JP4394286B2

JP4394286B2 - 統計的プロセス管理のための多次元的方法及びシステム

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Publication number: JP4394286B2
Application number: JP2000571380A
Authority: JP
Inventors: ドゥミショー、ダニエルラファーユ
Original assignee: Individual
Current assignee: Individual
Priority date: 1998-09-22
Filing date: 1999-09-22
Publication date: 2010-01-06
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Description

【０００１】
（発明の分野）
本発明はデータの多次元的処理に基いた統計的プロセス管理の方法及び該方法を利用した任意のシステムに関する。
【０００２】
本発明の目的はまず第１に、求められる品質にて生産が行われる「正常な」動作からプロセスが逸脱した場合に警告を発することであり、第２に、異常動作の原因を特定するための提案を行うことである。
【０００３】
統計的プロセス管理（ＳＰＣ）はすべての国（主として先進工業国）の多くの産業において、エンジニアリング、エレクトロニクス、化学、製薬、農産物、プラスチック材料など、すべての工業的生産において現在採用されている。
【０００４】
その目的は、製品の特性を検査するだけではなく、製造プロセス自体を検査することによって製品の品質を維持することにある。ＳＰＣは「欠陥製品ゼロ」を実現するうえで、また企業が国際的な品質管理基準（ＩＳＯ９０００）にしたがおうとする場合にいまや不可欠である。
【０００５】
その技術的な目的は、製造プロセスにおけるドリフトを検出し、欠陥製品が製造される前にこれを修正することにある。
現在ではこの方法は物品の製造に留まらず、サービスの提供（銀行、保険、コンサルティング）においても採用されている。
【０００６】
プロセスが行われる際（図１）、このプロセスに関連した多くの測定値（指標）が追跡される。こうした測定値としては、入力特性（原材料）、出力特性（製品）、プロセスを動作させるパラメータなどがある。したがってそれぞれの観測単位（測定時間や製造される製品要素）は、測定値によって得られる複数のデジタル値に関連付けられることにより、測定された測定値の多次元的空間内の点によって表すことが可能である。
【０００７】
ＳＰＣでは通常、観測される量の変化の仕方をグラフで表した、所定の管理限界を示す複数の管理図（図２参照）を１つの測定値について１つプロットすることによってプロセスを監視する。それぞれの管理図は他の管理図と独立に解釈され、個別に警告が発せられる。
【０００８】
各種の管理図（Ｓｈｅｗａｒｔ、ＣｕＳｕｍ，ＥＷＭＡ、ＭＭＥとして知られる）があるが、最後の３つのものは最初のものと比較して小さな「ドリフト」量を検出するうえでより有効であるとされている。
【０００９】
一般に管理図はグループ化されたデータについて用いられる。群としてまとめられた複数の測定値の平均値をプロットすることにより、小さなドリフトをより効果的に検出することが可能であり、さらに値の分布がその方法において仮定される正規性によりよく一致する。各群のばらつきや広がりをプロットすることにより、なんらかの特殊原因を有する測定値のばらつきにおける増大を検出することが可能である。
【００１０】
複数の管理図を同時かつ個別に監視する通常の方法は多次元的ＳＰＣにおいては不便であり、あまり有効とはいえない。これは以下のことによる。
・誤警告が多発し、不必要な修正が行われる。これらは速やかに再評価する必要があり、プロセスは多くの修正が必要となるために無秩序かつコストの嵩むものとなる。
【００１１】
・実際の異常の検出が遅すぎる場合がある。
・異常の原因が測定値に直接関連していない場合には、異常の原因の検出が困難である。このため、複数の測定値を測定することが望ましいが、これはコストが嵩み、複数の管理図が必要となる。
【００１２】
本発明の方法及びシステムはこれらの難点の解決を図ったものである。本方法は、プロセスの入力、出力、ならびに制御及び作動パラメータの指標すなわち測定値をとることに基いた統計的プロセス管理の１つである。これらの指標すなわち測定値は、その値をサンプリング指数に関連付ける基準系内の観測点によって表すことが可能である。本発明に基けば、
ａ）観測された値は、得られる値が多次元的ガウス分布モデルに適合し、本方法の残りの部分において用いられる観測点に対応するデータを構成するように変換され、
ｂ）前記観測点は、測定された量に各次元が関連付けられた多次元空間内に存在し、
ｃ）これらの観測点の内、「管理下にある」と云われる、プロセスの適正な動作に対応した点は、「管理不能」と云われる点とは区別され、
ｄ）管理下にある点の分布中心は管理下にある観測点の重心であるものとして計算され、
ｅ）管理下にある点の分布中心から特定の方向に集中した管理不能な観測点が特定され、
ｆ）この方向は前記プロセスのドリフトの共通の原因に関連付けられ、
ｇ）各観測点と異常方向の組は、行われた観測に関連している可能性の高い０個、１個またはそれよりも多い異常の原因を提案するために指標に関連付けられ、
ｈ）上記のようにして異常が分析された場合、警告が発せられて、産業上のプロセスにおいて上記のようにして検出されたドリフトは修正される。
【００１３】
検査される上記観測点の重心は、検査される観測点の成分の平均を成分として有する点に対応している。
ＳＰＣ検査は、ｐ個の連続量ｙ₁，ｙ₂，．．．，ｙ_pを統計学的に、もしくはサンプリングによって定期的に観測する従来の手法にて行われる。これらの量は、原材料の諸特性、生産される製品の諸特性や、製造プロセスの動作パラメータを同様によく表すことが可能である。与えられた「時点」においてこれらｐ個の測定値からなるｐ次元のベクトルはｙとして書き表され、そのプロセスの観測ベクトルと呼ばれる。このベクトルの終点はそのプロセスの観測点であり、このベクトルの始点は、問題とされている基準系の原点である。
【００１４】
ここで云う「時点」という概念は、厳密に時間的な解釈に留まらない。同じ「時点」に関連した測定値は、可能な場合には、製造される同じ単位またはバッチの生産に関連したパラメータの測定値であることは明らかである。どの測定値が同じ「時点」に関連しているかが定義できるためには製造プロセスを完全に辿れることが必要である。
【００１５】
プロセスが「管理下におかれている」場合、連続した異なる時点、ｔ₀，ｔ₀＋１，ｔ₀＋２，．．．におけるベクトルｙの値は、生産を充分な品質とするための目標値である値ｙ₀の周辺で「ほとんど」変化しない。この変化は、原材料の特性（材料の硬さ、成分の化学組成、供給源など）、環境の特性（温度、湿度など）、あるいはプロセスの特性（機械の設定、操作者の注意力など）におけるランダムな変化によるものである。これらの諸特性はベクトルｙの１以上の成分に影響する。これらの特性はｚ¹，ｚ²，．．．，ｚ^mと書き表され、ともにｚとして表されるベクトルを形成する。ここではこのベクトルｚをそのプロセスの説明的ベクトルと呼ぶ。
【００１６】
そのプロセスの１つの特性がプロセスの「観測変数」ｙ^jとみなされるためには、その特性は各「時点」において評価されなくてはならない。
そのプロセスまたは入力の１つの特性が、そのプロセスの「原因変数」ｚ^kとみなされるためには、その特性は、自発的または非自発的な人間の行為、環境の変化、消耗、または老朽化といったシステムの外部の適当な因子によって改変されなければならない。一般にコストや実現性の理由から、これらの変数は各「時点」において測定されることはなく（そうでない場合、変数は変数ｙ^jとしても現れる）、その意味においてこれらの変数はプロセスの振る舞いに影響する「隠れた変数」となるものである。これらの変数の評価は往々にしてコストや時間が嵩み、不正確であって、異常が発生した場合にのみ行われる。
【００１７】
ある変数は、その可能な値が数値であり、既知の値の範囲（温度、圧力など）にある場合に定量的であり、可能な値または数値の数が限定されている場合（供給源、操作者、機械など）には定性的である。本発明において考慮されるモデル及び方法では、ベクトルｙの成分はすべて定量的であるものと仮定している。
【００１８】
プロセスの同じ特性（例炉の管理された温度）はｚ成分及びｙ成分の両方として現れ得る。
ベクトルｙとベクトルｚとの依存関係は次の関係式によってモデル化することが可能である。
【００１９】
【数３】

式中、ｔは観測時点であり、ベクトルεは、平均値が０であるものと仮定され、共分散行列Σεを有するｐ空間のランダムなベクトルである。ｆは、
【数４】

であるようなｐ個の成分ｆ1，ｆ2，．．．ｆpを有するベクトル関数である。
ベクトルｙの成分は、ベクトルｚの成分と同様、互いに相関している。
【００２０】
安定的条件下にて完全に安定化したプロセスでは以下の特徴が見られるはずである。
【数５】

は事実上ｔに依存しない。
各「原因変数」ｚ^kは固定値ｚ₀ ^k上で安定化される。
ｙは次の形の安定的プロセスによってモデル化することが可能である。
【００２１】
【数６】

現実的には、定量的原因変数を完全に求めることは可能ではない。すなわち、変数ベクトルｚ0によってこれに期待値０の確率的誤差及び共分散行列Σeの確率的誤差が加えられる。このモデルは次のようなものとなる。
【００２２】
【数７】

本発明によって提案される方法は、通常のＳＰＣの特徴であるところの次の特徴を有する。
【００２３】
・ベクトル関数ｆは未知である。
・説明的変数ｚ^kのすべてが特定されるわけではない。
・変数ｙ¹，．．．，ｙ^pについて時点ｔ＝１，．．．，ｔ＝ｎにおいてｎ回の観測が行われる。
これらの観測点は、ｎ行ｐ列の行列Ｙの形で書き表される。ベクトルｙ^jはＹのｊ番目の列を示す。この列のｉ番目の要素はｙ_i ^jとして表され、変数ｙ^jについて時点ｔ＝ｉにおいて行われた観測の値を示す。「時点」ｔ＝ｉにおける変数ｙ¹，．．．，ｙ^pの観測点のベクトルは、ｙ_iとして書き表される。
【００２４】
観測点ベクトルｙ_iには１／ｎに等しい重みｐ_iが与えられる。対角項として重みｐ_iを有する対角行列（ｎ，ｎ）はＤ_pとして書き表される。
・プロセスが適正に管理下におかれている場合、* 観測点は目標値ベクトルｙ０に中心が適正におかれる。
【００２５】
ベクトルｙ０はベクトルｙの数学的期待値Ｅ[ ｙ] に等しく、したがってｙ０は観測された平均値ベクトルｍ_yに非常に近い（ベクトルｍ_yは行列Ｙのｐ個の列ｙ¹，．．．，ｙ^pの平均値
【数８】

によって構成されるベクトルである。）。
* そのばらつきは一定であり、異なる変数ｙ^jについて定義される仕様限界と同等である。
【００２６】
ランダムベクトルｙの共分散行列は時間的に変化しない。
* プロセスがドリフトしている場合、観測されるベクトル値ｙ_iはベクトル目標値ｙ０から離れ過ぎる。こうした振る舞いは以下の結果である。
* １以上の原因変数ｚ^kの中央値の時間的変化。
* １以上のランダムε^kまたはｅ^jの分散の時間的増加。
【００２７】
ドリフトが原因変数ｚ^kに関した定性的なものであり、この変数を値ｚ０^kから値ｚ１^kまで変化させるような場合、分布の中心はベクトルｙ０からベクトルｙ１まで動く。これにより観測点は
【数９】

の方向に移動する。
ドリフトがｚ^kに関した定量的なものであり、プロセスがｚ^kに対してベクトルｙ０の周囲で不安定でない場合、各関数ｆ^jはｚ^kに対して部分導関数ｆ^jkを有するものと仮定することができる。変化を微分することで１階までこのことが示される。
【００２８】
・平均値におけるドリフトであるｚ１^k＝ｚ０^k＋ｄによって、観測点の中心が、ベクトルｙ０から部分導関数
【数１０】

のベクトルによって定義される方向に移動することが示される。
・ランダムｅ^kのばらつきの増大によって観測点ｙ_iの分布が同じ方向
【数１１】

に「引き伸ばされる」。
・ランダムｅ^jのばらつきの増大によって観測点ｙ_iの分布がｊ番目の単位ベクトル

の方向に「引き伸ばされる」。
【００２９】
本発明の方法は、以下の技術的な目的を実現し得たものである。
すなわち、* 履歴分析の段階において：履歴記録において特定されたすべてのドリフトに関連付けられた方向を特定し、各観測においてこれらの方向に対する近接指標を計算することを可能とするパラメータを定義する。
【００３０】
* プロセスの管理の動作段階において：最近の観測においてプロセスの動作にドリフトが見られるか否かを検出し、次いで近接指標を調べることにより、観測点に最も近いと思われる特定された原因方向を特定し、これにより可能性のあるドリフトの原因を提案する。
【００３１】
* 状況の速やかかつ全体的な評価を可能とするグラフを両段階において提案する。
システムを各プロセスの特定の特徴に適合させるため、システムにおいて行われる各種の処理に対して複数のバージョンが提案される。
【００３２】
本発明は、プロセスの入力、出力、及び管理及び動作パラメータの測定された指標すなわち測定値に基いた統計的プロセス管理の方法、ならびにこうした方法を使用し、このようにして得られた値に行われる各種の処理を含む任意のシステムを提供するものである。本発明の方法は、好ましくはコンピュータ処理を実行するとともに、処理工程において全体的かつ自動的に動作する、すなわち、ユーザを支援するコンピュータによって行われる。
【００３３】
本発明の動作は２段階にて行われる。
・プロセスの履歴分析を行う学習段階。履歴はプロセスの動作に関連した１組の量から構成される。これらの量は、連続した時点またはサンプリングによって得られる部品において測定もしくは評価される。
【００３４】
この分析の目的は、プロセスにおいてドリフトが顕在化する時点、ならびに、観測されたドリフトの特殊原因を（調査される現実のプロセスの専門家であるユーザと情報交換することにより）特定し、特定された特殊原因のそれぞれと関連する方向を定義するパラメータの値を評価することである。
【００３５】
・プロセスの追跡段階
この段階では、システムはプロセスから（センサから直接的接続を介して、あるいはマニュアルインプットにより）測定値及びデータを受け取る。これによりシステムはプロセスがドリフトした場合に警告を発することを可能とする。各原因に関連した量がこの観測について評価され、ドリフトの原因として考えられる原因が更に特定される。これらの原因は先に本発明の方法の分析によって特定されたものの中から選択される。何らの原因も提案されない場合、原因は人間に現実のプロセスを調べさせることによって特定される。この新たに特定された原因はシステムに組み込まれ、後に再びこの原因が発生した場合に自動的にこれを特定することを可能とする。
【００３６】
本発明のシステムの適切性及び独創性は以下の点によるものである。
＊提案されるモデルが適当であること及びその応用の広さ。
＊観測される量の多次元空間における異常の追跡の性質。すなわち、観測空間Ｒⁿにおける直線。
＊特定された原因のそれぞれの特性である複合量の定義、及び関連する確率法則。すなわち、「原因強度」及び「角近接度」。
【００３７】
＊用いられるこのモデルに適合した強力な多次元的統計分析方法。すなわち、原因方向を決定する管理不能点の分類。
＊提案されるグラフの適切性。すなわち、確率閾値にて度盛りされた管理図。
【００３８】
＊プロセスの履歴を分析することにより、学習段階が以下の工程を用いて異常の特定に寄与すること。
Ａ１−データの事前の変換。
Ａ２−管理下の測定値と管理不能測定値の区別。
Ａ３−特殊原因のタイプ及び関連する方向パラメータの特定。
Ａ４−特殊原因指標についての管理図の作成、精査。
Ａ５−特殊原因の解釈。
これらの工程は、現実のプロセスにおいては、システムに新たな情報を導入し（管理不能と認識される観測を行う、複数の原因を関連付ける、疑わしい測定値を特定する、・・・）、システムにより与えられる部分的情報を利用して履歴におけるその解釈を正確なものとするために介入することが可能な専門家との対話により実行される。ある工程において得られた結果によってオプションや特定のパラメータを改変して先の１以上の工程を繰り返すことがしばしば可能である。
【００３９】
プロセスの履歴は、ｎ行×ｐ列の行列Ｙによって特徴付けられる。行ｉと列ｊとの交点にある要素ｙ_i ^jは「時点」ｉにおける観測の際に変数ｙ^jのとる値を表す。
【００４０】
Ａ１工程：データの事前の変換
この工程は、処理が適用される値が上記に述べられた方法のモデルにより近くなるように観測される生データｙ_i ^jを変換することに関し、これによって結果の適切性が高くなる。
【００４１】
最も一般的な有用性を有する変換は、各観測変数に別個に行われ、観測点_i ^jの生の値を新たな値
【数１２】

に変換する。以下の変換について述べるが、これらに限定されるものではない。
＊連続的な示数をグループ化して１個の平均化された示数とする。（グループ化されたデータについての管理図と比較せよ）例として次式にて表される。
【数１３】

ただしｗは各グループのサイズである。
＊測定値同士を脱相関するための連続した測定値間の差。
【数１４】

＊ガウス分布に「より近い」分布を与える変換。例として次式。
【数１５】

ただし、Ｆ_G ^-1はガウス分布関数の逆数である関数であり、Ｆ_y ^jは変数ｙ^jの分布として仮定される関数である。
＊ランダムなばらつきの仮定される中心に中心を合わせる。その場合、
【数１６】

ただし、ｃ_i ^jの中心値の選択は、具体的な状況、プロセスについての知識による。したがって、これは、
ｃ_i ^j＝変数ｙ^jの管理下にある値の平均値、
ｃ_i ^j＝時間的に変化しない値である、変数ｙ^jの目的値ｙ０^j、または、
ｃ_i ^j＝時間的変数である、変数ｙ^jの目的値ｙ０_i ^j（小数列、既知で許容されうるばらつき、・・・）である。
＊関係していない量のスケールをより均一化し、観測された測定値のばらつきに仮定として与えられた重要度を考慮するための次式にて与えられるスケール変換。
【数１７】

ただし、ｓ_i ^jはこの測定値に対して選択された単位を示す。例として、
ｓ_i ^j＝管理下におかれた観測点の標準偏差ｙ^j。
Ａ２工程：管理下の測定値と管理不能測定値の区別
この工程は、履歴の測定値をとり、プロセスが管理下にある間におけるプロセスの正常動作に対応していないものとの間で区別を行うことよりなる。
【００４２】
最初に、プロセスを預かる人間によって管理不能であるとして認識されるすべての観察値を管理不能として標識する。
次に、まだ管理下にあるものと考えられる観測点に対してホテリングＴ²図を作成する（ダグラスＣ．モンゴメリ（ＤｏｕｇｒｏｕｓＣ．Ｍｏｎｔｇｏｍｅｒｙ）による著作「統計的品質管理入門」（Ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎｔｏｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌｑｕａｌｉｔｙｃｏｎｔｒｏｌ）第２版、Ｗｉｌｅｙ刊、１９９１年を参照。）。閾値αに関連付けられた上部管理限界線を越えて位置する観測点は管理不能と断定される。αは、誤警告の許容可能確率である。一般にαとして選択される値は０．０５または０．００１である。
【００４３】
この工程は繰り返されることが必要であり、各繰り返しにおいて、新たな観測点が管理不能として標識される。
繰り返しは、Ｔ²図の管理限界線の外側にある観測点の数が誤警告の許容可能確率に適合している場合に停止される。
【００４４】
この適合性は従来の仮説検定によって評価される。限界線の外側となる値の観測頻度が与えられたものとして、限界線外の測定値の確率がα以下であるという仮説を検定する（サポルタ（Ｇ．Ｓａｐｏｒｔａ）による「確率、データ分析、及び統計」（Ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ，ｄａｔａａｎａｌｙｓｉｓ，ａｎｄｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ）Ｔｅｃｈｎｉｐ刊、１９９０年を参照）。
【００４５】
Ａ３−特殊原因のタイプ及び関連する方向パラメータの特定
この発想は、先の工程において管理不能として標識された履歴中の各観測点に対して、異常の「特殊原因」と称される、異常のよく特定された原因を関連付けることにある。
【００４６】
この特定はプロセスを預かる人間の知識を利用して行われなければならないが、よく適合された自動分類法を管理不能として認識された点に適用することによりこうした人間を導くことが可能である。こうした分類は異常に共通の原因に対応させることが可能な観測点を一緒にまとめるものである。すなわちこの分類により、多次元空間において共通の方向に近い観測点がまとめられる。
【００４７】
この目的に適した方法として、グループにまとめるために、２個の観測点ベクトル間における類似度指数として余弦の絶対値を用い、直径基準としても知られる最大結合基準を受け容れる、階層的上昇分類（ｈｉｅｒａｒｃｈｉｃａｌｒｉｓｉｎｇｃｌａｓｓｉｆｉｃａｔｉｏｎ）型の自動分類法がある（上記に引用したＧ．サポルタによる著作を参照）。次に管理不能データの分布中心上に中心がある管理不能測定値に対して分類を行う。
【００４８】
その異常に最も関係の深い測定値が決定されれば異常方向をより簡単に解釈することが可能である。
これを行うため、変換後に、説明すべき変数及び測定された変数として異常の方向をとり、説明的変数として管理下分布中心上に中心を合わせて、「ステップ・バイ・ステップ」や「最良サブセット」型の定数項を用いずに線形回帰を行う。
【００４９】
このようにして選択された変数及び得られた回帰係数の符号を調べることにより、プロセスを預かる人間は異常の原因を決定するうえで導かれる。
Ａ４−特殊原因指標についての管理図の作成、精査
上記の工程の完了時には管理不能観測点の複数のグループができ、各グループは特定の異常、すなわち「特殊原因」に関連付けられている。
【００５０】
この工程は、各特殊原因をその存在について上記に述べた主方向に関連付け、次いで２個の指標関数に関連付けることによって開始される。２個の指標は、いずれかの観測点に適用された場合に、その観測点がこの特定の特殊原因を有するプロセスの異常動作から来るものであることが可能であるか否かを示す関数である。
【００５１】
図３及び４は次元２として、２つの異なる異常に関連する方向を示したものである。図３が生の値を用いたデータ観測空間内における状況を示しているのに対し、図４は管理下のデータの正規化された主成分に基いた基準系における状況を示している。２つのタイプの異常は、図３と比較して図４においてより明確に分離されている。
【００５２】
次に考慮される観測点は、管理下の測定値の正規化された主成分に基く基準系内に見出され、その原点は管理下データの分布中心と一致する。
上記に述べられた理論的モデルにより、管理下の観測点の分布中心から延び、異常に基く観測点群に「近い」、異常を表す方向を探すことが可能である。この方向は、上記の異常に関連した観測点の第１の慣性軸として定義することが可能である。この軸は原点を通過する（上述の変換と比較）。こうした軸は、異常に関連した観測点の集団の中心に集められておらず、また該集団にかためられていない主成分の分析によって決定される第１の主軸であることが知られている（上記に引用したＧ．サポルタによる著作を参照）。
【００５３】
特殊原因に関連した点が管理下の点の分布中心から離れる方向が求められれば、異常に関連した２個の指標を定義することが可能である。
すなわち、＊第１の指標は、前記の方向における観測点までの距離を測定する。
【００５４】
＊第２の指標は、管理不能の点の分布中心から見た角近接度に関して、観測空間Ｒⁿ内で前記の特定方向への点の近接度を測定する。
多次元的観測空間内において、第１の指標は特殊原因に関連した方向に沿った観測点の距離を測定する。第１の指標は、観測点と異常の各組を、「原因変数」と呼ばれる観測点と異常との間の関係の強さの指標と関連付ける。指標は、原因に関連した方向に沿った観測点の成分として得られる。この指標は観測ベクトルと原因の方向の方向ベクトルとのスカラー積として計算される。
【００５５】
正規化された主成分空間においてこのスカラー積を計算するということは、つまりは最初の測定空間において行列Ｖ^-1をスカラー積行列としてとることであり、ここで、Ｖ^-1はＶが最大階数である場合には管理下のデータの共分散行列Ｖの逆行列であり、Ｖ^-1はＶが最大階数でない場合にはＶの擬似逆行列である。
【００５６】
したがってこの指標は最初の測定値の一次結合であり、これらの測定値がガウスの法則（プロセスが管理下にある場合）に従うものと仮定するとこの指標もやはりガウスの法則に従う。したがってそのばらつきは従来の管理図を用いることによって調べることが可能である。したがって、このような強度図において管理不能の位置にある観測点は、図中に示された指標によって表される異常の種類に対応している可能性が高い。
【００５７】
これに対し、観測点が管理下の点の分布中心から非常に遠くにある場合には、観測点は複数の原因方向において離れているように見え、したがって、複数の異常の種類に関連しているように見える。曖昧さをなくすため、次に第２の指標を考慮する。
【００５８】
第２の指標は、異常を表す方向と、管理下のデータの中心に原点があって観測点に一端があるベクトルとの間の角近接度を示す指標である。この角度は計算が容易であることによりその余弦の値を評価する。この余弦は上記の強度指標を観測点を表すベクトルのノルムにて割ることによって計算される。
【００５９】
この計算はノルム化された主成分空間において行われるため、この新たな指標に関係した管理図上に示すことが可能な管理限界線を定義することがより適切でありこれを利用することが可能である。
【００６０】
動作が管理下にある場合、この指標は確率分布関数Ｆを求めることが可能な確率分布を有する。
【００６１】
関数Ｆを用いて角近接度指標の管理限界線Ｌαを定義する。この管理限界線の外側において観測点は前記異常に割り当てられる。関数Ｆは、ｎは２以上であるものとして、Ｒⁿにおいて任意の与えられた方向と共分散行列として恒等行列を有する、中央化されたガウスランダムベクトルＲⁿとがなす角度（Ｘ）の余弦の確率分布関数を表す。該ランダムな変数の確率分布関数Ｆは次式によって与えられる。
【数１８】

ただし、Ｌα＝Ｆ^-1（α）であるために、
【数１９】

であり、αは誤警告の許容されうる確率を表し、αは好ましくは０．００１％〜０．０５％の範囲の値である。ここで用いられる「誤警告」なる語は、前記異常に誤って割り当てられた管理下にある観測点を意味する。
角近接度管理図を調べることにより、「強度」図によって管理不能であるものと断定された点から、実際に考慮の対象であるところの異常による点を選択することが可能である。これらの点は両方の図において同時に管理不能であるものと断定される。
【００６２】
実際の使用においては、このような角近接度図は、次数の小さい次元では管理限界は１または−１に非常に近いためにあまり読みやすいとはいえない。そのため、これらの指標を表す図を、適当な変換が行われた後に、確率の閾値によって表される、対数目盛りを有する図において使用することが好ましい。
【００６３】
この表記法は検査されるあらゆる種類の量に対して有用であり、これにより異なる確率分布に関連する図の解釈が容易となり、その表記の均一性が高くなる。２種類の図は次のように定義される。
【００６４】
＊管理が１つの限界に適用される場合（Ｔ²図の場合におけるように）に使用することが可能な単方向図Ｐｕ。
＊管理が下部限界及び上部限界に関する場合に使用される双方向図Ｐｂ。
確率分布関数Ｆｘの指数ｉに関連した観測点ｘは単方向図Ｐｕ上に示される。この観測点は横軸ｉ及び縦軸ｙ＝ｍｉｎ（ｌｏｇ₁₀（１−Ｆ_x（ｘ），４）の位置にて図にプロットされる。
【００６５】
縦軸の目盛りはｙ：１−Ｆ_x（ｘ）＝１０（^-Y）の整数値に関連付けられた閾値によって目盛り付けされている。目盛り上の縦軸の値４は行われた丸めを考慮してｍｅｎｔｉｏｎ「＜０．０００１」に関連付けられている。横線は選択された管理限界を示す。図５は、従来のＴ²管理図ならびに対応するＰｕ図を示したものである。
【００６６】
確率分布関数Ｆｘの指数ｉに関連付けられた観測点ｘが双方向図Ｐ_b上に示される。この観測点は図の横軸ｉ及び下記に定義される縦軸ｙの位置に記される。
【数２０】

ただしｍは分布の平均値：Ｆｘ（ｍ）＝０．５である。
縦軸の目盛りはｙ：１０（^-|Y|）の整数値に関連付けられた閾値にて目盛り付けされている。横線は選択された管理閾値に関連付けられた管理限界を示す。図６は従来の余弦管理図ならびに対応するＰｂ図を示したものである。
【００６７】
Ａ５−特殊原因の解釈
上記に定義された管理図は、プロセスを預かる人間に、プロセスの適正な動作に対応しない履歴上の点をすべて発見し、そのそれぞれについて異常の実際の原因を特定することを可能とする情報を与えるものである。上記に述べた手段によれば特定された異常の原因のそれぞれを観測空間内の特定の方向に関連付けることが可能となり、２個の指標によってこれを特定することが可能である。
【００６８】
＊本発明の方法の第２の段階は厳密な意味においての管理の段階であり、次の工程よりなる。
Ｓ１−データが最初に変換される。
Ｓ２−異常が検出され、管理図を用いて監視することにより特定される。
Ｓ３−必要な場合、原因の組合せまたは新たな特殊原因が特定され、方法に組み込まれる。
【００６９】
この第２の段階において、システムはプロセスから（直接接続されたセンサまたはマニュアル入力から）の測定値及びデータを受け取る。この測定値は分析された履歴測定値のモデルに基いたものである。これによりシステムによってプロセスがドリフトした場合に警告が発せられることが可能となる。次いでシステムはドリフトの可能性として考えられる原因を特定する。ここで原因は学習段階において既に特定されたものの中から選択されたものである。
【００７０】
プロセスから受け取られた各観測点は下記の複数の工程において処理される。
Ｓ１―データの事前の変換
データが工程Ａ１において定義されたように変換される。
Ｓ２−異常の検出及び特定
工程Ａ２において定義された計算モデルを用いて観測点に関連付けられたＴ²の値が計算され、Ｔ²図の管理限界に対して記される。
【００７１】
図において観測点が管理下にあることが示された場合、観測点の処理を終了する。そうでない場合、観測点は適正に動作していないプロセスを表している。
このような状況下では、学習段階において特定された各種原因に関連付けられた指標のとる値が計算され、新たな観測点を表す点の位置が、前記指標に関連付けられたＰｂ型管理図上で調べられる。同じ原因に関連付けられた指標が両方とも観測点が管理不能であることを示す場合、この原因はプロセスの実際の誤動作の原点にある可能性が考えられ、システムはプロセスの管理者に対して誤動作についての警告ならびに誤動作の原因に関する診断を送る。
【００７２】
システムが更にリスト化された原因の内の別のものを特定、認識しない場合、ここで観測点の処理は終了する。こうした状況下では以下の更なる工程が必要である。
【００７３】
Ｓ３−必要な場合、原因の組合せまたは新たな特殊原因が特定され、方法に組み込まれる。
先の工程において何らの原因も認識されない場合、観測された異常が２つの既知の原因の同時発生に起因するものであるか否かを確認するための検定が行われる。
【００７４】
この目的のため、管理下分布中心上に中心がある観測点を説明すべき変数としてとり、説明的変数として原因変数をとって、「ステップ・バイ・ステップ」や「最良サブセット」型の定数項を用いずに線形回帰を行う。
【００７５】
２つの説明的変数のみを用いて大きな多相関係数Ｒが得られた場合、特にＲ＞０．９５である場合、これら２つの変数に関連した２つの原因が同時発生していることが考えられる。同様に、２以上の原因、特に３乃至４の原因が同時に起きている可能性が考えられる。
【００７６】
リストの中の原因または原因の組合せが認識されない場合、プロセスを預かる人間の知識及び経験に基いてマニュアル特定を行う必要がある。
本開示では様々な態様を明らかにする。一態様において、産業上のプロセスの入力、出力、ならびに制御及び作動パラメータの特性を示すとともに観測点の値を観測点のサンプリング指数に関連付ける基準系内の観測点によって表すことが可能な量の指標または測定値の示数に基いて前記プロセスを管理するための統計的方法であって、前記指標または測定値はセンサまたはマニュアル入力によって与えられる方法において、
ａ）観測された値は、得られる値が多次元的ガウス分布モデルに適合し、本方法の残りの部分において用いられる観測点に対応するデータを構成するように変換され、
ｂ）前記観測点は、測定された量に各次元が関連付けられた多次元空間内に存在し、
ｃ）これらの観測点の内、「管理下にある」と云われる、プロセスの適正な動作に対応した点は、「管理不能」と云われる点とは区別され、
ｄ）管理下にある点の分布中心は管理下にある観測点の重心であるものとして計算され、
ｅ）管理下にある点の分布中心から特定の方向に集中した管理不能な観測点が特定され、
ｆ）この方向は前記プロセスのドリフトの共通の原因に関連付けられ、
ｇ）各観測点と異常方向の組は、行われた観測に関連している可能性の高い０個、１個またはそれよりも多い異常の原因を提案するために指標に関連付けられ、
ｈ）上記のようにして異常が分析された場合、警告が発せられて、産業上のプロセスにおいて上記のようにして検出されたドリフトは修正されることを特徴とする方法。
一態様の統計的プロセス管理方法において、前記角近接度指標の管理限界線Ｌαであって、該管理限界線の外側において観測点は前記異常に割り当てられる管理限界線を定義するために関数Ｆが用いられ、該関数Ｆは、ｎは２以上であるものとして、Ｒ ⁿ の任意の与えられた方向と、共分散行列として恒等行列を有する、中心化されたガウスランダムベクトルＲ ⁿ との間の角度（Ｘ）の余弦の確率分布関数を表し、該ランダムな変数の確率分布関数Ｆは次式にて与えられ、
【数２０】

ただし、Ｌα＝Ｆ-1（α）であるために、
【数２１】

であり、ここでαは誤警告の許容されうる確率を表し、αは好ましくは０．００１％〜０．０５％の範囲の値であることを特徴とする統計的プロセス管理方法。
一態様の統計的プロセス管理方法において、以下の工程、
Ａ１：データの事前の変換工程、
Ａ２：管理下にある測定値を管理不能の測定値から分離する工程、
Ａ３：同じ異常に関連している可能性の高い観測点を特定するように適合されているとともに、管理下にある観測点の分布中心から延びる同じ直線の付近に位置する観測点を同じグループにまとめることを可能とする観測点の自動分類方法によって特殊原因のタイプ及び関連する方向パラメータを特定する工程、
Ａ４：特殊原因指標について管理図を作成してこれを調べる工程、及び、
Ａ５：特殊原因を解釈する工程、を行うことによって異常の特定に寄与すべくプロセスの履歴を分析する学習段階と、
プロセスの変数の新たな観測点のそれぞれについて観測点が異常によるものであるかを診断し、そうである場合にはどの異常の可能性が高いかを診断する、厳密な意味での管理段階であって、以下の工程、
Ｓ１：データの事前の変換工程、
Ｓ２：管理図を検査することにより異常を検出及び特定する工程、及び、
Ｓ３：必要な場合、原因の組合せまたは新たな特殊原因を特定し、これを方法に組み込む工程、からなる管理段階とから構成されることを特徴とする統計的プロセス管理方法。
一態様の統計的プロセス管理方法において、使用される前記自動分類方法は、グループとしてまとめるため、余弦の絶対値を２個の観測点ベクトル間の類似度指数として用い、直径基準としても知られる最大結合基準を用いる、昇順階層分類型の自動分類法であることを特徴とする統計的プロセス管理方法。
一態様の統計的プロセス管理方法において、異常を表すために前記学習段階のＡ３工程において用いられる方向は前記異常に関連した観測点の第１の慣性軸であり、該軸は管理下の観測点の分布中心を通過し、該軸は、異常に関連した観測点の集団について非中心かつ非減数の主成分の分析によって決定され、点は事前に管理下の観測点の分布中心に集められていることを特徴とする統計的プロセス管理方法。
一態様の統計的プロセス管理方法において、対数目盛りを有する確率閾値を有する管理図が使用され、管理が１つの限界に関係する場合（Ｔ ² 図の場合におけるように）には単方向図Ｐｕが使用され、管理が下部限界及び上部限界に関する場合には双方向図Ｐｂが使用され、これらの図により、異なる確率分布に関連する図の解釈が容易となり、その表記の均一性が高くなることを特徴とする統計的プロセス管理方法。

Claims

産業上のプロセスの入力、出力、ならびに制御及び作動パラメータの特性を示す測定値に基いて前記プロセスを管理するための統計的方法であって、前記測定値はセンサまたはマニュアル入力によって与えられる方法において、
ａ）測定値は、多次元的ガウス分布モデルに適合するデータに変換され、
ｂ）データに対応する観測点は、多次元空間内に存在し、
ｃ）これらの観測点の内、「管理下にある」と見なされる、プロセスの適正な処理に対応した点は、「管理不能」と見なされる点とは区別され、
ｄ）管理下にある点の分布中心は管理下にある観測点の重心であるものとして計算され、
ｅ）管理下にある点の分布中心から特定の方向に集中した管理不能な観測点が特定され、
ｆ）この方向は異常を表し、
ｇ）各観測点と異常方向の組は、異常の原因を特定するために指標に関連付けられ、
ｈ）上記のようにして異常が分析された場合、産業上のプロセスにおいて上記のようにして検出されたドリフトを修正すべく、警告が発せられることを特徴とする方法。
観測点と異常の各組が、「原因変数」と呼ばれる、観測点と異常との間の関係の強さの指標と関連付けられ、該指標は、原因に関連した方向に沿った観測点の成分として得られ、該指標は観測ベクトルと原因の方向の方向ベクトルとのスカラー積として計算され、観測点と異常との間の関係の強さの指標として用いられる前記スカラー積行列は行列Ｖ^-1であり、ただしＶ^-1は、Ｖが最大階数である場合には管理下のデータの共分散行列Ｖの逆行列であり、Ｖが最大階数でない場合にはＶの擬似逆行列であることを特徴とする請求項１に記載の統計的プロセス管理方法。
「角近接度指標」と呼ばれる、観測点を表すベクトルと異常に関連付けられた方向を表すベクトルとの間の角度を測定することによって得られる近接度指標が、観測点と異常との間に用いられ、該角近接度指標は前記角度の余弦であり、該余弦は前記強度指標を観測点を表すベクトルのノルムにて割ることによって計算され、該ノルムは前記行列Ｖ^-1によって定義されることを特徴とする請求項２に記載の統計的プロセス管理方法。
角近接度指標の管理限界線Ｌαが確率分布関数Ｆを用いて定義され、該管理限界線の外側において観測点が前記異常に割り当てられ、該ランダムな変数の確率分布関数Ｆは次式にて与えられ、

ただし、Ｌα＝Ｆ-1（α）であるために、

であり、ここでαは誤警告の許容されうる確率を表し、αは好ましくは０．００１％〜０．０５％の範囲の値であることを特徴とする請求項３に記載の統計的プロセス管理方法。
使用される前記自動分類方法は、グループとしてまとめるため、余弦の絶対値を２個の観測点ベクトル間の類似度指数として用い、直径基準としても知られる最大結合基準を用いる、昇順階層分類型の自動分類法であることを特徴とする請求項３又は４に記載の統計的プロセス管理方法。
管理不能観測点の特定の方向は、前記異常に関連した管理不能観測点の分布中心から延びる直線であり、該直線は管理不能観測点の第１の慣性軸であり、該軸は、異常に関連した管理不能観測点の集団についての非中心かつ非減数の主成分の分析によって決定されることを特徴とする請求項１に記載の統計的プロセス管理方法。