JP4669979B2 - 一様独立乱数生成方法 - Google Patents

Description

本発明は一様独立乱数生成方法に係る。さらに詳しくは自然数の法ｄ、前記ｄとは素な、すなわちｄとは共通素因数２、３、５、・・・を持たない自然数の乗数ｚ≧２、そして前記法ｄとは素な自然数の初期項ｎ_１に基づいて自然数の列｛ｎ_１、ｎ_２、・・・｝を生成する乗算合同法、すなわちｎ_ｋのｚ倍をｄで割った余りを次の整数ｎ_ｋ＋１とし、ｋ＝１、２、・・・に対して実数列｛ｕ_ｋ＝ｎ_ｋ／ｄ｝を一様独立乱数列の出力とする乱数生成方法、に関する。

コンピュータ上の一様独立乱数生成方法は再現性と移植可能性を求められる。再現性とはユーザの求めに応じ同一の乱数列を必要な回数だけ再発生し得る性質である。また移植可能性は生成方式を他のコンピュータに移し或いは他のプログラム言語に移植しても、全く同一の乱数列を発生する事を言う。これらはシミュレーションなど乱数列を用いるプログラムの作成、デバッグに必須である。

前項０００２の要件はコンピュータ上の乱数生成方式に、下位の桁の切り捨てによる打切り誤差や、四捨五入による丸めの誤差などの扱いに統一した規格のない実数演算ではなく、それら誤差の存在しない整数演算のみを用いて次々に整数列を生成する事、実数演算は整数列の正規化に限る事、を求める。そのような方式の１つである乗算合同法は非特許文献１（１９５１）で始められた。それは整数列ｎ_１、ｎ_２、・・・を漸化合同式

で生成する。ここでｄは正の整数で法、ｚは２以上の整数で乗数、とそれぞれ呼ばれ、数４の合同式は前段の整数ｎ_ｋと整数ｚとの積ｚｎ_ｋを法の整数ｄで割った余りをｎ_ｋ＋１とする事を意味する。ｎ_１とｚはともにｄとは素に選ばれ、すべての番号ｋ＝１、２、・・・でｎｚ^ｋは分母ｄで割り切れることはなく、常に０＜ｎ_ｋ＜ｄが成り立つ。一様独立乱数列としては０＜ｕ_ｋ＜１と正規化された実数ｕ_ｋ＝ｎ_ｋ／ｄがｋ＝１、２、・・・に対して用いられる。

従来の乗算合同法は２つの形の法を用いる。１つは大きい素数の法ｄ＝ｐを取り、素数ｐに対する原始根ｚを乗数に選ぶ。すなわちｚのベキの列を法ｄ＝ｐで（言い換えるとｄ＝ｐで割った余りの意味で１、２、・・・に）値を定めた巡回列と呼ばれる数列＜ｚ＞≡｛１、ｚ、ｚ^２、・・・｝ｍｏｄ（ｐ）が理論上最大の周期ｐ−１を持つ、すなわち素数の法ｄ＝ｐと素な整数｛１、２、・・・、ｐ−１｝を１度ずつすべて巡る構造のものである。このとき法ｄ＝ｐと素な任意の初期値ｎ_１に対して、巡回列＜ｚ＞のｎ_１に関する剰余類、と呼ばれる列ｎ_１＜ｚ＞≡｛ｎ_１、ｎ_１ｚ、ｎ_１ｚ^２、・・・｝ｍｏｄ（ｐ）は巡回列＜ｚ＞の出発点の取り方の違いに相当するだけのものとなり、乗算合同法乱数列は初期値ｎ_１に関係しない同一で最長の周期ｐ−１を持つ。今１つは法をｄ＝２^ｉ（ｉ≧４）とし、ある整数ｍでｚ＝８ｍ＋５と表される奇数ｚ、すなわち法８で５に合同なｚ、を乗数とする構成である。この後者の法ｄと乗数ｚの場合も、ｚの作る乗算合同法乱数列は法と素な（すなわち奇数の）初期値ｎ_１の選択に関係しない理論的に可能な最大値である周期２^ｉ／４＝２^ｉ−２を持つ。すなわちｎ_１が法８で１あるいは５と合同な場合には剰余類の列ｎ_１＜ｚ＞は法８で１および５と合同な総数２^ｉ／４の奇数すべてを１度ずつ巡り、残るｎ_１が法８で３あるいは７と合同な場合には同数２^ｉ／４の法８で３および７と合同な奇数のすべてを１度ずつ巡る構造を実現する。

段落０００４のどちらの法ｄと対応する乗数ｚの選択でも、生成される列の相続く数の分布、すなわち目指す相続く数の独立性の実現度、は乗数ｚの取り方によって非常に大きく性質を変える。その中から優れた乗数ｚを選ぶ最も信頼できる技術としてスペクトル検定が案出され、非特許文献２（１９８６）の掃過的スペクトル検定、すなわち素数の法ｄ＝ｐ＝２^３１−１でのあらゆる原始根ｚを掃過比較する性能テスト、による最優秀乗数の選定でその頂点を見た。また非特許文献３（１９９０）では法ｄ＝２^３２でのすべての可能な乗数ｚ≡５ｍｏｄ（８）の掃過的なスペクトル検定と、法２^４８での部分掃過的なスペクトル検定が実施された。発見された優れた乗数の割合は法２^３１−１では７．５×１０^−５％、他の法でも同程度以下であった。これらの結果は個別的な検定を経ずに乗数ｚを決定してよい生成方式を得る確率は大変小さいこと、検定を経ない乗数では信頼に足る乱数生成方法は実現できないことを示した。これはまた、乗算合同法一様独立乱数の周期の実用的上限は掃過的スペクトル検定が計算可能なｄの最大値以下である、という工学技術的限界の存在を明らかにした。なお１９９０年当時と現在のコンピュータ速度を比べて、現在では法ｄ＝２^４８での掃過的スペクトル検定は可能、と見積もられている。

乗算合同法のスペクトル検定の法ｄ＝２^ｉの場合は少し異なる方式となり、また合成数の法の成分としては実用に不適合な障害を持つので除く。奇素数の法ｄ＝ｐの場合、および本発明の法ｄが奇素数の積である場合には、行うべき計算は次の簡単な形に要約される。法ｄおよび乗数ｚに対してＬ次元行ベクトルのＬ個の組を考える：

これらのベクトルの任意整数係数倍の和で作られるベクトルの中で、０ではない最小の正の長さを持つものを発見し、その長さκ_ｄ ^（Ｌ）（ｚ）を求める事が乗数ｚの法ｄでのＬ次スペクトル検定である。得られる数κ_ｄ ^（Ｌ）（ｚ）が大きいほど、乗数ｚの性能は高いと評価される。この簡明な探索が素数の法ｄ＝ｐでの原始根乗数ｚの場合ばかりでなく、本発明の関わるより一般の、例えば奇素数の積の法ｄ＝ｐ_１ｐ_２の場合でも有効であること、それが素数の法の場合とは少し異なる検定内容を持つことは発明の開示の文献１で、そしてｄによって定まる検定に必要な計算量の比較は発明の開示の文献２において明らかにされた。これらの発見によって、現在ではスペクトル検定が、合成数の法の場合も含めて、どのような検定内容と結果を与えるか、検定に要する計算量はどれほどか、の理解は得られている。

現在ー様独立乱数として利用可能な最も長い周期は、形は異なるが数理的には素数の法での原始根の巡回列に近い構造に基づく非特許文献４（１９９４）で与えられたメルセンヌツイスターの２^{１９９３７±３２}＞１０^５９９１である。メルセンヌツイスターはその周期の巨大さのためあらゆる検定が困難であり、生成される乱数列の性質について、特にパソコンから現在のスーパーコンピュータ上で重要と思われる１０^２２程度の長さでの出力乱数の分布について、理論的な保障が存在しない。何らかの検定を確立する事は急務であるが、それは極めて難しい問題で未だ解決を見る事ができない。

【０００８】
段落０００７の状況の大きな転換は非特許文献５、６（２００４）において発見された。発明の開示の文献１、２にも述べられたとおり、０からｚ−１までの値を取る整数の作る任意の列の十分な長さＴの部分について、その各数は（素数ｐや２^ｉの形とは限らない）一般の自然数の法ｄ、そしてｄと素な適当な乗数ｚに基づく乗算合同法数列の対応する数で一様な誤差１／ｚで近似される区間［０、１）の数列を与える、という認識から得られた。この発見は、一様独立乱数列が自然物理現象に基づくものであろうと、或いはどのような計算方式に基づいて生成されたものであろうとすべて、素数と限らない合成数ｄを法とする乗算合同法の数列によって近似表現される、という事実を示すものである。認識は乗算合同法乱数発生方法の合成数への一般化に対応する数理構造の再考と、乗数の新しい選択基準の発見とを迫るものとなった。本特許に関わる研究は、この動機から誘発された。
【非特許文献１】Ｄ．Ｈ．Ｌｅｈｍｅｒ，“Ｍａｔｈｅｍｔｉｃａｌ ｍｅｔｈｏｄｓ ｉｎ ｌａｒｇｅ ｓｃａｌｅ ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ ｕｎｉｔｓ．”Ａｎｎａｌｓ Ｃｏｍｐ．Ｌａｂ．Ｈａｒｖａｒｄ，Ｖｏｌ．２６（１９５１），ｐｐ．１４１−１４６．
【非特許文献２】

【非特許文献３】

【非特許文献４】Ｍ．Ｍａｔｓｕｍｏｔｏ ａｎｄ Ｔ．Ｎｉｓｈｉｍｕｒａ，“Ｍｅｒｓｅｎｎｅ Ｔｗｉｓｔｅｒ；Ａ ６２３−ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｌｙ ｅｑｕｉｄｉｓｔｒｉｂｕｔｅｄ ｕｎｉｆｏｒｍ ｐｓｅｕｄｏｒａｎｄｏｍ ｎｕｍｂｅｒ ｇｅｎｅｒａｔｏｒ，”ＡＣＭ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｍｏｄｅｌｉｎｇ ａｎｄ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ，Ｖｏｌ，４（１９９４），２５４−２６６．
【非特許文献５】Ｈ．Ｎａｋａｚａｗａ，“Ｃｏｓｅｔ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ ｏｆ ｕｎｉｆｏｒｍ ａｎｄ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｒａｎｄｏｍ ｎｕｍｂｅｒ ｓｅｑｕｅｎｃｅｓ Ｉ．Ｃｏｓｅｔｓ ａｓｓｏｃｉａｔｅｄ ｗｉｔｈ ｐｅｒｉｏｄｉｃ ｓｅｑｕｅｎｃｅｓ，”（Ａｕｇｕｓｔ，２００４，インターネット発表），（ＵＲＬ）ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ１０．ｐｌａｌａ．ｏｒ．ｊｐ／ｈ−ｎｋｚｗ／．
【発明の開示】
［１］中澤宏，中澤直也，“長周期で高精度の一様独立乱数の設計：数の連が作る点列幾何の直積群構造及び格子構造に基づく制御．”
（Ｍａｒｃｈ ９，２００８，インターネット発表，０３０９．ｐｄｆ），（ＵＲＬ）ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ１０．ｐｌａｌａ．ｏｒ．ｊｐ／ｈ−ｎｋｚｗ／．
［２］中澤宏，中澤直也，“長周期で高精度の一様独立乱数の設計：数の連が作る点列幾何の直積群構造及び格子構造に基づく制御．”
（Ｍａｒｃｈ ９−Ｊｕｌｙ ４，２００８，インターネット発表，３０９７０４ｊ．ｐｄｆ），（ＵＲＬ）ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ１０．ｐｌａｌａ．ｏｒ．ｊｐ／ｈ−ｎｋｚｗ／．

［１］中澤 宏，中澤直也，“長周期で高精度の一様独立乱数の設計：数の連が作る点列幾何の直積群構造及び格子構造に基づく制御．”（Ｍａｒｃｈ ９，２００８，インターネット発表），（ＵＲＬ）ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ１０．ｐｌａｌａ．ｏｒ．ｊｐ／ｈ−ｎｋｚｗ／．
［２］Ｈ．Ｎａｋａｚａｗａ ａｎｄ Ｎ．Ｎａｋａｚａｗａ，“Ｄｅｓｉｇｎｓ ｏｆ Ｕｎｉｆｏｒｍ ａｎｄ Ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ Ｒａｎｄｏｍ Ｎｕｍｂｅｒｓ ｗｉｔｈ Ｌｏｎｇ Ｐｅｒｉｏｄ ａｎｄ Ｈｉｇｈ Ｐｒｅｃｉｓｉｏｎ．”（Ｍａｒｃｈ ９−Ｊｕｌｙ ８，２００８，インターネット発表），（ＵＲＬ）ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ１０．ｐｌａｌａ．ｏｒ．ｊｐ／ｈ−ｎｋｚｗ／．

発明が解決しようとする課題

この発明は上記段落０００８の発見に基づき、段落０００７の状況の改善を目指してなされた。目標は乗算合同法の法ｄを一般の合成数に拡張して、検定を伴う一様独立乱数列をコンピュータとシミュレーションの現状から望まれる１０^２２以上の周期に対して実現可能とすることである。それは同時に、考え得る乱数生成方式の中で計算負荷が最小限の四則算法の利用によって、実装上最も計算の負荷が軽くかつ高速に演算を行う乱数生成方式を得る事も意味する。

段落０００９の示唆によって乗算合同法の法ｄをこれまでの制限、ｄが素数であるかあるいは２の高次べきｄ＝２^ｉであるか、を越えて一般化することは、ｄと素な整数全体が構成する既約剰余群やその部分群と呼ばれる構造の中で出力乱数の一様分布を実現する簡明な機構、すなわち乗数ｚが生成する巡回列＜ｚ＞≡｛１、ｚ、ｚ^２、・・・、ｚ^ｋ、・・・｝が法ｄの整数の全体（から無視できる少数を除いたもの）を１周期に１度ずつ必ず巡る、という意味の巡回性から離れなければならないことを意味する。言い換えれば解決されるべき課題は、この一様性、独立性を合成数の法ｄで得る新しい乗算合同法の数理構造の発見とその利用方法の発明である。

段落００１０の一様性などの確保の問題とは別に、乱数の相続く連を座標とする空間の点と対応させるとき、生成される点の全体が空間で持つ分布について、段落０００４で説明された在来の乗算合同法にはなかった新しい問題が合成数の法では生じる。在来の乗算合同法での出力乱数列の合い続くＬ個の連をＬ次元空間の点の座標と考えれば、生成される点列は分布の一様性、独立性からは極めて低い確率でしか起き得ない対称性を持つ場合が多い。しかし単独奇素数の法の場合には問題を避けた出力乱数の簡明な利用方法、すなわち周期の小部分、高々１／２以下、の利用への制限、が対策として機能し、この対称性の問題は余り考慮の必要がなかった。しかし法ｄが合成数となると、このような簡便な対策では出力乱数列一様性の確保やスペクトル検定の効力と絡む性能の劣化が不可避となる。法の合成数への拡張を出力乱数の分布統計が在来の乗算合同法と同等以上の精度を持つように得るには、新しい構造理解を見出すこと、非蓋然的な対称性を制御し排除する工学技術設計の発見、が必須の課題である。

課題を解決するための手段

２つの異なる奇素数ｐ_１、ｐ_２をあまり値が近接せず、それらが作る整数ｑ_１＝（ｐ_１−１）／２、ｑ_２＝（ｐ_２−１）／２が偶数と奇数の組でかつ互いに素となる、すなわち共通素因数を持たない、ように選び、積ｄ＝ｐ_１ｐ_２を法と定める。

奇素数の法ｐ_１ですべての原始根を掃過するスペクトル検定を行い、最上の性能の原始根乗数ｚ_１を数個選ぶ。同様に奇素数の法ｐ_２ですべての原始根を掃過するスペクトル検定を行い、最良の性能の原始根乗数ｚ_２を数個選ぶ。

合成数の法ｄ＝ｐ_１ｐ_２の乗算合同法の乗数ｚとして、連立合同式

を満たすｚを中国剰余定理で求める。具体的にはｐ_１とｐ_２が互いに素である事に基づき１＝Ｑ_１ｐ_１＋Ｑ_２ｐ_２を満たす整数の任意の組Ｑ_１、Ｑ_２をユークリッドの互除法等で求め、整数Ｑ_２ｐ_２ｚ_１＋Ｑ_１ｐ_１ｚ_２から２≦ｚ＜ｄの範囲で唯一の整数ｚ≡Ｑ_２ｐ_２ｚ_１＋Ｑ_１ｐ_１ｚ_２を法ｄで（割った余りとして）得る。

段落００１４で構成された乗数ｚのベキの値を法ｄ＝ｐ_１ｐ_２で０からｄ−１までに定めた巡回列＜ｚ＞≡｛１、ｚ、ｚ^２、・・・、ｚ^ｋ、・・・｝ｍｏｄ（ｄ）の周期は、２成分ベクトルの列｛（１、１）、（ｚ_１、ｚ_２）、（ｚ_１ ^２、ｚ_２ ^２）、・・・、（ｚ_１ ^ｋ、ｚ_２ ^ｋ）、・・・｝と同じ周期であり、それは段落００１２のｐ_１、ｐ_２の定め方によってｐ_１−１＝２ｑ_１とｐ_２−１＝２ｑ_２の最小公倍数のＴ＝２ｑ_１ｑ_２となる。この単独乗数ｚに対する合成数の法ｄ＝ｐ_１ｐ_２でのスペクトル検定は、計算時間の問題は別にして、発明の開示の文献１、２で示された所により単一の素数の法での原始根乗数の性能評価と完全に同じ意味の評価を与え、その手続きは段落０００６に記された通りである。ｚに施すべき検定次数Ｌを検定計算が許容時間内に可能となるようにＬ＝３、４、５、６の中から選ぶ。ｚ単独に対して合成数の法ｄ＝ｐ_１ｐ_２でのＬ次スペクトル検定を行い、得られた評価κ_ｄ ^（Ｌ）（ｚ）が十分大きければ（非特許文献２での採択基準はκ_ｄ ^（Ｌ）（ｚ）の逆数が理想値の１２５％以内）ｚを乗数として採択し、法ｄ＝ｐ_１ｐ_２、乗数ｚ、周期Ｔ＝２ｑ_１ｑ_２＝（ｐ_１−１）（ｐ_２−１）／２の乗算合同法一様独立乱数生成方法を得る。検定結果κ_ｄ ^（Ｌ）（ｚ）が望む範囲内ではなければ棄却し、ｚ_１の法ｐ_１での逆数とｚ_２との組み合わせ、異なるｚ_１やｚ_２の組み合わせ、あるいは異なるｐ_１やｐ_２の積の法、を試みる。

上記段落００１２−００１５の手順は、実際は００１５での検定次数Ｌを第１に決定して始める。もしＬ＝４、５、６を望むなら、まず法ｄをＬ次の単独スペクトル検定が計算可能な大きさに定める。ｄはＬの減少と共に増大する。次にｐ＝ｄ^１／２の程度の大きさの奇素数ｐ_１およびｐ_２を段落００１２の選択として行う。これらそれぞれを法とする６次の掃過的スペクトル検定は、計算量から一般的に計算可能性が予測（特にｐ＝ｄ^１／２が２^４８以下であれば掃過的スペクトル検定の可能性は実際保障）され、段落００１３−００１５の手続きがすべて遂行される。こうして、段落００１２−００１５の計算手順は法ｄ＝ｐ_１ｐ_２での掃過的スペクトル検定で必要となる計算量を大幅に軽減する計算上経済的な手段を与える。

上記段落００１５の検定次数ＬがＬ＝３でよいなら、段落００１３での６次掃過的スペクトル検定が計算可能な素数の最大値をｐと定めて、奇素数ｐ_１、ｐ_２をこのｐの程度の大きさで余り近接しない値に取る。その後段落００１３−００１５の手順を行えば、段落００１５での法ｄ＝ｐ_１ｐ_２、乗数ｚの単独Ｌ次スペクトル検定の計算量は段落００１３の掃過的スペクトル検定よりも計算量は小さく、検定次数Ｌを３と小さく取る限定ともあいまって計算手順は大幅に平易化され、遂行される。現在のコンピュータでは段落００１２での奇素数ｐ_１、ｐ_２のそれぞれを大きさで２^４８＝１０^{１４．４５}程度までに取れば、掃過的スペクトル検定の計算可能性は保障される。また合成された法ｄ＝ｐ_１ｐ_２、乗数ｚの乗算合同法は、段落００１５に述べられた通り、周期としてＴ＝２ｑ_１ｑ_２＝（ｐ_１−１）（ｐ_２−１）／２を持つ。従って段落００１４での単独スペクトル検定次数をＬ＝３でよいとすれば、得られる周期の大きさは十分に大きくなる。

奇素数ｐ_１とｐ_２をｑ_１＝（ｐ_１−１）／２とｑ_２＝（ｐ_２−１）／２が互いに素になるように段落００１２で選ぶ事によって、合成数の法ｄ＝ｐ_１ｐ_２と段落００１３−００１４で定められた乗数ｚによる乗算合同法乱数は理論限界内最大の周期Ｔ＝（ｐ_１−１）（ｐ_２−１）／２＝２ｑ_１ｑ_２を得る。この周期は巡回列＜ｚ＞≡｛１、ｚ、ｚ^２、・・・、ｚ^ｋ、・・・｝ｍｏｄ（ｄ）とその剰余類とが法ｄ＝ｐ_１ｐ_２と素な整数の作る群を正確に２分する構造を与える。

さらに段落００１２で選ばれた異なる奇素数ｐ_１とｐ_２が同じ段落のｑ_１とｑ_２を一方は偶数、他方は奇数と定める事は、発明の開示１、２で示されたとおり、積の法ｄ＝ｐ_１ｐ_２で生成される乱数列の相続く任意個数Ｌ≧２の連をＬ次元ユークリッド空間の点の座標と見るとき、これら点の集合が初期値ｎ_１やＬの選択に関係なく、統計的に不自然な対称性を持たない事を保障する。これは単一の素数ｐを法とする原始根の乗数ｚの巡回列が、発明の開示１、２で示されたように、その任意の相続くＬ連を座標とする点列が持つ対称性のために、全周期（１、２、・・・、ｐ−１と合同な数のすべて）ではなくその正確な１／２のみ乱数として用いる事ができる、残る１／２は使う事ができない、という状況と完全に同等の構造を現出する。すなわち、数５のベクトルの整数係数１次結合で作られる最短ベクトルを求めて得られるスペクトル検定が、従来の単一素数の法の原始根乗数の乗算合同法に対するスペクトル検定と完全に同じ効力を発揮して、生成される数の分布の一様性や相続く数の統計的独立性についての判定を与える。

段落００１９に記された本特許で請求する合成数の法の簡単な結果例を図１に示す。これは法ｄ＝２８６７＝４７×６１、乗数としてｚ＝６７８（法４７でｚ≡２０、法６１ではｚ≡７）、初期値ｎ_１＝１の乗算合同法乱数列の数の２連を２次元平面でのｘｙ座標（ｎ_ｋ＋１／ｄ、ｎ_ｋ／ｄ）とする点の１周期Ｔ＝１３８０にわたるプロットを示す。ｑ_１＝（ｐ_１−１）／２＝２３、ｑ_２＝（ｐ_２−１）／２＝３０が偶奇性を異にするので、図は発明の開示１、２で示されたように正方形の中心に関して対称性を持たず、乱数として出現確率の低さを疑わせないものが実現し、全周期の使用を妨げる非蓋然性は見られない。外枠はたて、横軸とも−０．０５から１．０５までを表す。巡回列＜ｚ＞およびそれと同数で共通な数のない剰余類からの２連の作る点を共に示した図２では１からｐ_１ｐ_２−１までの中にあるｐ_１あるいはｐ_２の倍数、総数でｐ_１＋ｐ_２−２＝１０６個、の欠損が見える。スペクトル検定はこれらの欠損と０も含めたｄ＝ｐ_１ｐ_２個の点の全体配置を評価する。＜ｚ＞あるいはその剰余類は評価される点全体のほぼ１／２であり、単一の奇素数を法とする原始根の作る巡回列で可能な使用法と完全に同じでスペクトル検定の効力も高く、図２のほぼ完全な一様分布状況の１／２の点を用いるものとして一様性の不安はない。請求項１が与える構成、すなわちｑ_１、ｑ_２が異なる偶奇性を持つように奇素数ｐ_１とｐ_２を選ぶことは最良の乗算合同法の形態を与える。

段落００１９の指摘を外れた状況、すなわち２つの奇素数ｐ_１、ｐ_２が共に奇数のｑ_１＝（ｐ_１−１）／２、ｑ_２＝（ｐ_２−１）／２を与える場合の例は図３−５に見られる。これらは合成数の法ｄ＝２５３７＝４３×５９、乗数ｚ＝４８５、即ち法４３でｚ≡１２、法５９でｚ≡１３の場合で、共にそれぞれの法で優れた原始根乗数である。ｑ_１＝（ｐ_１−１）／２＝２１、ｑ_２＝（ｐ_２−１）／２＝２９が共に奇数なので、図は発明の開示１、２が示すように正方形の中心に関して対称になり、一様独立乱数と考えると蓋然性の低いものが実現している。初期値はｎ_１＝１（法４３でも法５９でもｎ_１≡１）である。図３−５は一様独立乱数列出力の２連を平面の点の座標（ｎ_ｋ＋１／ｄ、ｎ_ｋ／ｄ）とするプロットで、外枠はたて横軸とも−０．０５から１．０５を表す。図３は巡回列＜ｚ＞の周期Ｔ＝２ｑ_１ｑ_２＝１２１８の１／２まで取った点列を示す。図４は１周期の点列の姿である。巡回列＜ｚ＞とそれに入らない数ｎ_１に対する剰余類ｎ_１＜ｚ＞からの数の２連が与える点をすべて記したものが図５である。図５の点全体は、ｐ_１とｐ_２の倍数、総数ｐ_１＋ｐ_２−２＝１００、に相当する空席以外は正方形を均等に埋め尽くす。乗算合同法巡回列＜ｚ＞で実現される図４の点分布がその半分である事は段落００２１と同様で、これが乱数列として採択できれば空間を一様に満たす点列の１／２として一様性の観点からは問題はなくなる。しかし図４の点集合の正方形の中心に関する対称性は非蓋然的な相関を示すものであり、乱数列としての仮説は却下され採択できない。そのさらに１／２に限った図３の点は、一様とは言えない分布を持つ図４の点集合の１／２であるから、一様性に信頼が置けない。一様独立乱数列として、この図３の点列を生成する乱数列を用いることは好ましくない。明らかに、請求項１の構成は２つの奇素数の積の法での最良の形態を与えている。

段落００１２の異なる奇素数ｐ_１、ｐ_２は、例えば双子素数のように近接したものは避けて選ぶ。これによって段落００１４で構成される乗数ｚの性能の悪化、成分乗数ｚ_１とｚ_２のベキのそれぞれの法での周期の近接による唸りあるいはモワレ縞の様な現象、をスペクトル検定を経ずに予知して、計算量の増大を避ける事ができる。

段落００１２−００１５の手順は段落００１２において異なる奇素数ｐ_１とｐ_２の１つ、例えばｐ_２を２^ｉの形で置き換えても遂行可能である。しかし発明の開示の文献１、２で初めて指摘したように、この選択は残る奇素数ｐ_１のベキのすべての偶数乗の間、すべての奇数乗の間に相関を惹き起こし、ｚが生成する乗算合同法数列の独立性を大きく毀損する。特にこの悪い性質はスペクトル検定では検知できないので、この様な選択は決して行ってはならない。

段落００１２−００１５の手順は段落００１２において３以上のｓ個の異なる奇素数ｐ_１、ｐ_２、・・・、ｐ_ｓを、ｑ_ｊ＝（ｐ_ｊ−１）／２がｊ＝１、２、・・・、ｓのすべてについて互いに素でその中の１つは偶数であり他はすべて奇数、を満たすように選んで作られる合成数の法ｄ＝ｐ_１ｐ_２・・・ｐ_ｓでも考え得る。実際ｊ＝１、２、・・・、ｓのそれぞれについて、法ｐ_ｊでの掃過的スペクトル検定で得られる優れた原始根乗数ｚ_ｊを採り、乗数ｚをｊ＝１、２、・・・、ｓのそれぞれについてｚ≡ｚ_ｊｍｏｄ（ｐ_ｊ）によって中国剰余定理で定まるものとすれば、法ｄ＝ｐ_１ｐ_２・・・ｐ_ｓで乗数をｚとする乗算合同法は周期Ｔ＝２ｑ_１ｑ_２・・・ｑ_ｓを獲得し、巡回列＜ｚ＞やその剰余類のＬ連が作る点はＬ次元空間で非蓋然的な対称性を持たないものとなる事が特許の開示１、２で示されている。しかしこの場合巡回列＜ｚ＞は法ｄとは素な数全体の１／２^ｓ−１の部分しか占めず、一方段落０００６の数５と同じベクトルが与える最短長さの探索で得られるスペクトル検定はｄと素な数の全体を含む座標を持つ点の配置を評価する。ゆえにｓ≧３の増大と共に検定の有効性は小さくなり、一方周期Ｔを増大させる事はスペクトル検定の計算可能性で限界を与えられていて実利は薄い。この意味からも請求項１のように２つの異なる奇素数の積の法を用いる構成は最良の技術的選択である。

構成された乗算合同法は、すべての乱数生成方法の中で最も高速な四則演算の最小回数の利用で構成されるため、コンピュータに与える計算負荷は乱数のすべての生成方式の中で最小で、従って最高速での乱数生成を保障する。任意の乱数列を近似する能力とこの計算上の最良性は、本発明の産業上科学技術上の大きな利用可能性、必要性を意味する。

目的とする法ｄに対し段落００１６での検定次数Ｌの選択を６とする場合、段落００１２で選ぶ奇素数ｐ_１、ｐ_２をｄ^１／２の大きさとする事によって法ｄ＝ｐ_１ｐ_２でのよい乗算合同法乱数生成方法を準備するための計算量は従来の法ｄでの掃過的検定の計算量に比べて大幅に縮小される。この計算上の経済的効果は大きく、本発明の産業科学技術上の利用可能性は大きい。

目的とする法ｄに対して段落００１６での検定次数Ｌを３と選ぶ場合、段落００１３で掃過的検定が計算可能な最大の奇素数ｐ_１とｐ_２を、例えば２^４８程度の大きさ、に選ぶ事によって、得られる法ｄ＝ｐ_１ｐ_２の下で達成される周期は極めて大きくなる。このような長周期で検定を経た一様独立乱数列の使用可能性は計算上の大きな進歩であり、本発明の産業科学技術上の利用可能性は極めて大きい。

本特許で請求する合成数の法で乗算合同法乱数列が生成する２連の平面の点としての全周期Ｔ＝１３８０のプロット。法ｄ＝２８６７＝４７×６１、乗数ｚ＝６７８、周期Ｔ＝１３８０、初期値１。正方形の中心に関して非対称。 図１の乱数列上に、これらに属さない剰余類からの乱数列の２連の点列を加えた全体。空席１０６個は４７および６１の倍数の座標に相当。 本特許の請求項から外れる合成数の法ｄ＝２５３７＝４３×５９、乗数ｚ＝４８５、初期値１の乗算合同法乱数列の２連の半周期の平面図。 図３と同じ法ｄ＝２５３７、乗数ｚ＝４８５での乱数列の２連の点の全周期Ｔ＝１２１８にわたるプロット。正方形の中心に関して対称。 図４の上に乱数列に属さない剰余類からの２連が作る点列を加えた全体４３および５９の倍数を座標とする１００個の点が空席。

Claims (1)

1. 情報処理装置上の一様独立乱数生成方法であって、生成手順として
   ２つの異なる奇素数ｐ_１、ｐ_２で整数ｑ_１＝（ｐ_１−１）／２及びｑ_２＝（ｐ_２−１）／２が互いに素であり、かつｑ_１、ｑ_２の１つは偶数、他は奇数であるものを選ぶステップ、
   整数ｄを前記奇素数ｐ_１、ｐ_２の積ｄ＝ｐ_１ｐ_２と選ぶステップ、
   前記奇素数ｐ_１、ｐ_２をそれぞれ法とする原始根ｚ_１、ｚ_２を選ぶステップ、
   前記ｐ_１、ｐ_２、ｚ_１、ｚ_２が与える連立合同式
   

   

   の解として前記ｄを法として一意に定まるｄと素な整数ｚを取るステップ、
   整数ｎで前記ｄとは素な任意のものを選ぶステップ、
   前記ｄと素な整数の作る法ｄの既約剰余群の中で前記ｚが生成し前記ｎから出発する巡回列、即ち整数列｛ｎ_１、ｎ_２、ｎ_３、・・・｝であって線形漸化合同式
   

   

   が定める列、を算出するステップ、
   一様独立乱数を与える実数列｛ｕ_１、ｕ_２、ｕ_３、・・・｝を除法等式
   

   

   を実現して出力するステップ、
   を有する方法、或いは前記法ｄの既約剰余群と同型な群を用いて前記の一様独立乱数列｛ｕ_１、ｕ_２、ｕ_３、・・・｝を得る上記諸ステップと同等な方法。

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