JP5342761B2 - 粒子法に基づく流体シミュレーションの表面構築方法、そのプログラム、およびそのプログラムを格納した記憶媒体 - Google Patents

Description

本発明は、粒子法の計算で実現される流体シミュレーションの表現等で、表面形状の表現の自由度を高めるのに適した表面構築方法、そのプログラム、およびそのプログラムを格納した記憶媒体に関する。

「粒子法シミュレーション」とは、対象とする物体を多数の粒子の集まり（集合）としてとらえ、多数の粒子の個々の挙動に注目して計算を行うシミュレーション手法である。コンピュータでの計算上、上記粒子には、通常、直径が一定である「球」が用いられる。物体の形状を球の集合体によって表現するとき、当該球の大きさ（直径）の決め方に依存して物体の形状の近似度または空間解像度が変化する。また、球の直径を変化させ、空間解像度を変化させることにより、コンピュータによるシミュレーション計算における計算精度と計算速度を制御することが可能となる。

近年、上記の粒子法シミュレーションを利用して、多数の剛体の衝突計算、流体や粉体等の挙動計算が行われ、コンピュータの表示装置の画面上で衝突や流動等のシミュレーションの研究が行われている（例えば、非特許文献１等を参照）。これらのシミュレーション技術の研究は、コンピュータグラフィックス（ＣＧ）の基礎となる技術として重要である。

上記の粒子法の流体シミュレーションの計算では、粒子自体が流体を表現するため、界面追跡を行う必要がなく、自由表面の流れを容易に計算することができる。流体の表面の計算では、粒子法に基づく計算結果をレンダリングして表示画面に表示するときには、計算で得た複数の粒子に対して濃度球を割り当て、陰関数曲面を構築して流体の表面を算出するようにしていた（例えば非特許文献２、非特許文献３）。しかし、このような計算で表面を求めると、流体の変化状態で生じる薄い膜や鋭いエッジを表現することが困難であった。
田中正幸等、「粒子法を用いた剛体計算手法の開発とコンピュータ・グラフィックスへの適用」、日本機械学会、第１９回計算力学講演会講演論文集、７０１−７０２頁、２００６ J.Blinn, A generation of algebrac surface drawing. ACM Transactions on Graphics, 1(3): 235-256, 1982. M.Muller, D. Charypar, and M. Gross. Particle-based fluid simulation for interactive applications. Inproc. of SIGGRAPH Symposium on Computer Animation, pages 154-159, 2003.

粒子法の流体シミュレーションの表示において、従来から、流体における薄い膜や鋭いエッジの表現を算出し、表現できることが望まれていた。

本発明の目的は、上記の課題に鑑み、粒子法の流体シミュレーションの表示で、流体における薄い膜や鋭いエッジを表現することができる粒子法に基づく流体シミュレーションの表面構築方法、そのプログラム、およびそのプログラムを格納した記憶媒体を提供することにある。

本発明に係る粒子法に基づく流体シミュレーションの表面構築方法、そのプログラム、およびそのプログラムを格納した記憶媒体は、上記の目的を達成するために、次のように構成される。

本発明に係る第１の表面構築方法（請求項１に対応）は、
ＣＰＵやＧＰＵ等の演算プロセッサで実行された粒子法に基づく流体シミュレーションの計算で得られたデータを用いて表示装置の画面に計算結果をレンダリングする方法に適用される方法であり、
計算対象である粒子に対して濃度球を割り当てて陰関数曲面を算出し、陰関数曲面によって流体表面を作る複数の基礎頂点（Ｖ^０）を算出する第１の段階と、
第１の段階で算出された流体表面を作る複数の基礎頂点（Ｖ^０）のそれぞれについて、各頂点の周囲に存在する粒子の座標の重み付け和を利用して構成された第１の頂点（Ｔ ^ｔ ）を求める計算と、複数の第１の頂点（Ｔ ^ｔ ）のそれぞれと複数の基礎頂点（Ｖ ^０ ）のそれぞれとを用いて構成された第２の頂点（Ｔ ^ｔ＋１ ）を求める計算とから成り、少なくとも１回実行される第２の段階と、
を有することを特徴とする。

第２の表面構築方法（請求項２に対応）は、上記の方法において、第２の段階は、流体表面を作る複数の基礎頂点（Ｖ^０）のそれぞれについて、各頂点の周囲に存在する粒子の座標の重み付け和を取り、重み付け和を複数の基礎頂点の重みの総和で割ることにより第１の頂点（Ｔ^ｔ）を計算するステップと、複数の第１の頂点（Ｔ^ｔ）のそれぞれと複数の基礎頂点（Ｖ^０）のそれぞれとを用いて、かつ、１つのパラメータｃを含む式「ｖ_ｉ ^ｔ＋１＝ｆ（ｖ_ｉ ^ｔ，ｔ_ｉ ^ｔ，ｃ）」に基づいて、第２の頂点（Ｔ^ｔ＋１）を計算するステップと、を含むことを特徴とする。

第３の表面構築方法（請求項３に対応）は、上記の方法において、上記の式「ｖ_ｉ ^ｔ＋１＝ｆ（ｖ_ｉ ^ｔ，ｔ_ｉ ^ｔ，ｃ）」のｆ（ｖ_ｉ ^ｔ，ｔ_ｉ ^ｔ，ｃ）は「（１−ｃ）ｖ_ｉ ^ｔ＋ｃｔ_ｉ ^ｔ」であることを特徴とする。

本発明に係る第１の表面構築プログラム（請求項４に対応）は、
演算プロセッサに、粒子法に基づく流体シミュレーションの計算を実行させ、得られた画像データを用いて表示装置の画面に計算結果をレンダリングすることを実行させるプログラムに関連づけられ、さらに、
コンピュータに、
計算対象である粒子に対して濃度球を割り当てて陰関数曲面を算出し、陰関数曲面によって流体表面を作る複数の基礎頂点（Ｖ^０）を算出する第１の手順と、
第１の手順で算出された流体表面を作る複数の基礎頂点（Ｖ^０）のそれぞれに、各頂点の周囲に存在する粒子の座標の重み付け和を利用して構成された第１の頂点（Ｔ ^ｔ ）を求める計算と、複数の第１の頂点（Ｔ ^ｔ ）のそれぞれと複数の基礎頂点（Ｖ ^０ ）のそれぞれとを用いて構成された第２の頂点（Ｔ ^ｔ＋１ ）を求める計算とから成り、少なくとも１回実行される第２の手順と、
を実行させることを特徴とする。

第２の表面構築プログラム（請求項５に対応）は、上記の表面構築プログラムにおいて、第２の手順では、さらに、演算プロセッサに、流体表面を作る複数の基礎頂点（Ｖ^０）のそれぞれについて、各頂点の周囲に存在する粒子の座標の重み付け和を取り、重み付け和を複数の基礎頂点の重みの総和で割ることにより第１の頂点（Ｔ^ｔ）を計算する手順と、複数の第１の頂点（Ｔ^ｔ）のそれぞれと複数の基礎頂点（Ｖ^０）のそれぞれとを用いて、かつ、１つのパラメータｃを含む式「ｖ_ｉ ^ｔ＋１＝ｆ（ｖ_ｉ ^ｔ，ｔ_ｉ ^ｔ，ｃ）」に基づいて、第２の頂点（Ｔ^ｔ＋１）を計算する手順と、を実行させることを特徴とする。

第３の表面構築プログラム（請求項６に対応）は、上記プログラムにおいて、「ｖ_ｉ ^ｔ＋１＝ｆ（ｖ_ｉ ^ｔ，ｔ_ｉ ^ｔ，ｃ）」のｆ（ｖ_ｉ ^ｔ，ｔ_ｉ ^ｔ，ｃ）は「（１−ｃ）ｖ_ｉ ^ｔ＋ｃｔ_ｉ ^ｔ」であることを特徴とする。

本発明に係るコンピュータ読取り可能な記録媒体は、上記の第１から第３のいずれかの表面構築プログラムを記録した記録媒体である。

本発明によれば、粒子法に基づく流体シミュレーションで表示装置の画面に流体を描画するとき、薄い膜や鋭いエッジのごとく流体表面の鋭さを高めることができ、比較的に短い計算時間で薄い膜等の流体表面を表現することができる。

以下に、本発明の好適な実施形態（実施例）を添付図面に基づいて説明する。

図１は、粒子法に基づく流体シミュレーションの表面構築方法が実施されるコンピュータシステムの基本的な構成を示す。

コンピュータシステム１０は、例えばＰＣ（Personal Computer）を利用して構成され、演算処理部（演算プロセッサ）としてＣＰＵ１１を備える。ＣＰＵ（中央演算処理装置）１１は、例えばＰＣ等に装備される通常的な演算処理部である。またコンピュータシステム１０は、記憶装置としてメインメモリ１３Ａを備え、周辺装置として少なくとも入力装置１４および表示装置１５を備えている。ＣＰＵ１１とメインメモリ１３Ａと入力装置１４と表示装置１５はバス１６を介して相互に接続されている。入力装置１４は入力インターフェース１７を介してバス１６に接続され、表示装置１５は出力インターフェース１８を介してバス１６に接続されている。
上記のコンピュータシステム１０では、さらに、他の演算処理部としてＧＰＵ１２と、これに関連するビデオメモリ（ＶＲＡＭ）１３Ｂとを設けている。ＧＰＵ１２は「Graphics Processing Unit（グラフィックス演算プロセッサ）」であり、画像演算処理を実行する。ビデオメモリ１３ＢはＧＰＵ１２に直接に接続され、ビデオメモリ１３Ｂに対してＧＰＵ１２を通してデータの行き来が行われる。

上記のＣＰＵ１１は、基本的な処理動作として、メインメモリ１３Ａに格納されたシミュレーションプログラム１３Ａ−１に基づき粒子法による流体シミュレーションにおける計算を実施する。次にＣＰＵ１１は、メインメモリ１３Ａに格納された通常的な画像表示プログラム１３Ａ−２を実行し、流体シミュレーションの計算で得られたデータを用いて画像処理を実施し、作成したデータを用いて表示装置１５の画面に描画（表示のためのレンダリング）する。表示装置１５の画面には、粒子法シミュレーションの計算に基づいて、ＣＧ画像が表示される。

本実施形態では、さらに、メインメモリ１３Ａにおいて、粒子法に基づく流体シミュレーションの表面構築方法を実行するための表面演算プログラム１３Ａ−３が備えられている。

本実施形態の以下の説明では、粒子法に基づく流体シミュレーションの計算が行われ、かつ当該流体シミュレーションの計算結果に従って表示装置１５の画面に流体を描画（レンダリング）することを前提にして、上記の表面演算プログラム１３Ａ−３に基づき画面に描画される流体の自由表面を薄い膜や鋭いエッジを持つ鋭い表面として表現（表面構築）する。

図２に従って表面演算プログラム１３Ａ−３で実行される表面構築方法を説明する。図２は、ＣＰＵ１１がメインメモリ１３Ａから表面演算プログラム１３Ａ−３を読み出し実行することにより当該表面構築方法を実行する手順を示すフローチャートである。

図２に示されるごとく、本実施形態に係る表面構築方法は、第１の段階Ｓ１００に係る操作と第２の段階Ｓ２００に係る操作とから構成されている。流体の表面は、第１の段階Ｓ１００と第２の段階Ｓ２００とによって構築される。第１の段階Ｓ１００は濃度球を用いて粒子から頂点を作り流体表面を構築する段階であり、第２の段階Ｓ２００は得られた流体表面を処理する段階である。

第１の段階Ｓ１００のプロセスについて説明する。第１の段階Ｓ１００は、濃度球を用いて粒子から頂点を作り流体表面を構築する。

第１のステップＳ１０１では、粒子法に基づいて流体を表現するために設定された多数の粒子について、すべての粒子の各々に対して濃度球を割り当てると共に、或る重み関数（ω）を持たせる。ここで「濃度球」とは、対象とする粒子が存在する座標値を中心にして任意の定義量に関して与えらる分布特性を有する仮想的な数学的存在物のことである。また「重み関数」は、後述するごとき変化特性を有し、当該変化特性を有する限りにおいて任意に設定することができる。

その後、上記の多数の粒子の各々について陰関数曲面を形成する（ステップＳ１０２）。この陰関数曲面は、濃度球を割り当てかつ或る重み関数（ω）を持たせた前述の粒子について割り当てられた濃度および重み関数の総和を求めることによって構築される。数学的には、座標ｘでの濃度値φ（ｘ）は、すべての粒子の重み関数ωの和として以下の（数１）で求められる。重み関数ωは、実際には後述するように座標ｘの関数ω（ｘ）となっている。

上記の（数１）でｒ_ｊはｊ番目の粒子の座標である。重み関数ωは、頂点から粒子ｊまでの距離｜ｘ−ｒ_ｊ｜が近いほど重みが大きくなり、距離が遠いほど重みが小さくなるような変化特性を有する重み関数を用いている。計算の実際上、頂点から無限遠に存在する粒子については重みが０でなければ、計算コストは非常に高くなる。そこで、本実施形態の計算で用いられる重み関数については、或る距離より遠い粒子についての重みは０になるようにする。この実施形態では、一例として下記の（数２）に示す重み関数ω（ｘ）を用いた。

上記の（数２）でｒ_ｅは影響半径であり、重み関数ω（ｘ）は｜ｘ｜がｒ_ｅ以上のときには０である。座標ｘに関し｜ｘ｜が影響半径ｒ_ｅ に近づくに従って重み関数ω（ｘ）の値は次第に小さい値になる。

上記のごとく求められた濃度値φ（ｘ）は、閾値ｒ_０である位置で流体の表面を構築する。このようにして流体の表面を構築する位置を頂点として、これらの頂点がｎ個存在するものとして、これらをＶ^０として下記の（数３）で表記する。

上記のごとくして、粒子法に基づく流体シミュレーションの計算において、描画される流体の自由表面の計算として流体表面を構築するｎ個の頂点に関する計算結果を得ることができる。以上の濃度球を用いて粒子から流体表面を構築するための処理（第１の段階Ｓ１００）は、従来から知られている方法である。

次に第２の段階Ｓ２００のプロセスについて説明する。第２の段階Ｓ２００は、第１の段階Ｓ１００で得られた流体表面をさらに処理し、薄い膜または鋭いエッジ等のごとく流体表面を鋭く表現することを可能にする手法である。

第２の段階Ｓ２００では、流体表面を構築する上記のｎ個の頂点のそれぞれに対して、（数４）に示されるごとく、各頂点（元の頂点）の周囲に存在する粒子の座標の重み付け和を取り、かつそれらの重みの総和で割ることにより新たな頂点を計算する（ステップＳ２０１）。

上記の（数４）で、重み関数ω’は前述の重み関数ωと同じものを用いている。以上のごとく、上記のｎ個の頂点（元の頂点）のすべてについて下記の（数５）で表現される値を算出し（ステップＳ２０２）、新たな頂点と元の頂点を用いることによって下記の（数６）で表現されるさらに新たな頂点（ｖ_ｉ ^ｔ＋１）を計算する（ステップＳ２０３）。

上記の（数６）で、ｃは０から１の間の値をとるパラメータであり、この値を調節することによって表面の鋭さを調整するたことが可能となる。表示装置１５の画面に計算結果に基づき流体表面をレンダリングするためには、各頂点での法線ベクトルを求めることが必要である。計算された頂点の法線ベクトルは濃度値の勾配をとることによって求めることができないため、元の頂点の法線は２次元の場合には頂点を共有する辺、３次元の場合には共有する面の法線の和を取り、正規化して求める。
なお新たな頂点（ｖ_ｉ ^ｔ＋１）を計算するために用いられる式には（数６）の式に限定されない。１つのパラメータｃと反復回数ｔを含む一般的な式「ｖ_ｉ ^ｔ＋１＝ｆ（ｖ_ｉ ^ｔ，ｔ_ｉ ^ｔ，ｃ）」を用いることができ、上記の式「ｖ_ｉ ^ｔ＋１＝（１−ｃ）ｖ_ｉ ^ｔ＋ｃｔ_ｉ ^ｔ」は一例にすぎない。

上記のごとくして求めた頂点ｖ_ｉ ^ｔ＋１ を用いて、さらに上記の（数４）と（数６）を再度計算することにより、頂点Ｖ_ｉ ^ｔ＋２を得ることができる（ステップＳ２０４）。判定ステップＳ２０４でＹＥＳである限り、上記のステップＳ２０１〜Ｓ２０３に基づく操作を繰り返すことによって、流体の表面形状をより粒子配置に密着した鋭い表面形状にすることができる。これらの操作（ステップＳ２０１〜Ｓ２０４）により、流体の表面上の或る点は空間に分布している粒子座標の重み付け重心に収束していく。

次に、図３を参照して、流体表面を鋭く表現するための上記の第２の段階Ｓ２００の計算例をイメージ的に説明する。図３は２次元で計算した例であり、（ａ）〜（ｉ）の９段階の計算状態の変化を示している。（ｂ）〜（ｉ）のそれぞれのｔは、ｔ＝１，２，３，４，５，６，７，８である。

最初の段階では、一例として６個の粒子（図中の黒い点）を配置し、これらの６個の粒子から陰関数曲面を抽出する（図３の（ａ））。図３の（ａ）では、６個の粒子の周囲に濃度球に基づいて表面を表現した曲線３１が描かれている。実線で描かれた当該曲線３１は、前述の頂点（Ｖ^０）に基づいて表現されたものである

図３の（ｂ）以降の図では、頂点（Ｔ^ｔ）を表現した曲線３２が破線で描かれ、かつ頂点（Ｖ^ｔ）を表現した曲線３３が実線で描かれている。例えば、図３の上段である（ｂ）ではｔ＝１での表面が示されており、（ｃ）ではｔ＝２での表面が示されている。図３で、中段（（ｄ）〜（ｆ））、下段（（ｇ）〜（ｉ））に行くに従ってｔは増加していく。こうして第２の段階Ｓ２００の計算を繰り返すことに従って、頂点（Ｔ^ｔ，Ｖ^ｔ）によって描かれる流体表面が粒子の座標に近づき、図３の（ｆ）〜（ｉ）等に示されるように鋭い流体表面を実現することができる。なお図３の例では、パラメータｃとして０．３を用いている。

以上のごとく、粒子法に基づく流体シミュレーションの計算結果で得られた流体について、当該流体の端の粒子の周りの表面は、濃度球を用いた場合は、広く広がって作られることになる（図３の（ａ））。その表面の近傍を見ると、１個の粒子だけ近くに存在しているので、その表面で計算される粒子の座標の重み付け重心はほぼその粒子の座標になる。その後ｔを増加させることによって流体の表面はその粒子の座標に収束していく。

また上記の第２の段階Ｓ２００において、上記のパラメータｃと反復回数ｔを用いることによって流体表面の形状を制御することができる。

図４に、上記の（数６）でのｃの値を変化させたときの流体表面の変化を示している。図４では、図３の（ｂ）に示したｔ＝２（２回反復）の場合の流体表面の変化を示している。図４において、（ａ）はｃ＝０の表面を示し、変化は生じない。すなわち、この表面は陰関数曲面を抽出したときの表面を示している。図４において、（ａ）から（ｅ）に行くに従ってｃの値は大きくなり、Ｖ^ｔはＴ^ｔに近づいていく。なお図４においても、頂点（Ｔ^ｔ）を表現した破線の曲線３２、および頂点（Ｖ^ｔ）を表現した実線の曲線３３がそれぞれ描かれている。

図３と図４の説明から明らかなように、反復回数ｔを変え、またはパラメータｃを変えることにより、さまざまな流体表面を構築することができる。従来の手法による濃度球のみを用いた表面構築方法によれば、重み関数を変えることによってしか流体の表面の形状を変えることができなかった。これに対して、本発明による流体表面の構築方法によれば、反復回数ｔとパラメータｃを調節することによりさまざまな流体表面を表現することができ、特に薄い膜や鋭いエッジ等の鋭い表面を表現することができる。

前述の実施形態の説明では２次元の例を説明したが、３次元の場合であっても同様な手法で鋭い流体表面を表現することができる。

前述した粒子法による流体シミュレーションの計算結果に基づく流体表面の構築方法は、主に図１に示した表面演算プログラム１３Ａ−３がＧＰＵ１２等で実行されることにより実現される。表面演算プログラム１３Ａ−３は、それ自体ＣＤＲＯＭ等の記憶媒体に格納され、独立したプログラム製品として構成され得る。

本発明は、粒子法に基づく流体シミュレーションでの流体表面の構築に利用される。

本発明に係る粒子法に基づく流体シミュレーションの表面構築方法が実施されるコンピュータシステムの基本的な構成を示すシステム構成図である。 流体表面を構築する方法のプロセスを示すフローチャートである。 流体表面を鋭く表現するための処理に基づいて変化する表面状態の変化を示す状態遷移図である。 図３で示したｔ＝２（２回反復）の場合の流体表面でパラメータｃを０から次第に大きくした場合の流体の表面状態の変化を示す状態遷移図である。

符号の説明

１０ コンピュータシステム
１１ ＣＰＵ
１２ ＧＰＵ
１３Ａ メインメモリ
１３Ａ−１ シミュレーションプログラム
１３Ａ−２ 画像表示プログラム
１３Ａ−３ 表面演算プログラム

Claims (7)

1. 演算プロセッサで実行された粒子法に基づく流体シミュレーションの計算で得られたデータを用いて表示装置の画面に計算結果をレンダリングする方法において、
   計算対象である粒子に対して濃度球を割り当てて陰関数曲面を算出し、前記陰関数曲面によって流体表面を作る複数の基礎頂点（Ｖ^０）を算出する第１の段階と、
   前記第１の段階で算出された前記流体表面を作る前記複数の基礎頂点（Ｖ^０）のそれぞれについて、各頂点の周囲に存在する粒子の座標の重み付け和を利用して構成された第１の頂点（Ｔ ^ｔ ）を求める計算と、前記複数の第１の頂点（Ｔ ^ｔ ）のそれぞれと前記複数の基礎頂点（Ｖ ^０ ）のそれぞれとを用いて構成された第２の頂点（Ｔ ^ｔ＋１ ）を求める計算とから成り、少なくとも１回実行される第２の段階と、
   を有することを特徴とする粒子法に基づく流体シミュレーションの表面構築方法。
2. 前記第２の段階は、
   前記流体表面を作る前記複数の基礎頂点（Ｖ^０）のそれぞれについて、各頂点の周囲に存在する粒子の座標の重み付け和を取り、前記重み付け和を前記複数の基礎頂点の重みの総和で割ることにより前記第１の頂点（Ｔ^ｔ）を計算するステップと、
   前記複数の第１の頂点（Ｔ^ｔ）のそれぞれと前記複数の基礎頂点（Ｖ^０）のそれぞれとを用いて、かつ１つのパラメータｃを含む式「ｖ_ｉ ^ｔ＋１＝ｆ（ｖ_ｉ ^ｔ，ｔ_ｉ ^ｔ，ｃ）」に基づいて、前記第２の頂点（Ｔ^ｔ＋１）を計算するステップと、
   を含むことを特徴とする請求項１記載の粒子法に基づく流体シミュレーションの表面構築方法。
3. 前記式「ｖ_ｉ ^ｔ＋１＝ｆ（ｖ_ｉ ^ｔ，ｔ_ｉ ^ｔ，ｃ）」のｆ（ｖ_ｉ ^ｔ，ｔ_ｉ ^ｔ，ｃ）は「（１−ｃ）ｖ_ｉ ^ｔ＋ｃｔ_ｉ ^ｔ」であることを特徴とする請求項２記載の粒子法に基づく流体シミュレーションの表面構築方法。
4. 演算プロセッサに、粒子法に基づく流体シミュレーションの計算を実行させ、得られたデータを用いて表示装置の画面に計算結果をレンダリングすることを実行させるプログラムに関連づけられ、さらに、
   コンピュータに、
   計算対象である粒子に対して濃度球を割り当てて陰関数曲面を算出し、前記陰関数曲面によって流体表面を作る複数の基礎頂点（Ｖ^０）を算出する第１の手順と、
   前記第１の手順で算出された前記流体表面を作る前記複数の基礎頂点（Ｖ^０）のそれぞれに、各頂点の周囲に存在する粒子の座標の重み付け和を利用して構成された第１の頂点（Ｔ ^ｔ ）を求める計算と、前記複数の第１の頂点（Ｔ ^ｔ ）のそれぞれと前記複数の基礎頂点（Ｖ ^０ ）のそれぞれとを用いて構成された第２の頂点（Ｔ ^ｔ＋１ ）を求める計算とから成り、少なくとも１回実行される第２の手順と、
   を実行させることを特徴とする粒子法に基づく流体シミュレーションの表面構築プログラム。
5. 前記第２の手順では、さらに前記演算プロセッサに、
   前記流体表面を作る前記複数の基礎頂点（Ｖ^０）のそれぞれについて、各頂点の周囲に存在する粒子の座標の重み付け和を取り、前記重み付け和を前記複数の基礎頂点の重みの総和で割ることにより前記第１の頂点（Ｔ^ｔ）を計算する手順と、
   前記複数の第１の頂点（Ｔ^ｔ）のそれぞれと前記複数の基礎頂点（Ｖ^０）のそれぞれとを用いて、かつ１つのパラメータｃを含む式「ｖ_ｉ ^ｔ＋１＝ｆ（ｖ_ｉ ^ｔ，ｔ_ｉ ^ｔ，ｃ）」に基づいて、前記第２の頂点（Ｔ^ｔ＋１）を計算する手順と、
   を実行させることを特徴とする請求項４記載の粒子法に基づく流体シミュレーションの表面構築プログラム。
6. 前記式「ｖ_ｉ ^ｔ＋１＝ｆ（ｖ_ｉ ^ｔ，ｔ_ｉ ^ｔ，ｃ）」のｆ（ｖ_ｉ ^ｔ，ｔ_ｉ ^ｔ，ｃ）は「（１−ｃ）ｖ_ｉ ^ｔ＋ｃｔ_ｉ ^ｔ」であることを特徴とする請求項５記載の粒子法に基づく流体シミュレーションの表面構築プログラム。
7. 請求項４〜６のいずれか１項に記載された粒子法に基づく流体シミュレーションの表面構築プログラムを記録したコンピュータ読取り可能な記録媒体。

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