JP4575251B2 - デジタル署名生成装置、デジタル署名検証装置、デジタル署名生成方法、デジタル署名検証方法、デジタル署名生成プログラム及びデジタル署名検証プログラム - Google Patents
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Description
P.W.Shor:"Algorithms for Quantum Computation : Discrete Log and Factoring",Proceedings of the 35th Annual IEEE Symposium on Foundations of Computer Science,1994.
gs,t(x,y):=f(x,y,s,t)
とおく。これを体K上の2変数代数関数体K(s,t)の元を係数とする多項式とみなし、gs,t(x,y)=0 が、K(s,t)上の代数曲線を定義するとき、3次元多様体Aはs,tをパラメータとするアフィン平面P2上のファイブレーションを持つといい、(x,y,s,t)を(s,t)に対応させることによって得られる写像A→P2を、3次元多様体Aのアフィン平面P2上のファイブレーションと呼ぶ。
(x,y,s,t)=(ux(s,t),uy(s,t),s,t)
と表すことのできる、s,t でパラメタライズされた3次元多様体A上の代数曲面が存在することが多い。セクションを持たないファイブレーションも存在するが、セクションを持つようなf(x,y,z,u)は容易に構成できる。
ht(x,y,s):=f(x,y,s,t)
とおくと、tの各値に対してht(x,y,s)=0 は、1変数代数関数体K(t)上の代数曲面を定義する。このとき、Aはtをパラメータとするアフィン直線P1 上のファイブレーションを持つといい、(x,y,s,t)を(t)に対応させることによって得られる写像A→P1 を3次元多様体Aのアフィン直線P1上のファイブレーションと呼ぶ。
ht0(x,y,s)=0
を点t0 上のファイバーと呼び、At0 と表す。
(x,y,s,t)=(ux(t),uy(t),us(t),t)
と表すことができ、tでパラメタライズされた、3次元多様体A上の代数曲線のことである。
α0,…,αrsxrtx−1,β0,…,βrsyrty−1の関数
ci,j(α0,…,αrsxrtx−1,β0,…,βrsyrty−1)
で表現し、連立方程式系
本実施形態に係るデジタル署名で用いられる公開鍵は、
Fp上の3次元多様体Xのファイブレーション:A(x,y,s,t)=0である。
Di:(x,y,s,t)=(ux,i(s,t),uy,i(s,t),s,t)である。
次に、署名生成処理の概要を述べる。署名生成処理ではまず署名生成したいメッセージ(以下では平文と呼ぶ)を整数mに変換する。変換の方法はメッセージをJISコードなどのコード体系を利用してコード化し、それを整数に読み換える方法が一般的である。
と、複数のブロックh0、h1、…hr−1に分割し、これらを変数tに関する1変数多項式
h(t)=hr−1tr−1+…+h1t+h0
の係数に埋め込む(ハッシュ値埋め込み処理)。ハッシュ値の埋め込まれた1変数多項式をハッシュ値多項式h(t)と呼ぶ。ここでh(t)をFp上の多項式とするために、
各hi(0≦i≦r−1)はFpの元となるように取る必要がある。即ち、上記ハッシュ値は、pのビット長に基づいて、
0≦hi≦p−1
となるようにハッシュ値を分割する。
Di:(wx(s,t),wy(s,t),s,t)
に対して、その変数sに上記ハッシュ値多項式h(t)を代入する。即ち、
(wx(h(t),t),wy(h(t),t),h(t),t)
これを整理して、
Ds:(x,y,t)=(Wx(t),Wy(t),t) …(3)
とし、これをメッセージmに対するデジタル署名Dsとしてメッセージmと共に受信者に送信する。
デジタル署名Ds(x,y,t)を受け取った受信者は所有する有限体Fp上定義された公開鍵A(x,y,s,t)を利用して次のように署名検証処理を行う。
と、複数のブロックh0、h1、…hr−1に分割し、これらを変数tに関する有限体Fp上定義された1変数多項式
h(t)=hr−1tr−1+…+h1t+h0
の係数に埋め込み、ハッシュ値の埋め込まれたハッシュ値多項式h(t)を生成する。
X(x,y,t)=A(x,y,h(t),t)
を生成する。このX(x,y,t)もファイブレーションを持つ代数曲面である。
鍵生成方法を説明する。本実施形態の鍵生成は、セクションD1、D2をランダムに選び、それに対応したファイブレーションを計算することによって行う。但し、生成された3次元多様体が2つのセクションを同時に持つようにするために以下のような工夫が必要となる。
多項式k2(s,t)を割り切ることを意味している。
Ds:(x,y,t)=(Wx(t),Wy(t),t)
に表われるWx(t)、Wy(t)の次数を、選択したセクションによらず一定にするような公開鍵を生成することが困難である。これら両方を解決する鍵生成方法として、以下のような第2の鍵生成方法が考えられる。
Di:(ux,i(s,t),uy,i(s,t),s,t)がセクションとなる。
上述のデジタル署名の安全性証明に関して説明する。デジタル署名の安全性は、メッセージ(平文)とデジタル署名のペアを作成する問題が多項式時間で解ければ3次元多様体のセクションを求める問題を多項式時間で求めることができ、逆に3次元多様体のセクションを求める問題を多項式時間で求めることができれば、メッセージ(平文)とデジタル署名のペアを作成することが多項式時間で可能なことを証明することによって証明することができる。即ち、上記の事実を理論的に証明することによって、メッセージ(平文)とデジタル署名のペアを作成可能なこと(存在的偽造可能であること)と、3次元多様体のセクションを求める問題が解けることが同値であることが示せるので、安全性の根拠としている3次元多様体のセクションを求める問題が困難であれば、デジタル署名が存在的偽造不可能であることが示されるからである。以上の方針に従った安全性証明を次に示す。
max{deg(dx(s,t)),deg(dy(s,t))}とする。
aijが求まる。同様にbijも多項式時間で求まるので、3次元多様体A(x,y,s,t)のセクションが多項式時間で求まることが示せた。
D:(wx(s,t),wy(s,t),s,t)
を求める。ここで平文mを適当に決め、そのハッシュ値多項式をh(t)とした時、
s=h(t)と置くことにより、署名
Ds:(wx(h(t),t),wy(h(t),t),t)
を得る。これにより平文と署名の具体的なペアを多項式時間内に計算可能である。
本実施形態におけるバリエーションを述べる。第1のバリエーションはハッシュ値多項式をハッシュ値自体に置き換えるバリエーションである。本実施形態におけるデジタル署名生成処理においては、平文mからハッシュ値h(m)を計算し、ハッシュ値h(m)をハッシュ値多項式h(t)に展開して、ランダムに選択したセクションDiにs=h(t)と代入していた。
Ds:(wx(h(m),t),wy(h(m),t),t)
が生成できる。この場合は、デジタル署名検証処理においても同様に公開鍵である3次元多様体A(x,y,s,t)への代入をs=h(m)によって行うことにより、同様の手段で署名検証が可能となる。
適用有効範囲は限定される。
次に、本実施形態のデジタル署名方式に係る鍵生成装置、デジタル署名生成装置、デジタル署名検証装置の構成例と、これらの処理動作について説明する。
uy(=λy(s,t)+vy(s,t)=s(t2+1))を計算する(ステップS9)。
1.素体の標数p=17
2.式(10)に示した有限体Fp上定義された3次元多様体Aの2つのセクションを利用する。尚、全ての演算は鍵生成処理で決定した有限体F17で行う。
Di:(x,y,s,t)=(ux,i(s,t),uy,i(s,t),s,t)
(1≦i≦n)
のx座標ux,i(s,t)、y座標uy,i(s,t)を以下に示す方法で決定する。
x因子(x−ux,i(s,t))、y因子(y−uy,i(s,t))と因子化する(ステップS307)。
Claims (9)
- 有限体Fqならびに署名生成用の秘密鍵として、x座標、y座標、パラメータs、及びパラメータtで表される前記有限体Fq上定義された3次元多様体A(x,y,s,t)内の曲面のうち、x座標及びy座標がパラメータs及びtの関数で表されたセクションD(ux(s,t),uy(s,t),s,t)を記憶する記憶手段と、
メッセージmのハッシュ値を計算するハッシュ値計算手段と、
前記ハッシュ値を前記有限体Fq上定義された1変数多項式h(t)に埋め込み、ハッシュ値多項式を生成するハッシュ値多項式生成手段と、
前記記憶手段に記憶されたセクションのパラメータsに前記ハッシュ値多項式を代入することで、x座標及びy座標がパラメータtの関数で表された前記セクション上の曲線であるデジタル署名Ds(Ux(t),Uy(t),t)を生成するデジタル署名生成手段と、
を具備したことを特徴とするデジタル署名生成装置。 - 前記記憶手段は、異なる複数のセクションDi(ux,i(s,t),uy,i(s,t),s,t)(iは、0≦i≦nの任意の正の整数)を記憶し、
前記デジタル署名生成手段は、前記記憶手段に記憶された前記複数のセクションDiのうちの任意の1つのセクションを選択して、前記デジタル署名を生成することを特徴とする請求項1記載のデジタル署名生成装置。 - 有限体Fqならびに公開鍵として、x座標、y座標、パラメータs、及びパラメータtで表される前記有限体Fq上定義された3次元多様体A(x,y,s,t)の多項式を記憶する記憶手段と、
メッセージmを入力する第1の入力手段と、
前記3次元多様体A(x,y,s,t)内の曲面のうち、x座標及びy座標がパラメータs及びtの関数で表されたセクションD(ux(s,t),uy(s,t),s,t)を署名生成用の秘密鍵として用いて生成された、x座標及びy座標がパラメータtの関数で表された前記セクション上の曲線である、前記メッセージmに対応したデジタル署名Ds:(Ux(t),Uy(t),t)を入力する第2の入力手段と、
前記メッセージmのハッシュ値を計算するハッシュ値計算手段と、
前記ハッシュ値を、パラメータtを有する前記有限体Fq上定義された1変数多項式h(t)に埋め込み、ハッシュ値多項式を生成するハッシュ値多項式生成手段と、
前記記憶手段に記憶された前記多項式のパラメータsに前記ハッシュ値多項式を代入して、前記ハッシュ値に対応した代数曲面X(x,y,t)を計算する代数曲面計算手段と、
前記代数曲面X(x,y,t)の座標x及び座標yに、前記デジタル署名のx座標を表す関数Ux(t)と、y座標を表す関数Uy(t)をそれぞれ代入することにより、前記メッセージ及び前記デジタル署名の正当性を検証するデジタル署名検証手段と、
を具備したことを特徴としたデジタル署名検証装置。 - 有限体Fqならびに署名生成用の秘密鍵として、x座標、y座標、パラメータs、及びパラメータtで表される前記有限体Fq上定義された3次元多様体A(x,y,s,t)内の曲面のうち、x座標及びy座標がパラメータs及びtの関数で表されたセクションD(ux(s,t),uy(s,t),s,t)を記憶する記憶手段とハッシュ値計算手段とハッシュ値多項式生成手段とデジタル署名生成手段とを備えたデジタル署名生成装置のデジタル署名生成方法であって、
前記ハッシュ値計算手段が、メッセージmのハッシュ値を計算する第1のステップと、
前記ハッシュ値多項式生成手段が、前記ハッシュ値を前記有限体Fq上定義された1変数多項式h(t)に埋め込み、ハッシュ値多項式を生成する第2のステップと、
前記デジタル署名生成手段が、前記セクションのパラメータsに前記ハッシュ値多項式を代入することで、x座標及びy座標がパラメータtの関数で表された前記セクション上の曲線であるデジタル署名Ds(Ux(t),Uy(t),t)を生成する第3のステップと、
を有することを特徴とするデジタル署名生成方法。 - 前記記憶手段は、前記3次元多様体A(x,y,s,t)内の曲面のうち、x座標及びy座標がパラメータs及びtの関数で表された異なる複数のセクションDi(ux,i(s,t),uy,i(s,t),s,t)(iは、0≦i≦nの任意の正の整数)を記憶し、
前記第3のステップは、前記デジタル署名生成手段が、前記記憶手段に記憶された前記複数のセクションDiのなかから任意の1つのセクションを選択するステップを含み、前記第3のステップにおいて、前記デジタル署名生成手段は、該選択されたセクションを用いて前記デジタル署名を生成することを特徴とする請求項4記載のデジタル署名生成方法。 - 有限体Fqならびに公開鍵として、x座標、y座標、パラメータs、及びパラメータtで表される前記有限体Fq上定義された3次元多様体A(x,y,s,t)の多項式を記憶する記憶手段と第1の入力手段と第2の入力手段とハッシュ値計算手段とハッシュ値多項式生成手段と代数曲面計算手段とデジタル署名検証手段とを備えたデジタル署名検証装置のデジタル署名検証方法であって、
前記第1の入力手段が、メッセージmを入力する第1のステップと、
前記第2の入力手段が、前記3次元多様体A(x,y,s,t)内の曲面のうち、x座標及びy座標がパラメータs及びtの関数で表されたセクションD(ux(s,t),uy(s,t),s,t)を署名生成用の秘密鍵として用いて生成された、x座標及びy座標がパラメータtの関数で表された前記セクションD上の曲線である、前記メッセージmに対応したデジタル署名Ds:(Ux(t),Uy(t),t)を入力する第2のステップと、
前記ハッシュ値計算手段が、前記メッセージmのハッシュ値を計算する第3のステップと、
前記ハッシュ値多項式生成手段が、前記ハッシュ値を、パラメータtを有する前記有限体Fq上定義された1変数多項式h(t)に埋め込み、ハッシュ値多項式を生成する第4のステップと、
前記代数曲面計算手段が、前記記憶手段に記憶された前記3次元多様体A(x,y,s,t)のパラメータsに前記ハッシュ値多項式を代入して、前記ハッシュ値に対応した代数曲面X(x,y,t)を計算する第5のステップと、
前記デジタル署名検証手段が、前記代数曲面X(x,y,t)の座標x及び座標yに、前記デジタル署名のx座標を表す関数Ux(t)と、y座標を表す関数Uy(t)をそれぞれ代入することにより、前記メッセージ及び前記デジタル署名の正当性を検証する第6のステップと、
を有することを特徴としたデジタル署名検証方法。 - 有限体Fqならびに署名生成用の秘密鍵として、x座標、y座標、パラメータs、及びパラメータtで表される前記有限体Fq上定義された3次元多様体A(x,y,s,t)内の曲面のうち、x座標及びy座標がパラメータs及びtの関数で表されたセクションD(ux(s,t),uy(s,t),s,t)を記憶する記憶手段とハッシュ値計算手段とハッシュ値多項式生成手段とデジタル署名生成手段とを備えたデジタル署名生成装置としてコンピュータを機能させるためのデジタル署名生成プログラムであって、
前記ハッシュ値計算手段が、メッセージmのハッシュ値を計算する第1のステップと、
前記ハッシュ値多項式生成手段が、前記ハッシュ値を前記有限体Fq上定義された1変数多項式h(t)に埋め込み、ハッシュ値多項式を生成する第2のステップと、
前記デジタル署名生成手段が、前記記憶手段に記憶されたセクションのパラメータsに前記ハッシュ値多項式を代入することで、x座標及びy座標がパラメータtの関数で表された前記セクション上の曲線であるデジタル署名Ds(Ux(t),Uy(t),t)を生成する第3のステップと、
をコンピュータに実行させるためのデジタル署名生成プログラム。 - 前記記憶手段は、前記3次元多様体A(x,y,s,t)内の曲面のうち、x座標及びy座標がパラメータs及びtの関数で表された異なる複数のセクションDi(ux,i(s,t),uy,i(s,t),s,t)(iは、0≦i≦nの任意の正の整数)を記憶し、
前記第3のステップは、前記デジタル署名生成手段が、前記記憶手段に記憶された前記複数のセクションDiのなかから任意の1つのセクションを選択するステップを含み、前記第3のステップにおいて、前記デジタル署名生成手段は、該選択されたセクションを用いて前記デジタル署名を生成することを特徴とする請求項7記載のデジタル署名生成プログラム。 - 有限体Fqならびに公開鍵として、x座標、y座標、パラメータs、及びパラメータtで表される前記有限体Fq上定義された3次元多様体A(x,y,s,t)の多項式を記憶する記憶手段と第1の入力手段と第2の入力手段とハッシュ値計算手段とハッシュ値多項式生成手段と代数曲面計算手段とデジタル署名検証手段とを備えたデジタル署名検証装置としてコンピュータを機能させるためのデジタル署名検証プログラムであって、
前記第1の入力手段が、メッセージmを入力する第1のステップと、
前記第2の入力手段が、前記3次元多様体A(x,y,s,t)内の曲面のうち、x座標及びy座標がパラメータs及びtの関数で表されたセクションD(ux(s,t),uy(s,t),s,t)を署名生成用の秘密鍵として用いて生成された、x座標及びy座標がパラメータtの関数で表された前記セクション上の曲線である、前記メッセージmに対応したデジタル署名Ds:(Ux(t),Uy(t),t)を入力する第2のステップと、
前記ハッシュ値計算手段が、前記メッセージmのハッシュ値を計算する第3のステップと、
前記ハッシュ値多項式生成手段が、前記ハッシュ値を、パラメータtを有する前記有限体Fq上定義された1変数多項式h(t)に埋め込み、ハッシュ値多項式を生成する第4のステップと、
前記代数曲面計算手段が、前記記憶手段に記憶された前記3次元多様体A(x,y,s,t)のパラメータsに前記ハッシュ値多項式を代入して、前記ハッシュ値に対応した代数曲面X(x,y,t)を計算する第5のステップと、
前記デジタル署名検証手段が、前記代数曲面X(x,y,t)の座標x及び座標yに、前記デジタル署名のx座標を表す関数Ux(t)と、y座標を表す関数Uy(t)をそれぞれ代入することにより、前記メッセージ及び前記デジタル署名の正当性を検証する第6のステップと、
をコンピュータに実行させるためのデジタル署名検証プログラム。
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