JP4699480B2 - 3d描画アルゴリズムを利用する2d/3d線描画 - Google Patents
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Description
又は
draw_line(x0, y0, n0α, n0R, n0G, n0B, n0RS, n0GS, n0BS, n0u, n0v,x1, y1, n1α, n1R, n1G, n1B, n1RS, n1GS, n1BS, n1u, n1v) (1)
最後の数字或いはキャラクタは特定の属性を認識する。x,yの位置の数値はどんな番号であってもよく、残りの属性についての数値は0から255まで(例えば、0から28まで)であってもよい。数値例として、命令はコマンドストリング(2)として以下のように示される。
3.15, 4.48, 45α, 210R, 0G, 7B, 99RS, 180GS, 45BS, 0u, 16v) (2)
コマンドストリング(2)から描かれる直線は、始点(x0,y0)=(1.51,2.21)から終点(x1,y1)=(3.15,4.48)までの直線であり、指定された属性の数値を有する。
ここで、
K=α,R,G,B,RS、GS、BS、u及びv
(x、y)は1つの画面ピクセルについての画面空間座標
Ak,Bk及びCkはリニア係数を示している。
Bk = [(B0)(K0) + (B1)(K1) + (B2)(K2)]/Area (5)
Ck = [(C0)(K0) + (C1)(K1) + (C2)(K2)]/Area (6)
ここで、二等辺三角形のエリアは、
エリア = (1/2)(a)(h) = (1/2)(a)[(b^2)-(1/4)(a^2)]^(1/2) (7)
リニア係数は、以下のように示される。
B0 = x2-x1 B1 = x0-x2 B2 = x1-x0 (9)
C0 = (x1)(y2)-(x2)(y1) C1 = (x2)(y0)-(x0)(y2) C2 = (x0)(y1)-(x1)(y0) (10)
3次元描画アルゴリズムは、式(3)、(4)、(5)、(6)を含む。上述のように、K2の属性値(例えば、第3番目の点の属性値)がK0及びK1の属性値の平均となるように選択された場合、K2の属性は、ベース402に沿ったピクセルの計算された属性値K(x,y)にあまり影響を与えない。数学的に、このことは以下のように表わされる。
描画のために選択される三角形は二等辺三角形であるので、式(8)、(9)、(10)におけるy2の値はy0及びy1の観点から表現される。図4のようにx0=x1となるように、二等辺三角形400の位置を定めることによって、y2は単純に以下のように表わされる。
ここで、
Ak = [(A0)(K0) + (A1)(K1) + (A2)(K2)]/エリア (4)
式(8)を式(4)に代入して、
Ak = [(y1-y2)(K0) + (y2-y0)(K1) + (y0-y1)(K2)]/エリア (13)
式(11)を式(13)に代入して、
Ak = [(y1-y2)(K0) + (y2-y0)(K1) + (y0-y1)((K0 + K1)/2)]/エリア (14)
式(12)を式(14)に代入して、
Ak = [(y1-(y0 + y1)/2)(K0) + ((y0 + y1)/2-y0)(K1) +
(y0-y1)((K0 + K1)/2)]/エリア (15)
乗除算をすると、
Ak = [(K0)(y1)-.5(K0)(y0)-.5(K0)(y1) + .5(K1)(y0) + .5(K1)(y1) -(K1)(y0) +
.5(K0)(y0)-.5(K0)(y1)+.5(K1)(y0)-.5(K1)(y1)]/エリア (16)
並べ替えて、
Ak = [-.5(K0)(y0)+.5(K0)(y0) + (K0)(y1)-.5(K0)(y1)-.5(K0)(y1)+
.5(K1)(y0)-(K1)(y0)+.5(K1)(y0)+ .5(K1)(y1)-.5(K1)(y1)]/エリア (17)
或いは
Ak = [0]/エリア = 0 (18)
上述のように、
K(x, y) = (Ak)(x) + (Bk)(y) + Ck (3)
式(18)を式(3)に代入して、
K(x, y) = (0)(x) + (Bk)(y) + Ck (19)
或いは
K(x, y) = (Bk)(y) + Ck (20)
二等辺三角形を利用し、K2をK0及びK1の平均値に等しくなるように設定することにより、A(k)量は式(3)からドロップアウトし、式(20)に示すようなyのみの一変量関数であるK(x,y)の値を生成する。これは望まれるべき結果であり、(x0,y0)或いは(x1,y1)から(x2,y2)の距離或いは、K2の属性値がベース402に沿った属性値、描かれるために選択された直線セグメントに影響を与えるものでもない。
(xm, ym) = ((x1+x0)/2, (y1+y0)/2) (21)
(xm, ym) = (2.33, 3.35) = ((1.51+3.15)/2, (2.21+4.48)/2)
線方程式の傾斜、始点(1.51,2.21)及び終点(3.15,4.48)を使用することにより、直線200の傾斜は、
m = (y1-y0)/(x1-x0) (22)
1.38= (2.21-4.48)/(1.51-3.15)
直線200のy−交点”b”を求めるために、一般線方程式が使用される。
b = 2.21 - 1.38(1.51)
b = 0.12
傾斜m=1.38とすると、直線200の線方程式は、
y = 1.38x + 0.12 (24)
直線200(ベースの距離)の長さは、
距離 = [(x1-x0)^2+(y1-y0)^2)]^(1/2) (25)
2.80 = ((1.51-3.15)^2 + (2.21-4.48)^2))^(1/2))
直線200の中点を通過する垂線の傾斜mは、直線200の傾斜の負の逆であり、ここではm=1.38である。したがって、直線200の中点を通過する垂線の傾斜mは、−0.72(=(1/1.38))である。直線200の中点を通過する垂線のy−交点は、3.35(−.072)(2.33)+b、或いはb=5.03のように式(23)から得られる。したがって、第3の点(x2,y2)は下記式の線に沿った点である。
図5は、直線500として再度描かれた直線200の平面図である。直線500は、始点502と終点504との間に存在し、中点506(xm,ym)を含む。線508は、中点504を通る直線200の垂直二等分線として位置する。上述のように、第3の点(x2,y2)は式26:y2=−0.72(x2)+5.03に従った線に沿った点である。加えて、図1の表示装置118の左上コーナから描画が右から左に、そしてトップからボトムの方向へ開始し、描画処理が直線500の位置を決定することを可能にすることが望ましい。直線500の始点502がどこに存在するかを決定する1つの方法は、計画された二等辺三角形内の描画処理によって認識される第1のピクセルが直線500の(x0,y0)始点に関連付けられたピクセル、すなわち、点502となるように第3の点が選択される。
エリア = (1/2)(a)(h) (7)
ここで、”a”は直線602の長さであり、hは直線602の中点から第3の点に延びるB−線の長さである。hは、2/aに等しく設定され、エリア=1.00となる。したがって、電力を節約する一つの方法は、実際にエリアを計算することなくエリアを1に等しく設定することである。
h = 2/a (27)
そのため、
x2 - x0 = 2/(y1-y0) (28)
或いは
x2 = x0 + 2/(y1-y0) (29)
上記の要約は、
x0=x1の場合に、
If x0 = x1, then let x2 = x0 + 2/(y1-y0) and y2 = (y1+y0)/2 (30)
図6Bでは、始点(x0,y0)の座標y及び直線602の終点(x1,y1)のy座標は等しい(或いは、y0=y1)。ここで、直線602を垂直に等分する線、すなわち、x2=(x1+x0)/2に沿ってx2が位置する場合に、二等辺三角形が形成される。さらに、y2が直線602の始点(x0,y0)のy座標の値よりも大きい場合、左から右、トップからボトムまで描画処理が、提案された二等辺三角形内の他のピクセルに届く前に、始点(x0,y0)(図6Bにおける点608)に関連付けられたピクセルに最初に届く。図6Aにおいて適用されたものと同じロジックである。
図6Cにおいて、直線610の始点(x0,y0)のy座標及び終点(x1,y1)のy座標が等しくない(或いは、y0≠1)。加えて、x0<x1である。図6A及び図6Bにおいても同様に、第3の点(x2,y2)が、直線610を垂直に二等分する線に沿って位置する線に位置する場合に二等辺三角形が形成される。図6Cの点612を含むピクセルが他のピクセルの前に最初に描画されることを保証するために、y2はy0よりも小さくないべきであり、x2はx0よりも小さいべきである。言い換えれば、
If y0 ≠ y1 & x0 < x1, let y2 ≧ y0 and x2 ≧ x0 (32)
電力省力化方法を計算するために、比較的シンプルな図6Cにおいて配置されているような直線について提案されている二等辺三角形のエリアを形成することが望ましい。式(27)から、このことは、
h = 2/a (27)
図5の直線500は図6Cの直線シナリオにフィットし、この提案を調査するための良い例として取り扱う。
2/(2.80) = [(x2-2.33)^2+(y2-3.35) ^2)]^(1/2) (34)
ここで、
y2 = -0.72x2 + 5.03
式(34)に代入して、
(2/(2.80))^2 = (x2-2.33) ^2+((-0.72x2 + 5.03)-3.35)^2
0.51 = (x2-2.33)^2 + ((-0.72x2 + 1.68)^2
0.51 = [(x2)^2-4.66x2+5.43] + [0.52(x2)^2-2.42x2+2.82]
0.51 = 1.52(x2)^2-7.08x2+8.25
0 = 1.52(x2)^2-7.08x2+7.74
両辺を1.52で除すると、
0 = (x2)^2-4.66x2+5.09
この多項式を整数で因数分解すると、以下の式が得られる。
x2 = 2.91 or x2 = 1.75
図6Cにおいて配置された直線についてx2≧x0であることをリコールする。図5の直線500について、x0=1.51である。従って、この場合においては、x2は2.91或いは1.75のいずれか一方である。x2が2.91(x2=2.91)に設定された場合,y2=2.93=-0.72(2.91)+5.03であるので、
(x2, y2) = (2.33, 2.93) (35)
計算電力を省力化する他の方法は、図6Cにおける配置について、x2=x0 或いはy2=y0とすることである。y2=y=0の図5における直線200について、x2は、単に線508の式から以下のように計算される。
x2 = 3.90 = (2.21 − 5.03)/(-0.72)
故に、
(x2, y2) = (3.90, 2.21)
図6Cにおける配置についての第3の点の座標(x2,y2)の単純な計算のトレードオフは、図6Cの二等辺三角形のエリアを決定するために必要とされるより大きな計算である。図6Cに関しては、上述のことは以下のように要約される。
let (エリア = 1 or y2 = y0 or x2 = x0) (36)
図7は、上記式(35)において(x2,y2)=(3.90,2.21)に設定された第3の点704とともに描かれた二等辺三角形702の平面図である。二等辺三角形702は、始点502及び終点504との間の直線500を含む。
If y0 ≠ y1 and x0 > x1, let y2 > (y1+y0)/2 and x2 > (x1+x0)/2 (37)
図6Cの直線において、計算電力を省力化するための同様の選択が図6Dの直線の処理のために行なわれる。式(37)に加えて、エリアを1(エリア=1)に設定することは、エリアを計算するプロセッサの計算負荷を緩和する。しかし、第3の点(x2,y2)の座標を決定するプロセッサの計算負荷を増大する。このことは、以下のように要約される。
let (エリア = 1 or y2 = y1 or x2 = x0) (38)
一般的に、図1のシステムプロセッサ102は、その三角形要素の第3の点(x2,y2)の座標及び三角形要素のエリアの双方を決定する。1つのシステムプロセッサは、三角形要素の第3の点の座標を計算することよりも三角形要素エリアを計算するほうがより効率的であり、このような効率性はエリア=1を式(38)のデフォルトとすることにより活かされる。ステップ302においてシステムプロセッサ102が入力を受信し、3つの線、y0≠y1及びx0>x1を生成し、配置する場合に、システムプロセッサ102は第1の線についてエリア=1とし、第2の線についてy2=y1とし、第3の線についてx2=x0とする。このような方法で、システムプロセッサ102は、全ての3つの線についてエリア=1である場合に、より多くの処理回路を利用することができる。
If y0 = y1, then let y2 = y0 + 2/(x1-x0) and x2 = (x1+x0)/2 (31)
If y0 ≠ y1 and x0 < x1, let y2 ≧ y0 and x2 ≧ x0 and
let (area = 1 or y2 = y0 or x2 = x0) (36)
If y0 ≠ y1 and x0 > x1, let y2 > (y1+y0)/2 and x2 > (x1+x0)/2 and
let (area = 1 or y2 = y1 or x2 = x0) (38)
システムプロセッサ102が図3の方法300におけるステップ306での第3の点の選択を開始し、3つの点が三角形を形成するようにステップ304の命令を追加することをリコールする。ステップ308では、方法300は第3の点(x2,y2)の座標の選択を開始する。
draw_line (1.51, 2.21, 8α, 240R, 0G, 56B, 23RS, 0GS, 0BS, 4u, 256v,
3.15, 4.48, 45α, 210R, 0G, 7B, 99RS, 180GS, 45BS, 0u, 16v) (2)
K2 = (K0 + K1)/2 (11)
コマンドストリング(2)の拡散色アルファ(”α”)平均値は26.5(=(8+45)/2)である。コマンドストリング(2)の拡散色の赤(”R”)は275(=(240+210)/2)である。コマンドストリング(2)の拡散色の緑(”G”)は0(=(0+0)/2)である。式(35)の座標を利用し、残存する属性を計算することにより、第3の点(K2)についての頂点コマンドストリングは、
vertex_K2(3.90, 2.21, 26.5α, 275R, 0G, 31.5B, 61RS, 90GS, 22.5BS, 2u, 136v) (39)
代替的な実施の形態においては、システムプロセッサが、ステップ302で三角形(x0,y0,k0),(x1,y1,k1),(x2’,y2’,k2’)を定義した情報及び三角形のエッジを直線で描画するための要求を受信した場合に、K2’の属性値がK2=(K0+K1)/2のようなK2を引き出すように調整されることが可能である。
K(x, y) = (Ak)(x) + (Bk)(y) + Ck (3)
ここで、
K = α, R, G, B, RS, GS, BS, u, 及び v;
(x, y)は、1つの画面ピクセルの画面空間座標を示しており、
Ak, Bk, 及び Ckは、リニア係数を示している。
E1(x,y) = (A1)(x) + (B1)(y) + C1 (40)
E2(x,y) = (A2)(x) + (B2)(y) + C2 (41)
上記3つの式(39),(40),(41)は、6つの乗算及び6つの加算動作を必要とし、これらはかなり高価である。各式(39),(40)及び(41)の点(x+1,y)から点(x,y)を減算し、結果式は単に加算演算を使用する。例えば、式(39)について、
E0(x+1,y) = (A0)(x) + (A0) + (B0)(y) + C0
-E0(x,y) = -(A0)(x) - (B0)(y) - C0
E0(x+1, y) - E0(x,y) = A0 (42)
同様に、B0についての式が得られる。
言い換えれば、一度、最初のエッジ関数E0,E1,E2がピクセル(Xmin,Ymin)について決定される。そして、+x方向の同じ水平スキャン線上の右に対して次のピクセルについてのエッジ関数が、A0を加えることによって得られ、+y方向の同じ垂直線上より下の次のピクセルについてのエッジ関数がB0を加えることによって得られる。
及び
Ei(Xmin + 1, Ymin) = Ei + A0, where (i = 0, 1, 2) (45)
Ei(Xmin, Ymin +1) = Ei + B0, where (i = 0, 1, 2) (46)
描画処理は、さらに追加的な式を通して左或いは上へ移動する。
Ei(Xmin, Ymin -1) = Ei - B0, where (i = 0, 1, 2) (48)
方法800に戻る。方法800は、ステップ806で境界ボックス902の左上ピクセルでの3つのエッジ式についての初期値を計算する。本例において、境界ボックス902の左上ピクセルがピクセル904である。式(44)はピクセル904の3つのエッジ式の初期値を計算するために用いられる。
Claims (22)
- 3次元描画アルゴリズムを使用し、直線グラフィックオブジェクトの2次元表現を定義する表示点の組をコンパイルするプログラムを有するコンピュータ読み取り可能な記録媒体であって、前記プログラムは、コンピュータに、
直線を定義するデータを受信させ、ここで、前記データは座標(x0, y0)及び属性K0を有する始点、及び座標(x1, y1)及び属性K1を有する終点を含み、
座標(x2, y2)を有する第3の点の属性K2を選択させ、ここで、K2 = (K0 + K1)/2であり、
第3の点についての座標(x2, y2)を選択させ、二等辺三角形要素を形成し、
ここで、属性K2=(K0+K1)/2であり、座標(x0, y0), (x1, y1)及び(x2, y2)は二等辺三角形要素を形成し、座標(x0, y0), (x1, y1)は二等辺三角形要素のベースを定義するものであり、
3次元描画アルゴリズムを使用して二等辺三角形要素を描画させ、前記二等辺三角形要素のベースの二次元表現を定義する表示点の組を取得させるコンピュータ読み取り可能な記録媒体。 - y0 ≠ y1でない場合に、第3の点についての座標(x2, y2)を前記コンピュータに選択させることは、前記ベースの垂直二等分線の式を前記コンピュータに取得させることを含む請求項1記載のコンピュータ読み取り可能な記録媒体。
- x0 = x1の場合に、x2及びy2がx2 = x0 + 2/(y1-y0) 及び y2 = (y1+y0)/2として定義される請求項1記載のコンピュータ読み取り可能な記録媒体。
- y0 = y1の場合に、x2及びy2がy2 = y0 + 2/(x1-x0) 及び x2 = (x1+x0)/2として定義される請求項1記載のコンピュータ読み取り可能な記録媒体。
- 前記二等辺三角形要素は領域を定義し、y0 ≠ y1 及び x0 < x1である場合に、x2及びy2がy2 ≧ y0 及び x2 ≧ x0として定義され、前記領域のうちの1つ、x2及びy2は、前記領域のうちの1つ=1、y2 = y0及び x2 = x0として定義される請求項1記載のコンピュータ読み取り可能な記録媒体。
- 前記二等辺三角形要素は領域を定義し、y0 ≠ y1 及び x0 > x1である場合に、x2 及び y2 がy2 > (y1+y0)/2 及び x2 > (x1+x0)/2 として定義され、前記領域のうちの1つ、x2及びy2は、前記領域のうちの1つ=1、y2 = y1及び x2 = x0として定義される請求項1記載のコンピュータ読み取り可能な記録媒体。
- 前記二等辺三角形要素を描画させることは、
前記コンピュータに、
始点(x0, y0)を含むピクセルを位置させ、
水平増加値f=0及び垂直増加値g=1を設定させ、
(x0+f, y0+g) = (x1, y1)であるかを決定させる請求項1記載のコンピュータ読み取り可能な記録媒体。 - (x0+f, y0+g) ≠ (x1, y1)である場合に、前記二等辺三角形要素を描画させることは、さらに、前記コンピュータに、エッジ関数E0=0であるピクセル、エッジ関数E0=0である前記ピクセルのすぐ左に位置するピクセル、エッジ関数E0=0である前記ピクセルのすぐ右に位置するピクセルのエッジ関数E0=0の値を計算させることをさらに具備する請求項7記載のコンピュータ読み取り可能な記録媒体。
- 前記二等辺三角形要素を描画することは、さらに、前記コンピュータに、エッジ関数E0=0であるピクセル、エッジ関数E0=0である前記ピクセルのすぐ左に位置するピクセル、エッジ関数E0=0である前記ピクセルのすぐ右に位置するピクセルを描画するか否かを決定させることをさらに具備する請求項8記載のコンピュータ読み取り可能な記録媒体。
- 3次元描画アルゴリズムを使用し、直線グラフィックオブジェクトの2次元表現を定義する表示点の組をコンパイルする装置において、
直線を定義するデータを受信し、ここで、前記データは座標(x0, y0)及び属性K0を有する始点、及び座標(x1, y1)及び属性K1を有する終点を含み、座標(x2, y2)を有する第3の点の属性K2を選択し、ここで、K2 = (K0 + K1)/2であり、第3の点についての座標(x2, y2)を選択し、二等辺三角形要素を形成するシステムプロセッサと、
三角形要素の3つの頂点(x0, y0, K0), (x1, y1, K1)及び(x2, y2, K2)を定義するデータを受信する図面メモリを有する3次元グラフィックアクセレータと、ここで、座標(x0, y0), (x1, y1)及び(x2, y2)は二等辺三角形要素を形成し、座標(x0, y0), (x1, y1)は二等辺三角形要素のベースを定義するものであり、
前記グラフィックアクセレータは、さらに、3次元描画アルゴリズムを使用して二等辺三角形要素を描画し、前記二等辺三角形要素のベースの二次元表現を定義する表示点の組を得る図面プロセッサを有する装置。 - 直線グラフィックオブジェクトとしてのベースを表示する表示装置をさらに具備する請求項10記載の装置。
- x0 = x1の場合に、x2及びy2がx2 = x0 + 2/(y1-y0) 及び y2 = (y1+y0)/2として定義される請求項10記載の装置。
- y0 = y1の場合に、x2及びy2がy2 = y0 + 2/(x1-x0) 及び x2 = (x1+x0)/2として定義される請求項10記載の装置。
- 前記二等辺三角形要素は領域を定義し、y0 ≠ y1 及び x0 < x1である場合に、x2及びy2がy2 ≧ y0 及び x2 ≧ x0として定義され、前記領域のうちの1つ、x2及びy2は、前記領域のうちの1つ=1、y2 = y0及び x2 = x0として定義される請求項10記載の装置。
- 前記二等辺三角形要素は領域を定義し、y0 ≠ y1 及び x0 > x1である場合に、x2 及び y2 がy2 > (y1+y0)/2 及び x2 > (x1+x0)/2 として定義され、前記領域のうちの1つ、x2及びy2は、前記領域のうちの1つ=1、y2 = y1及び x2 = x0として定義される請求項10記載の装置。
- 3次元描画アルゴリズムを使用し、直線グラフィックオブジェクトの2次元表現を定義する表示点の組をコンパイルする装置において、
直線を定義するデータを受信し、ここで、前記データは座標(x0, y0)及び属性K0を有する始点、及び座標(x1, y1)及び属性K1を有する終点を含み、座標(x2, y2)を有する第3の点の属性K2を選択し、ここで、K2 = (K0 + K1)/2であり、第3の点についての座標(x2, y2)を選択し、二等辺三角形要素を形成するシステムプロセッサと、
三角形要素の3つの頂点(x0, y0, K0), (x1, y1, K1)及び(x2, y2, K2)を定義するデータを受信する手段と、ここで、座標(x0, y0), (x1, y1)及び(x2, y2)は二等辺三角形要素を形成し、座標(x0, y0), (x1, y1)は二等辺三角形要素のベースを定義するものであり、
3次元描画アルゴリズムを使用して二等辺三角形要素を描画し、前記二等辺三角形要素のベースの二次元表現を定義する表示点の組を得る手段とを有する装置。 - 前記受信手段は図面メモリである請求項16記載の装置。
- 前記描画手段は図面プロセッサである請求項16記載の装置。
- (i) x0 = x1の場合に、x2及びy2がx2 = x0 + 2/(y1-y0) 及び y2 = (y1+y0)/2として定義され、
(ii) y0 = y1の場合に、x2及びy2がy2 = y0 + 2/(x1-x0) 及び x2 = (x1+x0)/2として定義され、
(iii) y0 ≠ y1 及び x0 < x1である場合に、前記二等辺三角形要素は領域を定義し、x2及びy2がy2 ≧ y0 及び x2 ≧ x0として定義され、前記領域のうちの1つ、x2及びy2は、前記領域のうちの1つ=1、y2 = y0及び x2 = x0として定義され、
(iv) y0 ≠ y1 及び x0 > x1である場合に、前記二等辺三角形要素は領域を定義し、x2 及び y2 がy2 > (y1+y0)/2 及び x2 > (x1+x0)/2 として定義され、前記領域のうちの1つ、x2及びy2は、前記領域のうちの1つ=1、y2 = y1及び x2 = x0として定義される請求項11記載の装置。 - プロセッサ及びメモリを有する装置において3次元描画アルゴリズムを使用し、直線グラフィックオブジェクトの2次元表現を定義する表示点の組をコンパイルする方法であって、前記方法は、
前記プロセッサによって、直線を定義するデータを受信し、ここで、前記データは座標(x0, y0)及び属性K0を有する始点、及び座標(x1, y1)及び属性K1を有する終点を含み、前記受信したデータを前記メモリに格納し、
前記プロセッサによって、座標(x2, y2)を有する第3の点の属性K2を前記メモリに格納された受信したデータに基づいて選択し、ここで、K2 = (K0 + K1)/2であり、前記選択された属性K2を前記メモリに格納し、
前記プロセッサによって、前記メモリに格納されたデータに基づいて、第3の点についての座標(x2, y2)を選択し、二等辺三角形要素を形成し、前記選択された座標(x2, y2)を格納し、
y0 ≠ y1でない場合に、第3の点についての座標(x2, y2)を選択することは、前記ベースの垂直二等分線の式を得ることを含み、
ここで、属性K2=(K0+K1)/2であり、座標(x0, y0), (x1, y1)及び(x2, y2)は二等辺三角形要素を形成し、座標(x0, y0), (x1, y1)は二等辺三角形要素のベースを定義するものであり、
3次元描画アルゴリズムを使用して二等辺三角形要素を描画し、前記二等辺三角形要素のベースの二次元表現を定義する表示点の組を得る方法。 - x0 = x1の場合に、x2及びy2がx2 = x0 + 2/(y1-y0) 及び y2 = (y1+y0)/2として定義される請求項20記載の方法。
- (i) x0 = x1の場合に、x2及びy2がx2 = x0 + 2/(y1-y0) 及び y2 = (y1+y0)/2として定義され、
(ii) y0 = y1の場合に、x2及びy2がy2 = y0 + 2/(x1-x0) 及び x2 = (x1+x0)/2として定義され、
(iii) y0 ≠ y1 及び x0 < x1である場合に、前記二等辺三角形要素は領域を定義し、x2及びy2がy2 ≧ y0 及び x2 ≧ x0として定義され、前記領域のうちの1つ、x2及びy2は、前記領域のうちの1つ=1、y2 = y0及び x2 = x0として定義され、
(iv) y0 ≠ y1 及び x0 > x1である場合に、前記二等辺三角形要素は領域を定義し、x2 及び y2 がy2 > (y1+y0)/2 及び x2 > (x1+x0)/2 として定義され、前記領域のうちの1つ、x2及びy2は、前記領域のうちの1つ=1、y2 = y1及び x2 = x0として定義される請求項20記載の方法。
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