JP4752176B2 - Unidirectional function calculation method, apparatus and program - Google Patents
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Description
本発明は、一方向性関数演算方法及び装置及びプログラムに係り、特に、公衆電気通信網における計算量理論に基づく、情報セキュリティのための一方向性関数演算方法及び装置及びプログラムに関する。 The present invention relates to a one-way function calculating method and apparatus and program, particularly, based on computational complexity theory in public telecommunications networks, relates to a one-way function calculating method and apparatus and program for information security.
近年、公衆電話通信網の発達に伴い、情報セキュリティ技術に注目が集まっている。情報セキュリティ技術は、情報理論に基づくものや、計算可能性理論に基づくものなど、様々な背景技術に基づき構成され得るが、中でも計算量理論に基づくものが効率等の面から最も実用的と考えられており、現在盛んに研究が行われている。本発明では、この計算量理論に基づく情報セキュリティ技術に関するものである。 In recent years, attention has been focused on information security technology with the development of public telephone communication networks. Information security technology can be configured based on various background technologies, such as those based on information theory and those based on computability theory, but the one based on computational complexity theory is considered the most practical in terms of efficiency. Currently, active research is being conducted. The present invention relates to information security technology based on this computational complexity theory.
ある多項式時間で計算可能な関数に対して、いかなる効率の良いアルゴリズムを用いても、無視できる確率でしかその逆関数を計算することができないならば、その関数は一方向であるという。現在、一方向性関数の存在は、証明されておらず、暗号学あるいは計算機科学における未解決な問題とされている。従って、厳密な意味での一方向性関数は現在知られていないが、一方向性関数の候補としてRSA法、Rabin法、離散対数に基づく方法などが良く知られている(例えば、非特許文献1〜4参照)。
一方向性関数は、計算量理論に基づく、情報セキュリティ技術を構成する上で、中核的な役割を担っており、現代の暗号認証技術にとって欠かせない存在であると考えられている。従って、新しい一方向性関数の発明は、計算量理論に基づくあらゆる情報セキュリティ技術に応用することが可能で、重要な技術的課題と考えることができる。 The one-way function plays a central role in configuring information security technology based on the computational complexity theory, and is considered to be indispensable for modern cryptographic authentication technology. Therefore, the invention of the new one-way function can be applied to any information security technology based on the computational complexity theory and can be considered as an important technical problem.
本発明は、楕円DH判定問題の困難性に帰着可能な一方向性関数を構成することが可能な一方向性関数演算方法及び装置及びプログラムを提供することを目的とする。 The present invention aims at providing a one-way function calculating method and apparatus and program capable of constituting a possible return one-way function on the difficulty of the elliptic DH determination problem.
図1は、本発明の原理を説明するための図である。 FIG. 1 is a diagram for explaining the principle of the present invention.
本発明(請求項1)は、一方向性関数を計算する一方向性関数演算方法において、
予め一時記憶手段に、R1,…,R4∈E[L](但し、E[L]は、Lを素数とし、有限体上定義された楕円曲線E上の点Rの内、LR=O(但し、Oは無限遠点)を満たすRの集合)を記憶するための領域を確保しておき(ステップ1)、
固有値計算手段において、フロベニウス写像の固有値λ1,λ2∈Z/LZを求めておき(ステップ2)、
入力手段において、R∈E[L]を入力し、
スカラー倍設定手段において、
The present invention (Claim 1) is a one-way function calculation method for calculating a one-way function,
R 1 ,..., R 4 ∈ E [L] (where E [L] is a prime number, and LR = L of the points R on the elliptic curve E defined on the finite field) An area for storing O ( a set of R satisfying O (where O is an infinite point)) is secured (step 1).
In the eigenvalue calculating means, eigenvalues λ 1 and λ 2 ∈Z / LZ of the Frobenius map are obtained (step 2),
In the input means, R∈E [L] is input,
In the scalar multiplication setting means,
フロベニウス写像計算手段において、フロベニウス写像φにより、楕円曲線上の点φRを計算し、計算結果R1を一時記憶手段に格納しておき(ステップ4)、
楕円スカラー倍計算手段において、点Rのスカラー倍λ2Rを計算し、計算結果R2を一時記憶手段に格納しておき(ステップ5)、
楕円減算手段において、一時記憶手段から計算結果R1と計算結果R2を取得してR1−R2を計算し、計算結果R3を一時記憶手段に格納しておき(ステップ6)、
楕円スカラー倍計算手段において、R3のスカラー倍
In the Frobenius map calculation means, the point φR on the elliptic curve is calculated from the Frobenius map φ, and the calculation result R 1 is stored in the temporary storage means (step 4).
In the elliptic scalar multiplication calculation means, the scalar multiplication λ 2 R of the point R is calculated, and the calculation result R 2 is stored in the temporary storage means (step 5).
In the ellipse subtraction means, the calculation result R 1 and the calculation result R 2 are obtained from the temporary storage means, R 1 -R 2 is calculated, and the calculation result R 3 is stored in the temporary storage means (step 6).
In the elliptic scalar multiplication calculation means, the scalar multiplication of R 3
最終的に、出力手段により、一時記憶手段からR4を読み出して出力する(ステップ8)。
Finally, the output unit outputs the temporary storage means reads out the R 4 (Step 8).
本発明(請求項2)は、一方向性関数を計算する一方向性関数計算方法において、
一時記憶手段に、R1,…,R3∈E[L](但し、E[L]はLを素数とし、有限体上定義された楕円曲線E上の点Rの内、LR=O(但し、Oは無限遠点)を満たすRの集合)を確保するための領域を確保しておき、
固有値計算手段において、フロベニウス写像の固有値λ2∈Z/LZを求めておき、
入力手段において、R∈E[L]を入力し、
フロベニウス写像計算手段において、フロベニウス写像φにより、楕円曲線上の点φRを計算し、計算結果R1を一時記憶手段に格納し、
楕円スカラー倍計算手段において、固有値計算手段で求められた固有値λ2を取得して、点Rのスカラー倍λ2Rを計算し、計算結果R2を一時記憶手段に格納し、
楕円減算手段において、一時記憶手段から計算結果R1と計算結果R2を取得して、R1−R2を行い、計算結果R3を一時記憶手段に格納し、
最終的に、出力手段により、一時記憶手段からR3を読み出して出力する。
The present invention (Claim 2) is a unidirectional function calculation method for calculating a unidirectional function,
R 1 ,..., R 3 ∈ E [L] (where E [L] is a prime number, and LR = O (of the points R on the elliptic curve E defined on the finite field). However, an area for ensuring a set of R satisfying O) is satisfied,
In the eigenvalue calculation means, the eigenvalue λ 2 ∈Z / LZ of the Frobenius map is obtained,
In the input means, R∈E [L] is input,
In the Frobenius map calculation means, the point φR on the elliptic curve is calculated from the Frobenius map φ, and the calculation result R 1 is stored in the temporary storage means.
In the elliptic scalar multiplication calculation means, the eigenvalue λ 2 obtained by the eigenvalue calculation means is obtained, the scalar multiplication λ 2 R of the point R is calculated, and the calculation result R 2 is stored in the temporary storage means.
In the ellipse subtracting means, the calculation result R 1 and the calculation result R 2 are obtained from the temporary storage means, R 1 -R 2 is performed, and the calculation result R 3 is stored in the temporary storage means.
Finally, R 3 is read from the temporary storage means and output by the output means.
本発明(請求項3)は、 有限体上定義された非超特異楕円曲線の有理点群が、同じ位数を持つ2つの巡回群の直積群を含む場合に、該楕円曲線上で定義される一方向性関数を計算する一方向性関数計算方法において、
一時記憶手段に、楕円曲線上の点を格納する領域R1,0以上m以下の整数を格納可能な領域iを確保しておき、
初期値設定手段において、
R1に楕円曲線上の無限遠点Oを設定し、領域iに0を設定し、
入力手段において、
楕円曲線E[L](E[L](但し、E[L]はLを素数とし、有限体上定義された楕円曲線E上の点Rの内、LR=O(但し、Oは無限遠点)を満たすRの集合))上の点Rを取得し、
フロベニウス写像計算手段により、
フロベニウス写像φiRを計算し、その計算結果と点R1とを楕円加算計算手段に入力し、その計算結果を領域R1に格納し、領域iのカウントをi+1とし、i≧m(mは1以上の整数)になるまで当該処理を繰り返し、
最終的に、
In the temporary storage means, an area R 1 for storing points on the elliptic curve, an area i capable of storing an integer of 0 to m,
In the initial value setting means,
Set R 1 to the infinity point O on the elliptic curve, set the area i to 0,
In the input means,
Elliptic curve E [L] (E [L] (where E [L] is a prime number, and LR = O among the points R on the elliptic curve E defined on the finite field, where O is infinity) A set of R satisfying the point)))
By Frobenius map calculation means,
The Frobenius map φ i R is calculated, the calculation result and the point R 1 are input to the ellipse addition calculation means, the calculation result is stored in the region R 1 , the count of the region i is set to i + 1, and i ≧ m (m Is repeated until the value becomes an integer of 1 or more,
Finally,
スカラー倍Z/LZの係数特性多項式を分解体上で、
φ 2 −tφ+q=(φ−λ 1 )(φ−λ 2 )
と分解し(但し、λ 1 、λ 2 はフロベニウス写像φの固有値)、
λ 1 ,λ 2 ∈Z/LZで、かつ、λ 1 ≠λ 2 のときの線形空間E[L]の線形変換
であるトレースマップを適用し、フロベニウス写像φによりR1+φiRとして、その結果R 1 を一時記憶手段に格納し、i+1とし、i≧m(mは0以上の整数)になるまで当該処理を繰り返し、
最終的に、出力手段から計算結果R1を一時記憶手段から読み出して出力する。
Coefficient characteristic polynomial of scalar multiplication Z / LZ on decomposition
φ 2 −tφ + q = (φ−λ 1 ) (φ−λ 2 )
(Where λ 1 and λ 2 are eigenvalues of the Frobenius map φ),
Linear transformation of the linear space E [L] when λ 1 , λ 2 εZ / LZ and λ 1 ≠ λ 2
Applying the trace map as follows, R 1 + φ i R by Frobenius map φ , the result R 1 is stored in temporary storage means, i + 1 is set, and this processing is performed until i ≧ m (m is an integer of 0 or more) Repeat
Finally, read and output from the temporary storage means a calculation result R 1 from the output unit.
本発明(請求項4)は、楕円加算計算手段において、
mの加算連鎖n 0 =1,ni=nj+nk,(j,k<i),nc=m(但し、cはmの加算連鎖の長さ)とし、
領域iのカウントをi+1とし、
加算連鎖に従って領域iに対するj、k<iを決定し、
m addition chain n 0 = 1, n i = n j + n k , (j, k <i), n c = m (where c is the length of the addition chain of m) ,
Let the count of region i be i + 1,
Determine j, k <i for region i according to the addition chain,
図2は、本発明の原理構成図である。 FIG. 2 is a principle configuration diagram of the present invention.
本発明(請求項5)は、一方向性関数を計算する一方向性関数演算装置であって、
予め、R1,…,R4∈E[L](但し、E[L]は、Lを素数とし、有限体上定義された楕円曲線E上の点Rの内、LR=O(但し、Oは無限遠点)を満たすRの集合)を記憶するための領域が確保された一時記憶手段250と、
フロベニウス写像の固有値λ1,λ2∈Z/LZを求めておく固有値計算手段210と、
スカラー倍
The present invention (Claim 5) is a one-way function computing device for calculating a one-way function,
R 1 ,..., R 4 ∈ E [L] (where E [L] is a prime number, and LR = O ( of the points R on the elliptic curve E defined on the finite field) A temporary storage means 250 in which an area for storing a set of R satisfying O) is satisfied;
Eigenvalue calculating means 210 for obtaining eigenvalues λ 1 and λ 2 ∈Z / LZ of the Frobenius map;
Scalar times
R∈E[L]を入力する入力手段と230、
フロベニウス写像φにより、楕円曲線上の点φRを計算し、計算結果R1を一時記憶手段に格納するフロベニウス写像計算手段240と、
固有値計算手段210から固有値を取得し、点Rのスカラー倍λ2Rを計算し、計算結果R2を一時記憶手段250に格納する楕円スカラー倍計算手段260と、
一時記憶手段250から計算結果R 1 と計算結果R 2 を取得し、R1−R2を計算し、計算結果R3を一時記憶手段250に格納する楕円減算手段270と、
スカラー倍設定手段220からλΔを取得し、R3のスカラー倍
230, input means for inputting RεE [L]
Frobenius map calculation means 240 for calculating a point φR on the elliptic curve from the Frobenius map φ and storing the calculation result R 1 in the temporary storage means;
An ellipse
Ellipse subtracting means 270 that obtains the calculation result R 1 and the calculation result R 2 from the temporary storage means 250, calculates R 1 -R 2 , and stores the calculation result R 3 in the temporary storage means 250;
Λ Δ is obtained from the scalar multiplication setting means 220, and the scalar multiplication of R 3
最終的に、一時記憶手段250からR4を読み出して出力する出力手段280と、を有する
And finally, an
本発明(請求項6)は、一方向性関数を計算する一方向性関数計算装置であって、
一時記憶手段に、R1,…,R3∈E[L](但し、E[L]はLを素数とし、有限体上定義された楕円曲線E上の点Rの内、LR=O(但し、Oは無限遠点)を満たすRの集合) を格納するための領域が確保される一時記憶手段と、
予め、フロベニウス写像の固有値λ2∈Z/LZを求める固有値計算手段と、
R∈E[L]を入力する入力手段と、
フロベニウス写像φにより、楕円曲線上の点φRを計算し、計算結果R1を一時記憶手段に格納するフロベニウス写像計算手段と、
固有値計算手段で求められた固有値λ2を取得して、点Rのスカラー倍λ2Rを計算し、計算結果R2を一時記憶手段に格納する楕円スカラー倍計算手段と、
一時記憶手段から計算結果R1と計算結果R2を取得して、R1−R2を行い、計算結果R3を一時記憶手段に格納する楕円減算手段と、
最終的に、一時記憶手段からR3を読み出して出力する出力手段と、を有する。
The present invention (Claim 6) is a one-way function calculation device for calculating a one-way function,
R 1 ,..., R 3 ∈ E [L] (where E [L] is a prime number, and LR = O (of the points R on the elliptic curve E defined on the finite field). However, O is a temporary storage means in which an area for storing a set of R satisfying the infinity point) is secured;
In advance, eigenvalue calculation means for obtaining the eigenvalue λ 2 ∈Z / LZ of the Frobenius map;
Input means for inputting RεE [L];
Frobenius map calculating means for calculating a point φR on the elliptic curve from the Frobenius map φ and storing the calculation result R 1 in the temporary storage means;
An elliptic scalar multiplication calculating means for obtaining the eigenvalue λ 2 obtained by the eigenvalue calculating means, calculating a scalar multiplication λ 2 R of the point R, and storing the calculation result R 2 in the temporary storage means;
Ellipse subtracting means for obtaining the calculation result R 1 and the calculation result R 2 from the temporary storage means, performing R 1 -R 2 , and storing the calculation result R 3 in the temporary storage means;
Finally, and an output means for outputting the read out R 3 from the temporary storage means.
本発明(請求項7)は、有限体上定義された非超特異楕円曲線の有理点群が、同じ位数を持つ2つの巡回群の直積群を含む場合に、該楕円曲線上で定義される一方向性関数を計算する一方向性関数計算装置であって、
楕円曲線上の点を格納する領域R1,0以上m以下の整数を格納可能な領域iを確保しておく一時記憶手段と、
楕円曲線E[L](E[L](但し、E[L]はLを素数とし、有限体上定義された楕円曲線E上の点Rの内、LR=O(但し、Oは無限遠点)を満たすRの集合))上の点R1に楕円曲線上の無限遠点Oを設定し、領域iに0を設定する初期値設定手段と、
楕円曲線上の点Rを取得する入力手段と、
フロベニウス写像φiRを計算し、その計算結果と点R1とを楕円加算計算手段に入力し、その出力結果を領域R1に格納し、領域iのカウントをi+1とし、i≧m(mは1以上の整数)になるまで当該処理を繰り返すフロベニウス写像計算手段と、
最終的に、
を有する。
The present invention (Claim 7) is defined on an elliptic curve when a rational point group of a non-super singular elliptic curve defined on a finite field includes a Cartesian product group of two cyclic groups having the same order. A one-way function calculation device for calculating a one-way function
An area R 1 for storing points on the elliptic curve, a temporary storage means for securing an area i in which an integer of 0 to m can be stored;
Elliptic curve E [L] (E [L] (where E [L] is a prime number, and LR = O among the points R on the elliptic curve E defined on the finite field, where O is infinity) set the point at infinity O on an elliptic curve point R 1 on the set)) of R that satisfies the point), and the initial value setting means for setting a 0 in the area i,
Input means for acquiring a point R on an elliptic curve;
The Frobenius map φ i R is calculated, the calculation result and the point R 1 are input to the ellipse addition calculation means, the output result is stored in the region R 1 , the count of the region i is set to i + 1, and i ≧ m (m Frobenius map calculation means that repeats the process until it becomes an integer of 1 or more,
Finally,
Have
本発明(請求項8)の楕円加算計算手段は、
mの加算連鎖n 0 =1,ni=nj+nk,(j,k<i),nc=m(但し、cはmの加算連鎖の長さ)とし、
領域iのカウントをi+1とし、
加算連鎖に従って領域iに対するj、k<iを決定し、
m addition chain n 0 = 1, n i = n j + n k , (j, k <i), n c = m (where c is the length of the addition chain of m) ,
Let the count of region i be i + 1,
Determine j, k <i for region i according to the addition chain,
本発明(請求項9)は、コンピュータを、
請求項5乃至8記載の一方向性関数演算装置の各手段として機能させるための一方向性関数演算プログラム。
The present invention (claim 9) provides a computer,
A one-way function calculation program for causing each unit of the one-way function calculation device according to
R∈E[L]を入力させるステップと、
フロベニウス写像φにより、φRを計算し、計算結果R1を一時記憶手段に格納するステップと、
Rのスカラー倍λ2Rを計算し、計算結果R2を一時記憶手段に格納するステップと、
一時記憶手段から計算結果R1と計算結果R2を取得してR 1−R2を計算し、計算結果R3を一時記憶装置に格納するステップと、
R 3 のスカラー倍
Inputting R∈E [L];
A step of calculating φR from the Frobenius map φ and storing the calculation result R 1 in a temporary storage means;
Calculating a scalar multiple λ 2 R of R and storing the calculation result R 2 in a temporary storage means;
Obtaining the calculation result R 1 and the calculation result R 2 from the temporary storage means, calculating R 1 -R 2 , and storing the calculation result R 3 in the temporary storage device;
Scalar multiplication of R 3
最終的に、一時記憶手段からR4を読み出して出力させるステップと、を実行する。
Finally, reading R 4 from the temporary storage means and outputting it is executed.
本発明は、一方向性関数を計算する一方向性関数計算プログラムであって、
一時記憶手段に、R1,…,R3∈E[L](但し、E[L]は楕円曲線上のねじれ点全体、Lは素数)を確保しておくステップと、
フロベニウス写像の固有値λ2∈Z/LZを予め求めるステップと、
入力手段において、R∈E[L]を入力させるステップと、
フロベニウス写像φRを計算し、計算結果R1を一時記憶手段に格納するステップと、
固定値λ2を取得して、楕円スカラー倍λ2Rを計算し、計算結果R2を一時記憶手段に格納するステップと、
一時記憶手段から計算結果R1と計算結果R2を取得して、R1−R2を行い、計算結果R3を一時記憶手段に格納するステップと、
最終的に、一時記憶手段からR3を読み出して出力させるステップと、を実行する。
The present invention is a one-way function calculation program for calculating a one-way function,
R 1 ,..., R 3 ∈ E [L] (where E [L] is the entire twist point on the elliptic curve, L is a prime number) in the temporary storage means;
Obtaining in advance the eigenvalue λ 2 ∈Z / LZ of the Frobenius map;
In the input means, inputting R∈E [L];
Calculating the Frobenius map φR and storing the calculation result R 1 in a temporary storage means;
Obtaining a fixed value λ 2 , calculating an elliptic scalar multiplication λ 2 R, and storing the calculation result R 2 in a temporary storage means;
Obtaining the calculation result R 1 and the calculation result R 2 from the temporary storage means, performing R 1 -R 2 , and storing the calculation result R 3 in the temporary storage means;
Finally, it executes the steps of outputting reads the R 3 from the temporary storage means.
本発明によれば、楕円DH判定問題の困難性に帰着可能な一方向性関数を構成することができる。 According to the present invention, a one-way function that can be reduced to the difficulty of the elliptic DH determination problem can be configured.
以下、図面と共に、本発明の実施の形態について説明する。 Hereinafter, embodiments of the present invention will be described with reference to the drawings.
構成及び動作の説明に先立ち、楕円曲線、有限体のフロベニウス写像、楕円曲線のフロベニウス写像、フロベニウス写像の固有空間と射影について説明する。 Prior to the description of the configuration and operation, an elliptic curve, a Frobenius map of a finite field, a Frobenius map of an elliptic curve, and the eigenspace and projection of the Frobenius map will be described.
(1)楕円曲線:
一般に、体K上定義された楕円曲線とは、a1,a2,a3,a4,a6∈Kとして、等式
E:y2+a1xy+a3y=x3+a2x2+a4x+a5 (1)
を満たす点(x,y)の集合に無限遠点と呼ばれる特別の点Oを付加したものである。楕円曲線上の任意の2点に対して楕円加算と呼ばれる二項演算+及び楕円曲線上の任意の1点に対して楕円逆元と呼ばれる単項演算−がそれぞれ有限回のKの体演算により定義でき、以下の性質を持つことにより、楕円曲線は、楕円加算に関して群をなす。
(1) Elliptic curve:
In general, an elliptic curve defined on the field K is an equation E: y 2 + a 1 xy + a 3 y = x 3 + a 2 x 2 + a 4 where a 1 , a 2 , a 3, a 4 , a 6 ∈K x + a 5 (1)
A special point O called an infinite point is added to a set of points (x, y) satisfying the above. Binary operations + called elliptic addition for arbitrary two points on the elliptic curve and unary operations called elliptic inverse element for any one point on the elliptic curve are defined by finite number of K field operations. The elliptic curve forms a group with respect to elliptic addition by having the following properties.
−楕円曲線上の任意の2点R1,R2に対してR1+R2は楕円曲線上の点である。 -R 1 + R 2 is a point on the elliptic curve for any two points R 1 and R 2 on the elliptic curve.
−楕円曲線上の任意の3点R1,R2,R3に対し、
R1+(R2+R3)=(R1+R2)+R3(結合律)
−Oに関して、楕円曲線上の任意の点R1に対し、
R1+O=O+R1=R1(単位元の存在)
−楕円曲線上の任意の点R1に対し、逆元(−R1)が存在して
R1+(−R1)=(−R1)+R1=O(逆元の存在)
さらに、楕円加算は以下の性質を持つ。
-For any three points R 1 , R 2 , R 3 on the elliptic curve,
R 1 + (R 2 + R 3 ) = (R 1 + R 2 ) + R 3 (bonding rule)
For -O, for any point R1 on the elliptic curve,
R 1 + O = O + R 1 = R 1 (existence of unit element)
-For any point R 1 on the elliptic curve, there is an inverse element (-R 1 ) and R 1 + (-R 1 ) = (-R 1 ) + R 1 = O (existence of the inverse element)
Furthermore, ellipse addition has the following properties.
−楕円曲線上の任意の2点R1,R2に対してR1+R2=R2+R1である(交換律)。 -R 1 + R 2 = R 2 + R 1 for any two points R 1 and R 2 on the elliptic curve (exchange rule).
楕円曲線上の一点Rがあれば、楕円加算を用いて2R=R+Rなる楕円曲線上の点2Rを作ることができる。同様に、また、任意の正整数kに対して(−k)R=k(−R)及び、0R=Oと定義すると、結局任意の整数kに対して、kRを定義することができる。整数kと点Rから点kRを求めることを楕円スカラー倍と呼ぶ。また、二項演算“−”を
R1−R2=R1+(−R2)
として定義し、楕円減算と呼ぶ。特に、Kが有限体でK上の点、あるいは、Kの有限次拡大上の点Rが楕円曲線(1)上の点であるとき、Rは、有限巡回群を生成し、これを用いて暗号系や署名系を構成することがしばしば行われる。このような暗号系や署名系は、楕円加算や楕円スカラー倍が効率的に計算可能な楕円曲線を用いる。Lを素数とし、有限体上定義された楕円曲線E上の点Rのうち、LR=Oを満たすRの集合をE[L]とする。E[L]に関して以下の性質が成り立つことにより、E[L]は、楕円加算を加法とし、楕円スカラー倍をスカラー倍とするZ/LZ上線形空間である。
If there is one point R on the elliptic curve, the point 2R on the elliptic curve 2R = R + R can be created using elliptic addition. Similarly, if (−k) R = k (−R) and 0R = O are defined for an arbitrary positive integer k, kR can be defined for an arbitrary integer k. Finding the point kR from the integer k and the point R is called an elliptic scalar multiplication. In addition, the binary operation “−” is changed to R 1 −R 2 = R 1 + (− R 2 ).
And call it elliptical subtraction. In particular, when K is a finite field and a point on K, or a point R on the finite degree expansion of K is a point on the elliptic curve (1), R generates a finite cyclic group and uses it. It is often done to construct a cryptographic system or a signature system. Such an encryption system or signature system uses an elliptic curve that can be efficiently calculated by elliptic addition and elliptic scalar multiplication. Let L be a prime number, and a set of R satisfying LR = O among points R on the elliptic curve E defined on the finite field is E [L]. E [L] is a linear space on Z / LZ in which the addition of ellipse is added and the elliptical scalar multiplication is the scalar multiplication because the following property holds for E [L].
楕円加算に関して、
−E[L]上の任意の2点R1,R2に対して楕円加算R1+R2はE[L]上の点である。
Regarding ellipse addition,
Ellipse addition R 1 + R 2 is a point on E [L] with respect to arbitrary two points R 1 and R 2 on −E [L].
−楕円加算の結合律は、E[L]上でも成立する。 -The coupling rule of ellipse addition also holds on E [L].
−楕円加算の交換律は、E[L]上でも成立する。 The ellipse addition exchange rule holds even on E [L].
−Oは、E[L]上の点であり、E[L]上の任意の点R1に対してO+R1=R1ある性質を持つ。 -O is a point on E [L] and has a property that O + R 1 = R 1 with respect to an arbitrary point R1 on E [L].
−E[L]上の任意の点R1に対して逆元(−R1)は、E[L]上に唯一存在する。 For any point R 1 on -E [L], the inverse element (-R 1 ) exists only on E [L].
楕円スカラー倍演算に関して
−E[L]上の任意の点R1及び体Z/LZの任意の元k1に対し、楕円スカラー倍k1R1は、E[L]上の点である。
Regarding Elliptical Scalar Multiplication For an arbitrary point R 1 on -E [L] and an arbitrary element k 1 of the field Z / LZ, the elliptic scalar multiplication k 1 R 1 is a point on E [L].
−E[L]上の任意の点R1及びZ/LZ上の任意の2元k1、k2に対し、(k1+k2)R1=k1R1+k2R2。 For any point R 1 on E [L] and any binary k 1 , k 2 on Z / LZ, (k 1 + k 2 ) R 1 = k 1 R 1 + k 2 R 2 .
−E[L]上の任意の2点R1,R2及び体Z/LZ上の任意の元k1に対し、k1(R1+R2)=k1R1+k1R2。 For any two points R 1 , R 2 on E [L] and any element k 1 on the field Z / LZ, k 1 (R 1 + R 2 ) = k 1 R 1 + k 1 R 2 .
−E[L]上の任意の点R1及び体Z/LZ上の任意の2元k1,k2に対し、(k1、k2)R1=k1(k2R1)。 For any point R 1 on E [L] and any binary k 1 , k 2 on the field Z / LZ, (k 1 , k 2 ) R 1 = k 1 (k 2 R 1 ).
−E[L]上の任意の点R1及び体Z/LZの乗法単位元1に対し、1R1R2。 1R 1 R 2 for any point R 1 on E [L] and the multiplicative unit 1 of the field Z / LZ.
(2)有限体のフロベニウス写像:
qを素数またはその冪とする。有限体GF(qm)上の元xを表現するのに、有限体GF(q)上のm個の元の組xi,(0≦i<m)を用いることができる。m個のxi∈GF(q),(0≦i<m)の組をGF(qm)上の元を対応させる代表的な方法は、m個のαi∈GF(qm),(0≦i<m)の組を使って、
(2) Frobenius map of finite field:
Let q be a prime number or its power. To represent an element x on the finite field GF (q m ), a set of m elements x i , (0 ≦ i <m) on the finite field GF (q) can be used. A typical method for associating a set of m x i εGF (q), (0 ≦ i <m) with an element on GF (q m ) is m α i εGF (q m ), Using a set of (0 ≦ i <m)
(α+β)q=αq+βq
が成立する。さらに、c∈GF(q)なるcに関してcq=cが成立する。一般に、α1,α2,…,αnを不定元とする任意のGF(q)係数有理式f(α1,α2,…,αn)に対して、
(Α + β) q = α q + β q
Is established. Furthermore, c q = c holds for c c∈GF (q). In general, alpha 1, alpha 2, ..., any GF (q) coefficient rational expression f to the alpha n and indeterminate (α 1, α 2, ... , α n) with respect to,
(3)楕円曲線のフロベニウス写像:
mを整数、qを素数またはその冪とする。有限体GF(q)上定義された楕円曲線
E/GF(q):y2+a1xy+a3y=x3+a2x2+a4x+a6 (3)
(但し、a1,a2,a3,a4,a5∈GF(q)とする)。上のGF(qm)有理点Rに対して、
(3) Frobenius map of elliptic curve:
Let m be an integer and q be a prime number or its power. Elliptic curve defined on a finite field GF (q) E / GF (q): y 2 + a 1 xy + a 3 y = x 3 + a 2 x 2 + a 4 x + a 6 (3)
(However, the a 1, a 2, a 3 , a 4, a 5 ∈GF (q)). For GF (q m ) rational point R above,
−楕円曲線のフロベニウス写像は、E/GF(q)上の自己準同型写像である。即ち、
φ(R1+R2)≒(φR1)+(φR2)
−楕円スカラー倍と楕円曲線のフロベニウス写像は可換である。即ち、
φ(kR)=k(φR)
−特に、E[L]上の点はフロベニウス写像によりE[L]上の点に移る。即ち、
-The Frobenius map of an elliptic curve is a self-homogeneous map on E / GF (q). That is,
φ (R 1 + R 2 ) ≈ (φR 1 ) + (φR 2 )
-Elliptical scalar multiplication and Frobenius maps of elliptic curves are commutative. That is,
φ (kR) = k (φR)
In particular, a point on E [L] is moved to a point on E [L] by the Frobenius map. That is,
と定義されるが、上記のことは、qn乗フロベニウス写像φnでも同様に成立する。
The above holds true for the qn- th power Frobenius map φ n as well.
(4) フロベニウス写像の固有空間と射影:
参考文献「イアン・F・ブラケ,ガディエル・セロッシ,ナイジェル・P・スマート=著、鈴木次郎=訳,『楕円曲線暗号』、p112出版,ピアソン・エデュケーション、ISBN4-89471-431-0」にあるように、フロベニウス写像φは、上記(3)式上の任意のGF(qm)有理点Rに対して、
(φ2−tφ+q)R=O (4)
を満たす。(但し、tは、q,a1,a2,a3,a4,a6によって一意に決定される整数)φに関する多項式φ2−tφ+qを特性多項式と呼ぶ。考える楕円曲線をE[L](但し、Lは素数)に限定すると、スカラー倍はZ/LZで考えればよい。
(4) Eigenspace and projection of Frobenius map:
See references in "Ian F. Brake, Gadiel Selossi, Nigel P. Smart = Author, Jiro Suzuki = Translation," Elliptic Curve Cryptography ", p112 Publishing, Pearson Education, ISBN4-89471-431-0" In addition, the Frobenius map φ is given for any GF (q m ) rational point R in the above equation (3).
(Φ 2 −tφ + q) R = O (4)
Meet. (Where t is an integer uniquely determined by q, a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , and a 6 ) A polynomial φ 2 −tφ + q related to φ is called a characteristic polynomial. If the elliptic curve to be considered is limited to E [L] (where L is a prime number), the scalar multiplication may be considered as Z / LZ.
Z/LZ係数の特性多項式では、分解体上で、
φ2−tφ+q=(φ−λ1)(φ−λ2)
と分解でき、λ1、λ2をフロベニウス写像φの固有値と呼ぶ。以下、λ1、λ2∈Z/LZで、かつ、λ1≠λ2なる時を考える。線形空間E[L]の線形変換
In the characteristic polynomial of the Z / LZ coefficient, on the decomposition,
φ 2 −tφ + q = (φ−λ 1 ) (φ−λ 2 )
Λ 1 and λ 2 are called eigenvalues of the Frobenius map φ. Hereinafter, let us consider a case where λ 1 , λ 2 ∈Z / LZ, and λ 1 ≠ λ 2 . Linear transformation of linear space E [L]
R=P+Q (7)
と一意に分解できる。線形空間E[L]の線形変換
R = P + Q (7)
And can be decomposed uniquely. Linear transformation of linear space E [L]
φP=λ1P
が成立する。E[L]から固有空間
φP = λ 1 P
Is established. E [L] to eigenspace
φQ=λ2Q
が成立する。E[L]から固有空間
φQ = λ 2 Q
Is established. E [L] to eigenspace
(φn)2−tn(φn)+qn=(φn−λ1 n)(φn−λ2 n)
(tnは、t,n,qによって決まる整数)を考えることにより、固有値、固有空間、固有分解、射影等を構成できる。本発明をqn乗フロベニウス写像φnを使っても実現できるので、以降、フロベニウス写像φと云った場合、単なるq乗フロベニウス写像だけでなく、qn乗フロベニウス写像も含むものとする。
By considering (t n is an integer determined by t, n, and q), eigenvalues, eigenspaces, eigendecompositions, projections, and the like can be configured. Since the present invention can also be realized using the q n -th power Frobenius map φ n , hereinafter, the Frobenius map φ includes not only a q-th power Frobenius map but also a q n power Frobenius map.
(5)ペアリング:
μLを楕円曲線の定義体Kの代数閉体上の乗法単位元1のL乗根の作る乗法群とする。参考文献「Alfred J.Menezes,『ELLIPTIC CUEVE PUBLIC KEY CEYPTOSYSTEMS』pp.61-81, 出版KLUWER ACADEMIC PUBLISHERS,ISBN0-7923-9368-6にあるように、ペアリングeLとは、
eL:E[L]×E[L]→μL
なる関数で、以下の性質を持つ。
(5) Pairing:
Let μL be a multiplicative group created by the L root of the
e L : E [L] × E [L] → μ L
Which has the following properties:
−E[L]上の任意の点R1に対して、eL(R1,R1)=1.
−E[L]上の任意の2点R1,R2に対して、eL(R1,R2)
=eL(R2,R1)−1
−E[L]上の任意の3点R1,R2,R3に対して、
eL(R1+R2,R3)=eL(R4,R3)eL(R2,R3)であり、
eL(R1,R2+R3)=eL(R1,R2)eL(R1,R3)
−E[L]上の任意の点R1に対して、eL(R1,O)=1さらに、
E[L]上のある点R1がE[L]上の全ての点R2に対して、eL(R1,R2)=1を満たすなら、R1=O.
(6) 射影を用いた一方向性関数:
以下、Lが十分大きいとして、E[L]に関して、フロベニウス写像φの固有値λ1、λ2がλ1,λ2∈Z/LZでかつλ1≠λ2なる場合を考える固有空間
-For any point R 1 on E [L], e L (R 1 , R 1 ) = 1.
For any two points R 1 and R 2 on −E [L], e L (R 1 , R 2 )
= E L (R 2 , R 1 ) −1
For any three points R 1 , R 2 , R 3 on −E [L],
e L (R 1 + R 2 , R 3 ) = e L (R 4 , R 3 ) e L (R 2 , R 3 ),
e L (R 1, R 2 + R 3) = e L (
For any point R 1 on −E [L], e L (R 1 , O) = 1, and
If a point R 1 on E [L] satisfies e L (R 1 , R 2 ) = 1 for all points R 2 on E [L], then R1 = O.
(6) Unidirectional function using projection:
In the following, assuming that L is sufficiently large, an eigenspace is considered in which the eigenvalues λ 1 and λ 2 of the Frobenius map φ are λ 1 and λ 2 ∈Z / LZ and λ 1 ≠ λ 2 with respect to E [L]
R=k1P+k2Q
と書ける。Rによって生成される巡回群(R)上の任意の点R1から、固有空間
R = k 1 P + k 2 Q
Can be written. From an arbitrary point R 1 on the cyclic group (R) generated by R, the eigenspace
−GF(q)上定義された非超特異楕円曲線E/GF(q)に関して、E(GF(q))をE/GF(q)のGF(q)有理点とし、E(GF(qm))をE/GF(q)のGF(qm)有理点とする。L│#E(GF(q))でかつ、 -With respect to the non-super singular elliptic curve E / GF (q) defined on GF (q), let E (GF (q)) be the rational point of GF (q) of E / GF (q), and E (GF (q m )) is the rational point of GF (q m ) of E / GF (q). L│ # E (GF (q)) and
−上記のような楕円曲線に関して、固有空間 -For the elliptic curve as above, the eigenspace
−上記のような楕円曲線に関して、固有空間 -For the elliptic curve as above, the eigenspace
−上記のような楕円曲線に関してE[L]上のO以外の任意の点R1が生成する巡回群(R1)及び、E[L]上の任意の点R2に対して、R2∈<R1>であるか否かを判定する問題は上記ペアリングeLを用いて、効率的に判定可能で例えば以下のようになる。 - above-described elliptic curve with respect to E [L] any point cyclic group R 1 generates a non O on (R 1) and, for any point R 2 on the E [L], R 2 The problem of determining whether or not ε <R 1 > can be efficiently determined using the pairing e L as described below, for example.
(6−1)第1の実施の形態/部分群上判定方法:
図3は、本発明の第1の実施の形態における部分群上元判定装置の構成を示す。同図に示す部分群上元判定装置100は、R1,R2∈E[L],R1≠Oを入力する入力部110、ペアリング計算部120、一時記憶部130、判定部140及びR2∈<R1>の真理値(∈{TRUE,FALSE}を出力する出力部150から構成される。
(6-1) First Embodiment / Subgroup Upper Determination Method:
FIG. 3 shows the configuration of the subgroup element determination device according to the first embodiment of the present invention. The subgroup
図4は、本発明の第1の実施の形態における部分群上元判定方法のフローチャートである。 FIG. 4 is a flowchart of the subgroup element determination method according to the first embodiment of the present invention.
まず、準備として、一時記憶領域としてt∈μLを一時記憶部130に確保する(ステップ101)。
First, as a preparation, to secure the
入力部110からR1,R2∈E[L],R1≠Oを入力する(ステップ102)。 R 1 , R 2 ∈ E [L], R 1 ≠ O are input from the input unit 110 (step 102).
ペアリング計算部120において、ペアリングt←eL(R1、R2)を計算する(ステップ103)。
The
判定部140において、t=1であれば(ステップ104)出力部150よりTRUEを出力して終了し(ステップ105)、t≠1であれば(ステップ104)出力部150よりFALSEを出力して終了する(ステップ106)。
In the
(6−2)第2の実施の形態/一方向性関数計算方法:
上記のE[L]上の任意の点Rに対して、その射影、例えば、
(6-2) Second embodiment / one-way function calculation method:
For any point R on E [L] above, its projection, eg
図5は、本発明の第2の実施の形態における一方向性関数計算装置の構成を示す。同図に示す一方向性関数計算装置200は、R∈E[L]を入力する入力部230、固定値計算部210、スカラー値設定部220、フロベニウス写像計算部240、一時記憶部250、楕円スカラー倍計算部260、楕円減算部270、出力部280から構成される。
FIG. 5 shows a configuration of a one-way function calculation apparatus according to the second embodiment of the present invention. The one-way
図6は、本発明の第2の実施の形態における一方向性関数計算方法のフローチャートである。 FIG. 6 is a flowchart of the one-way function calculation method according to the second embodiment of the present invention.
まず、準備処理として、一時記憶R1,・・R4∈E[L]を予め一時記憶部250に確保しておく(ステップ201)。さらに、固定値計算部210において、固有値λ2∈Z/LZを予め求めておく(ステップ202)。また、スカラー値設定部220において、
First, as preparatory processing, temporary storage R 1 ,... R 4 εE [L] is secured in the
入力部230より、
From the
(6−3)第3の実施の形態/一方向性関数計算方法:
上記の(6−2)の一方向性関数計算方法の演算コストは、フロベニウス写像1回、楕円減算1回、楕円スカラー倍2回、であり、演算コストの大部分を占めるのは、楕円スカラー倍2回の部分である。ところで、k≠0なる任意のk∈Z/LZに対して、線形演算
(6-3) Third embodiment / one-way function calculation method:
The calculation cost of the one-way function calculation method (6-2) above is one Frobenius map, one elliptical subtraction, and two elliptical scalar multiplications, and the elliptical scalar occupies most of the computational cost. This is twice as many parts. By the way, for any k∈Z / LZ where k ≠ 0, linear operation
図7は、本発明の第3の実施の形態における一方向性関数計算装置の構成を示す。同図に示す一方向性関数計算装置300は、R∈E[L]を入力する入力部330、固有値計算部310、フロベニウス写像計算部340、一時記憶部350、楕円スカラー倍計算部360、楕円減算部370、及び出力部380から構成される。
FIG. 7 shows a configuration of a one-way function calculation apparatus according to the third embodiment of the present invention. The one-way
図8は、本発明の第3の実施の形態における一方向性関数計算方法のフローチャートである。 FIG. 8 is a flowchart of the one-way function calculation method according to the third embodiment of the present invention.
まず、準備処理として、一時記憶領域として、R1,…R3∈E[L]を予め一時記憶部350に確保しておく(ステップ301)。次に、固有値計算部310において、λ2∈Z/LZを予め求めておく(ステップ302)。
First, as a preparatory process, R 1 ,... R 3 ∈ E [L] are secured in the
入力部310より、R∈E[L]を入力し(ステップ303)、フロベニウス写像計算部340においてフロベニウス写像R1←φRを計算し、R1を一時記憶部350に格納する(ステップ304)。
RεE [L] is input from the input unit 310 (step 303), the Frobenius
楕円スカラー倍計算部360において、楕円スカラー倍R2←λ2Rを計算し、R2を一時記憶部350に格納する(ステップ305)。
The elliptic
楕円減算部370において、楕円減算R3←R1−R2を計算し、R3を一時記憶部350に格納する(ステップ306)。
The
最後に、出力部380が一時記憶部350に格納されているR3を出力する(ステップ307)。
Finally, the
(6−4)第4の実施の形態/トレースマップを用いた一方向性関数計算方法:
上記の(6−3)の一方向性関数の演算コストは、フロベニウス写像1回、楕円減算1回、楕円スカラー倍1回であり、依然として楕円スカラー倍1回と同程度の演算コストが必要である。ところで、楕円曲線E/GF(q)がL2│#E(GF(q))でかつL2│#E(GF(qm))なる場合、特性多項式は、
φ2−tφ+q=(φ−1)(φ−q) (mod L)
と分解できる。即ち、固有値は1及びq mod Lである。λ1=1、λ2=qmodLとすると、線形変換
(6-4) Fourth Embodiment / One-way Function Calculation Method Using Trace Map:
The calculation cost of the one-way function (6-3) is one Frobenius map, one elliptical subtraction, and one elliptical scalar multiplication. is there. When the elliptic curve E / GF (q) is L 2 | #E (GF (q)) and L 2 | #E (GF (q m )), the characteristic polynomial is
φ 2 −tφ + q = (φ−1) (φ−q) (mod L)
Can be disassembled. That is, the eigenvalues are 1 and q mod L. When λ 1 = 1 and λ 2 = qmodL, linear transformation
図9は、本発明の第4の実施の形態における一方向性関数計算装置の構成を示す。同図に示す一方向性関数計算装置400は、R∈E[L]を入力する入力部410、初期値設定部420、一時記憶部430、点計算部440、出力部450から構成される。
FIG. 9 shows the configuration of a one-way function calculation apparatus according to the fourth embodiment of the present invention. The one-way
図10は、本発明の第4の実施の形態における一方向性関数計算方法のフローチャートである。 FIG. 10 is a flowchart of the one-way function calculation method according to the fourth embodiment of the present invention.
まず、準備処理として、一時記憶領域R1∈E[L]、i∈{0,…,m}を一時記憶部430に確保する(ステップ401)。 First, as a preparation process, the temporary storage area R 1 εE [L], iε {0,..., M} is secured in the temporary storage unit 430 (step 401).
初期値設定部420において、一時記憶部430のR1←O,i←0とする(ステップ402)。
The initial
次に、点計算部440において、R1←R1+φiRとし(ステップ403)、R1を一時記憶部430に格納し(ステップ404)、i←i+1とする(ステップ405)。ここで、i<mであれば、再度ステップ403の処理を行い(ステップ406)、i≧mであれば、出力部450は、一時記憶部430に格納されているR1を出力して終了する(ステップ407)。
Next, the
(6−5)第5の実施の形態/加算連鎖を用いた一方向関数計算:
本実施の形態では、計算可能な拡大における一般的なm(〜log2L)に関して、トレースマップをより効率よく計算する方法を考える。一般の正整数nに対して
(6-5) Fifth Embodiment / One-way Function Calculation Using Addition Chain:
In the present embodiment, a method for calculating the trace map more efficiently with respect to a general m (˜log 2 L) in a computable enlargement is considered. For general positive integer n
i,j,kを整数として整数(1=)n0,…nc(=n)を
n0=1, ni=nj+nk, (j,k<i)
とする。整数列n0,…,ncをnの加算連鎖と呼ぶ。nの加算連鎖を用いてTn(R)の計算を次のように実行することができる。まず、nの加算連鎖n0,…,ncを考える。加算連鎖のni=nj+nk,(j,k<i)なるi,j,kの対応に従って、i=0,…,cに対して、
i, j, k are integers and integers (1 =) n0,..., n c (= n) are n 0 = 1, n i = n j + n k , (j, k <i)
And The integer sequence n 0 ,..., Nc is called an addition chain of n. The calculation of T n (R) can be performed as follows using the addition chain of n . First, consider the addition chain n 0 ,..., N c of n. For i = 0,..., C, according to the correspondence of i, j, k as n i = n j + n k , (j, k <i) in the addition chain,
この方法を使って、トレースマップを用いた一方向性関数を以下のように計算することができる。 Using this method, a one-way function using a trace map can be calculated as follows.
図11は、本発明の第5の実施の形態における一方向性関数計算装置の構成を示す。同図に示す一方向性関数計算装置500は、R∈E[L]を入力する入力部510、初期値設定部520、一時記憶部530、加算連鎖計算部540、出力部550から構成される。
FIG. 11 shows a configuration of a one-way function calculation apparatus according to the fifth embodiment of the present invention. The one-way
図12は、本発明の第5の実施の形態における一方向性関数計算方法のフローチャートである。 FIG. 12 is a flowchart of the one-way function calculation method according to the fifth embodiment of the present invention.
まず、準備処理として、使用するmの加算連鎖n0=1,ni=nj+nk, (j,k<i),nc=mを決めておく(ステップ501)。但し、必ずしも最適な加算連鎖を用いる必要はない。例えば、2進計算法を用いることができる。 First, as a preparatory process, m addition chains n 0 = 1, n i = n j + n k , (j, k <i), and n c = m to be used are determined (step 501). However, it is not always necessary to use an optimal addition chain. For example, a binary calculation method can be used.
また、一時記憶領域R0,…,Rc∈E[L],i∈{0,…,c}を予め一時記憶部530に確保しておく(ステップ502)。
Further, temporary storage areas R0,..., RcεE [L], iε {0,..., C} are secured in the
初期値設定部520において、一時記憶部530に対して、R0←R,i←0を設定する(ステップ503)。
The initial
入力部510からR∈E[L]を入力する(ステップ504)。 RεE [L] is input from the input unit 510 (step 504).
加算連鎖計算部540は、i←i+1とし(ステップ505)、ステップ501で予め決められた加算連鎖に従って、iに対応するj,k<iを決定し、
The addition
ここで、i<cであれば(ステップ507)、ステップ505以降の処理を繰り返し、i≧cであれば、出力部550において、一時記憶部530からRcを読み出して出力するステップ508)。
Here, if i <c (step 507),
(6−6)第6の実施の形態/一方向性関数計算方法:
前述の第5の実施の形態の一方向性関数計算方法で必要とされた一時記憶領域R0,…,Rcは、加算連鎖によっては必ずしもc+1個必要な訳ではない。工夫により、一時記憶領域を削減することができる。加算連鎖の数列自体も、動作中に決定することが可能である。本実施の形態では、例えば、2進計算法を用いる場合について説明する。
(6-6) Sixth Embodiment / One-way Function Calculation Method:
The temporary storage areas R 0 ,..., R c required in the one-way function calculation method of the fifth embodiment described above are not necessarily required in accordance with the addition chain. As a result, the temporary storage area can be reduced. The number sequence of the addition chain itself can also be determined during operation. In this embodiment, for example, a case where a binary calculation method is used will be described.
図13は、本発明の第6の実施の形態における一方向性関数計算装置の構成を示す。同図に示す一方向性関数計算装置600は、R∈E[L]を入力する入力部610、初期値設定部620、一時記憶部630、加算連鎖計算部640、出力部650から構成される。
FIG. 13 shows a configuration of a one-way function calculation apparatus according to the sixth embodiment of the present invention. The one-way
図14は、本発明の第6の実施の形態における一方向性関数計算方法のフローチャートを示す。 FIG. 14 shows a flowchart of a one-way function calculation method according to the sixth embodiment of the present invention.
まず、準備処理として、使用するmの加算連鎖は2進計算法とし、mの2進展開mi∈{0,1}を、 First, as a preparatory process, the addition chain of m to be used is a binary calculation method, and binary expansion m i ε {0, 1} of m is
また、一時記憶領域R0∈E[L]、i∈{0,…,c},j∈{1,…,m}を予め一時記憶部630に確保しておく(ステップ602)。
Further, temporary storage areas R 0 ∈E [L], i∈ {0,..., C}, j∈ {1,..., M} are secured in the
初期値設定部620において、一時記憶部620の値をR0←R,j←1、i←cとする(ステップ603)。
In the initial
入力部610からR∈E[L]を入力する(ステップ604)。 RεE [L] is input from the input unit 610 (step 604).
加算連鎖計算部640は、i←i−1とし(ステップ605)、R0←φjR0+R0,j←j+1とし(ステップ606)、mi=1であれば(ステップ607)、加算連鎖計算部604は、R0←φR0+R、j←j+1とし(ステップ608)、i>0であれば(ステップ609)、ステップ605に移行し、i≦0であれば(ステップ609)、出力部650において、一時記憶部630から最終的なR0を読み出して、出力する(ステップ610)。
The addition
mが2進数で表現されている場合、上記のステップ606の前半でのjの値は、その時点でのiの値を使って、mの先頭からc−1ビットを符号なし整数として見て決定してもよいし、その場合、ステップ603、606、607でjの値を設定する必要はなく、一時記憶領域としてjを確保することもない。
When m is expressed in binary, the value of j in the first half of the
本発明は、上記の第1の実施の形態から第6の実施の形態における動作をプログラムとして構築し、一方向性関数計算装置、及び、部分群上元判定装置として利用されるコンピュータの記憶手段にインストールし、CPU等の制御手段により実行させる、または、ネットワークを介して流通させることも可能である。 The present invention constructs the operation in the first to sixth embodiments as a program, and stores the computer as a one-way function calculation device and a subgroup element determination device. It is also possible to install the program on a computer and execute it by a control means such as a CPU, or distribute it via a network.
また、構築されたプログラムを、一方向性関数計算装置、部分群上元判定装置として利用されるコンピュータに接続されたハードディスク装置や、フレキシブルディスク、CD−ROM等の可搬記憶媒体に格納しておき、実施する際に、これらのコンピュータにインストールすることも可能である。 In addition, the constructed program is stored in a portable storage medium such as a one-way function calculator, a hard disk device connected to a computer used as a partial group element determination device, a flexible disk, or a CD-ROM. It is also possible to install on these computers when implementing.
また、本発明は、上記の実施の形態に限定されることなく、特許請求の範囲内において種々変更・応用が可能である。 The present invention is not limited to the above-described embodiment, and various modifications and applications can be made within the scope of the claims.
本発明は、計算量理論に基づく情報セキュリティ技術に適用することが可能である。 The present invention can be applied to information security technology based on the computational complexity theory.
100 部分群上元判定装置
110 入力部
120 ペアリング計算部
130 一時記憶部
140 判定部
150 出力部
200 一方向性関数計算装置
210 固定値計算部
220 スカラー倍設定部
230 入力部
240 フロベニウス写像計算部
250 一時記憶部
260 楕円スカラー倍計算部
270 楕円減算部
280 出力部
300 一方向性関数計算装置
310 固有値計算部
330 入力部
340 フロベニウス写像計算部
350 一時記憶部
360 楕円スカラー倍計算部
370 楕円減算部
380 出力部
400 一方向性関数計算装置
410 入力部
420 初期値設定部
430 一時記憶部
440 点計算部
450 出力部
500 一方向性関数計算装置
510 入力部
520 初期値設定部
530 一時記憶部
540 加算連鎖計算部
550 出力部
600 一方向性関数計算装置
610 入力部
620 初期値設定部
630 一時記憶部
640 加算連鎖計算部
650 出力部
100 Subgroup Upper
Claims (9)
予め一時記憶手段に、R1,…,R4∈E[L](但し、E[L]は、Lを素数とし、有限体上定義された楕円曲線E上の点Rの内、LR=O(但し、Oは無限遠点)を満たすRの集合)を記憶するための領域を確保しておき、
固有値計算手段において、フロベニウス写像の固有値λ1,λ2∈Z/LZを求めておき、
入力手段において、R∈E[L]を入力し、
スカラー倍設定手段において、
フロベニウス写像計算手段において、フロベニウス写像φにより、楕円曲線上の点φRを計算し、計算結果R1を前記一時記憶手段に格納しておき、
楕円スカラー倍計算手段において、点Rのスカラー倍λ2Rを計算し、計算結果R2を前記一時記憶手段に格納しておき、
楕円減算手段において、前記一時記憶手段から前記計算結果R1と前記計算結果R2を取得してR1−R2を計算し、計算結果R3を前記一時記憶手段に格納しておき、
前記楕円スカラー倍計算手段において、R3のスカラー倍
最終的に、出力手段により、前記一時記憶手段からR4を読み出して出力することを特徴とする一方向性関数演算方法。 In the one-way function calculation method for calculating the one-way function,
R 1 ,..., R 4 ∈ E [L] (where E [L] is a prime number, and LR = L of the points R on the elliptic curve E defined on the finite field) An area for storing O (where R is a set of R satisfying O is an infinite point) is reserved,
In the eigenvalue calculation means, eigenvalues λ 1 and λ 2 ∈Z / LZ of the Frobenius map are obtained,
In the input means, R∈E [L] is input,
In the scalar multiplication setting means,
In the Frobenius map calculation means, a point φR on the elliptic curve is calculated from the Frobenius map φ, and the calculation result R 1 is stored in the temporary storage means.
In the elliptic scalar multiplication calculating means, the scalar multiplication λ 2 R of the point R is calculated, and the calculation result R 2 is stored in the temporary storage means,
In elliptical subtracting means, said acquired the calculated from temporary storage unit results R 1 and the calculation result R 2 calculates the R 1 -R 2, the calculation result R 3 may be stored in the temporary storage means,
In the elliptic scalar multiplication calculation means, a scalar multiplication of R 3
Finally, the output unit, one-way function calculation method and outputting from said temporary memory means reads out the R 4.
一時記憶手段に、R1,…,R3∈E[L](但し、E[L]はLを素数とし、有限体上定義された楕円曲線E上の点Rの内、LR=O(但し、Oは無限遠点)を満たすRの集合)を確保するための領域を確保しておき、
固有値計算手段において、フロベニウス写像の固有値λ2∈Z/LZを求めておき、
入力手段において、R∈E[L]を入力し、
フロベニウス写像計算手段において、フロベニウス写像φにより、楕円曲線上の点φRを計算し、計算結果R1を前記一時記憶手段に格納し、
楕円スカラー倍計算手段において、前記固有値計算手段で求められた前記固有値λ2を取得して、点Rのスカラー倍λ2Rを計算し、計算結果R2を前記一時記憶手段に格納し、
楕円減算手段において、前記一時記憶手段から前記計算結果R1と前記計算結果R2を取得して、R1−R2を行い、計算結果R3を前記一時記憶手段に格納し、
最終的に、出力手段により、前記一時記憶手段からR3を読み出して出力することを特徴とする一方向性関数演算方法。 In the one-way function calculation method for calculating the one-way function,
R 1 ,..., R 3 ∈ E [L] (where E [L] is a prime number, and LR = O (of the points R on the elliptic curve E defined on the finite field). However, an area for ensuring a set of R satisfying O) is satisfied,
In the eigenvalue calculation means, the eigenvalue λ 2 ∈Z / LZ of the Frobenius map is obtained,
In the input means, R∈E [L] is input,
In the Frobenius map calculation means, a point φR on the elliptic curve is calculated from the Frobenius map φ, and the calculation result R 1 is stored in the temporary storage means.
In the elliptic scalar multiplication means, the eigenvalue λ 2 obtained by the eigenvalue calculation means is obtained, the scalar multiplication λ 2 R of the point R is calculated, and the calculation result R 2 is stored in the temporary storage means,
In elliptical subtracting means, the calculation result to obtain the R 2 the calculation result R 1 from the temporary storage means, performs R 1 -R 2, and stores the calculation result R 3 in the temporary storage means,
Finally, the output unit, one-way function calculation method and outputting from said temporary memory means reads the R 3.
一時記憶手段に、楕円曲線上の点を格納する領域R1,0以上m以下の整数を格納可能な領域iを確保しておき、
初期値設定手段において、
前記R1に楕円曲線上の無限遠点Oを設定し、前記領域iに0を設定し、
入力手段において、
楕円曲線E[L](E[L](但し、E[L]はLを素数とし、有限体上定義された楕円曲線E上の点Rの内、LR=O(但し、Oは無限遠点)を満たすRの集合))上の点Rを取得し、
フロベニウス写像計算手段により、
フロベニウス写像φiRを計算し、その計算結果と前記点R1とを楕円加算計算手段に入力し、その計算結果を前記領域R1に格納し、前記領域iのカウントをi+1とし、i≧m(mは1以上の整数)になるまで当該処理を繰り返し、
最終的に、
In the temporary storage means, an area R 1 for storing points on the elliptic curve, an area i capable of storing an integer of 0 to m,
In the initial value setting means,
Set an infinite point O on the elliptic curve to R 1 , set 0 to the region i,
In the input means,
Elliptic curve E [L] (E [L] (where E [L] is a prime number, and LR = O among the points R on the elliptic curve E defined on the finite field, where O is infinity) A set of R satisfying the point)))
By Frobenius map calculation means,
The Frobenius map φ i R is calculated, the calculation result and the point R 1 are input to the ellipse addition calculation means, the calculation result is stored in the region R 1 , the count of the region i is i + 1, and i ≧ The process is repeated until m (m is an integer of 1 or more),
Finally,
前記mの加算連鎖n 0 =1,ni=nj+nk,(j,k<i),nc=m(但し、cはmの加算連鎖の長さ)とし、
前記領域iのカウントをi+1とし、
前記加算連鎖に従って前記領域iに対するj、k<iを決定し、
The m addition chain n 0 = 1, n i = n j + n k , (j, k <i), n c = m (where c is the length of the m addition chain) ,
Let the count of region i be i + 1,
Determine j, k <i for the region i according to the addition chain,
予め、R1,…,R4∈E[L](但し、E[L]は、Lを素数とし、有限体上定義された楕円曲線E上の点Rの内、LR=O(但し、Oは無限遠点)を満たすRの集合)を記憶するための領域が確保された一時記憶手段と、
フロベニウス写像の固有値λ1,λ2∈Z/LZを求めておく固有値計算手段と、
スカラー倍
R∈E[L]を入力する入力手段と、
フロベニウス写像φにより、楕円曲線上の点φRを計算し、計算結果R1を前記一時記憶手段に格納するフロベニウス写像計算手段と、
前記固有値計算手段から前記固有値を取得し、点Rのスカラー倍λ2Rを計算し、計算結果R2を前記一時記憶手段に格納する楕円スカラー倍計算手段と、
前記一時記憶手段から前記計算結果R1と前記計算結果R2を取得し、R1−R2を計算し、計算結果R3を前記一時記憶手段に格納する楕円減算手段と、
前記スカラー倍設定手段から前記λΔを取得し、R3のスカラー倍
最終的に、前記一時記憶手段からR4を読み出して出力する出力手段と、を有することを特徴とする一方向性関数演算装置。 A one-way function computing device for calculating a one-way function,
R 1 ,..., R 4 ∈ E [L] (where E [L] is a prime number, and LR = O (of the points R on the elliptic curve E defined on the finite field) O is a temporary storage means in which an area for storing a set of R satisfying the infinity point) is secured;
Eigenvalue calculating means for obtaining eigenvalues λ 1 and λ 2 ∈Z / LZ of the Frobenius map;
Scalar times
Input means for inputting RεE [L];
Frobenius map calculation means for calculating a point φR on the elliptic curve from the Frobenius map φ and storing the calculation result R 1 in the temporary storage means;
An elliptic scalar multiplication calculating means for obtaining the eigenvalue from the eigenvalue calculating means, calculating a scalar multiplication λ 2 R of the point R, and storing the calculation result R 2 in the temporary storage means;
And elliptic subtracting means for the acquired said calculated from temporary storage unit results R 1 and the calculation result R 2, calculates the R 1 -R 2, and stores the calculation result R 3 in the temporary storage means,
The λ Δ is obtained from the scalar multiplication setting means, and the scalar multiplication of R 3
And an output means for reading and outputting R 4 from the temporary storage means.
一時記憶手段に、R1,…,R3∈E[L](但し、E[L]はLを素数とし、有限体上定義された楕円曲線E上の点Rの内、LR=O(但し、Oは無限遠点)を満たすRの集合) を格納するための領域が確保される一時記憶手段と、
予め、フロベニウス写像の固有値λ2∈Z/LZを求める固有値計算手段と、
R∈E[L]を入力する入力手段と、
フロベニウス写像φにより、楕円曲線上の点φRを計算し、計算結果R1を前記一時記憶手段に格納するフロベニウス写像計算手段と、
前記固有値計算手段で求められた前記固有値λ2を取得して、点Rのスカラー倍λ2Rを計算し、計算結果R2を前記一時記憶手段に格納する楕円スカラー倍計算手段と、
前記一時記憶手段から前記計算結果R1と前記計算結果R2を取得して、R1−R2を行い、計算結果R3を前記一時記憶手段に格納する楕円減算手段と、
最終的に、前記一時記憶手段からR3を読み出して出力する出力手段と、を有することを特徴とする一方向性関数演算装置。 A one-way function calculation device for calculating a one-way function,
R 1 ,..., R 3 ∈ E [L] (where E [L] is a prime number, and LR = O (of the points R on the elliptic curve E defined on the finite field). However, O is a temporary storage means in which an area for storing a set of R satisfying the infinity point) is secured;
In advance, eigenvalue calculation means for obtaining the eigenvalue λ 2 ∈Z / LZ of the Frobenius map;
Input means for inputting RεE [L];
Frobenius map calculation means for calculating a point φR on the elliptic curve from the Frobenius map φ and storing the calculation result R 1 in the temporary storage means;
Obtaining the eigenvalue λ 2 obtained by the eigenvalue calculating means, calculating a scalar multiplication λ 2 R of the point R, and storing the calculation result R 2 in the temporary storage means;
Ellipse subtracting means for obtaining the calculation result R 1 and the calculation result R 2 from the temporary storage means, performing R 1 -R 2 , and storing the calculation result R 3 in the temporary storage means;
Finally, one-way function calculation apparatus characterized by comprising output means for outputting the previous SL temporary memory means reads the R 3, a.
楕円曲線上の点を格納する領域R1,0以上m以下の整数を格納可能な領域iを確保しておく一時記憶手段と、
楕円曲線E[L](E[L](但し、E[L]はLを素数とし、有限体上定義された楕円曲線E上の点Rの内、LR=O(但し、Oは無限遠点)を満たすRの集合))上の点R1に楕円曲線上の無限遠点Oを設定し、前記領域iに0を設定する初期値設定手段と、
楕円曲線上の点Rを取得する入力手段と、
フロベニウス写像φiRを計算し、その計算結果と前記点R1とを楕円加算計算手段に入力し、その出力結果を前記領域R1に格納し、前記領域iのカウントをi+1とし、i≧m(mは1以上の整数)になるまで当該処理を繰り返すフロベニウス写像計算手段と、
最終的に、
を有することを特徴とする一方向性関数演算装置。 When a rational point group of a non-super singular elliptic curve defined on a finite field includes a Cartesian product group of two cyclic groups having the same order, a one-way function defined on the elliptic curve is calculated. A directional function calculation device,
An area R 1 for storing points on the elliptic curve, a temporary storage means for securing an area i in which an integer of 0 to m can be stored;
Elliptic curve E [L] (E [L] (where E [L] is a prime number, and LR = O among the points R on the elliptic curve E defined on the finite field, where O is infinity) An initial value setting means for setting an infinity point O on the elliptic curve to the point R 1 on the set of R satisfying the point)) and setting the area i to 0;
Input means for acquiring a point R on an elliptic curve;
The Frobenius map φ i R is calculated, the calculation result and the point R 1 are input to the ellipse addition calculation means, the output result is stored in the region R 1 , the count of the region i is i + 1, and i ≧ Frobenius map calculation means for repeating the process until m (m is an integer of 1 or more),
Finally,
A one-way function computing device comprising:
前記mの加算連鎖n 0 =1,ni=nj+nk,(j,k<i),nc=m(但し、cはmの加算連鎖の長さ)とし、
前記領域iのカウントをi+1とし、
前記加算連鎖に従って前記領域iに対するj、k<iを決定し、
The m addition chain n 0 = 1, n i = n j + n k , (j, k <i), n c = m (where c is the length of the m addition chain) ,
Let the count of region i be i + 1,
Determine j, k <i for the region i according to the addition chain,
請求項5乃至8記載の一方向性関数演算装置の各手段として機能させるための一方向性関数演算プログラム。 Computer
A one-way function calculation program for causing each unit of the one-way function calculation device according to claim 5 to function .
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