for each tetrahedron.

【００２４】四面体をその可視性の順序に従つてドロー
ネ三角形分割に分類する上述の手順の妥当性は正三角形
分割の定理から導かれる。ｘｙ平面上に凸多面体Ｐ³ の
下部を投影した、ｘｙ平面の正三角形分割Ｔを考える。
視点（ベクトルＰ_V ）から出た、ｘｙ平面の光線をＲと
する。図５はＲが三角形Ｔに出会う順序を測定したもの
である。Ｓは点（ベクトルＰ_V ）を含む線であり、Ｚに
平行である。ＲＳ平面とＰ³ との交点は２次元凸多角形
Ｐ² を与える。Ｐ² の辺ｅ_i はＲＳ平面とＰ³の面ｆ_i
との交点である。各面ｆ_i について、辺ｅ_i は点ａ_i で
Ｓ軸と交差するまで延びる。Ｐ² は凸であるので、点ａ
_i は光線Ｒが三角形Ｔに出会うのと同じ順序でＳに沿つ
て出現する。ＲＳは２次元平面であるので、上述の証明
はいかなる次元でも一般化する。３次元ドローネ三角形
分割の場合、交点ａ_i は次式（１）The adequacy of the above procedure for classifying a tetrahedron into Delaunay triangulations according to their order of visibility derives from the regular triangulation theorem. Consider an equilateral triangulation T of the xy plane in which the lower part of the convex polyhedron P ³ is projected on the xy plane.
Let R be a ray on the xy plane that emerges from the viewpoint (vector P _V ). FIG. 5 measures the order in which R encounters the triangle T. S is a line containing the point (vector P _V ) and is parallel to Z. The intersection of RS plane and P ³ gives a two-dimensional convex polygon P ² . The side e _{i of} P ² is the RS plane and the surface f _{i of} P ³
Is the intersection with. For each face f _i , the side e _i extends until it intersects the S axis at the point a _i . Since P ² is convex, the point a
_i appear along S in the same order that ray R encounters triangle T. Since RS is a two-dimensional plane, the above proof generalizes in any dimension. In the case of three-dimensional Delaunay triangulation, the intersection a _i is expressed by the following equation (1).

【００２５】[0025]

【数１】によつて与えられる。It is given by

【００２６】２つの四面体が退化しているとき、パワー
関数は順序付け情報を提供しない。しかしながら、その
逆は真ではない。すなわち四面体は可視性順序で比較で
きない可能性もあるので、パワー関数が等しいことが、
四面体が退化していることを意味しない。後者の場合、
四面体を任意に順序付けすることができる。When the two tetrahedra are degenerate, the power function provides no ordering information. However, the reverse is not true. That is, since tetrahedra may not be compared in the order of visibility, the power functions are equal.
It does not mean that the tetrahedron is degenerate. In the latter case,
The tetrahedra can be ordered arbitrarily.

【００２７】四面体が退化している場合、一群の退化し
たドローネ四面体は非巡回の可視性順序であつてもよい
し、そうでなくてもよい。非巡回の可視性順序の場合、
四面体の順序は四面体を強行なアプローチで対ごとに比
較することによつて計算することができる。このような
四面体の数は少ないので、この二次元手法でさえ受け入
れることができる。しかしながら巡回する可視性順序の
場合は一段と困難であり、四面体を分割して、例えば上
述のＢＳＰ木アルゴリズムを用いることによつてこの巡
回を破壊する必要がある。また巡回する可視性順序をも
つ退化した四面体の生成を回避することもできる。If the tetrahedra are degenerate, the group of degenerate Delaunay tetrahedra may or may not be in an acyclic visibility order. For an acyclic visibility order,
The order of the tetrahedra can be calculated by comparing the tetrahedra in pairs in a forced approach. Due to the small number of such tetrahedra, even this two-dimensional approach is acceptable. However, in the case of a circular visibility order, it is even more difficult and it is necessary to divide the tetrahedron and destroy this circulation by using, for example, the BSP tree algorithm described above. It is also possible to avoid the generation of degenerate tetrahedra with a circular visibility order.

【００２８】しばしばドローネ四面体は幾つかのインク
リメンタルアルゴリズムのうちの１つを用いて生成され
る。すなわち一度に１つの点を付加するアルゴリズムで
ある。退化している点のいかなる群もこれを非退化させ
るように僅かに摂動することができ、この摂動した点か
ら生成されたドローネ三角形分割は非巡回である。イン
クリメンタルアルゴリズムが新しく挿入された各退化点
を外接球の内側又は外側のいずれかとして一様に取り扱
う場合、これはこの退化点を摂動することとほとんど同
じことである。従つてドローネ三角形分割についてのこ
のようなインクリメンタルアルゴリズムは常に非巡回の
可視性順序をもつ三角形分割を生成する。かくして巡回
する可視性順序をもつドローネ三角形分割には実際遭遇
しない。Delaunay tetrahedra are often generated using one of several incremental algorithms. That is, it is an algorithm that adds one point at a time. Any group of degenerate points can be perturbed slightly to make it non-degenerate, and the Delaunay triangulation generated from these perturbed points is acyclic. If the incremental algorithm treats each newly inserted degenerate point uniformly as either inside or outside the circumscribed sphere, this is almost the same as perturbing this degenerate point. Thus, such an incremental algorithm for Delaunay triangulation always produces a triangulation with an acyclic visibility order. Thus we do not actually encounter a Delaunay triangulation with a circular visibility order.

【００２９】各四面体の外心及び外径を計算するには４
×４の行列式の数値を求める必要がある。この計算は一
度なされ、メツシユの大きさとの関係が時間的に線形と
なる必要がある。すなわち必要とする時間はメツシユの
大きさに線形的に比例するということである。Ｗの計算
を含む視点分類はバケツトソートを用いて、予期された
線形時間でなされ得る。平均して、共通の中心をもつ四
面体の数は少ないので、各位相分類は一定の時間を要す
る。最悪の場合、ｎ個の四面体をもつメツシュの場合、
バケツト分類と位相分類との相全体をＯ（ｎlog ｎ）時
間で実施することができるが、これとは対照的に、ＢＳ
Ｐ木の場合には最悪の場合の時間がＯ（ｎ³ ）である。
ここでＯは四面体の「順序」を意味し、ｎは四面体の数
である。実際、ｎは10³ ないし10⁵ の大きさであり、そ
の差は非常に大きい。To calculate the outer center and outer diameter of each tetrahedron, 4
It is necessary to find the numerical value of the determinant of × 4. This calculation is done once, and the relationship with the mesh size needs to be linear in time. That is, the required time is linearly proportional to the size of the mesh. Viewpoint classification, including the calculation of W, can be done in the expected linear time using bucket sorting. On average, each phase classification takes a certain amount of time, because the number of tetrahedra with a common center is small. In the worst case, for a mesh with n tetrahedra,
The entire phase of bucket and phase classification can be performed in O (nlog n) time, in contrast to BS
In the case of P-tree, the worst case time is O (n ³ ).
Here, O means the "order" of tetrahedra, and n is the number of tetrahedra. In fact, n is 10 ³ to 10 ⁵ in magnitude, and the difference is very large.

【００３０】図６は描画方法全体を示し、ブロツク１１
から開始して四面体の外接球を計算するプロセスをコー
ルする。この外接球を計算するプロセスを図７に示し、
これを参照する。このプロセスの各ループの最初の判定
ブロツク１１１において、外接球を計算する必要がある
四面体がさらに存在するか否かを判定するテストを実行
する。外接球を計算する必要がある四面体が存在すると
仮定すると、この計算の初期条件が機能ブロツク１１２
でセツトされる。すなわち（ｘ₀ 、ｙ₀ 、ｚ₀）、（ｘ
₁ 、ｙ₁ 、ｚ₁ ）、（ｘ₂ 、ｙ₂ 、ｚ₂ ）及び（ｘ₃ 、
ｙ₃ 、ｚ₃ ）が四面体の頂点の軸にセツトされる。次に
分母Den は機能ブロツク１１３において、次式（２）FIG. 6 shows the whole drawing method.
Call the process of computing the tetrahedral circumscribing sphere starting from. The process of calculating this circumscribed sphere is shown in FIG.
Refer to this. In the first decision block 111 of each loop of this process, a test is performed to determine if there are more tetrahedra for which the circumscribed sphere needs to be calculated. Assuming that there is a tetrahedron for which the circumscribed sphere needs to be calculated, the initial conditions for this calculation are functional block 112.
Is set. That is, (x ₀ , y ₀ , z ₀ ), (x
₁ , y ₁ , z ₁ ), (x ₂ , y ₂ , z ₂ ) and (x ₃ ,
y ₃ , z ₃ ) are set to the axes of the vertices of the tetrahedron. Next, the denominator Den is expressed by the following equation (2) in the functional block 113.

【００３１】[0031]

【数２】 にセツトされる。ｘｃは機能ブロツク１１４において、
次式（３）[Equation 2] Is set. xc is the function block 114
Formula (3)

【００３２】[0032]

【数３】 として計算され、ｙｃは機能ブロツク１１５において、
次式（４）[Equation 3] Is calculated as yc in the function block 115,
Formula (4)

【００３３】[0033]

【数４】 として計算され、ｚｃは機能ブロツク１１６において、
次式（５）[Equation 4] Is calculated as zc in the function block 116,
Formula (5)

【００３４】[0034]

【数５】 として計算される。機能ブロツク１１７において外接球
の半径の二乗（ｒｓｑ）は（ｘ₀ −ｘｃ）² ＋（ｙ₀ −
ｙｃ）² ＋（ｚ₀ −ｚｃ）² として計算される。次に機
能ブロツク１１８において、機能ブロツク１１７で計算
された半径を二乗した値（ｒｓｑ）から値（ｘｃ² ＋ｙ
ｃ² ＋ｚｃ² ）を引いてwconを計算する。機能ブロツク
１１９において、計算されたｘｃ、ｙｃ、ｚｃ及びwcon
の値が四面体ごとに記憶され、判定ブロツク１１１に戻
る。このループは、処理する四面体が無くなるまで継続
され、処理する四面体が無くなるとこのプロセスは終了
する。[Equation 5] Calculated as In the function block 117, the square of the radius of the circumscribing sphere (rsq) is (x ₀ −xc) ² + (y ₀ −
Calculated as yc) ² + (z ₀ −zc) ² . Next, in function block 118, the value (xc ² + y) is calculated from the value (rsq) obtained by squaring the radius calculated in function block 117.
Calculate wcon by subtracting c ² + zc ² ). In the function block 119, the calculated xc, yc, zc and wcon
The value of is stored for each tetrahedron, and the process returns to the determination block 111. The loop continues until there are no more tetrahedra to process, and the process ends when there are no more tetrahedra to process.

【００３５】図６に戻つて、図７のプロセスを用いて外
接球を計算した後、判定ブロツク１２において他の視点
を計算するべきか否かを判定する。肯定結果が得られる
と、各四面体のＷを計算するプロセスがブロツク１３で
コールされる。このプロセスを図８に一段と詳細に示
し、これを参照する。このプロセスは視点（px、py、p
z）について実行され、前もつて計算した値ｘｃ、ｙ
ｃ、ｚｃ及びwconをもつ四面体を用いる。判定ブロツク
１３１において他の四面体を処理する必要があるか否か
をまずテストする。肯定結果が得られると、Ｗは機能ブ
ロツク１３２において、次式（６）Returning to FIG. 6, after the circumscribing sphere is calculated using the process of FIG. 7, it is judged in the judgment block 12 whether another viewpoint should be calculated. If a positive result is obtained, the process of calculating W for each tetrahedron is called at block 13. This process is shown in more detail in FIG. 8 and is referred to. This process is based on the viewpoint (px, py, p
the values xc, y previously calculated for z)
We use a tetrahedron with c, zc and wcon. The decision block 131 first tests whether another tetrahedron needs to be processed. When an affirmative result is obtained, W is expressed by the following equation (6) in the function block 132.

【００３６】[0036]

【数６】 として計算され、Ｗは機能ブロツク１３３において四面
体ごとに保存される。このプロセスは判定ブロツク１３
１にループバツクして、処理する四面体が無くなるまで
次の四面体のＷを計算し、処理する四面体が無くなると
このプロセスは終了する。[Equation 6] And W is stored for each tetrahedron in the function block 133. This process is a decision block 13
Loop back to 1 and compute W for the next tetrahedron until there are no more tetrahedra to process, and the process ends when there are no more tetrahedra to process.

【００３７】再度図６に戻り、四面体はブロツク１４に
おいて可視性順序に分類される。四面体の分類は図９に
示すプロセスをコールすることによつて実行され、これ
を参照する。このプロセスに四面体及びそのＷ値を入力
する。機能ブロツク１４１において、四面体は、例えば
バケツトソート又は基数分類等の周知の分類技術を用い
てＷ値の大きい順に分類される。機能ブロツク１４１で
実行した分類の結果である出力１４２には、分類した順
序に四面体が配列されている。次に機能ブロツク１４３
において、Ｗ値と等しい値をもつ四面体が可視性順序に
分類されるように順序付けされる。Returning again to FIG. 6, the tetrahedra are sorted into visibility order at block 14. The tetrahedron classification is carried out by referring to the process shown in FIG. Enter the tetrahedron and its W value in this process. In the function block 141, the tetrahedra are sorted in descending order of W value using a known sorting technique such as bucket sorting or radix sorting. In the output 142 which is the result of the classification executed by the function block 141, the tetrahedra are arranged in the classified order. Next, the function block 143
In, the tetrahedra with a value equal to the W value are ordered such that they are sorted into the visibility order.

【００３８】機能ブロツク１４３のプロセスを図１０に
一段と詳細に示す。機能ブロツク１４１の出力１４２、
すなわち分類された順序に配列された四面体は、機能ブ
ロツク１４４で初期条件をセツトすることによつて始ま
るプロセスへの入力である。次に判定ブロツク１４５に
おいて、ｉが四面体の数よりも少ないか否かを判定する
テストがなされる。肯定結果が得られると、機能ブロツ
ク１４６において、ｊ番目の四面体のＷがｉ番目の四面
体のＷと同じになるようにｊはｉ以上の最大数にセツト
される。機能ブロツク１４７において、非巡回有向グラ
フはｉ番目の四面体からｊ番目の四面体で作図され、こ
のグラフにおいては、視点平面への第１の四面体の投影
が視点平面への第２の四面体の投影と重なる場合、ある
四面体から他の四面体まで有向グラフ辺が存在する。次
に機能ブロツク１４８において、このグラフ上で位相分
類がなされ、ｉ番目の四面体からｊ番目の四面体はこの
位相分類によつて作成された順序に再配列される。次
に、このプロセスが判定ブロツク１４５にループバツク
する前に機能ブロツク１４９においてｉはｊ＋１にセツ
トされる。このプロセスは、ｉが四面体の数よりも少な
くなるまで継続され、ｉが四面体の数よりも少なくなつ
た時点でこのプロセスは終了する。The process of function block 143 is shown in greater detail in FIG. The output 142 of the function block 141,
That is, the tetrahedra arranged in the sorted order are the inputs to the process that begins by setting the initial conditions in function block 144. Next, in decision block 145, a test is made to determine if i is less than the number of tetrahedra. If a positive result is obtained, in function block 146 j is set to a maximum number greater than or equal to i such that W of the j-th tetrahedron is the same as W of the i-th tetrahedron. In the function block 147, the acyclic digraph is drawn from the i-th tetrahedron to the j-th tetrahedron, and in this graph, the projection of the first tetrahedron onto the viewpoint plane is the second tetrahedron onto the viewpoint plane. There is a directed graph edge from one tetrahedron to another if it overlaps the projection of. Then, in function block 148, topological classification is performed on this graph and the i-th tetrahedron to the j-th tetrahedron are rearranged in the order created by this topological classification. Then, i is set to j + 1 in function block 149 before the process loops back to decision block 145. The process continues until i is less than the number of tetrahedra and the process ends when i is less than the number of tetrahedra.

【００３９】本発明は上述した描画技術中に生ずる分類
を活用して３次元ドローネメツシユにおける、対象とす
る領域を選択して観察する手段を提供する。四面体は背
面から前面まで描かれ、視点に一段と近くなつてもこれ
らの四面体を依然として見ることができる。この描画プ
ロセスをいつ停止しても、ユーザはメツシユの内部の重
要な部分を見ることができる。この描画プロセスの停止
は、例えば描画が行われているときにボタンを押した
り、奥行きの値を特定してこの奥行きの値のところで停
止したり、又は描くべき四面体の割合を特定したりする
などの幾つかの方法で達成できる。後者２つの方法はタ
イピング又はマウス若しくはスライダの使用（ウインド
ウイングシステムで与えられる）のいずれかによつて行
うことができる。描画プロセス停止後、ユーザは再度描
画を開始することができる。これは視点に一段と近い、
対象とする領域を移動させるのに有効である。またユー
ザは視点を変更して、すでに描かれた四面体だけを描画
することができる。これは、１つの「側面」から対象と
する領域を選択し、その後他の方向から選択するのに有
効である。またユーザは新しい視点から再度描画プロセ
スを開始することができる。The present invention provides a means for selecting and observing a target region in a three-dimensional drawnet mesh by utilizing the classification generated in the above-mentioned drawing technique. The tetrahedra are drawn from the back to the front and you can still see these tetrahedra even closer to the point of view. Whenever the drawing process is stopped, the user can see the important parts inside the mesh. This drawing process can be stopped, for example, by pressing a button while drawing is being performed, by specifying the depth value and stopping at this depth value, or by specifying the proportion of the tetrahedron to be drawn. Can be achieved in several ways. The latter two methods can be done either by typing or by using a mouse or slider (provided with a windowing system). After stopping the drawing process, the user can start drawing again. This is much closer to the viewpoint,
This is effective for moving the target area. The user can also change the viewpoint and draw only the already drawn tetrahedron. This is effective for selecting a target area from one “side surface” and then selecting from another direction. The user can also restart the drawing process from a new perspective.

【００４０】高速に可視性分類することにより、対象と
する領域の「映像」を表示することができる。これは四
面体を前後逆にして描き、次に四面体を前面から背面に
かけて「消去する」ことによつてなされる。これを何度
も繰り返すことによつて、対象とする領域の前後の「映
像」が表示される。背面から前面にかけて描くときに
は、前面に面している四面体の面だけを描く必要があ
る。四面体はその背面に面している面を描くことによつ
て「消去する」ことができる。図６において、機能ブロ
ツク１５によつてこの消去機能を機能させることができ
る。機能ブロツク１５において、四面体の背面に面して
いるいかなる面も他の四面体の前面に面している面では
ないとき、四面体によつて包含された、ラスタ形デイス
プレイのその部分が保存される。By rapidly classifying the visibility, it is possible to display the "video" of the target area. This is done by drawing the tetrahedron upside down and then "erasing" the tetrahedron from front to back. By repeating this many times, the "video" before and after the target area is displayed. When drawing from the back to the front, you need to draw only the face of the tetrahedron facing the front. A tetrahedron can be "erased" by drawing the surface facing its back. In FIG. 6, this erase function can be activated by the function block 15. If in function block 15 any face facing the back of a tetrahedron is not face facing the front of another tetrahedron, that part of the raster display contained by the tetrahedron is preserved. To be done.

【００４１】以下のように消去作業を行う。現在表示さ
れているメツシユの部分（可能であればその全部）から
開始し、要素をこれらの要素が描かれた順序とは逆の順
序で消去する。消去すべき要素Ｅの面をｆ_i として表示
する。ここでｉ＝１、２……。要素Ｅは以下のように逆
の可視性順序でその各背面を描くことによつて消去する
ことができる。すなわち、（１）ｆ_i がＥの背面であ
り、他の要素と共有する場合、ｆ_i を隣接する要素の前
面として描く。（２）ｆ_i が背面であり、他の要素と共
有しない場合、背面から前面までを描く際にこの背面と
出会つたときに、投影によつて包含されたピクセルをｆ
_i の投影面に十分に復元する（通常、投影によつて包含
されたピクセルの超集合を保存して復元することは一段
と便利である）。The erasing operation is performed as follows. Starting from the part of the mesh that is currently displayed (and possibly all of it), erase the elements in the reverse order in which they were drawn. Display the face of element E to be erased as f _i . Here i = 1, 2 ... Element E can be erased by drawing its back face in reverse visibility order as follows. That is, (1) when f _i is the back surface of E and is shared with other elements, f _i is drawn as the front surface of the adjacent element. (2) If f _i is the back surface and is not shared with other elements, then when the back surface is encountered when this back surface is encountered, the pixels contained by the projection are f
Restore sufficiently to the projection plane of _i (it is usually more convenient to save and restore the superset of pixels contained by the projection).

【００４２】図１１Ａ〜１１Ｄは両方のケースが生ずる
一例を示す。図１１Ａ〜１１Ｄにおいて、共有してない
各背面を投影することによつて包含されたピクセルを保
存して復元する代わりに、要素全体を投影する軸位置合
わせ境界ボツクスによつて包含されたピクセルを保存し
て復元することがてきる。ピクセルのいかなる超集合も
保存及び復元し得るので、この超集合は実施の際の考慮
事項に従つて選択され、このことは以下に一段と詳細に
説明する。11A-11D show an example where both cases occur. 11A-11D, instead of saving and restoring the pixels contained by projecting each unshared backplane, the pixels contained by the axial alignment boundary box projecting the entire element are replaced. You can save and restore it. Since any superset of pixels can be saved and restored, this superset is chosen according to implementation considerations, which is described in more detail below.

【００４３】この消去技術を実施するには、要素隣接情
報を利用する必要がある。要素隣接情報はほとんどのメ
ツシユ発生回路によつて計算されるが、この情報はとき
どきノード−要素テーブルフオーマツトデータフアイル
に破棄される。要素隣接情報を利用できない場合、これ
は標準型分類アルゴリズムを用いて容易に計算し得る。
要素隣接性はメツシユの特性であり、視点とは関係ない
ので、一度だけ計算すればよい。To implement this erasing technique, it is necessary to use the element adjacency information. Element adjacency information is calculated by most mesh generation circuits, but this information is sometimes discarded in the node-element table format data file. If element adjacency information is not available, this can be easily calculated using standard classification algorithms.
Element adjacency is a characteristic of meshes and has nothing to do with the viewpoint, so it needs to be calculated only once.

【００４４】メツシユを描くとき、通常の優先順位アル
ゴリズム（painter's algorithm ）のように背面を完全
に無視する代わりに、デイスプレイのピクセルの長方形
領域を、隣接する要素を全くもたない各背面ごとに保存
しなければならない。最悪の場合、保存する必要のある
領域の数は要素の数に対して線形となる。実際、ピクセ
ルを保存する必要があるのは面の合計数の10〔％〕より
少ない場合である。これらのピクセルを保存することは
描画アルゴリズムの速度を低下させるが重要ではない。When drawing a mesh, instead of completely ignoring the back face as in the usual painter's algorithm, save a rectangular region of pixels of the display for each back face without any adjacent elements. Must. In the worst case, the number of regions that need to be preserved is linear with the number of elements. In fact, it is only necessary to save pixels if they are less than 10% of the total number of faces. Saving these pixels slows down the rendering algorithm but is not important.

【００４５】図１１（Ａ）はメツシユ要素をすべて背面
から前面まで描いた後の単純化したメツシユを示す。図
１１（Ｂ）において、要素Ａのすべての背面は他の要素
と共有するので、いかなるピクセルも保存する必要はな
い。図１１（Ｃ）において、要素Ｂは他の要素と共有し
ている背面を有するので、要素Ｂを描く前に、投影面上
にＢを投影する軸位置合わせ境界ボツクスによつて包含
されたピクセルが保存される。要素Ｂはこれらのピクセ
ルを復元することによつて再度描かれる。図１１（Ｄ）
において、要素Ａはその背面を隣接要素の前面として再
度描くことによつて消去される。FIG. 11A shows a simplified mesh after all mesh elements have been drawn from back to front. In FIG. 11B, it is not necessary to save any pixels, as all backsides of element A are shared with other elements. In FIG. 11C, element B has a backside that is shared with other elements, so the pixels contained by the axial alignment boundary box that project B onto the projection plane before drawing element B. Is saved. Element B is redrawn by reconstructing these pixels. FIG. 11 (D)
At, element A is erased by redrawing its back surface as the front surface of an adjacent element.

【００４６】図６のプロセスは機能ブロツク１６で完了
し、分類された順序にされる。各四面体はその前面が面
している面を視点平面上に投影し、適正なグラフイツク
サブルーチンをコールすることにより、面の投影である
三角形を描くことによつて描画される。その描画ルーチ
ンが完了した後、このプロセスは判定ブロツク１２にル
ープバツクして他の視点があるか否かを判定する。The process of FIG. 6 is completed at function block 16 and put in sorted order. Each tetrahedron is drawn by projecting the surface that its front surface faces onto the view plane and calling the appropriate graphics subroutine to draw the triangle that is the projection of the surface. After the drawing routine is complete, the process loops back to decision block 12 to determine if there is another viewpoint.

【００４７】本発明はAIX オペレーテイングシステムの
下で走る特殊なデイスプレイハードウエアをもたず、Ｘ
−ウインドウズシステムを用いてこのデイスプレイを駆
動するIBM RISC／システム（ＲＳ）6000ワークステーシ
ヨンで実施される。図１２〜図１７は本発明によつて描
画された１つのメツシユの、対象となる一連の６つの領
域を示す。表（１）はＢＳＰ木アルゴリズムと本発明と
の性能の比較を示し、ＲＳ／6000モデル 530ワークステ
ーシヨンでは消去用の装備はない。前処理時間はメツシ
ユ当たり１回に費やされる時間であり、描画時間は１つ
の視点からメツシユを描画するのに必要な時間である。
この２つの方法は共に、前処理が完了すると直ぐに描画
を開始する。括弧で括つた時間は合計時間であり，計算
時間とは異なるときが含まれる（ページングオーバーヘ
ツドのために）。The present invention does not have special display hardware running under the AIX operating system,
-Implemented on an IBM RISC / System (RS) 6000 workstation that drives this display using the Windows system. Figures 12-17 show a series of six regions of interest in one mesh rendered according to the present invention. Table (1) shows a performance comparison between the BSP tree algorithm and the present invention, with the RS / 6000 model 530 workstation having no erasing equipment. The pre-processing time is the time spent once per mesh, and the drawing time is the time required to draw the mesh from one viewpoint.
Both of these methods start drawing as soon as the preprocessing is completed. The time enclosed in parentheses is the total time and includes times that are different from the calculation time (for paging over head).

【００４８】[0048]

【表１】 [Table 1]

【００４９】以下に示す表（２）は本発明の性能を示
し、消去機能を与えずに基本アルゴリズムを実施した場
合の性能における再描画の特徴及びその影響である。元
の描画時間は、消去機能を与えずに基本アルゴリズムを
用いてメツシユの要素すべてを描くのに必要な時間であ
る。新しい描画時間は本発明の消去アルゴリズムを組み
入れるように修正した同じ基本アルゴリズムが要する時
間である。この消去時間は完全なメツシユの表示から始
まるメツシユのすべての要素を消去するのに必要な時間
である。Table (2) shown below shows the performance of the present invention, and is the characteristic of redrawing and its influence on the performance when the basic algorithm is executed without giving the erasing function. The original drawing time is the time required to draw all the elements of the mesh using the basic algorithm without giving the erase function. The new draw time is the time required by the same basic algorithm modified to incorporate the erase algorithm of the present invention. This erase time is the time required to erase all elements of the mesh, starting with the display of the complete mesh.

【００５０】[0050]

【表２】 [Table 2]

【００５１】表（２）は本発明による背面から前面まで
の元の描画アルゴリズムの性能における影響を示す。各
背面を投影することによつて包含されたピクセルを保存
して正確に復元する代わりに、この実施例は要素全体を
投影する軸位置合わせ境界ボツクスによつて包含された
ピクセルを保存して復元する。これを行うことにより２
つのことを節約できる。第１に各背面を投影することに
よつて包含されたピクセルを保存して復元するには、こ
の投影を走査変換してピクセルを見つける必要がある。
その代わり、すべてのウインドウイングシステムによつ
て与えられた長方形領域高速操作機能が用いられる。第
２に、通常、要素の背面を投影する境界ボツクスはオー
バーラツプするので、要素用の１つの長方形領域を保存
して復元することは一段と効率的である。もちろんこれ
らの兼ね合いは使用するウインドウシステムの特徴に依
存する。Table (2) shows the effect on the performance of the original back-to-front drawing algorithm according to the present invention. Instead of saving and accurately restoring the pixels contained by projecting each back surface, this embodiment saves and restores the pixels contained by an axial alignment boundary box that projects the entire element. To do. 2 by doing this
You can save one thing. First, to save and restore the contained pixels by projecting each backside, this projection needs to be scan converted to find the pixels.
Instead, the rectangular area fast manipulator provided by all windowing systems is used. Secondly, it is much more efficient to save and restore one rectangular area for an element, since the bounding box that projects the back of the element typically overlaps. Of course, these tradeoffs depend on the characteristics of the window system used.

【００５２】本発明は、メツシユが表示される速度を増
加させるだけでなく、一段と大きなメツシユを所与の時
間で表示することができるので、メツシユの四面体の数
をも劇的に増加させ得るという重要な利点を有する性能
を提供する。非線形ストレス分析又は半導体デバイスの
シミユレーシヨンに使用されるメツシユは極めて多くの
要素を有することがある。かくして、このような重要な
利点を有する性能は実際非常に重要である。The present invention not only increases the speed at which meshes are displayed, but also allows larger meshes to be displayed at a given time, thus dramatically increasing the number of mesh tetrahedra. Provides performance with the important advantage of The mesh used for nonlinear stress analysis or simulation of semiconductor devices can have numerous elements. Thus, performance with such important advantages is indeed very important.

【００５３】上述の通り本発明をその最適な実施例に基
づいて図示、説明したが、本発明の精神及び範囲から脱
することなく詳細構成について種々の変更を加えてもよ
い。Although the present invention has been shown and described based on the preferred embodiments thereof as described above, various changes may be made in the detailed configuration without departing from the spirit and scope of the present invention.

【００５４】[0054]

【発明の効果】上述のように本発明によれば、メツシユ
の各四面体の外接球を計算し、視点の選択についてのユ
ーザ入力を監視し、各外接球について、視点のパワー関
数を、ユーザが選択した視点ごとに計算し、四面体をそ
れぞれのパワー関数の昇順で分類し、この分類された四
面体を背面から前面にかけてコンピユータデイスプレイ
上に描画することにより、ドローネ四面体でなるメツシ
ユを従来に比して格段的に高速に描画し、表示すること
ができる。As described above, according to the present invention, the circumscribing sphere of each tetrahedron of the mesh is calculated, the user input regarding the selection of the viewpoint is monitored, and the power function of the viewpoint is calculated by the user for each circumscribing sphere. Calculating for each viewpoint selected by, classifying the tetrahedra in ascending order of their respective power functions, and drawing the classified tetrahedra from the back to the front on the computer display. It is possible to draw and display much faster than the above.

【図面の簡単な説明】[Brief description of drawings]

【図１】図１は陰面が消去され、陰影をつけた３次元メ
ツシユの図面をコンピユータで生成した画像を示す斜視
図である。FIG. 1 is a perspective view showing an image generated by a computer of a three-dimensional mesh drawing in which a hidden surface is erased and shaded.

【図２】図２は３次元メツシユのワイヤフレーム図面を
コンピユータで生成した画像を示す斜視図である。FIG. 2 is a perspective view showing an image generated by a computer of a wireframe drawing of a three-dimensional mesh.

【図３】図３は陰面が消去され、陰影をつけた、コンピ
ユータで生成された画像を示す斜視図であり、この画像
はメツシユ内部の稠密性の重要な変化を示している。FIG. 3 is a perspective view of a computer-generated image with hidden surfaces removed and shaded, which shows significant changes in denseness within the mesh.

【図４】図４は背面から前面までの順序付けが存在しな
い、３次元における多角形の一例を示す略線図である。FIG. 4 is a schematic diagram showing an example of a three-dimensional polygon without ordering from back to front.

【図５】図５はＲ軸に沿つた三角形Ｔの可視性順序に対
応する、Ｓ軸に沿つた交点ａ_iの順序を示す等角投影図
である。FIG. 5 is an isometric view showing the order of intersections a _i along the S axis, which corresponds to the visibility order of the triangle T along the R axis.

【図６】図６は本発明による描画方法の全プロセスを示
すフローチヤートである。FIG. 6 is a flow chart showing the whole process of the drawing method according to the present invention.

【図７】図７は図６の描画方法で使用される四面体の外
接球を計算するプロセスの論理的フローチヤートであ
る。FIG. 7 is a logical flow chart of the process of calculating the circumscribing sphere of a tetrahedron used in the drawing method of FIG.

【図８】図８は図６の描画方法で使用される各四面体の
Ｗ値を計算するプロセスの論理的フローチヤートであ
る。FIG. 8 is a logical flow chart of the process of calculating the W value of each tetrahedron used in the drawing method of FIG.

【図９】図９は図６の描画方法で使用される、四面体を
可視性順序に分類するプロセスの論理的フローチヤート
である。FIG. 9 is a logical flow chart of the process of classifying tetrahedra into visibility orders used in the rendering method of FIG.

【図１０】図１０は図９のプロセスで使用される、可視
性順序に分類された四面体の論理的フローチヤートであ
る。FIG. 10 is a logical flow chart of the tetrahedra categorized by visibility order used in the process of FIG.

【図１１】図１１（Ａ）〜（Ｄ）は本発明による「消
去」プロセスを示す、コンピータで生成された画像を示
す斜視図である。11 (A)-(D) are perspective views showing a computer-generated image illustrating the "erase" process according to the present invention.

【図１２】図１２はほぼ2500個のドローネ四面体を含む
メツシユの、対象とする６つの領域のうちの１つの領域
を、本発明の方法により描画した、コンピータで生成さ
れた画像を示す斜視図である。FIG. 12 is a perspective view showing a computer-generated image in which one of the six regions of interest of a mesh containing approximately 2500 Delaunay tetrahedra is drawn by the method of the present invention. It is a figure.

【図１３】図１３はほぼ2500個のドローネ四面体を含む
メツシユの、対象とする６つの領域のうちの１つの領域
を、本発明の方法により描画した、コンピータで生成さ
れた画像を示す斜視図である。FIG. 13 is a perspective view showing a computer-generated image in which one of the six regions of interest of a mesh containing approximately 2500 Delaunay tetrahedra is drawn by the method of the present invention. It is a figure.

【図１４】図１４はほぼ2500個のドローネ四面体を含む
メツシユの、対象とする６つの領域のうちの１つの領域
を、本発明の方法により描画した、コンピータで生成さ
れた画像を示す斜視図である。FIG. 14 is a perspective view showing an image generated by a computer in which one of the six regions of interest of the mesh containing approximately 2500 Delaunay tetrahedra is drawn by the method of the present invention. It is a figure.

【図１５】図１５はほぼ2500個のドローネ四面体を含む
メツシユの、対象とする６つの領域のうちの１つの領域
を、本発明の方法により描画した、コンピータで生成さ
れた画像を示す斜視図である。FIG. 15 is a perspective view showing an image generated by a computer in which one of the six regions of interest of a mesh containing approximately 2500 Delaunay tetrahedra is drawn by the method of the present invention. It is a figure.

【図１６】図１６はほぼ2500個のドローネ四面体を含む
メツシユの、対象とする６つの領域のうちの１つの領域
を、本発明の方法により描画した、コンピータで生成さ
れた画像を示す斜視図である。FIG. 16 is a perspective view showing an image generated by a computer in which one of the six regions of interest of the mesh containing approximately 2500 Delaunay tetrahedra is drawn by the method of the present invention. It is a figure.

【図１７】図１７はほぼ2500個のドローネ四面体を含む
メツシユの、対象とする６つの領域のうちの１つの領域
を、本発明の方法により描画した、コンピータで生成さ
れた画像を示す斜視図である。FIG. 17 is a perspective view showing an image generated by a computer in which one of the six regions of interest of the mesh containing approximately 2500 Delaunay tetrahedra is drawn by the method of the present invention. It is a figure.

───────────────────────────────────────────────────── フロントページの続き (72)発明者 デレク・リーバー アメリカ合衆国、ニユーヨーク州10598、 ヨークタウン・ハイツ、ウエルシユ・コー ト 2497番地 (72)発明者 リー・リチヤード・ナツクマン アメリカ合衆国、ニユーヨーク州10605、 ホワイト・プレーンズ、レイナル・ロード １番地 (72)発明者 バダツケダス・トーマス・ラジヤン アメリカ合衆国、ニユーヨーク州10510、 ブライアクリフ・マナ、アパートメント１ エー、シヤレード・ロード 223番地 ─────────────────────────────────────────────────── ─── Continuation of the front page (72) Inventor Derek Lieber, New York, USA 10598, Yorktown Heights, Welsheu Coat 2497 (72) Inventor Lee Richard Natskman, New York, USA 10605, White Plains, Reynal Road No. 1 (72) Inventor Badackedas Thomas Rajyan, New York, USA 10510, Briarcliff Mana, Apartment 1A, Shelled Road 223

Claims (5)

【特許請求の範囲】[Claims] 【請求項１】メツシユに基礎を置くアプリケーシヨンに
おいてユーザの対話を容易にするために、ユーザが上記
メツシユの内部の対象とする領域を対話式に選択して表
示し得るようにすることによつて、ドローネ四面体でな
るメツシユを高速に描画して表示する表示方法を実行す
るコンピユータにおいて、 上記メツシユの各四面体の外接球を計算するステツプ
と、 視点の選択についてのユーザ入力を監視するステツプ
と、 各外接球について上記視点のパワー関数を、ユーザが選
択した視点ごとに計算するステツプと、 上記四面体をそれぞれのパワー関数の昇順で分類するス
テツプと、 上記分類された四面体を背面から前面にかけてコンピユ
ータデイスプレイ上に描画するステツプとを含むことを
特徴とするメツシユの描画及び表示方法。1. To facilitate user interaction in a mesh-based application, by allowing the user to interactively select and display a region of interest within the mesh. Then, in the computer that executes the display method that draws and displays the mesh of the Delaunay tetrahedron at high speed, the step of calculating the circumscribing sphere of each tetrahedron of the mesh and the step of monitoring the user input for selecting the viewpoint are described. And, for each circumscribing sphere, a step for calculating the power function of the viewpoint for each viewpoint selected by the user, a step for classifying the tetrahedron in ascending order of the respective power functions, and a step for sorting the classified tetrahedron from the back. A method of drawing and displaying a mesh, including a step of drawing on a computer display to the front. 【請求項２】さらに、 ユーザ入力を監視して上記描画プロセスを停止させるス
テツプと、 上記描画プロセスを停止させることにより、上記ユーザ
は上記描画プロセスを停止させるための上記ユーザ入力
に応答して上記メツシユの内部の一部を見ることができ
るようにしたステツプとを含むことを特徴とする請求項
１に記載のメツシユの描画及び表示方法。2. A step of monitoring user input to stop the drawing process, and stopping the drawing process, wherein the user is responsive to the user input to stop the drawing process. The method for drawing and displaying a mesh according to claim 1, further comprising a step for making a part of the inside of the mesh visible. 【請求項３】さらに、 上記描画プロセスを停止させた後に任意選択についての
ユーザ入力を監視するステツプと、 その任意選択が上記ユーザによつて選択されると上記描
画プロセスを再開するステツプとを含むことを特徴とす
る請求項２に記載のメツシユの描画及び表示方法。3. A step of monitoring user input for an option after stopping the drawing process, and restarting the drawing process when the option is selected by the user. The method for drawing and displaying a mesh according to claim 2, wherein: 【請求項４】さらに、 上記描画プロセスを停止させた後、任意選択についての
ユーザ入力を監視するステツプと、 上記視点を変更し、その任意選択が上記ユーザによつて
選択されると、既に描かれた四面体だけを描画するステ
ツプとを含むことを特徴とする請求項２に記載のメツシ
ユの描画及び表示方法。4. A step of observing user input for an option after stopping the drawing process, and changing the viewpoint, wherein the option is selected by the user and is already drawn. 3. The method of drawing and displaying a mesh according to claim 2, further comprising a step of drawing only the opened tetrahedron. 【請求項５】さらに、 上記描画プロセスを停止させた後、任意選択についての
ユーザ入力を監視するステツプと、 上記描画された四面体を前面から背面まで消去し、その
後上記分類された四面体を背面から前面にかけてコンピ
ユータデイスプレイ上に描画する上記プロセスを繰り返
すことにより、その任意選択が上記ユーザによつて選択
されると、対象とする領域の前後の図を表示するステツ
プとを含むことを特徴とする請求項２に記載のメツシユ
の描画及び表示方法。5. Further, after stopping the drawing process, a step of observing user input for optional selections, erasing the drawn tetrahedron from front to back, and then deleting the classified tetrahedra. Repeating the above process of drawing on the computer display from the back to the front, including steps for displaying a view of the area before and after the area of interest when the option is selected by the user. The method for drawing and displaying a mesh according to claim 2.