JP3638775B2

JP3638775B2 - Redundant robot position determination method for redundant robot

Info

Publication number: JP3638775B2
Application number: JP00674898A
Authority: JP
Inventors: 洋和渡邊; 晴弘常田
Original assignee: Nidec Sankyo Corp
Current assignee: Nidec Sankyo Corp
Priority date: 1998-01-16
Filing date: 1998-01-16
Publication date: 2005-04-13
Anticipated expiration: 2018-01-16
Also published as: JPH11198071A

Description

【０００１】
【発明の属する技術分野】
本発明は、冗長ロボットの冗長軸位置決定方法に関する。更に詳述すると、本発明は、冗長ロボットの冗長軸を拘束する条件の付与方法に関する。
【０００２】
【従来の技術】
平面位置決めに関し、図１４に示すような各アーム３２，３３による２関節型ロボット１１においては、アーム３３先端の目標位置の座標が与えられれば各関節や各アーム３２，３３の位置が一義的に定まりロボット１１の姿勢もおのずと決まるのに対し、冗長な自由度を持つロボットの場合にあっては目標位置の他に冗長軸の決定条件が必要となる。即ち、図１５に示すような冗長軸２を有する冗長ロボット１では当該冗長軸２によるアーム２１先端の位置を直接決定しなければならないし、また図１６に示すような水平走行軸２２を有するスカラロボットの場合には、水平走行軸２２を冗長軸２とみなして走行軸位置を直接決定しなければならない。
【０００３】
このように、２次元の平面上でマニピュレータを位置決めする際の最低必要自由度は２であり、２関節の場合は目標位置に対して姿勢が定まる（ただしスカラの場合右、左の違いは存在している）のに対し、これにもう一つ関節が加わるとマニピュレータの自由度が増えて上述したように姿勢が定まらなくなり、軸の位置を一義的に決定できなくなる場合が生じる。そこで、冗長ロボット１の動作に際しては、まずその冗長な軸２を位置決めし、拘束してから残りの２関節の位置を定めるようにしている。このように冗長軸２を拘束すれば、残りの軸の位置は一義的に定まる。
【０００４】
【発明が解決しようとする課題】
しかしながら、冗長ロボット１の冗長軸２が固定された場合に、冗長軸２以外の残りの軸において、２関節ロボットに特有の問題が生じることがある。即ち２関節ロボット１１ではアームが重なる位置に特異点５と呼ばれる地点があり、アーム上の一点を直線運動させるような場合に、その直線軌跡と特異点５とがずれているとその特異点５を経過することができずに動作不能となってしまうことがあるという問題がある。また図１７（Ａ）〜（Ｃ）に示すように、特異点５の近傍において各アーム３２，３３に動力学的に無理な運動をさせてしまうという問題もある。この場合第１アーム（３関節ロボットにおける第２アームに相当）３２と、第２アーム（同第３アームに相当）３３とが特異点５の近傍で大きく回り込まなければならなくなっている。なお、図１７において符号６，１０はそれぞれハンド、搬送対象物（ワーク）を示している。
【０００５】
このような問題は、冗長ロボット１の冗長性を生かした最適な姿勢をとれば回避され得るものではあるが、従来は冗長軸２に適正な決定条件を付与しないままその位置を決定してしまっていたためにそのような回避が困難であった。あるいは、プログラムなど何らかの決定条件を付与したとしても、冗長軸２は各ロボットの構造に依存しているものなので、同じ決定条件であっても機構の異なるロボット間では互換性がなくなってしまうことがあった。
【０００６】
そこで、本発明は、アームの動作に際し、冗長軸の適正位置を決定して直線動作を補間することができる冗長ロボットの冗長軸位置決定方法を提供することを目的とする。
【０００７】
【課題を解決するための手段】
かかる目的を達成するため、請求項１記載の発明の冗長ロボットの冗長軸位置決定方法では、冗長軸を構成する移動部材に関節部を介して順次連結された２つの回動可能なアームを有し、該アーム上の所定位置を直線動作させようとするとアームがある平面において冗長な自由度を有することになる冗長ロボットの冗長軸位置決定方法において、互いに連結された２つのアームが重なったときのロボットアームの所定位置である特異点に関し、冗長軸を動かすことによってこの特異点の軌跡を求める一方、与えられた目標位置に対する所定位置の移動方向をアクセス方向として定め、特異点軌跡と目標位置を通るアクセス方向に平行な直線とにより形成される交点を基準として冗長軸の位置を求めるようにしている。
よって冗長軸は、ロボットアームの所定位置の直線動作が補間されるように最適位置に設定される。このようにして冗長軸が設定・固定されると、ロボットアームの所定位置が交点を通過するように冗長軸以外のアームが回動可能となる。交点は特異点軌跡と目標位置を通るアクセス方向に平行な直線とにより形成されており、冗長ロボットの動作の際にロボットアームの所定位置がこの交点を通過するようにされるので、ロボットアームが特異点を経由できずに動作不能となってしまったり、動力学的に無理な運動が生じてしまったりするなどの事態が回避される。
【０００８】
ここで導入されるアクセス方向とは、冗長ロボットの冗長軸以外における所定位置の移動方向を表すための概念であり、具体的にはアーム先端の移動可能領域における主要移動方向を表している。例えば冗長ロボットによりワークを搬送する場合、各アームの動きを組み合わせれば当該ワークをどの方向へも移動させることが可能となる。ここではそのうちの主要移動方向、即ち当該ワークを搬送させようとする方向を示すものとして定義している。冗長軸は、ワーク（あるいはアーム先端など）がアクセス方向と平行に移動したときの直線軌跡が特異点を通過するような最適位置に設定され、この冗長軸以外における所定位置の直線動作が補間されるようにしている。このように直線動作が補間されることによって、冗長ロボットの動作の際、冗長軸以外の所定位置が特異点を経由できずに動作不能となったり、動力学的に無理な運動が生じてしまったりするなどの事態が回避される。
【００１５】
請求項２記載の冗長ロボットの冗長軸位置決定方法においては、特異点軌跡はアクセス方向に平行なある直線と一点のみ交差するように求める領域が設定されてなる。したがって目標位置とアクセス方向とによって冗長軸の最適位置が一義的に決定される。
【００１６】
請求項３記載の冗長ロボットの冗長軸位置決定方法においては、特異点軌跡の中心と交点とを結ぶ直線の角度θ１を求め、冗長軸の角度をその角度θ１と等しく設定するようにしている。このように冗長軸が設定・固定されることによって、ロボットアームの所定位置が交点を通過するように冗長軸以外のアームが回動可能となる。
【００１７】
【発明の実施の形態】
以下、本発明の構成を図面に示す実施の形態の一例に基づいて詳細に説明する。
【００１８】
図１〜図１９に本発明の冗長ロボット１の冗長軸位置決定方法の一実施形態を示す。この冗長ロボット１の冗長軸位置決定方法では、アクセス方向ａという概念を導入し、このアクセス方向ａを利用して冗長軸２の最適位置（例えば回動アームの場合は回転角θの値）を見つけだすようにしている。これは、ある平面に関して冗長な自由度を有する冗長ロボット１の、冗長軸以外の軸３により定まる特異点５を冗長軸２を動かすことによって得られる特異点軌跡５１と、アクセス方向ａとにより冗長軸２の適正位置を決定しようとするものである。この場合、冗長ロボット１は、冗長軸２を構成する移動部材に関節部４を介して順次連結された２つの回動可能なアーム（第２アーム３２、第３アーム３３）を有し、冗長軸２に対するアーム先端３３ａの可動領域の主要方向をアクセス方向ａとして規定し、２つのアーム３２，３３により特異点軌跡５１を求める一方、アクセス方向ａと特異点軌跡５１から移動部材のアームとの連結部である関節部４の位置を決定するようにしている。
【００１９】
まず、本発明において導入されている概念であるアクセス方向ａについて説明する。アクセス方向ａは、例えば図２に示すように、カセットやロードロックなどの収容部７の開口している面へハンド６などが挿入するときの方向を示す概念として示されている。図２の場合、アクセス方向ａは、ハンド６を開口面に対し真っすぐに挿入させるように、図示するＸ軸、Ｙ軸方向に平行なものとされている。ただし方向はこのようなものに限られず、例えば図１１、図１２などに示すように、Ｘ軸（Ｙ軸）に対して角度を有するように斜めに設定されても構わない。この場合、アームの所定位置（例えばアーム先端３３ａ）が移動する軌跡を、以下では便宜上、アーム軌跡といい図６や図７に示すように符号Ｌで表すことにする。このアクセス方向ａは厳密なものである必要はなく、数度程度の多少の誤差を含んでいても冗長軸２の位置決め精度に大きな影響を与えることはない。冗長ロボット１などのロボットマニピュレータでＸ−Ｙ平面の精度を確保するために通常行われるティーチング作業時、このアクセス方向ａが決定していればマニピュレータの姿勢は一義的に決定され、純粋な再現精度により精度が確保され得るようになる。
【００２０】
次に、冗長ロボット１も含めたロボットの姿勢（＝ポーズ）の分類について説明する。図３に示す２関節ロボット１１のように、冗長でない水平２関節型マニピュレータは１つの座標に対して２種類の位置決め姿勢、即ち図３（Ａ）に示す左手のような左姿勢と、図３（Ｂ）に示す右手のような右姿勢とをとることができる。このような２種類の姿勢のどちらになるかは、逆機構解を解くとき三角関数の範囲や自乗根の演算の際に生じる符号の選択としてこの逆機構解の中に現れる。この逆機構解より実際の数値を選択するにはこの符号選択や逆三角関数の範囲をどこに取るかによって図４や図５の様にアーム３２，３３の姿勢が変化し、これらアーム３２，３３の可動角度によって位置決めできる領域も異なってくる。これらの姿勢としては、可動領域内であれば、Ｘ−Ｙ平面の１点の座標から角度を求めるに際して右姿勢と左姿勢のどちらが選択されていても問題はない。ただし、移動先へ向かう途中の特異点５近傍で無理なアーム動作が生じる場合や、特異点５を経由しないときに所望の姿勢では到達不可能となる場合などを考慮すると、実際のロボットの作業においてどのような姿勢が最適になるかを見定めるようにすることが必要となる。このためには、アプリケーションの動作を大まかに検討し、そのアプリケーションの必要とする位置決めすべき座標と動作経路により決定することが好ましい。
【００２１】
冗長ロボット１は、図２などに示すような冗長軸２を有するロボットであり、ここでは、少なくとも３軸の移動可能な関節部４を連結することによりロボットアームの所定位置がある平面において冗長な自由度を有するように構成されている。この場合の所定位置とは、例えばアーム先端３３ａであり、あるいはハンド６の先端である。また、この冗長ロボット１は図４及び図５に示すような４種類の姿勢をとることができる。即ち、冗長軸２に対するワークなどの搬送対象物（以下単に「ワーク」という）１０の位置関係により右手姿勢（以下「Right」という）と左手姿勢（以下「Left」という）とに分けられるのは上述のとおりであり、更に冗長軸２とワーク１０の距離によって冗長ロボット１のアーム３２，３３の姿勢が変わるので、図示するように遠い場合（以下「Far」という）と近い場合（以下「Near」という）とに分けられるため、これらの組み合わせにより４種の姿勢が得られることになる。このように、Rightか Leftかで２つのアーム３２，３３は、右手姿勢か左手姿勢かにより求める特異点軌跡５１を異ならせている。
【００２２】
ここで、ワーク１０を直線動作で搬送する際の冗長ロボット１の姿勢を、水平冗長３軸マニピュレータにおいて考察する。ここでは、３軸のうちの冗長軸２以外の連結された２軸によって定まる特異点５を冗長軸（第１アーム）２を動かすことによって得られる特異点軌跡５１を求める一方与えられた目標位置である予点Ｐ０に対してロボットアームの所定位置の可動領域の主要方向をアクセス方向ａとして定め、特異点軌跡５１と、目標位置Ｐ０を通るアクセス方向ａに平行な直線とにより形成される交点Ｓ０を基準として冗長軸２である残りの軸の適正位置を求めるようにする。
【００２３】
まず、上述したようにそれぞれのカセットなどの収容部７からワーク１０を移動させる動作には大きく分類して４種類の姿勢があるので、これらを便宜上それぞれ「Far Right」、「Near Right」、「Near Left」、「Far Left」と名付けると共に、以下ではこれらの４姿勢のうちNear Rightを例として挙げ考えることとする。
【００２４】
図１に示すように、Ｘ軸に対する冗長軸２の角度をθ１、冗長軸２に対する第２アーム３２の角度をθ２、第２アーム３２に対する第３アーム３３の角度をθ３とする。この場合、図６に示すようなNear Rightにおける引き出し動作によって、各アームはθ３が＋となるように、θ２が−となるように回転する。そして第２アーム３２と第３アーム３３とが特異点５にて重なる状態（図６中のＸ軸上にある状態）を経由し、第３アームはπ以上（最大２π）の角度まで回転する。同様にして、図７に示すように、Near Leftにおいても第３アームは０〜２πの範囲をとり得る。各アームが図６及び図７に示すような動作をしたときのθ３の可動範囲をそれぞれ同図中に円弧状に矢示する。なお、冗長軸２、第２アーム３２、第３アーム３３の長さは図１のようにそれぞれＬ１、Ｌ２、Ｌ３で示されている。
【００２５】
このようなNear動作においては、図６や図７のようにアーム軌跡Ｌ上に特異点５が位置していれば、各アーム３２，３３はこの特異点５を経由するように動作することが可能となる一方、そうでない場合には動作不能になる。即ち、特異点５を経由しないことには直線動作の際の引き出し距離を充分に確保できないことから、Near Rightでθ３がπを経過する（第２アーム３２、第３アーム３３が特異点５で重なり更に回動する）こともできなくなり、補間動作を行い得なくなる。実際には、この特異点５の位置は第１アームたる冗長軸２の角度θ１を変化させることで移動することもあるので、この観点から冗長パラメータを決定するようにする。このように、Nearにおける冗長パラメータの決定を行うには、特異点５を経由させるための補間動作を円滑に行うための逆機構解の解法アルゴリズムが必要とされる。そこで、以下のようにして冗長パラメータたる冗長軸２の姿勢を決定する。
【００２６】
図１に示すＸＹ平面上の予点Ｐ０（Ｐ０Ｘ，Ｐ０Ｙ）から、図８に示すように特異点軌跡５１に対し直線Ｌを引く。直線Ｌは、いうまでもなくアクセス方向ａに平行である。この場合の特異点軌跡５１は、第２アーム３２をＸ軸に平行にしたときの第２アーム３２上の特異点５が、冗長軸（第１アーム）２を回転させたときに描く軌跡として、図１などに示すように半円状の破線により示されている。即ち、特異点軌跡５１はθ２＝−θ１かつθ３＝π、つまりＸ軸に第２アーム３２、第３アーム３３が平行で且つ第３アーム３３が第２アーム３２に重なっている状態において冗長軸（第１アーム）２を１回転（あるいは半回転）させたときの所定の位置が描く円弧の方程式で表される。また直線Ｌはあらかじめ決められているアクセス方向ａと同一の方向成分をもつ直線であり、これにより図８に示すような特異点軌跡５１との交点Ｓ０（Ｓ０Ｘ，Ｓ０Ｙ）が求められる。交点Ｓ０には通常２つの解が存在するが、この場合の特異点軌跡５１は直線Ｌと１点のみ交差するように求める領域が設定され、アクセス方向ａをＹ軸一方向とした場合の＋側の解のみが得られるようにされている。
【００２７】
このようにして求められたＳ０に対しθ１＝ｔａｎ^-1（Ｓ０Ｙ／（Ｓ０Ｘ−（Ｌ２−Ｌ３）））なるθ１を決定し、特異点軌跡５１の中心と交点Ｓ０とを結ぶ直線の角度θ１を求める（Right状態でのθ１の範囲は−π／２＜θ１＜π／２）。このようにθ１が決定されたら、図８に示すように、冗長軸２の角度をその角度θ１と等しくなるように設定し、固定させるようにすれば良い。これにより関節部４の最適位置が決まり、冗長軸２たる第１アームは冗長でなくなり、逆機構解が決定される。このような決定方式は、図９に示すように、予点Ｐ０と別の予点Ｐｍに対して別の補間動作を行う場合に各アームが連続的に動作しながらθ２、θ３により作られる特異点５を経由できるメリットがある。なお、ここまでの冗長軸位置決定の流れを、図１８に示す。
【００２８】
ここまで説明したような冗長ロボット１の適用として考えられるワーク１０のハンドリング作業（図１５）では、カセットなどの収容部７からウェハなどのワーク１０を抜き出し、プロセス装置のロードロックなどヘこのワーク１０を移載し、プロセスの終了したワーク１０をロードロックより受け取ってカセットに戻すなどの作業が遂行される。このような作業は通常クリーン環境で行われるため、クリーン設備の床面積は設備コスト（＝製造コスト）を下げるうえで重要な問題であり、いたずらにサイズの大きなロボットを使用する事はできない。
【００２９】
そこで、これまでのような移動部材が回動可能なアーム２１とされた冗長水平３関節アームだけでなく、図１６のような移動部材が水平方向に移動する水平走行軸２２とされたロボットでも同様の方式をとることができるようにされている。この場合、図１０に示す走行軸方向はｂで表され、特異点軌跡５１はこの走行軸方向ｂに平行な直線となる。また、予点Ｐ０からアクセス方向ａへの直線を引き、特異点軌跡５１と交わった点が交点Ｓ０である。ここでは、特異点５を作動させて補間動作が連続するように水平走行軸２２における位置が自動的に調整される。この冗長軸位置決定方法を示すフローチャートを図１９に示す。
【００３０】
一方、Farの姿勢における冗長軸（第１アーム）２の角度決定においては、Nearの場合と異なり、特異点５を通らなければ直線が引けないといった状態はなく完全冗長であるため、θ１を任意に決定し得る。同じ直線軌跡を描かせる場合でも、冗長軸２の角度の取り方により図１１または図１２に示すような場合が考えられ、明らかに図１２の方が動力学等速直線動作として無理が無い状態である。そこで、図１２のような冗長軸２の角度を決定する方法として、図１３のような方法がある。
【００３１】
また、第２アーム３２、第３アーム３３の長さが等しいかあるいは近い（Ｌ２≒Ｌ３）場合、θ３＝πでの特異点５近傍で動力学的等速直線動作が困難なので、この状態を回避するため図１３に示すように、予点Ｐ０よりアクセス方向ａへの直線Ｌを引きここから充分なマージンＭ０をとった所に特異点５が位置するようにθ１を決定すれば良い。
【００３２】
本発明の冗長ロボット１の冗長軸位置決定方法によれば、冗長軸２の位置決定条件として導入されたアクセス方向ａという概念により、冗長軸２の最適位置を決定することができるようになり、特異点５近傍での直線補間動作が可能になる。また本発明によれば、数度程度の多少の誤差を含んでいても位置決め精度に影響を与えることがなく、このアクセス方向ａでの誤差は最終のＸ−Ｙ平面の誤差としては無関係にすることができ、また特異点５以外の位置ではＸ−Ｙ平面上の精度は逆機構解の入力値と一致させるような演算方法をとることが可能である。
【００３３】
また、ロボットの構造によらず普遍的に冗長軸決定条件を記述できるようになり、プログラムの可読性、可搬性が向上する。またロボットアプリケーションを考慮した場合、冗長ロボット１の据え付け位置とワーク１０をハンドリングする位置との関係によって冗長ロボット１のワーク１０への向きが決まる。この向きをアクセス方向ａとし、これを利用して第２ハンド３２などのマニピュレータの最適位置を選択するようにすれば、ロボットの構造によらずにプログラムを記述することができるようになる。しかも、アクセス方向ａという概念自体は簡便な考えに基づくものであるため、プログラム作成が容易になる。
【００３４】
尚、上述の実施形態は本発明の好適な実施の一例ではあるがこれに限定されるものではなく本発明の要旨を逸脱しない範囲において種々変形実施可能である。例えば、本実施形態ではワーク１０のハンドリング作業を行う冗長ロボット１を例示して説明したが、本発明はこのようなロボットに限られず、他の用途に用いられるロボットなどにおいて広く利用可能であることはいうまでもない。
【００３５】
また、本実施形態では図１などに示すように、特異点軌跡５１として半円で描かれたもののみを用い、アクセス方向ａに平行な直線との交点あるいはアクセス方向ａに平行なアーム軌跡Ｌとの交点を一点のみ求めるようにしていたが、例えば全周描かれた特異点軌跡５１を用いれば、交点が２つ求められ得ることはいうまでもない。この場合、２つの交点によって冗長軸２の最適位置を２つ求めることができるようになる。
【００３６】
【発明の効果】
以上の説明より明らかなように、請求項１記載の発明の冗長ロボットの冗長軸位置決定方法では、互いに連結された２つのアームが重なったときのロボットアームの所定位置である特異点に関し、冗長軸を動かすことによってこの特異点の軌跡を求める一方、与えられた目標位置に対する所定位置の移動方向をアクセス方向として定め、特異点軌跡と目標位置を通るアクセス方向に平行な直線とにより形成される交点を基準として冗長軸の位置を求めているので、この冗長軸が、ロボットアームの所定位置の直線動作が補間されるような最適位置に設定される。これにより、ロボットアームが特異点を経由できずに動作不能となってしまったり、動力学的に無理な運動が生じてしまったりするなどの事態が回避される。
【００４２】
更に請求項２記載の発明の冗長ロボットの冗長軸位置決定方法では、特異点軌跡はアクセス方向に平行なある直線と一点のみ交差するように求める領域が設定されてなるので、目標位置とアクセス方向とによって冗長軸の最適位置が一義的に決定される。
【００４３】
また請求項３記載の発明の冗長ロボットの冗長軸位置決定方法では、特異点軌跡の中心と交点とを結ぶ直線の角度を求め、冗長軸の角度をその角度と等しく設定するようにしているので、冗長軸の最適位置を簡便に求めることができる。
【図面の簡単な説明】
【図１】本発明である冗長ロボットの冗長軸位置決定方法の実施形態を示す図であり、３関節ロボットにおける冗長軸及び冗長軸以外の軸の長さと角度、及び特異点軌跡を示す。
【図２】本発明におけるアクセス方向の概念を矢印で示す図である。
【図３】ロボットの姿勢の分類を水平２関節型マニピュレータを例にして示す図であり、（Ａ）は左姿勢を、（Ｂ）は右姿勢をそれぞれ示す。
【図４】冗長軸とワークとの距離が遠いFar状態にある冗長ロボットを示す図である。
【図５】冗長軸とワークとの距離が近いNear状態にある冗長ロボットを示す図である。
【図６】 Near Rightにおける各アーム動作と、θ３の可動範囲とを示す図である。
【図７】 Near Leftにおける各アーム動作と、θ３の可動範囲とを示す図である。
【図８】特異点軌跡とアーム軌跡の位置関係を示し、更に冗長軸を適正位置に設定した様子を示す図である。
【図９】予点Ｐ０と別の予点Ｐｍとを通過するように引かれたアーム軌跡と、そのアーム軌跡に沿うように動作する各アームの様子を示す図である。
【図１０】移動部材が水平方向に移動する水平走行軸とされた場合のアーム軌跡などを示す図である。
【図１１】冗長軸とアーム軌跡とが近い場合における各アームの動作の様子を示す図である。
【図１２】冗長軸とアーム軌跡とが近くない場合における各アームの動作の様子を示す図である。
【図１３】予点Ｐ０よりアクセス方向ａへの直線Ｌを引きここから充分なマージンＭ０をとった所に特異点５が位置するようにθ１を決定した様子を示す図である。
【図１４】２関節型ロボットとカセットやロードロックなどの収容部との位置関係及びアクセス方向を示す図である。
【図１５】冗長軸を構成する移動部材が回動可能なアームとされた冗長ロボットを示す図である。
【図１６】移動部材が水平方向に移動する水平走行軸とされた冗長ロボットを示す図である。
【図１７】特異点近傍において各アームが動力学的に無理な運動をしている様子を時間経過とともに（Ａ）、（Ｂ）、（Ｃ）の順に示す図である。
【図１８】本発明の冗長ロボットの冗長軸位置決定方法の流れを示すフローチャートである。
【図１９】移動部材が水平方向に移動する水平走行軸とされた場合の、本発明の冗長ロボットの冗長軸位置決定方法の流れを示すフローチャートである。
【符号の説明】
１冗長ロボット
２冗長軸
３冗長軸以外の軸
４関節部
５特異点
２１アーム
２２水平走行軸
３２第２アーム
３３第３アーム
３３ａアーム先端
５１特異点軌跡
ａアクセス方向
Ｐ０予点（目標位置）
Ｓ０交点[0001]
BACKGROUND OF THE INVENTION
The present invention relates to a redundant axis position determination method for a redundant robot. More specifically, the present invention relates to a method for providing a condition for constraining a redundant axis of a redundant robot.
[0002]
[Prior art]
Regarding the planar positioning, in the two-joint type robot 11 using the arms 32 and 33 as shown in FIG. 14, if the coordinates of the target position of the tip of the arm 33 are given, the positions of the joints and the arms 32 and 33 are uniquely determined. In contrast to the fixed position of the robot 11, the robot has a redundant degree of freedom. In addition to the target position, a redundant axis determination condition is required. That is, in the redundant robot 1 having the redundant axis 2 as shown in FIG. 15, the position of the tip of the arm 21 by the redundant axis 2 must be determined directly, and the scalar having the horizontal traveling axis 22 as shown in FIG. In the case of a robot, the horizontal travel axis 22 is regarded as the redundant axis 2 and the travel axis position must be determined directly.
[0003]
Thus, the minimum required degree of freedom when positioning the manipulator on a two-dimensional plane is 2, and the posture is determined with respect to the target position in the case of two joints (however, there is a difference between right and left in the case of a scalar) On the other hand, if another joint is added to this, the degree of freedom of the manipulator increases and the posture cannot be determined as described above, and the position of the axis cannot be determined uniquely. Therefore, when the redundant robot 1 operates, the redundant shaft 2 is first positioned and restrained, and then the positions of the remaining two joints are determined. If the redundant axis 2 is constrained in this way, the positions of the remaining axes are uniquely determined.
[0004]
[Problems to be solved by the invention]
However, when the redundant axis 2 of the redundant robot 1 is fixed, a problem peculiar to the two-joint robot may occur in the remaining axes other than the redundant axis 2. That is, in the two-joint robot 11, there is a point called a singular point 5 at a position where the arms overlap, and when one point on the arm is linearly moved, if the linear locus and the singular point 5 are deviated, the singular point 5. There is a problem that the operation cannot be performed and the operation becomes impossible. Further, as shown in FIGS. 17A to 17C, there is a problem that the arms 32 and 33 are caused to move dynamically in the vicinity of the singular point 5. In this case, the first arm (corresponding to the second arm in the three-joint robot) 32 and the second arm (corresponding to the third arm) 33 have to largely wrap around the singular point 5. In FIG. 17, reference numerals 6 and 10 denote a hand and a conveyance object (work), respectively.
[0005]
Such a problem can be avoided by taking an optimum posture utilizing the redundancy of the redundant robot 1, but conventionally, the position is determined without giving an appropriate determination condition to the redundant axis 2. Therefore, it was difficult to avoid such a situation. Alternatively, even if some determination condition such as a program is given, the redundant axis 2 depends on the structure of each robot, and therefore, compatibility may be lost between robots having different mechanisms even under the same determination condition. there were.
[0006]
SUMMARY OF THE INVENTION Accordingly, an object of the present invention is to provide a redundant axis position determination method for a redundant robot capable of determining an appropriate position of a redundant axis and interpolating a linear motion during arm operation.
[0007]
[Means for Solving the Problems]
In order to achieve this object, the redundant axis position determination method for the redundant robot according to the first aspect of the present invention has two rotatable arms sequentially connected to the moving members constituting the redundant axis via joints. and, in the redundant robot redundant axis positioning method which will have the will to the redundant degrees of freedom in the plane in which the arm case linearly operating a predetermined position on said arms, two overlapping arms connected to each other physician For the singular point that is the predetermined position of the robot arm at this time, the trajectory of this singular point is obtained by moving the redundant axis, while the moving direction of the predetermined position with respect to the given target position is determined as the access direction, The position of the redundant axis is obtained with reference to an intersection formed by a straight line passing through the target position and parallel to the access direction.
Therefore, the redundant axis is set at the optimum position so that the linear motion at the predetermined position of the robot arm is interpolated. When the redundant axis is set and fixed in this manner, the arms other than the redundant axis can be rotated so that the predetermined position of the robot arm passes the intersection. The intersection is formed by a singular point trajectory and a straight line passing through the target position and parallel to the access direction.When the redundant robot operates, a predetermined position of the robot arm passes through this intersection. It is possible to avoid situations such as being unable to operate through a singular point and becoming inoperable or causing dynamic movement.
[0008]
The access direction introduced here is a concept for representing the movement direction of a predetermined position other than the redundant axis of the redundant robot, and specifically represents the main movement direction in the movable area of the arm tip. For example, when a workpiece is conveyed by a redundant robot, the workpiece can be moved in any direction by combining the movements of the arms. Here, the main moving direction, that is, the direction in which the workpiece is to be conveyed is defined. The redundant axis is set at an optimal position so that the linear trajectory passes through the singular point when the workpiece (or arm tip, etc.) moves parallel to the access direction, and the linear motion at a predetermined position other than this redundant axis is interpolated. I try to do it. By interpolating the linear motion in this way, when the redundant robot is operating, a predetermined position other than the redundant axis cannot pass through the singular point, and it becomes impossible to operate, or dynamic motion is generated. A situation such as falling off is avoided.
[0015]
In the redundant axis position determination method of the redundant robot according to the second aspect , the singular point locus is set with a region to be calculated so as to intersect only one point with a certain straight line parallel to the access direction. Therefore, the optimum position of the redundant axis is uniquely determined by the target position and the access direction.
[0016]
In the redundant robot position determination method of the redundant robot according to the third aspect, the angle θ1 of the straight line connecting the center of the singular point locus and the intersection is obtained, and the angle of the redundant axis is set equal to the angle θ1. By setting and fixing the redundant axis in this way, the arms other than the redundant axis can be rotated so that the predetermined position of the robot arm passes the intersection.
[0017]
DETAILED DESCRIPTION OF THE INVENTION
Hereinafter, the configuration of the present invention will be described in detail based on an example of an embodiment shown in the drawings.
[0018]
1 to 19 show an embodiment of a redundant axis position determining method for the redundant robot 1 of the present invention. In the redundant axis position determination method of the redundant robot 1, the concept of the access direction a is introduced, and the optimal position of the redundant axis 2 (for example, the value of the rotation angle θ in the case of a rotating arm) is determined using the access direction a. I try to find out. This is because the redundant robot 1 having a redundant degree of freedom with respect to a certain plane is made redundant by the singular point locus 51 obtained by moving the redundant axis 2 on the singular point 5 determined by the axis 3 other than the redundant axis, and the access direction a. The appropriate position of the axis 2 is to be determined. In this case, the redundant robot 1 has two rotatable arms (second arm 32 and third arm 33) which are sequentially connected to the moving member constituting the redundant shaft 2 via the joint portion 4, and are redundant. The main direction of the movable region of the arm tip 33a with respect to the shaft 2 is defined as the access direction a, and the singular point locus 51 is obtained by the two arms 32 and 33, while the access direction a and the singular point locus 51 are used to The position of the joint part 4 which is a connection part is determined.
[0019]
First, the access direction a which is a concept introduced in the present invention will be described. For example, as shown in FIG. 2, the access direction a is shown as a concept indicating the direction when the hand 6 or the like is inserted into the open surface of the accommodating portion 7 such as a cassette or a load lock. In the case of FIG. 2, the access direction a is parallel to the illustrated X-axis and Y-axis directions so that the hand 6 can be inserted straight into the opening surface. However, the direction is not limited to this, and may be set obliquely so as to have an angle with respect to the X axis (Y axis) as shown in FIGS. In this case, the locus of movement of a predetermined position of the arm (for example, the arm tip 33a) is hereinafter referred to as an arm locus for the sake of convenience, and is represented by the symbol L as shown in FIGS. The access direction a does not need to be strict, and even if it includes a slight error of several degrees, the positioning accuracy of the redundant shaft 2 is not greatly affected. At the time of teaching work normally performed to ensure the accuracy of the XY plane by a robot manipulator such as the redundant robot 1, if the access direction a is determined, the posture of the manipulator is uniquely determined, and pure reproduction accuracy is obtained. Thus, accuracy can be ensured.
[0020]
Next, the classification of the postures (= poses) of the robot including the redundant robot 1 will be described. Like the two-joint robot 11 shown in FIG. 3, a non-redundant horizontal two-joint manipulator has two types of positioning postures for one coordinate, that is, a left posture like the left hand shown in FIG. A right posture like the right hand shown in (B) can be taken. Which of these two kinds of postures appears in the inverse mechanism solution as a selection of a code generated when calculating the range of the trigonometric function or the square root when solving the inverse mechanism solution. In order to select an actual numerical value from the inverse mechanism solution, the postures of the arms 32 and 33 change as shown in FIG. 4 and FIG. The region that can be positioned varies depending on the movable angle of the lens. As long as these postures are within the movable region, it does not matter whether the right posture or the left posture is selected when obtaining the angle from the coordinates of one point on the XY plane. However, considering the case where an unreasonable arm movement occurs in the vicinity of the singular point 5 on the way to the destination, or the case where it is impossible to reach the desired posture without passing through the singular point 5, the actual robot work It is necessary to determine what kind of posture is optimal in the above. For this purpose, it is preferable that the operation of the application is roughly examined and determined by the coordinates to be positioned and the operation path required by the application.
[0021]
The redundant robot 1 is a robot having a redundant axis 2 as shown in FIG. 2 and the like. Here, the redundant robot 1 is redundant on a plane where a predetermined position of the robot arm is located by connecting at least three movable joints 4. It is configured to have a degree of freedom. The predetermined position in this case is, for example, the arm tip 33a or the tip of the hand 6. The redundant robot 1 can take four types of postures as shown in FIGS. That is, it is divided into a right hand posture (hereinafter referred to as “Right”) and a left hand posture (hereinafter referred to as “Left”) according to the positional relationship of a transport object (hereinafter simply referred to as “work”) 10 such as a workpiece with respect to the redundant axis 2. As described above, the postures of the arms 32 and 33 of the redundant robot 1 change depending on the distance between the redundant axis 2 and the workpiece 10, and as shown in the figure, they are close to each other (hereinafter referred to as “Far”) (hereinafter referred to as “Near”). Therefore, four types of postures can be obtained by combining these. As described above, the singular point trajectory 51 obtained by the two arms 32 and 33 differs depending on whether the posture is the right hand posture or the left hand posture depending on whether it is Right or Left.
[0022]
Here, the posture of the redundant robot 1 when the workpiece 10 is conveyed in a linear motion will be considered in the horizontal redundant three-axis manipulator. Here, the singular point trajectory 51 obtained by moving the redundant axis (first arm) 2 on the singular point 5 determined by two connected axes other than the redundant axis 2 of the three axes is obtained while being given a target position. The main direction of the movable region at a predetermined position of the robot arm is defined as the access direction a with respect to the preliminary point P0, and the intersection formed by the singular point locus 51 and a straight line passing through the target position P0 and parallel to the access direction a. An appropriate position of the remaining axis which is the redundant axis 2 is obtained with reference to S0.
[0023]
First, as described above, the movement of moving the workpiece 10 from the storage unit 7 such as each cassette is roughly classified into four types of postures. For convenience, these are “Far Right”, “Near Right”, “ The names are “Near Left” and “Far Left”, and in the following, Near Right will be considered as an example of these four postures.
[0024]
As shown in FIG. 1, the angle of the redundant axis 2 with respect to the X axis is θ1, the angle of the second arm 32 with respect to the redundant axis 2 is θ2, and the angle of the third arm 33 with respect to the second arm 32 is θ3. In this case, by the pulling-out operation in Near Right as shown in FIG. 6, each arm rotates so that θ2 becomes minus so that θ3 becomes plus. The second arm 32 and the third arm 33 pass through a state where they overlap at the singular point 5 (a state on the X axis in FIG. 6), and the third arm rotates to an angle of π or more (maximum 2π). . Similarly, as shown in FIG. 7, the third arm can take a range of 0 to 2π even in Near Left. The movable range of θ3 when each arm operates as shown in FIGS. 6 and 7 is indicated by an arc in the figure. The lengths of the redundant shaft 2, the second arm 32, and the third arm 33 are indicated by L1, L2, and L3, respectively, as shown in FIG.
[0025]
In such a near operation, if the singular point 5 is located on the arm locus L as shown in FIGS. 6 and 7, the arms 32 and 33 can operate so as to pass through the singular point 5. While possible, otherwise it becomes inoperable. That is, if the singular point 5 is not passed, a sufficient pull-out distance cannot be secured during the linear motion, so that θ3 passes π at Near Right (the second arm 32 and the third arm 33 are at the singular point 5). (The overlap and further rotation) cannot be performed, and the interpolation operation cannot be performed. Actually, the position of the singular point 5 may be moved by changing the angle θ1 of the redundant axis 2 serving as the first arm. Therefore, the redundant parameter is determined from this viewpoint. Thus, in order to determine the redundant parameter in Near, an algorithm for solving the inverse mechanism solution for smoothly performing the interpolation operation for passing through the singular point 5 is required. Therefore, the attitude of the redundant axis 2 as a redundant parameter is determined as follows.
[0026]
A straight line L is drawn with respect to the singular point locus 51 as shown in FIG. 8 from the preliminary point P0 (P0X, P0Y) on the XY plane shown in FIG. Needless to say, the straight line L is parallel to the access direction a. The singular point locus 51 in this case is a locus drawn when the singular point 5 on the second arm 32 when the second arm 32 is parallel to the X axis rotates the redundant axis (first arm) 2. As shown in FIG. 1 and the like, it is indicated by a semicircular broken line. That is, the singular point locus 51 is θ2 = −θ1 and θ3 = π, that is, the redundant axis in the state where the second arm 32 and the third arm 33 are parallel to the X axis and the third arm 33 overlaps the second arm 32. This is expressed by an arc equation drawn by a predetermined position when the (first arm) 2 is rotated once (or half-rotated). Further, the straight line L is a straight line having the same direction component as the predetermined access direction a, and the intersection S0 (S0X, S0Y) with the singular point locus 51 as shown in FIG. 8 is thereby obtained. There are usually two solutions at the intersection S0. In this case, the singular point locus 51 is set to have a region that intersects the straight line L with only one point, and + when the access direction a is one direction of the Y axis. Only the solution of the side is obtained.
[0027]
Θ1 = θ1 = tan ⁻¹ (S0Y / (S0X− (L2−L3))) is determined with respect to S0 thus obtained, and an angle θ1 of a straight line connecting the center of the singular point locus 51 and the intersection S0. (The range of θ1 in the right state is −π / 2 <θ1 <π / 2). When θ1 is determined in this way, the angle of the redundant shaft 2 may be set to be equal to the angle θ1 and fixed as shown in FIG. As a result, the optimum position of the joint 4 is determined, the first arm serving as the redundant shaft 2 is not redundant, and the reverse mechanism solution is determined. As shown in FIG. 9, such a determination method is based on the singularity created by θ2 and θ3 while each arm is continuously operated when another interpolation operation is performed on the preliminary point P0 and another preliminary point Pm. There is an advantage of being able to go through point 5. The flow of determining the redundant axis position so far is shown in FIG.
[0028]
In the handling operation (FIG. 15) of the workpiece 10 which can be considered as an application of the redundant robot 1 as described above, the workpiece 10 such as a wafer is extracted from the accommodating portion 7 such as a cassette, and the workpiece 10 is loaded into a load lock of a process apparatus. , And the work 10 such as receiving the work 10 after the process from the load lock and returning it to the cassette is performed. Since such work is normally performed in a clean environment, the floor area of the clean equipment is an important problem in reducing the equipment cost (= manufacturing cost), and a robot with a large size cannot be used unnecessarily.
[0029]
Therefore, not only a redundant horizontal three-joint arm in which the moving member is a rotatable arm 21 as in the past, but also a robot in which the moving member is a horizontal traveling shaft 22 that moves in the horizontal direction as shown in FIG. A similar method can be taken. In this case, the traveling axis direction shown in FIG. 10 is represented by b, and the singular point locus 51 is a straight line parallel to the traveling axis direction b. In addition, a point that intersects the singular point locus 51 by drawing a straight line from the preliminary point P0 in the access direction a is an intersection point S0. Here, the position on the horizontal traveling shaft 22 is automatically adjusted so that the singular point 5 is actuated and the interpolation operation is continued. A flowchart showing this redundant axis position determination method is shown in FIG.
[0030]
On the other hand, in determining the angle of the redundant axis (first arm) 2 in the posture of Far, unlike the case of Near, there is no state where a straight line cannot be drawn unless it passes through the singular point 5, and θ1 is arbitrarily set. Can be determined. Even when the same linear locus is drawn, the case shown in FIG. 11 or FIG. 12 is conceivable depending on the angle of the redundant axis 2, and clearly the state of FIG. It is. Therefore, as a method of determining the angle of the redundant axis 2 as shown in FIG. 12, there is a method as shown in FIG.
[0031]
Further, when the lengths of the second arm 32 and the third arm 33 are equal or close (L2≈L3), it is difficult to perform a dynamic constant velocity linear operation in the vicinity of the singular point 5 at θ3 = π. In order to avoid this, as shown in FIG. 13, a straight line L in the access direction a is drawn from the preliminary point P0, and θ1 may be determined so that the singular point 5 is located at a sufficient margin M0.
[0032]
According to the redundant axis position determination method of the redundant robot 1 of the present invention, the optimum position of the redundant axis 2 can be determined by the concept of the access direction a introduced as the position determination condition of the redundant axis 2, A linear interpolation operation near the singular point 5 becomes possible. Further, according to the present invention, even if a slight error of several degrees is included, the positioning accuracy is not affected, and the error in the access direction a is irrelevant as the error in the final XY plane. In addition, at a position other than the singular point 5, it is possible to take a calculation method in which the accuracy on the XY plane matches the input value of the inverse mechanism solution.
[0033]
In addition, the redundant axis determination conditions can be described universally regardless of the robot structure, and the readability and portability of the program are improved. In consideration of the robot application, the direction of the redundant robot 1 toward the workpiece 10 is determined by the relationship between the installation position of the redundant robot 1 and the position where the workpiece 10 is handled. If this direction is set as the access direction a and the optimum position of the manipulator such as the second hand 32 is selected using this direction, the program can be described regardless of the structure of the robot. Moreover, since the concept of the access direction a itself is based on a simple idea, it is easy to create a program.
[0034]
The above-described embodiment is an example of a preferred embodiment of the present invention, but is not limited to this, and various modifications can be made without departing from the scope of the present invention. For example, in the present embodiment, the redundant robot 1 that performs the work of handling the workpiece 10 has been described as an example. However, the present invention is not limited to such a robot, and can be widely used in robots used for other purposes. Needless to say.
[0035]
Further, in the present embodiment, as shown in FIG. 1 and the like, only the singular point locus 51 drawn in a semicircle is used, and the intersection with a straight line parallel to the access direction a or the arm locus L parallel to the access direction a. However, it goes without saying that, for example, if the singular point locus 51 drawn on the entire circumference is used, two intersections can be obtained. In this case, two optimum positions of the redundant axis 2 can be obtained from the two intersections.
[0036]
【The invention's effect】
As apparent from the foregoing description, in the claims 1 redundancy robot redundant axis positioning method of the invention described relates singularity is a predetermined position of the robot arm when the two overlapping arms connected to each other physician While determining the trajectory of this singular point by moving the redundant axis, the moving direction of the predetermined position with respect to the given target position is defined as the access direction, and formed by the singular point trajectory and a straight line parallel to the access direction passing through the target position Since the position of the redundant axis is obtained on the basis of the intersecting point, the redundant axis is set to an optimum position where the linear motion at a predetermined position of the robot arm is interpolated. As a result, situations such as the robot arm becoming unable to operate through a singular point and being unable to perform dynamic movements are avoided.
[0042]
Furthermore, in the redundant robot position determination method of the redundant robot according to the second aspect of the present invention, since the singular point locus is set to have a region that intersects only one point with a straight line parallel to the access direction, the target position and the access direction Thus, the optimum position of the redundant axis is uniquely determined.
[0043]
In the redundant axis position determination method of the redundant robot according to the third aspect of the invention, the angle of the straight line connecting the center of the singular point locus and the intersection is obtained, and the angle of the redundant axis is set equal to the angle. The optimum position of the redundant axis can be easily obtained.
[Brief description of the drawings]
FIG. 1 is a diagram showing an embodiment of a redundant axis position determining method for a redundant robot according to the present invention, showing the length and angle of a redundant axis and axes other than the redundant axis, and a singular point locus in a three-joint robot.
FIG. 2 is a diagram illustrating the concept of access direction according to the present invention with arrows.
FIGS. 3A and 3B are diagrams illustrating classification of robot postures using a horizontal two-joint type manipulator as an example, where FIG. 3A illustrates a left posture and FIG. 3B illustrates a right posture.
FIG. 4 is a diagram showing a redundant robot in a Far state where a distance between a redundant axis and a workpiece is far.
FIG. 5 is a diagram showing a redundant robot in a Near state in which the distance between the redundant axis and the workpiece is close.
FIG. 6 is a diagram illustrating each arm operation in Near Right and a movable range of θ3.
FIG. 7 is a diagram showing each arm operation at Near Left and a movable range of θ3.
FIG. 8 is a diagram showing a positional relationship between a singular point trajectory and an arm trajectory, and further showing a state in which a redundant axis is set at an appropriate position.
FIG. 9 is a diagram showing an arm trajectory drawn so as to pass through a preliminary point P0 and another preliminary point Pm, and a state of each arm operating along the arm trajectory.
FIG. 10 is a diagram illustrating an arm locus and the like when the moving member is a horizontal traveling axis that moves in the horizontal direction.
FIG. 11 is a diagram showing the behavior of each arm when the redundant axis is close to the arm locus.
FIG. 12 is a diagram illustrating the behavior of each arm when the redundant axis and the arm locus are not close to each other.
FIG. 13 is a diagram showing a state in which θ1 is determined such that a straight line L in the access direction a is drawn from the preliminary point P0 and a singular point 5 is positioned at a sufficient margin M0 from here.
FIG. 14 is a diagram illustrating a positional relationship and an access direction between a two-joint type robot and a storage unit such as a cassette or a load lock.
FIG. 15 is a diagram showing a redundant robot in which a moving member constituting a redundant axis is a rotatable arm.
FIG. 16 is a diagram showing a redundant robot having a horizontal traveling axis on which a moving member moves in the horizontal direction.
FIGS. 17A and 17B are diagrams showing a state in which each arm is moving dynamically in the vicinity of a singular point in order of (A), (B), and (C) over time.
FIG. 18 is a flowchart showing a flow of a redundant axis position determination method for a redundant robot according to the present invention.
FIG. 19 is a flowchart showing the flow of the redundant axis position determining method for the redundant robot of the present invention when the moving member is a horizontal traveling axis that moves in the horizontal direction;
[Explanation of symbols]
DESCRIPTION OF SYMBOLS 1 Redundant robot 2 Redundant axis 3 Axis other than a redundant axis 4 Joint part 5 Singular point 21 Arm 22 Horizontal traveling axis 32 Second arm 33 Third arm 33a Arm tip 51 Singular point locus a Access direction P0 Preliminary point (target position)
S0 intersection

Claims

冗長軸を構成する移動部材に関節部を介して順次連結された２つの回動可能なアームを有し、該アーム上の所定位置を直線動作させようとすると前記アームがある平面において冗長な自由度を有することになる冗長ロボットの冗長軸位置決定方法において、前記互いに連結された２つのアームが重なったときの前記ロボットアームの所定位置である特異点に関し、前記冗長軸を動かすことによってこの特異点の軌跡を求める一方、与えられた目標位置に対する前記所定位置の移動方向をアクセス方向として定め、前記特異点軌跡と前記目標位置を通る前記アクセス方向に平行な直線とにより形成される交点を基準として前記冗長軸の位置を求めることを特徴とする冗長ロボットの冗長軸位置決定方法。 It has two pivotable arms that are sequentially connected to the moving member that constitutes the redundant shaft through joints, and when the predetermined position on the arm is operated linearly, the arm is redundantly free in a plane. in redundant axis positioning method of a redundant robot will have a degree relates singularity is a predetermined position of the robot arm when the two arms connected overlap before Ki互 doctor, moving the redundant axis While determining the trajectory of this singular point, the moving direction of the predetermined position with respect to a given target position is defined as the access direction, and formed by the singular point trajectory and a straight line passing through the target position and parallel to the access direction. A redundant axis position determination method for a redundant robot, characterized in that the position of the redundant axis is obtained based on an intersection point.

前記特異点軌跡は前記アクセス方向に平行なある直線と一点のみ交差するように求める領域が設定されてなることを特徴とする請求項１記載の冗長ロボットの冗長軸位置決定方法。 2. The redundant axis position determination method for a redundant robot according to claim 1, wherein an area to be obtained is set so that the singular point locus intersects only one point with a straight line parallel to the access direction.

前記特異点軌跡の中心と前記交点とを結ぶ直線の角度θ１を求め、前記冗長軸の角度をその角度θ１と等しく設定することを特徴とする請求項１または２記載の冗長ロボットの冗長軸位置決定方法。 The redundant axis position of the redundant robot according to claim 1 or 2, wherein an angle θ1 of a straight line connecting the center of the singular point locus and the intersection is obtained, and an angle of the redundant axis is set equal to the angle θ1. Decision method.