JP5528848B2 - 故障耐性のある楕円曲線上の計算 - Google Patents
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Description
1.(小さな)ランダム整数rに対して、y′=xd mod rNを計算する
2.z=xd mod rを計算する
3.y′≡z (mod r)であるかどうかを検査し、
・もしそうであれば、y=y′ mod Nを出力し、
・もしそうでなければ、「エラー」を返す。
1.(小さな)ランダム整数rに対して、X=CRT(x(mod N),1+r(mod r2))を形成する
2.y′=Xd mod r2Nを計算する
3.y′≡1+dr (mod r2)であるかどうかを検査し、
・もしそうであれば、y=y′ mod Nを出力し、
・もしそうでなければ、「エラー」を返す。
を環とし、
[外2]
をR上で定義された楕円曲線
[外3]
上での有理点の集合を表すものとする。r2を法として整数の環Z/r2Z上で定義された楕円曲線を考えると、
[外4]
をE(Z/rZ)上での恒等元を表すとして、部分集合が
1.rを(小さな)整数として、中国剰余法によって与えられる楕円曲線E^(Z/pr2Z)≡E(Z/pZ)×E(Z/r2Z)を考える(110)。
2.E^(Z/pr2Z)における点P^=CRT(P(mod p),R(mod r2))を形成する(120)。つまり、
a.P^はE(Z/pZ)においてPに帰着し、
b.P^はE1(Z/r2Z)においてRに帰着する、
ような点P^である。
3.E^(Z/pr2Z)においてQ^=kP^を計算する(130)。
4.E1(Z/r2Z)においてQ^≡kR(mod r2)かどうかを検査し(140)、
・もしそうであれば、Q=Q^ mod pを出力し、
・もしそうでなければ、「エラー」を返す。
120 P^がE(Z/pZ)においてPに帰着し、E1(Z/r2Z)においてRに帰着するよう、E^(Z/pr2Z)における点P^=CRT(P(mod p),R(mod r2))を形成
130 E^(Z/pr2Z)においてQ^=kP^を計算
140 E1(Z/r2Z)においてQ^≡kR(mod r2)かどうかを検査し、もしそうであればQ=Q^ mod pを出力
200 装置
210 インターフェース・ユニット
220 プロセッサ
230 メモリ
240 コンピュータ・プログラム・プロダクト
Claims (10)
- 故障利用攻撃に対する防御のための、第一の楕円曲線E(Z/pZ)上での暗号演算の正しさを検査する方法であって、プロセッサにおける:
・rを整数として、前記第一の楕円曲線E(Z/pZ)およびある第二の楕円曲線E(Z/r2Z)から中国剰余法によって与えられる第三の楕円曲線E^(Z/pr2Z)≡E(Z/pZ)×E(Z/r2Z)を、得る手段によって得るステップと;
・演算手段によって、E^(Z/pr2Z)上で当該演算を実行して第一の結果を得るステップと;
・演算手段によって、E1(Z/r2Z)上で当該演算を実行して第二の結果を得、ここで、E1(Z/r2Z)はE(Z/r2Z)内の点であってrを法とするとE(Z/rZ)上での恒等元に帰着するものの部分集合を表す、ステップと;
・検証手段によって、前記第一の結果および前記第二の結果がE1(Z/r2Z)において等しいことを検証するステップと;
・出力手段によって、E^(Z/pr2Z)における当該演算の前記第一の結果をpを法として還元したものを出力するステップとを有する、
方法。 - 前記暗号演算が楕円曲線E(Z/pZ)上でのQ=kPの故障耐性のある計算のための、E(Z/pZ)におけるスカラー倍であり、当該方法がさらに:
・E^(Z/pr2Z)において、P^がE(Z/pZ)においてはPに帰着しE1(Z/r2Z)においてはRに帰着するような点P^=CRT(P(mod p),R(mod r2))を形成するステップであって、ここで、CRTは中国剰余法を表す、ステップと;
・Q^=kP^をE^(Z/pr2Z)において計算するステップと;
・E1(Z/r2Z)においてQ^≡kR (mod r2)かどうかを検証し、そうである場合にのみQ=Q^ mod pを出力するステップとを有する、
請求項1記載の方法。 - 前記整数rがランダムに選ばれる、請求項1または2記載の方法。
- 前記整数rが所定の値をもつ、請求項1または2記載の方法。
- 前記整数rが素数である、請求項3または4記載の方法。
- E1(Z/r2Z)内の前記点Rがランダムに選ばれる、請求項2記載の方法。
- 前記楕円曲線がエドワーズ曲線またはヤコビ曲線として表現される、請求項1または2記載の方法。
- 故障利用攻撃に対する防御のための、第一の楕円曲線E(Z/pZ)上での暗号演算の正しさを検査する装置であって:
・rを整数として、前記第一の楕円曲線E(Z/pZ)およびある第二の楕円曲線E(Z/r2Z)から中国剰余法によって与えられる第三の楕円曲線E^(Z/pr2Z)≡E(Z/pZ)×E(Z/r2Z)を得る手段と;
・E^(Z/pr2Z)上で当該演算を実行して第一の結果を得る手段と;
・E1(Z/r2Z)上で当該演算を実行して第二の結果を得る手段であって、ここで、E1(Z/r2Z)はE(Z/r2Z)内の点であってrを法とするとE(Z/rZ)上での恒等元に帰着するものの部分集合を表す、手段と;
・前記第一の結果および前記第二の結果がE1(Z/r2Z)において等しいことを検証する手段と;
・E^(Z/pr2Z)における当該演算の前記第一の結果をpを法として還元したものを出力する手段とを有する、
装置。 - 請求項8記載の装置であって、前記暗号演算は楕円曲線E(Z/pZ)上でのQ=kPの故障耐性のある計算のための、E(Z/pZ)におけるスカラー倍であって、当該装置がさらに、
・E^(Z/pr2Z)において、P^がE(Z/pZ)においてはPに帰着し、E1(Z/r2Z)においてはRに帰着するような点P^=CRT(P(mod p),R(mod r2))を形成し、ここで、CRTは中国剰余法を表し;
・Q^=kP^をE^(Z/pr2Z)において計算し;
・E1(Z/r2Z)においてQ^≡kR (mod r2)かどうかを検証し、そうである場合にのみQ=Q^ mod pを出力する、
手段を有する、装置。 - プロセッサによって実行されたときに請求項1ないし7のうちいずれか一項記載の方法を実行する命令が記憶されているコンピュータ可読記憶媒体。
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