JPH032931A - ファジィ推論演算方式 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】本公報は電子出願前の出願データであるた
め要約のデータは記録されません。

Description

【発明の詳細な説明】 〔発明の目的〕 （産業上の利用分野） 本発明は、ファジィ推論演算方式に関する。

（従来の技術） ファジィ推論は、各種制御の分野、人工知能の分野、意
志決定支援システムの分野など、多くの分野に４つたっ
てその応用が試みられ、その有効性が確認されている。

特に制御の分野で′は、ファジィ制御と称され、従来不
可能であった複雑なシステムの自動制御を可能にし、産
業上大きなインパクトを与えている。

これらの応用に於いて広く用いられるファジィ推論方式
は、前件部をＡｋ後件部をＢとする条件命題ＩＦ　　Ａ
　　ｔｈｅｎ　　Ｂに事実Ａ′を適合して、次式で示す
推論により、推論結果Ｂ′を得るものである。

条件命題：ＩＦ　　Ａ　　ｔｈｅｎ　　Ｂ事　　　　実
　：　Ａ′ 推論結果＝Ｂ′ ところで、ファジィ推論の演算においては、従来、対称
とするファジィ集合が実数または自然数等の空間上にあ
る場合、そのファジィ集合をメンバーシップ関数で定義
して行っていた。−ｂ−、ファジィ集合は、表現定理に
よればα−レベル集合の集合族によっても定義すること
が可能である。

α−レベル集合はファジィ集合の演算や関係式を計算す
る場合に非常に有効な表現形態である。

また、ファジィ推論処理システムをディジタル回路によ
り専用ハードウェアで実現する場合を考えると、ファジ
ィ集合を記憶するのに必要なメモリ容量や、ファジィ集
合を逐次修ｉＥする場へ等に要する時間においてもα−
レベル集合の集合族による表現は有効である。

以下、この点に関し、詳細を補足する。

まず、空間Ｕ上のファジィ集合Ａを定義するメンバーシ
ップ関数をμＡ　　（ｕ）とすると、Ａのα−レベル集
合Ａαは次式で定義される。

Ａα＝　（ｕ　ｌ　μＡ　　（Ｌｌ）≧α、ｕ６Ｕ）α
（（０，１，） 上式から明かなように、α−レベル集合はクリスプ集合
（非ファジィ集合）である。また、Ａが凸ファジィ集合
の場合は、Ａαは閉区間となる。

凸ファジィ集合とは、メンバーシップ関数μ（Ｕ）か次
式の条件を満足するファジィ集合をいう。

μ（λｕ＋（１−λ）ｕ）≧ ｒｎｉｎ（μ（λｕ）、μ（（１−λ）Ｕ））１≧λ≧
Ｏ 式（５）の条件を満たす関数を準凹関数という。

凸ファジィ集合の場合、α−レベル集合は閉区間となる
ため、ここでは次のように表現する。

Ａα！［ｕ　１　　、　　ｕ　、］ 上述した定義に基づいて、ファジィ推論処理システムを
ディジタル回路により専用ハードウェアで実現する場合
を考える。

メンバーシップ関数を基本に考えると、１Ｆ意のファジ
ィ集合を記憶するのに必要なメモリ容量は全空間の要素
数Ｎたけ必要となる。これは、全空間の要素毎にメンバ
ーシップ・グレードを記憶する必要があるからである。

ところが、α−レベル集合で表現すると、メンバーシッ
プ・グレードをＭレベルで表現する場合、２Ｍのメモリ
容量となる。すなわち、ここでは凸ファジィ集合を仮定
しているので、ａ−レベル集合は閉区間となり、その左
端と右端の２つの値を記憶すればよい。従って、すべて
のメンバーシップ・グレートにλＩするα−レベル集合
を記ｔαすることを考えると、メンバーシップ・グレー
ドのレベル数Ｍの２倍に相自するメモリ容量が必要にな
る。

以上のことから、メンバーシップ関数を記ｔαする場合
は、全空間の要素数を多くすると、それに比例して必要
なメモリ容量が増加する。これに対して、レベル集合を
記憶する方法では、全空間の要素数に無関係となり、メ
ンバーシップ・グレートのレベル数にのみ依ｒ７：する
。対象とするファジィ集合のダイナミックレンジを大き
く取るためにはレベル集合を記憶する方がａ利である。

すなわち、次式の条件を満たす場合は、レベル集合の集
合族でファジィ集合を記憶する方がメモリ容量は少なく
てもよい。

Ｎ＞＞２Ｍ メモリ容量が少ないことは、メモリ容量自体の問題のみ
ならず、ファジィ集合の逐次修ｉＥ等を行う場合に、修
１Ｌ時間の短縮につながる。

同様の議論は拡張原理によるファジィ集合間の演算を行
う場合についても行える。

α−レベル集合は、ファジィ集合の演算や関係式を計算
する場合に非常に有効な表現形態である。

拡張原理によるファジィ集合間の演算は、メンバーシッ
プ関数による定義では、全空間の各要素についてメンバ
ーシップ・グレードを求めてファジィ集合を記憶するメ
モリに書き込まなくてはならない。ファジィ集合の２項
演算では、全空間の要素数がＮの場合、Ｎ回のｍｉｎ演
算と対象とする２項演算、メモリへの書き込みが必要と
なる。α−レベル集合による定義では、α−レベル集合
に相当する閉区間の左端、右端を与える数値の演算とな
るため、ディジタル処理を行うのに都合がよい。

凸ファジィ集合の２項の演算では、メンバーシップ・グ
レードのレベル数がＭの場合、２〜１回の対象とする２
項の演算とメモリへの書き込みでよい。従って、拡張原
理によるファジィ推論の演算では、全空間の要素数が多
いほど、ファジィ集合はメンバーシップ関数による定義
よりもα−レベル集合による定義の方が有利である。

以上のことから、ファジィ推論エンジンをディジタル回
路によるハードウェアによって実現する場合、ファジィ
集合は、メンバーシップ関数により定義するよりも、α
−レベル集合により定義した方がよい。

（発明が解決しようとする課題） 従来、メンバーシップ関数をＲＯＭやＲＡＭに記憶し、
メンバーシップ・グレードを求めたい要素に相当するア
ドレスによりアクセスする形態で、所望のメンバーシッ
プ・グレードを得ていた。

そのため、ファジィ集合を定義する全空間の要素数か多
い場合には、その要素数に比例したアドレス空間が必要
となり、多くのメモリ容量を必要とするという問題があ
る。これは、メモリ容は自身の問題のみならず、ファジ
ィ集合を学習等により逐次修ｉ［する必要がある場合に
は、その処理時間の増大にもつながるという問題がある
。すなわち、全空間に対応するすべてのアドレスに格納
されているメンバーシップ・グレードをすべて書き直さ
なければならないのである。

そこで、本発明は、ファジィ集合を定義する全空間の要
素数が多くとも、少ないメモリ容はで、容易、迅速に処
理することができるファジィ推論演算方式を提供するこ
とを目的とする。

〔発明の１１ｖｔ成〕 （課題を解決するための手段） 上記目的を達成するための本発明は、条件命題の前件部
および後件部、事実、推論結果を規定するファジィ集合
をそれぞれＡｋＢ、Ａ’　　Ｂ’とし、ＡはＩ（個のフ
ァジィ集合Ａｋ　（Ｉｃ−１，２゜Ｋ）を論理積（ＡＮ
Ｄ）で結合したファジィ集合■Ａｋとし、事実Ａ′は に′個のファジィ集合Ａｋ’　　（ｋ−１，２・・・・
・Ｋ’　）を論理積（ＡＮＤ）で結合したファジィ集合
１’ｊＡｈ’　とするファジィ推論演算方式において、
前記条件命題の前件部のファジィ集合Ａを定義する全空
間をＵｋ、後件部のファジィ集合Ｂを定義する全空間を
Ｖとし、 前記事実のファジィ集合Ａｋ　のα−レベル集合と前記
条件命題の後件部のファジィ集合を定義する空間Ｖから
得られる直積Ａｋ′α・Ａ２’　α・・・・・Ａｋ　　
α・Ｖと、前記条件命題の前件部のファジィ集合ｎ　Ａ
　ｂ及び前記条件命題の後件部Ｂから得られるに＋１項
のファジィ関係Ｒのａ−レベル集合Ｒαとの論理積をと
り、 この論理積を前記空間Ｖ上に射影する事によって得られ
る集合が前記空間Ｕｋ上の要素に＆、ｌする推論結果の
α−レベル集合と等しくなるための要素ｕ’　＝　（ｕ
’、、ｕ’　２　、・・・・・・ｕｏ　）のファジィ集
合Ａに対するメンバーシップ・グレードα°を予め、 このα゜を与える全ての要素Ｕ′に対する推論結果のα
−レベル集合が後件部のファジィ集合Ｂのとのα−レベ
ル集合になるかをレベルαて与えるテーブルを用意し、 前記α゜をキーとして前記テーブルをひくことて１１ｔ
られるレベルα　から得られるＢのα′−レベル集合Ｂ
α′を推論結果のファジィ集合Ｂ′のａ−レベル集合Ｂ
′　αとすることを特徴とする。

（作用） 本発明のファジィ推論演算方式では、対象とするファジ
ィ集合がすべてα−レベル集合で規定でき、メンバーシ
ップ関数によりファジィ集合を規定する場合に比較して
、ファジィ集合を定義する全空間の要素数が多い場合で
も必要とするメモリ容量が少なくてよく、ファジィ集合
を学習などにより逐次修正する場合においても処理量が
少なくなる。

（実施例） 以下、図面を用いて本発明の詳細な説明する。

まず、ここで対象とするファジィ推論は、次の形式に従
う拡張ファジィ推論によるものであるとする。

条件命題：　ｌ　ｆ　［ｘｉｓＡｋ　ａｎｄ　ｘｌｓＡ
２ａｎｔ１　・−ａｎｄ　ｘ　ｉｓＡ＊　）　］　ｔｈ
ｅｎ　（ＹｉｓＢ）事　　　　実　：　　（ｘ　　ｉｓ
Ａｋ　　’　　）ａｎｄ（ｘ　　ｉｓＡ　２　’　　）
ａｎｄ−・・ａｎｄ（ｘ　ＩｓＡ　＊　　） 推論結果：Ｂ′ ここで、Ａｈ　、Ａｈ　　、Ｂ、Ｂ’は、いずれもファ
ジィ集合であり、ファジィ集合を定義する空間Ｕｋ、Ｖ
に対し以下の式で示されるものである。

また、前件部は、■Ａｋで与えられ、八をｍｉｎ演算と
して、次のように定義される。

推論結果Ｂ′は、ＡｋとＢから得られるに＋１項ファジ
ィ関関係表ｎ　Ａ　＊　’の合成演算によって求める。

ここでは、合成演算に１１ａｘ−１ｎ合成を用いる。こ
の場合、推論結果Ｂ′は次式で求めることができる。

・・・八ｕｈ、（Ｌｌｍ））八ｕ＋＋　　（ｕｂ　ｌｊ
２％＋・、　　ｌｊｍ　　；　ｕ）：ｌ’　／ｕ　　−
（３）上記のファジィ関係Ｒは次式で定義されるものに
Ｒ””’　　　μＡ＋（ｕ）　　△ＩＩ　Ａ２　（ｕ　
）　　Δμ＾ｔ（ｕ）　　△・・・△μＡｋ　（ｕ）　
　　　　・・・　（６）但し、Δはｍｉｎ演算を表す。

Ｒｔ）−μＡ＋（ｕ）＊　μ＾２（ｕ）＊　μ＾ｔ（１
７）＊・　＊　μＡ−（ｕ　）　　　　・・・　（７）
但し、＊は代数積を表す。

第１図は、本発明の実施例に係わるファジィ推論演算装
置の構成を示すブロック図である。

図示の通り、本例に示すファジィ推論演算装置は、入力
部１と、射影処理部２と、マツピングテーブル３と、Ｂ
α−メモリ４と、出力部５の直列回路で構成される。

射影処理部２ては、人力部１より人力される直ｖｉＡｋ
＋　’　ｃｒＸＡ２　（ＺＸＡｋ　　ａ×ａ　　　　−
ｘＡｈ’　α×Ｖとファジィ関係Ｒのα−レベル集合Ｒ
αの論理積をとり、空間Ｖ上に射影する事によって得ら
れる集合が空間Ｕｋ上の要素に対する推論結果のα−レ
ベル集合と等しくなるための要素０°−（ｕｏｌ　＋　
　ｕ　　２　＋　　　　”　ｕ　’　＠　）のファジィ
集合Ａに対するメンバーシップ・グレードαを求めるも
のである。

マツピング・テーブル３は、α゜を！ｊ、える要素Ｕ′
に対する推論結果のα−レベル集合が後件部のファジィ
集合Ｂのどのα−レベル集合になるかをレベルａて与え
るものである。

Ｂα−メモリ４は、α゜をキーとしてマツピング・テー
ブル３をひくことで得られるレベルα′から得られるＢ
α　を与える。このＢα′が推論結果のファジィ集合Ｂ
′のα−レベル集合Ｂ′　αとなる。

第２図はファジィ関係Ｒｓに対する処理の説明図、第３
図はファジィ関係Ｒｇに対する処理の説明図、第４図〜
第７図はファジィ関係Ｒｓ、Ｒｇ。

Ｒｃ、Ｒｐにそれぞれ対応する処理フローチャー１・で
ある。

まず、ファジィ関係Ｒｓを用いた場合の推論演算手法を
第１図、第２図及び第４図により示す。

射影処理部２では、ステップ４０１で次式によりα　を
求める。

ａ”　ｍｍ　ｉ　ｎ　［μＡｈ　（ｕｈ、’　）、μ＾
ｍ　（ｕｈ＋’　）］ここで、ｕ　＊＋”　ｕ　ｋ、′
　はそれぞれファジィ集合Ａｋ′のα−レベル集合を与
える閉区間の左端、右端である。

ステップ４０２で、マツピングテーブル３は、α゜≠０
を判別し、α゜≠０ならば、キーα　に対し自身を与え
るものとする。すなわち、ファジィ関係Ｒｓの場合は、
マツピングテーブル３からの出力はα゜となる。

従って、Ｂａ−メモリ４にはこのα゜が人力され、ステ
ップ４０３でＢａ０が出力される。このＢα°が推論結
果を与えるファジィ集合Ｂ′のα−レベル集合Ｂ′　α
となる。

ただし、ステップ４０２でα゜−０が判別された場合に
は、Ｂａ−メモリ４は空間Ｖを与えるものとする。Ｋ−
２の場合についてこの処理を図示すると第２図のように
なる。

第２図において（ａ）（ｂ）に示すファジィ集合のレベ
ル集合の左端及び右端が射影処理部２に与えられ、α゜
≠０のときこれら４個の端点のうち最小の値が採択され
、マツピングテーブル３を介してα゜またはＶがＢａ−
メモリ４に出力され、ここでＢ′α−Ｂａ０またはＢ′
α−φがｊすられることが示されている。

次に、ファジィ関係Ｒｇを用いた場合の推論演算手法を
第１図、第３図、第５図により示す。

射影処理部２ては、次式によりα　を求める。

ｔｌ　　：ｉｎ　ｔ　　ｎ　　［ｕ＾＊　（ｕ　、’　
　＞＋ｕＡ＊　（ｕ　ｋ、′）、αコステップ５０１で
マツピング・テーブル３は、ファジィ関係Ｒｓの場合と
同様、α。≠Ｏのときキーα　に対しα゜自身を与える
ものとする。従って、Ｂａ−メモリ４にはこのα゜が入
力され、Ｂａ０が出力される。ステップ５０３てこのＢ
ａ。

が推論結果を与えるファジィ集合Ｂ′のα−レベル集合
Ｂ′　αとなる。但し、αｏ−０の場合、Ｂａ−メモリ
４はこれをステップ５０２で判別してステップ５０４て
空間Ｖを与えるものとする。

第３図はに−２の場合についての処理を図示したもので
ある。図は（ａ）（ｂ）に示す複数のファジィ集合の各
端点及びａが射影処理部２に１ｊえられ、マツピングテ
ーブル３及びＢａ−メモリ４でｒｎ　ｉ　ｎ演算結果α
゜がα　≠０のとき、Ｂａ−Ｂａ、とされ、α゜−０の
ときＢａ　が空間■とされることを示している。

ファジィ関係Ｒｃを用いた場合の推論演算手法を第１図
、第６図に示す。

射影処理部２では、次式によりα°を求める（ステップ
６０１〜６０３）。

果が空集合φとなるか否か及びα、とαの大小関係によ
り、α゜を次式により求める（ステップ７０１〜７０５
）。

・・・　（８） マツピング・テーブル３は次式に従う（ステ１１式％） 上式で与えられるα′により、α　をレベルとするＢの
α′−レベル集合Ｂα′を、推論結果を与えるファジィ
集合Ｂ′のα−レベル集合Ｂ′αとする（ステップ６０
８〜６１０）　ただし、α′がφの場合は、空集合φを
Ｂ′αとする。

最後に、ファジィ関係Ｒｐを用いた場合の推論演算手法
を第７図に示す。

Ａのレベルα、　ｗｍ　ｌに対するα、−レベル集合Ａ
α、とＡ′のレベルα１−１に対するα１−レベル集合
Ａ′α、の論理積Ａα１　ｎＡ’　（Ｚｌの結αユくα
　の場合 ・・・（１０） たたし、ここで、 ａｌ、、−ｔｎａ　　ｘ　　［μ＾　（ｕｈｊ’　　）
、μ＾　（ｕｈ、′　）］・・・　（１１） とする。マツピング拳テーブルは次式に従う（ス％式％
） 上式で′ｉえられるα′により、α′をレベルとするＢ
のα′−レベル集合Ｂα　を、推論結果を５えるファジ
ィ集合Ｂ′のα−レベル集合Ｂ′αとする。但し、α　
がφの場合は、空集合φをＢ′ａとする。

以上説明したように、本例では、ファジィ集合を定義す
る全空間の要素数が多い場合でも必要と３るメモリ容量
が少なくて良く、ファジィ集合を学習などにより逐次修
正する場合に於いても処理量が少なくなる。また、拡張
原理によるファジィ集合間の演算は、レベル集合による
ファジィ集合の定義により非常に容易になり演算速度が
向上する。そのため、ファジィ推論エンジンに拡張原理
による演算を導入する場合において、ファジィ集合の表
現形態が統一され全体の処理効率が向上する。

更に、本手法ではα−レベル集合毎に独立して推論ＫＷ
が可能であるため、必要なメンバーシップ・グレードに
対する推論結果を得ることが可能である。

本発明は上記実施例に限定されるものではなく、本発明
の要旨を逸脱しない範囲で任意に変形して実施できる。

〔発明の効果〕

以上の通り、本発明は特許請求の範囲に記載の通りのフ
ァジィ推論演算方式であるので、ファジィ集合を定義す
る全空間の要素数が多くとも、少ないメモリ容量で、容
易、迅速に処理することができる。

【図面の簡単な説明】

第１図は本発明の一実施例に係るファジィ推論装置を示
すブロック図、第２図及び第３図はファジィ関係Ｒｓ及
びＲｇの処理方式を示す説明図、第４図〜第７図はファ
ジィ関係Ｒｓ、Ｒｇ、Ｒｃ。 Ｒｐの推論手順を示すフローチャートである。 １・・・人力部 ２・・・射影処理部 ３・・・マツピングテーブル ４・・・Ｂα−メモリ ５・・・出力部

Claims (5)

【特許請求の範囲】
1. （１）条件命題の前件部および後件部、事実、推論結果
   を規定するファジィ集合をそれぞれＡ、Ｂ、Ａ′、Ｂ′
   とし、ＡはＫ個のファジィ集合Ａ＿ｋ（ｋ＝１、２、・
   ・・・・・Ｋ）を論理積（ＡＮＤ）で結合したファジィ
   集合■Ａ＿ｋとし、事実Ａ′はＫ′個のファジィ集合Ａ
   ＿ｋ′（ｋ＝１、２、・・・・・・Ｋ′）を論理積（Ａ
   ＮＤ）で結合したファジィ集合■Ａ＿ｋ′とするファジ
   ィ推論演算方式において、前記条件命題の前件部のファ
   ジィ集合Ａを定義する全空間をＵ＿ｋ、後件部のファジ
   ィ集合Ｂを定義する全空間をＶとし、 前記事実のファジィ集合Ａ＿ｋ′のα−レベル集合と前
   記条件命題の後件部のファジィ集合を定義する空間Ｖか
   ら得られる直積Ａ＿１′α×Ａ＿２′α×・・・×Ａ＿
   ｋ′α×Ｖと、前記条件命題の前件部のファジィ集合■
   Ａ＿ｋ及び前記条件命題の後件部Ｂから得られるＫ＋１
   項のファジィ関係Ｒのα−レベル集合Ｒαとの論理積を
   とり、 この論理積を前記空間Ｖ上に射影する事によって得られ
   る集合が前記空間Ｕ＿ｋ上の要素に対する推論結果のα
   −レベル集合と等しくなるための要素ｕ゜＝（ｕ゜＿１
   、ｕ゜＿２、・・・ｕ゜＿ｋ）のファジィ集合Ａに対す
   るメンバーシップ・グレードα゜を求め、 このα゜を与える全ての要素ｕ′に対する推論結果のα
   −レベル集合が後件部のファジィ集合Ｂのどのα−レベ
   ル集合になるかをレベルαで与えるテーブルを用意し、 前記α゜をキーとして前記テーブルをひくことで得られ
   るレベルα′から得られるＢのａ′−レベル集合Ｂα′
   を推論結果のファジィ集合Ｂ′のα−レベル集合Ｂ′α
   とすることを特徴とするファジィ推論演算方式。
2. （２）請求項１に記載のファジィ推論演算方式において
   、前記ファジィ集合Ａ＿ｋ、Ａ＿ｋ′のメンバシップ関
   数をそれぞれμ＿Ａ＿＿ｋ（ｕ）、μ＿Ａ＿ｋ′（ｕ）
   とし、Ａ＿ｋ′のα−レベル集合を与える閉区間の左端
   右端をそれぞれｕ■、ｕ■とするとき、前記α゜を、 α゜＝ｍ■ｎ［μ＿Ａ＿ｋ（ｕ■）、μ＿Ａ＿ｋ（Ｕ■
   ）］によって求め、前記テーブルはα゜に対しα゜自身
   を与えるものとし、このテーブルをα゜をキーとして引
   くことで得られるα′が０でない場合はα′をレベルと
   するＢのα′−レベル集合Ｂα′を、推論結果を与える
   ファジィ集合Ｂ′のα−レベル集合Ｂ′αとし、α′が
   ０の場合は、空間Ｖ全体をＢ′αとすることを特徴とす
   るファジィ推論演算方式。
3. （３）請求項１に記載のファジィ推論演算方式に於いて
   、前記ファジィ集合Ａ＿ｋ、Ａ＿ｋ′のメンバシップ関
   数をそれぞれμ＿Ａ（ｕ）、μ＿Ａ＿ｋ′（ｕ）とし、
   ファジィ集合Ａ＿ｎ′のα−レベル集合を与える閉区間
   の左端右端をそれぞれｕ■、ｕ■とするとき、前記α゜
   を、 α゜＝ｍ■ｎ［μ＿Ａ＿ｋ（ｕ■）、μ＿Ａ＿ｋ（μ■
   ）、α］によって求め、前記テーブルはα゜に対しα゜
   自身を与えるものとし、このテーブルをα゜をキーとし
   て引くことで得られるα′が０でない場合はα′をレベ
   ルとするＢのα′−レベル集合Ｂα′を、推論結果を与
   えるファジィ集合Ｂ′のα−レベル集合Ｂ′αとし、α
   ′が０の場合は、空間Ｖ全体をＢ′αとすることを特徴
   とするファジィ推論演算方式。
4. （４）請求項１に記載のファジィ推論演算方式において
   、Ａのα−レベル集合ＡαとＡ’のα−レベル集合Ａ′
   αの論理積Ａα■Ａ′αの結果が空集合φとなるか否か
   により、前記α゜を、α゜＝〔α、Ａα∩Ａ′α≠φの
   場合 〔φ、Ａα∩Ａ′α＝φの場合とし、前記テーブルはこ
   のα゜により、 α′＝〔α、α≦α゜の場合〔φ、α＞α゜またはα゜
   ＝φの場合で、与えられるα′を与えるものとし、α′
   が０でない場合はα′をレベルとするＢのα′−レベル
   集合Ｂα′を、推論結果を与えるファジィ集合Ｂ′のα
   −レベル集合Ｂ′αとし、α′がφの場合は、空集合φ
   をＢ′αとすることを特徴とするファジィ推論演算方式
   。
5. （５）請求項１に記載のファジィ推論演算方式において
   、 α＿ｍ＝ｍａｘ［μ＿Ａ（ｕ■）、μ＿Ａ（ｕ■）］と
   したとき、 Ａのレベルα＿１＝１に対するα＿１−レベル集合Ａα
   ＿１とＡ′のレベルα＿１＝１に対するα＿１−レベル
   集合Ａ′α＿１の論理積Ａα＿１∩Ａ′α＿１の結果が
   空集合φとなるか否か及びα＿ｍとαの大小関係により
   、前記α゜を、 α゜＝〔１、Ａα＿１∩Ａ′α＿１≠φの場合〔ａ＿ｍ
   、Ａα＿１∩Ａ′α＿１＝φかつα＿ｍ≧αの場合 〔φ、Ａα＿１∩Ａ′α＿１＝φかつα＿ｍ＜αの場合
   とし、前記テーブルはこのα゜により、 α′＝〔α／α゜、α／α゜≦１の場合〔φ、α／α゜
   ＞１またはα゜＝φの場合で与えられるα′を与えるも
   のとし、α′がφでない場合はα′をレベルとするＢの
   α′−レベル集合Ｂα′を、推論結果を与えるファジィ
   集合Ｂ′のα−レベル集合Ｂ′αとし、α′がφの場合
   は、空集合φをＢ′αとすることを特徴とするファジィ
   推論演算方式。