JP2881389B2 - Automatic mesh generation method and system - Google Patents

Description

【発明の詳細な説明】DETAILED DESCRIPTION OF THE INVENTION

【０００１】[0001]

【産業上の利用分野】この発明の目的は、有限要素法、
ＣＡＤシステム、コンピュータ・グラフィックスなどの
技術分野において適用される自動三角要素分割技法に関
するものである。BACKGROUND OF THE INVENTION An object of the present invention is to provide a finite element method,
The present invention relates to an automatic triangular element division technique applied in a technical field such as a CAD system and computer graphics.

【０００２】[0002]

【従来の技術】近年、形状の美しさと機能の向上を目的
として、自動車や家庭電化製品を始めとする製品形状に
複雑な自由曲面が多く使われるようになってきた。一般
に、これらの曲面は設計時には Bezier、Ｂ−スプライ
ン、NURBS などのパラメトリック曲面としてＣＡＤシス
テム内で表現されるが、他方、解析のために有限要素法
などを用いて製品性能を確認する際には別の形状表現、
すなわちメッシュが必要となる。したがって設計と解析
の工程を有機的に結ぶためには、ＣＡＤにおける曲面形
状から三角形メッシュへの効率良い自動変換の方法が求
められている。2. Description of the Related Art In recent years, complicated free-form surfaces have been frequently used in product shapes such as automobiles and home appliances for the purpose of improving the beauty and function of the shapes. Generally, these surfaces are represented in the CAD system as parametric surfaces such as Bezier, B-spline, and NURBS at the time of design.On the other hand, when confirming product performance using the finite element method for analysis, Another shape representation,
That is, a mesh is required. Therefore, in order to organically connect the steps of design and analysis, there is a need for an efficient automatic conversion method from a curved surface shape to a triangular mesh in CAD.

【０００３】従来より、この技術分野の刊行物として次
のようなものが知られている。Conventionally, the following publications are known in this technical field.

【０００４】すなわち、特開昭３−１６３６６９号公報
は、ＣＡＤの分野で図形解析などに用いられるメッシュ
発生方法に関し、特に、２次元又は３次元領域に点を逐
次追加して三角形または四面体要素でデローニ（Delaun
ay）分割を行うメッシュ発生方法に関し、２次元又は３
次元領域の領域を予め規則的パケット要素に分割し、新
たなメッシュ点を追加した際、接続が組み換えられる要
素群の検出を、その点が所属するパケットに外接円また
は外接球が登録されている要素に限って行うことによ
り、組み換え要素検出を高速に行うようにすることを開
示する。That is, Japanese Patent Application Laid-Open No. 3-163669 relates to a mesh generation method used for graphic analysis in the field of CAD, in particular, by adding points sequentially to a two-dimensional or three-dimensional region to form a triangular or tetrahedral element. In Delaun
ay) Two-dimensional or three-dimensional mesh generation method
When the area of the dimensional area is divided into regular packet elements in advance and a new mesh point is added, the detection of an element group whose connection is recombined is performed, and a circumcircle or a circumscribed sphere is registered in the packet to which the point belongs. Disclosed is that the recombination element detection is performed at high speed by performing only the elements.

【０００５】特開平１−２８６０８１号公報は、多次元
オブジェクトの多角形ドメインに関する情報を入力し
て、この情報を処理し、上記処理の結果に従って表示を
発生するタイプの、予測された物理現象の多重多角形表
示を発生する方法において、直線の辺もしくは曲線部分
である境界を有し、各々が少なくとも１点で上記ドメイ
ンの境界と接する、複数の第１の領域に、上記ドメイン
を分割し、任意の曲線部分を、該曲線部分の両終点を接
続する少なくとも一本の直線で置換して、上記第１の領
域を調整し、これによって該調整された第１の領域のす
べての辺が線分で囲まれるようにし、共通の境界によっ
て囲まれた、上記調整された第１の領域の対を有限数の
クラスに分類し、該各々のクラスに適した規則に従っ
て、上記第１の領域を第２の領域に分割して、該第２の
領域を上記発生の表示に使用することを開示する。Japanese Patent Application Laid-Open No. 1-260881 discloses a predicted physical phenomenon of a type in which information on a polygon domain of a multidimensional object is input, the information is processed, and a display is generated according to the result of the above processing. In a method for generating a multi-polygonal display, the domain is divided into a plurality of first regions, each having a boundary that is a side of a straight line or a curved portion and each contacting at least one point with the boundary of the domain, The first area is adjusted by replacing any curve part with at least one straight line connecting both end points of the curve part, so that all sides of the adjusted first area are lines. Classifying the adjusted pair of first regions, bounded by a common boundary, into a finite number of classes, and dividing the first region according to rules appropriate for each class. Divided into 2 areas, the second areas are disclosed to be used for display of the generator.

【０００６】上記刊行物に示されているものも含め、こ
れまで、三角要素分割問題は計算力学の分野において最
も多く研究・開発されてきた。実際、２次元形状につい
ては多くの方法が提案されているが、３次元形状につい
ては必ずしも十分に研究されていないのが現状である。Up to now, the triangular element division problem has been most studied and developed in the field of computational mechanics, including those shown in the above publications. In fact, many methods have been proposed for two-dimensional shapes, but at present, three-dimensional shapes have not always been sufficiently studied.

【０００７】また、従来の方法は主として２次元・３次
元形状領域に特化しており、非多様体形状に対して一般
的に適応できるものではない。これはいくつかの市販の
ＣＡＤシステムにおいて３次元非多様体形状が表現でき
るようになったのが比較的最近のことだからであろうと
思われる。Further, the conventional method is mainly specialized in a two-dimensional / three-dimensional shape region, and cannot be generally applied to a non-manifold shape. This may be because it is relatively recent that three-dimensional non-manifold shapes can be represented in some commercially available CAD systems.

【０００８】さて、従来の典型的な三角要素分割法を、
K. Ho-Le, "Finite element mesh generation methods:
a review and classification," Computer Aided Des
ign,Vol.20, No.1, 1988に基づき、次の４グループに分
けて説明する。Now, the conventional typical triangular element division method is
K. Ho-Le, "Finite element mesh generation methods:
a review and classification, "Computer Aided Des
Based on ign, Vol. 20, No. 1, 1988, the explanation is divided into the following four groups.

【０００９】部分領域分割法 与えられた領域を凸領域や穴のない領域などの単純で扱
いやすい部分領域に切り分けて、次にそれぞれの部分領
域を三角要素分割する。部分領域の分割は、規則正しい
格子を写像関数でマッピングしたり、簡単なルールによ
って内部ノードを加えたりして行う。従来実現されてい
る方法では、部分領域への分割を人手に頼っていること
が多く、完全には自動化されていないものがほとんどで
あった。また、それぞれの部分領域に指定されたノード
間距離分布に忠実にノードを配置する方法がなかった。The given area is divided into simple and easy-to-handle partial areas such as convex areas and areas without holes, and then each partial area is divided into triangular elements. The division of the partial area is performed by mapping a regular grid with a mapping function or adding internal nodes according to a simple rule. In the conventionally implemented method, the division into the partial areas is often performed manually, and most of the methods are not completely automated. Further, there is no method for arranging nodes faithfully in the inter-node distance distribution specified in each partial area.

【００１０】階層的空間分割法 ２次元領域を４分木で、３次元領域を８分木で階層的に
再分割してゆく方法．滑らかな領域境界を表すために、
境界近傍の要素として一部が欠けた正方形や立方体を扱
えるように拡張する方法も提案されている。最大の問題
点は分割の深さによって要素の大きさを離散的にしか制
御できないことであろう。また、分割軸に対する形状の
置きかたが分割結果に大きく影響することや、解析など
で重要となる形状の角や表面に歪みの大きい要素が数多
く生成されるなどの問題点も指摘されている。 Hierarchical space division method A method of hierarchically subdividing a two-dimensional region with a quadtree and a three-dimensional region with an octree. To represent a smooth area boundary,
There is also proposed a method of extending a partly missing square or cube as an element in the vicinity of a boundary. The biggest problem is that the size of the element can only be controlled discretely by the depth of division. It has also been pointed out that the placement of the shape with respect to the division axis greatly affects the division result, and that many elements with large distortion are generated on the corners and surfaces of the shape that are important in analysis etc. .

【００１１】再帰的二分割法 三角要素として使える形状が得られるまで、領域を再帰
的に二分割してゆく方法．部分領域分割法と異なり、要
素のレベルまで二分割だけで領域を切り分けていく。こ
の際に必要となる形状モデリングのデータ操作などの議
論は多く行われているが、ノード間距離の連続的な制御
や要素の歪みを少なくすることなどの基本的要求に対し
てはまだ十分に考慮されていない。 Recursive bisection method A method of recursively dividing a region into two until a shape usable as a triangular element is obtained. Unlike the partial area division method, the area is divided by only two divisions up to the element level. There are many discussions on the data manipulation of shape modeling required at this time, but the basic requirements such as continuous control of the distance between nodes and reduction of element distortion are still insufficient. Not considered.

【００１２】ノード結合法 まず領域の境界と内部にノードを配置し、次にこれらを
結んでメッシュを構成する方法。いったんノードの集合
が与えられると、Delaunayの方法を用いてこれを結合し
て歪みの少ないメッシュを生成できる。この方法は計算
幾何学の分野で長く研究されてきたもので、２次元・３
次元空間に散らばった点を接続して正三角形や正四面体
に近いメッシュを生成するための効率的かつ安定なアル
ゴリズムである。（例えば、伊理，計算幾何学と地理情
報処理，bit 別冊，共立出版，1989を参照）。残された
問題はいかにして指定されたノード間距離分布を満たし
歪みの少ない要素を生成するようなノード配置を得るか
である。特に３次元の場合は難しい。 Node connection method A method of first arranging nodes on the boundary and inside of a region, and then connecting them to form a mesh. Once a set of nodes is given, it can be combined using Delaunay's method to generate a less distorted mesh. This method has been studied for a long time in the field of computational geometry.
It is an efficient and stable algorithm for connecting points scattered in a dimensional space to generate a mesh close to an equilateral triangle or tetrahedron. (See, for example, Iri, Computational Geometry and Geographic Information Processing, Bit Separate Volume, Kyoritsu Shuppan, 1989). The remaining problem is how to obtain a node arrangement that satisfies the specified distance distribution between nodes and generates an element with little distortion. It is particularly difficult in the case of three dimensions.

【００１３】ところで、有限要素法などを用いた解析に
おいて、計算時間や記憶空間を増やさずに解精度を改善
するには、領域全体にわたりノード間距離（すなわち三
角形の辺の長さ）を連続的な分布関数にしたがって変化
させなければならない。この際、解析解の値が急に変化
する領域では細かな三角要素（三角要素という用語は、
平面における三角形要素と、空間における四面体要素の
総称である）を、それ以外では粗い要素を使うことが大
切となる。By the way, in the analysis using the finite element method or the like, in order to improve the solution accuracy without increasing the calculation time and the storage space, the distance between the nodes (that is, the length of the sides of the triangle) is continuously set over the entire region. Must be varied according to a distribution function. At this time, fine triangular elements (the term triangular element
It is important to use triangular elements in the plane and tetrahedral elements in the space), and coarse elements in other areas.

【００１４】また、与えられたトリミング曲線上や、特
に指定された点や曲線上にノードが正確に置かれている
ことが必要である。また、解析においてこれらの曲線上
で境界条件を与えることができるように、各曲線の近似
形状が三角形の辺の列としてメッシュ内に表現されてい
なくてはならない。Further, it is necessary that nodes are accurately placed on a given trimming curve, and particularly on a specified point or curve. Also, in order to be able to give boundary conditions on these curves in the analysis, the approximate shape of each curve must be represented in the mesh as a row of triangle sides.

【００１５】[0015]

【発明が解決しようとする課題】一般に、メッシュを構
成する要素は、正三角形や正四面体等の等方的なメッシ
ュを用いることが好ましいとされてきた。これは、著し
く歪んだメッシュは解析の精度を低下させるからであ
る。しかしながら、いくつかの解析問題においては、等
方性メッシュではなく、ある自然現象と関連性を有する
ベクトル場の方向に対応した細長く伸びた非等方性メッ
シュを用いる方が、解の精度や収束性の改善という点
で、好ましい場合がある。例として、自動車の衝突解析
や板成形のシミュレーションなどの大変形の弾塑性変形
解析があげられる。衝突解析においては、梁部材に力が
流れる方向に細長く伸びたメッシュを用いるのがよい。
すなわち、力の流れる方向というベクトル場に沿って、
非等方的なメッシュを用いることが好ましい。また、流
体解析でも流線の方向というベクトル場に沿って細長く
伸びたメッシュを用いる方が解析の効率がよい。In general, it has been considered preferable to use an isotropic mesh such as a regular triangle or a regular tetrahedron as an element constituting the mesh. This is because a significantly distorted mesh reduces the accuracy of the analysis. However, in some analysis problems, it is better to use an elongated anisotropic mesh corresponding to the direction of a vector field related to a certain natural phenomenon, instead of an isotropic mesh. It may be preferable from the viewpoint of improving the performance. Examples include elasto-plastic deformation analysis of large deformations such as automobile collision analysis and plate forming simulation. In the collision analysis, it is preferable to use a mesh elongated in a direction in which a force flows through the beam member.
That is, along the vector field of the direction of force flow,
It is preferable to use an anisotropic mesh. Also, in the fluid analysis, it is more efficient to use a mesh elongated in a vector field called a streamline direction.

【００１６】図１８は、流線のベクトル場の一例を示す
図である。この例におけるベクトル場は、自動車の風洞
実験における風の流れであり、この風の流れに応じてメ
ッシュを非等方的に形成することが好ましい。また、構
造解析を行う場合、ベクトル場は力の流れであり、曲面
の近似においては、最大曲率ベクトルである。FIG. 18 is a diagram showing an example of a streamline vector field. The vector field in this example is a wind flow in a wind tunnel experiment of an automobile, and it is preferable to form a mesh anisotropically in accordance with the wind flow. When performing structural analysis, the vector field is a flow of force, and in the approximation of a curved surface, it is the maximum curvature vector.

【００１７】このように、ある自然現象に関係するベク
トル場に応じて、メッシュを非等方性にする理由は、自
然現象を表すベクトルと解となる物理量の変化に一定の
関係があることに基づく。すなわち、「力の流れの方
向」、「板が曲げられる方向」或いは、「流線の方向」
などといった自然現象を表すベクトルの方向と同一方向
に対しては、解となる物理量の変化が少なく、これと直
交する方向は、物理量の変化が大きいという先験的知識
に基づいている。このような関係ゆえに、自然現象を示
すベクトルの方向と同一方向については、物理量の変化
が少ないためメッシュを大きくしても解の精度を低下さ
せることがないので構わないが、これと直交する方向に
ついては、物理量の変化が大きいためメッシュを小さく
することが好ましいわけである。As described above, the reason why the mesh is made anisotropic in accordance with the vector field related to a certain natural phenomenon is that there is a fixed relation between the vector representing the natural phenomenon and the change of the physical quantity as a solution. Based. That is, "direction of force flow", "direction in which plate is bent" or "direction of streamline"
In the same direction as the direction of the vector representing a natural phenomenon, such as the above, there is little change in the physical quantity as a solution, and in the direction orthogonal to this, it is based on a priori knowledge that the physical quantity is large. Due to such a relationship, in the same direction as the direction of the vector indicating the natural phenomenon, there is little change in the physical quantity, so even if the mesh is enlarged, the accuracy of the solution will not be reduced. Regarding the above, it is preferable to reduce the mesh because the change in the physical quantity is large.

【００１８】そこで、この発明の目的は、自然現象を示
すベクトル場を考慮して、解の精度が高く処理速度の速
い自動メッシュ分割を適用するためのシステム及び方法
を提供することにある。An object of the present invention is to provide a system and method for applying automatic mesh division with high solution accuracy and high processing speed in consideration of a vector field indicating a natural phenomenon.

【００１９】この発明の他の目的は、非多様体データ・
モデルに複数の楕円バブルを配置し、該複数の楕円バブ
ルの間での定義された引力・斥力に基づき力学的な方程
式を解き、楕円バブルの中心点を結ぶことにより、自動
的に最適な三角要素分割を実行するシステム及び方法を
提供することにある。Another object of the present invention is to provide non-manifold data
By arranging a plurality of elliptical bubbles in the model, solving a dynamic equation based on the defined attractive and repulsive forces among the plurality of elliptical bubbles, and connecting the center points of the elliptical bubbles, an optimal triangle is automatically obtained. An object of the present invention is to provide a system and a method for performing element division.

【００２０】[0020]

【課題を解決するための手段】上記目的は、次に示すよ
うな本発明のステップ、及びそれらのステップを実現す
るシステムによって達成される。The above object is achieved by the following steps of the present invention and a system for implementing the steps.

【００２１】本発明は、予め用意された非多様体データ
・モデルに対して、以下に示すステップ１乃至ステップ
５の手順により最適な数のノードを最適な位置に発生す
る。また、以下のステップ６に示したようにこのノード
発生方法をワイヤーフレーム（稜線）、サーフェス（曲
面）、ソリッド（空間領域）の順に適用し、さらに三角
要素に結んでいくことにより、３次元非多様体の自動三
角要素分割を実現するものである。なお、図１は、本発
明の概要を示す図である。According to the present invention, an optimum number of nodes is generated at an optimum position by a procedure of steps 1 to 5 shown below for a non-manifold data model prepared in advance. Also, as shown in the following step 6, this node generation method is applied in the order of a wire frame (ridge line), a surface (curved surface), and a solid (space area), and further connected to a triangular element, so that a three-dimensional It implements automatic triangulation of manifolds. FIG. 1 is a diagram showing an outline of the present invention.

【００２２】ステップ１．自然現象を示すベクトル場の指定 メッシュの特性を表す基本となるベクトル場を指定す
る。すなわち、要素の大きさを指定するスカラー場ｄ及
びメッシュの方向性とアスペクト比を指定するベクトル
場ｖを指定する（図１（ａ））。 Step 1. A basic vector field representing the characteristics of the specified mesh of the vector field indicating a natural phenomenon is specified. That is, a scalar field d that specifies the size of the element and a vector field v that specifies the directionality and aspect ratio of the mesh are specified (FIG. 1A).

【００２３】ステップ２．楕円バブルの定義 所望の三角要素が得られるような理想的なメッシュ・ノ
ード配置を求めるために、各ノードを上記のスカラー場
ｄとベクトル場ｖに応じて大きさと方向が決められる楕
円（以下、楕円バブルという）として表現する（図１
（ｂ））。 Step 2. Definition of Elliptic Bubble In order to obtain an ideal mesh node arrangement that can obtain a desired triangular element, each node is defined by an ellipse whose size and direction are determined according to the scalar field d and the vector field v (hereinafter, ellipse). Expressed as an elliptical bubble (Fig. 1)
(B)).

【００２４】ステップ３．楕円バブル間力を定義 楕円バブルを形状領域内に最密に充填するために、隣接
する二つの楕円バブル間に働く力を定義する。すなわ
ち、楕円バブル間には分子間力に似た力の場をバブル間
距離の関数として定義する。二つの楕円バブルは、接し
ているとき等、二つの楕円バブルの距離がある所定の安
定距離内にある場合が安定状態であり、楕円バブル間力
は働かない。そして、この距離よりも近づくと斥力が働
き、遠ざかると引力が働くようにする。好ましい楕円バ
ブル間力は、例えば三次曲線の一部分などにより定義さ
れる。 Step 3. Defining Force Between Elliptical Bubbles The force acting between two adjacent elliptical bubbles in order to fill the elliptical bubbles in the shape region most closely is defined. That is, a force field similar to the intermolecular force is defined between the elliptical bubbles as a function of the distance between the bubbles. The two elliptical bubbles are in a stable state when the distance between the two elliptical bubbles is within a predetermined stable distance, such as when they are in contact with each other, and the force between the elliptical bubbles does not work. Then, a repulsive force acts when approaching the distance, and an attractive force acts when the distance increases. The preferred force between the elliptical bubbles is defined, for example, by a part of a cubic curve.

【００２５】ステップ４．動力学シミュレーションによる楕円バブル
間力の均衡位置の算出 本ステップの動力学シミュレーションと以下のステップ
の適応的楕円バブルの個数制御により、適切な楕円バブ
ルの個数と全ての楕円バブル間力が均衡して安定する配
置を求める。この状態では、楕円バブルが最密充填され
た状態になる。このような状態にするために、上記の楕
円バブル間力に加えて、楕円バブルの中心点に質量と楕
円バブルの速度に比例する粘性抵抗を与えて古典的ニュ
ートン力学の運動方程式をたてる。ある初期位置から始
めてこの運動方程式をRunge-Kutta法などの数値積分に
よって解くと、時間の経過とともに楕円バブルの配置が
力の均衡状態に近づいてゆくので、十分に近づいたとこ
ろで数値積分をうちきり最終的な解とする。ただし、ワ
イヤー・フレーム上とサーフェス上の楕円バブルはそれ
らの幾何要素上から楕円バブルが外に出ないように移動
させなければならない。 Step 4. Elliptical bubble by dynamics simulation
Calculation of Balance Position of Interforce By the dynamic simulation of this step and the adaptive control of the number of elliptical bubbles in the following steps, an arrangement is obtained in which the appropriate number of elliptic bubbles and all the forces between the elliptical bubbles are balanced and stable. In this state, the elliptical bubbles are in a state of being packed closest. In order to achieve such a state, classical Newtonian equation of motion is established by giving a viscous resistance proportional to the mass and the velocity of the elliptical bubble to the center point of the elliptical bubble in addition to the above-mentioned force between the elliptical bubbles. If this equation of motion is solved by a numerical integration such as the Runge-Kutta method starting from a certain initial position, the arrangement of the elliptical bubble approaches the equilibrium state of the force with the passage of time. Solution. However, the elliptical bubbles on the wire frame and on the surface must be moved so that the elliptical bubbles do not come out of those geometric elements.

【００２６】ステップ５．楕円バブル個数の適応制御 上記の動力学シミュレーションの最中に楕円バブル同士
の重なり状態を計算して、この重なりの程度を重なり度
として定義する。そして、この重なり度に応じて、楕円
バブルの密度が大きすぎる場所では適宜、楕円バブルを
破壊して個数を減らし、小さすぎる場所では***させて
個数を増やす。このメカニズムによってある領域に対し
て適切な数の楕円バブルを過不足なく充填することがで
きる（図１（ｃ））。 Step 5. Adaptive control of the number of elliptical bubbles The state of overlap between elliptical bubbles is calculated during the dynamic simulation, and the degree of this overlap is defined as the degree of overlap. Then, according to the degree of overlap, the elliptical bubbles are destroyed to reduce the number as appropriate in places where the density of the elliptical bubbles is too large, and the number is increased by dividing them in places where the density is too small. By this mechanism, a certain area can be filled with an appropriate number of elliptical bubbles without excess or deficiency (FIG. 1C).

【００２７】ステップ６．非多様体形状上への楕円バブルの配置と三
角要素分割 最密充填された楕円バブルの中心点をメッシュ・ノード
とし、これらのメッシュ方向性とアスペクト比とを考慮
した「デローニ三角形の判定条件」を用いて、各メッシ
ュ・ノードを自然現象を示すベクトル場の方向に細長く
なるように結んで三角メッシュを形成する（図１
（ｄ））。幾何要素に対して上述の楕円バブルの発生方
法が用意されているとき、３次元非多様体形状の三角要
素分割は以下の手順で行うことができる。 Step 6. Placement of Elliptical Bubbles on Nonmanifold Shapes and Three
Corner element division The center point of the closest-filled elliptical bubble is defined as a mesh node, and each mesh node is transformed into a natural phenomenon using the "Deloni triangle decision condition" that considers these mesh directionality and aspect ratio. A triangular mesh is formed by tying in the direction of the vector field shown to be elongated (FIG. 1).
(D)). When the above-described method for generating the elliptical bubble is prepared for the geometric element, the triangular element division of the three-dimensional non-manifold shape can be performed by the following procedure.

【００２８】 １．全ての頂点に楕円バブルを配置する。 ２．全ての稜線上に楕円バブルを最密充填する。 ３．稜線上の楕円バブルの中心点を順に結んで線分要素
に分割する。 ４．全ての面上の閉じた領域に楕円バブルを最密充填す
る。 ５．面上の閉じた領域内の楕円バブルの中心点を、後に
詳述する変更されたDelaunayの方法などで結んで三角形
要素に分割する。 ６．全ての空間内の閉じた領域に楕円バブルを最密充填
する。 ７．空間内の閉じた領域内の楕円バブルの中心点を変更
されたDelaunayの方法などで結んで四面体要素に分割す
る。1. Place elliptical bubbles at all vertices. 2. Closely fill elliptical bubbles on all ridges. 3. The center point of the elliptical bubble on the ridge is connected in order and divided into line segment elements. 4. Closely packed closed areas on all surfaces with elliptical bubbles. 5. The center points of the elliptical bubbles in the closed area on the surface are connected to each other by a modified Delaunay method, which will be described in detail later, and divided into triangular elements. 6. Closely packed closed areas in all spaces are filled with elliptical bubbles. 7. The center point of the elliptical bubble in the closed area in the space is connected by the modified Delaunay method and divided into tetrahedral elements.

【００２９】尚、特に非多様体モデルにあっては、上記
楕円バブルの充填順序を上述の順序で行うことが望まし
い。さらに、本発明にあっては、非多様体モデルの通常
の稜線と、次元の異なるオブジェクト間の境界をなす稜
線を区別せず同様に楕円バブル充填を行うことが望まし
い。また、最初に配置される初期楕円バブルは、規則的
格子の位置に置いてもよいし、階層的な領域分割（２分
木、４分木、８分木など）を用いてもよい。In particular, in the case of a non-manifold model, it is desirable that the filling order of the elliptical bubbles is performed in the order described above. Further, in the present invention, it is desirable to similarly perform elliptical bubble filling without distinguishing a normal edge line of a non-manifold model from an edge line that forms a boundary between objects having different dimensions. In addition, the initial elliptical bubble to be initially placed may be placed at a regular grid position, or a hierarchical area division (a binary tree, a quad tree, an oct tree, etc.) may be used.

【００３０】[0030]

【実施例】以下図面に基づき、本発明の好ましい実施例
について説明する。Preferred embodiments of the present invention will be described below with reference to the accompanying drawings.

【００３１】図２は、本発明の自動三角要素分割システ
ムを実現するための処理モジュールのブロック図であ
る。この実施例では、図２に示す各々の処理モジュール
のブロックは、ＡＩＸ（ＩＢＭの商標）の下で動作する
ワークステーション上で、Ｃ言語で作成された個別のプ
ログラム、ルーチンまたは関数である。しかし、これら
個々のモジュールを、ディスクリートなハードウェアで
実現してもよいし、複数台のワークステーションをＬＡ
Ｎなどで相互接続した分散処理環境で、個別のワークス
テーションに別の処理モジュールをロードし、分散並列
処理を行うようにしてもよい。FIG. 2 is a block diagram of a processing module for realizing the automatic triangular element division system of the present invention. In this embodiment, the blocks of each processing module shown in FIG. 2 are individual programs, routines or functions written in C on a workstation running under AIX (trademark of IBM). However, these individual modules may be realized by discrete hardware, or a plurality of workstations may be connected to LA.
In a distributed processing environment interconnected by N or the like, another processing module may be loaded on an individual workstation to perform distributed parallel processing.

【００３２】図２において、形状入力ブロック１は、メ
ッシュ分割すべき入力形状を定義し、要素分割に際して
必要な情報を提供するもので、メッシュ分割すべき入力
形状を定義する非多様体入力形状定義手段１０２と、こ
の形状から、これらを構成する頂点、稜線、面、空間な
どの位相要素を得る入力形状位相情報抽出手段１０４
と、これらの位相要素の位置と形状などの幾何情報を得
る入力形状幾何情報抽出手段１０６とから構成される。Referring to FIG. 2, a shape input block 1 defines an input shape to be mesh-divided and provides information necessary for element division. A non-manifold input shape definition for defining an input shape to be mesh-divided. Means 102 and input shape phase information extracting means 104 for obtaining topological elements such as vertices, ridges, surfaces, spaces, etc., from these shapes.
And input shape geometric information extracting means 106 for obtaining geometric information such as the position and shape of these phase elements.

【００３３】形状入力ブロック１は、スカラー場定義手
段１０７及びベクトル場抽出手段１０８を有している。
スカラー場定義手段１０７により、要素の大きさを指定
するスカラー場ｄが定義される。またベクトル場定義手
段１０８により、メッシュの方向性とアスペクト比とを
指定するベクトル場ｖが定義される。このスカラー場ｄ
及びベクトル場ｖはそれぞれ、２次元ではｄ（ｘ、
ｙ）、ｖ（ｘ、ｙ）で表され、３次元ではｄ（ｘ、ｙ、
ｚ）、ｖ（ｘ、ｙ、ｚ）で表される。なお、このベクト
ル場は、上述のように力の流れの方向や流線の方向等の
ある自然現象の方向を表すものである。The shape input block 1 has a scalar field definition means 107 and a vector field extraction means 108.
The scalar field definition means 107 defines a scalar field d for specifying the size of the element. Further, the vector field defining means 108 defines a vector field v which specifies the directionality and aspect ratio of the mesh. This scalar field d
And the vector field v are d (x,
y), v (x, y), and in three dimensions d (x, y,
z) and v (x, y, z). Note that this vector field represents the direction of a certain natural phenomenon such as the direction of the flow of the force or the direction of the streamline as described above.

【００３４】要素分割ブロック２は、形状入力ブロック
１から順次、必要な位相的・幾何的な情報を得て、メッ
シュ・ノードを配置するとともにメッシュ要素を発生
し、さらに生成されたメッシュ出力ブロック３に順次出
力する。The element dividing block 2 sequentially obtains necessary topological and geometrical information from the shape input block 1, arranges mesh nodes, generates mesh elements, and generates the generated mesh output block 3. Are output sequentially.

【００３５】より具体的には、要素分割ブロック２は、
形状入力ブロック１からの情報に基づき頂点のノードに
楕円バブル（詳細は後述する）を配置する頂点ノード配
置手段２０２と、形状入力ブロック１からの情報に基づ
き稜線上に楕円バブルを配置する稜線ノード配置手段２
０４と、配置された頂点及び稜線から線要素を発生する
線要素発生手段２０６と、形状入力ブロック１からの情
報に基づき面ノード上に楕円バブルを配置する面ノード
配置手段２０８と、配置された面ノードから２次元のDe
launayの方法に基づき三角形要素を発生する三角形要素
発生手段２１０と、形状入力ブロック１からの情報に基
づき空間ノード上に楕円バブルを配置する空間ノード発
生手段２１２と、配置された空間ノードから３次元のDe
launayの方法に基づき四面体要素を発生する四面体要素
発生手段２１４からなる。特に非多様体データ構造の三
角形分割を適切に行うために、要素分割ブロック２にお
ける各手段２０２〜２１４は、図１に示す上から下に順
次実行する。More specifically, the element division block 2
Vertex node arranging means 202 for arranging an elliptical bubble (to be described in detail later) at a vertex node based on information from the shape input block 1, and ridge node for arranging an elliptical bubble on a ridge line based on information from the shape input block 1 Arrangement means 2
04, a line element generating means 206 for generating a line element from the arranged vertices and edges, a surface node arranging means 208 for arranging an elliptical bubble on a surface node based on information from the shape input block 1, and 2D De from surface node
a triangular element generating means 210 for generating a triangular element based on the launay method; a spatial node generating means 212 for arranging an elliptical bubble on a spatial node based on information from the shape input block 1; De
It comprises tetrahedral element generating means 214 for generating tetrahedral elements based on the launay method. In particular, in order to appropriately perform the triangulation of the non-manifold data structure, the units 202 to 214 in the element division block 2 sequentially execute from top to bottom shown in FIG.

【００３６】メッシュ出力ブロック３は、要素分割ブロ
ック２から出力されるノードと、メッシュ要素の位相的
・幾何的情報を記憶しておき、必要に応じて要素分割ブ
ロック２の処理過程に、保持していた値をフィードバッ
クする。このため、メッシュ出力ブロック３は、ノード
とメッシュ要素の位相的・幾何的情報を記憶しておくメ
ッシュ定義手段３１０と、メッシュ定義手段３１０に位
相的情報を書き込むメッシュ位相情報生成手段３０２
と、メッシュ定義手段３１０に幾何的情報を書き込むメ
ッシュ位相情報生成手段３０４と、メッシュ定義手段３
１０から情報を得て要素分割ブロック２に位相的情報を
フィードバックするメッシュ位相情報抽出手段３０６
と、メッシュ定義手段３１０から情報を得て要素分割ブ
ロック２に幾何的情報をフィードバックするメッシュ幾
何情報抽出手段３０８から構成される。The mesh output block 3 stores the nodes output from the element division block 2 and the topological and geometric information of the mesh elements, and holds them in the process of the element division block 2 as necessary. The value that was used is fed back. Therefore, the mesh output block 3 includes a mesh definition unit 310 that stores topological and geometric information of nodes and mesh elements, and a mesh phase information generation unit 302 that writes topological information to the mesh definition unit 310.
A mesh phase information generating means 304 for writing geometric information to the mesh defining means 310;
Mesh phase information extracting means 306 which obtains information from 10 and feeds back topological information to the element division block 2
And mesh information extraction means 308 which obtains information from the mesh definition means 310 and feeds back geometric information to the element division block 2.

【００３７】次に、図３及び図７を参照して、本発明の
処理ステップについて説明する。図３は、本発明に係る
処理の概要ステップを示すフローチャートである。図３
では、図２の形状入力ブロック１によって、図７（ａ）
に示すような非多様体入力形状が与えられているものと
する。尚、図７（ａ）において、３次元図形である四面
体の立体６００２に、稜線６００５を境界線として２次
元図形である三角形６００４が接し、さらに三角形６０
０４に、一次元図形である直線６００８が一点６００７
を共有して接している。このような異なる次元のオブジ
ェクトからなる複合図形は、非多様体データ構造を使用
しないと表現が困難であるかまたは実質的に不可能であ
る。また、立体６００２の１つの側面にはやはり一次元
の図形である「×」形状の図形が張り付いており、さら
には、立体６００２は、自身を分ける境界線６０１２を
内在している。このような形状を保持することも、非多
様体データ構造の１つの特徴である。Next, the processing steps of the present invention will be described with reference to FIGS. FIG. 3 is a flowchart showing the outline steps of the processing according to the present invention. FIG.
Then, the shape input block 1 shown in FIG.
It is assumed that a non-manifold input shape as shown in FIG. In FIG. 7A, a triangle 6004, which is a two-dimensional figure, is in contact with a three-dimensional tetrahedron solid 6002, with a ridgeline 6005 as a boundary line.
04, a straight line 6008 which is a one-dimensional figure has a point 6007
Share and treat. Such a complex figure composed of objects of different dimensions is difficult or substantially impossible to express without using a non-manifold data structure. In addition, a figure having an “x” shape, which is also a one-dimensional figure, is attached to one side surface of the solid 6002, and the solid 6002 includes a boundary line 6012 that separates itself. Retaining such a shape is also a feature of the non-manifold data structure.

【００３８】図３において、ステップ２００２では先
ず、図２の頂点ノード配置手段２０２と、稜線ノード配
置手段２０４によって、稜線上の頂点と、両端点及び内
部点と、稜線上に楕円バブルが配置される（図７の
（ｂ）及び（ｃ）を参照）。ここで、３次元の非多様体
データ構造において注意すべきなのは、点は稜線、面及
び空間の全てにおいて境界になり得るものであり、稜線
は、面及び空間の両方において境界になり得るものであ
り、面は、空間において境界になり得るものである、と
いうことである。以下の説明では、「境界」とは、この
意味で使用される。例えば、非多様体データ構造では、
空間中に、孤立した点が単独で存在し得るのであって、
この場合、その点自体が、周囲の空間との境界をなして
いる。In FIG. 3, in step 2002, first, the vertices on the ridge line, both end points and internal points, and the elliptical bubble on the ridge line are arranged by the vertex node arrangement means 202 and the ridge line node arrangement means 204 in FIG. (See (b) and (c) of FIG. 7). Here, it should be noted that in a three-dimensional non-manifold data structure, a point can be a boundary in all of edges, faces, and space, and an edge can be a boundary in both faces and space. Yes, a surface can be a boundary in space. In the following description, “boundary” is used in this sense. For example, in a non-manifold data structure:
In space, an isolated point can exist alone,
In this case, the point itself forms a boundary with the surrounding space.

【００３９】ステップ２００４では、後に詳述するよう
な力学的技法によって楕円バブルが移動され、必要に応
じて楕円バブルが破壊・***される。ステップ２００６
では、楕円バブル位置にメッシュ・ノードが配置され
る。ステップ２００７では、線要素発生手段２０６によ
って、楕円バブルの中心位置を繋ぐように線要素が発生
される。尚、ステップ２００２〜２００７は、図４のフ
ローチャートに関連して詳述される。In step 2004, the elliptical bubble is moved by a mechanical technique as will be described in detail later, and the elliptical bubble is broken or split as necessary. Step 2006
In the example, a mesh node is arranged at an elliptical bubble position. In step 2007, a line element is generated by the line element generation means 206 so as to connect the center positions of the elliptical bubbles. Steps 2002 to 2007 will be described in detail with reference to the flowchart of FIG.

【００４０】ステップ２００８では、図２の線要素発生
手段２０６によって、線要素を発生した後（図７
（ｄ））、面ノード配置手段２０８によって面の境界上
と面上に楕円バブルが配置され、ステップ２０１０では
上記ステップ２００４と同様の技法によって楕円バブル
が移動され、必要に応じて楕円バブルが破壊・***され
る。ステップ２０１２では、楕円バブル位置にメッシュ
・ノードが配置される（図７（ｅ））。すると、ステッ
プ２０１３では、三角形要素発生手段２１０により、後
に詳述する修正された２次元のDelaunayの方法を利用し
て、楕円バブルの中心位置が繋がれ、以って三角形要素
が発生される（図７（ｆ））。このとき注意すべきであ
るのは、非多様体データ構造においては、図７（ａ）の
「×」形状６０１０で示されるように、２次元の面上に
１次元の線が埋めこまれていたりすることである。従っ
て、修正された２次元のDelaunayの方法を適用する際に
は、このような埋めこまれた１次元の線に交差しないよ
うに、三角形要素を発生する必要があることに留意され
たい。ステップ２００８〜２０１３は、図５のフローチ
ャートに関連して詳述される。In step 2008, after a line element is generated by the line element generating means 206 of FIG.
(D)) Elliptical bubbles are arranged on the boundary of the surface and on the surface by the surface node arranging means 208. In step 2010, the elliptical bubble is moved by the same technique as in step 2004, and the elliptical bubble is destroyed as necessary.・ It is divided. In step 2012, a mesh node is arranged at the position of the elliptical bubble (FIG. 7 (e)). Then, in step 2013, the triangular element is generated by the triangular element generating means 210 using the modified two-dimensional Delaunay method described later to connect the center positions of the elliptical bubbles ( FIG. 7 (f)). At this time, it should be noted that in the non-manifold data structure, a one-dimensional line is embedded on a two-dimensional surface as shown by an “x” shape 6010 in FIG. Or Therefore, it should be noted that when applying the modified two-dimensional Delaunay method, it is necessary to generate triangular elements so as not to intersect such embedded one-dimensional lines. Steps 2008-2013 are described in detail with reference to the flowchart of FIG.

【００４１】ステップ２０１４では、図２の三角形要素
発生手段２１０によって三角形要素が発生された後（図
７（ｆ））、空間ノード配置手段２１２によって空間の
境界上と空間の内部に楕円バブルが配置され、ステップ
２０１６では上記ステップ２００４と同様の技法によっ
て楕円バブルが移動され、必要に応じて楕円バブルが破
壊・***される。ステップ２０１８では、楕円バブル位
置にメッシュ・ノードが配置され、ステップ２０１９で
は、修正された３次元のDelaunayの方法を利用して、そ
の空間内のメッシュ・ノードに関連して、四面体要素発
生手段２１４によって四面体要素が発生される（図７
（ｇ））。この場合にも、非多様体であるが故に、空間
内に埋めこまれた、空間よりも低次元の領域に交差しな
いように四面体要素を発生する必要があることに留意さ
れたい。ステップ２０１４〜２０１９は、図６のフロー
チャートに関連して詳述される。なお、変更されたDela
unayの方法については、後に詳述する。In step 2014, after the triangular element is generated by the triangular element generating means 210 of FIG. 2 (FIG. 7 (f)), the elliptic bubble is arranged on the boundary of the space and inside the space by the space node arranging means 212. Then, in step 2016, the elliptical bubble is moved by the same technique as in step 2004, and the elliptical bubble is destroyed / split as necessary. In step 2018, the mesh node is placed at the position of the elliptical bubble. In step 2019, the modified three-dimensional Delaunay method is used to associate the mesh node in the space with the tetrahedral element generating means. A tetrahedral element is generated by 214 (FIG. 7).
(G)). Note also that in this case, because of the non-manifold, it is necessary to generate tetrahedral elements so as not to intersect areas embedded in the space and lower in dimension than the space. Steps 2014-2019 are described in detail with reference to the flowchart of FIG. The modified Dela
The unay method will be described later in detail.

【００４２】このようにして結局、図７（ｈ）に示すメ
ッシュが生成される。As a result, the mesh shown in FIG. 7H is generated.

【００４３】次に、図４以下を参照して、本発明に係る
メッシュ生成の詳細な処理について説明する。Next, a detailed process of mesh generation according to the present invention will be described with reference to FIG.

【００４４】図４を参照すると、稜線上の頂点及び稜線
上に楕円バブルを配置し、動力学的モデルに従い楕円バ
ブルを移動させ、必要に応じて楕円バブルを破壊・***
させるための処理のフローチャートが示されている。Referring to FIG. 4, a flow chart of a process for arranging an elliptical bubble on a vertex on an edge line and on an edge line, moving the elliptical bubble according to a dynamic model, and breaking and splitting the elliptical bubble as necessary. It is shown.

【００４５】まず、本発明で使用する楕円バブルについ
て説明する。座標（ｘ、ｙ、ｚ）に位置する楕円バブル
は、定義されたスカラー場ｄ≡ｄ（ｘ、ｙ、ｚ）に応じ
た大きさを有し、メッシュの方向性及びアスペクト比と
して指定されたベクトル場ｖ≡ｖ（ｘ、ｙ、ｚ）に応じ
た方向を有する楕円であって、質量ｍを有するような仮
想的な物体である。このスカラー場ｄ（ｘ、ｙ、ｚ）及
びベクトル場ｖ（ｘ、ｙ、ｚ）は、一般的には、定数で
はなく、空間の座標値に依存する関数として、それぞれ
スカラー場定義手段１０７、ベクトル場定義手段１０８
によって定義されている。例えば、建築物のＣＡＤデー
タのメッシュ生成を行う場合、応力が大きい箇所では、
比較的密なメッシュを生成させるように、ｄの値が小さ
くなる。ただし、スカラー場ｄというのは、楕円バブル
の近接度合い及び楕円バブル間力を示す指標として使用
されるものである。そして、ベクトル場ｖは、力の流れ
等のある自然現象を示している。従って、図８（ｃ）に
示すように、１つの楕円バブルは、他の楕円バブルと重
なり合わないようにも存在し得るし、互いに丁度接触す
るようにも存在し得るし、所定範囲以内にも近接し得
る。First, the elliptical bubble used in the present invention will be described. The elliptical bubble located at the coordinates (x, y, z) has a size corresponding to the defined scalar field d≡d (x, y, z) and is specified as the directionality and aspect ratio of the mesh. An ellipse having a direction corresponding to the vector field v≡v (x, y, z), which is a virtual object having a mass m. The scalar field d (x, y, z) and the vector field v (x, y, z) are generally not constants, but functions that depend on coordinate values in space. Vector field definition means 108
Defined by For example, when generating a mesh of CAD data of a building, in places where stress is large,
The value of d is reduced so as to generate a relatively dense mesh. However, the scalar field d is used as an index indicating the degree of proximity of the elliptical bubbles and the force between the elliptical bubbles. The vector field v indicates a natural phenomenon such as a flow of force. Therefore, as shown in FIG. 8 (c), one elliptical bubble may exist so as not to overlap with another elliptical bubble, may exist just in contact with each other, or may fall within a predetermined range. May also be in close proximity.

【００４６】楕円バブルは、基本となる円状のバブルの
大きさがスカラー場ｄによって決定され、さらにベクト
ル場ｖの方向にアスペクト比｜ｖ｜倍に引き伸ばすこと
によって、その大きさと形が定義される。The size of an elliptical bubble is determined by the size of the basic circular bubble determined by the scalar field d, and further expanded in the direction of the vector field v by the aspect ratio | v | to define its size and shape. You.

【００４７】また、楕円バブル同志は、分子間力として
のファン・デル・ワース力をモデルとする引力・斥力を
受けるようにモデルされている。図８（ａ）に示すよう
に、ファン・デル・ワース力は、ｒ₀＜ｒで引力であ
り、ｒが大きくなるにつれて０に近づき、一方、０＜ｒ
＜ｒ₀で、ｒが０に近づくにつれて急速に増大するよう
な斥力を呈する。これを擬して、この発明では、ｒがｒ
₀とｒ₁の間にあるときは引力を示し、ｒがｒ₀では０
で、ｒがｒ₀以下では、次第に増加しある有限の値にと
どまるような斥力を呈するように、楕円バブル間力が定
義される。The elliptical bubbles are modeled to receive attractive and repulsive forces modeled on van der Waals' forces as intermolecular forces. As shown in FIG. 8A, the van der Waals force is attractive at r ₀ <r, and approaches zero as r increases, while 0 <r
At <r _0, it exhibits a repulsive force that increases rapidly as r approaches 0. Simulating this, in the present invention, r is r
When in between ₀ and r ₁ represents an attraction, the r is r ₀ 0
When r is equal to or less than r ₀ , the force between the elliptical bubbles is defined so as to exhibit a repulsive force that gradually increases and stays at a certain finite value.

【００４８】尚、楕円バブルの方向は図８（ｃ）のよう
に一方向にそろっているとは限らず、自然現象を示すベ
クトルの方向に応じて楕円バブルの方向が異なるため、
２つの楕円バブルの中心間の距離の計算は複雑となる。
そこで、計算量を少なくするために、以下の簡略化され
た手法を用いることにより中心間距離を算出する。この
距離の算出を図９をもとに説明する。まず、図９（ａ）
のように、２つの楕円バブルの中心点を結ぶ線分を考
え、この線分の長さをｒとする。次にこの線分と楕円バ
ブルとの交点を算出し、これらの交点と楕円との中心点
の距離をそれぞれｒ_i、ｒ_jとする。ここで、この距離の
和ｒ_i＋ｒ_jの大きさを楕円バブルの中心間の距離ｒと比
較する。図９（ａ）のように、ｒ_i＋ｒ_jがｒより小さい
場合には、２つの楕円バブルは離れすぎているものと判
断し、２つの楕円バブル間に引力が発生するように定義
する。また、図９（ｂ）のように、ｒ_i＋ｒ_jがｒより大
きい場合には、２つの楕円バブルは近づきすぎているも
のと判断し、２つの楕円バブル間に斥力が発生するよう
に定義する。さらに、図９（ｃ）のように、ｒ_i＋ｒ_jが
ｒと等しい場合もしくは、実質的に等しいものと定義し
た所定の範囲内の場合には、２つの楕円バブルはほぼ接
しているものと判断し、２つの楕円バブル間には力の働
かないように定義する。Note that the directions of the elliptical bubbles are not necessarily aligned in one direction as shown in FIG. 8C, and the directions of the elliptical bubbles are different depending on the directions of the vectors indicating the natural phenomena.
The calculation of the distance between the centers of two elliptical bubbles is complicated.
Therefore, in order to reduce the calculation amount, the center distance is calculated by using the following simplified method. The calculation of this distance will be described with reference to FIG. First, FIG.
Consider a line segment connecting the center points of two elliptical bubbles as shown below, and let the length of this line segment be r. Then calculate the point of intersection between this line segment and the elliptical bubbles, the distance between the center points of these intersections and elliptic respectively r _i, and r _j. Here, the magnitude of the sum of the distances r _i + r _j is compared with the distance r between the centers of the elliptical bubbles. When r _i + r _j is smaller than r as shown in FIG. 9A, it is determined that the two elliptical bubbles are too far apart, and the attraction is generated between the two elliptical bubbles. Further, as shown in FIG. 9B, when r _i + r _j is larger than r, it is determined that the two elliptical bubbles are too close, and the repulsive force is generated between the two elliptical bubbles. I do. Further, as shown in FIG. 9C, when r _i + r _j is equal to r or within a predetermined range defined to be substantially equal, the two elliptical bubbles are assumed to be almost in contact with each other. Judgment is made so that no force acts between the two elliptical bubbles.

【００４９】ｒ₀は、例えば図９（ｃ）のようにして定
義されたものであり、２つの楕円バブルの間の安定的な
距離を示している。さらに、ｒ₁＜ｒでは楕円バブル間
力を０と定義しているのは（図８（ｃ））、後の力学的
な計算の際に、遠隔の楕円バブルからの影響を無視して
計算量を低減するためである。R ₀ is defined, for example, as shown in FIG. 9C, and indicates a stable distance between two elliptical bubbles. Furthermore, the force between the elliptical bubbles is defined as 0 when r ₁ <r (FIG. 8 (c)), which is calculated by ignoring the influence from a remote elliptical bubble in the subsequent mechanical calculation. This is to reduce the amount.

【００５０】このような手法により中心間距離の計算を
簡略化することは、コンピュータの処理速度の向上及び
ベクトル場が複雑に変化する場所においても精度の高い
小さめの三角形を形成できる点で重要である。The simplification of the calculation of the center-to-center distance by such a method is important in that the processing speed of the computer is improved and a small triangle with high accuracy can be formed even in a place where the vector field changes complicatedly. is there.

【００５１】この実施例では、楕円バブル間力ｆ（ｒ）
は、次の数１のような３次関数を使用して定義されてい
る。尚、数１では、ｒ₁＝１．５ｒ₀としている。また、
本発明はこのような楕円バブル間力の定義に限定される
ものではないが、この実施例では、数１には、楕円バブ
ルの質量が関与する項はあらわれない。従ってこの場
合、楕円バブル間力は、専ら楕円バブル間の距離と各々
の楕円バブルの直径によって決まる。In this embodiment, the force f (r) between the elliptical bubbles
Is defined using a cubic function such as In Equation ₁ , r ₁ = 1.5r ₀ . Also,
Although the present invention is not limited to such a definition of the force between the elliptical bubbles, in this embodiment, the term involving the mass of the elliptical bubble does not appear in Equation 1. Therefore, in this case, the force between the elliptical bubbles is exclusively determined by the distance between the elliptical bubbles and the diameter of each elliptical bubble.

【数１】 (Equation 1)

【００５２】楕円バブル間力ｆ（ｒ）や楕円バブルの中
心間距離の定義は、もちろんこのような式によるものに
限定されず、この分野の当業者なら、さまざまな式を考
え出すことができるであろう。しかし、楕円バブル間力
ｆ（ｒ）は、少なくとも次のような条件は満たす必要が
ある。The definition of the force f (r) between the elliptical bubbles and the distance between the centers of the elliptical bubbles is not limited to the above expression, and those skilled in the art can devise various expressions. There will be. However, the force f (r) between the elliptical bubbles must satisfy at least the following conditions.

【００５３】(1) ｒが十分大きいとき、ｆ（ｒ）が実質
的に０になること。これは、遠方の楕円バブルからの影
響を無視できるようにするためである。 (2) ｒがある程度小さいと、引力を呈する。これは、離
れて存在する楕円バブル群を互いに近接する方向に移動
させるためである。 (3) ｒがさらに小さいと、斥力に転じる。これは、楕円
バブル群が凝集してきたとき、一定の楕円バブル間距離
を保たせるためである。実際、もし引力しか存在しない
と、楕円バブル群は、局所的に１点に収束してしまい、
後でメッシュを形成することができなくなる。 (4) ｒがいくら０に近づいても、斥力は、ある一定値よ
りも大きくならない。これは、楕円バブル群の安定性を
保つためである。例えば、ファン・デル・ワース力のよ
うに、ｒが小さくなるにつれ斥力が急速に増大すると、
接近してきた楕円バブル同士が強い斥力で反発しあい、
安定な位置にとどまりにくい。(1) When r is sufficiently large, f (r) becomes substantially zero. This is to make it possible to ignore the influence of a distant elliptical bubble. (2) When r is small to some extent, attractive force is exhibited. This is to move the elliptical bubble groups that are apart from each other in a direction approaching each other. (3) If r is even smaller, it turns into repulsive force. This is to maintain a constant distance between the elliptical bubbles when the group of elliptical bubbles aggregates. In fact, if there is only attraction, the group of elliptical bubbles converges locally to one point,
The mesh cannot be formed later. (4) No matter how r approaches 0, the repulsion does not become larger than a certain value. This is to maintain the stability of the elliptical bubble group. For example, as r decreases, the repulsion increases rapidly, as in the van der Waals force,
The approaching elliptical bubbles repel each other with strong repulsion,
It is difficult to stay in a stable position.

【００５４】図４に戻って、先ず、ステップ３００２で
は、図２に示す頂点ノード配置手段２０２を利用して、
稜線上の頂点に楕円バブルが配置される。このとき留意
すべきなのは、非多様体データ構造においては、ここで
いう「稜線」には、面と面の間の境界としての稜線以外
にも、図７の参照番号６０１０で示すような、面上に埋
め込まれた１次元の領域も含まれることである。Returning to FIG. 4, first, in step 3002, using the vertex node arrangement means 202 shown in FIG.
Elliptical bubbles are placed at vertices on the ridge. At this time, it should be noted that, in the non-manifold data structure, the “edge” here includes not only an edge as a boundary between the faces but also a face as indicated by reference numeral 6010 in FIG. A one-dimensional area embedded above is also included.

【００５５】次に、ステップ３００４に関連して、図２
に示す稜線ノード配置手段２０４を利用して、稜線上に
複数の楕円バブルを配置する手続きについて図１０を参
照して、説明する。Next, referring to step 3004, FIG.
The procedure for arranging a plurality of elliptical bubbles on an edge line using the edge line node arrangement means 204 shown in FIG. 10 will be described with reference to FIG.

【００５６】図１０において、楕円バブルを配置しよう
とする稜線は、一般的には直線とは限らず、ｓをパラメ
ータとして、Ｌ＝（ｘ（ｓ），ｙ（ｓ），ｚ（ｓ））で
あらわされるような曲線となる。そこで、例えば、パラ
メータｓが［０，１］の範囲に亙っているものとする
と、［ａ，ｂ］⊂［０，１］のような値ａ，ｂを引数と
して、上記関数Ｌを用いてそれぞれの点ａ，ｂを実際の
稜線上に投影し、その投影された点での座標（ｘ，ｙ，
ｚ）に基づき、ｄ（ｘ，ｙ，ｚ）を計算し、その値の直
径をもつ楕円バブルを、その投影された点に配置する。
こうして、ａ及びｂの２つの点にそれぞれ１つずつ楕円
バブルが配置されることになる。このような手続き（手
続き１とする）を一旦用意しておくと、先ず、０，１に
対してその手続きを適用することにより頂点への楕円バ
ブル配置が行われる。続いて、２分木的に、区間を半分
に分けてそれぞれに手続き１を再帰的に適用する手続き
２を用意しておくことにより、楕円バブルの配置が稜線
全体に亙って続けられる。In FIG. 10, the ridge line where the elliptical bubble is to be arranged is not necessarily a straight line, and L = (x (s), y (s), z (s)) using s as a parameter. It becomes a curve as represented by Therefore, for example, assuming that the parameter s extends over the range of [0, 1], the function L is used with the values a and b such as [a, b] ⊂ [0, 1] as arguments. Each point a, b on the actual ridge line, and coordinates (x, y,
Based on z), calculate d (x, y, z) and place an elliptical bubble with that value diameter at the projected point.
In this way, one elliptic bubble is arranged at each of the two points a and b. Once such a procedure (procedure 1) is once prepared, first, the elliptical bubble is arranged at the vertex by applying the procedure to 0 and 1. Subsequently, the procedure of recursively applying the procedure 1 to each of the sections by dividing the section into halves in the form of a binary tree is prepared, so that the arrangement of the elliptical bubbles is continued over the entire edge line.

【００５７】そこで、手続き１の停止条件を、配置され
ているバフルがすべて隣接するか部分的に重なっている
ことであるとすることにより、結局、与えられた稜線全
域に亙って楕円バブルが隙間なく並べられた状態が得ら
れる。Therefore, by making the stop condition of the procedure 1 that all the arranged baffles are adjacent or partially overlapping, the elliptical bubble is eventually formed over the entire area of the given ridge line. A state in which there are no gaps is obtained.

【００５８】しかし、こうして単に配置された楕円バブ
ルは通常、そのまま最適な配置であることはあり得な
い。そこで、ステップ３００６以下で、楕円バブルの最
適配置を図るための動力学的シミュレーションのステッ
プに移行する。However, an elliptical bubble simply arranged in this way cannot usually be the optimum arrangement as it is. Therefore, in step 3006 and subsequent steps, the process shifts to a dynamic simulation step for optimally arranging elliptical bubbles.

【００５９】「動力学的シミュレーション」と称する所
以は、個々の楕円バブルを、ある質量をもつ質点と見な
し（これによって、楕円バブルは、慣性モーメントをも
たないと仮定し、従って）、並進運動だけを考慮して、
上記で定義した楕円バブル間力と、粘性を考慮して、二
階の常微分方程式であるニュートン方程式を立て、この
方程式を解くことによって、楕円バブルの位置を時間的
に変化させるからである。楕円バブルがｎ個配置された
として、ニュートン方程式は、次の数２のとおりとな
る。この式からも理解されるように、楕円バブルは初期
的には、１次元の稜線上に配置されるが、運動方程式と
しては、３次元空間を想定している。このため、運動方
程式を解いていくに従って、楕円バブルが稜線上から離
れていくような動きが生じ得る。そこで、後述するよう
に、これに対処する処理がステップ３０１０で行われる
ことになる。The reason we call "kinetic simulation" is to treat each elliptical bubble as a mass with a certain mass (thus assuming that the elliptical bubble has no moment of inertia; Just consider
This is because the Newton's equation, which is a second-order ordinary differential equation, is established in consideration of the force between the elliptical bubbles defined above and the viscosity, and by solving this equation, the position of the elliptical bubble is changed with time. Assuming that n elliptical bubbles are arranged, the Newton's equation is as shown in the following Expression 2. As can be understood from this equation, the elliptical bubble is initially arranged on a one-dimensional edge, but a three-dimensional space is assumed as the equation of motion. Therefore, as the equation of motion is solved, a movement may occur in which the elliptical bubble moves away from the ridge. Therefore, as will be described later, processing to cope with this is performed in step 3010.

【数２】 (Equation 2)

【００６０】この数２において、ｘ_iはi番目の楕円バブ
ルのｘ座標、ｍ_iは、i番目の楕円バブルの質量、一階微
分の項は、粘性係数c_iを含む、粘性を考慮した項であ
る。１つの実施例では、質量ｍ_iは、どの楕円バブルで
も等しい値に設定される。しかし、場合によっては、質
量ｍ_iは、楕円バブルの直径または体積に比例する値に
設定される。ｙ_i、ｚ_iについても、同様である。粘性係
数c_iも、個別の楕円バブルによって異なる値をとり得る
ように表現されているが、多くの場合、それを一定値ｃ
であるとして十分である。本願発明者の試みによれば、
粘性を考慮した項を省くと、楕円バブルの振動が減衰す
ることなく残存し、安定状態に全く達することができな
い。また、右辺のｆ_xi（ｔ）、ｆ_yi（ｔ）及びｆ
_zi（ｔ）はそれぞれ、時間ｔにおける、i番目の楕円バ
ブルに対する、上記で定義した周辺の楕円バブルからの
引力・斥力のｘ，ｙ，ｚ軸成分の和である。数１から見
て取れるように、楕円バブル間力は、距離ｒ₁より遠方
では０であると定義されているので、比較的近傍の楕円
バブルからの寄与のみを考慮すればよい。また、この式
では、質量や粘性係数を個別の楕円バブルi毎に異なる
ように表現しているが、通常、個々の楕円バブルによら
ない一定値にしても差し支えない。これが、ステップ３
００６に対応する処理である。[0060] In this number 2, x _i is the x coordinate of the i-th elliptic bubble, m _i is the mass of the i-th elliptic bubble, terms of first-order differential includes a viscosity coefficient c _i, considering viscous Term. In one embodiment, the mass _mi is set equal for any elliptical bubble. However, in some cases, the mass _mi is set to a value proportional to the diameter or volume of the elliptical bubble. The same applies to y _i and z _i . The viscosity coefficient c _{i is} also expressed so that it can take different values depending on the individual elliptical bubbles.
That is enough. According to the inventor's attempt,
If the term in which the viscosity is taken into consideration is omitted, the vibration of the elliptical bubble remains without attenuation and cannot reach a stable state at all. Also, f _xi (t), f _yi (t) and f
_zi (t) is the sum of the x-, y-, and z-axis components of the attractive and repulsive forces from the surrounding elliptical bubbles defined above with respect to the i-th elliptical bubble at time t. As can be seen from Equation 1, since the force between the elliptical bubbles is defined to be 0 at a distance farther than the distance r ₁ , it is only necessary to consider the contribution from the relatively close elliptical bubble. Further, in this equation, the mass and the viscosity coefficient are expressed so as to be different for each individual elliptical bubble i. However, in general, a constant value which does not depend on each elliptical bubble may be used. This is step 3
This is processing corresponding to 006.

【００６１】さて、通常、多体の力学系の運動方程式は
厳密には解けないので、Runge-Kutta法などの周知の常
微分方程式の数値解析技法により、時間tをわずかな値
ずつ増分して、個々の楕円バブルの座標値を計算する。
尚、常微分方程式の数値解析技法として、本発明は、Ru
nge-Kutta法に限定されるものではなく、Adamsの方法な
どの任意の方法を使用してもよい（例えば、洲之内 治
男著、サイエンス社、理工系の数学１５、「数値計
算」、１９７８年９月刊などを参照）。これが、ステッ
プ３００８に対応する処理である。Now, since the equation of motion of a many-body dynamical system cannot usually be solved exactly, the time t is incremented by a small value by a well-known numerical analysis technique of ordinary differential equations such as the Runge-Kutta method. Calculate the coordinates of each elliptical bubble.
Incidentally, as a numerical analysis technique of ordinary differential equations, the present invention, Ru
The method is not limited to the nge-Kutta method, and any method such as the Adams method may be used (for example, Haruo Sunouchi, Science Inc., Science and Engineering Mathematics 15, "Numerical Computation", September 1978) See monthly publication). This is the process corresponding to step 3008.

【００６２】このようにして楕円バブルを移動すると、
楕円バブルは必ずしも稜線上に拘束されている訳ではな
いので、個々の楕円バブルを運動方程式に従い移動させ
てゆくに従い、楕円バブルは、稜線上から離れることが
あり得る（図１１(a)の矢印ｐ１及び楕円バブルＡ参
照）。そこで、ステップ３０１０では、１つの方法とし
て、稜線との法線方向ｐ２に従って、楕円バブルを稜線
に引き戻す、という処理を行う。運動方程式としては、
特定の楕円バブルの座標値を強制的にオフセットさせ、
そのときの楕円バブルの系の座標値と速度を初期値とし
てRunge-Kutta法の計算を再開する、という手続きをと
る。ところが、図１１の楕円バブルＢのように、矢印ｑ
１に離れたものを、法線方向である矢印ｑ２に引き戻す
と、最早それはもとの稜線上にない、という場合があり
得る。このような楕円バブルＢは破壊される。これが、
ステップ３０１０で行われる処理である。When the elliptical bubble is moved in this manner,
Since the elliptical bubble is not necessarily constrained on the ridge, the elliptical bubble may move away from the ridge as the individual elliptical bubbles are moved according to the equation of motion (arrow in FIG. 11A). p1 and elliptical bubble A). Therefore, in step 3010, as one method, processing is performed to pull the elliptical bubble back to the ridge line in accordance with the normal direction p2 to the ridge line. The equation of motion is
Forcibly offset the coordinates of a particular elliptical bubble,
The procedure of restarting the calculation of the Runge-Kutta method with the coordinate values and velocity of the elliptical bubble system at that time as initial values is taken. However, like the elliptical bubble B in FIG.
When the object separated from 1 is pulled back to the arrow q2 which is the normal direction, it may no longer be on the original ridge line. Such an elliptical bubble B is destroyed. This is,
This is the processing performed in step 3010.

【００６３】ステップ３０１０で行われる処理として
は、次のような別の方法もある。すなわち、楕円バブル
が稜線から離れた稜線上の地点（図１１(b)ではｔ₁、こ
れを、（ｘ（ｓ₁），ｙ（ｓ₁），ｚ（ｓ₁））とする）
での接線ベクトルｑ（現在、３次元空間内での運動を考
えているので、接線ベクトルｑは３次元ベクトルであ
る）を計算し、ベクトルの移動ベクトルｐ（これは、該
稜線上の地点から、Runge-Kuttaによって計算された新
しい楕円バブルの位置までの点を結ぶものである）との
内積ｐ・ｑを計算する。さらにこれを、ｑの長さ｜ｑ｜
で割ると、それは、ほぼ、新しい楕円バブルの位置の、
ｔ₁からの、稜線に沿った距離Ｄをあらわす値となって
いる。ところが、Δｓが微小な値であるとき、以下の数
３が成立する。As the processing performed in step 3010, there is another method as follows. That is, the point on the edge line ellipse bubble away from the ridge line (t ₁ in FIG. 11 (b), the this, the _{(x (s 1), y} (s 1), z (s 1)))
, The tangent vector q (which is currently considering motion in a three-dimensional space, the tangent vector q is a three-dimensional vector) is calculated, and the vector's movement vector p (which is , Which connects the points to the position of the new elliptical bubble calculated by Runge-Kutta). Further, this is expressed as q length | q |
Divided by, it is almost the position of the new elliptical bubble,
from t _1, it has a value representing a distance D along the edge line. However, when Δs is a small value, the following Expression 3 holds.

【数３】 ΔＬ／Δｓ≒｜ｑ｜Equation 3 ΔL / Δs ／ | q |

【００６４】ここで、上記Ｄは、ΔＬに相当する値と見
なすことができるので、Here, D can be regarded as a value corresponding to ΔL.

【数４】 Δｓ＝Ｄ／｜ｑ｜ すなわち、 Δｓ＝ｐ・ｑ／｜ｑ｜² Δs = D / | q | That is, Δs = p · q / | q | ²

【００６５】よって、このようなΔｓを以て、楕円バブ
ルを引き戻す稜線上の地点は、ｔ₂＝（ｘ（ｓ₁＋Δ
ｓ），ｙ（ｓ₁＋Δｓ），ｚ（ｓ₁＋Δｓ））と計算され
る。Thus, with such Δs, the point on the ridge line that pulls back the elliptical bubble is t ₂ = (x (s ₁ + Δ)
s), y (s ₁ + Δs), z (s ₁ + Δs)).

【００６６】次に、ステップ３０１２では、力の均衡状
態かどうかが決定される。これは、例えば次のように行
われる。すなわち、Runge-Kutta法においては（あるい
は他の常微分方程式の数値解法でも同様であるが）、各
ステップ毎に、各々の座標値の差分が計算される。そこ
で、ステップ３０１２では、各々の座標値の差分の絶対
値のうちの最大値を求め、この差分の最大値が、予め定
めた値より小さい場合に、力の均衡状態に達したと判断
する。そうでないなら、処理は、直ちにステップ３００
６に戻る。Next, in step 3012, it is determined whether or not the force is in an equilibrium state. This is performed, for example, as follows. That is, in the Runge-Kutta method (or the same is true for the numerical solution of other ordinary differential equations), the difference between the coordinate values is calculated for each step. Therefore, in step 3012, the maximum value of the absolute values of the differences between the respective coordinate values is obtained, and if the maximum value of the differences is smaller than a predetermined value, it is determined that the state of equilibrium has been reached. If not, the process immediately proceeds to step 300
Return to 6.

【００６７】ステップ３０１４では、個々の楕円バブル
の重なり度、すなわち楕円バブルの過疎、過密を判断す
るパラメータを算出する。すなわち、ある楕円バブルに
対して、これと隣接する全ての楕円バブルとの重なりの
距離を加算した値を算出し、この値が第１のしきい値よ
り大きい場合には、「過密」と判断して楕円バブルを減
らし、第２のしきい値より小さい場合には、「過疎」と
し判断して楕円バブルを増やす。このような制御によ
り、バブルの個数を過不足なく充填する。その算出方法
を、図１２を参照して説明する。この重なり度は、上述
の楕円バブルの中心間距離の算出方法と同様の方法を用
いて計算する。すなわち、楕円バブルＡと楕円バブルＢ
の中心点を結ぶ線分の長さをｒ、この線分と楕円バブル
Ａ，Ｂとのそれぞれの交点とそれぞれの中心までの距離
をｒ_A、ｒ_Bとすると、楕円バブルＡに対する楕円バブル
Ｂの重なり度は、｛（２ｒ_A＋ｒ_B−ｒ）／ｒ_A｝×１０
０で表される。In step 3014, the degree of overlap between the individual elliptical bubbles, that is, a parameter for determining whether the elliptical bubbles are sparse or overcrowded, is calculated. That is, a value obtained by adding the overlap distance between a certain elliptical bubble and all the adjacent elliptical bubbles is calculated, and when this value is larger than the first threshold value, it is determined that “overcrowding”. To reduce the number of elliptical bubbles. If the number of elliptic bubbles is smaller than the second threshold value, it is determined as "sparse" and the number of elliptical bubbles is increased. By such control, the number of bubbles is filled without excess and deficiency. The calculation method will be described with reference to FIG. This degree of overlap is calculated using the same method as the above-described method of calculating the center-to-center distance of elliptical bubbles. That is, elliptical bubble A and elliptical bubble B
Let r be the length of a line segment connecting the center points of the above, and let r _A and r _B be the intersections of this line segment with the elliptical bubbles A and B and the respective centers. the degree of overlap _{of, {(2r a + r B} -r) / r a} × 10
It is represented by 0.

【００６８】このような重なり度の計算が、個々の楕円
バブルについて、ステップ３０１４で行われる。従っ
て、ステップ３０１６では、個々の楕円バブルにつき、
上記重なり度が所定の閾値よりも小さく且つ上記疎ら度
が別の所定の閾値よりも大きいかについて判断が行わ
れ、もしそうなら、任意の楕円バブルの位置で適切な楕
円バブル配置が達成されている、ということであるの
で、ステップ３０２０に進み、そこで個々の楕円バブル
の中心位置に、メッシュ・ノードを配置する。もしそう
でないなら、ステップ３０１８に進み、特定の楕円バブ
ルの重なり度が上記所定の閾値よりも大きい（すなわ
ち、過密部である）という条件に応答して、その楕円バ
ブルを破壊する。また、特定の楕円バブルの疎ら度が上
記別の所定の閾値よりも小さい（すなわち、過疎部であ
る）という条件に応答して、楕円バブルを***させる。
実際上、楕円バブルの***とは、実際には、新たな楕円
バブルを、過疎であると判断された楕円バブルの近傍に
配置することを意味する。こうして楕円バブルの破壊・
***を行った後、ステップ３００６に戻り、Runge-Kutt
aの新たなサイクルに入る。The calculation of the degree of overlap is performed in step 3014 for each elliptic bubble. Therefore, in step 3016, for each elliptical bubble,
A determination is made as to whether the overlap is less than a predetermined threshold and the sparseness is greater than another predetermined threshold, and if so, an appropriate elliptical bubble location is achieved at any elliptical bubble location. Therefore, the process proceeds to step 3020, where a mesh node is arranged at the center position of each elliptical bubble. If not, proceed to step 3018 and destroy the particular elliptical bubble in response to the condition that the degree of overlap of the particular elliptical bubble is greater than the predetermined threshold (ie, overcrowded). Further, the elliptical bubble is split in response to a condition that the sparsity of the specific elliptical bubble is smaller than the another predetermined threshold (that is, the specific elliptic bubble is a depopulated portion).
In practice, splitting an elliptical bubble actually means placing a new elliptical bubble near an elliptical bubble determined to be sparse. The destruction of the elliptical bubble
After the division, return to Step 3006 and execute Runge-Kutt
Enter a new cycle.

【００６９】次に、図５を参照すると、面の頂点、稜線
及び面上に楕円バブルを配置し、動力学的モデルに従い
楕円バブルを移動させ、必要に応じて楕円バブルを破壊
・***させるための処理のフローチャートが示されてい
る。図５の処理は、図４の処理の完了後に行われる。こ
のとき留意すべきなのは、非多様体データ構造において
は、ここでいう「面」には、ソリッド間の境界としての
面以外にも、図７の参照番号６０１２で示すような、ソ
リッド内に埋め込まれた２次元の領域も含まれることで
ある。Next, referring to FIG. 5, in order to dispose elliptical bubbles on the vertices, ridge lines and surfaces of the surface, to move the elliptical bubbles according to the dynamic model, and to break and split the elliptical bubbles as necessary. Is shown. The processing in FIG. 5 is performed after the processing in FIG. 4 is completed. At this time, it should be noted that, in the non-manifold data structure, the “face” here is not only a face as a boundary between solids but also embedded in a solid as indicated by reference numeral 6012 in FIG. That is, a two-dimensional region is included.

【００７０】図５において、ステップ４００２では、図
４のフローチャートで示したのと同様の手続きにより、
面の頂点と稜線上に、楕円バブルが最適配置される。
尚、図５のフローチャートのステップが図４のフローチ
ャートのステップの続きとして実行されるのなら、ステ
ップ４００２は既に完了しているので、スキップされる
ことになる。In FIG. 5, in step 4002, a procedure similar to that shown in the flowchart of FIG.
Elliptical bubbles are optimally placed on the vertices and edges of the surface.
Note that if the steps of the flowchart of FIG. 5 are executed as a continuation of the steps of the flowchart of FIG. 4, step 4002 has already been completed, and will be skipped.

【００７１】次に、ステップ４００４に関連して、図２
に示す面ノード配置手段２０８を利用して、稜線上に複
数の楕円バブルを配置する手続きについて図１３を参照
して、説明する。Next, referring to step 4004, FIG.
A procedure for arranging a plurality of elliptical bubbles on a ridge line using the surface node arranging means 208 shown in FIG. 13 will be described with reference to FIG.

【００７２】図１３において、楕円バブルを配置しよう
とする面は、一般的には平面とは限らず、ｕ，ｖをパラ
メータとして、ｘ＝ｘ（ｕ，ｖ）、ｙ＝ｙ（ｕ，ｖ）、
ｚ＝ｚ（ｕ，ｖ）であらわされるような曲面となる。そ
こで、例えば、パラメータｕ，ｖが［０，１］の範囲に
亙っているものとすると、パラメータｕ，ｖの［０，
１］×［０，１］の平面における矩形領域の４つの頂点
上を上記（ｘ，ｙ，ｚ）に投影した点の各々に、もしそ
の点が面領域の内部であるなら、それぞれ直径ｄ（ｘ，
ｙ，ｚ）の楕円バブルを配置するような手続きを用意し
ておき、これによって、［０，１］×［０，１］を４等
分した領域の各々にこの手続きを適用し、４等分した領
域の各々をさらに４等分してこの手続きを呼び出すとい
うことを再帰的に行い、各々の再帰呼び出しにおいて、
配置された楕円バブルの全てが互いに接触または交差し
た時点で処理をリターンするようにすることにより、与
えられた平面全体が楕円バブルで稠密に埋め尽くされる
ことになる。In FIG. 13, the surface on which an elliptical bubble is to be placed is not limited to a plane in general, and x = x (u, v) and y = y (u, v) using u and v as parameters. ),
The curved surface is represented by z = z (u, v). Therefore, for example, assuming that the parameters u and v are in the range of [0, 1], [0, 1]
1] × [0,1], the four vertices of the rectangular area on the plane are projected onto each of the above points (x, y, z). If the point is inside the plane area, the diameter d (X,
A procedure for arranging an elliptical bubble of (y, z) is prepared, and this procedure is applied to each of the areas obtained by dividing [0, 1] × [0, 1] into four equal parts. Recursively, each of the divided areas is further divided into four equal parts and this procedure is called, and in each recursive call,
By causing the process to return when all of the placed elliptical bubbles touch or intersect each other, the entire given plane is densely filled with elliptical bubbles.

【００７３】尚、注意を要するのは、上記のような
［０，１］×［０，１］の矩形領域との対応づけによっ
て曲面に楕円バブルを充填するためには、その曲面は、
立方体と、位相幾何学的に同相な形状でなくてはなら
ず、例えば、図１３に示すように、その曲面の一部がト
リミングされていたり、穴があいていたりすると、楕円
バブルを配置する際に、その楕円バブルが、面領域の内
部か外部かの判定を行って、内部の場合に限って実際に
楕円バブルの配置を行う必要があることである。It should be noted that in order to fill a curved surface with an elliptical bubble by associating it with a rectangular area of [0, 1] × [0, 1] as described above, the curved surface must be
It must have a shape that is topologically in phase with the cube. For example, as shown in FIG. 13, if a part of the curved surface is trimmed or has a hole, an elliptical bubble is arranged. In this case, it is necessary to determine whether the elliptical bubble is inside or outside the surface area, and to actually arrange the elliptical bubble only in the case of the inside.

【００７４】以下のステップ４００６〜４０１８は、そ
れぞれ、図４とステップ３００６〜３０１８と、実質的
に同様であるが、以下のことには留意する必要がある。The following steps 4006 to 4018 are substantially the same as FIG. 4 and steps 3006 to 3018, respectively, but the following points must be noted.

【００７５】先ず、ステップ４００２（あるいは図４の
フローチャートのステップ）によって最適に配置された
頂点および稜線上の（あるいは、総称的に面の境界上
の）楕円バブルは、面の内部の楕円バブルの運動方程式
の計算の際には、座標位置が不動のものとして扱われ
る。すなわち、面の内部の楕円バブルに対しては、上記
で定義された力に基づき、引力・斥力を及ぼすものとし
て運動方程式の右辺にのみあらわれ、運動方程式の左辺
の常微分の項にはあらわれない。First, the elliptical bubbles on the vertices and ridge lines (or generically on the boundary of the surface) optimally arranged by step 4002 (or the steps in the flowchart of FIG. 4) are the elliptic bubbles inside the surface. In calculating the equation of motion, the coordinate position is treated as immovable. In other words, for the elliptical bubble inside the surface, based on the force defined above, it appears only on the right side of the equation of motion as exerting attractive and repulsive forces, and does not appear in the ordinary differential term on the left side of the equation of motion .

【００７６】また、ステップ４０１０では、稜線ではな
く、面からの楕円バブルの離隔を調べる。そして、面か
ら楕円バブルが離隔していると、例えば、面の法線方向
に、楕円バブルを引き戻す。あるいは、図１１(b)で行
った方法を２次元的に適用して、ｘ方向の移動量Δｕ、
及びｙ方向の移動量Δｖをそれぞれ計算することによ
り、楕円バブルを引き戻す面上の位置を決定してもよ
い。In step 4010, the separation of the elliptical bubble from the surface, not the ridge line, is checked. If the elliptical bubble is separated from the surface, the elliptical bubble is pulled back, for example, in the normal direction of the surface. Alternatively, by applying the method performed in FIG. 11B two-dimensionally, the movement amount Δu in the x direction,
And the amount of movement Δv in the y direction may be calculated to determine the position on the surface where the elliptical bubble is pulled back.

【００７７】ステップ４０１２の力の均衡状態の判断
は、ステップ３０１２と同様の処理でよい。The determination of the equilibrium state of the force in step 4012 may be the same processing as in step 3012.

【００７８】ステップ４０１４での楕円バブルの重なり
度の算出は、稜線上の場合とはやや異なって、楕円バブ
ルが２次元的に隣接することになるので、図１４を参照
して説明を行う。The calculation of the degree of overlap of the elliptical bubbles in step 4014 is slightly different from that on the ridgeline, because the elliptical bubbles are two-dimensionally adjacent to each other, and will be described with reference to FIG.

【００７９】図１４において、楕円バブルＡを基準とし
て見たとき、その周りに６個の楕円バブルＢ、Ｃ、Ｄ、
Ｅ、Ｆ、Ｇがあり、それぞれの重なり度｛（２ｒ_a＋ｒ_b
−ｒ）／ｒ_a｝×１００＝１３０％ずつ重なりあってい
るとすると、全体の重なり度は、１３０×６＝７８０％
であると定義する。破壊するための閾値を例えば７００
％に設定してあれば、このバブルは過密と判断され、破
壊されることになる。In FIG. 14, when the ellipse bubble A is viewed as a reference, six elliptical bubbles B, C, D,
E, F, and G, and their respective degrees of overlap ｛(2r _a + r _b
−r) / r _a ｝ × 100 = 130%, and the total degree of overlap is 130 × 6 = 780%
Is defined as The threshold value for destruction is, for example, 700
If it is set to%, this bubble will be considered overcrowded and will be destroyed.

【００８０】また、全体の重なり度が所定の下限閾値、
例えば４００％、よりも小さい場合、ステップ４０１８
で楕円バブルを新たに配置（換言すると、***）させる
ようにする。The overall degree of overlap is a predetermined lower threshold,
If less than 400%, for example, step 4018
To newly arrange (in other words, split) the elliptical bubble.

【００８１】こうして、ステップ４０１６では、各々の
楕円バブルの重なり度から、適切な楕円バブル配置かど
うか決定し、そうでないならステップ４０１８で、過密
部の楕円バブルを破壊し、過疎部の楕円バブルを***さ
せて、Runge-Kuttaの計算の次のサイクルに進み、適切
な楕円バブル配置であると判断されたなら、ステップ４
０２０で、楕円バブルの中心位置にメッシュ・ノードを
配置する。Thus, in step 4016, it is determined from the degree of overlap of each elliptical bubble whether or not an appropriate elliptical bubble arrangement is made. Otherwise, in step 4018, the elliptical bubble in the dense part is destroyed, Divide and proceed to the next cycle of Runge-Kutta calculation. If it is determined that the elliptical bubble arrangement is appropriate, step 4
At 020, a mesh node is placed at the center of the elliptical bubble.

【００８２】次に、図６を参照すると、空間の境界及び
内部に楕円バブルを配置し、動力学的モデルに従い楕円
バブルを移動させ、必要に応じて楕円バブルを破壊・分
裂させるための処理のフローチャートが示されている。
図６の処理は、図４及び図５の処理の完了後に行われ
る。Next, referring to FIG. 6, a process for arranging elliptical bubbles at the boundary and inside of the space, moving the elliptical bubbles according to the dynamic model, and breaking and splitting the elliptical bubbles as necessary. A flowchart is shown.
The processing in FIG. 6 is performed after the processing in FIGS. 4 and 5 is completed.

【００８３】図６において、ステップ５００２では、図
５のフローチャートで示したのと同様の手続きにより、
空間境界上の面の頂点と稜線上に、楕円バブルが最適配
置される。尚、図６のフローチャートのステップが図５
のフローチャートのステップの続きとして実行されるの
なら、ステップ５００２は既に完了しているので、スキ
ップされることになる。In FIG. 6, in step 5002, a procedure similar to that shown in the flowchart of FIG.
Elliptical bubbles are optimally placed on the vertices and ridges of the surface on the space boundary. The steps in the flowchart of FIG.
If it is executed as a continuation of the steps in the flowchart of step (a), step 5002 has already been completed, and will be skipped.

【００８４】次に、ステップ５００４に関連して、図２
に示す空間ノード配置手段２１２を利用して、空間内に
複数の楕円バブルを配置する手続きについて図１５を参
照して説明する。Next, referring to step 5004, FIG.
The procedure for arranging a plurality of elliptical bubbles in a space using the space node arranging means 212 shown in FIG.

【００８５】図１５において、楕円バブルを配置しよう
とする空間は、一般的には立方体または直方体とは限ら
ない。そこで、立方体の８隅に楕円バブルを配置する手
続きを予め用意しておき、空間領域１７０２を十分に覆
う立方体１７０４を定義する。空間領域１７０２は、一
般的に、穴１７０６や窪みをもつことがある。さて、立
方体１７０４を８分木的に８等分し、おのおのの領域に
ついて、その候補点（すなわち、分割された立方体の８
隅）が、空間領域１７０２の内部であるかどうか判断
し、もしそうであるなら、楕円バブルをその候補点に配
置し、そうでないなら、配置しない。このような処理を
８等分された各々の立方体領域について再帰的に行う。
その再帰的処理の停止条件は、その８等分された立方体
領域において配置された全ての楕円バブルが、互いに接
触または交差することである。In FIG. 15, the space in which elliptical bubbles are to be arranged is not necessarily limited to a cube or a rectangular parallelepiped. Therefore, a procedure for arranging elliptical bubbles at the eight corners of the cube is prepared in advance, and a cube 1704 that sufficiently covers the space area 1702 is defined. Spatial region 1702 may generally have holes 1706 or depressions. Now, the cube 1704 is divided into eight equal parts in the form of an octree, and the candidate point (that is, the divided cube 8
It is determined whether the (corner) is inside the spatial region 1702, and if so, the elliptical bubble is placed at that candidate point, otherwise it is not placed. Such processing is performed recursively for each cubic region divided into eight.
The condition for stopping the recursive processing is that all the elliptical bubbles arranged in the octagonal cubic region touch or intersect with each other.

【００８６】以下のステップ５００６〜５０１８は、そ
れぞれ、図４とステップ３００６〜３０１８と、実質的
に同様であるが、以下のことには留意する必要がある。The following steps 5006 to 5018 are substantially the same as FIG. 4 and steps 3006 to 3018, respectively, but the following points must be noted.

【００８７】先ず、ステップ５００２（あるいは図４及
び図５のフローチャートのステップ）によって最適に配
置された頂点および稜線上（総称的には、空間の境界
上）の楕円バブルは、空間の内部の楕円バブルの運動方
程式の計算の際には、座標位置が不動のものとして扱わ
れる。すなわち、空間の境界上の楕円バブルについて
は、上記で定義された力に基づき、空間内部に配置され
る楕円バブルに対して引力・斥力を及ぼすものとして運
動方程式の右辺にのみあらわれ、運動方程式の左辺の常
微分の項にはあらわれない。First, the elliptical bubbles on the vertices and ridge lines (generally on the boundary of the space) optimally arranged in step 5002 (or the steps in the flowcharts of FIGS. 4 and 5) are transformed into the ellipse inside the space. When calculating the equation of motion of the bubble, the coordinate position is treated as being stationary. In other words, the elliptical bubble on the boundary of the space appears only on the right side of the equation of motion as exerting an attractive force / repulsive force on the elliptical bubble arranged inside the space based on the force defined above, and It does not appear in the ordinary derivative term on the left side.

【００８８】また、ステップ３０１０やステップ４０１
０では、楕円バブル移動の結果として稜線や曲面から離
隔した楕円バブルを法線方向に引き戻すようにしていた
が、ステップ５０１０では、空間境界の外に移動した楕
円バブルは、単に破壊される。というのは、空間境界上
には既に、ステップ５００２（あるいは、図５のフロー
チャートの処理によって）最適に楕円バブルが配置され
ているからである。Steps 3010 and 401
In the case of 0, the elliptical bubble separated from the ridgeline or the curved surface is drawn back in the normal direction as a result of the elliptical bubble movement. However, in the step 5010, the elliptical bubble which has moved out of the space boundary is simply destroyed. This is because the elliptical bubble is already optimally arranged on the space boundary at step 5002 (or by the processing of the flowchart of FIG. 5).

【００８９】ステップ５０１２の力の均衡状態の判断
は、ステップ３０１２またはステップ４０１２と同様の
処理でよい。The determination of the equilibrium state of the force in step 5012 may be the same processing as in step 3012 or step 4012.

【００９０】ステップ５０１４での楕円バブルの重なり
度の算出については、曲面上の場合とはやや異なって、
楕円バブルが３次元的に隣接する。この場合、最密充填
状態では、１つの楕円バブルの周囲には、１２個の楕円
バブルが隣接する。従って、３次元における楕円バブル
の重なり度及び疎ら度の閾値の適切な値の１つの例は、
それぞれ、２次元の場合の２倍の値を使用することであ
る。The calculation of the degree of overlap of the elliptical bubbles in step 5014 is slightly different from that on the curved surface.
Elliptical bubbles are three-dimensionally adjacent. In this case, in the close-packed state, 12 elliptical bubbles are adjacent to one elliptical bubble. Thus, one example of a suitable value of the threshold for the overlap and sparseness of elliptical bubbles in three dimensions is:
In each case, twice the value of the two-dimensional case is used.

【００９１】こうして、ステップ５０１６では、各々の
楕円バブルの重なり度から、適切な楕円バブル配置かど
うか決定し、そうでないならステップ５０１８で、過密
部の楕円バブルを破壊し、過疎部の楕円バブルを***さ
せて、Runge-Kuttaの計算の次のサイクルに進み、適切
な楕円バブル配置であると判断されたなら、ステップ５
０２０で、楕円バブルの中心位置にメッシュ・ノードを
配置する。Thus, in step 5016, it is determined from the degree of overlap of each elliptical bubble whether or not an appropriate elliptical bubble is arranged. Otherwise, in step 5018, the elliptical bubble in the dense part is destroyed, Divide and proceed to the next cycle of Runge-Kutta calculation, if it is determined that the elliptical bubble arrangement is appropriate, step 5
At 020, a mesh node is placed at the center of the elliptical bubble.

【００９２】最後に、配置されたメッシュノードからベ
クトル場により指定された方向に沿うように三角形メッ
シュを結ぶ方法について述べる。上述のように、楕円バ
ブル間力が均衡する楕円バブルの配置が求まると、こら
らの中心点を結んで三角形メッシュを生成しなけらばな
らない。従来のバブル・メッシュ法ではこの作業を計算
幾何学で研究されたデローニ三角分割法と呼ばれるアル
ゴリズムで行っていた。このアルゴリズムを用いること
により、４つの隣接する点が与えられたときに、二通り
の対角線のうちどちらを選ぶとより正三角形に近い三角
形ができるかを自動的に選択することができる。しかし
ながら、この従来のデローニ三角分割では、非等方性メ
ッシュの方向性が全く考慮されていないので本発明では
直接使うことはできない。そこで、以下に述べるよう
に、指定されたメッシュの方向性とアスペクト比を用い
て変更されたデローニ三角分割を行うことにより、指定
された方向に沿うように三角形分割を行えるようにし
た。Finally, a description will be given of a method of connecting triangular meshes from the arranged mesh nodes so as to follow the direction specified by the vector field. As described above, when the arrangement of the elliptical bubbles in which the force between the elliptical bubbles is balanced is determined, a triangular mesh must be generated by connecting these center points. In the conventional bubble mesh method, this work was performed by an algorithm called Delaunay triangulation, which was studied in computational geometry. By using this algorithm, when four adjacent points are given, it is possible to automatically select which of two diagonal lines is selected to form a triangle closer to an equilateral triangle. However, in the conventional Delaunay triangulation, since the directionality of the anisotropic mesh is not considered at all, it cannot be directly used in the present invention. Therefore, as described below, the modified Delaunay triangulation is performed using the specified directionality and aspect ratio of the mesh, so that the triangulation can be performed along the specified direction.

【００９３】まず、従来のデローニ三角分割を図１６を
元に説明する。メッシュ・ノードとして与えられた４つ
の円のそれぞれの中心点に対して、２つの三角分割が考
えられるので、それぞれについて三角形の外接円を作
る。このとき、デローニ三角形、すなわち、正三角形に
より近い三角形を得るには、「外接円の中にもう一つの
点が含まれない」という条件を満たす方を選べばよい。
図１６では、メッシュ・ノードＡ、Ｂ、Ｃを結んででき
る外接円ａの中にもう一つのメッシュ・ノードＤが含ま
れないケース１がこの条件を満たしている。これが、よ
く知られているデローニ三角形の判定条件である。First, the conventional Delaunay triangulation will be described with reference to FIG. For each center point of the four circles given as mesh nodes, two triangulations are conceivable, so that a circumscribed circle of a triangle is created for each. At this time, in order to obtain a Delaunay triangle, that is, a triangle closer to an equilateral triangle, one that satisfies the condition that “another point is not included in the circumscribed circle” may be selected.
In FIG. 16, case 1 in which another mesh node D is not included in a circumscribed circle a formed by connecting the mesh nodes A, B, and C satisfies this condition. This is a well-known Delaunay triangle determination condition.

【００９４】これに対して、本発明では、上記の判定方
法を調べる際に、指定されている方向にアスペクト比の
逆数倍だけ縮めた座標値を用いてデローニ三角形の判定
条件を実行することにより、ベクトルにより指定された
方向に細長いメッシュができやすいように重みづけして
いる。すなわち、まず、楕円メッシュの中心点Ａ、Ｂ、
Ｃ、Ｄの結線方法を考えた場合、まずそれぞれの楕円メ
ッシュのベクトル（ベクトル場により指定されている）
を合成する。そして、この合成ベクトルを中心点の数で
割った（すなわち４で割った）大きさを有するベクトル
を加重平均ベクトルｘとして求める。そして、各中心点
の座標に加重平均ベクトルの成分の逆数倍だけ縮めた座
標値を用いて、従来と同様にデローニ三角形の判定を実
行する。そして、条件を満たす結線方法で４つの中心点
を結線することにより三角形分割ができる。例として、
２次元座標を考えた場合、加重平均ベクトルｘの方向が
（２．０、０．０）でアスペクト比が２．０と指定され
ているとすると、各中心点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄのｘ座標値を
１／２．０（＝０．５）倍した座標値を用いて判定条件
を調べる。そして、デローニ三角形の判定条件を満たす
結線方法で、中心点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄを結ぶ。なお、逆数
倍縮めた座標値は、あくまで判定条件を調べる場合にの
み用い、結線は本来の中心点の座標を用いている点に注
意されたい。このようにすることにより、ベクトル方向
に沿った三角形分割を行うことができる。On the other hand, in the present invention, when examining the above-described determination method, the condition for determining the Delaunay triangle is executed by using the coordinate value contracted by the reciprocal multiple of the aspect ratio in the designated direction. Are weighted so that an elongated mesh is easily formed in the direction specified by the vector. That is, first, the center points A, B,
When considering the connection method of C and D, first, the vector of each elliptic mesh (specified by the vector field)
Are synthesized. Then, a vector having a magnitude obtained by dividing the composite vector by the number of center points (that is, divided by 4) is obtained as a weighted average vector x. Then, using the coordinate values reduced by the reciprocal times the component of the weighted average vector as the coordinates of each center point, the Deloni triangle is determined in the same manner as in the related art. Then, by connecting the four center points by a connection method satisfying the condition, triangulation can be performed. As an example,
Considering two-dimensional coordinates, assuming that the direction of the weighted average vector x is (2.0, 0.0) and the aspect ratio is 2.0, each of the center points A, B, C, D The determination condition is examined using a coordinate value obtained by multiplying the x coordinate value by 1 / 2.0 (= 0.5). Then, the center points A, B, C, and D are connected by a connection method that satisfies the determination condition of the Delaunay triangle. It should be noted that the coordinate values contracted by the reciprocal are used only for checking the determination conditions, and that the connection uses the coordinates of the original center point. This makes it possible to perform triangulation along the vector direction.

【００９５】図１７は、従来のデローニ法と本発明の方
法による三角分割の結果を比較した図である。与えられ
たノードは正三角形のグリッドなので、従来の方法で
は、要素が正三角形になるように分割が行われている
（図１７（ａ））。これに対して、本発明の方法では、
ベクトル場の流れ方向（図１７（ｂ））が考慮された非
等方性メッシュを形成することができる（図１７
（ｃ））。FIG. 17 is a diagram comparing the results of triangulation with the conventional Delaunay method and the method of the present invention. Since a given node is a grid of an equilateral triangle, in the conventional method, division is performed so that elements become equilateral triangles (FIG. 17A). In contrast, in the method of the present invention,
An anisotropic mesh in which the flow direction of the vector field (FIG. 17B) is considered can be formed (FIG. 17).
(C)).

【００９６】なお、以上に詳述した非等方メッシュは、
計算力学を用いた解析以外にも、コンピュータ・グラフ
ィックスやＣＡＭなどのさまざまな計算機応用分野にお
いて利用することができる。本発明の応用例として、以
下の２つを例示する。The anisotropic mesh described in detail above is
In addition to analysis using computational mechanics, it can be used in various computer application fields such as computer graphics and CAM. The following two examples are given as application examples of the present invention.

【００９７】コンピュータ・グラフィックスの応用分野
では、曲面で定義された形状を、表示のために三角形パ
ッチの集合に切り分けて近似する作業が不可欠となる。
この際、曲面を多数の細かい三角形メッシュに分割すれ
ば、このメッシュは元の曲面形状を忠実に表現できるの
で近似の質は向上するが、処理速度は低下する。逆に、
全体に粗い三角形メッシュを用いて処理速度を向上させ
ようとすると、近似精度は低下する。そこで、曲率が大
きい部分（大きく曲がっている部分）を小さい三角形で
近似し、曲率が小さい部分（平坦な部分）を大きい三角
形で近似するのが効率のよい三角形分割である。また、
曲面上の曲率の大きさは方向によって異なるので、メッ
シュの大きさを方向に応じて変えることができれば効率
を一層向上させることができる。本発明の非等方性メッ
シュ分割は、このような要求を満たすものである。例え
ば、円筒面に対しては、曲率が小さい円筒の軸方向には
長い辺を有し、曲率が大きい円周方向には短い辺を有す
る非等方性メッシュが最適な分割法となる。In the application field of computer graphics, it is essential to divide a shape defined by a curved surface into a set of triangular patches for display and approximate the shape.
At this time, if the curved surface is divided into a large number of fine triangular meshes, the mesh can faithfully represent the original curved surface shape, so that the quality of approximation is improved, but the processing speed is reduced. vice versa,
If an attempt is made to improve the processing speed by using a coarse triangular mesh as a whole, the approximation accuracy is reduced. Therefore, it is efficient triangulation to approximate a portion having a large curvature (a portion that is largely bent) with a small triangle, and approximate a portion having a small curvature (a flat portion) with a large triangle. Also,
Since the magnitude of the curvature on the curved surface varies depending on the direction, if the size of the mesh can be changed according to the direction, the efficiency can be further improved. The anisotropic mesh division of the present invention satisfies such a requirement. For example, for a cylindrical surface, an anisotropic mesh having a long side in the axial direction of a cylinder having a small curvature and a short side in a circumferential direction having a large curvature is an optimal division method.

【００９８】また、製造過程では、ＮＣマシンによる金
型の曲面形状切削や産業用ロボットによる部品の搬送な
ど、工具や部品が三次元平面を移動して作業を行うこと
が多い。この動作の軌道（カッター・パスやロボットの
運動軌跡）を作成する際には、工具やロボットが被作業
物と干渉しないことを、コンピュータ・シミュレーショ
ンによって予め確認しておくことが必要となる。このよ
うな干渉チェックにおいては、三次元曲面の近似形状が
用いられるが、効率のよい近似形状を得るためには、本
発明の非等方性メッシュ分割を行うことが望ましい。In the manufacturing process, tools and parts often move on a three-dimensional plane, such as cutting a curved surface of a mold by an NC machine or transporting parts by an industrial robot. When creating the trajectory of this operation (cutter path or motion trajectory of the robot), it is necessary to confirm in advance by computer simulation that the tool or robot does not interfere with the work. In such an interference check, an approximate shape of a three-dimensional curved surface is used, but in order to obtain an efficient approximate shape, it is desirable to perform the anisotropic mesh division of the present invention.

【００９９】[0099]

【発明の効果】この発明によれば、３次元図形中に１次
元の線や２次元曲面が埋めこまれて成る、いわゆる非多
様体形状データ構造に対しても、動力学的モデルに基づ
く楕円バブル充填法を適用し、最適なメッシュを自動的
に形成することが可能ならしめられる。According to the present invention, a so-called non-manifold shape data structure in which a one-dimensional line or a two-dimensional surface is embedded in a three-dimensional figure can be used as an ellipse based on a dynamic model. By applying the bubble filling method, it is possible to automatically form an optimal mesh.

【図面の簡単な説明】[Brief description of the drawings]

【図１】 本発明の概要を示す図である。FIG. 1 is a diagram showing an outline of the present invention.

【図２】 本発明の処理手段のブロック図である。FIG. 2 is a block diagram of a processing unit of the present invention.

【図３】 本発明の全体的な処理を示すフローチャート
の図である。FIG. 3 is a flowchart showing the overall processing of the present invention.

【図４】 稜線ノード配置手段の処理を示すフローチャ
ートの図である。FIG. 4 is a flowchart showing a process of an edge line node arrangement unit.

【図５】 面ノード配置手段の処理を示すフローチャー
トの図である。FIG. 5 is a flowchart showing a process of a plane node arrangement unit.

【図６】 空間ノード配置手段の処理を示すフローチャ
ートの図である。FIG. 6 is a flowchart showing a process of a spatial node arrangement unit.

【図７】 非多様体形状データの要素分割手順を示す図
である。FIG. 7 is a diagram showing a procedure for dividing elements of non-manifold shape data.

【図８】 本発明で定義される楕円バブル間力を説明す
るための図である。FIG. 8 is a diagram for explaining an elliptical bubble force defined in the present invention.

【図９】 ２つの楕円バブルの間の距離と力の関係示す
図である。FIG. 9 is a diagram illustrating a relationship between a distance between two elliptical bubbles and a force.

【図１０】 稜線上への楕円バブル配置を示す図であ
る。FIG. 10 is a diagram showing an elliptical bubble arrangement on a ridge line.

【図１１】 稜線から離隔した楕円バブルを引き戻す様
子を示す図である。FIG. 11 is a diagram showing a state in which an elliptical bubble separated from a ridge line is pulled back.

【図１２】 稜線上での楕円バブルの重なりを示す図で
ある。FIG. 12 is a diagram showing overlapping of elliptical bubbles on a ridge line.

【図１３】 曲面上への楕円バブル配置を示す図であ
る。FIG. 13 is a diagram showing an elliptical bubble arrangement on a curved surface.

【図１４】 曲面上での楕円バブルの重なりを示す図で
ある。FIG. 14 is a diagram showing overlapping of elliptical bubbles on a curved surface.

【図１５】 空間領域中への楕円バブル配置を示す図で
ある。FIG. 15 is a diagram showing an elliptical bubble arrangement in a spatial region.

【図１６】 従来のデローニ三角分割を示す図である。FIG. 16 is a diagram showing a conventional Delaunay triangulation.

【図１７】 従来のデローニ法と本発明の方法による三
角分割の結果を比較した図である。FIG. 17 is a diagram comparing the results of triangulation with the conventional Delaunay method and the method of the present invention.

【図１８】 流線のベクトル場の具体例を示す概念図で
ある。FIG. 18 is a conceptual diagram showing a specific example of a streamline vector field.

───────────────────────────────────────────────────── フロントページの続き (58)調査した分野(Int.Cl.⁶，ＤＢ名) G06T 17/20 ＪＩＣＳＴファイル（ＪＯＩＳ)────────────────────────────────────────────────── ─── Continued on the front page (58) Fields surveyed (Int.Cl. ⁶ , DB name) G06T 17/20 JICST file (JOIS)

Claims (8)

(57)【特許請求の範囲】(57) [Claims] 【請求項１】非等方的なメッシュを生成するメッシュ生
成方法であって、 所定領域内において、それぞれの要素が大きさとアスペ
クト比を有するベクトル場を指定する段階と、 上記要素の大きさに対応した大きさを有し、上記アスペ
クト比に対応した方向性を有する楕円バブルを発生する
段階と、 所定の安定距離よりも、上記楕円バブルが近づいた場合
には斥力を生じさせ、上記安定距離よりも、上記楕円バ
ブルが遠ざかる場合には引力を生じさせるようにバブル
間力を定義し、該バブル間力に基づいて、各々の上記楕
円バブルを移動させ、かつ上記楕円バブル同士の重なり
状態を示す重なり度に応じて、上記楕円バブルの個数を
適応的に制御することにより、上記楕円バブルの安定し
た配置を求める段階と、安定した配置における楕円バブルの中心点をノードとし
て記憶手段に記憶する段階と、 上記楕円バブルの中心点をもとにして、三角メッシュを
形成する段階とを有するメッシュ生成方法。 1. A mesh generation method for generating an anisotropic mesh in a predetermined area, the method comprising: specifying a vector field in which each element has a size and aspect ratio, the size of the elements Generating an elliptical bubble having a corresponding size and a directionality corresponding to the aspect ratio; and generating a repulsive force when the elliptical bubble is closer than a predetermined stable distance. Rather than defining the inter-bubble force to generate an attractive force when the elliptical bubble moves away, moving each of the elliptical bubbles based on the inter-bubble force , and overlapping the elliptical bubbles
A step of obtaining a stable arrangement of the elliptical bubbles by adaptively controlling the number of the elliptical bubbles in accordance with the degree of overlap indicating the state, and setting a center point of the elliptical bubbles in the stable arrangement as a node.
And storing in the storage means Te, based on the center point of the ellipse bubble, mesh generation method having the steps of forming a triangular mesh. 【請求項２】上記ベクトル場は、上記ベクトル場は、あ
る自然現象に基づいて定められる、請求項１に記載のメ
ッシュ生成方法。2. The mesh generation method according to claim 1, wherein the vector field is determined based on a certain natural phenomenon. 【請求項３】上記バブル間力は、２つの楕円バブルの中
心間の距離の関数である、請求項１に記載のメッシュ生
成方法。3. The mesh generation method according to claim 1, wherein the inter-bubble force is a function of a distance between centers of two elliptical bubbles. 【請求項４】上記三角メッシュを形成する段階は、上記
楕円バブルの中心点をもとにして、メッシュの方向性と
アスペクト比とを考慮したデローニ三角形の判定条件を
用いて形成されることを特徴とする請求項１乃至３のい
ずれかに記載のメッシュ生成方法。4. The method according to claim 1, wherein the step of forming the triangular mesh is performed based on a center point of the elliptical bubble and using a Delaunay triangular determination condition in consideration of the directionality and aspect ratio of the mesh. There of claims 1 to 3, wherein
A mesh generation method according to any of the above. 【請求項５】３次元非多様体データ・モデルにおいて、
コンピュータの演算処理によってメッシュを自動生成す
る方法であって、 要素の大きさとアスペクト比を示すベクトル場を指定す
る段階と、 上記３次元非多様体データ・モデルの全ての頂点に、コ
ンピュータによって計算される物理モデルとして、質量
を有すると共に、前記要素の大きさに対応した大きさを
有し、かつ前記アスペクト比に対応した方向を有する楕
円バブルを配置する段階と、 上記３次元非多様体データ・モデルの全ての稜線上に、
コンピュータによって計算される物理モデルとして、質
量を有すると共に、前記要素の大きさに対応した大きさ
を有し、かつ前記アスペクト比に対応した方向性を有す
る複数の楕円バブルを充填する段階と、 上記複数の楕円バブル間に、バブル間の距離に関連する
バブル間力を定義し、該バブル間力に基づき上記複数の
楕円バブル全体からなる力学系の運動方程式を解くこと
によって、上記稜線上の複数の楕円バブルの移動量及び
移動方向を決定し、該決定された移動量及び移動方向に
従い各々の楕円バブルを移動させる段階と、 上記各々の楕円バブルの移動量が所定の大きさよりも小
さくなったことに応答して、上記稜線上の楕円バブルの
中心点をノードとして記憶手段に記憶する段階と、 上記楕円バブルの中心点を 順に結んで線分要素に分割す
る段階と、 上記３次元非多様体データ・モデルの全ての面上の閉じ
た領域に、コンピュータによって計算される物理モデル
として、質量を有すると共に、前記要素の大きさに対応
した大きさを有し、かつ前記アスペクト比に対応した方
向を有する楕円バブルを充填する段階と、 上記複数の楕円バブル間に、上記バブル間力に基づき上
記面上の複数のバブル全体からなる力学系の運動方程式
を解くことによって、上記面上の複数の楕円バブルの移
動量及び移動方向を決定し、該決定された移動量及び移
動方向に従い各々の楕円バブルを移動させる段階と、 上記面上の各々の楕円バブルの移動量が所定の大きさよ
りも小さくなったことに応答して、上記面上の閉じた領
域内の楕円バブルの中心点をノードとして記憶手段に記
憶する段階と、 上記楕円バブルの中心点を 結んで三角形要素に分割する
段階と、 上記３次元非多様体データ・モデルの全ての空間内の閉
じた領域に、コンピュータによって計算される物理モデ
ルとして、質量を有すると共に、前記要素の大きさに対
応した大きさを有し、かつ前記アスペクト比に対応した
方向を有する楕円バブルを充填する段階と、 上記複数の楕円バブル間に、上記バブル間力に基づき上
記空間内の複数のバブル全体からなる力学系の運動方程
式を解くことによって、上記空間内の複数の楕円バブル
の移動量及び移動方向を決定し、該決定された移動量及
び移動方向に従い各々の楕円バブルを移動させる段階
と、 上記空間内の各々の楕円バブルの移動量が所定の大きさ
よりも小さくなったことに応答して、上記空間内の各々
の楕円バブルの中心点をノードとして記憶手段に記憶す
る段階と、 上記楕円バブルの中心点を 結んで四面体要素に分割する
段階とを有する非多様体データ・モデルにおいてメッシ
ュを自動生成する方法。5. In a three-dimensional non-manifold data model,
A method of automatically generating a mesh by computer processing, comprising the steps of: specifying a vector field indicating the size and aspect ratio of an element; and calculating by computer all vertices of the three-dimensional non-manifold data model. Arranging an elliptical bubble having a mass, a size corresponding to the size of the element, and a direction corresponding to the aspect ratio as a physical model, On all ridges of the model,
As a physical model which is calculated by the computer, which has a mass, comprising the steps of: having a size corresponding to the size of the element, and to Hama charging a plurality of elliptical bubbles having a directionality corresponding to the aspect ratio, between said plurality of elliptical bubbles, by defining the inter-bubble force related to the distance between the bubble, solving the equations of motion of the dynamic system consisting of the whole plurality of elliptical bubbles on the basis of the bubble force, the edge line Determining the moving amount and moving direction of the plurality of elliptical bubbles, moving each elliptical bubble according to the determined moving amount and moving direction, and the moving amount of each of the elliptical bubbles is smaller than a predetermined size. in response to became, the segment elements by connecting and storing in the storage means the center point of the ellipse bubbles on the edge line as a node, the center point of the ellipse bubble in order Dividing, in a closed area on all surfaces of the three-dimensional non-manifold data model, a physical model calculated by a computer as a physical model having a mass and a size corresponding to the size of the element. a, and a step of Hama an elliptical bubble charge having a direction corresponding to the aspect ratio, among the plurality of elliptical bubble motion of dynamical system consisting of the entire plurality of bubbles on the surface based on the force between the bubble Determining the moving amounts and moving directions of the plurality of elliptical bubbles on the surface by solving the equations; moving each elliptical bubble according to the determined moving amount and moving direction; In response to the movement amount of the elliptical bubble becoming smaller than the predetermined size, the central point of the elliptical bubble in the closed area on the surface is recorded in the storage means as a node.
Remembering , dividing the elliptical bubble into the triangular element by connecting the center points thereof , and performing a computer-calculated physical model on a closed region in all spaces of the three-dimensional non-manifold data model. , which has a mass having a size corresponding to the size of the element, and the steps of Hama an elliptical bubble charge having a direction corresponding to the aspect ratio, among the plurality of elliptical bubbles between the bubble The moving amount and moving direction of the plurality of elliptical bubbles in the space are determined by solving the equation of motion of the dynamic system composed of a plurality of bubbles in the space based on the force, and the determined moving amount and moving direction are determined. Moving each elliptical bubble in accordance with the following, and in response to the amount of movement of each elliptical bubble in the space becoming smaller than a predetermined size, Be stored in the storage means the center point of the ellipse bubble as a node
That step and a method for automatically generating a mesh in a non-manifold data model having the steps of dividing the tetrahedral element by connecting the center points of the ellipse bubble. 【請求項６】非等方的なメッシュを生成するメッシュ生
成システムであって、 所定領域内において、ある自然現象に関係し、それぞれ
の要素が大きさとアスペクト比を有するベクトル場のデ
ータを記憶する手段と、 上記要素の大きさに対応した大きさを有し、上記アスペ
クト比に対応した方向性を有する楕円バブルを表すデー
タを発生する手段と、 所定の安定距離よりも、上記楕円バブルが近づいた場合
には斥力を生じさせ、上記安定距離よりも、上記楕円バ
ブルが遠ざかる場合には引力を生じさせるようにバブル
間力を定義し、該バブル間力に基づいて、各々の上記楕
円バブルデータを修正する手段と、 上記楕円バブル同士の重なり状態を示す重なり度に応じ
て、上記楕円バブルの個数を適応的に制御する手段と、 上記楕円バブル間力により上記楕円バブルを移動させ、
かつ上記楕円バブルの個数を適応的に制御することによ
り、上記楕円バブルの安定した配置を求める手段と、 上記楕円バブルの中心点をもとにして、三角メッシュデ
ータを生成する手段とを有するメッシュ生成システム。6. A mesh generation system for generating an anisotropic mesh in a predetermined area, related to the natural phenomenon that, each element stores the data of the vector field with a size and aspect ratio Means for generating data representing an elliptical bubble having a size corresponding to the size of the element and having a directionality corresponding to the aspect ratio, wherein the elliptical bubble is closer than a predetermined stable distance. In this case, a repulsive force is generated, and an inter-bubble force is defined so as to generate an attractive force when the elliptical bubble moves away from the stable distance. Based on the inter-bubble force, each of the elliptical bubble data is defined. Means for correcting the number of the elliptical bubbles, and means for adaptively controlling the number of the elliptical bubbles according to the degree of overlap indicating the overlapping state of the elliptical bubbles. More move the elliptical bubbles,
And by adaptively controlling the number of the elliptical bubbles, main having a means for obtaining a stable arrangement of the elliptical bubbles, based on the center point of the ellipse bubble, and means for generating a triangular mesh data Ash generation system. 【請求項７】生成された上記三角メッシュデータに基づ
いて、三角メッシュを表示する手段をさらに有すること
を特徴とする請求項７に記載されたメッシュ生成システ
ム。7. The mesh generation system according to claim 7 , further comprising means for displaying a triangular mesh based on the generated triangular mesh data. 【請求項８】非等方的なメッシュを生成するメッシュ生
成システムであって、 所定領域内において、それぞれの要素が大きさとアスペ
クト比を有するベクトル場のデータを記憶する手段と、 上記要素の大きさに対応した大きさを有し、上記アスペ
クト比に対応した方向性を有する楕円バブルを表すデー
タを発生する手段と、 所定の安定距離よりも、上記楕円バブルが近づいた場合
には斥力を生じさせ、上記安定距離よりも、上記楕円バ
ブルが遠ざかる場合には引力を生じさせるようにバブル
間力を定義し、該バブル間力に基づいて、各々の上記楕
円バブルを移動させ、かつ上記楕円バブル同士の重なり
状態を示す重なり度に応じて、上記楕円バブルの個数を
適応的に制御することにより、上記楕円バブルの安定し
た配置を求める手段と、 安定した配置における楕円バブルの中心点をノードとし
て記憶手段に記憶する手段と、 上記楕円バブルの中心点をもとにして、三角メッシュを
生成する手段とを有するメッシュ生成システム。8. A mesh generation system for generating an anisotropic mesh, comprising: means for storing data of a vector field in which each element has a size and an aspect ratio within a predetermined area; Means for generating data representing an elliptical bubble having a size corresponding to the height and having a directionality corresponding to the aspect ratio; and generating a repulsive force when the elliptical bubble is closer than a predetermined stable distance. When the elliptical bubble moves away from the stable distance, an inter-bubble force is defined so as to generate an attractive force. Based on the inter-bubble force, each of the elliptical bubbles is moved, and the elliptical bubble is moved. Means for obtaining a stable arrangement of the elliptical bubbles by adaptively controlling the number of the elliptical bubbles in accordance with the degree of overlap indicating the overlapping state of each other; A mesh generation system, comprising: means for storing a center point of an elliptical bubble in a fixed arrangement as a node in a storage means; and means for generating a triangular mesh based on the center point of the elliptical bubble.