JP4667796B2 - 数値制御方法、数値制御装置、プログラム及びコンピュータ読み取り可能な記録媒体 - Google Patents
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Description
始点からの曲線の長さをsとし、その全長(始点から終点までの長さ)をhとする。sをhで割った値をSで表わす。Sは無次元の値であり、これを曲線長変数と呼ぶ。
uは点Pにおける曲線の接線方向を示す単位ベクトルであり、式(2)によって与えられる。Ekβ及びEjαは回転マトリクスであり、それぞれ、k軸まわりの角度βの回転及びj軸まわりの角度αの回転を表わしている。前者をヨー(yaw)回転、後者をピッチ(pitch)回転という。式(2)は、i軸方向の単位ベクトルを、まずj軸まわりにαだけ回し、しかるのちにk軸まわりにβだけ回すことによって、接線ベクトルuが得られることを示している。a0,a1,a2,b0,b1,b2は定数。
始点からの曲線の長さをsとし、その全長(始点から終点までの長さ)をhとする。sをhで割った値をSで表わす。Sは無次元の値であり、これを曲線長変数と呼ぶ。
i,j,kはそれぞれ、x軸、y軸、及びz軸方向の単位ベクトルである。
uは点Pにおける曲線の接線方向を示す単位ベクトルであり、式(2)によって与えられる。E kβ 及びE jα は回転マトリクスであり、それぞれ、k軸まわりの角度βの回転及びj軸まわりの角度αの回転を表わしている。前者をヨー(yaw)回転、後者をピッチ(pitch)回転という。式(2)は、i軸方向の単位ベクトルを、まずj軸まわりにαだけ回し、しかるのちにk軸まわりにβだけ回すことによって、接線ベクトルuが得られることを示している。
a 0 ,a 1 ,a 2 ,b 0 ,b 1 ,b 2 は定数。
始点からの曲線の長さをsとし、その全長(始点から終点までの長さ)をhとする。sをhで割った値をSで表わす。Sは無次元の値であり、これを曲線長変数と呼ぶ。
i,j,kはそれぞれ、x軸、y軸、及びz軸方向の単位ベクトルである。
uは点Pにおける曲線の接線方向を示す単位ベクトルであり、式(2)によって与えられる。E kβ 及びE jα は回転マトリクスであり、それぞれ、k軸まわりの角度βの回転及びj軸まわりの角度αの回転を表わしている。前者をヨー(yaw)回転、後者をピッチ(pitch)回転という。式(2)は、i軸方向の単位ベクトルを、まずj軸まわりにαだけ回し、しかるのちにk軸まわりにβだけ回すことによって、接線ベクトルuが得られることを示している。
a 0 ,a 1 ,a 2 ,b 0 ,b 1 ,b 2 は定数。
始点からの曲線の長さをsとし、その全長(始点から終点までの長さ)をhとする。sをhで割った値をSで表わす。Sは無次元の値であり、これを曲線長変数と呼ぶ。
i,j,kはそれぞれ、x軸、y軸、及びz軸方向の単位ベクトルである。
uは点Pにおける曲線の接線方向を示す単位ベクトルであり、式(2)によって与えられる。E kβ 及びE jα は回転マトリクスであり、それぞれ、k軸まわりの角度βの回転及びj軸まわりの角度αの回転を表わしている。前者をヨー(yaw)回転、後者をピッチ(pitch)回転という。式(2)は、i軸方向の単位ベクトルを、まずj軸まわりにαだけ回し、しかるのちにk軸まわりにβだけ回すことによって、接線ベクトルuが得られることを示している。
a 0 ,a 1 ,a 2 ,b 0 ,b 1 ,b 2 は定数。
(1)3次元クロソイドの基本式
クロソイド曲線(Clothoid curve)は、別名コルニューの螺旋(Cornu’s spiral)とも呼ばれ、曲線の長さに比例して曲率が変化する曲線である。
従来知られている2次元のクロソイド曲線は、平面曲線(2次元曲線)の一種であり、図1に示されるxy座標上において、次式で表される。
式(7)において、基本接線方向ベクトルiの代りに基本座標系[i,j,k]を代入すると、次の動標構(moving frame)Eを得る。
動標構を考慮することによって、3つ目の回転「ロール(roll)」を扱うことができる。ロールは接線方向まわりの回転である。ロールの存在は3次元クロソイド自身の形状には影響を与えないが、3次元クロソイドに誘導される動標構には影響する。曲がりくねった針金に通した算盤玉は、針金のまわりで自由に回転することができるが、そのことによって針金の形を変えるわけではない。
(a)3次元クロソイド曲線の法線
3次元曲線の法線ベクトルは、接線方向ベクトルuを用いて次の式で表されることが知られている。
ここで(7)の接線uの決定と同様に法線nについても考えてみる。初期接線方向(1,0,0)に対して、初期法線方向を定数γを用いて(0,cosγ,−sinγ)で表わすとする。これを接線と同じように回転させると、法線nは下記のように表される。
3次元クロソイド曲線の曲率は、下記の式で表される。
(a)曲線の連続性
一つのクロソイドセグメント(同一のパラメータで表わされるクロソイド)においては、その接線方向のピッチ角及びヨー角がそれぞれ曲線長変数Sの2次式で与えられるので、これを1回微分して得られる法線方向、及び、2回微分して得られる曲率が曲線長変数Sに関して連続であることが保証される。言い換えれば、一つのクロソイドセグメントの中では法線方向及び曲率が連続である。したがって、滑らかで性質の良い曲線が得られる。また、二つのクロソイド曲線を連結する場合にも、そのつなぎ目において接線、法線、曲率が連続になるようにパラメータを選択することによって、滑らかなひとつなぎの曲線を作ることができる。これをクロソイドスプラインという。
曲線の接線方向を二つの角度(ピッチ角及びヨー角)で振ることができるので、さまざまな条件に合わせた3次元曲線を任意に作ることができ、いろいろな用途に用いることができる。
直線・円弧・ねじ曲線などの幾何曲線は、クロソイドパラメータのいくつかを0にし、あるいは、いくつかのパラメータ間に特定の関数関係を与えることによって作ることができる。これらの曲線はクロソイド曲線の一種であり、クロソイドのフォーマットを用いて表現できる。したがって、従来のNCのように、直線・円弧・自由曲線等によって記述するフォーマットを変えて取り扱う必要はなく、同じフォーマットを用いて計算したり、制御したりできる。
スプライン補間などの従来の補間法では、自由曲線を数式化した際に、その全体の形、あるいは局部的な形が分かりにくいことが多いが、3次元クロソイドにおいては、ピッチ角及びヨー角のそれぞれを想定することによって、比較的容易に全体像を把握することができる。
曲線の主変数が長さ
または正規化された長さSであり、曲線の方程式はこの長さに対する自然方程式で与えられている。このため、長さsを時間tの関数として定めることによって、加減速などの運動特性を任意に与えることができ、従来カムなどに用いられてきた特性の良い運動曲線を採用することによって、加工作業の高速化を図ることができる。長さsは実在のカルテシアン空間における値として与えられ、速度・加速度は接線方向に対して求められるので、従来の補間法のように各軸ごとに与えられた値を合成する必要がない。また、曲率の計算が容易なため、運動時の遠心加速度も容易に求められ、運動軌跡に応じた制御を行うことができる。
(6)曲線の生成と各パラメータの性質
定義によれば3次元クロソイド曲線の各パラメータが曲線に及ぼす影響は以下のとおりである。各パラメータを与えることによって図4のように3次元クロソイド曲線を生成することができる。
表1は、3次元クロソイド曲線の各パラメータの性質をまとめたものである。
(1)滑らかな接続の数学的条件
1本の3次元クロソイド曲線では、曲線の形状表現に限界がある。ここでは、数値制御による工具の運動制御を主な目的として、3次元クロソイド曲線(3次元クロソイドセグメント)を複数本接続し、この複数本の3次元クロソイドセグメントによって工具の運動を制御する。
次の2種類の計算手順がある。
拘束条件:(28)式、あるいはその一部
(a)補間法の流れ
3次元クロソイド曲線を用いて与えられた点列の間を滑らかに補間していく手法の実施例について詳しく述べる。3次元クロソイド曲線を用いた補間法を以降、3次元クロソイド補間と呼ぶ。補間によって生成される曲線群全体を3次元クロソイド曲線と呼び、それを構成する単位曲線を3次元クロソイドセグメントと呼ぶ。
3次元クロソイド補間において、厳密に補間対象の点を通り、かつG2連続となるような条件について具体的な条件を考える。
ニュートン・ラプソン法においては、解の探索を始める際に適当な初期値を与える必要がある。初期値はどのように与えられてもいいが、ここではその初期値の与え方の一例について述べる。
実際に以上に述べた手法で点列を補間した例として(0.0, 0.0, 0.0), (2.0, 2.0, 2.0), (4.0, 0.0, 1.0), (5.0, 0.0, 2.0)の4点を3次元クロソイド補間した例を挙げる。補間により生成された3次元クロソイド曲線の透視図を図12に載せた。図12は実線が3次元クロソイド曲線であり、破線、一点鎖線、二点鎖線は曲線上の各点における、大きさをlog(曲率半径+自然対数e)に、方向を法線ベクトルにとった曲率半径変化パターンである。
(a)補間条件と未知数
(3)で述べたように、曲線が開いている場合で補間対象の点がn個あるとき、点列はn-1個の曲線で3次元クロソイド補間される。厳密に各点を通るなら各3次元クロソイド線分について未知数はa0, a1, a2, b0, b1, b2, hの7つあるので、未知数は全体で7(n-1)個あることになる。一方、条件式については、n-2個ある接続点ごとに座標、接線、法線、曲率の7個づつと終点における座標の3個が存在するので、全部で7(n-2)+3個である。2-3の手法ではこれに始点・終点における接線ベクトルを与え、条件を4個増やすことによって、条件式と未知数の数を合わせていた。
両端であわせてm=2k個の項目を制御するとき、未知数は全体で7(n-1)個、条件式は全体で7(n-1)-4+2k個である。このとき過剰な条件式は2k-4個である。今、k-2個の点を新たに挿入することを考えると、3次元クロソイド線分がk-2本、接続点がk-2個増えるので、未知数は全体で7(n+k-3)個、条件式は全体で7(n+k-3)-4+2k個となる。ここでさらに新たに挿入した各点の座標の値のうち2つ(例えばx,y)を未知数として扱うとすると、未知数は全体で7(n+k-3)+2(k-2)個、条件式は全体で7(n+k-3)+2(k-2)個となり未知数と条件式の数が等しくなる。
両端であわせてm=2k+1個の項目を制御するとき、未知数は全体で7(n-1)個、条件式は全体で7(n-1)+2k-3個である。このとき過剰な条件式は2k-3個である。今、k-1個の点を新たに挿入することを考えると、3次元クロソイド線分がk-1本、接続点がk-1個増えるので、未知数は全体で7(n+k-2)個、条件式は全体で7(n+k-2)-3+2k個となる。ここでさらに新たに挿入した各点の座標の値のうち2つ(例えばx,y)を未知数として扱うとすると、未知数は全体で7(n+k-2)+2(k-2)個、条件式は全体で7(n+k-2)+2k-3個となり条件式の数が1つ多くなる。そこで、m=2k+1の場合には挿入した点のうちひとつの点においては座標の値のうち1つだけを未知数として扱うとする。そうすることで、未知数は全体で7(n+k-2)+2(k-2)個、条件式は全体で7(n+k-2)+2(k-2)個となり未知数と条件式の数が等しくなる。
始点・終点で各値を制御する3次元クロソイドを用いた補間法は、図14及び図15に示されるように以下の流れで行われる。
Step2)生成された曲線上に新たな点を挿入し、条件式と未知数の数を調整する。
Step3)の曲線パラメータを初期値として、目的の条件を満たすような各曲線のパラメータの近似値をニュートン・ラプソン法によって求める。
実際に両端での接線、法線、曲率を表6の条件で制御するように3次元クロソイド補間した例を示す。厳密に通るべき補間対象の点に通し番号を振り、P1, P2, P3とした。
(b)の手法により、両端点における各値を制御しつつ、G2連続な補間が行えるようになった。ここで、両端点でなく中間点において値を制御する場合について考える。
(a)手法の流れ
始点・終点で各値を制御する3次元クロソイドを用いた補間法は、図19に示される以下の流れで行われる。以後、この流れに沿って説明する。
この例では3次元空間の3点{0.0, 0.0, 0.0},{5.0, 5.0, 10.0},{10.0, 10.0, 5.0}を与えた。その他各点に与えた接線、法線、曲率などの条件をまとめて表8に記した。
ニュートン・ラプソン法においては、解の探索を始める際に適当な初期値を与える必要がある。ここではその初期値を得るための準備をする。先行研究である3D Discrete Clothoid Splinesは、厳密に補間対象点を通り、曲率が始点からの移動距離に対して滑らかに変化するような性質を持っている。そこで、本研究では3次元クロソイド補間のための初期値を、図20のようなr =4の3D Discrete Clothoid SplinesのポリゴンQを作り、そこから計算で決定した。また、実際にこの点列より生成されたポリゴンを図21に、頂点の座標を表9に載せた。
ニュートン・ラプソン法で解を求めるには、各未知数の初期値を決定する必要がある。本手法ではその値をb-2で生成したポリゴンQを使って、各未知数の近似値を求めて決定する。3D Discrete Clothoid Splinesでは各頂点のフレネ標構がすでに求まっている。そこで、b-2で生成したポリゴンQの単位接線方向ベクトルtよりパラメータa0, b0を求める。この接線方向ベクトルtはポリゴンQを求めたときにすでに既知となっており、このtと3次元クロソイド曲線の接線の式とにより、ポリゴンQの頂点の接線方向回転角α,βが求まる。これにより各曲線のa0, b0の初期値が求まる。また、始点から始まる3次元クロソイドセグメントにおいては、その値を与える。
(b-3)で決定した初期値を用いてG2連続となるような条件下で各曲線のパラメータの近似値をニュートン・ラプソン法によって求める。これによって得られたパラメータから3次元クロソイドセグメントを生成し、点列間を3次元クロソイド曲線で補間することを行った。
図23は(b-4)で求めたパラメータを元に生成した曲線とb-2で生成したポリゴンとを同時に表示したものである。実線の曲線が曲線C1、破線の曲線が曲線C2である。この段階では始点・終点で接線方向を制御したG2連続な3次元クロソイド曲線になっている。
ここで、さらに始点P1と終点P3における法線と曲率も表8で与えた値にすることを考える。始点・終点でさらに法線と曲率を制御するには、始点と終点における条件をそれぞれ2つ増やす必要がある。しかし、条件が4つ増えた状態では未知数の数との関係からその条件を満たす解を求めることが出来ない。そこで、未知数と条件式の数を合わせるために、図24に示されるように曲線C1の曲線長変数S =0.5の位置に点DP1を新たに挿入した。また、曲線C2についても曲線長変数S =0.5の位置に点DP2を新たに挿入した。
(b-6)で立てた条件式を満たす解を求めるためにニュートン・ラプソン法を用いるが、その収束率を上げるために未知数の初期値を決定する。方法としては、図25のように(b-5)で生成した3次元クロソイド曲線を新しく挿入した点の前後で分割することにより、3次元クロソイド曲線を4本作り、そのクロソイドパラメータを与えた。
(b-7)で決定した初期値を元に、(b-6)で立てた条件式を満たす解をニュートン・ラプソン法で求めた。表13は算出された各曲線のパラメータである。また、表14は与えた値と生成された曲線の始点・終点の接線、法線、曲率の差を示したものである。
(b-8)で求めたパラメータにより生成された曲線を図26に示す。実線が3次元クロソイド曲線、破線・一点鎖線・二点鎖線・三点鎖線は各曲線の方向を主法線方向に、大きさを曲率半径に自然対数を足して対数を取った曲率半径変化パターンを示している。また、図27に図26の線の種類に対応させた各曲線の始点からの移動距離sと曲率κの関係のグラフを記す。生成された曲線は、表12からわかるように与えた条件を満たしていることがわかる。
上記の3次元クロソイド補間曲線は、工作機械の工具やその他の運動対象物の運動制御のための数値制御情報の発生に有効に用いられる。その特徴は、速度制御が容易なこと、及び、速度変化を滑らかにすることが可能なことである。
3次元クロソイド補間曲線を用いた数値制御方式は、図28に示される次の手順からなる。
前節に述べた手法により、条件を満たす3次元クロソイド補間曲線を決定する。ロボット等の工具が動くとき、その工具の代表点(工具点、tool center point)は平面的あるいは空間的に描かれた連続な軌跡曲線(直線を含む)の上を時間的に移動すると考えることができる。工具点の位置は、座標(x、y、z)で表され、工具点の姿勢は、例えばx、y、z軸に対する回転角度で表される。どのような複雑な動きでも、工具点の軌跡は途切れ途切れになることなく、連続的に繋がっている。運動制御の第1段階は、この軌跡の形状を、3次元クロソイド曲線に設計することにある。
数値制御からの要求により、3次元クロソイド補間曲線に沿って、曲線上の制御対象点の移動速度の分布を指定する。すなわち、運動制御の第2段階は、設計された軌跡上を動く工具点の速度・加速度を決定することである。軌跡上を工具点がどのような時間の関数として動くかは、工具点の速度・加速度を決定することで定められる。工具点の速度・加速度は、時間に対して決定される場合と、軌跡の形状に付随して決定される場合がある。一般的には時間に対して決定される場合が多いが、例えば曲面加工をする場合、平らな部分では高速で移動させ、曲がっている部分では低速で移動させたいという要請から、軌跡の形状に付随して速度が決定される。
次に、上記の工具点の位置・姿勢を与えるために必要な各軸の回転角を求める。この過程は一般に逆機構解(inverse kinematics)と呼ばれている。例えば6軸のロボットがあるとすると、関節が6つあるので、肩の関節、腕の関節、ひじの関節、手首の関節等が何度回転したかで工具点の位置・姿勢が決まる。これが順機構解と呼ばれる。逆機構解は、これとは反対に実在の空間の位置・姿勢から軸空間の回転角θ1〜θ6を求めるものである。各軸のアクチュエータは回転モータであるとは限らず、リニアモータ等の直動アクチュエータである場合もあるが、その場合でも最低限度実変位をリニアモータの入力パルス数に変換する電子ギアの計算が必要となる。逆機構解は、ロボット等の機構の型ごとに固有なので、種々のロボット等について個別に解を用意しておく。
時分割された各工具点につき逆機構解を求め、これを各軸モータ(直動アクチュエータを含む)の変位パルスとして整数化する。パルス制御でない場合には、各軸変位の最少分解単位(分解能)を用いて、パルス数相当の整数化されたデータとして求める。
以下、独立の数値制御装置(NC装置)を使用する場合と、プログラマの役割を持ったコンピュータとNC装置とが一体化されたCNC装置を使用する場合について説明する。
従来の通常のNC機械では、プログラミングを行ってNCデータを作成するプログラマと、このNCデータを用いて機械装置を動かすNC装置との二つの装置にハードウェアが分離されている。それに対して、最近のCNC機械では、プログラミングを行うコンピュータはNC装置に内蔵されて、一体化されたものとなっている。
A0, A1, A2, B0, B1, B2, H
プログラマの役割を持ったコンピュータとNC装置との一体化されたCNC装置の場合について述べる。この場合、クロソイドに関する計算がどの部分のハードで行われるかは問題にならない。また、データの量や転送のスピードも解決されつつある。
3次元クロソイド補間を用いた数値制御方式には、次のような利点がある。
Claims (4)
- 接線方向のピッチ角およびヨー角のそれぞれが曲線長または曲線長変数の二次式で与えられる3次元曲線(3次元クロソイド曲線という)を用いて工具軌跡またはワークの輪郭形状を表現し、この3次元曲線によって工具の運動を制御する数値制御方法。
前記3次元クロソイド曲線を以下の式で定義する。
始点からの曲線の長さをsとし、その全長(始点から終点までの長さ)をhとする。sをhで割った値をSで表わす。Sは無次元の値であり、これを曲線長変数と呼ぶ。
i,j,kはそれぞれ、x軸、y軸、及びz軸方向の単位ベクトルである。
uは点Pにおける曲線の接線方向を示す単位ベクトルであり、式(2)によって与えられる。E kβ 及びE jα は回転マトリクスであり、それぞれ、k軸まわりの角度βの回転及びj軸まわりの角度αの回転を表わしている。前者をヨー(yaw)回転、後者をピッチ(pitch)回転という。式(2)は、i軸方向の単位ベクトルを、まずj軸まわりにαだけ回し、しかるのちにk軸まわりにβだけ回すことによって、接線ベクトルuが得られることを示している。
a 0 ,a 1 ,a 2 ,b 0 ,b 1 ,b 2 は定数。 - 接線方向のピッチ角およびヨー角のそれぞれが曲線長または曲線長変数の二次式で与えられる3次元曲線(3次元クロソイド曲線という)を用いて工具軌跡またはワークの輪郭形状を表現し、この3次元曲線によって工具の運動を制御する数値制御装置。
前記3次元クロソイド曲線を以下の式で定義する。
始点からの曲線の長さをsとし、その全長(始点から終点までの長さ)をhとする。sをhで割った値をSで表わす。Sは無次元の値であり、これを曲線長変数と呼ぶ。
i,j,kはそれぞれ、x軸、y軸、及びz軸方向の単位ベクトルである。
uは点Pにおける曲線の接線方向を示す単位ベクトルであり、式(2)によって与えられる。E kβ 及びE jα は回転マトリクスであり、それぞれ、k軸まわりの角度βの回転及びj軸まわりの角度αの回転を表わしている。前者をヨー(yaw)回転、後者をピッチ(pitch)回転という。式(2)は、i軸方向の単位ベクトルを、まずj軸まわりにαだけ回し、しかるのちにk軸まわりにβだけ回すことによって、接線ベクトルuが得られることを示している。
a 0 ,a 1 ,a 2 ,b 0 ,b 1 ,b 2 は定数。 - 工具の運動を数値制御するために、
コンピュータを、
接線方向のピッチ角およびヨー角のそれぞれが曲線長または曲線長変数の二次式で与えられる3次元曲線(3次元クロソイド曲線という)を用いて工具軌跡またはワークの輪郭形状を表現する手段として機能させるためのプログラム。
前記3次元クロソイド曲線を以下の式で定義する。
始点からの曲線の長さをsとし、その全長(始点から終点までの長さ)をhとする。sをhで割った値をSで表わす。Sは無次元の値であり、これを曲線長変数と呼ぶ。
i,j,kはそれぞれ、x軸、y軸、及びz軸方向の単位ベクトルである。
uは点Pにおける曲線の接線方向を示す単位ベクトルであり、式(2)によって与えられる。E kβ 及びE jα は回転マトリクスであり、それぞれ、k軸まわりの角度βの回転及びj軸まわりの角度αの回転を表わしている。前者をヨー(yaw)回転、後者をピッチ(pitch)回転という。式(2)は、i軸方向の単位ベクトルを、まずj軸まわりにαだけ回し、しかるのちにk軸まわりにβだけ回すことによって、接線ベクトルuが得られることを示している。
a 0 ,a 1 ,a 2 ,b 0 ,b 1 ,b 2 は定数。 - 工具の運動を数値制御するために、
コンピュータを、
接線方向のピッチ角およびヨー角のそれぞれが曲線長または曲線長変数の二次式で与えられる3次元曲線(3次元クロソイド曲線という)を用いて工具軌跡またはワークの輪郭形状を表現する手段として機能させるためのプログラムを記録したコンピュータ読み取り可能な記録媒体。
前記3次元クロソイド曲線を以下の式で定義する。
始点からの曲線の長さをsとし、その全長(始点から終点までの長さ)をhとする。sをhで割った値をSで表わす。Sは無次元の値であり、これを曲線長変数と呼ぶ。
i,j,kはそれぞれ、x軸、y軸、及びz軸方向の単位ベクトルである。
uは点Pにおける曲線の接線方向を示す単位ベクトルであり、式(2)によって与えられる。E kβ 及びE jα は回転マトリクスであり、それぞれ、k軸まわりの角度βの回転及びj軸まわりの角度αの回転を表わしている。前者をヨー(yaw)回転、後者をピッチ(pitch)回転という。式(2)は、i軸方向の単位ベクトルを、まずj軸まわりにαだけ回し、しかるのちにk軸まわりにβだけ回すことによって、接線ベクトルuが得られることを示している。
a 0 ,a 1 ,a 2 ,b 0 ,b 1 ,b 2 は定数。
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