JPH04219862A

JPH04219862A - 多次元情報表示方法および装置

Info

Publication number: JPH04219862A
Application number: JP2404087A
Authority: JP
Inventors: Hisanori Nonaka; 久典野中; Yasuhiro Kobayashi; 康弘小林
Original assignee: Hitachi Ltd
Current assignee: Hitachi Ltd
Priority date: 1990-12-20
Filing date: 1990-12-20
Publication date: 1992-08-10
Anticipated expiration: 2013-03-30
Also published as: JP2732711B2; US5408596A

Abstract

(57)【要約】本公報は電子出願前の出願データであるた
め要約のデータは記録されません。

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【産業上の利用分野】本発明は多次元情報の表示方法な
らびに装置に係り、特に最適制御、最適設計等の最適化
計算の結果の表示に好適な多次元情報表示方法に関する
。

【０００２】

【従来の技術】従来の多次元情報表示方法としては、レ
ーダーチャート、チャーノフの顔グラフ、星座グラフ等
が考案されており（脇本，他２名：多変量グラフ解析法
，朝倉書店，１９７９）、また、折線の属性に多次元の
情報を付与して表示する方法も知られている（Ｒ．Ｍ．
Ｐｉｃｋｅｔｔ，Ｇ．Ｇ．Ｇｒｉｎｓｔｅｉｎの論文「
アイコノグラフィック・ディスプレイ・フォー・ビジュ
アライジング・マルチディメンジョナル・データ（Ｉｃ
ｏｎｇｒａｐｈｉｃ　Ｄｉｓｐｌａｙｓ　ｆｏｒ　Ｖｉ
ｓｕａｌｉｚｉｎｇ　Ｍｕｌｔｉｄｉｍｅｎｓｉｏｎａ
ｌ　Ｄａｔａ）」Ｐｒｏｃ．ＩＥＥＥ　Ｉｎｔ．Ｃｏｎ
ｆ．Ｓｙｓｔ．Ｍａｎ，Ｃｙｂｅｒｎ，第５１４頁〜第
５１９頁，１９８８）。これらの表示法によると、一つ
または二つ以上の点がその属性として持つ複数の情報を
表わすことができる。例えば顔グラフでは、単純化され
た顔の絵を用いて、目の大きさや傾き、顔の輪郭等で一
つの点に関する複数の情報が定量的に表現される。

【０００３】なお、多次元とは、一般に２次元以上の次
元をいう。

【０００４】

【発明が解決しようとする課題】従来の多次元情報表示
方法では、有限個の点が持つ複数の情報を表現すること
はできるが、多次元空間内における情報の連続的変化の
状況を表わすことはできない。例えば、多次元空間内の
任意の一点の周りの多変数関数の値の増減状況を表示し
ようとした場合に、従来の多次元情報表示方法を直接適
用することは困難である。このため、従来は多次元空間
を任意の一点を含む直線や平面で切断し、その切断面に
おける関数の値の増減の状況を描くという手法が採られ
ていた（例えば、特開平１−２７３１０２号公報参照）
。

【０００５】しかし、この手法では、多次元空間を二つ
の座標軸によって張られる平面によって切断する場合、
座標軸の数をｎとすると平面の数はｎＣ２となる。従っ
て、ｎ＝１００では４９５０枚もの別個の平面図が必要
となり、ユーザが多次元空間における関数値の増減状況
を直感的に把握する上で障害となる。

【０００６】本発明は、以上のような問題点を解消し、
多次元空間における関数値の増減状況の直感的把握に役
立つ多次元情報表示方法および装置を提供することを目
的とする。

【０００７】

【課題を解決するための手段】上記目的を達成するため
に、本発明による多次元情報表示方法は、多変数関数の
定義域として定まる多次元空間内に存在する任意の一点
の周囲の一つ以上の点における前記多変数関数の値を表
示する方法であって、表示面を複数の領域に分割し、該
複数の領域を、前記多次元空間内の前記一点を頂点とす
る複数の象限にそれぞれ対応付け、前記一点の周囲にあ
る象限上の点における前記多変数関数の値を、該点に対
応する前記領域上の一点の位置に表示するようにしたも
のである。

【０００８】前記表示面は、好ましくは、一点から放射
状に伸びる複数の線で複数の領域に分割される。

【０００９】前記多変数関数の値の表示は、例えば、一
定値きざみの関数値をとる点の位置に指標を表示するこ
とにより行う。この指標は、好ましくは、関数値の増減
方向を示すものである。

【００１０】また、前記多変数関数の値の表示としては
、該値の大きさに応じて表示色を変化させて行うことも
できる。

【００１１】前記領域と象限との対応付けは、前記多次
元空間内で同一の軸を共有する二つの象限に対応する二
つの領域同士が隣接するように行うことが望ましい。そ
のためには、オイラー閉路を求めるアルゴリズムを利用
することができる。

【００１２】本発明による多次元情報表示方法は、他の
見地によれば、多変数関数の定義域として定まる多次元
空間内に存在する任意の一点の周囲における前記多変数
関数の値の増減状況を表示する方法であって、前記任意
の一点を頂点とする各象限上における複数の点の関数値
を計算する第１のステップと、該第１のステップの計算
結果に基づき、前記各象限上における関数値の増減状況
を出力装置に表示する第２のステップとを備えたもので
ある。

【００１３】この第２のステップでは、例えば、出力装
置上に円を描き、該円を中心点の周りに分割して扇形を
生成し、該生成した扇形上に当該象限上における関数値
の増減状況を表示する。

【００１４】前記第２のステップでは、前記各象限上に
おける関数値の増減状況を等高線、表示色の変化、三次
元メッシュ図、鳥観図の少なくとも一つで表わすことも
できる。

【００１５】本発明による多次元情報表示装置は、前記
いずれかに記載の多次元情報表示方法を用いて画像デー
タを作成するためのプログラム、前記多変数関数の式、
および前記多次元空間内の任意の一点の座標を格納する
記憶装置と、前記プログラムを実行し、画像データを作
成する中央処理装置と、該作成された画像データに基づ
いて画像を表示する画像出力装置とを備えたものである
。

【００１６】本発明による非線形最適化計算結果の検証
装置は、与えられた多変数関数の最適解を求める最適化
計算装置と、該非線形最適化計算装置により求められた
解の周囲における前記多変数関数の増減状況を表示する
前記多次元情報表示装置と、オペレータが表示範囲を決
定するための情報を入力する入力手段とを備え、オペレ
ータが対話的に表示範囲を調整して、前記求められた解
が鞍点か否かおよび当該解の近傍に別の解が存在するか
否かを確認するようにしたものである。

【００１７】本発明による多変数関数の最適化装置は、
多次元空間内の任意の一点の座標を指定するための入力
手段と、該入力手段により与えられた一点の周囲の多変
数関数の増減状況を表示する前記多次元情報表示装置と
を備え、オペレータが前記入力手段を介して前記一点の
座標を指定し、該座標を中心点とする多次元空間表示を
行い、オペレータがその結果を参照して中心点の座標を
変更し、最終的に所望の関数値を与える座標を得るよう
にしたものである。

【００１８】本発明による最適制御装置は、制御対象の
制御変数を入力変数とする多変数関数で表わす手段と、
該多変数関数を最適化する前記多変数関数の最適化装置
と、最適化の結果に基づいて制御を実行する手段とを備
えるものである。

【００１９】本発明による資源の最適配分装置は、複数
の資源の投入量に依存して出力量の定めるシステムにお
いて、前記複数の資源の投入量を入力変数とする多変数
関数で前記出力量を表わす手段と、該多変数関数の値を
最大化する前記多変数関数の最適化装置と、最適化の結
果に基づいて前記出力量を最大とする前記資源の配分を
出力する手段とを備えたものである。

【００２０】本発明による多次元象限展開方法は、ｎ次
元（ｎは次元数を示し、２以上の整数）空間内の任意の
一点を頂点とする４×ｎＣ２個の象限を表示面に展開す
る方法であって、表示面を、一点から放射状に伸びる４
×ｎＣ２個の線で複数の領域に分割し、該複数の領域を
それぞれ前記多次元空間内の任意の一点を頂点とする複
数の象限に対応付け、かつ、該対応付けは、前記多次元
空間内で同一の軸を共有する二つの象限に対応する二つ
の領域同士が隣接するように行うようにしたものである
。

【００２１】本発明による制御パラメータ決定装置は、
システムの制御パラメータを決定する制御パラメータ決
定装置であって、システムの入力パラメータ（およびシ
ステムで検出されたフィードバックパラメータ）に基づ
いて制御パラメータを決定する制御パラメータ決定手段
と、該制御パラメータの妥当性を検証する請求項１１記
載の多次元情報表示装置とを備えたものである。

【００２２】

【作用】本発明によれば、次元の数に係わらず、多次元
空間内の任意の一点を頂点とするすべての象限を一つの
平面上に展開することができ、かつ、各象限上の任意の
点を前記平面上の対応する領域内の一点に対応づけるこ
とができる。したがって、前記多次元空間内の任意の一
点の周囲にある各象限上の複数の点における多変数関数
の値を、その点が属する象限に対応する前記領域内の対
応点に表示することにより、多次元情報を一つの平面図
に描くことが可能になる。その結果、多次元空間におけ
る任意の一点の周りにおける関数値の増減状況を直感的
に把握することが可能となる。

【００２３】関数値の表示の手法としては、等高線によ
る表示、色（濃淡を含む）の変化による表示、三次元メ
ッシュ、鳥観図等による平面上での３次元表示が考えら
れる。その他、表面の凹凸を制御できるような立体的な
表示手段を利用すれば、その表面に関数値に応じた凹凸
を形成するような立体的な表示も可能である。

【００２４】領域と象限との対応付けは、前記多次元空
間内で同一の軸を共有する二つの象限に対応する二つの
領域同士が隣接するように行うことにより、表示面上の
分割された領域の境界で等高線が連続し、関数値の増減
状況の把握が容易になる。

【００２５】本発明は、多変数関数の値が最小（極小を
含む）または最大（極大を含む）となる入力変数値の組
み合わせを求めるのに有用であり、プラントの最適制御
、機械，システム等の最適設計、その他各種の最適化に
応用できる。

【００２６】

【実施例】以下では、多次元空間内にある任意の一点を
中心点とする半径１の球の内部を該一点の近傍として定
義し、該近傍における多変数関数の値の変化状況を平面
上に描く場合を例にとり実施例を説明する。このように
して描いた図を本明細書では「多次元空間展開図」と呼
ぶ。なお、本実施例では、多変数関数は、非線形最適化
問題の目的関数である。

【００２７】なお、本実施例においては平面上の各領域
は、一つの円をその中心点の周りに分割して得られる扇
形であるとする。ただし、扇形以外の形状、例えば三角
形であってもよい。すなわち、一点から放射状に伸びる
複数の線で分割される領域であれば足りる。

【００２８】図２に本実施例による多次元情報表示装置
の計算機構成を示す。本実施例による計算機は、ディス
プレイまたはプリンタ等の出力装置１、画像データ作成
装置２、出力部３、ＣＰＵ（中央演算装置）４、ワーキ
ングメモリ５、および記憶部６から構成される。ワーキ
ングメモリ５は内部記憶装置に、記憶部６は外部記憶装
置にそれぞれ相当する。

【００２９】ＣＰＵ４は記憶部６より多次元情報表示用
のプログラム（図１、図１０および図１１に示す処理手
順）を逐次ワーキングメモリ５に呼出して実行し、多次
元空間展開図を描くための図形基礎データを作成する。ここで図形基礎データとは、例えば出力装置１上でどの
位置にあるピクセルがオンになるかオフになるかを表わ
す論理情報である。該図形基礎データは出力部３を介し
て画像データ作成装置２に送られ、ここで画像データが
作成される。この画像データが出力装置１に出力される
。出力装置１は、画像データに基づく所定の図形（多次
元空間展開図）を表示する。なお、前記図形基礎データ
は、オンオフ情報に加えて、あるいは代えて色情報、階
調情報を含むものであってもよい。

【００３０】記憶部６は少なくとも、■多変数関数の式
、■多次元空間内における任意の一点の座標、および■
多次元情報表示用プログラムを記憶する。なお、上記の
データの全てあるいは一部をワーキングメモリ５に記憶
することもできる。

【００３１】■多変数関数の式：本実施例では多変数関
数Ｆの一例として以下の関数を用いる。Ｆ＝（Ｘ１＋３・Ｘ２＋Ｘ３）２＋４・（Ｘ１−Ｘ２）
２ここで、Ｘ１，Ｘ２，Ｘ３は入力変数、Ｆは３変数の
多変数関数である。すなわち、Ｆの定義域は３次元空間
である。

【００３２】■多次元空間内における任意の一点（例え
ば、出力装置１に表示される円の中心）の座標：本実施
例では、該一点をＡ（０，０，０）とする。このテンの
座標は図８に示すような入力装置８からオペレータが入
力する。本実施例を非線形最適化装置に適用した場合、
点Ａは、目的関数である多変数関数の解の座標点となる
。

【００３３】■多次元情報表示プログラム：多次元情報
表示プログラムの処理内容を図１に示す。以下ではその
詳細を各ステップごとに説明する。（ｉ）ステップ１１円をその中心点の周りに複数個の扇形に分割した図を出
力装置１上に描くための図形基礎データを作成する。本
ステップの詳細を図１０に示す。ステップ１０１におい
て、出力装置１上における円の中心の座標に関するデー
タ、円の半径ｒに関するデータ、および円の分割数Ｎに
関するデータを入力し、記憶部６に記憶させる。これら
のデータは、オペレータが入力装置８から入力する。ま
た、これらのデータは、ＣＰＵ４が所定のプログラムを
用いて自動的に求めるようにすることも可能である。ス
テップ１０２において前記のデータに基づき、出力装置
１上で該円（半径ｒ）の円周上にあるピクセルをＯＮす
る図形基礎データを作成する。また、ステップ１０３に
おいては円周上の一点の座標を求め、ステップ１０４に
おいて円の中心と円周上の一点とを結ぶ線分を複数本引
いてなる扇形の図形基礎データを作成する。

【００３４】本実施例においてはこれらの扇形はｎ次元
空間内にある一点（前記■の座標で与えられる点）の近
傍の象限にそれぞれ対応するものと考える。ｎ次元空間
において象限数は４×ｎＣ２で表されるから、３次元空
間においては象限の数は１２である。以下に３次元空間
における全ての象限を示す。ここで、例えば［Ｘ１，Ｘ
２］とは、ｎ次元空間内にある前記一点を頂点とし、Ｘ
１軸方向とＸ２軸方向とで張られる該一点を中心とする
象限を表わすものとする。

【００３５】３次元空間におけるすべての象限は次のと
おりである。［Ｘ１，Ｘ２］，　　　　［Ｘ１，Ｘ３］，［Ｘ１，−
Ｘ２］，　　［Ｘ１，−Ｘ３］，［Ｘ２，Ｘ３］，　　
　　［Ｘ２，−Ｘ１］，［Ｘ２，−Ｘ３］，　　［Ｘ３
，−Ｘ１］，［Ｘ３，−Ｘ２］，　　［−Ｘ１，−Ｘ２
］，［−Ｘ１，−Ｘ３］，［−Ｘ２，−Ｘ３］本実施例
においてはすべての象限を平面上に表示することを考え
、前記の円を１２等分して１２個の扇形を作成する。す
なわち、扇形と象限とは一対一に対応する。また、図３
に示すようにそれぞれの扇形に通し番号ｊを、扇形の辺
に通し番号ｍを与える。

【００３６】（ｉｉ）ステップ１２前記の１２個の扇形のそれぞれが３次元空間内の点Ａを
頂点とするどの象限に対応するかを決定する。ここでは
、あらかじめ扇形と象限との対応関係、および扇形の辺
と座標軸との対応関係が表１に示すように決定されてい
るとする。この扇形と象限との対応付けの手法について
は後述する。

【００３７】

【表１】

【００３８】本実施例では、この対応関係は、ｊをキー
として象限の名前を、ｍをキーとして座標軸の名前を、
また逆に象限の名前をキーとしてｊを、座標軸の名前を
キーとしてｍを得ることができるようなデータ構造でワ
ーキングメモリ５または記憶部６に記憶されるものとす
る。

【００３９】象限上の一点と扇形上の一点との対応付け
の例を図４を用いて説明する。図４は、［Ｘ１，Ｘ２］
上にある一点Ｂをｊ［Ｘ１，Ｘ２］番目の扇形上の点Ｂ
’に対応付けた例である。点Ｂ’は等高線を構成する点
のデータである。３次元空間におけ＊　　　　　　＊　
　　　　　＊る中心点Ａの座標を、（Ｘ１　，Ｘ２　，
Ｘ３　）とすれば、点Ｂの座標は、＊　　　　　　　　
　　　　＊（Ｘ１　＋Ｘ１，Ｘ２　＋Ｘ２，Ｘ３）と表
わせる。この点を図４に示す座標変換により平面上の点
Ｂ’（Ｘ，Ｙ）に対応付けることができる。

【００４０】（ｉｉｉ）ステップ１３３次元空間における各象限上に存在する点における関数
Ｆの値を、該点に対応する扇形上の一点の位置に表示す
る。このステップ１３の詳細を図１１および図１２に示
す。図１１のステップ１１１において、初期値の設定を
行う。すなわち、図１１のステップ１１１に示す情報が
ＣＰＵから出力され、出力装置１に表示される。その情
報は、記憶部６に記憶されている。オペレータは、ステ
ップ１１１の情報に関するデータのうち既に与えられて
いるデータを除いて、出力装置１から該当するデータ等
を入力する。これらのデータが初期値として設定される
。なお、Ｆ０は中心点における多変数関数の値である。ステップ１１１の情報に示されていないが、分割数Ｋで
分割される象限の半径方向の距離もオペレータは指定す
る。この範囲が多次元空間展開図に表示される範囲であ
る。

【００４１】本実施例においては、象限の総数Ｎ＝１２
，各象限内において円周方向の分割数Ｍ＝４０，半径方
向の分割数Ｋ＝２００が設定されたとする。分割数Ｋお
よびＭに基づいて象限内にメッシュが形成される。次に
、ステップ１１２の処理が実行され、ｍ＞Ｍになるまで
ステップ１１３の計算が繰り返される。なお、“φ”は
角度を表わす。ステップ１１４では、各象限内に形成さ
れるメッシュの１つの講師点に座標（例えばＢ）が与え
られる。ステップ１１５に示す式は、その座標に対応す
る多変数関数の値を求めるためのものである。このよう
にして、各象限を円周方向に４０等分した半径上で、中
心点から円周に向かって関数Ｆの値が逐次計算される。ステップ１１６は、ステップ１１５で得られた多変数関
数の値が中心点Ａにおける多変数関数値のよりも０．５
の倍数だけ大きくなる（あるいは小さくなる）値か否か
を判定する。０．５で割り切れる値は、後述する等高線
を表示するためのデータとして用いられる。なお、０．
５は、渡航線のレベルの間隔であり、他の値にすること
も可能である。ステップ１１６の判定が「Ｙｅｓ」のと
き、ステップ１１７，１１８が実行される。ステップ１
１７および１１８は、多変数関数の定義域として定まる
ｎ次元空間のある象限内の点を、対応する扇形に投影し
たときの扇形内の一に対する座標（Ｘ，Ｙ）を求める。この座標は、ワーキングメモリ５または記憶部６に記憶
する。なお、前述のｎ次元空間のある象限内の点は、ス
テップ１１６で「Ｙｅｓ」と判定された多変数関数の値
を生じる一の座標で示される。さらに、座標（Ｘ，Ｙ）
を起点とする矢印を描くための図形基礎データがステッ
プ１２０および１２１で作成され、記憶部６に記憶され
る。なお、この矢印の図形規則データは、出力装置１に
表示された場合に多変数関数の値が増加する方向を指す
ように作成される。ステップ１２０および１２１に先だ
って、ステップ１１９の判定が行われる。この判定は、
ステップ１１５で得られた多変数関数の値がＦｏｌｄの
値より大きいか否かを判定するものである。「Ｙｅｓ」の場合はステップ１２０、「Ｎｏ」の場合は
ステップ１２１の各処理を行う。以後、ステップ１２２
でＦｏｌｄの値がステップ１１５で得られた値に変換さ
れ、ステップ１２３移行の処理が繰り返される。ｊ＞Ｎ
になったとき、ステップ１３の処理が終了する。

【００４２】以上の操作を円周方向に４０等分した全て
の半径上で行うことにより、結果的にその象限における
多変数関数の値の等高線を、該象限に対応する扇形内に
表示するための図形データが作成される。等高線の表示
に際しては、ＣＰＵ４はワーキングメモリ５または記憶
部６から、扇形内の点の座標と、その座標に矢印を描く
ための図形基礎データとを逐一読みだして、画像データ
作成装置２に送り、最終的に画像が出力装置１上に描か
れる。なお、矢印は関数値の増加方向を示すものである
から、方向を示すことができる指標であれば、矢印以外
のものであってもよい。例えば、中心点から外方向へ向
かって直前の等高線より関数値が増加している場合は赤
、減少している場合は青というように、等高線の色を変
えて示すことも可能である。あるいは、即座の視認性は
劣るが各等高線に付随してその関数値を数値で表示して
もよい。

【００４３】図５に、以上の手順に従って作成した、点
Ａを中心とする半径１の球の内部における多変数関数Ｆ
の値の増減状況を表わした多次元空間展開図を示す。こ
の図において等高線は扇形の各辺上において連続であり
、また中心点を囲む閉じた形を成す。さらに等高線の矢
印は全て中心点から遠ざかる方向を指し示している。以上の事実から、この多次元空間展開図における中心点
である点Ａが多変数関数Ｆの最小点であることを視覚的
に確認することができる。

【００４４】本実施例による多次元空間展開図において
、隣接する二つの扇形共有する辺には同一の座標軸を対
応付け、かつ多次元空間内の象限に対応する扇形を全て
列挙することができれば、例えば多変数関数の値の増減
状況を等高線で表わした場合に、全ての等高線が辺を挾
んで連続となるため、中心点の周りの多変数関数の値の
増減状況を直感的に把握する上で効果が高い。本実施例
は、前記の条件を満たすように扇形の各辺へ座標軸を対
応付けることを特徴とする。以下では、その対応付けに
グラフ理論に基づく考え方を用いる例について説明する
。

【００４５】一つの象限は、二つの座標軸によって定ま
る。これは、一つの線分が二つの頂点によって定まるこ
とに対比させることができる。従って象限と座標軸との
関係は、図６に示すように、象限に線分を、座標軸に頂
点を対応付けた単純なモデルで表現できる。このような
モデル化を行うと、多次元空間における象限と座標軸と
の関係は、辺と頂点から成るグラフとして表わすことが
できる。図７に３次元空間における象限と座標軸との関
係を表わすグラフを示す。このグラフにおいて、例えば
頂点（座標軸）Ｘ１は、Ｘ２，Ｘ３，−Ｘ２，−Ｘ３の
各頂点（座標軸）と辺（象限）を作る。同様にして、図
３のグラフで全ての象限と座標軸との関係を表現するこ
とができる。このグラフにおいて、隣合う２辺（象限）
は一つの頂点（座標軸）を共有するから等高線は連続と
なる。従ってこのグラフ上の任意の頂点を出発点とし、
全ての辺を１回ずつ通って元の頂点に戻ることができれ
ば、等高線を全て連続とするように象限を並べることが
できる。これは前記のグラフでオイラー閉路を求めるこ
とに他ならない。

【００４６】ｎ次元空間を表わす前記のグラフにおいて
、頂点（座標軸）の数は２ｎ個である。それぞれの頂点
（座標軸）は、自分自身と自分の反対方向の頂点とを除
いた「２ｎ−２」個の頂点（座標軸）と辺（象限）を作
る。各頂点から出る辺の総数は次数と呼ばれる。前記の
グラフにおいて各頂点の次数は２ｎ−２であり、これは
ｎに係らず常に偶数である。いずれの頂点についてもそ
の次数が偶数であるグラフはオイラーグラフに属する。オイラーグラフは常に一筆書き可能であることが保証さ
れている。従って前記のグラフは一筆書き可能であり、
すなわちｎに係らず、常に等高線を連続とするように全
ての象限を並べることができることが保証される。

【００４７】オイラー閉路を求めるアルゴリズムは、例
えば、Ｃ．Ｌ．リウ著，伊理正夫，伊理由美共訳「組合
せ数学入門ＩＩ」ｐｐ１９１〜１９２，共立全書（１９
７２）に記載されている。本実施例は、以上説明したよ
うな手法に基づいて、等高線を連続とするような象限の
並べ方を決定し、中心点の周りの関数の値の象限状況が
ユーザによって直感的に把握しやすい多次元空間展開図
を作成する。

【００４８】本実施例では、多変数関数の値の増減状況
を等高線を用いて表現したが、多変数関数の値の増減状
況が視覚的に把握できる表現法であれば全て本発明に適
用することができる。例えば、関数値の大きさに応じて
色の濃淡を異ならせて表示してもよい。この場合には、
前述した一定値毎の関数値の等高線表示とは異なり、計
算したすべての関数値について表示を行うことができる
。あるいは、三次元のメッシュ図、鳥観図等、物の表面
の凹凸状態を三次元的に表示できる手法を用いることも
できる。以上の表示法はすべて平面的な表示面をもつ出
力装置への表示を想定したが、表面の凹凸状態を立体的
に表示できるような表示手段があれば、立体表示するこ
とも可能である。

【００４９】図１に示す多次元情報表示プログラムを非
線形最適化装置に適用した場合について説明する。非線
形最適化装置としては、特願平２−２３９８５９号に開
示されたものがある。この出願の各実施例に、本発明の
図１の実施例を手寄与することができる。このとき、多
変数関数は、非線形最適化問題の目的関数として用いら
れる。この目的関数は、非線形最適化手法を用いて解く
ことができ、最適解（最小値）を求めることができる。最適解が求められた後、図１に示す多次元情報表示プロ
グラムによる処理が行われ、多変数関数によって定める
多次元空間内の一点（最適解を得る位置）を中心とした
その近傍における多変数関数の値の変化状態を表示する
。

【００５０】図８に、図１の多次元情報情報表示方法を
用いる多次元情報表示装置を示す。ユーザは入力装置８
により中心点Ａの座標を決定するためのデータを入力す
る。入力データは入力部７を介してワーキングメモリ５
に送られる。記憶部６には、多変数関数の式、現在の中
心点Ａの座標、多次元情報表示プログラム、中心点Ａの
座標を更新するためのプログラム等が記憶されている。まず、ＣＰＵ４は記憶部６より中心点Ａの座標を更新す
るために座標更新用プログラムをワーキングメモリ５に
呼出して実行し、ユーザが入力したデータに基づいて新
たな中心点の座標を生成する。次に、ＣＰＵ４は記憶部
６より多変数関数の式および多次元情報表示プログラム
をワーキングメモリ５に呼出して実行し、新たな中心点
の座標に基づいて、前述したような処理を行い、図５に
示すようなグラフを描くための基礎データを作成する。このデータは出力部３を介して画像データ作成装置２に
送られ、出力装置１にグラフが描かれる。

【００５１】本実施例によれば、オペレータの指定によ
り多次元空間内の任意の位置の周囲における多変数関数
の値の変化状態を把握することができる。

【００５２】図８に示した多次元情報表示装置は、非線
形最適化装置に適用することができ、非線形最適化計算
結果の検証に利用することができる。以下で非線形最適
化とは多変数関数の最小化を指すものとする。数理計画
法による最適化計算は、端的に言うと関数の勾配が０と
なるような多次元空間内の一点の座標を得ることを目的
としている。このため、非線形最適化計算の結果は、大
域的な意味での最小点である保証はなく、局所的な最小
点（極小点）である場合、または鞍点である場合がある
。本実施例による多次元情報表示を用いると、非線形最
適化計算の結果得られた座標が最小点であるか鞍点であ
るかの判断を視覚的に容易に行うことができる。また、
多次元空間展開図に表示する多次元空間内での領域を拡
大することにより、現在の中心点Ａの近傍に別のさらに
良い最小点が存在するかどうかを知ることができる。

【００５３】多次元空間展開図に表示する多次元空間内
の領域を拡大した場合には、多次元空間展開図の図形基
礎データは次のように作成することができる。すなわち
、図１の実施例のステップ１１１で指定する象限の半径
方向の距離を現在値よりも大きくすることによって、展
開図に表示される多次元空間の領域を拡大する。このと
き、図１２のステップ１１６の等高線のレベルを規定す
る値「０．５」を、オペレータの指定によって他の値（
例えば、「１．０」等）に変えることができる。これに
より、領域拡大に伴い等高線が過密に療治されることを
防止できる。

【００５４】以下、上記とは別の３変数の関数：ｆ＝２
・Ｘ１２＋０．５・（Ｘ２２−１）（Ｘ２２−９）＋３
・Ｘ３２について、図１３〜図１６の具体的な多次元空
間展開図を参照し、鞍点、最小点等がどのように表示さ
れるかを示す。図１４〜図１５は、円の半径（各変数Ｘ
１，Ｘ２，Ｘ３のとりうる範囲）を１．０、等高線の間
隔を０．５とし、中心点の位置をそれぞれ異ならせたも
のである。図１６は円の半径を６．０に拡大した以外図
１４と同一条件の図である。

【００５５】結論から先にいえば、この関数ｆは、座標
（Ｘ１，Ｘ２，Ｘ３）＝（０．０，　±２．２３６，　
０．０）に最小点を有し、座標（０．０，　０．０，　
０．０）に鞍点を有する。鞍点では、∂ｆ／∂Ｘ１＝∂
ｆ／∂Ｘ２＝∂ｆ／∂Ｘ３＝０となるので、最適化プロ
グラムはその点を最小点と誤って認識してしまう。図１
４は座標（０．０，０．０，　０．０）を中心とした多
次元空間展開図である。非線形最適化プログラムがこの
中心点を最小点と誤って認識したとしても、図１３から
一見してこの中心点は最小点ではなく、鞍点であること
が認識できる。すなわち、中心点の近傍で等高線の間隔
が広くなっていることから中心点近傍で関数の傾きがな
だらかになっていることが判るが、中心点の周りで等高
線が閉じておらず、また、中心方向を向く矢印と外部方
向を向く矢印とが混在していることから、この中心点は
鞍点であることが認識される。

【００５６】他方、座標（０．０，　±２．２３６，　
０．０）を中心点とした図１４の多次元空間展開図をみ
ると、中心点の周りで等高線が閉じており、かつ、すべ
ての矢印が外向きであることから、この中心点は最小点
であることが判る。

【００５７】図１４は、最小点でも鞍点でもない適当な
一点（１．０，　１．０，　１．０）の周りの展開図で
ある。この図では、等高線が複雑に入り乱れ、中心点が
安定な位置にないことが視覚的に認識される。

【００５８】図１６は、前述のように、図１４と同じ最
小点を中心とした展開図であるが、図１４の円の半径を
拡大したものであり、この拡大によって、より広範囲に
わたって関数値の変化状況を把握することができる。す
なわち、この図によれば、中心点から−Ｘ２軸方向に約
５程度はなれた位置に、別の最小点が存在することが判
る。これは、図１４の展開図では認識できなかったこと
である。因みに、この新たな最小点の座標は正確には（
０．０，−２．２３６，　０．０）である。

【００５９】本発明による多次元情報表示装置を最適化
計算結果の検証装置として用いる非線型最適化システム
の構成を図９に示す。このシステムは、入力装置１、出
力装置８、多次元情報表示装置９２、最適点の座標を含
む非線形最適化計算結果の格納部９３、最適化装置９４
、目的関数（多変数関数）の式および各種初期値を含む
非線形最適化計算のための入力データの格納部９５から
なる。最適化装置９４の最適化計算結果の検証に本発明
による多次元情報表示装置９２を用いることにより最適
化計算結果の信頼性を向上させることができる。

【００６０】また、本発明による多次元情報表示装置は
、対話形式での多変数関数の非線形最適化装置として用
いることができる。すなわち、ユーザは表示された多次
元空間展開図を参照して関数値の増加・減少方向を視覚
的に捉え、現在の中心点を移動する方向を決定する。これを入力することによって新たな中心点の座標を生成
し、その中心点の周りの多変数関数の値の増減状況を再
び本発明による多次元情報表示方法を用いて多次元空間
展開図に表わす（例えば、図８の実施例）。以上の操作
を繰り返すことにより、最終的に所望の条件を満たす中
心点の座標を対話的に得ることができる。ここで、本発
明による多次元情報表示方法をシステムの最適制御に応
用した具体例について考える。今、複数の入力パラメー
タに依存して出力値の定まるシステムＳを考える。シス
テムＳの具体例としては、エンジンやモータ等の機械シ
ステム、発電プラントに代表されるエネルギーシステム
、化学プラントに代表される生産システム、ポートフォ
リオ等の経済システムなどがある。このようなシステム
において、入力パラメータの組をＰ（Ｘ１，Ｘ２，…，
Ｘｎ）とした場合に、システムの出力値ＦはＦ（Ｐ）な
る関数でモデル化して表わせるものとする。システムの
制御の目標は、Ｆの最大化，最小化、あるいは特定の値
での保持などである。以下では、Ｆの最大化が目標であ
る場合について説明する。このような問題の具体例とし
ては、化学プラントの制御問題がある。すなわち、与え
られた制約条件の下で、単位時間当りの生産量を最大化
することが制御の目標である。この種の問題は一般に多
峰性の非線形最適化問題であり、数値的な非線形最適化
手法では局所的な最適点しか求められないため、制御目
標達成のためには不十分である。また、目的関数の一次
微分値に基づいて最適点を求める非線形最適化手法では
、目的関数の最適点と鞍点とを数値的に区別することが
できないといった問題もある。さらに、入力パラメータ
をある特定の値の近くに取りたい場合に、目的関数の等
高線が図１７に示すようなとき、従来の数値的な最適化
手法では、前記特定の値に対応する点を開始点として探
索を開始し、最小点を見出すことができたとしても、そ
の点は大域的最小点ではなく開始点から離れた局所的な
最小点である場合がある。すなわち、従来の手法では、
局所的な最小点をが最終的な解として出力される場合が
ある。

【００６１】このような問題は、本発明による多次元情
報表示装置を用いて解決することができる。図１８に、
本発明の多次元情報表示装置を制御用パラメータ決定装
置として組み込んだ製品生産システムの構成を示す。製
品生産システム１３４は、原料１３５から製品１３７を
生産するために必要な加工設備および移送設備を有する
。原材料１３５は図では１種類のみ示しているが実際に
は複数種類存在してよい。移送設備は、原料１３５およ
び中間製品を加工設備間で運搬するものである。生産シ
ステム１３４は、各設備の動作を制御するコントローラ
１３８を有する。このコントローラ１３８はホストコン
ピュータであり、別に、各加工設備および移動設備ごと
に専用のコントローラ（ローカルコントローラ：図示せ
ず）が設けられている。ローカルコントローラは、コン
トローラ１３８の制御下で自己の担当する加工設備およ
び移送設備を制御する。生産システム１３４においては
、これを構成する加工設備および移送設備の各能力の制
約下で各設備毎に原料１３５から単位時間当りに生産さ
れる製品１３７の量が最大になるようにする必要がある
。このため、コントローラ１３８およびローカルコント
ローラは、各設備の制御用パラメータ１４１を制御する
。各設備を最適に制御するための制御用パラメータ１４
１は、非線形最適化処理装置である制御用パラメータ決
定装置として動作する計算機１３６で決定される。この
例では、計算機１３６は本発明の多次元情報表示装置と
しての機能も有する。制御用パラメータ決定装置として
の計算機１３６には、入力装置１３２から入力されたパ
ラメータ１４２と、生産システム１３４の各設備等に設
けられた検出器１４０の測定値であるフィードバックパ
ラメータ１３９とが入力される。検出器１４０は、当該
設備の運転状態等のデータを測定する。入力パラメータ
１４２は、生産システム１３４の動作に関する情報、す
なわち供給される原料１３５の情報、生産システム１３
４の制約条件（例えば、各設備の能力に関する制約条件
）および生産システム１３４の運転上の制約条件（例え
ば、生産システムの電力量）等をパラメータとして含む
数式モデルである。この数式モデルが、最適制御用パラ
メータを求めるために制御用パラメータ決定装置に与え
られる問題である。制御用パラメータ決定装置で得られ
た最適な制御用パラメータ１４１は、コントローラ１３
８に入力される。コントローラ１３８は、入力した制御
用パラメータ１４１に基づいて各ローカルコントローラ
に当該設備を制御させるための制御信号を出力する。フィードバックパラメータ１３９を制御用パラメータ決
定装置に入力することによって、それが前述の数式モデ
ル内に取り込まれ、フィードバックパラメータ１３９を
考慮した非線形最適化処理が行われる。

【００６２】この非線形最適化処理を援助する手段とし
て、本発明による多次元情報表示装置（計算機１３６）
は、記憶装置１３１に記憶された多次元情報表示プログ
ラム、システムの数式モデル、および求められた制御パ
ラメータの組（これが中心点の座標に相当する），近傍
の半径などの情報に基づいて、図１の実施例で説明した
多次元空間展開図（多次元空間グラフ）を画像出力装置
１３３に出力する。制御パラメータの組は、計算機１３
６内で求められたものをそのまま用いても、あるいは入
力装置１３２から別途入力してもよい。ユーザはこの多
次元空間展開図に基づいて、システム１３４の次なる制
御パラメータ１４１を決定し、システム１３４に与える
。システム１３４は、この制御パラメータに基づいて、
前述のように原料１３５の使用量を決定し、製品１３７
の生産量を制御する。

【００６３】例えば、（Ｘ１，Ｘ２，Ｘ３）という３つ
のパラメータで動作の定まるシステムの生産量Ｆが、Ｆ
＝２・Ｘ１２＋０．５・（Ｘ２２−１）（Ｘ２２−９）
＋３・Ｘ３２なる目的関数（多変数関数）でモデルかで
きる場合について考察する。今、計算機１３６による非
線形最適化計算の結果、（０．０，２．２３６，０．０
）なる解を得たとする。この点を中心点とし、半径１の
範囲を表わす多次元空間展開図を図１９に示す。同図に
おいて、関数の等高線を表わす矢印は関数の減少方向を
指している。この応用例では、中心点の周りで等高線が
閉じており、また中心点から遠ざかるに従って関数が減
少することから、中心点が最大点の一つであることが分
かる。

【００６４】また、別の最適化計算の結果、（０．０，
　０．０，　０．０）なる解を得たとする。この解を中
心点とする多次元空間展開図を図２０に示す。この図に
よると、等高線は中心点の周りで閉じておらず、また等
高線の矢印に中心点方向を指すものがある。これらの事
実から、この解は最大点でなく鞍点であることが視覚的
に分かる。図２１は図１９の解を中心点として半径６の
範囲を表わした多次元空間展開図である。この図では、
中心点から−Ｘ２方向で距離約５の場所に別の最大解が
あることが分かる。この座標は正確には（０．０，　２
．２３６，　０．０）である。

【００６５】以上述べたように、多次元空間展開図を用
いてシステムのモデルの振る舞いを解析し、適切な制御
パラメータの値を決定することができる。

【００６６】この応用例では、製品生産システムについ
て説明したが、本発明は、汎用的に、出力変数が複数の
入力変数の非線形関数として表わされる場合に、出力変
数の最小値（あるいは最大値）を与える入力変数を求め
る非線形最適化に適用できる。例えば、プラント、機器
、装置等の制御であれば、制御結果を表わす出力変数が
最小となるような複数の入力制御変数値の組み合わせを
求めることができる。あるいは、複数の資源の投入量に
依存して利益（出力量）が定まるようなシステムでは、
利益が最大となるような資源の配分を求めることができ
る。証券市場のような金融操作のコンピュータ制御のた
めにも利用できる。

【００６７】その他、機械（要素）等の非線形最適設計
のための計算機支援設計（ＣＡＤ）システムにも利用可
能である。非線形最適化処理装置を有するＣＡＤシステ
ムの一例としてのコイル設計においては、与えられた負
荷に対して、コイルの変形が所定の値より大きくないと
いう制約条件に基づいて、コイル用のワイヤの半径，コ
イルの巻数，および各アームの半径が選択されなければ
ならない。本発明は、前記制約条件が満足される範囲で
、コイルのパラメータを最適化するために利用すること
ができる。また、他の例としては、シャフトが最小摩擦
で確実に回転することが望まれるような場合には、本発
明は、そのシャフトを支持するベアリングの設計を行う
ＣＡＤシステムにも適用できる。

【００６８】

【発明の効果】本発明を用いることにより、多次元空間
内の任意の一点の周りの多変数関数の値の増減状況を一
つの平面図で視覚的に表現することができる。従って、
最適化計算結果の検証方式ならびに装置、対話型での資
源の最適配分方式のためのインタフェース等に利用する
ことができる。

【図面の簡単な説明】

【図１】本発明による多次元情報表示のための基本的な
処理ステップを示すフローチャートである。

【図２】本発明による一実施例の計算機構成を示すブロ
ック図である。

【図３】本発明による多次元情報表示のための円の分割
態様の説明図である。

【図４】本発明による多次元情報表示のための象限と扇
形との対応付けの説明図である。

【図５】本発明による多次元空間展開図の一例の説明図
である。

【図６】本発明による多次元空間展開図の象限と座標軸
との関係のモデル化の原理の説明図である。

【図７】本発明による多次元空間展開図の等高線を連続
とする象限の配列順序の決定方式の説明に供するグラフ
である。

【図８】本発明による多次元情報表示装置の構成例を示
すブロック図である。

【図９】本発明による多次元情報表示装置を最適化計算
結果の検証装置として用いる非線形最適化システムの構
成例を示すブロック図である。

【図１０】図１のフローチャート中の主要ステップの詳
細を示すフローチャートである。

【図１１】図１のフローチャート中の他の主要ステップ
の詳細を示すフローチャートである。

【図１２】図１１のフローチャートに続くフローチャー
トである。

【図１３】本発明による多次元空間展開図の他の例の説
明図である。

【図１４】本発明による多次元空間展開図の他の例の説
明図である。

【図１５】本発明による多次元空間展開図の他の例の説
明図である。

【図１６】本発明による多次元空間展開図の他の例の説
明図である。

【図１７】最適制御における問題点の説明図である。

【図１８】本発明の多次元表示装置を利用した製品生産
システムの構成を示すブロック図である。

【図１９】図１８のシステムの説明に供する多次元空間
展開図である。

【図２０】図１８のシステムの説明に供する他の多次元
空間展開図である。

【図２１】図１８のシステムの説明に供する他の多次元
空間展開図である。

【符号の説明】

１…出力装置、２…画像データ作成装置、３…出力部、
４…ＣＰＵ、５…ワーキングメモリ、６…記憶部、７…
入力部、８…入力装置。

Claims

【特許請求の範囲】

【請求項１】多変数関数の定義域として定まる多次元空
間内に存在する任意の一点の周囲の一つ以上の点におけ
る前記多変数関数の値を表示する方法であって、表示面
を複数の領域に分割し、該複数の領域を、前記多次元空
間内の前記一点を頂点とする複数の象限にそれぞれ対応
付け、前記一点の周囲にある象限上の点における前記多
変数関数の値を、該点に対応する前記領域上の一点の位
置に表示することを特徴とする多次元情報表示方法。
【請求項２】前記表示面は、一点から放射状に伸びる複
数の線で複数の領域に分割されることを特徴とする多次
元情報表示方法。
【請求項３】前記多変数関数の値の表示は、一定値きざ
みの関数値をとる点の位置に指標を表示することにより
行うことを特徴とする請求項１記載の多次元情報表示方
法。
【請求項４】前記指標は、関数値の増減方向を示すもの
であることを特徴とする請求項３記載の多次元情報表示
方法。
【請求項５】前記多変数関数の値の表示は、該値の大き
さに応じて表示色を変化させて行うことを特徴とする請
求項１記載の多次元情報表示方法。
【請求項６】前記領域と象限との対応付けは、前記多次
元空間内で同一の軸を共有する二つの象限に対応する二
つの領域同士が隣接するように行うことを特徴とする請
求項１記載の多次元情報表示方法。
【請求項７】前記領域と象限との対応付けは、オイラー
閉路を求めるアルゴリズムに基づいて行うことを特徴と
する請求項６記載の多次元情報表示方法。
【請求項８】多変数関数の定義域として定まる多次元空
間内に存在する任意の一点の周囲における前記多変数関
数の値の増減状況を表示する方法であって、前記任意の
一点を頂点とする各象限上における複数の点の関数値を
計算する第１のステップと、該第１のステップの計算結
果に基づき、前記各象限上における関数値の増減状況を
出力装置に表示する第２のステップとを備えたことを多
次元情報表示方法。
【請求項９】前記第２のステップでは、出力装置上に円
を描き、該円を中心点の周りに分割して扇形を生成し、
該生成した扇形上に当該象限上における関数値の増減状
況を表示することを特徴とする請求項８記載の多次元情
報表示方法。
【請求項１０】前記第２のステップでは、前記各象限上
における関数値の増減状況を等高線、表示色の変化、三
次元メッシュ図、鳥観図の少なくとも一つで表わすこと
を特徴とする請求項８または９記載の多次元情報表示方
法。
【請求項１１】請求項１から１０までのいずれかに記載
の多次元情報表示方法を用いて画像データを作成するた
めのプログラム、前記多変数関数の式、および前記多次
元空間内の任意の一点の座標を格納する記憶装置と、前
記プログラムを実行し、画像データを作成する中央処理
装置と、該作成された画像データに基づいて画像を表示
する画像出力装置とを備えたことを特徴とする多次元情
報表示装置。
【請求項１２】与えられた多変数関数の最適解を求める
非線形最適化計算装置と、該非線形最適化計算装置によ
り求められた解の周囲における前記多変数関数の増減状
況を表示する請求項１１記載の多次元情報表示装置と、
オペレータが表示範囲を決定するための情報を入力する
入力手段とを備え、オペレータが対話的に表示範囲を調
整して、前記求められた解が鞍点か否かおよび当該解の
近傍に別の解が存在するか否かを確認することを特徴と
する非線形最適化計算結果の検証装置。
【請求項１３】多次元空間内の一点の座標を指定するた
めの入力手段と、該入力手段により与えられた一点の周
囲の多変数関数の増減状況を表示する請求項１１記載の
多次元情報表示装置とを備え、オペレータが前記入力手
段を介して前記一点の座標を指定し、該座標を中心点と
する多次元空間表示を行い、オペレータがその結果を参
照して中心点の座標を変更し、最終的に所望の関数値を
与える座標を得ることを特徴とする多変数関数の最適化
装置。
【請求項１４】制御対象の制御変数を入力変数とする多
変数関数で表わす手段と、該多変数関数を最適化する請
求項１３記載の多変数関数の最適化装置と、最適化の結
果に基づいて制御を実行する手段とを備えることを特徴
とする最適制御装置。
【請求項１５】複数の資源の投入量に依存して出力量の
定まるシステムにおいて、前記複数の資源の投入量を入
力変数とする多変数関数で前記出力量を表わす手段と、
該多変数関数の値を最大化する請求項１３記載の多変数
関数の最適化装置と、最適化の結果に基づいて前記出力
量を最大とする前記資源の配分を出力する手段とを備え
たことを特徴とする資源の最適配分装置。
【請求項１６】ｎ次元（ｎは２以上の整数）空間内の任
意の一点を頂点とする４×ｎＣ２個の象限を表示面に展
開する方法であって、表示面を、一点から放射状に伸び
る４×ｎＣ２個の線で複数の領域に分割し、該複数の領
域をそれぞれ前記多次元空間内の任意の一点を頂点とす
る複数の象限に対応付け、かつ、該対応付けは、前記多
次元空間内で同一の軸を共有する二つの象限に対応する
二つの領域同士が隣接するように行うことを特徴とする
多次元象限展開方法。
【請求項１７】システムの制御パラメータを決定する制
御パラメータ決定装置であって、システムの入力パラメ
ータに基づいて制御パラメータを決定する制御パラメー
タ決定手段と、該制御パラメータの妥当性を検証する請
求項１１記載の多次元情報表示装置とを備えたことを特
徴とする制御パラメータ決定装置。
【請求項１８】前記制御パラメータ決定手段は、システ
ムの入力パラメータおよびシステムで検出されたフィー
ドバックパラメータに基づいて制御パラメータを決定す
ることを特徴とする請求項１７記載の制御パラメータ決
定装置。