JP5878977B2 - 剛体の慣性特性を求めるためのシステム及び方法 - Google Patents

Description

本発明は、剛体特性とも呼ばれる剛体の慣性特性ｒ_S＝｛ｍ，ζ_G，θ｝、特に、慣性テンソルθ（慣性モーメント）、質量ｍ及び／又は質量中心（重心）位置ζ_Gを求めるためのシステム、ならびに剛体の上記特性を求めるための方法に関するものである。

このような剛体特性は、様々なタイプの機械の力学的挙動を予測し、最適化するのに不可欠である。例として、車両の転覆限界の予測、最適なマウントによるエンジン振動の低減、さらには、ロボットマニピュレータ、航空機、衛星のための最適駆動制御システムの設計が含まれる。

そこで、本発明の根底にある課題は、簡単かつコスト効率良く、正確に、慣性特性を求めることを可能にする、上記タイプのシステム及び方法を提供することである。

本方法は、請求項１の特徴を備えるシステムによって解決される。

これによれば、本発明に係るシステムは、キャリアであって、剛体が、該剛体の６自由度に沿った動きを実行することができる（また、より少ない自由度数に動きを制限することも可能である）ように、該キャリアから剛体を懸下するように構成されて設けられたキャリアと、剛体の考慮される自由度に沿った剛体の動きを検出するための出力信号を供給する少なくとも６つのセンサ（又は、剛体の自由度数に対応する数のセンサ）と、センサと協働する測定装置であって、上記出力信号によって剛体の上記動きを測定するように構成された測定装置と、測定装置と協働する解析手段であって、上記動きから、より厳密には出力信号から、慣性特性を自動的に算出するように構成された解析手段と、を備える。

特に、測定装置は、センサによって供給される出力信号に対応する上記動きの値を記憶して、最終的に表示する。測定装置は、特にコンピュータメモリにロードされた適当なソフトウェアを実行するコンピュータによって構成することができ、これは、センサに接続するための、すなわちソフトウェアによるセンサ出力信号の読み出し、適切な割り当て、更なる処理を可能とするための、インタフェースを備える。

また、同様に、解析手段も、上記コンピュータと、該コンピュータ上で実行される対応するソフトウェアとにより構成することができ、そのソフトウェアは、剛体の上記動き（運動）を測定するために用いることもできる。

好ましくは、剛体が例えばいずれかの方向に押されることで励振により動かされた結果、剛体の６自由度（又は、より少数の自由度）に沿った（自由）振動が得られるように、弾性要素、又は復元力を与えるための要素が、剛体を懸下するように構成されて設けられる。

これに関して、測定装置は、好ましくは、（６自由度について考慮する場合）慣性特性を求めるべき剛体の３つの直交軸に沿った並進と、これらの軸に関する回転に対応する、時間の関数としてのセンサ出力信号を、上記動きとして測定するように構成される。好ましくは、考慮される時間は、複数の離散時点ｔ_kに離散化される。

好ましい実施形態では、解析手段は、上記測定された出力信号

を以下の形の関数に当てはめるように構成されて設けられる。

これは、懸下されて振動する剛体の測定された動き（センサ出力）

の理論モデルに相当する。ここで、和は、剛体運動に相当する。（留意すべきことは、６未満の自由度を考慮する場合は、それに応じて上記の式は変更されるということであり、すなわち、ｊ＝１から、考慮されるそれぞれの自由度数までの加算が実行される。）

上記の式において、Ａ_l（ｌはセンサを示す）は、特に、（センサ出力、すなわちセンサの出力信号に対応する）時間ステップｔ_kで測定された出力信号

に、剛体運動を関連付ける定数の行列である。

また、特に、ω_jは、６つ（ｊ＝１，．．．，６）の自然周波数（固有振動数）を表し、ζ_jは、特にｊ次の剛体モードの減衰比を表す。最後に、ａ_2j-1とａ_2jは、特に、所与のモードｊの振幅と位相を表す。

剛体の慣性特性を求めるため、解析手段は、好ましくは、

に関して、以下の形の式を最小化するように構成されて設けられる。

すなわち、上記式を最小化するように、ｒ_S、ａ_j、及びζ_jを変化させる。適切な最小値に達すると、ｒ_Sは、懸下された剛体の実際の慣性特性に等しくなる。ここで、Ｎ_lは、センサの数であり、Ｎ_kは、考慮される（測定される）時間ステップｔ_kの数である。

好ましくは、解析手段は、非線形最小二乗法により上記最小化を実行するように、特に構成される。

本発明に係るシステムは、好ましくは、キャリアから剛体を懸下させるように構成された弾性要素を備え、この場合、剛体は、それらの弾性要素を介してキャリアから懸下される。好ましくは、弾性要素のそれぞれは、関連付けられた伸張方向に沿って長手方向に伸張する。

特に、これらの弾性要素は、（サスペンション）ワイヤ、又は（コイル）バネ、又はそれらの組み合わせとして、例えば長手方向に（直線的に）伸張するワイヤの形態で２つの自由端部を接続するコイルバネで、構成される。

剛体を懸下するために、１つ、２つ、３つ、４つ、５つ、６つ、７つ、又は８つ、又は更に多くの弾性要素を用いることが可能である。

本発明の更なる実施形態において、システムは、プラットフォーム又は同様の要素を備え、これは、その慣性特性を求めるべき剛体を支持するように構成されて設けられる。この場合、上記弾性要素によって、剛体が載置されたプラットフォームにキャリアを接続し、すなわち、剛体は、プラットフォームと弾性要素とを介してキャリアから懸下される。

懸下された剛体の上記励振された動きを測定するため、上記センサは、プラットフォーム又はキャリア又は剛体自体に直接取り付けることができる。あるいは、各センサを弾性要素の一部として構成することが可能であり、これによって、センサは、それぞれの弾性要素の一部分を介して、キャリア及び（存在する場合の）プラットフォームにそれぞれ取り付けられる。

本発明の更なる実施形態において、（サポート又は支持フレームとも呼ばれる）キャリアは、基本的に六面体フレームワークとして構成される。

更に、本発明に係る課題は、剛体の上記慣性特性（剛体特性）を求めるための、請求項１０の特徴を有する方法によっても解決され、その場合、好ましくは、該方法を実施するために、本発明に係るシステムが用いられる。

本発明に係る方法は、キャリアから剛体を懸下するステップと、剛体の６自由度（又は、上記を参照して、より少数の自由度）に沿った動きを剛体に強制的に実行させるステップと、剛体の上記動きを自動的に、すなわち、特に、センサを含むか又はセンサと協働するある種の測定装置（上記を参照）によって測定するステップと、上記動き（出力信号）から上記剛体特性を自動的に、すなわち、特に、ある種の解析装置（上記を参照）によって算出するステップと、を含み、この場合、特に剛体は、励振されて自由振動の形で動き（運動）を実行するように懸下され、また、特に上記動きを測定することは、６自由度について考慮する場合、３つの直交軸に沿った剛体の並進と、これらの軸に関する剛体の回転に対応する、時間の関数として（特に離散化された時間ｔ_kの関数として）のセンサ出力信号を測定することに相当する。

好ましくは、上記測定された動き（出力信号）

を、以下の形の関数に当てはめる。

これは、（測定装置によって測定される）センサ出力信号をモデル化しており、この場合、上記剛体特性は、

に関して、以下の形の式を（自動的に）最小化することで、（自動的に）算出される。

このとき、上記最小化は、非線形最小二乗法により、特に（自動的に）実行される。ここで、Ｎ_lは、センサの数であり、Ｎ_kは、考慮される（測定される）時間ステップｔ_kの数である。

効果的には、考慮される剛体の慣性特性を求めるために、懸下されて振動する剛体の上記動きを測定することに以外に、単に以下のパラメータを使用するのみであることが好ましい。

これらのパラメータが、所与のシステム（キャリア及び懸下されたプラットフォーム）で、すべての測定において一定のままであることは、優れた効果である。

本発明の更なる効果ならびに実施形態の詳細については、図面を参照して以下で説明するものとする。

本発明に係るシステムの概略斜視図を示している。 直接懸下された剛体を示している。 剛体を支持するプラットフォームを介して懸下された剛体を示している。 それに取り付けられたセンサを備えるプラットフォームを示している。 図４によるシステムの変形例を示しており、この場合、センサは、キャリアに取り付けられている。 図４によるシステムの更なる変形例を示しており、この場合、センサは、剛体を懸下するために用いられる弾性要素の一部をなしている。

図１は、図２〜６と共に、以下のように定義される機械構造（剛体２）の剛体特性（慣性特性）を求める（推定する）ように構成されて設けられたシステム１を示している。

ここで、ｍは質量であり、ζ_Gは重心位置であり、θは重心回りの慣性テンソルである。

これら１０個のパラメータによって、構造の（剛体の）剛体力学的挙動の完全なモデルが定義される。

剛体２の慣性特性を求めるため、ワイヤの形の弾性要素ｐで、剛体を直接（図２を参照）、又は剛体２のサポートとして機能する矩形プラットフォーム３０を介して（図３を参照）、懸下させる。サスペンションワイヤｐの数及び配置は、自由に選択することが可能である。好ましくは、構造（剛体）２が６つの剛体モードシェイプＸ_jを有する（すなわち、試験対象物（剛体）の弾性変形がない）ことを確保するため、ワイヤ剛性ｋ_pは低くあるべきである。さらに、ワイヤ剛性ｋ_pは、一定である（力と変位の関係が直線的である）ように選択されることが好ましく、また、減衰が小さくなければならない。軟質金属コイルバネと若干硬質のワイヤとの組み合わせは、これらの要件を満たす１つの方法である。

図１によると、剛体２は、（キャリアが意図されたように配置されているキャリアの状態に関して）垂直方向に延在する４つの脚部１１２によって下側矩形フレーム１２に接続された上側矩形フレーム１１を有する六面体フレームワークの形のキャリア１０から懸下されており、各脚部１１２は、下側フレーム１２の隅角部を、関連付けられた上側フレーム１１の相対する隅角部に接続している。

剛体２を懸下するため、剛体２を支持するプラットフォーム３０が設けられて、該プラットフォーム３０は、８つの弾性要素ｐによってキャリア１０から懸下されており、８つの弾性要素ｐの各々は、自由端で上側フレームに固定され、反対の自由端でプラットフォーム３０のエッジ３１に固定されて、これにより、同じエッジ３１に接続された弾性要素は、好ましくは互いに平行に延びている。

試験対象物（剛体）２を懸下した後に、例えば構造２を任意の方向に押すことにより、好ましくは６つの剛体モードｊの自由振動をランダムに開始させる。その結果として得られる自由振動の最中に、剛体２の運動（動き）を、６つの剛体自由度（ＤＯＦ：Ｄｅｇｒｅｅ Ｏｆ Ｆｒｅｅｄｏｍ）の各々に関して（又は、より少数の自由度に関して）、センサ１００とそれらに接続された測定装置１１０とによって測定する。図１では、６つのすべてのセンサ１００を、上側フレーム１１の１つの弾性要素に四角で表示している（留意すべきことは、図１ではワイヤ（弾性要素）ｐは８つであるが、センサ１００は６つのみであることである）。

可能なセンサ配置を図４〜６に示している。測定装置１１０は、測定された動き（出力信号）を、目的の慣性特性ｒ_S（式（１）を参照）を算出する解析手段２０に渡す。測定装置１１０と解析手段２０はどちらも、コンピュータ１３０で構成することができ、そこで、上記動きを測定して剛体特性ｒ_Sを算出するための適当なソフトウェアが実行される。

剛体特性ｒ_Sを求めるためには、剛体２の運動（自由振動）に加えて、特に、以下のパラメータのみが既知であればよい。

留意すべきことは、これらのパラメータはいずれも、図１に示すタイプのシステム１の存続期間を通して変化しないということである。

ここで、微小変位とごくわずかな減衰の影響を想定すると、懸下された剛体２の運動は、以下のように定義される。

式中、δｘは、基準点の変位（３×１ベクトル）であり、δθは、座標軸に関する回転（３×１ベクトル）であり、ｆは、並進力（３×１ベクトル）であり、ｔは、力のモーメント（３×１ベクトル）であり、Ｍは、質量行列（６×６行列）であり、Ｋは剛性行列（６×６行列）である。

留意すべきことは、変位振幅が大きい場合には、式（３）の代わりに、剛体運動の完全非線形方程式を用いることができるということである。この場合、以下で提示する調和アプローチと同等の方法を導出するために、それらの方程式の数値積分を行うことができる。

質量行列Ｍとサスペンションの剛性行列Ｋはどちらも、未知の剛体特性ｒ_Sの関数である。ここで、剛体２の質量行列Ｍは、以下のように定義される。

式（４）中で用いられる表記［］_×は、外積を行列ベクトル積ａ×ｂ＝［ａ］_×ｂに変換する。ただし、

プラットフォーム３０が使用される場合には、全体の質量行列Ｍは、試験対象物２の未知の剛体特性ｒ_Sと、プラットフォームの既知の剛体特性ｒ_Pとで構成される。

剛性行列Ｋは、未知の全体の質量と重心とに依存する。

ここで、Ｒ（θ）は回転変換行列である。

式（１２）において、Ｖ_e,pは、所与の弾性要素（ワイヤ）ｐに蓄えられる弾性エネルギーを表す。

ただし、

式（１２）を最小化することによって静的平衡位置を求めたら、次のように剛性行列Ｋが得られる。

ここで、

式（１６）により定義される剛性行列Ｋは、重力による予圧によって生じるあらゆる幾何学的剛性の影響を考慮している点で特別である。

緩く懸下された剛体２は、常に６つの異なるモードシェイプＸ_jと６つの固有振動数ω_jで自由振動する。モードシェイプＸ_jと固有振動数ω_jは、以下の固有値問題を解くことにより得ることができる。（留意すべきことは、中程度の粘性減衰はモードシェイプに影響を与えず、固有振動数にごくわずかに影響を及ぼすのみであるということである。従って、この段階では減衰を考慮する必要はない。）

モードシェイプＸ_jは、例えば以下のように、一貫した方法で正規化されなければならない。

次のステップでは、式（１９）から得られたモードシェイプＸ_jを、所与のセンサ１００によって得られる対応する出力ｓ_lに変換する。以下では、この変換を、図４〜６による３つの異なるタイプのセンサ１００の場合について記載する。留意すべきことは、それぞれの場合において、剛体が６自由度に沿って振動するときには、少なくともＮ_l＝６個のセンサを使用する必要があるということである（好ましくは、センサは、自由度と同数でなければならない）。図４によると、加速度計の形態のセンサ１００が、プラットフォーム３０上又は剛体２自体の上の様々な点に設けられる。加速度計１００の向きが単位ベクトルｎ_lによって定義され、その物体固定座標での位置がζ_lで与えられる場合（図２及び３を参照）、測定加速度ｓ_l ⁽¹⁾と剛体モードの運動（動き）（δｘ，δθ）との間の関係は、以下のようになる。

加速度計１００は、その測定（計測）装置１１０（コンピュータ１３０）へのケーブル接続５０の剛性と慣性の影響によって測定結果が歪み得るという欠点がある。

図５による第２の可能性は、弾性ワイヤｐのうちの少なくとも６つとキャリア１０との間に配置された力センサ１００を用いることである。

行列Ｒ（θ）、Ｊ_l（０）、及びＴ_lは、剛性行列Ｋを計算する一環として既に得られたものである。

図５に従って空間固定による力センサ１００を用いることによって、システムの可動部へのケーブル接続が不要となる。

図６による第３の可能性は、いくつかの力センサ１００を弾性要素（サスペンションワイヤ）ｐの上部に組み込むことである。この場合、剛体の動き（δｘ，δθ）に応じたセンサ出力ｓ_l ⁽³⁾は、以下の関係によって定義される。

加速度計の形態のセンサに比べて、この種の力センサ１００の動作振幅は小さく、ケーブル５０によって生じる歪みが最小限となる。弾性要素（サスペンションワイヤ）ｐの一部である力センサ１００は、加速度計１００（図４）及び空間固定による力センサ１００（図５）のいずれとも異なり、常に同じ方向に負荷がかかるので、その結果、交差感度に起因する誤差を回避することができる。

所与のセンサ１００によって測定される自由振動信号は、以下のように定義される。

ここで、ζ_jは、ｊ次の剛体モードの減衰比である。係数ａ_2j-1とａ_2jは、所与のモードの振幅と位相を規定し、これらは、ランダムな初期励振に依存する唯一のパラメータである。

式（２６）は、剛体２の理論的な振動信号を定義している。剛体特性ｒ_Sを特定するため、この式を、測定された時間領域信号

に当てはめることができる。その結果としての最適化問題は、以下のように定義される。

留意すべきことは、モード減衰比ζ_j及びスケーリング係数ａ_2j-1とａ_2jは、実験者がこれらのパラメータに関心がないとしても、剛体特性と同時に特定されなければならないということである。

最適化問題の式（２７）は、従来の非線形最小二乗ルーチン（例えば、ガウス‐ニュートン・アルゴリズム又はレーベンバーグ‐マーカート・アルゴリズム）を用いて解くことができる。

上記で概説した本発明による方法の過程における計算はすべて、解析手段２０によって、すなわち、特にコンピュータ１３０と、そのコンピュータ１３０により実行されるソフトウェアとによって、実施されることが好ましい。

Claims (12)

1. 剛体の慣性特性、特に、慣性テンソル、質量、及び質量中心位置を決定するための剛体慣性特性決定システムであって、
   剛体（２）が該剛体（２）の６自由度に沿った自由振動をできるように該剛体（２）を懸下するように構成されたキャリア（１０）と、
   前記６自由度に沿った前記剛体（２）の前記自由振動を検出するための出力信号を出力する剛体（２）の自由度数たる６と同数の６つのセンサ（１００）と、
   前記６つのセンサ（１００）と協働し、前記出力信号
   

   

   を通じて、前記剛体（２）の前記自由振動を測定する測定装置（１１０）と、
   前記出力信号
   

   

   から、前記剛体（２）の前記慣性特性（ｒ_S）を決定する解析手段（２０）と、
   を備えたことを特徴とする剛体慣性特性決定システム。
2. 前記測定装置（１１０）は、３つの直交軸に沿った前記剛体（２）の並進と、当該３つの直交軸の周りの回転と、に対応する時間（ｔ_k）の関数としての出力信号
   

   

   を測定することを特徴とする請求項１に記載の剛体慣性特性決定システム。
3. 前記解析手段（２０）は、前記測定された出力信号
   

   

   を、関数
   

   

   に当てはめることを特徴とする請求項１又は２に記載の剛体慣性特性決定システム。
4. 前記解析手段（２０）は、
   

   

   に関して、式
   

   

   を最小化することにより、非線形最小二乗法によって前記慣性特性（ｒ_S）を決定することを特徴とする請求項３に記載の剛体慣性特性決定システム。
5. 前記キャリア（１０）から前記剛体（２）を懸下するように構成された弾性要素（ｐ）をさらに備え、
   前記剛体（２）は前記キャリア（１０）から前記弾性要素（ｐ）を介して懸下され、当該弾性要素（ｐ）は、特にワイヤ及び／又はバネとして構成されて、当該弾性要素（ｐ）は、特に１個、２個、３個、４個、５個、６個、７個、又は８個が設けられている
   ことを特徴とする請求項１ないし４のいずれか１つに記載の剛体慣性特性決定システム。
6. 前記剛体（２）を懸下するように構成されたプラットフォーム（３０）をさらに備え、
   前記キャリア（１０）から前記剛体（２）を懸下するため、前記プラットフォーム（３０）は当該キャリア（１０）から前記弾性要素（ｐ）を介して懸下されている
   ことを特徴とする請求項５に記載の剛体慣性特性決定システム。
7. 前記６つのセンサ（１００）は、前記プラットフォーム（３０）の上に配置されているか、前記キャリア（１０）の上に配置されているか、又は該当する弾性要素（ｐ）の一部をなしているか、のいずれかであることを特徴とする請求項１ないし６のいずれか１つに記載の剛体慣性特性決定システム。
8. 前記キャリア（１０）は、六面体フレームワークとして構成されていることを特徴とする請求項１ないし７のいずれか１つに記載の剛体慣性特性決定システム。
9. 剛体の慣性特性、特に、慣性テンソル、質量、及び質量中心位置を決定するための方法であって、特に、該方法を実施するために請求項１ないし８のいずれか１つに記載の剛体慣性特性決定システムが用いられ、該方法は、
   キャリア（１０）から前記剛体（２）を懸下するステップと、
   前記剛体（２）に、該剛体（２）の６自由度に沿った自由振動を実行させるステップと、
   前記剛体（２）の前記自由振動に対応する出力信号
   

   

   を自動的に測定するステップと、
   前記自由振動
   

   

   から前記慣性特性（ｒ_S）を自動的に決定するステップと、
   を備え、
   前記出力信号
   

   

   は、時間（ｔ_k）の関数として、３つの直交軸に沿った前記剛体（２）の並進と、当該３つの直交軸の周りの前記剛体（２）の回転と、にそれぞれ対応している
   ことを特徴とする方法。
10. 前記測定された出力信号
    

    

    を、関数
    

    

    に自動的に当てはめることを特徴とする請求項９に記載の方法。
11. 

    に関して、式
    

    

    を最小化することにより、非線形最小二乗法によって前記慣性特性を自動的に決定することを特徴とする請求項１０に記載の方法。
12. 前記剛体の前記慣性特性を決定するために、前記測定された出力信号
    

    

    以外に、以下のパラメータ
    

    

    を使用するのみであることを特徴とする請求項１０又は１１に記載の方法。

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